Download - Modulo factorización
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Oaaaaaaaaa!! Bienvenidos al mundo de la factorizacion… somos los teletubbies y te acompañaremos en esta tarea de aprender a factorizar buena suerte y adelante!!!
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Algo de historia:
Los primeros vestigios del desarrollo de la ciencia matemática se encuentran 5000-500 AC en Egipto. Pitágoras, Tales de Mileto, Euclides son algunos de los matemáticos que fueron dando realce al estudio de la matemática. Establecieron un método riguroso para la demostración geométrica e hicieron del numero el principio universal por excelencia.
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Métodos para factorizar un polinomio
Antes de comenzar debes tener en claro que la factorización lo que se busca es expresar una o varias cantidades como el producto de dos o más factores, dando la posibilidad de factorizar de diferentes formas expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorización.
Pero … ¿Qué es factorizar?En pocas palabras, la factorización de expresiones
algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas.
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Casos de Factorización
Subsecciones :1.- Factor Común 2.- Factor Común por agrupación de términos 3.- Casos para Trinomios 4.- Diferencia de cuadrados 5.- Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción6.- Trinomio cuadrado de la forma 7.- Trinomio cuadrado de la forma 8.- Cubo perfecto de Binomios 9.- Suma o Diferencia de Cubos perfectos 10.- Suma o Diferencia de dos potencias iguales 11.- Casos para Polinomios 12.- Relación con la Geometría.12.- Prueba de diagnostico: I parte13.- Prueba diagnostico: II parte
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Factor Común
Explicación: Este es el primer caso y se emplea para
factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Factor común monomio: Es el factor que está presente en cada término del polinomio :
Ejemplo:
Casos de factorización.
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Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :
Ejemplos: 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
3x(2z - 5z) + x (2z – 5z) = 3x(2z – 5z) + x(2z – 5z)
= (2z – 5z) (3x + x)
mnx + mny - mnz = mnx + mny – mnz
= mn (x + y – z)
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Veamos algunos ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te aparecerán …
A trabajar !!
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Algunos Ejercicios:Factor común monomio:
12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4=
22
9
8
4
3xyyx
24524332
16
1
8
1
4
1
2
1babababa
babaabba 3322
25
16
15
8
5
12
35
4
53433223
35
21
14
9
28
27
21
15yxyxyxyx
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Factor común polinomio:
x2( p + q ) + y2( p + q )=
a(2 + x ) - ( 2 + x )=
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 )=
(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 )=
Factor Común.
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Factor Común por agrupación de términos
Explicación:Aquí utilizaremos el caso anterior:
adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor común.
Ejemplos:
Casos de factorización.
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3a + 5a + 3b + 5b = (3a + 5a) + (3b + 5b)
= a (3 + 5) + b (3 + 5)
= (a + b)(3 + 5)
2m – 5m + 2n – 5n = (2m – 5m) + (2n – 5n)
= m (2 – 5) + n (2 - 5)
= (m + n) (2 – 5)
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Algunos Ejercicios:
6ab + 4a - 15b - 10 =
ac - a - bc + b + c2 - c =
a3 + a2 + a + 1 =
18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
15
4
21
4
10
3
143
35 72x xz xy yz x z
Factor Común por agrupación de términos.
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Casos para Trinomios
Explicación:Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado
a los trinomios que cumplen con las siguientes características:
El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.
El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza
así:
Casos de factorización.
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Ejemplos:
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2
4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2
Aquí tienes algunos ejemplos aclaratorios!!
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Algunos ejercicios:
25x2 + 55x + 121/4 =x2 + x + ¼ = a2 + 8a + 16 =4b2 – 4b + 1 =z2 + 12z + 36 =25m2 + 18m + 81 =n2 + 14n + 49 =
Casos para Trinomios.
Vamos amigo trabaja con todas las ganas!
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Diferencia de cuadrados
Explicación: Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es
una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta.
Ejemplo:
Casos de factorización.
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Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;
si n es par :
si n es impar :
y
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se factoriza así: si n pertenece a z
si n es par :
si n es impar :
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Ejemplos:
25 - 9 = (5 – 3) (5 + 3)
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
(7x – 9) (7x + 9) = 49x – 81
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Algunos Ejercicios:
36m2n2 - 25 =
121 x2 - 144 k2 =
3x2 - 12 =
9
25
49
362 2a b
1
25
9
164 4x y
5 - 180f2 =
Diferencia de cuadrados.
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Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción
Explicación: En este caso se intenta transformar una expresión
(binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Ejercicio:
Casos de factorización.
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Resolviéndolo nos queda:
Aplicamos diferencia de cuadrados:
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Ejemplos:
16m2 – 40mn + 25n2 = (4m – 5n)2 4m x 2 x 5n = 40 mn
4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2 2b x 2 x 1 = 4b
1 + 6x + 6x2 = (1 + 3x)2 1 x 2 x 3x = 6x
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Algunos ejercicios:
x2 + 6x + 9 =
16x2 + 8x + 1 =
y2 + 10y + 25 =
81y2 - 180y + 100 =
81z2+ 108zw + 36w2 =
49x2 + 112x + 64 =
4y2 - 24y + 36 =
Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.
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Trinomio cuadrado de la forma
Explicación: Este trinomio debe cumplir con las siguientes
características: Debe estar organizado de forma
correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.
Casos de factorización.
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Existen dos números que :
es decir:
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Ejemplos:
x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2)4 x 2 = 84 + 2 = 6
x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2)-13 x 2 = -26-13 + 2= -11
x2 -17x + 30 = (x – 15) (x – 2)-15 x -2 = 30-15 + -2 = -17
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Veamos algunos ejercicios amigo …
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Algunos Ejercicios:
x2 + 12x + 6 =
a2 – 24a + 15 =
f2 – 15f + 18=
x2 + 6x +5=
r2 – 12r +27=
m2 + 19m + 48=
w2 + 20w – 6=
Trinomio cuadrado de la forma:
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Trinomio cuadrado de la forma
Explicación: Debe cumplir con las siguientes características:
Debe estar organizado de forma correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.
Casos de factorización.
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Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma
De la siguiente forma:
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luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:
y se opera, dando como resultado:
y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.
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Ejemplo:
12x2 + 16x – 3 = / x 12
(12x)2 + 16(12x) – 36 = (12x + 18) (12x – 2)
18 x -2 = -3618 + -2 = 16
(12x + 18)(12x – 2) 6(2x + 3) 2(6x – 1) ______________ = ______________ = (2x + 3)(6x – 1)
12 12
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Algunos Ejercicios:
4x2 + 7x + 3 =
4h2 + 5h + 1 =
2x2 + 5x - 12 =
6x2 + 7x - 5 =
8x2 - 14x + 3 =
6a2 + 23ab - 4b2 =
Trinomio cuadrado de la forma:
Que divertido es factorizar!! Hagamos una ronda por ello…
Heeeeeee!!!!!!!
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Cubo perfecto de Binomios
Explicación:Teniendo en cuenta que los productos notables
nos dicen que:
y
Casos de factorización.
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Es decir que debe cumplir con las siguientes características:
•Debe tener cuatro términos. •Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos •Que el segundo término sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. •Que el tercer término sea más que el triple de la raíz cúbica del último .
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Raíz cúbica de un monomio: Esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio:
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Ejemplos:
• x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = / se saca raíz cúbica del 1º termino = x
se saca raíz cúbica del 2º termino = z
x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = (x + z)3
• 8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 =
/ raíz cúbica 1º termino = 2m2n
raíz cúbica 2º termino = 4mn2
8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 = (2m2n + 4mn2)3
• (x + z)3 = x3 + 3x2z + 3ab2 + b3
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Veamos algunos ejercicios amigo …
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Algunos ejercicios:
(2x – 3z)3 =
(5y + 1)3 =
(2 + a2)3 =
(1 – a)3 =
m3 + 3m2n + 3mn2 =
27 – 27x + 9x2 – x3 =
c2 + 3c2 +3c + 1 =
Cubo perfecto de Binomios.
Aquí tienes ejercicios para trabajar!! Haz tu mayor esfuerzo!!
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Suma o Diferencia de Cubos
perfectos Explicación:
Para esto debemos recordar que:
y
Casos de factorización.
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Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
• La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. • La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
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Ejemplos:
• x3 + z3 = (x + z)(x2 – xz + z2)
x3 – z3 = (x – z)(x2 + xz + z2)
• 2m3 + z3 = (2m + z)(2m2 - 2mz + n2)
2m3 – z3 = (2m – z)(2m2 + 2mz + n2)
• (3b + 3c)(3b2 – 3b 3c + 3c2) = 3b3 + 3c3
(3b – 3c)(3b2 + 3b 3c + 3c2) = 3b3 – 3c3
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Veamos algunos ejercicios amigo …
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Algunos Ejercicios:
9x3 + 27 =
16m3 + 25n3 =
4b3 – 1 =
1 + 9x3 =
9m3 – 3n3 =
4w3 + 64z3 =
25f3 + g3 =
Suma o Diferencia de Cubos perfectos.
![Page 52: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/52.jpg)
Suma o Diferencia de dos potencias iguales
Explicación: Debemos tener en cuenta una pequeña
recapitulación de:
• es divisible por siendo n un número par o impar • es divisible por siendo n impar • es divisible por siendo n par • nunca es divisible por
Casos de factorización.
![Page 53: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/53.jpg)
Demostración:
se divide por:
y tenemos:
y obtenemos como respuesta:
)
![Page 54: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/54.jpg)
Ejemplos:
• x4 + z4 = x4 + z4/x + z
= x3 – x2z + xz2 – z3
x4 + z4 = (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3)
• m6 + n6 = m6 + n6/m + n
= m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5
m6 + n6 = (m + n)(m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5)
• b3 + c3 = b3 + c3/b+c
= b2 – bc + c2
b3 + c3 = (b + c)(b2 – bc + c2)
![Page 55: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/55.jpg)
Veamos algunos ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te aparecerán …
A trabajar !!
![Page 56: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/56.jpg)
Algunos ejercicios:
m3 + n3 =
x4 – z4 =
b2 + c2 =
f6 – g6 =
2x3 + z3 =
4m2 – 2n2 =
6x3 + 12n3 =
Suma o Diferencia de dos potencias iguales.
![Page 57: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/57.jpg)
Casos para Polinomios
Explicación: Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los
diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos.
Casos de factorización.
![Page 58: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/58.jpg)
Demostración:
resolviéndolo nos queda:
![Page 59: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/59.jpg)
Ejemplos:
• Factorizar: ax + bx + aw + bw
Agrupamos: (ax + bx) + (aw + bw)
Factor común en cada binomio: x (a + b) + w (a + b)
Factor común polinomio: (a + b)
Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)
• Factorizar: 2x2 - 4xy + 4x - 8y
Agrupamos: ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )
Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)
Factor común polinomio: (x - 2y)
Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)
![Page 60: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/60.jpg)
• Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n
Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )
Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )
Factor común polinomio: ( 2n + 8m )
Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)
![Page 61: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/61.jpg)
Veamos algunos ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te aparecerán …
A trabajar !!
![Page 62: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/62.jpg)
Algunos ejercicios:
mx + nx + mw + nw =
af + bf + ag + bg =
3x2 - 6xy + 3xy - 2y =
2m2 – 7my + 3m - 9y =
4x2 - 8xn + 2x – 6n =
4x+y + 10x+y + 4x8x + 4y8y =
2b+c + 8b+c + 3b8b + 3c8c =
Casos para Polinomios.
Ya estamos casi en el final sigue esforzándote por aprender queda muy poco!!…
![Page 63: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/63.jpg)
Relación con la Geometría
El cuadrado: Polígono de 4 lados iguales.
Sus segmentos se sacan ocupando la factorizacion de cuadrados perfectos.
Es decir, si el área de un cuadrado es:
A2 + 2ab + b2. ¿Cuánto será el valor de sus lados?
Área del cuadrado = lado2
a2 + 2ab + b = (a + b)(a + b) / factorizacion.
= (a + b)2
(a + b)
(a + b)
Casos de factorización.
![Page 64: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/64.jpg)
El rectángulo: Polígono de 4 lados. 2 y 2 lados iguales.
Sus segmentos se sacan factorizando su área por una diferencia de cuadrados.
Área rectángulo = base x altura
(a2 – b2) = (a + b)(a – b) / factorizacion.
Segmento 1= (a + b)
Segmento 2= (a – b)
(a – b)
(a + b)
![Page 65: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/65.jpg)
Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumínate conmigo.. Buena suerte!! En tu I parte de la prueba..
![Page 66: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/66.jpg)
Prueba Diagnostico: I parte.
Factorizar completamente cada polinomio:1. 2x2 - 12x + 102. 3x3 - 27x2 + 54x3. 4x2 - 32x + 604. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3
5. 4x2 - 30x + 146. 9y3 + 3y2 - 6y7. 20x3 - 5x8. 3x2 - 279. 2x3 - 1610. 24x3 + 3
Ver RespuestasCasos de factorización.
![Page 67: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/67.jpg)
Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:
1. 2x2 - 12x + 10 = 2(x - 5)(x - 1)
2. 3x3 - 27x2 + 54x = 3x(x - 3)(x - 6)
3. 4x2 - 32x + 60 = 4(x - 5)(x - 3)
4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3 = 2xy(x + 3y)(x - y)
5. 4x2 - 30x + 14 = 2(2x - 1)(x - 7)
6. 9y3 + 3y2 - 6y = 3y(3y - 2)(y + 1)
7. 20x3 - 5x = 5x(2x + 1)(2x - 1)
8. 3x2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)
9. 2x3 - 16 = 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)
10. 24x3 + 3 = 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
Atrás.
![Page 68: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/68.jpg)
Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumínate conmigo.. Buena suerte!! En tu II parte de la prueba..
![Page 69: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/69.jpg)
Prueba diagnostico: II parte.Factorizar completamente cada polinomio1. 2x2 - 12x + 10
2. 3x3 - 27x2 + 54x
3. 4x2 - 32x + 60
4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3
5. 4x2 - 30x + 14
6. 9y3 + 3y2 - 6y
7. 20x3 - 5x
8. 3x2 - 27
9. 2x3 - 16
10. 24x3 + 3Ver RespuestasCasos de factorización.
![Page 70: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/70.jpg)
Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:
1. 2x2 - 12x + 10 = 2(x - 5)(x - 1)
2. 3x3 - 27x2 + 54x = 3x(x - 3)(x - 6)
3. 4x2 - 32x + 60 = 4(x - 5)(x - 3)
4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3 = 2xy(x + 3y)(x - y)
5. 4x2 - 30x + 14 = 2(2x - 1)(x - 7)
6. 9y3 + 3y2 - 6y = 3y(3y - 2)(y + 1)
7. 20x3 - 5x = 5x(2x + 1)(2x - 1)
8. 3x2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)
9. 2x3 - 16 = 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)
10. 24x3 + 3 = 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
Atrás.
![Page 71: Modulo factorización](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062303/558c2689d8b42a29158b45a3/html5/thumbnails/71.jpg)
Integrantes: - Daniel Belmar. (3ºmA) - Germán Soto. (3ºmA) Fecha: 14 de Junio, 2005.