Mécanique Analytique
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MOUVEMENTS PARALLELES A UN PLAN
Définitions
Centre Instantané de Rotation (C.I.R.)
Détermination des champs de vitesses
Détermination du C.I.R.
Détermination graphique des vecteurs vitesses
Base et roulante
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CENTRE INSTANTANE DE ROTATION (1)
Le vecteur de rotation instantané est constamment dirigé perpendiculairement au plan du mouvement
ω
'z
'y
'x
y''
x
'z
x''
z
'y 11.
dt1d11.
dt1d11.
dt1d
+
+
=ω
01.dt1d
et 0dt1d :avec '
z
'y
'z ==
x
y
z
(fixe)
x1y1
z1
x'
y'
z'
'1x
'1y'1z
O A
(mobile)
ω
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CENTRE INSTANTANE DE ROTATION (2)
Le mouvement instantané général du solide est un mouvement hélicoïdal
Centre Instantané de Rotation (C.I.R.) = intersection de l'axe de rotation instantané et du plan de mouvement :
En particulier :
0vI =
:solideP∈∀
IPxv
IPxvv
P
IP
ω=
ω+=
QPxv 0k(t) ,Ici
QPx)t()t(kv
p
p
ω=⇒=
ω+ω=
A
B
A'
B'
I
'Av 'Bv
Av
Bv
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DETERMINATION DES CHAMPS DE VITESSES (1)
Si deux points A et B sont fixes, à l'instant t, tous les points sont fixes à cet instant.
Si deux points A et B ont des vitesses équipollentes, différentes de zéro, à l'instant t, tous les points ont la même vitesse à cet instant.
0APxv
0)t( AB et 0AB
0ABx0vv
p
BA
=ω=⇒
=ω⇒ω⊥≠
=ω⇒==
AAp
AB
vAPxvv
0)t(0ABx0vv
=ω+=⇒
=ω⇒=ω⇒=−
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DETERMINATION DES CHAMPS DE VITESSES (2)
Si un point I est fixe et un point A a une vitesse différente de zéro :
Si deux points A et B ont des vitesses différentes et non nulles :
)t(IPx)t(vIA.IAvxIA
)IA(
IA).IA()IA.IA(
)IAx(xIAvxIA
IAxv
pA
2
A
A
ω=⇒=ω⇒
ω=
ω−ω=
ω=
ω=
)t(APx)t()t(vvAB.AB
)vv(xAB)t(
ABxvv
ApAB
AB
ω+=⇒−
=ω⇒
ω=−
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DETERMINATION DU C.I.R. (1)
Il suffit de connaître les directions des vitesses de deux points du plan: I est à l ’intersection des perpendiculaires de ces vitesses.
B
A
C
I
x
yBv
Cv
AvI
B
A
O1 O2
C
Av
BvCv
O
manive
lle
A
B
C
I
I
bielle piston
Av
Cv
Bv
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DETERMINATION DU C.I.R. (2)
Dans le cas d'une courbe roulant sans glisser sur une autre courbe, le C.I.R. est le point de contact de ces deux courbes.
Analytiquement : 2
pp
vxPIIPxv
ωω
=⇒ω=
A
C
I
Av
Cv
mobile
fixe
A
O I
C
fixe
mobile
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BASE ET ROULANTE (1)
Soient
A l ’instant t, considérons trois points qui coïncident en I :un point lié à un point lié à un point géométrique : point fictif (indicateur) qui joue le rôle de C.I.R. et qui change de position dans quand le temps s'écoule.
Base (b) : lieu des points du plan fixe qui servent successivement de C.I.R., trajectoire absolue du point indicateur.Roulante (r) : lieu des points du plan mobile qui viennent successivement se placer sur le C.I.R. : trajectoire relative du point indicateur.
solide au lié mobile plan fixe plan
2
1
=π=π
21 et ππ
0)aet 0v(1 ==π
0)aet 0v(2 ≠=π
I
I'
I1
I'1
base
roulante(t)
roulante(t+∆t)
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BASE ET ROULANTE (2)
Exemple :
Point indicateur :
la base et la roulante ont à chaque instant une tangente communeen I
la roulante roule sans glisser sur la base en I
uvvvvv relabsentrrelabs ==⇒+=
C
I'2 (t2)
I'1 (t1)
I1 (t1) I2 (t2)I (t) base
roulante
I
géométrique!
géométrique!
ττ1
r
b
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BASE ET ROULANTE (3)
Exemple : tige AB où A et B sont assujettis à se mouvoir perpendiculairement sur les axes ox et oy.
Géométriquement :
Base : lieu des points équidistants de 0Roulante : lieu des points tels que
Analytiquement :
2BIA π
=∧
==
=θ=
0'A
'0A
y 0y
xsinlx
θ=θ=
lcosysinlx
: Base
222 lyx =+⇔
θ=
θθ=2cos lY
sincoslX : Roulante
4l)
2lY(X
222 =−+⇔
x
y
b
rA
B
O
I
x
y
Xl
A
O
O'
θ
θ
Y
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COMPAS ELLIPTIQUE OU ELLIPSOGRAPHE
Tout point C lié rigidement à A et B décrit une ellipse dans le plan Oxy :
⇒
θ+α=θ+α−θ=
)sin(by)cos(bcoslx
θα+θα=θα+θα−=
sincosbcossinbysinsinbcos)cosbl(x
+=θ
+=θ⇒
ykxksinykxkcos
'2
'1
21
1)ykxk()ykxk( 2'2
'1
221 =+++⇒
1dl
ydx
d)sin-(lycosdx
: sur ABest C Si22
=
−
+
⇒
θ=θ=
x
y
A
B
l
b
a
l-d
dP
C (x,y)
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BASE ET ROULANTE (4)
Détermination analytique de la base et de la roulante :
Equations paramétriques de la roulante :
Equations paramétriques de la base :
θ+θ+=
θ−θ+=
cosYsinXyy
sinYcosXxx
'0
'0
θθ−θ+=
θθ+θ−=
dtd)sinYcosX(
dtdy
0
dtd)cosYsinX(
dtdx
0
'0
'0
θθ
+θθ
=
θθ
−θθ
=
sind
dycos
ddx
Y
cosd
dysin
d
xX
'0
'c
'0
'0
θ+=
θ−=
ddxyy
ddyxx
'0'
0
'0'
0
x
y
O
X
Y
O'
P (X,Y)
θ
)( 1π
)( 2π
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EXEMPLE 1 : MOUVEMENT ABSOLU
Une roue de rayon r roule sans glisser sur une surface plane. Questions : déterminerle mouvement angulaire de la roue en fonction du mouvement linéairede son centre O.l’accélération d’un point de la circonférence extérieure quand cepoint vient en contact avec la surface de roulement.
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EXEMPLE 2 : MOUVEMENT RELATIF
La roue de diamètre r=300 mm roule sans glisser vers la droite. Son centre O a une vitesse de 3 m/s.
Question : calculer la vitesse du point A au moment où la roue est à la position représentée ci-dessous.
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EXEMPLE 3 : CENTRE INSTANTANE DE ROTATION
Prenons le même cas que l’exemple 2 (roue se déplace vers la droite, vO= 3 m/s).
Question : utiliser le centre instantané de rotation afin de trouver la vitesse du point A pour la position représentée à la figure ci-dessous.
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EXEMPLE 4 : ACCELERATIONS
La roue de rayon r roule sans glisser vers la gauche et, à l’instantconsidéré, le centre O a une vitesse et une accélération , dirigées versla gauche.
Question : déterminer l’accélération des points A et C de la roue à l’instant considéré.
Ov Oa
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EXEMPLE 5 : CENTRE INSTANTANE DE ROTATION
Le bras OB du mécanisme à 3 barres a une vitesse angulaire de 10 rad/s dans la position représentée ci-dessous (θ = 45°).
Question : déterminer la vitesse de A, la vitesse de D et la vitesseangulaire du bras AB au moment où le mécanisme est à la position représentée ci-dessous.
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EXEMPLE 6 : MECANISME A 3 BARRES
Le bras CB oscille autour de C avec une amplitude limitée, provoquantl’oscillation de OA autour de O. Quand le mécanisme arrive à la position représentée ci-dessous (CB est horizontal et OA vertical), la vitesseangulaire de CB est de 2 rad/s dans le sens anti-horlogique.
Question : déterminer les vitesses et les accélérations angulaires de OA et AB à cet instant.
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EXEMPLE 7 : SYSTEME BIELLE-MANIVELLE
La manivelle OB a une vitesse de rotation de 1500 tour/min.Question : déterminer, pour la position correspondant à θ = 60°, la
vitesse du point A, la vitesse du point G et la vitesse angulaire de la bielleainsi que les accélérations correspondantes.
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EXAMPLES DE SYSTEMES PLANS (1)
Mécanique Analytique
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EXAMPLES DE SYSTEMES PLANS (2)