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Introduccin
El centroide y los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para determinar la resistencia y
deformacin de elementos estructurales tales como vigas y columnas, ya que definen las caractersticas
geomtricas de la forma y tamao de la seccin transversal de los elementos estructurales. Por ello a
continuacin se establece la definicin y forma de determinar el centroide y los momentos de inercia.
Para precisar la ubicacin del centroide y valorar los momentos de inercia primero se definen y
establecen para reas simples, luego se indica la forma de calcularse en reas compuestas adems se definen
otras propiedades geomtricas que son funcin del centroide y los momentos de inercia.
Centroide
Definicin
El peso de un objeto generalmente se representa por el peso total aunque la realidad sugiere que debe
ser representado como un gran nmero de diferenciales de peso distribuidos en todo el objeto. Un sistema
equivalente al planteado consiste en determinar el peso total o resultante de todos los diferenciales de peso
donde la ubicacin de la resultante es un nico punto denominado centro de gravedad.
El centro de gravedad es el punto de aplicacin en un cuerpo rgido de la resultante de las fuerzas
donde los efectos sobre el cuerpo no varan. En el caso de superficies homogneas, el centro de gravedad se
sustituye por el centroide del rea, el cual considera las reas de los elementos en vez de los pesos y las
expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:
=== ydAAyxdAAxdAA ;; (1)
Figura 1. Centroide del reaAy coordenadas de una parte del reaA(Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros(Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Centroide de reas compuestas
En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras
comunes (rectngulo, triangulo, circunferencia etc..). Esta forma de anlisis es til y permite determinar el
centroide de cualquier superficie segn:
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2
===
i
ii
i
ii
iA
Ayy
A
AxxAA ;; (2)
Los centroides y el rea comn se obtienen de la aplicacin de frmulas para reas comunes como los
indicados en la tabla del apndice.
Figura 2. Subdivisin de un rea (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer , F. y Johnston, E.,1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Teorema de Pappus-Guidin
Una superficie de revolucin es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por
ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de
revolucin que son obtenidos al girar un rea con respecto de un eje fijo.
Teorema I
El rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia
recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie.
Teorema IIEl volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generadora por la distancia recorrida por el
centroide del rea al generar el cuerpo.
Momentos de Inercia
Definicin
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto y es proporcional a
la ubicacin del rea asociada. Adicional al centroide tenemos el momento de inercia que adems depende de
la distancia que est el rea a un eje dado.
Figura 3. Esquema de Momento de Inercia (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston,E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
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El momento de inercia es una propiedad geomtrica (similar al rea) de una superficie o rea que
representa cuanta rea est situada y que distancia est con respecto a un eje dado. Se define como la suma de
los productos de todas las reas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene
unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud
4
). Es importante para el anlisis de vigas y columnas,porque el diseo del tamao de estos elementos est relacionado con el momento de inercia debido a que
define la forma apropiada que debe la seccin del elemento estructural. (Beer y Johnston, 1977; Das,
Kassimali y Sami, 1999; Parker y Ambrose, 1995)
Dada la definicin de momento de inercia, esta se expresa segn la Ecuacin 3.
== dAxIdAyI yx22 ; (3)
Momento de Inercia de franjas diferenciales
Al desarrollar la ecuacin = dAyIx2
para una figura rectangular, es segn la Figura 4 y respecto a
la base del rectngulo, la siguiente:
h
y
b
dy
Figura 4. Momento de Inercia de un rea rectangular
33;
3
0
3
0
22 bhI
ybIdybyIbdyydIbdydA x
h
x
h
xx ===== (4)
Figura 5. Esquema de elemento diferencial de inercia. (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F.y Johnston, E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
La anterior ecuacin se desarrolla para un elemento diferencial segn la Figura 5 y permite obtener el
momento de inercia de un rea cualquiera al ser integrada.
== dxyIdxydI xx33
3
1
3
1 (5)
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== ydxxIydxxdI yy22
(6)
Otras propiedades geomtricas relacionadas con el Momento de InerciaAdems del rea y el momento de inercia se tiene otras propiedades geomtricas tiles para establecer
la seccin transversal de un elemento estructural y estn relacionados con el rea y momento de inercia, estas
propiedades son:Momento Polar de Inercia,Radio de Giro yMdulo de Seccin.
Momento polar de inercia
El momento polar de inercia es una propiedad importante para las secciones relacionadas con ejes
cilndricos, polares adems de elementos sometidos a torsin y se define segn la Ecuacin 7.
yxOO IIJdArJ +== 2
(7)
Figura 6. Momento Polar de Inercia (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E.,1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Radio de giro
El radio de giro es una propiedad que se obtiene de considerar el rea concentrada en una franja
paralela a un eje con un espesor diferencial, el radio de giro representa la distancia del rea transformada para
que tenga el mismo momento de inercia respecto a eje dado (vase Figura 7). El radio de giro es til en el
diseo de columnas y se determina segn la Ecuacin 8 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali, y Sami,
1999).
Figura 7. Radio de giro. (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogot,Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
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A
Jr
A
Ir
A
Ir OO
y
yx
x === ;; (8)
Mdulo de seccin
El mdulo de seccin se define como la relacin del momento de inercia respecto a la distancia de la
fibra ms alejada al eje neutro1, esta propiedad es til en el diseo de vigas y se determina segn la Ecuacin
9 (Parker y Ambrose, 1995).
y
IS xx = ;
x
IS
y
y = (9)
Y
x
CIx
Iy
Figura 8. Modulo de Seccin
Momento de inercia de reas compuestas
Para establecer los momentos de inercia de reas compuestas, se debe considerar que el momento de
inercia vara segn el eje que se considere, por ello previamente se define el teorema de ejes paralelos quevalora el momento de inercia de una seccin con respecto a un eje cualquiera una vez conocido el momento
de inercia con respecto al eje centroidal.
De esta forma se establece el valor de la inercia de un rea compuesta al relacionar el momento de
inercia centroidal de cada rea simple con respecto al centroide del rea compuesta.
Figura 9. Esquema del Teorema de los Ejes Paralelos (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. yJohnston, E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Teorema de los ejes paralelos
Cuando se combinan superficies, los momentos de inercia de cada rea requieren de la transmisin del
momento de inercia al nuevo eje centroidal del rea compuesta, esta se logra mediante el Teorema de los ejes
paralelos o Teorema de Steiner, donde el momento de inercia con respecto a una eje dado es igual al
1 Distancia que es igual a la longitud de la fibra al centroide.
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momento de inercia con respecto al eje centroidal paralelo al eje dado ms el producto del rea multiplicado
por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
2AdII += ; 2drr += ; 2AdJJ
CO+= (10)
Areas compuestas
Un rea compuesta se puede subdividir en varias reas comunes cuyas expresiones de momento de
inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del rea compuesta es igual a la suma de los
momentos de inercia de cada rea comn, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismo
eje; para ello se emplea el teorema de los ejes paralelos.
=
=n
i
ejeeje iII
1
(11)
C
A1
A2
A3xc1
xc3
xc2
Figura 10. Clculo de Inercia de reas compuestas.
En la Figura 10 se observa un rea subdividida en tres figuras simples donde para determinar el
momento de inercia centroidal (eje horizontal c), es igual a la suma de los tres momentos de inercia referidos
al mismo eje c, por lo tanto previo a la aplicacin de la Ecuacin 11 es necesario aplicar la Ecuacin 10 para
relacionar el momento de inercia centroidal de cada una de las reas que la componen (ejes xc1,xc2,xc3) al eje
c.
Referencias
Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I). Bogot,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.
Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica. Mxico D.F,
Mxico: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniera simplificada para Arquitectos y Constructores. Mxico
D.F, Mxico: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
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Apndice
Centroides y Momentos de Inercia de Figuras comunes
Forma x y Areax
I y
I
Rectngulo
2
B
2
H
BH
12
3BH
12
3HB
Triangulo
3
H
2
BH
36
3BH
3
B
3
H
2
BH
36
3BH
36
3HB
Circulo
2
D
2
D
4
22 Dr
=
4
4r
4
4r
MedioCirculo
2D
34r
2
2r
42
72
649r
8
4r
CuartoCirculo
3
4r
3
4r
4
2r
42
144
649r
42
144
649r
Media elipse 0
3
4b
2
ab 3
2
72
649ab
8
3ba
Cuarto de
elipse
3
4a
3
4b
4
ab 3
2
144
649ab
a32
144
649
Parbola 0
5
3h
3
4ah
175
16 3ah
15
4 3ha
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Centroides y Momentos de Inercia de Figuras comunes
Forma x y Areax
I y
I
Media
parbola
8
3a
5
3h
3
2ah
175
8 3ah
480
19 3ha
Extracto
parablic
o 4
3a
10
3h
3
ah
2100
37 3ah
80
3ha
Extractos
de forma
generala
n
n
2
1
+
+
hn
n
24
1
+
+
1+n
ah
( )( )( )2
32
121312
147
++
++
nn
ahnn
( )( )23
23 ++ nn
ha