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5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014
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En fsica es de gran importancia laaplicacin de los vectores para describir unavariedad de fenmenos.
Para ello es imprescindible saberdescomponer rectangularmente a los vectores,
lo que a su vez exige un conocimientoadecuado de las razones trigonomtricas quetienen por caracterstica vincular los lados deun tringulo rectngulo.
Ejemplo: eltringulo mostrado
se puede
establecer elsiguiente con!unto
de razones
EL HOMBRE ES UNAMIRADA; EL RESTO ES SLOCARNE. PERO LA VERDADERAMIRADA ES LA QUE VE ALAMIGO. FUNDE TU CUERPO
ENTERO EN TU MIRADA, VETEHACIA LA VISIN, VETE HACIALA VISIN....
DYALAYALDINRUMI
EL HOMBRE ES UNAMIRADA; EL RESTO ES SLOCARNE. PERO LA VERDADERAMIRADA ES LA QUE VE ALAMIGO. FUNDE TU CUERPOENTERO EN TU MIRADA, VETEHACIA LA VISIN, VETE HACIALA VISIN....
DYALAYALDINRUMI
". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
Se llama razn trigonomtrica a la
comparacin por cociente de las longitudes de
dos lados de un tringulo rectngulo.
TRINGULO RECTNGULO.:
* A y B : ngulos agudos complementarios:
+ = 90 .
* Teorema de Pitgoras :a2
+ b2
= c2
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
a
bA
B
c
C
Hipotenusa":"ngulo
Cateto opuesto
al
":"ngulo
Catetoadyacente
al
-s, si un cuerpo est en equilibrio debido a la accin de tres fuerzas no paralelas,se debe cumplir que al descomponerlas rectangularmente, como muestra la 4gura, lasuma de las componentes, en cada e!e, debe ser cero.
A
37
B
AT
P
y
37
37SenTBBT
x37cosBT
O
1
5=a
12=bA
B
13=h
12
13;
5
13;
5
12;
12
5;
13
12;
13
5
A
ac
C
B
b
:.1 Catetos ba y
:.2Hipotenusa c
:donde ac> bc>
56
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
Naci en Sa!". A#n$#e n! "e %!"een &a'!" cie('!" &e "# )i&a, %a(ece $#ee"'#)! en c!n'ac'! c!n "ace(&!'e" e*i%ci!" $#e a*#&i+a(!n "# in'e(" %!( -ae"%ec#-acin a'e'ica. S# a#'n'ic! in'e(" (a&ica en "e( e- /#n&a&!( &e #na
"ec'a 0"'ic!1(e-i*i!"a ca(ac'e(i+a&a %!( "# &e&icacin a- e"'#&i! &e -a"a'e'ica" 2 %!( %(ac'ica( #n 'i%! &e )i&a c!#ni'a(ia &e /#e('e" (e"!nancia"(/ica".
La a%!('acin /i-!"/ica &e Pi'*!(a" e" in"e%a(a3-e &e- c!n4#n'! &!c'(ina-$#e --aa!" %i'a*!(i"!. Se -e a'(i3#2e -a in)encin &e -a 'a3-a &e #-'i%-ica(,&e- "i"'ea &ecia-, &e -a" %(!%!(ci!ne" a(i''ica" 2 &e- 'e!(ea $#e --e)a "#n!3(e.
C!n"i&e(a&! e- %(ie( a'e'ic!. Pi'*!(a" /#n& #n !)iien'! en e- "#(&e -a ac'#a- I'a-ia, en e- "i*-! VI a.C. $#e en/a'i+ e- e"'#&i! &e -a"a'e'ica" c!n e- /in &e in'en'a( c!%(en&e( '!&a" -a" (e-aci!ne" &e- #n&!na'#(a-. S#" "e*#i&!(e", --aa&!" %i'a*(ic!", /#e(!n -!" %(ie(!" en /!(#-a(-a 'e!(0a $#e &ec0a $#e -a Tie((a e" #na e"/e(a $#e *i(a en '!(n! &e- "!-.
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
El valor de las razones trigonomtricas
de ngulos agudos, se determinan en un
tringulo rectngulo, estableciendo la divisin
entre las longitudes de sus lados tomados de
dos en dos y con respecto a uno de sus ngulosagudos.
7 -3ora considerando al ngulo #8( , setendr que:
DEFINICIN NOMBRE
%eno de9anda
oseno de9anda
)angentede 9anda
otangentede 9anda
%ecante de9anda
osecantede 9anda
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
a
bA
B
c
C
Hipotenusa":"ngulo
Catetoopuesto
al
":"nguloCateto adyacente
al
Nota:
Los valores de las seis razones
trigonomtricas dependen nicamentede la medida del ngulo y no de las
longitudes de los lados del tringulo
rectngulo.
hipotenusaladeLongitud
aopuestocatetodelLongitudSen
...
..... =
hipotenusaladeLongitud
aadyacentecatetodelLongitudCos
...
..... =
..,..
.....
aadyacentecatetodelLongitud
aopuestocatetodelLongitudTg =
.....
.....
aopuestocatetodelLongitud
aadyacentecatetodelLongitudCtg =
.....
...
aadyacentecatetodelLongitud
hipotenusaladeLongitudSec =
.....
...
aopuestocatetodelLongitud
hipotenusaladeLongitudCsc =
a
bA
B
c
C
Hipotenusa
":"ngulo
Catetoopuesto
al
":"ngulo
Catetoadyacente
al
5;
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Existe la necesidad de recordar losvalores que tienen las tres razonestrigonomtricas ms empleadas entrigonometra como son: el seno, el coseno < latangente.
=n modo bastante sencillo de recordarlos valores de las razones trigonomtricas deun grupo de ngulos llamados notables, es
mediante una regla mnemotcnica conocidacomo la regla de la raz, que consiste en listarlos ngulos de 55, a >55< los n?meros naturalesde 5 a @ seg?n como se indica en la imagen.-s el seno de A55es:
TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES.: Son aquellos tringulos rectngulos, donde
conociendo las medidas de sus ngulos agudos, se puede saber la proporcin existente entre sus
lados. Van a destacar los siguientes tringulos.
8 ; 15 ; 16 ; 30 ; 37 ; 45 ; 53 ; 60 ; 74 ; 75 ; 82 ; etc.
". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
OBSERVACIN!!!
Para todo ngulo agudo #( se cumplirque:
Entre los tringulos rectngulos notables
ms comunes, tenemos:
El 1ro es un tringulo rectngulo
issceles, el 2do es el que se obtiene de dividir
un tringulo equiltero y el 3ro. Es el famoso
Tringulo Rectngulo Pitagrico caracterizado
por que sus lados son proporcionales a tres
nmeros naturales consecutivos.
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
c
aSen =
c
bCos =
baTg =
abCtg =
b
cSec =
a
cCsc =
10 Cos0>Tg 1>Sec
3
45
45
60 37
53
30
2k
k
k k2
k
3k k5
k4
k3
5@
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
De los tringulos rectngulos anteriores se
obtiene:
30 60 37 53 45
Sen
Cos
Tg
Ctg
Sec
Csc
OBSERVACIN!!!
Una forma prctica para calcular las razones
trigonomtricas de la mitad de un ngulo agudo
es la siguiente: Partimos de un tringulo ABC
(recto en C). Si queremos las razones
trigonomtricas de (A/2) entonces prolongamos
el cateto hasta un punto D tal que:
ABAD= Luego el tringulo BAD es issceles,
7 Por lo tanto:a
bcACot
+=2 .
7 e donde:
7 -nlogamente:
Sobre la base de los tringulos anteriores se
pueden construir otros, de relativa importancia,
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
2
1
2
3
2
3
32
3
3
3
2
3
2
1
33
3
2
3
32
3
5
4
5
34
4
35
4
5
3
5
4
5
3
43
3
4
4
5
3
5
2
2
2
2
2
2
1
1
TR.
CA
2/ABDA=
a
bA
B
c
C
a
b
a
cACot
+=2CotAA
ACot
+=csc
2
abc
bcaA
Tg =+
=2
CotAAA
Tg = csc2
k10
30182/37 =
k3
kk25 74
16
k24
k7
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TENEMOS LA VIRTUD, QUE AVECES ES DEFECTO, DE LAGENEROSIDAD EN EL MOMENTO DELTRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DEQUE AQUEL QUE HA SIDOPROVISIONALMENTE, INTERPRETALA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD,5 APROVECHAR6 LA SITUACINPARA INVERTIRLA.
PABLO MACERA
TENEMOS LA VIRTUD, QUE AVECES ES DEFECTO, DE LAGENEROSIDAD EN EL MOMENTO DELTRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DEQUE AQUEL QUE HA SIDOPROVISIONALMENTE, INTERPRETALA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD,5 APROVECHAR6 LA SITUACINPARA INVERTIRLA.
PABLO MACERA
". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
para obtener de ellas sus Razones
Trigonomtricas.
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
k2
30222/45 =
k22+
k223063
k5
30262/53 =k2
k
k4 54
36
( )k15+
( )k5210
( )k26+
k4( )k26
15
75
82
8
k25
k7
k
#$o te regoci!es cuando caetu enemigo < no de!es que tucorazn se alegre cuando tambalea.%i tu enemigo tiene 3ambre, dale
de tu pan, < si tiene sed compartetu agua con l(
Notas Importantes!
9os valores de las razonestrigonomtricas son cantidades adimensionalesB es decir, sonn?meros reales.
%i se conoce el valor de una razntrigonomtrica de un ngulo agudoentonces se puede calcular el valorde las otras cinco razonestrigonomtricas.
9os valores de las razonestrigonomtricas no dependen deltama&o de los lados de un tringulorectngulo las /.) dependen slodel ngulo.
( ) realroL
LTR ...
2
1 ==
h
ocSenSi
.
5
3: ==
5
4=Cos
4
3=Tg
3
4=Ctg
3
5=Csc
4
5=Sec4=x
53
5*
k
k4k17
76
14
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CMO DEMOSTRAR CUALQUIERCOSA
Be('(an& R#""e-- e"'a3a '(a'an&! "!3(e
-!" en#ncia&!" c!n&ici!na-e" 2 "!"'enien&!$#e #n en#ncia&! /a-"! i%-ica c#a-$#ie(c!"a, '!&!. Un /i-"!/! e"c%'ic! -e%(e*#n'7
8Q#ie(e #"'e& &eci( $#e "i 9 : 9
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bC aD
c
bC aD
c
". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
* En la figura que se muestra:
< : Son ngulos complementarios
( + = 90), hemos nombrado al ngulo
opuesto al cateto b como y el ngulo
opuesto al cateto a como en consecuencia:
Debido a estas relaciones las razones:
* Seno y Coseno ; Tangente y Cotangente ;
Secante y Cosecante. Se llamanco-razones
t
rigonomtricas una de la otra respectivamente.
Cumplindose: (Teorema de Pitgoras)
e4nimos con respecto a :
3
ac!""en == sen C cos F>5G H
I
c
ac!''an == tan C cot F>5G H
I
c
3c"c"ec == sec C csc F>5G H
I
TEOREMA:
La razn trigonomtrica de un ngulo arco,equivale a su co-funcin o co-razn del
complemento del ngulo o arco dado.
Por ejemplo:
6.sen 5G C cosJ5G 5G D
J5G C >5G
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
c
aSenA =
c
aCosB= de"s 90=+BAy
!alores iguales
Cosc
bSen == Sen
c
aCos ==
Ctga
bTg == Tg
b
aCtg ==
Csca
cSec == Sec
b
cCsc ==
K-
ba
c
%uman
5J
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado . tg65G C ctg L5G 65G D
L5G C >5G
;.csc 6LG@*M C sec J6G6*M
6LG@*MD J6G6*MC >5G
1.En un ABC, recto en A y de rea S,
hallar el valor de la expresin P en funcindel rea:
Resolucin:
Reduciendo:
2.Si Tg = 0,75 y es un ngulo agudo.
Calcular:
Solucin:
Reemplazando en la expresin R, tenemos:
3.Se tiene un ABC recto en C. Si se
cumple que: Sec A.Sec B = 2.Tg A . Tg.B.
Calcular: Tg.A.
Igualando (1) y (2)
Nos Piden:
4.De la siguiente figura, calcular x.
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
( )BSenBCos
CSenTgBbcP
22
222..
=
b
cB
C
a
A
( ) ( )
( )2
22
2
22
2
2
2
2
2
222 ....
a
bc
a
cbbc
a
b
a
c
a
c
c
bbc
P
=
=
==
2
..2.
cbcbP
SP .2=
CtgCsc
CosSenR
+
=
4
3
100
75: ==TgCo"o
ac
oc
.
.
3
4
3
55
4
5
3
+=R
5
21=R
a
bA
B
c
C
a
b
b
a
a
c
b
cDato ..2. ==
)2......(: 222
cbaco"o =+
baba .222 =+
0.2 22 =+ bbaa
( ) 02 = ba ba=
b
aATg =.
a
aATg =. 1. = ATg
)1......(..22 bac =
x
4530
B C
D
A "12
5L
-
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
Resolucin:
De la figura: BC = x
En el ACD:
Resolviendo la ecuacin, obtenemos:
5.Determinar los lados de un tringulo ABC,
recto en A, sabiendo que : 43=SenB y
a + b = 28
Solucin:
Por Pitgoras:
Reemplazando valores de a y b, tenemos:
6.Si: Tg = 0,666 Hallar el valor de:
Resolucin:
Por Pitgoras:
Reemplazando en la expresin:
7.Resolver: Sen(6x 36) Cos(2x + 46) = 0
Solucin:
8.Resolver:
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
x
xTg
+=
1230
x
x
+=
123
3
( )136 +=x
C
ab
A
B
c
2843* =+ kk 4=k
16=a12=b:Luego
222 cba +=
222 1216 c+= 74=c
6
1= R
3
2
9
6: ==TgDato ac
oc
.
.
222 32 +=x
13=x
2
2
132
3
2
+=# 8=#
4
3=
a
b
ka
kb
4
3
==
N3
x2
( ) ( )462366 += xCosxSenCon el :dato
:Co"o ( ) ( ) .... TRCOTR =
90=+
( ) ( ) 90462366: =++ xxLuego
808 =x
10=x
45.45.3030.45.60 TgxCosCosCtgxSenCos +=+
5>
-
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
Resolucin:
Recuerde las R.T de los ngulos notables!
9.Si: es un ngulo agudo y:
Solucin:
Luego:
10.
Resolucin:
Cumple que:
Reemplazando el valor de x en M:
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
1.2
2.
2
33.
2
2.
2
1xx +=+
1.4
63.
4
2xx +=+
)13(4
2)13.( =x
4
2=x
4545
4545.2
CtgCsc
TgCosTg
+
=
CosSenRCalcular .: =
12
12
22
+=Tg
12
12
+
=Tgac
oc
.
.
12
6=$12+
( ) ( )222 1212* ++=x
332 +=x
6=x
+=
6
12.
6
12R
6
1=R
( ) ( )xTgTgxxCosSi =+ 90..252.2:
2
33: x
CosxTg%Calcular =
:.datoPor ( ) CtgxTgxxCos .252.2 =+
( ) 22
52 =+xCos
( ) 4552 =+x
20=x
2
33
xCosxTg% =
3060 CosTg% =
2
33=%
2
3=%
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
11.Resolver:
Solucin:
Igualando los ngulos dados, tenemos:
12.Calcular:
Resolucin:
13.En un tringulo ABC recto en B, la
hipotenusa mide 20 m; adems se tiene que
Tg A = 4.Tg C. Hallar el rea del tringulo.
Solucin:
Por teorema de Pitgoras:
14.En un tringulo rectngulo ABC, recto en B
se cumple: 3.Sen A = 2.Sen C. Calcular el
valor de la tangente del menor de sus
ngulos agudos.
Resolucin:
Dibujamos un tringulo, recto en B.
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
( ) ( ) 110.803 =+ xCscxSen
( ) ( ) 1..... = TRCoTR
=
( ) ( )10803 += xx
902 =x 45=x
80.10.2
75.15
CscCos
SenSen%=
8010: SenCosCo"o =
32
2622
=% 32
4
=%
8
1=%
80.80.2
4
26.
4
26
CscSen%
+
=
1
A
C
B
ca 2= 20
c
a
c
c
aDato .4: =
22 .4ca =
ca .2=
( ) 222 202 =+ cc 5.4=c
5.8: =aLuego
( ) ( )2 54.58=&rea 280"&rea=
ab
A Bc
C
65
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
Se sabe que:
Reemplazando:
Luego se cumple que:
A menor lado, se opone menor ngulo,
luego: el menor ngulo ser A.
15.En un tringulo rectngulo, el rea de su
regin triangular es 270m2
. Calcula su
permetro si la cosecante de uno de sus
ngulos agudos es 2,6.
Sea el ngulo agudo, tal que:
16.Del grfico mostrado, calcular Sen .
Solucin:
Trazamos AD y se forma el tringulo
issceles ADC (AD = DC = 8 ), en el
tringulo rectngulo ABD, calculamos AB
por el teorema de Pitgoras, anlogamente
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
SenCSenA .2.3 =
bc
ba .2.3 =
ca .2.3 =
ka 2= kc 3=
k2
A Bk3
C
( ) ( ) kkk 1323 22 =+
k
kTgA
3
2=
3
2=TgA
Pordato sabe"os elrea( ) 2270. "esS
( ) ( )270
2
512==
kkS 540.60 2 =k
3=k
92 =k
ospiden elper'"etro ( ):2p
kkkp 131252 ++= kp .302 =
( )3.302 =p
902 = p
A
B
C
8
1
D
#
A
B
C
8
1
D
#
8
12
73
k13k5
)(12 Pitgorask
5
136,2 ==Csc
oc
h
k
k
.5
13=
66
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14/137
". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
en el tringulo ABC calculamos AC,
resultando:
Finalmente en el ABC:
17.Del grfico mostrado, calcular tan x.
Resolucin:
Si trazamos el radio OD observamos que el
ngulo AOD tambin midex(por teorema
ngulo exterior de un cuadriltero). En el
tringulo rectngulo ADO calculamos AD
aplicando el Teorema de Pitgoras,
resultando:
En el ADO:
18.De la figura mostrada Calcular:
Solucin:
Damos valores a los lados AD, DB y BC.
As mismo reconocemos que el ngulo BDC
es exterior al ADC.
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
12
9=Sen
4
3= Sen
( )
( )
++
Ctg
Tg
D
C
A
B
+"
"
+
( )"
nTg =+
3
10.2. =xTg
D
C
A
B
6
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5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014
15/137
". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
DBC:
ABC:
Reemplazando en la expresin pedida:
19.Si:
Calcular:
Reemplazando los correspondientes valores
de x y y en la expresin dada, se obtiene:
20.Del grfico mostrado, calcular sabiendoque: 3.BD = AD.
Solucin:
Trabajando en el tringulo notable ABC y
reemplazando los datos correspondientes,
tendremos:
Trabajando el lado AB, tenemos:
En el tringulo DBC, tenemos:
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
( )"
nCtg
2=+
( )
( ) n"n"
"n"n
CtgTg
.
..2
2
==+
+
( )( )
2=+
+
Ctg
Tg
( ) CtgySenxTgyCosxyx( ..32.3.4; ++=
( )45;60: (Calcular
( ) 45.60.3245.360.445;60 CtgSenTgCos( ++=
( ) ( ) 1.2
3.321.3
2
1.445;60 ++
=(
( ) 33245;60 ++=(
( ) 845;60 = (
A B
C
D
10
37
84 == xAB 2=x
6
2
6==
xTg
3
1= Tg
A B
C
D
10
37xx3
6
8
-
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
21.Si ABCD es un cuadrado, calcular Tg .
En el ADF es notable, trazamos la altura
EH, determinndose el BHE.
22.Determinar segn el grfico mostrado.
Los tringulos ADB, ADE y EDC son
notables y les asignamos valores adecuados
a sus lados.
Calculamos Tg en el BDC, As:
Racionalizando, tenemos:
23.Determinar los ngulos agudos y ,
si se verifica que:
Resolucin:
A continuacin resolvemos el sistema:
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
A
CB
D
)
#
37
a
aTg
4
5=
:BH#el#n
4
5= Tg
Tg
A
B C
D
#
)
Ha637
a4
a5
a5
a8
a3
a5
37
#
D C
B
A
30
3745
3.3a
Ca4a3
a6
a3
#
D C
B
A
30
3745
3..3
.4
a
aTg =
3.3
4=Tg
9
3.4= Tg
( ) ( ) = 90353 CtgTg 152 =
( ) ( ) = 90353: CtgTgSi
353: = ndoSi"pli(ica
9090353 =+
6;
-
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
24.Si se cumple que:
Calcular el valor de:
Solucin:
Transformamos a su respectiva co-razn:
Reemplazando en la condicin, tenemos:
Reemplazamos en la expresin que nos
piden calcular:
Identificamos las co-razones:
Reemplazando, tenemos:
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
152
353
==
:.dondeDe 17= 16=
( ) ( ) ( )xTgyTgxCtg =++ 6020.30
( ) ( )
( )10
20.50
+++=
xyCosyCosyxSen
#
( ) ( )3060 += xCtgxTg
( ) ( ) ( )xTgyTgxCtg =++ 6020.30
( ) ( ) ( )3020.30 +=++ xCtgyTgxCtg
( ) 120 =+yTg
( ) 4520 CtgyTg =+
( ) 4520 =+y
25= y
( ) ( )
( )10
20.50
+++=
xyCosyCosyxSen
#
( ) ( )xCosxSen =+ 1575
( ) ( )
( )xCosCosxSen
#
+=15
45.75
45Cos#=
2
2=#
( ) ( )
( )
( )
( )xCos
CosxCos
xCos
CosxSen#
=
+= 15
45.15
15
45.75
RenDescartes(1596-1650)
Naci de una familia francesa noble en
la Turena Francia. Los aportes que
realiz a la matemtica fueron en el rea
de estadstica y probabilidades.
Se recuerda sobre todo a este francs
etraordinario por su in!encin de la
"atemtica. #ero su lo$ro ms notable
fue la reduccin de la Naturaleza a leyes
matemticas.
%&onsiderada que no s nada de Fsica si
tan slo fuese capaz de epresar cmo
deben ser las cosas' pero fuese incapaz
de demostrar que no pueden ser de otra
manera.
No obstante' (abiendo lo$rado reducir laFsica a las "atemticas' la
demostracin es entonces posible' y
6@
-
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37
B
5x-2
6x-1A
C
9x -3 8x+12
14
". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
1.En el triangulo mostrado calcular la longitud
de BC.
A) 10u
B) 13u
C) 15u
D) 16u
E) 17u
2.Calcular la longitud del lado CD ; si BC=CE
A) 3u
B) 4/3 u
C) 4/25 u
D) 25/4 u
E) 25/2 u
3.Determinar el rea de la regin triangular
PQR
A) 90 u
B) 94.5 u
C) 92.5 u
D) 95 u
E) 95.5 u
4.De la figura mostrada calcular el lado AB : si
=31
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5.Del grafico ,determinar el valor de x
A) 4
B) 7/6
C) 6/7
D) 6
E) 57
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
6*
-
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
6.En un triangulo ABC (recto en C) los catetos
miden 10u y 24u respectivamente, calcular
el permetro de dicho triangulo.
A) 30 u B) 50 u C) 40 u
D) 70u E) 60 u
7.Una escalera recta rgida esta apoyada en
una pared y forma con la horizontal un
ngulo de 60 , el pintor mueve la escalera
bajando un metro su punto de apoyo en la
pared . ahora el ngulo entre al escalera y el
piso se 45 aproximadamente. Calcular la
longitud de la escalera.
A)3 +2 B)3 2 C)3
D)2(2 +3) E)2(3 +2)
8.Del grfico calcular LN, si: BC=16m y
AN=NC
A) 122 B) 82 C) 62
D) 10 E) 102
1. Indicar lo incorrecto:
a) sen20 = cos70
b) tg10 ctg10 = 1
c) sec(x + 40) = csc(50 - x)
d) tg(x + y) ctg(x + y) = 1
e) tg20 = ctg20
2. Seale el valor de x
Si: sen2x csc40 = 1
a) 10 b) 5 c) 15
d) 20 e) 40
3. Sabiendo que tg5x ctg(x + 40) = 1Calcular: cos3x
a) 1 b)9@
c)2
2
d) 3 e)?9
4. Hallar x
Si: cos(3x 12) sec(x + 36) = 1
a) 12 b) 24 c) 36
d) 48 e) 8
5. Determine x en:
Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira
Ejercicios deEjercicios deAplicacinAplicacin
Ejercicios deEjercicios deAplicacinAplicacin
-
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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado
Sen(3x + 25) csc(x + 35) = 1
a) 5 b) 8 c) 10
d) 15 e) 20
6. Calcular:
E = (7tg10 - 2ctg80) (ctg10 + tg80)
a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8
7.
50csc
40sc3
70
202
80cos
10: +=
ctg
tgsen#Calcular
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
8. Si: sec7x = csc4x. Calcular:
ABc'*
A?'*
A@Cc!"
"enA9E
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2
9. Si: x e y son complementarios
adems:
??D'*A 29c'* =
Calcular:
29"ec9
A"en9E
=
a) 1 b) 3 c) 3/2 d) 5/2 e) 4
10.Calcular: cos(x + y)
Si:sen(x 5) .csc(25 - x) = 1
Sen(y + 10) = cos(y + 20)
a) 9 b) 99
c)
9
@
d)