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Universidade Federal de Minas GeraisInstituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática
Caracterização dos Números que se Comportam como Primos em Alguns
Subconjuntos dos Inteiros Gaussianos (Z[i])
Aldo Correia SaldanhaAgosto – 2011
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1 - Histórico e Objetivo
O presente trabalho tem início em fins de agosto de 2009, em um exercício proposto em sala de aula na disciplina Álgebra I dessa Pós- Graduação.O exercício proposto era determinar quais são os números que se comportam como números primos no conjunto dos números pares.O problema foi resolvido e generalizado para qualquer conjunto de múltiplos de números primos no conjunto dos números Naturais.
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Manuscrito com parte do enunciado da solução do problema inicial.
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Manuscrito com parte da demonstração do problema inicial.
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Um número p se comporta como primo em k.N quando o número de divisores de p em k.N, com quociente em k.N, é igual ao número de divisores de um número primo em N, ou seja, dois divisores.
k Primos em k.N Divisores do menor primo em k.N
2 8, 12, 20, ... 2, 4
3 18, 27, 45, ... 3, 6
5 50, 75, 125, ... 5, 10
7 98, 147, 245, .. 7, 14
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Enunciado do primeiro teorema da monografia
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Enunciado do principal teorema da monografia
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O conjunto onde trabalharemos, conhecido como Conjunto dos Inteiros Gaussianos, tem esse nome porque foi feita uma homenagem a um grande matemático de nome Johann Friederich Gauss. Johann Friederich Gauss ( 1777 – 1855 ) nasceu em Burnswick, Alemanha e foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Sua preferência, no universo da matemática, está sintetizada na seguinte frase:
A MATEMÁTICA É A RAINHA DAS CIÊNCIAS E A ARITMÉTICA É A RAINHA DA MATEMÁTCA.
2 – Conjunto dos Inteiros Gaussianos
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Anel dos Inteiros Gaussianos
• O conjunto dos Inteiros Gaussianos possui uma estrutura algébrica conhecida como Anel .
• A teoria dos Anéis é um dos principais assuntos do vasto campo da Álgebra Abstrata.
• Gauss contribuiu para o desenvolvimento da teoria estudando os inteiros algébricos.
• A teoria dos Anéis foi muito desenvolvida no final do século XIX e início do século XX.
• A noção abstrata de Anel foi introduzida na segunda década do século 20.
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Definição de AnelSejam A um conjunto e ( + ) e ( . ) duas operações em A, chamadas de adição e multiplicação. A terna ( A , + , . ) será chamada de Anel se as operações gozarem das seguintes propriedades:
ADIÇÃO• A1 – A Adição é Associativa
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se a + ( b + c ) = a + ( b + c )
• A2 – A Adição é Comutativa
Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a + b = b + a
• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Adição
Existe z є A tal que z + x = x , para todo x є A
• A4 – Existência do Elemento Simétrico para a Adição
Para todo a є A, existe a’ є A tal que a + a’ = z
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MULTIPLICAÇÃO• A1 – A Multiplicação é Associativa
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se ( a . b ) . c = a . ( b . c )
• A2 – A Multiplicação é Comutativa
Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a . b = b . a
• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Multiplicação
Existe e є A, e ≠ 0 tal que e . x = x , para todo x є A
DISTRIBUTIVIDADE
• AM – A Multiplicação é distributiva com relação à Adição
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se
a . ( b + c ) = a . b + a . c
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Definição de IDEAL
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Definição de Elemento PRIMO
Um elemento p não nulo e não invertível de um Anel A é dito primo, se toda vez que p divide o produto de dois elementos de A, p divide um dos fatores.
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Definição das Operações de Adição e Multiplicação no Conjunto dos Inteiros Gaussianos ( Z[i] )
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Além de Anel, Z[ i ] é um Domínio de Fatoração Única ( DFU ).
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Função Norma
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Caracterização dos Elementos Invertíveis em Z[ i ]
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3 – Números Primos em Z[ i ]
Considerações Preliminares
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Caracterização dos Números Primos em p.Z[ i ]
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