Download - Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
1/74
1
II. KUVVETLER
2.1.ekil 2.12deki basit kiriin i kuvvetlerininkiri boyunca deiimi kesim yntemi ile
inceleyiniz ve T, M diyagramlarn iziniz.zm: nce mesnet tepkilerinin bulunmasgerekir. Bunlar Statikten bilinen dengedenklemleri yazlarak bulunabilir:
0x
F = 0AxF = 0BxF = 0
yF = 8y yA B+ =
0A
=M 3 8 8 0 3By ByF F T + = = 3 8 5Ay AyF F T+ = = 5AyF T=
Bu d kuvvetlerin dalmekil 2.13,ade
gsterilmitir. ekil 2.13,aden grld gibiubukta iki blge ayrlabilir. nce I blgesinde
balangtan z kadar uzaklkta bir kesim yapalm(ekil 2.13,b). Kesim noktasnda bilinmeyenkuvvetler N1, T1, M1 olsun. Bunlar hep pozitifolarak seelim. Bu parann denge denklemleriniyazalm (0 3 )z m . Kiriin eksenidorultusunda herhangi bir d ykuygulanmadndan normal kuvvetin sfr olacaaktr yani 1 0N = . Kiriin sol ya da sa paras
birer serbest cisim olarak ele alnsn.0yF = 0xF = 1 15 0 5T T T + = = 1 0M = 1 15 0 5M z M z = =
0z = iin 1 0M = , 3z m= iin 1 15M Tm= olur.zellii olan II blge, 8T ile sa mesnet arasnda seilmelidir (ekil 2.13,c). II
blgesinde balangtan z kadar uzaklkta bir kesim yapalm (3 8 )m z m . Kesimnoktasnda bilinmeyen kuvvetlerN2, T2, M2 olsun.Kiriin ekseni dorultusunda herhangi bir d yk uygulanmadndan bu blgede de normalkuvvet sfr olur yani 2 0N = . Kiriin sol ya da sa parasn birer serbest cisim olarak ele
alal
m. Kiriin solda kalan paras
n
n dengesi ifade edilirse;0yF = 2 2-T 5 8 0 3TT+ = = 2 0M = 2 25 8( 3) 0 3 24M z z M z + = = +
imdi i kuvvetlerinin kiri boyunca nasl bir deiim gsterdii incelenebilir.
Mesnettenuzaklk 0 0+ 1 2 3 3+ 4 5 6 7 8 8+ Kesmekuvveti 0 5 5 5 5 -3 -3 -3 -3 -3 -3 0Eilme
momenti 0 0 +5 +10 +15 +15 +9 +9 +6 +3 0 0
BA
3 m 5 m
8 T
ekil 2.12
8 T
II B
T3
M1
I
5 T
8 TA
3 m
ekil 2.13
5 Tz
)
b)
T1
N1
M2
z
c)
T2
N2
5 m 3 T
5 T
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
2/74
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
3/74
3
ekil 2.16,aden grld gibi ubukta blge ayrlabilir. Bunlar ekilde Romasaylar ile gsterilmitir. nce I blgesinde balangtanz kadar uzaklkta bir kesim yapalm(ekil 2.16,b). Kesim noktasnda bilinmeyen kuvvetlerN1, T1, M1 olsun. Bunlar hep pozitifolarak seelim. Bu parann dengedenklemlerini yazalm (0 0,5)z .
1 1 1+60=0, - +60 =0, - 60 z=0N T MDenklemler zlrse;
1 1 1=-60 g, =60 g, = 60 zK K KgmN T MII. blgesindeki kesimden
(ekil 2.16,c ) bu blgeye ait ikuvvetler hesaplanr (0,5 1)z .
2 2
2
60 0, 60 50 0,
50 ( 0,5) 60 0z z
+ = + =
+ =
N T
M
Buradan,2 2
2
60 , 10
10 25
Kg Kg
z Kgm
= =
= +
N T
M
2
2
0,5 30
1 35
z m Kg
z m Kgm
= =
= =
M
M
III. blgesinde (1 1,5)z hesapyapmak iin daha az kuvvetin
bulunduu sadaki paray gz nnealrz. Denge denklemleri yledir;
3 30, 70 0 = + =N T
3
3
3
70
70(1,5 ) 0
70 105
Kg
z
z
=
+ =
= +
T
M
M
3
3
1,5 0
1 35
z m
z m Kgm
= =
= =
M
M
Grld gibi normal kuvvet ve kesme kuvveti, yklerin etkiledii noktalarda ve yklerinyatay ve dey bileenleri kadar basamaklar yapmaktadr. Eilme momentinde ise atlamayoktur (ekil 2.17).
rnek 2.3.ekil 2.18deki ubuun kesme kuvveti veeilme momenti diyagramlarn alan yntemiyle iziniz.zm: nce denge denklemleri kurarak ubuunmesnet reaksiyonlarn bulalm. Bu bada hareketolmad iin
0xF = 0yF = 0 =M
olmaldr. Grld gibi yayl kuvvetin deeri 6 Tvehayali yeri A noktasndan 2,5 m uzaklktadr.
1 6 0
1 1 6 2,5 4 0A B
BF
+ =
+ =
F F
Buradan
T3
N3
50 Kg
M1
I
60 Kg
60 Kg50 Kg
BA
0,5 m 0,5 m0,5 m
100 Kg
ekil 2.16
70 Kg
IIIII
60 Kg
60 Kg
z
a)
b)
T1
N1
M2
60 Kg
60 Kg
z
c)
T2
N2
70 Kg
d)
M3
1,5-z
A C B
2 T/m
ekil 2.18
3 m1 m
1 T
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
4/74
4
4 , 3B AT T= =F F
bulunur. D kuvvetlerin dalmekil 2.19,ada gsterilmitir.Kesme kuvveti diyagramn izmek iin
alan yntemini kullanalm. Adaki tekil yk 3Tluk bir alan olarak hesaba girecektir. Kesme
kuvvet ile yk arasndaki bantda eksi iaretiolduundan yukar doru yk pozitif alan olarakhesaba girer. Bylece kesme kuvveti +3 Tolarak
balar. Cdeki 1 T aa doru ynelmi yktendolay kesme kuvvetini 1 T indirmek gerekir ve 2T olur. Cden Bye kadar (2 / ) 3 6T m m T = yk alan vardr, o halde kesme kuvvetinden 6 Tkarmak gerekir. +2 Tolan kesme kuvveti -4 Tainer. Bdeki 4 T tekil yk sebebiyle 4 Teklenirsesfra gelinir. Sfra gelme bir salama olanan
verir. Kesme kuvvetinin s
f
r olduu noktan
n yeriCDE ve BDF gendeki benzerlikorantlarndan bulunur:
mzz
z1
4
2
3==
D noktasnn Adan olan uzakl 2 m olur. Kesmekuvvetin dalmekil 2.19,bda gsterilmitir.
Moment diyagram iin kesme kuvveti diyagramnn alanlarn hesaplayacaz.Balangta dardan etkiyen moment olmadndan M(0)=0dr. Cdeki moment Adan Cyekadar kesme kuvveti alanna eittir:
3 1 3C
T m Tm= =M C ye kadar kesme kuvveti sabit olduundan sfrdan balayp doru orantl olarak 3 Tm yekadar gider. Maksimum moment D noktasnn solundaki kesme kuvveti alanna eittir.
( )max1
3 1 2 1 3 1 42
T T m Tm Tm= + = + =M
B deki moment, sadan gelinirse, sfr olarak bulunur. Soldan gelinirse btn kesme kuvvetialanna eittir.
1 13 1 2 1 4 2 0
2 2BT m T m T m= + =M
C den D ye ve D den B ye moment erileri ikinci dereceden parabollerdir (ekil 2.19,c).
2.4. Geometri lleri ve ykleriekil 2.20da verilen kmal kiriinT ve M diyagramlarn alan yntemiile izinizzm: Yayl kuvvetin edeeri2 / 5 10T m m T = ve yeri Amesnedinden 1,5m uzaklktadr.Ba kuvvetlerini bulalm.
0x
F = olduundan 0xA = 0xB = olur. 0yF = ve 0A =M koullarndan;
3 z
2E
3 T
4
3
D
M, Tm
BCA
A C B
2 T/m
ekil 2.19
3 m1 m
1 T
4 T
a)
z
T,T
3
-4
b)
c)Mmax
F
4T
A B
2 T/m
ekil 2.20
2 m
6T
1 m1m 2 m
3T 12T
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
5/74
5
35 0 35y y y yA B A B+ = + =
3 1 10 1,5 6 2 12 4 4 4 5 0 23y yB B T + = = ; 23 35 12y yA A T+ = =
bulunur. D kuvvetlerin dalmekil 2.21,ada gsterilmitir.
nce alan yntemi ilekesme kuvveti diyagramnn naslizildiini gsterelim. Solkmann ucundaki tekil yk biryayl yk olarak dnlebilir.Bylece kma ucundaki kesmekuvvetinin iddetinin hemensanda 3T demektir. aretkuralna gre, iareti negatifolduundan aa dorualnacaktr. Sol kmann ucu ile A
mesnedi arasnda dzgn yaylkuvvet etkidiinden kesme kuvvetidorusal olarak deiir. Mesnedinhemen solunda kesme kuvvetinin
iddeti 3 2 1 5AsolT
T T m T m
= + = olur.
areti negatif olduundandiyagramda yine aa doru olur.A mesnedin hemen sanda ise
12 5 7Asa
T T T T = = olur. areti
pozitif olduundan yukar dorualnacaktr. A mesnedi ile aklnortasnda dzgn yayl kuvvet(yk) etkidiinden kuvvetinin deiimi dorusaldr. Aklk ortasndaki tekil ykn hemensolundaki (C noktasnn hemen solundaki) kesite ait kesme kuvvetinin iddeti
7 2 2 3C solT
T T m T m
= = dur. areti pozitif olduundan yine yukar dorudur. Cnin hemen
sanda ise 6 3 3C saT T T T = + = olur. Bu durumda iaret negatif olduundan diyagramda
aa dorudur. C ile B arasnda dzgn yayl yk etkidiinden kesme kuvvetinin deiimidorusaldr. B noktasnn hemen solunda kesme kuvvetinin iddeti 3 4 7B solT T T T = = ,
Bnin hemen sanda ise 23 12 7 4B saT T T T T = = olur. areti pozitif olduundandiyagramda yukar doru alnacaktr. B mesnedi ile sa kmann arasnda yayl ykolmadndan kesme kuvveti deimez, yani sabit kalr. Sa kmann ucundaki 4Tluk tekilyk bulunan 4B saT T= deere eit olduu iin, byle bir kontrol yaplm olur (ekil 2.21,b).
Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram daha kolay izilebilir.Sol kmann ucundaki momentin sfr olduu aktr. A mesnedindeki moment kesmekuvveti diyagramnda kesitin solunda bulunan alanlarn cebirsel toplamna eittir.
3 51 4
2AM Tm
+= =
Alann iareti negatif olduundan st tarafta izilmitir. Sol kmann ucu ile A mesnedi
arasnda kesme kuvveti dorusal olarak deitii iin momentin deiimi paraboliktir. Kiri
6
4
M,Tm
7
4
3
T,T
A
4T
C B
2 T/m
ekil 2.21
2 m
6T
1 m1m 2 m
3T 12T
23T12T
3
7
5
a)
b)
c)
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
6/74
6
aklnda kesme kuvveti C noktasnda sfrdr. O halde moment C de maksimum deerinialacaktr. Momentin bu deeri sol taraftaki alanlarn cebirsel toplamna eittir.
3 72 4 6
2CM Tm
+= =
A ile C arasnda kesme kuvvetinin deiimi dorusal olduundan momentin deiimi
paraboliktir. Aklkta iaret pozitif olduundan altta izilmitir. B mesnet noktasndakimoment kesme kuvveti diyagramndan sa tarafndaki alana eittir.
4 1 4BM Tm= = Sa kmann ucunda moment sfrdr. B ile bu kesit arasnda moment dorusal olarak deiir.nk bu aralkta kesme kuvvetinin deiimi sabittir (ekil 2.21,c).
rnek 2.5. ekil 2.22deki ubukta normal kuvvet,kesme kuvveti ve eilme momenti diyagramlarn iziniz.zm: nce denge denklemleri kurarak ubuunmesnet reaksiyonlarn bulalm. Bu bada hareket
olmad
iinFx=0 Fy=0 M=0olmaldr. Yayl kuvvetin deerini ve etki merkezininhayali yerini bulalm:
200 0,5 100 , 0,75Y YKg d m= = =F 25 Kgmlk kuvvet momenti ift kuvvetleoluturduu iin A noktasnda tepki kuvvetiolumaz.
0 100 7,5 25 0
50
A
AKgm
= + + =
=M MM
D kuvvetlerin dalm ekil 2.23,adagsterilmitir. Bu ekilden grld gibiubukta blge ayrlabilir.
I. blgesinde: 0 0, 2z m
1 1
1
0, 100 0,
50 100 0z
= + =
+ =
N T
M
1
1
0, 100
50 100
Kg
z
= =
= +
N T
M1
1
1
0 500,2 30
z Kgz m Kgm
= = = = M M
II. blgesinde (0, 2 0, 5)z :
2 2 20, 100 0; 50 25 100 0z = + = + + =N T M
2 2
2
2
2
0, 100 ,
100 75
0,2 55 ,
0,5 25
Kg
z Kgm
z m Kgm
z m Kgm
= =
=
= =
= =
N T
M
M
M
III. blgesinde (0, 5 1)z yaplan kesimde yayl ykn bir ksmnn bir yanda, tekiksmnn da teki yanda kald hesaba katlarak;
200 Kg/mA
0,5 m0,3 m0,2 m
25 Kgm
ekil 2.22
25 Kgm
50 Kgm
50 Kgm
50 Kgm
50 Kgm
100 Kg
100 Kg
100 Kg
T3
T1
M1
200 Kg/m
A
IIIIII
25 Kgm
ekil 2.23
A
a)
b)N1
T2
M2
z
N2c)
M3
A
z
N3
d)
25 Kgm
100 Kg
A
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
7/74
7
3 3
3
0, 100 200( 0,5) 0
0,550 25 200( 0,5) 100 0
2
z
zz z
= + =
+ + + =
N T
M
Bu blgede sa paray almak sonuca dahaabuk gtrebilirdi. Yklerin kesite dik bileeniolmadndan normal kuvvet her yerde sfrolarak elde edildi. Kesme kuvveti ve eilmemomentinin diyagramlarnekil 2.24 degsterilmitir.
rnek 2.6. ekil 2.25deki ubuun kesmekuvveti ve eilme momenti diyagramlarniziniz.zm: nce denge denklemleri kurarakubuun mesnet reaksiyonlarn bulalm. Bu bada hareket olmad iin
0xF = 0yF = 0 =M
olmaldr. Yayl kuvvetin deerini 1 / 2 2T m m T = veetki merkezinin hayali yeri B noktasdr. Dengekoullarndan,
2 2 2 0 6
2 1 2 2 2 1 0 8 .A A
A A
T
Tm
= =
= =
F F
M M
D
kuvvetlerin da
l
m
ekil 2.26,ada gsterilmitir.
Kesme Kuvveti Diyagram. A nn hemen sandakesme kuvveti =6TT dur. A dan B ye kadar yk
alan 1 / 1 1T m m T = olduundan B ye gelincekesme kuvveti 1Tazalm olur. B deki 2 Tluk aatekil ykten dolay tekrar 2 T azalr. B den C yekadar yayl yk alan tekrar 1 T dur. O halde Cdekikesme kuvveti 1 Tdaha azalarak 2 Tkalr. C deki 2 Tluk tekil kuvvetten dolay sfra iner (ekil 26,b).
Eilme Momenti Diyagram. Adaki tekilmomentten dolay moment diyagram -8 Tm ile balar.Adan Bye kadar kesme momentinin alan
6 51 5,5
2Tm
+ =
dir. O halde B deki moment
8 5,5 2,5 Tm = olur. Bden Cye kadar kesme
kuvveti diyagramnn alan3 2
1 2,52
Tm+
= dir. C
deki eilme momenti sfr olur (ekil 26,c).
CB
2 T2 TA
ekil 2.25
1T/m
1 m 1 m
8 Tm
8
2,5
653
2
CB
2 T2 T
A
ekil 2.26
1T/m
1 m 1 m
T, T
M, Tm
a)
b)
c)
6 T
-25
- 55
+
- 50
-30
N, Kg
ekil 2.24
a)
100
T, Kg
b)
+
M, Kgm
c)-
0,2 m 0,3 m 0,5 m
+
20 parabol
23 3 3
3 3
0 200 200 100 200 100
0,5 25 1 0
z z z
z m Kgm z m
= = = +
= = = =
N T M
M M
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
8/74
8
rnek 2.7.ekil 2.27deki ubuun kesme kuvveti veeilme momenti diyagramlarn belirsiz integrasyonyntemiyle iziniz.zm: Yayl yk sfrdan balayarak q0 deerineykselmitir. Balangtan z kadar sadaki yayl yk
zl
qzq 0)( =
olarak bulunur. Toplam yayl yk genin alannaeittir:
2
lqQ o=
ve bilekenin yeri genin arlk merkezinde
lz3
2= dir.
Mesnet reaksiyonlarn bulalm.
0 koulundany =F B A Q+ =F F bulunur.0 koulundanB =M 0Al Q z + =F elde edilir.
Bu denklemler zlrse,1 1
2 3 6 2 6 3o o o o
A B A o
q l q l q l q l l Q q l
l= = = = =F F F
olur. D kuvvetlerin dalmekil 2.28,adagsterilmitir
Belirsiz integrasyon ynteminikullanacaz.
2
1
2
1
3
1 2
( ) 2
( )2
6
o o
o
o
q q zq z dz zdz C l l
q zz dz C dz
l
q zC z C
l
= = = +
= = + =
= + +
T
M T
C1 ve C2 bilinmeyen sabitleri bulmak iin A veBde momentin sfr olduunu ifade edelim: z=0da M=0 ve z=lde M=0. z=0 da M=0 olmakoulundan C2=0 bulunur. z=lde M=0
koulundan3
0 01 10 6 6
q q llC l C
l= + =
elde edilir. Sabitlerin deerleri dikkate alndnda kesme kuvvetinin ve momentin ifadeleri,2 3
0 0 0,2 6 6 6oq z q l q z q lz
l l= + = +T M
bulunur. Kesme kuvvetinin sfr olduu 0z uzakl iin 0 0,5773
lz l= = bulunur. Bu
noktada eilme momenti M maksimum olur ve deeri,
ekil 2.27
q0
AB
l
M
0
3
q l
T
0
6Aq l=F 0
2q l=Q
ekil 2.28
q0
AB
0
3Bq l=F
z
l
a)
0
6
q l
z0
20
9 3
q l
0
6q l
c)
b)
z
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
9/74
9
3
0 0 20
max
3 3
6 6 9 3
l lq q
q l
l
= + =M
olur. Kesme kuvvetinin ve eilme momentinin diyagramlar ekil 2.28de gsterilmitir.
Kesme kuvvetinin diyagram ikinci dereceden, eilme momentinin diyagram ise ncdereceden polinomlardr.
rnek 2.8.ekil 2.29 deki erevenin normal kuvvet,kesme kuvveti ve eilme momenti diyagramlarniziniz.zm: Yayl kuvvetin deeri 6T, bilekenin yeriAdan 2 m uzaklktadr. Ba kuvvetlerini bulalm.
0 2 6 3,5 2 1 0 4
0 6 0 2
y y
y y y
B B
y A B A
T
T
= + = =
= + = =
M F F
F F F F
D kuvvetlerin dalm ekil 2.30,a dagsterilmitir.
Kesim yntemini kullanacaz. AC, CD, CE ve EB birer kesim gereklidir.
AC blgesi ekil 2.30,b (0 3,5)z 2 0 2
2 1,5 0 2 1,5
T
z z
+ = =
= =
N N
T
Eilme momentinin ifadesini bulalm:
M T
2 T
Aa )
B
DC
E
ekil 2.30
1,5 T/m
T
2 T
4 T
2 T
A2 T
M
N
b )
D
T
N
1,5 T/m
z z
c)
d)
M
2 T
B
T
E
4 T
N
z
M
B
T
T
e )
A
2 T
B
DC
E
ekil 2.29
1,5 T/m
3,5 m 1 m0,5m
1 m
2--
0,19
2,19
DCA
2
ekil 2.31
0,75
N, T
2
T,T
3,25
D
1,33
M, Tm
4
--
+1,33 m
A C
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
10/74
10
2
1,5 2 02
2 0,75
zz z
z z
+ =
=
M
M
Kesme kuvveti 1,33z m= noktasnda sfr olur ve bu noktada eilme momenti maksimum
olur ( 1,33max Kgm=M ).DC blgesi ekil 2.30,c (0 0,5)z
2
0 0
1,5 0 1,5
1,5 0 0,752
z z
zz z
= =
= =
= =
N N
T T
M M
CE blgesi ekil 2.30, d (1 2)z 4 0 4
2 0 2
2 1 2 0 2 2
T T
T
z z
+ = =
= =
+ = = +
N N
T T
M M
EB blgesi ekil 2.25, e (0 1)z 4 0 4
0
0
T+ = =
=
=
N N
T
M
Normal kuvvetin, kesme kuvvetinin ve eilme momentinin dalm ekil 2.31dagsterilmitir.
2.9. Eilme momenti diyagramnda (ekil 2.32)verilen kiriin kesme kuvveti diyagramn ve d
kuvvetlerini belirleyiniz. AC erisi ikinci mertebedenbir paraboldr.zm: Moment diyagram A ile C arasnda birikinci derece parabol erisi olarak verildiine gre buksmda moment fonksiyonu 2M ax bx c= + + eklinde ifade edilir.
0x = iin 0M = ;3x m= iin 7,2M Tm= 5x m= iin 4M Tm=
koullarndan;
0 ; 7, 2 9 3 ; 4 25 5C a b a b= = + = + eklinde lineer denklem elde edilir. Budenklemlerin zmnden parabolnkatsaylar 0.8; 4.8; 0a b c= = = bulunur.Bylece paraboln denklemi
20,8 4,8M x x= + eklini alr. Kesme kuvvetive yayl yk aadaki bantlardan bulunur.
4,8 1, 6dM
T xdx
= =
1,6 1,6 /dT
q q T mdx
= = =
CD aralnda momentin deiimi dorusal
3 m 2 m3 m2 m
x
4,0
5, 6
EDA CB
M,Tm
+
-
7,2
ekil 2.32
2,8T
T
3 m 3 m2 m6 T
2,8 T
EDA B
+-
+
-C
4,8 T
3,2 T
1,6 T/m
4,8T2 m
ekil 2.33
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
11/74
11
olduundan kesme kuvvetini sabit kalr:5,6 4,0
3,23
CDT T sabit
= = =
DE aralnda da momentin deiimi dorusaldr. O halde,0 ( 5,6)
2,82DET T sabit
= = = CD ve DE blgelerinde yayl ykler sfrdr.Kesme kuvveti diyagram ve d kuvvetlerinin dalmekil 2.33de gsterilmitir.
2.10. Geometrik lleri ve ykleri ekil2,34de verilen sistemin N, T, Mdiyagramlarn iziniz.zm. Yayl kuvvetin deerini2 / 3 6T m T = ve yeri A noktasndan 3,5muzaklkta olur. Statik denge koullarndan;
2AxF T= 10
Ay ByF F T+ =
4 2 6 3,5 5 1,5 2 0 5,2By ByF F T + + = =
10 4,8Ay ByF F T= =
ba kuvvetleri bulunur. ekil 2.35,ada ba kuvvetlerinin dalm verilmitir.ACaralndaki kesme iin (0 2 )z m ;
1 12 0 2N N T+ = =
1 14,8 0 4,8T T T + = =
1 14,8 0 4,8M z M z = =
0z = da 1 0M = ve 2z m= de
1 9,6M T m= elde edilir.AB aralndaki kesme iin
(2 5 )m z m ;
2 22 0 2N N T+ = =
2 24,8 2 0 2 4,8T z T z z + = = +
2z m= de 2 0,8T T= ve 5z m= de
2 5,2T T= bulunur. 2 0T = olmas iin
2 4,8 0 2,4z z m + = = olur. Alanyntemini kullanarak momentin bunoktadaki maksimum deeri bulunur.
max
0,8 0,44,8 2 9,6 0,16 9,76
2M Tm
= + = + =
DBde 3 32 0 2N N T+ = = ve 3 0T = olur. Bu blgede yk olmadndanmoment sabit kalr. Alan yntemikullanlarak B noktasndaki momenthesaplanr.
0,8 0,4 5,2 2,64,8 2 9,6 0,16 6,76 32 2
M Tm = + = + =
1,5 m
2 T
2 T/ m
4 T
2 m 3 m 2 m
ekil 2.34
E
+
+
+
3
9,6
T, T2
0,8
0,4m
5,2T
DC BA
1,5 m
2 T
2 T/ m
4 T
2 m 3 m 2 m
ekil 2.35
a)
4,8T
4,8
5,2
2
b)
M, Tm
3
c)
9,76
++
+
-
3
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
12/74
12
Kesme kuvvetin ve kiri boyunca dalmekil 2.35de gsterilmitir.DEblgesinde etki eden 2Tkuvveti 2T T= kesme kuvveti ve 2 1,5 3M Tm= =
momenti oluturur.
2.11. Geometrik lleri ve ykleri ekil 2.36de verilen sistemin N,
T, M diyagramlarn iziniz.zm: ekilden grld gibi A dayak noktasna etkiyenkuvvetler;
3 ; 2Ax Ay
F T F T= =
dir. CB aralndaki kesitte;0; 2 0; 2 0N T M y= = =
yazabiliriz. Buradan 0y = da 0M = ve 2y m= da 2 2 4M Tm= = bulunur.kinci kesiti AB aralnda alrsak;
3 0 3 ; 2 0 2 ; 3 3 2( 2) 0N N T T T T M y = = = = =
Buradan 13 2M y= elde edilir. 0y = da (A noktasnda) 13M Tm= ve 3y m= de (Bnoktasnda) 13 2 3 7M Tm= = bulunur.
nc bir kesitin de DB aralnda yaplmas gerekir.0; 3 0 3 ; 3 0N T T T M x= = = = Burada 0x = da (D noktasnda) 0M = ve
1z m= de (B noktasnda) 1 3 3M Tm= = bulunur.Bunlar dikkate alnarak izilen N, T, M diyagramlarekil 2.37de gsterilmitir.
2.12. ekil 2.38de geometrik lleri ve yklenmedurumu verilen sistemin T, M diyagramlarn alanyntemi ile iziniz.zm: Sabit yayl ykn deeri ( )2 / 6 12T m T =
olup arlk merkezi A noktasndan 3 m uzaklktadr.gen ykn deeri genin alanna eittir
4 3 / 2 6
T
m Tm = ve A noktas
ndan 7 m uzakl
ktad
r.Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:
A
2 T
B
C
3 T
D
2 m
3 m
1 m
ekil 2.36
T,T
3
N,
T
3
M,Tm
13
7
3
x xx
y y y
A A A
B B B
C C C
D D D
4
ekil 2.37
2 T/ m4 T/ m
6 T
2 m 4 m 3 m
ekil 2.38
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
13/74
13
0x
F = 0
AxF = 0yF = 6 6 12 0 24Ay By Ay ByF F F F T+ = + =
0AM =
6 6 2 12 3 6 7 0
6 90 15
By
By By
F
F F T
=
= =
15 24 9Ay AyF T T F T+ = =
Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sistemeeklenerek serbest cisim diyagram izilir (ekil2.39,a).
nce alan yntemi ile kesme kuvvetidiyagramnn izimini ele alalm. A mesnedindekesme kuvvetinin iddeti reaksiyon kuvvetine
eittir yani 9Ttr. aret kuralna gre, iaretipozitif olduundan yukar doru alnacaktr. ABaralnda dzgn yayl kuvvet etkidiindenkesme kuvveti dorusal olarak deiir. Bnoktasnn hemen solunda kesme kuvvetinin
iddeti 9 2 2 5BsolT
T T m T m
= = olur. areti pozitif
olduundan diyagramda yine yukar doru olur. Bnoktasnn hemen solunda kesme kuvveti 6Tluktekil kuvvetin etkisi ile 5 6 1BsaT T T T = = olur. areti negatif olduundan diyagramda aa
doru olur. BC aralnda dzgn yayl kuvvet etkidiinden kesme kuvveti dorusal olarakdeiir. C mesnedinin hemen solunda kesme kuvveti 1 2 4 9C sol
TT T m T
m= = olur. areti
negatif olduundan diyagramda yine aa doru olur. C mesnedin hemen sanda ise9 15 6
C saT T T T = + = olur. areti pozitif olduundan yukar doru alnacaktr. CD
aralnda dorusal yayl kuvvet etkidiinden kesme kuvveti ikinci mertebeden bir parabol
biiminde deiir. D noktasnda kesme kuvveti4 3
6 02D
T T T
= = olur. Kesme kuvvetinin
dalmekil 2.39,bde gsterilmitir.Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram daha kolay izilebilir.
A mesnedindeki momentin sfr olduu aktr. AB arasnda kesme kuvveti dorusal olarakdeitii iin momentin deiimi paraboliktir. B nokrasnda momentin deeri sol taraftakiyamuun alanna eittir. Kesme kuvveti B noktasnda sfr olduu iin bu deer maksimumdeerini olacaktr.
9 52 14
2BM Tm
+= =
B ile C arasnda kesme kuvvetinin deiimi dorusal olduundan yine momentin deiimiparaboliktir. Aklkta iaret pozitif olduundan altta izilmitir. C mesnedindeki momentkesme kuvveti diyagramnn sol tarafndaki alanlarn toplamna eittir.
1 914 4 6
2
CM Tm+
= =
9 T
DA
2 T/ m4 T/ m
6 T
2 m 4 m
ekil 2.39
B Ca)
15T3 m
T,T9
5
1
9M,Tm
14
1
6
b)
c)
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
14/74
14
Sa kmann ucunda (D noktasnda) moment sfrdr. C ile D arasnda moment deiimi birnc mertebeden bir polinom olarak deiir. nk bu aralkta kesme kuvvetinin deiimiikinci mertebeden bir paraboldr (ekil 2.39,c).
2.13. ekil 2.40da geometrik lleri ve yklenme durumu
verilen erevenin N, T, M diyagramlarn iziniz.zm: Sabit yayl ykn deeri ( )5 / 6 30T m T = olup
arlk merkezi A noktasndan 3 m uzaklktadr.Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:
0xF = 4AxF T= 0
yF = 8 8 30 0 46Ay By Ay ByF F F F T+ = + =
0A
M = 6 8 2 8 4 30 3 4 3 0 6 150 25
By By ByF F F T = = =
23 46 21Ay Ay
F T T F T+ = =
Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sisteme eklenerek serbest cisim diyagram izilir(ekil 2.41,a).
Normal kuvvet A B ubuu boyunca heryerde ayndr.
0 4 0 4xN A N N T+ = = =
AA've BB'konsol ubuklarnda da ubuklarboyunca normal kuvvet srasyla aadakideerlere sahiptir.
0 21 0 21AyN F N N T+ = + = =
0 25 0 25ByN F N N T+ = + = = Normal kuvvetin ereve de dalmekil2.41,bde gsterilmitir.
A'Caralndaki kesitte ( )0 2z m ;21 5 0 21 5T z T z + = =
0 'da 21 , 2 'de 11z T T z m T T= = = =
CD aralndaki kesitte ( )2 4z m ;21 8 5 0 13 5T z T z + = =
2 'da 13 5 2 5 ,
4 'de 13 5 4 7
z m T T
z m T T T
= = =
= = =
Bu aralkta kesme kuvveti yn deitirdiiiin bu kuvvetin sfr (momentin maksimum)olduu noktann yerini bulalm.
13 5 0 2,6T z z m= = =
CB'aralndaki kesitte ( )4 6z m ;21 8 8 5 0 5 5T z T z + = =
4 'da 5 5 4 15 ,
6 'de 5 5 6 25
z m T T
z m T T
= = =
= = =
AA've BB'konsol ubuklarnda da ubuklar
boyunca kesme kuvveti her yerde ayndeere sahip olaca aktr.
D
5 T/ mT
2 m2 m
8T
BA
2 m3m
8 T
ekil 2.40
C
12
,6 m
25
15
11
7
3
21
4
T, T
4 T
25T
21T
4 T
21T
5 T/ m8T
BA
8 T
A'
4 T
2 m2 m 2 m3m
C B'
25T
a)
b)
c)
T,
T
44,9
12
M, Tmekil 2.41
d)
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
15/74
15
4 0 4T T T = = Normal kuvvetin ereve de dalmekil 2.41,cde gsterilmitir.Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram alan yntemi ile kolaylklaizilebilir. A' noktasndaki momentin 4 3 12AM Tm = = olduu aktr. A'C arasnda kesmekuvveti dorusal olarak deitii iin momentin deiimi paraboliktir. C nokrasnda
momentin deeri sol taraftaki alanlarn toplamna eittir.21 11
12 2 442
BM Tm+
= + =
Kesme kuvvetinin sfr olduu noktada momentin deeri maksimum olacaktr. C noktasndankesme noktasna kadar ksmda kesme kuvveti dorusal olarak deitii iin momentindeiimi paraboliktir.
max
3 0,644 44,9
2M Tm
= + =
D noktasna kadar kesme kuvvetinin deiimi dorusal olduundan yine momentin deiimiparaboliktir. D noktasnda moment kesme kuvveti diyagramnn sol tarafndaki alanlarn
toplamna eittir.7 1, 4
44,9 402C
M Tm
= =
B' noktasnda moment sfrdr. Gerektende,15 25
40 2 02B
M +
= =
D ile B' arasnda moment deiimi dorusal olduundan yine momentin deiimiparaboliktir.A' noktasndaki moment yukarda belirtildii gibi 12Tm dir. A noktasndaki moment sfrdr.
Gerektende 12 4 3 0AM = =
olur.Momentin ereve de dalmekil 2.41,dde gsterilmitir.
2.14. ekil 2.42degeometrik lleri ve yklenme durumuverilen sisteminkesit tesir diyagramlarn iziniz.zm: Sabit yayl ykn deeri drtgenin alanna eittir
3 2 6T
m Tm
= ve yeri A noktasndan 1 m uzaklktadr.
Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:0
xF = 0AxF =
0yF = 6 0 6Ay By Ay ByF F F F T+ = + = 0
AM = 4 6 1 2 0 4 4 1By By ByF F F T + = = =
1 6 5Ay AyF T T F T+ = =
Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sisteme eklenerek serbest cisim diyagram izilir(ekil 2.43,a).Kiri AC, CD ve DB olmak zere blgeye ayrlabilir. nce alan yntemi ile kesme kuvvetidiyagramnn izimini ele alalm. A noktasnda 5AT T= dr ve C noktasnda ise
5 3 2 1CT T= = olur. AC blgesinde sabit yayl yk olduundan kesme kuvveti dorusal
olarak azalacaktr. CB arasnda hibir kuvvet etkimediinden A mesnedinde kesme kuvveti
1BT T= olur. Kesme kuvvetinin dalmekil 2.43,bde gsterilmitir. Kesme kuvvetininsfr olduu noktann yeri genlerin benzerliinden bulunur.
C D
2 T m3 T/m
A B
1 m2 m 1 m
ekil 2.42
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
16/74
16
510 5 6 10 1,67
1 2
zz z z z m
z= = = =
Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra momentdiyagram izilebilir. A mesnedindeki moment sfrdr.Kesme kuvvetinin sfr olduu noktada moment
maksimum olur ve momentumun deiimi paraboldr.
max
5 5 1,674,175
2 2
zM Tm
= = =
C noktasnda.1 0,33
4,175 42C
M Tm
= =
Bu blgede de momentin deiimi paraboldr.D noktasnn solunda
4 1 1 3D sol
M Tm= =
olur. Bu noktann solunda tekil burulma momenti etki
gsterdiinden momentin deeri,3 2 1D saM Tm= =
olarak bulunur. B mesnedinde momentin sfr olduuaktr. CD ve DB blgelerinde kesme kuvveti sabitolduundan momentin deiimi dorusaldr. Momentinubuk boyunca dalmekil 2. 43,cde gsterilmitir.
2.15. ekil 2.44de geometrik lleri veyklenme durumu verilen sistemin kesittesir diyagramlarn iziniz.
zm: Sabit yayl ykn deeridrtgenin alanna eittir 3 3 9
Tm T
m = ve
yeri A noktasndan 6,5 m uzaklktadr.Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:
0x
F = 0AxF = 0yF = 10 9 0 19Ay By Cy Ay By CyF F F F F F T+ + = + + = 0
AM = 4 8 4,5 10 2 3 3 6,5 0 4 8 74By Cy By CyF F F F + + = + =
0D sa
M = 3 3 3 1,5 0 4,5Cy CyF F T = =
4 8 4,5 74 9,8By By
F F+ = =
9,5 4,5 19 5Ay AyF T F T+ + = =
Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sisteme eklenerek serbest cisim diyagram izilir(ekil 2.45,a).
Kiri AE, EB, BD ve DC olmak zere drt blgeye ayrlabilir. nce alan yntemi ilekesme kuvveti diyagramnn izimini ele alalm. A noktasnda 5AT T= dr ve E noktasna
kadar yk olmadndan yatay gider. 5D solT T= olur. E noktasnda 10Tlk bir sreksizlik
olduundan 5 10 5EsaT T= = olur. Bu deer B noktasna kadar yatay devem eder.
5B sol E saT T T= = ve 5 9,5 4,5B saT T= + = olur. D noktasna kadar kesme kuvveti yatay olarak
B D
10 T 3 T/m
A C
5 Tm
2 m 1 m
ekil 2.44
3 m2 m
4
3
1
1
5
1
T, T
5T1T
C D
2 T m3 T/m
A B
1 m2 m 1 m
ekil 2.43
4,175M, Tm
a)
b)
c)
z
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
17/74
17
devem eder ve 4,5D sa DsolT T T= = olur. D noktasndan sonra toplam yayl yk deeri olan 9 T
drlerek C noktasndaki deer elde edilir 4,5 9 4,5CT T= = .
Kesme kuvvetinin dalm ekil 2.45,bde gsterilmitir. Kesme kuvvetinin sfrolduu noktann yeri genlerin benzerliinden bulunur.
4,53 2 3 1,5
4,5 3
zz z z z m
z= = = =
Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram izilebilir. Amesnedindeki moment tekil 4,5Tm momentine eit olur 4,5AM Tm= . Dier noktalardakimomentlerin deerleri aadaki gibi bulunur.
4,5 5 2 5,5EM Tm= + = Deiim dorusaldr.
5,5 5 2 4,5B
M Tm= = Deiim dorusaldr.
4,5 4,5 1 0DM = =
Kesme kuvvetinin sfr olduu noktada moment maksimum olur.
max
4,5 1,50 3,375
2M Tm
= + = Deiim paraboldr.
4,5 1,53,375 0
2CM
= = Deiim paraboldr.
Momentin kiri boyunca dalmekil 2. 45,cde gsterilmitir
3,375
4,5
4,54,5
5
4,5 T9,5T5 T
E B D
10 T 3 T/m
A
5 Tm
2 m 1 m
ekil 2.45
3 m2 m
a)
T, T
z
5
5
5
4,5
5,5M, Tm
4,5 5
b)
c)
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
18/74
18
III. NORMAL KUVVET ETKS
rnek 3.1. ekil 3.24deki alminyumubuun emniyet gerilmesi 700 2cmKg , elastiklikmodl 5
27 10
KgE
cm
=
olarak verildiine ve toplamuzamasnn 0,8 mm den fazlaolmamas istendiine greubuun dikdrtgen kesitini
boyutlandrnz.zm:Uzamay gerekletiren kuvvet 4000N Kg= dir. Kesitin boyutlandrlmas, alannemniyet gerilmesine ve uzamaya gre hesaplanm en byk deerine gre yaplr. Emniyetgerilmesine gre gerekli alan;
424 10 5,714
700em
NA cm
= = =
Uzamaya gre gerekli alan;3
5
4 10 900,599 6,429
7 10 0,08
N lA cm cm
E l
= = = =
bulunur. Bu durumdaboyutlandrma uzamaya gre alnandeere gre yaplmaldr. Yani,
6,43A cm= . Dikdrtgen kesit iin3b h= olduuna gre
23 3A h h h= = olur. Buradan;
6,43 1,46 1,53 3
Ah cm cm= = =
3 3 1,5 4,5b h cm= = =
rnek 3.2. ekil 3.25,a deki ubuun kesiti sabittir ve malzemenin emniyet gerilmesi
21400
em
Kg
cm = dir. ubuun kesit alann bulunuz.
zm: nce ubukta normal kuvvet diyagramizilir. Birinci blgede ubukta meydana gelen
normal derimle 6T, ikinci blgede (6-10) -4T T= ,nc blgede ise (6 -10 8) 4T T+ = + olur.Bylece ubuktaki en byk normal kuvvetin 6 Tolduu grlmektedir (ekil 3.25,b). u haldenormal gerilim iin
N
A =
2
60001400
Kg
A cm
olur. Buradan, ubuun kesit alann iin
26000 4,31400
A cm= =
elde edilir.
300
300
FAB
FBC
8cm
10 cm
C
A
B
25T
a)
25T
b)
ekil 3.26
4 T
h
4 T
b=3h90 cm
ekil 3.24
4T
4 T
6 T
6 T 10 T 8 T 4 T
3 m 2 m4 m
ekil 3.25
++-
a)
b)
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
19/74
19
rnek 3.3.ekil 3.26,a deki sistemde AB ubuu kesiti ekilde verilen borudan yaplmtr.
21400em
Kg
cm = olduuna gre kesitin yeterli olup olmadn tahkik ediniz.
zm: AB ubuundaki kuvvet, B mafsalnn dengesinden hesaplanr. ekil 3.26,b dendenge koulu aadaki gibi yazlr:
00 veya sin 30 25 0y ABF F T= =
Buradan AB ubuundaki normal kuvvet,25
501
2
ABF T T= =
olur. Kesit alan A =4
)810( 22 = 28,26 cm
olduuna gre mafsaldaki gerilim iin50000
1769 140028,26
ABmafsal em
F
A = = = > = bulunur. O
halde kesit yeterli deildir.
rnek 3.4.Kopma mukavemeti 3700 2cmKg olan bir elik ubuun kendi arl altndakopmadan aslabilecei en byk boyu hesaplaynz (eliin zgl arl
3 37,8 10 Kg cm = ).
zm: ubuun kendi arl max maxN P V Al = = = olur. te yandanmaxN
A = dr. Bu
iki ifadeden;
max maxmax
N All
A A
= = =
elde edilir. Buradan elik ubuun kendi arl altnda kopmadan aslabilecei en bykboyu bulunur:
5max 3
37004,744 10 4744
7,8 10l cm m
= = = =
rnek 3.5.ekil 3.27deki ubuun tayabilecei P ykn hesaplaynz.2
100em
Kg
cm =
zm: ubua ait normal kuvvet diyagramekil 3.28de izilmitir. AB blgesinde normalkuvvet 2P olduundan, normal gerilme,
1
2 2
144 72
P P P
A = = =
olur. BC blgesinde normal kuvvet Polduundan, normal gerilme iin
2 100
P P
A = =
elde edilir. O halde en byk gerilemeAB blgesindedir. Denge durumunda
max em olmas gerektii koulundanubuun tayabilecei P yknhesaplanr.
100 P 7200 Kg72P
N
2P
C
ekil 3.28
P
P
A
B
2P
P
+
+
A1=144 cm2
ekil 3.27
P
P
A2=100 cm2
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
20/74
20
rnek 3.6. ekil 3.29,adaki ubuun arlndan doangerilmeleri hesaplaynz. zgl arlk dir.
zm: ubuun alttan z boyutunda bir parasn keselim(ekil 3.29, b). Bu parann arl W= A Z olur. Kesilen
parann dengesinden-W=0 =W = A Z N N N
elde edilir. Bu deeri alana blerek gerilmeler bulunur:
ZA
ZA
==
rnek 3.7. ekil 3.30dakiubukta normal kuvvet diyagramn iziniz ve AD arasndaki boy
deiimini hesaplaynz. Kesit alan 4 cm2 ve elastiklik modl 62
2 10Kg
cm olarak
verilmektedir.
zm. Bu ubuunnormal kuvvet diyagram
blgeden olumaktadr. Hertekil yk bir blgede snr
belirlemektedir. Bir blgeiinde yk yoksa eksenselnormal kuvvet diyagramnn
bir yatay doru olduu anmsanrsa,AB blgesinde 3 (0 1 )N T x m= ,BC blgesinde 5 (1 3 )N T m x m= ,
CD blgesinde 6 (3 3,5 )N T m x m= biiminde ayrma prensibiile kolaylkla hesaplanabilir.
Normal kuvvet diyagramekil 3.31de izilmitir.
ubuk boyuncakuvvet deitii iin her
blgedeki uzamannhesaplanmas iin
2
1
x
x
Nl dx
EA
= integrali ile
hesaplanabilir.AB blgesinde;
1001004
1 6 00
30003,75 10 0,0375
2 10 4l dx x cm
= = =
BC blgesinde;200
30042 6 100
100
50006,25 10 0,125
2 10 4l dx x cm
= = =
CD blgesinde;350
3504
3 6 300300
6000 7,5 10 0,03752 10 4
l dx x cm = = =
65
3
3 T 6 TA B C2T 1 TD
1m 2m 0,5mN,T
ekil 3.31
ekil 3.29
z
N
W
a) b)
3 T 6 TA B C2T 1 TD
1m 2m 0,5m
x
ekil 3.30
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
21/74
21
olarak elde edilir.AD arasndaki boy deiimini;
1 2 3 0,19l l l l cm = + + = olur. Eksi iareti ubuun boyunun ksaldn gsterir.
Genelde eer ubuun en kesiti sabit ise ubuun boyunun uzamas maksimum
normal kuvvete gre yaplr. O halde toplam uzama aadaki ekilde hesaplanr:
6
6000 3500,263
2 10 4
Nll cm
EA
= = =
rnek 3.8.ekil 3.32deki ubukta toplam boy uzamasn hesaplaynz. ubuun elastiklikmodl 6E= 2 10 / Kg cm dir.zm: ubuktaki normal kuvvet heryerde ayndr ve 24 T=N dur. Toplamuzama u ksmdaki uzamann toplamolarak hesaplanacaktr. Her bir parada
kesit sabit olduundan her bir kesimdekiubuu Hooke cismi olarak kabuledebiliriz. Bu durumda uzama miktar
ll
EA =
N
biiminde bulunur. Saysal deerleri kullanrsak, toplam uzama
6 6 6
24000 60 24000 100 24000 500, 024 0, 06 0,012 0, 096
2 10 30 2 10 20 2 10 50l cm
= + + = + + =
olur.rnek 3.9. ekil 3.33,ada boyutlar ve ykleme durumu verilen sistemde P=3T, l=3 m, A=10
cm2, 6 22 10 KgEcm
= dir. Sistem
scaklk T0C ikenmesnetletirilmitir. Scakln100 0C artmas durumundasistemdeki Y ve X bakuvvetlerini hesaplaynz.Malzemede scaklkla genleme
katsays 60
112 10
C
= olarak
verilmitir.zm: Bu ykleme durumunda A ve B mesnetlerinde sadece yatay tepkiler doar. Eldekitek denge denklemi,
0X Y P + = biiminde yazlabilir. ki bilinmeyen iin tek denge denklemi yazldna gre bu sistembirinci derece hiperstatiktir. Sistem ekil 3.33,bdeki duruma getirilsin. Bu durumun ncekisistemle ayn olmas iin A ve B noktalar arasndaki akln sfr olmas gerekir. AB kirii Pkuvvetinden ve scaklk deiiminden dolay uzar, X kvetinden dolay da ksalr. Bu boydeiiminin toplamnn sfr olmas bu problemdeki uygunlukartdr.Pden dolay AB ubuundaki uzama;
2
6
/ 3 3000 31,5 10
3 3 2 10 10P
P l P ll cm
EA EA
= = = =
Xden dolay AB arasndaki ksalma;
A3=50 cm2A2=20 cm
2
A1=30 cm2
0,6 m 1 m 0,5 m
24 T
ekil 3.32
24 T
2l/3
BA
l/3
PY X
BA PY X
ekil 3.33
a)
b)
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
22/74
22
5
6
3001,5 10
2 10 10XX l X
l X cmEA
= = =
Scaklktan dolay AB ubuunun uzamas;6 212 10 300 100 36 10Tl l T cm
= = =
olur. Bu deerler uygunluk koulunda yerine konulursa;
5 2 2
2
5
0
1,5 10 36 10 1,5 10
37,5 1025000
1,5 10
P X T X P Tl l l l l l
X
X Kg
+ = = + = +
= =
0X Y P + = denkleminden;25000 3000 22000Y X P Kg = + = + =
olur.
rnek 3.10. Duvar durumunu gsteren bir kesitiekil 3.34de verilen yma bir binann atdemesinden demenin oturduu 20cm lik tuladuvarnn 1m uzunluundaki ksmna den yaylyk 3 /T m dir. Tula duvarn (hatl dahil) zgl
arl 31700 /Kg m , ta duvarn (hatl dahil) zgl
arl 32000 /Kg m ve betonarmenin zgl arl32400 /Kg m olduuna gre 1 1 , 2 2 ve3 3
kesitlerinde oluan gerilmeleri hesaplaynz.zm: atdan tula duvarn 1m uzunluunagelen yk 3000 /Kg m dir. Tula duvarn 1
metresinin arl:0,20 3 1 1700 1020 /Kg m = O halde 1 1 kesitinin 1 metresine etkiyen yk 1020 3000 4020 /Kg m+ = olur. Bylece 1 1 kesitinde oluan gerilme;
21 1
40202,01 /
20 100
NKg cm
A = = =
Ta duvarn 1 metresinin arl:0,50 2 1 2000 2000 /Kg m = O halde 2 2 kesitinin 1 metresine etkiyen yk 4020 2000 6020 /Kg m+ = olur. Bylece2 2 kesitinde oluan gerilme;
22 2
4020 1, 2 /50 100
N Kg cmA
= = =
Temel hatln kendi arl:0,90 0,3 1 2400 648 /Kg m = Bylece 3 3 kesitinin 1 metresine etkiyen yk6020 648 6668 /Kg m+ = olur. Bylece 2 2 kesitinde oluan gerilme;
22 2
66680,74 /
90 100
NKg cm
A = = =
rnek 3.11.ekil 3.35,adeki koninin zgl arl ,
elastiklik modl Edir. Kendi arl etkisiyle uzamamiktarnn bulunuz.
Ta duvar50cm
at demesi
33
2 2
Tula duvar20cm
90 cm
30cm
2m
3m
BetonarmeTemel hatl
Blokaj
Deme
ekil 3.34
Zemin1 1
ekil 3.35
N
Wa)
b)
R
r
h
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
23/74
23
zm: Koninin alttan bir z uzunluundaki normal kuvveti bulalm (ekil 3.35,b). Buksmdaki yarap;r R
z h= veya R
h
zr=
olur. Tabann alan:2 2
2 2
2
z R RA r z
h h
= = =
Koninin hacmi:2
3
2
1
3 3
RV Az z
h
= =
Koninin arl:2
3
23
RW V z
h
= =
olur. Oysa normal kuvvet denge koulundan bulunabilir:
-W=0 =WN N veya2
3
23R zh
=N
Normal kuvvet deiken olduundan toplam uzanma miktar2
322
220 0
2
36
h hR
zdz hhl dz
RE A EE z
h
= = =
N
bulunur.
rnek 3.12. ekil 3.36,adeki bir ucu ankastre ubuun normal kuvvet diyagramn iziniz veAD arasndaki boy deiimini hesaplaynz.
Elastiklik modln 62
1 10Kg
Ecm
= alnz.
zm: nce balama yerindeki (Anoktas) reaksiyon kuvvetihesaplanr 3 1 4
AxF T= + = . Normal kuvvet
iin AB ve BC gibi iki blge ayrmakmmkndr.Her tekil yk bir blgede snr
belirlemektedir. Bir blge iinde yk yoksaeksensel normal kuvvet diyagramnn biryatay doru olduu anmsanrsa,AB blgesinde 4(0 1 )
AxN F x m= = ,
BD blgesinde4 3 1 (1 3,5 )N T m x m= =
olarak hesaplanr. Normal kuvvet diyagramekil 1,bde izilmitir.
ubuk boyunca kuvvet deitii iin her blgedeki uzamann hesaplanmas iin2
1
x
x
Nl dx
EA =
integrali ile hesaplanabilir. Normal kuvvet iin AB ve BD gibi iki blge olmas na ramen
ubuun en kesiti asndan BD blgesi de BC ve CD gibi iki blgeye ayrlabilir. Byleceubuun uzamas AB, BC ve CD hesaplanmas gerekmektedir.
N, T
1,5m1m1m
D
A2=1 cm2
A1=4 cm2
1TB CA
3T
ekil 3.36
a)
b)
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
24/74
24
AB blgesinde;100
10031 6 0
0
40001 10 0,1
1 10 4l dx x cm = = =
BC blgesinde;200
20042 6 100
100
1000 2,5 10 0,0251 10 4
l dx x cm = = = CD blgesinde;
3503503
3 6 200300
10001 10 0,15
1 10 1l dx x cm = = =
olarak elde edilir. AD arasndaki boy deiimini;
1 2 3 0,275l l l l cm = + + = olur.
rnek 3.13.ekil 3.37de grlen sistemde0em =
ve birim zgl
arl olduuna gre A1, A2 ve A3 kesit alanlarn hesaplaynz.zm. Kesit alan A1 olan blgede normal kuvvet 1 1 1N P L A= + olduu
iin 1 101
P L A
A
+= olur. Buradan A1bulunur.
0 1 1 1 0 1 1 1 1
0 1
PA P L A A L A P A
L
= + = =
Kesit alan A2 olan blgede normal kuvvet 2 1 1 2 2N P L A L A = + + olduu
iin 1 1 2 202
P L A L A
A
+ += olur. Buradan A2bulunur.
0 2 1 1 2 2A P L A L A = + +1 1
0 2 2 2 1 1 2
0 2
P L AA L A P L A A
L
+ = + =
1A in deeri burada yerine konulursa,
( )( )
1
0 1 0 1 11 12
0 2 0 2 0 2 0 1
PP L
L P P L P LP L AA
L L L L
+ ++
= = =
( )( )0
2
0 2 0 1
PA
L L
=
Kesit alan 3A olan blgede normal kuvvet 3 1 1 2 2 3 3N P L A L A L A = + + + olduu iin
1 1 2 2 3 30
3
P L A L A L A
A
+ + += olur. Buradan 3A bulunur.
0 3 1 1 2 2 3 3 0 3 3 3 1 1 2 2A P L A L A L A A L A P L A L A = + + + = + +
( )( )0
1 2
0 1 0 2 0 11 1 2 23
0 3 0 3
P PP L L
L L LP L A L AA
L L
+ + + +
= =
( )( ) ( )( )( )( )
0 2 0 1 1 0 2 2 03
0 3 0 2 0 1
P L L P L L P LA
L L L
+ +=
( )( )( )
20
3 0 3 0 2 0 1
PA
L L L
=
L2
A3
A2
P
A1 L1
L3
ekil 3.37
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
25/74
25
rnek 3.14. P kuvvet ile zemine aklan L uzunluklu birkazn yanal yzeyinin zerinde birim uzunlua
0( ) ( 1)z
aq z q e= eklinde srtnme kuvveti etki ediyor (ekil
3.38). Burada 0q ve a birer sabittir. Kazn tamam akld
anda P kuvvetini ve bu halde kazk boyunda meydana gelenksalmay hesaplaynz.zm. P kuvveti L uzunluklu kazn yanal yzeyininzerindeki toplam srtnme kuvvetine eittir.
0 0 0
0 0 0
( ) 1
LL L z z L
a a aP q z dz q e dz q ae z q ae L a
= = = =
z kesitindeki normal kuvvet;
( ) 0 0 00 0 0
( ) 1
zL L z
a a aN z q d q e d q ae q ae z a
= = = =
olur. Kazktaki boy deiimi,
( ) 220 00 0 0
22 22 20 0
2
2
12 2
LL L z z
a a
L L
a a
N z q q zl dz ae z a dz a e az
EA EA EA
q q aL L La e aL a e
EA EA a a
= = =
= =
rnek 3.15. ekil 3.39da grlen ubuk ift malzemeden yaplmtr. Malzemelerinelastiklik modlleri E1 ve E2; scaklkla genleme katsaylar 1 2ve ; kesit
alanlar 1 2veA A dir. ubuk T0 derecede imal edildiine gre evre scakl T olunca
oluacak gerilimleri bulunuz.zm: 1 ve 2 numaral malzemelerde scaklklaoluacak normal kuvvetler srasyla 1 2veN N olsun.
Boy deiimi sdan ve 1 2veN N normal kuvvetlerin
etkisi ile olacaktr. Scaklk Tye eitlenince her ikimalzemedeki boy deiimleri eit olacaktr.
( ) ( )1 21 0 2 01 1 2 2
N L N LT T L T T L
E A E A + = +
Bu denklem dzenlenirse
( ) ( )1 2
2 0 1 0
1 1 2 2
N L N LT T L T T LE A E A =
elde edilir. 1 2=-N N olduundan;
( )( )1 2 1 01 1 2 2
1 1N L T T L
E A E A
+ =
( )( )2 1 01
1 1 2 2
1 1
T TN
E A E A
=
+
elde edilir. te yandan;
1 2
L
ekil 3.39
z
P
0 1z
aq e
ekil 3.38
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
26/74
26
( )( )1 2 02 1
1 1 2 2
1 1
T TN N
E A E A
= =
+
olur. ubukta oluan gerilmeler,
( )( )2 1 0111
1
1 1 2 2
1 1T TN
AA
E A E A
= = +
ve ( )( )1 2 0222
2
1 1 2 2
1 1T TN
AA
E A E A
= = +
bulunur.
rnek 3.16. ekil 3.40deki gibi birgerilme hali verilmitir. Verilengerilimlere gre 30 eimli olanyzeylerdeki normal gerilimleri vekayma gerilimlerini bulunuz.zm: Grafik Yol. Normal gerilimlerverildiine gre gerilme ekseni zerinde
belirli bir lekte 1000 Kg/ cm alarak A
noktasn, 200 Kg/cm alarak da Bnoktasn elde ederiz. AB ap olmakzere Mohr dairesi izilir (ekil 3.41).1000 Kg/cm lk gerilmenin bulunduuyzle 30 yapan yzeye kar gelennokta, Adan 2x30=60 ters ynde giderek bulunur. Bulunan C noktasnn koordinatlargrafik olarak llr ve aranan gerilimler bulunur.
Prizmann teki yzeyi ise 1000Kg/cm lik gerilmeninbulunduu yzeyle30+90=120 yapmaktadr. Ohalde ona kar gelen noktay
bulmak iin A dan2x120=240 dnmelidir. Bu Ckarsna gelen D noktasdr. Cve D noktalarnda gerilimleri
bulmak iin lme yerinde ufakbir hesaplamada yaplabilir.
Mohr dairesinin merkezi(1000+200)/2=600 Kg/cm2dedir. Yarap ise (1000-200)/2=400 Kg/cm2 dr. Ohalde
2
2
2
2
600 400cos 60 600 400 0,5 800 /
400sin 60 400 0,866 346,4 /
600 400cos 60 600 0,5.400 400 /
400sin 60 400 0,866 346,4 /
o
o
o
o
OC Kg cm
CC Kg cm
OD Kg cm
DD Kg cm
= + = + =
= = =
= = =
= + = =
200 Kg /cm2
200 Kg /cm2
300
1000Kg/cm
2
1000Kg/cm
2
ekil 3.40
D
A0200
A
ekil 3.41
, Kg/cm2
C
1000M
,Kg/cm
2
C
D
346,4
-346,4
2400
2300
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
27/74
27
olur. Bylece 30 eimli olan yzeylerdeki normal gerilimleri (-346,4 Kg/cm2 ve 346,4Kg/cm2) ve kayma gerilimleri (400 Kg/cm2 ve 800 Kg/cm2) elde edilir. Sonular bir prizmazerinde gsterilmitir (ekil 3.42).
Analitik Yol.Normal gerilimlerin ve kayma gerilimlerin ifadelerini dikkate alrsak;
0 21 2 1 2
0 21 2
1000 200 1000 200cos 2 cos60 800 /
2 2 2 21000 200
sin 2 sin 60 346,4 /2 2
Kg cm
Kg cm
+ + = + = + =
= = =
Prizmann teki yzeyi ise bu yzeye dik olan yzey olduu iin 0 0 030 90 120 = + = dr.21000 200 1000 200 cos 240 400 /
2 2o Kg cm
+ = + =
21000 200sin 240 346,4 /2
o
Kg cm
= =
Sonular bir prizma zerinde gsterilmitir(ekil 3.42).
rnek 3.17. ekil 3. 43daki gibi birgerilme hali verilmitir. Verilen ykleregre 45 eimli duran bir prizmannyzeyindeki gerilimleri hesaplaynz.zm: Grafik Yol. Normalgerilimlerden biri 200 Kg/cm, dieri 40
Kg/cmdir. Bunlar lekle alnarak Mohrdairesi izilir. Normali x olan yzeye A noktas,normali y olan yzeye B noktas kar gelmektedir.
Normalix eksenine gre 45 dnm yzeyi bulmakiin, A noktasndan saat ibreleri ynnde 90dnmelidir. Bu bize C noktasn verir. Dier yzise ona dik olduundan C nin karsndaki Dnoktas elde edilir. Mohr dairesinin ap 240Kg/cm2, yarap ise 120 Kg/cm2 dir (ekil 3.44). Ohalde;
2 2
2 2
80 / ; 120 /
80 / ; 120 /
C C
D D
Kg cm Kg cm
Kg cm Kg cm
= =
= =
346,4 Kg /cm2
346,4 Kg /cm2
800 Kg /cm2
400 Kg /cm2
400 Kg /cm2
ekil 3.42
800 Kg /cm2
346,4 Kg /cm2
346,4 Kg /cm2
40 Kg /cm2
40 Kg /cm2
50
200Kg/cm
2
200Kg/cm
2
ekil 3.43
, Kg/cm2
D
40
BA-200
ekil 3.44C
M
,
Kg/cm
2
2450
0
120
-120
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
28/74
28
Analitik Yol. Normal gerilimlerin ve kayma gerilimlerin ifadelerini dikkate alrsak;
3 21 2
21 2 1 2
21 2
200 / , 40 /
200 40 200 40cos 2 cos90 80 /
2 2 2 2200 40sin 2 sin 90 120 /
2 2
o
c
o
c
Kg cm Kg cm
Kg cm
Kg cm
= =
+ + = + = + =
= = =
Sonrada
45 90 135o o o = + = alnarak, 2 270= olur. Bu deeri dikkate alrsak
2
2
200 40 200 40cos 270 80 /
2 2200 40
sin 270 120 /2
o
D
o
D
Kg cm
Kg cm
+ = + =
= =
olur. Sonular bir prizma zerinde ekil 3.45da gsterilmitir.
rnek 3.18. ekil 3.46da grleniki eksenli gerilme durumunda,verilen gerilmelerle 045 lik ayapan yzeylerde oluan normalgerilmeleri ve kayma gerilmelerini,a) analitik,
b) grafik yntemle belirleyiniz.zm: Analitik Yol. Normalgerilimlerin ve kayma gerilimlerinifadelerini dikkate alrsak;
0 21 2 1 2
0 21 2
1400 300 1400 300cos 2 cos90 850 /2 2 2 2
1400 300sin 2 sin 90 550 /
2 2
Kg cm
Kg cm
+ + = + = + =
= = =
Prizmann teki yzeyi ise bu yzeye dik olan yzey olduu iin 0 0 045 90 135 = + = dr.
21000 200 1000 200 cos 270 850 /2 2
o Kg cm+
= + =
21400 300 sin 270 550 /2
o Kg cm
= =
120Kg /cm2
80 Kg /cm2
120Kg /cm2
120 Kg /cm2
80Kg /cm2
ekil 3.45
80 Kg /cm2
80 K g/cm2
120 Kg /cm2
ekil 3.46
21400 /Kg cm21400 /Kg cm
2300 /Kg cm
2300 /Kg cm
045
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
29/74
29
Grafik Yol. Normal gerilimlerdenbiri 1400 Kg/cm, dieri 300Kg/cmdir. Mohr dairesinin ap;
21 2 1400 300 850 /2 2
Kg cm + +
= = ,
yarap ise21 2 1400 300 550 /
2 2Kg cm
= =
dir (Bunlar lekle alnarak Mohrdairesi izilir. Normali x olanyzeye A noktas, normali y olanyzeye B noktas kargelmektedir. Normali x ekseninegre 45 dnm yzeyi bulmakiin, A noktasndan saat ibreleri
ynnde 90
dnmelidir. Bu bize Cnoktasn verir. Dier yz ise ona dik olduundan C nin karsndaki D noktas elde edilir.(ekil 3.47). O halde;
2 2
2 2
850 / 550 /
850 / 550 /
C C
D D
Kg cm Kg cm
Kg cm Kg cm
= =
= =
Sonular bir prizma zerinde gsterilmitir(ekil 3.48).
rnek 3.19. ekil 3.49da verilmi gerilmedurumuna ait asal gerilimleri Mor dairesi
yardm
yla bulunuz.zm: Mohr dairesi zerindeki C ve D
noktalarnn koordinatlarbulunur: (150,600), ( 750,600)C D . Koordinat eksenleri izilir ve eit blmelerle normal vekayma gerilmeleri derecelendirilir. CDdoru paras Mohr dairesinin apnoluturur. CD dorusunun normalgerilme eksenini kestii noktann (M)dairenin merkezi olduunu kabullenerekC ve D noktalarndan gemesi kouluylaMohr dairesi izilir (ekil 3.50) .
ekilden; 2750 /R Kg cm= ,2
1 450 /OA Kg cm = = ,2
2 1050 /OB Kg cm = = olur. Normal
gerilmelerle oluturulan ann iki kataadaki gibi bulunur:
0600 4tan 2 2 0,927 53,13450 3
NCrad
MN = = = = =
Bylece iki eksenli gerilme durumu ekil 3.51deki gibi olur.
550D
1400300
C
B A, Kg/cm2
40
ekil 3.47
,
Kg/cm
2
2450
0
2700
550
2150 /Kg cm
2750 /Kg cm
2750 /Kg cm
2150 /Kg cm
2600 /Kg cm
2600 /Kg cm
ekil 3.49
2850 /Kg cm
2
850 /Kg cm
2550 /Kg cm
2
850 /Kg cm
2850 /Kg cm
2550 /Kg cm
ekil 3.48
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
30/74
30
IV. KESME ETKS
rnek 4.1.ekil 4.5de verilen birleimde ez = 100 Kg/cm, em =10 Kg/cm olduuna gre
birleimin tayabilecei P kuvvetini bulunuz.
zm: Ezilmeye alan paralar st ksm dnlrse ed l ve ih l kesit paralardr.
kisinin alanlar eit olduu iinPkuvvetinin yarsn biri, yarsn dieri karlar. Dolaysylaezilmeye gre tanabilecekPkuvveti
1 2 2 5 25 2 125 100 25000ez ezP A Kg = = = = olur.
Kesmeye gre hesap yaplrsa kesilmeye allan ksmlar be l ve fi l kesitleridir. be l vefi l alanlar eit olduuna gre
2 2 2 50 25 10 25000emP A Kg= = = ekilde hesaplanr. Dolaysyla birleim 25 Tyk tayabilir.
D
M
,
Kg/cm
2
300
C
B A, Kg/cm2
ekil 3.50
2
M O N
2450 /Kg cm
2450 /Kg cm
026,6
ekil 3.51
1050Kg/cm
2
1050Kg/cm
2
l
P
P
A'
5 cm
1 m 0,5 m 1 m 0,5 m 1 m
a b e f i k
c d g h
A
l=25 cm
ekil 4.5
A-A' kesiti
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
31/74
31
rnek 4.2.ekil 4.6da gsterilen ekte a, b, c boyutlarn hesaplaynz.2
100em ek
Kg
cm = ,
280
em bas
Kg
cm = ,
29
em
Kg
cm =
zm: ekmede en zayf kesit ( )1
2ekA a c a= , basnta ise basA c a= dir. O halde bu
kesitlerde ortaya kan gerilmeler emniyet gerilmelerinden az olmaldr.
4000 ( ) 801
( )2
ek emek emek emek
ek
P a c aA
a c a
400080 50bas embas embas
bas
Pac
A ac
fadelerin oran alnrsa;( ) 80 13
50 50 8050 5
a c a ca c c a
ac
= = =
21350 50 4,385
ac c c cm= = =
13 13 4,3811,39
5 5
ca cm
= = =
b boyu kesmeye gre hesaplanabilir. Kesilen alan kesA ba= dr. Bu kesitlerde ortaya kankesme gerilmesi kesme emniyet gerilmelerinden dk olmaldr.
40009 444, 44kes em em
kes
Pba
A ba
444,4439,02
11,39b cm= =
rnek 4.3. ekil 4.7deki bulonda 2 ,ez em em em = = olduuna gre bulonun ekme, ezilme ve kesilme tehlikesine
gre eit mukavemetli olmas iind
Dve
h
doran ne olmaldr?
zm: Bulonun ekme etkisi ile zorlanan kesiti2
4ek
dA
= ,
kesilmeye alan kesiti kesA dh= ve ezilme alan ise
( )2 2
4ez
D dA
= dr. Bulonun ekmeye gre tayaca kuvvet
2
14
ek em emdP A = = , kesilmeden tayabilecei kuvvet
a
a4 T 4 Ta
bb
c kesit
ekil 4.6
Dh
P
d
ekil 4.7
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
32/74
32
2 kes em emP A dh = = ve ezilmeksizin tayabilecei kuvvet ise( )2 2
34
ez ez ez
D dP A
= = olarak
hesaplanr. Bulonun ekme, ezilme ve kesilme tehlikesine gre eit mukavemetli olmaskoulunu kullanrsak,
2
1 2 44 em em em emd
P P dh d h
= = =
( )( )
2 222 2 2
1 34 4
em ez em ez
D ddP P d D d
= = =
2 veez em em em = = olduu dikkate alnrsa 4d h= ve
( )2 2 2 2 22 3 2 / 2 / 3d D d d D d D= = = bulunur. Son orantda 4d h= olduu dikkatealnrsa
/ 2 / 3 4 / 2 / 3 / 1 / 24d D h D h D= = = elde edilir.
rnek 4.4. Daire kesitli betonarme bir kolon N=200Tbir basn kuvveti etkisindedir (ekil 4.8). ap 50cm olarak verilen bu kolonun ykn zemineaktaracak olan temel plandaki boyutlar3 3m m dir.a) Kolonun temel plan delmemesi iin gvenlekullanlabilecek temel pla kalnl ne kadar
olmaldr (2
8emKg
cm = ) ?
b) Temel pla altnda oluan ve dzgn yayl
olduu kabul edilen zemin gerilmesini hesaplaynz.Betonarmenin zgl arl
32400
Kg
m = dr.
zm: a) Kolonun temel plan delmesimuhtemel olan kesitin alan 2 r t d t = olduundan
basn kuvvetinin maksimum deeri emN d = den byk olmamaldr. Buradan kolonun
temel plan delmemesi iin gvenle kullanlabilecek temel pla kalnl bulunur:200000
159,24 1603,14 50 8em
Nt cm cm
d = = = =
b) Temel plan arl,
3 3 1,6 2400 34600P Kg= = olur. Zemine aktarlan toplam yk,
200000 34600 200000 234600N P Kg= + = + =
olduu iin zeminde oluan gerilme,
2
2346002,6
300 300zemN Kg
A cm = = =
rnek 4.5.ekil 4.9da verilen at makasnn
ahabn ezilme emniyet gerilmesi2
100Kg
cm, kayma emniyet gerilmesi de
220
Kg
cmolarak
verilmektedir. P=15 Tolan bir kuvveti gvenlikle ta
yabilmek iin e ve h boyutlar
en az nekadar olmaldr? Levhann eni b=12 cm ve tg =3/4 olarak verilmitir.
t
3 m
3 m
=200 T
d=50
ekil 4.8
hP
h
hh
he
hH
hekil 4.9
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
33/74
33
zm: P kuvvetinin kiri ekseni dorultusundaki bileeni tehlike yaratacaktr. Bu bileen,4
cos 15 125
H P T T= = =
dr. Burada2
1 4cos cos
51 tg
= =
+
olduu dikkate alnmtr. Ezilmeye alan kesit
h b kesitidir. Dolaysyla12000
1012 100ez ez
HH hb h cm
b
=
Kesilmeye alan ksm ise eb yzeyidir. Bu dnce izlenereke uzunluu aadaki gibihesaplanr:
1200050
12 20em em
HH eb e cm
b
= =
rnek 4.6.ekil 4.10da gsterilen P yk ile
ykl dairesel bir plakta d=10 cm apnda birdelik almak istenmektedir. Balkta
22000ez
Kg
cm = ve plakta
2600em
Kg
cm =
olduuna gre tatbik edilmesi gereken Pkuvvetini bulunuz.zm: Baln ezilmeden tayabileceikuvvet
2
4 ezd
P
olur. Saysal deerler yerine konduunda23,14 (10)2000 157000 157
4P Kg T
= = =
olarak bulunur. Plan delinmesi iin gerekli kuvvet3,14 10 1 600 18840 18,84emP d b Kg T = = =
elde edilir. Bu kuvvet 157 Tdan kk olduundan, balk ezilmeden plakta delik alabilir.
max 18,84P T= olur.
rnek 4.7. 25 T kesme kuvvetinin etkidii ekil 4.11deki ekte kaynak dikiinin lk boyunu
hesaplaynz. Kaynakta emniyet gerilmesi2
900 ,k emKg
cm = 0,7 ,a cm= 0,7d cm= dr.
zm: Kesilen alan 2A d l= olduundan
b
P
ekil 4.10
25 TA
A'
ld
a
A-A' kesiti
ekil 4.11
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
34/74
34
2k em k emP P
A d l
olduu iin, buradan kaynak dikiinin lboyunu hesaplarz:25000
19,8
2 2 0,7 900k em
Pl cm
d
= =
Kaynak dikiinin gerek boyu artnameye gre;2 19,8 2 0,7 21,2
kl l a cm= + = + = olur.
rnek 4.8. ekil 4.12deki sistemle P yk tayan bir ubuk bir yapya balanmtr.Hesaplar bulonun levhay kesmeyecek ekilde yapldnda, (a) sistemin tayabileceimaksimum yk nedir? (b) Bu P yk altnda a mesafesinin minimum deeri ne olur? Bulonda
emniyet kayma gerilmesi 69 10em Kg = , ubukta 2 21400 , 1050 ,em emKg Kg
cm cm
= =
22800ez
Kg
cm = dr. 5 , 2 , 10b cm t cm d mm= = = alnz.
zm:(a)ncelenecek hususlarunlardr:ubuun kopmaya kar tayabilecei yk:
( ) (5 1) 2 1400 11200emP b d t Kg = = ubuun ezilmeye kar tayabilecei yk:
1 2 2800 5600ezP d t Kg = = Bulon xx ve yy yzlerinde kesilme tehlikesiyle kar karya olduuna gre, ift tesirli
olarak tayabilecei yk
a
a
t
P
Bulon
ubuk
P
'
'
b
ekil 4.12
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
35/74
35
2 22 12 2 900 1413
4 4emd
P Kg
= =
dr. O halde maksimum yk 1413P Kg= olurb) a mesafesi bulonun levhay kesmeme artndan bulunabilir.
2( ) 2
14130,0336
2 2 1050
em
em
PP a t a t
a a cm
bulunur.
rnek 4.9. ekil 4.13,adeki tek tesirli perinekinde 1 10 ,t mm= 2 8 ,t mm= 16 ,d mm=
6P T= ,2
1000 ,emKg
cm = olduuna gre gerekli
perin saysn bulunuz. Levhann geniliinihesaplaynz ve ekin tertibini yapnz.zm. Bir perinin kesmeye ve ezilmeye gretayabilecei 1Q ve 2Q kuvvetleri hesaplayalm.
Kesmeye gre kesit alan 2 / 4d olduu iintayabilecei yk,
( )22
1
3,14 1,61000 2010
4 4emd
Q Kg
= = =
olur. Ezilmeye alan mind t dir. O halde ezilmeye
gre tayabilecei yk;
( ) ( )2 min 1 2 1,6 1 0,8 1000 2880ez ezQ d t d t t Kg = = + = + =olur. 1 2Q Q< olduundan tek tesirli ekte bir perinin tayabilecei maksimum yk
1 2010Q Q Kg = = alnr. 6Tluk yk tayacak perin says6000
32010
Pn
Q= = olur. Levha
genilii, perinler aras 3d ve son perinin kenara uzakl1,5d alnarak bulunur:2 1,5 3 3 9 9 1,6 14,4b d d d d cm= + + = = =
Ekin tertibi ekil 4.13,bde gsterilmitir.
4.10.ekil 4.14,ade gsterilen tek tesirli (n=2)birleiminin tayabilecei maksimum P yk nekadardr? d = 21 mm (perin ap), b=15 cm(ana levhann genilii), 1,5t cm= (ana
levhann kalnl),2
1400emKg
cm = ,
2t 1050em
Kg
cm= , ez = 2400 2
Kg
cmdur.
zm: Zayflatlm kesitte ana levhann tayabilecei kuvvet;( ) ( )2 15 2 2,1 1,5 1400 22680emP b d t Kg = =
Kesmeye gre bir perinin tayabilecei yk;
P
2,5d2,5d
d
Pt2
t1
14,4cm
1,5d
3d
3d
1,5d
ekil 4.13
a)
b)
ekil 4.14
2P
t 2P
d
P
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
36/74
36
( )22
2
3,14 2,12 2 1050 7270
4 4em
dP Kg
= = =
olur. Perin says iki olduuna iin kesmeye gre perinlerin tayabilecei yk,
2 22 2 7270 14540P P Kg Kg= = =
Ezilmeye gre bir perinin tayabilecei yk,
3 2,1 1, 5 2400 7560ezP d t Kg = = = olarak hesaplandna gre iki perin iin tanabilecek yk,
3 3 2 7560 15120P P Kg= = =
olur. Bu kuvvetlerden en k 2 14540P Kg= olduu iin tek tesirli birlemenin
tayabilecei maksimum kuvvet max 14540 14,4P Kg T= = olur.
rnek 4.11. ekil 4.15deki ift tesirlibirleiminde ana levhann kalnl
10 ,t mm= perin ap 21d mm= olduuna gre birleimin tayabileceimaksimum P kuvvetini bulunuz.
20b cm= ,2
1400emKg
cm = ,
21000em
Kg
cm = ve
22800ez
Kg
cm = dr.
zm: Ana levhann tayabileceikesme kuvveti 1-1 kesitinde
1
1
( )
(20 2,1) 1 1400 250600 250,6emP b d t
P Kg T
= =
2-2 kesitinden levhann yrtlmas iin perinin ezilmesi gerekir. Bu sebeple;2 ( 2 ) (20 2 2,1) 10 1400 2,1 1 2800 28em ezP b d t d t T = + = + =
Bir perinin kesilmeye gre tayabilecei kuvvet2 2
3
3,14 (2,1)2 2 1000 6924 6,924
4 4emd
P Kg T
= = =
olarak bulunur. Bir perinin ezilmeye gretayabilecei kuvvet,
4 2,1 1 1800 5880 5,88ezP d a Kg T = = = perinin tayabilecei kuvvet ise:
4 43 17640 17,64P P Kg T= = = Bu durumda birleimin tayabileceikuvvet:
max 17,64P T
rnek 4.12. ekil 4.16daki ekintayabilecei en byk ekme kuvvetinihesaplaynz. Perinlerin aplar 17d mm= dir. Levhada ve perinlerde emniyet
gerilmeleri 21400em Kgcm
= , 21400em Kgcm =
PP
P P
2 1
2' 1'
b
ekil 4.15
21
PP
PP
8 mm10 mm
8 mm
1 2
10cm
ekil 4.16
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
37/74
37
dir. Perinlerin ezilme gerilmesini2
2800ez emKg
cm = alnz.
zm: Bir perinin tayabilecei yk kesmeye ve ezilmeye gre belirlenebilir.ift tesirli perin eklerinde kesmeye gre bir perinin tayabilecei yk;
22
13,14 1,7 14002 6352
4 2 2emddQ Kg
= = = = Ezilmeye gre bir perinin tayabilecei
yk;
2 min 1, 7 1 2800 4760ezQ d t Kg = = =
olur. 1 2Q Q> olduundan ezilme esas alnacaktr.
3 perinin tayabilecei yk 1 3 4760 14280P Kg= = olarak bulunur. Ana levhann en zayfkesiti 1 1 kesitidir. Her ne kadar 2 2 kesitinde levha iki perin delii kadar zayflam isede buradan yrtlma olmas iin nce 1 1 kesitinin mukavemeti sona ermelidir. O halde;1 1 kesitinde:
( ) ( )2 10 1,7 1 1400 11620emP b d t kg= = = 2 2 kesitinde
( ) ( )3 22 10 2 1,7 1 1400 4760 14000emP b d t Q kg= + = + =
Ek levhalar bakmndan en zayf kesit 2 2 kesitidir.( ) ( ) ( )4 2 10 2 1,7 2 0,8 1400 14784emP b d t kg= = =
Tanabilecek 1 2 3 4, , veP P P P yklerinden en k 2P olduundan tanabilecek maksimum
yk 11620P Kg= olur.
rnek 4.13.ekil 4.17,ade gsterilen
genilii b=21 cm ve kalnl12t mm= olan iki levha u ucagetirilerek birletirilecektir.
1,6 ,ez em = 0,8em em = olduunagre;a) Perin saysn bulunuz ve tertibigsteriniz.
b) Ek levhasn boyutlandrnz.zm: Perin saysn bulmak iin
perin apn bulmak gerekmektedir.Bunun iin bir perinde ezilme vekesme tehlikeleri eit alnr.
2 2 2 1,2 1,62 1,529
4 3,14ez em
ez em
em em
tddt d cm
= = = =
Buradan perinin ap seilir 1,6 16d cm mm= = .Perin saysn bulmak iin ezilmee kar mukavemet esas alnacaktr: 1 ezP dt= .
En zayf kesitte perin olduu kabul edilirse ( )max 3 emP b d t= olur. yle ise perin says,
( ) ( )max1
3 3 21 3 1,6 16
1,6 1,6em em
ez ez
b d t b d Pn
P dt d
= = = =
olur. O halde birlemede iki sra perin olacaktr. Perinlerin tertibi ekil 4.17,bdegsterilmitir.
tP
P Pb
P
b)
a)
2d3d2d
l
ekil 4.17
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
38/74
38
b) Ek levhalarn hesabnda en zayf kesitin P kuvvetini tayabilmesi esas alnacaktr.( ) ( )3 3 2em emP b d t b d t = =
1,20,6 6
2 2
t cmt cm mm = = = =
Ek levhann boyu,2 3 2 7 7 1,6 11,2l d d d d cm cm= + + = = =
rnek 4.14.ekil 4.18deki tek tesirli perin ekinde 1, 2, 3, 4 no.lu perinlere gelen kesmekuvvetlerini hesaplaynz. Perin ap 24 mm dir. Ezilme ve yrtlma tehlikesi yoktur. Kayma
emniyet gerilmesi 1200
Kg
cmolduuna gre bu ekin yk tar m?
zm: Perin deliklerinin arlk merkezi 0 noktasdr. P kuvvetinin bu noktaya tarsak0deki yatay ve dey kuvvetler ve moment
0 01 330 6 3 cos30 6 5,22 2
24 4 112,8 (Saat akrebi ynnde)
x y
y x
P P sin T P P T
M P P T cm
= = = = =
= =
Perin delikleri eit olduu iin her perine xP ve yP den dolay gelen kuvvetler
1 2 3 4
1 2 3 4
4 0,75
4 1,3x x x x x
y y y y y
P P P P P T
P P P P P T
= = = = =
= = = = =
, ,x yP P Mden dolay meydana gelen kuvvetler aadaki ekil 4.19de gsterilmitir.
Perinlerde oluan momentten dolay meydana gelen kayma gerilimleri aadaki biimdehesaplanr:
2
1
mi in
i ii
Mr
A r
=
=
24 cm
4 cm
4 cm 2
8 cm
ekil 4.18
1
3
4
*0
8 cm
y
P=6 T
300
4 cm
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
39/74
39
Burada ir- .i perin deliinin merkezinin merkezden uzakl, iA - .i perin deliinin alandr.
21 12 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
112,8 4,2312 12 /
12 4 4 12 320mM M
r T cmA r A r A r A r A A A A A A
= = = =+ + + + + +
22 22 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
112,8 1,414 4 / ;
12 4 4 12 320m
M Mr T cm
A r A r A r A r A A A A A
= = = =
+ + + + + + 3 2 4 1,m m m m = =
Kuvvetler ise;
1 4 1
2 3 2
4,23
1,41m m m
m m m
P P A T
P P A T
= = =
= = =
olarak bulunur.
( )
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
2 23 3 3 3
2 24 4 4 4
( ) 5,147
( ) 2,521
1,458
( ) 3,715
x m y
x m y
x m y
x m y
P P P P T
P P P P T
P P P P T
P P P P T
= + + =
= + + =
= + =
= + =
En fazla zorlanan 1 numaralperindir. Bu perinde meydanagelen kayma gerilmesi
211 2
51471137,7 /
1,2
PKg cm
A
= = =
2 21137,7 / 1200 /Kg cm Kg cm< olduundan birleim bu P ykn tutar.
V. EYLEMSZLK MOMENTLER
rnek 5.1. Bir dikdrtgenin arlk merkezinden geen eksenlere gre 0, ,x yI I I eylemsizlik
momentlerini hesaplaynz. Eylemsizlik yaraplarn bulunuz.zm: Ixi hesaplamak iin ayny uzaklnda olan alanelemanlarndan oluan yatay bir erit seelim (ekil 5.10).
bdydA = olduundan/ 2
2 2 3
/ 2
1
12
h
x x
A h
I y dA I y bdy bh
+
= = =
elde edilir.yI yi hesaplamak iin b ile hyi deitirmek yeter:
/ 2 32 2
/ 2 12
b
y y
b
hbI x dA I hx dx
+
= = =
Polar eylemsizlik momenti (6.3) kullanlarak bulunur:3 3
2 20 ( )12 12 12x y
bh hb AI I I h b= + = + = +
Eylemsizlik yaraplar ise;2 2
00
2 3 2 3 2 3
yxx y
II Ih b b hi i i
A A A
+= = = = = =
x dx
x
y
y
dy
h
b
ekil 5.10
M Px
P1y P1mP1x
P2y P2mP2x
P3y P3mP3x
P4y P4mP4x
Py
ekil 4.19
12 cm
12 cm
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
40/74
40
olarak bulunur.
rnek 5.2. Bir genin tabanndan geen eksene gre eylemsizlik ve statik momentlerinihesaplaynz.zm : Tabana paralel birerit alrsak dA x dy= olur.
te yandanh y h y
bb h h
= =
olduundan
2 2 2 3
0 0 0
3 4 3
3 4 12
h h h
x
A
h y b bI y dA y b dy hy dy y dy
h h h
bh b h bh
h
= = = =
= =
elde edilir.
Bu genin tabanndan geen eksene gre statik momentini2 2 2
2
0 0 0 2 3 6
h h h
x
A
h y b b bh bh bhS ydA y b dy hydy y dy
h h h
= = = = =
olur.
rnek 5.3. Bir genin arlk merkezinden geen ve tabana paralel eksene gre eylemsizlikmomentini bulunuz.zm: genin tabanna gre eylemsizlik momentirnek 5.2 de bulunmutu:
3
12xbhI =
Paralel eksen teoremini kullanacaz. Baka bireksenden arlk merkezine doru geldiinizden
2
2
x k m x
k m G G x x
I I Ad
I I I I Ad
= +
= =
yazlacaktr. dx=h/3 olduundan;23 3
12 2 3 36xbh bh h bh
I = =
elde edilir.Benzer ilemlerle dikdrtgenin arlk merkezinden geen eksene paralel ve tabandan geeneksene gre eylemsizlik momentleri de bulunabilir:
3 3
36 36x ybh b h
I I= =
rnek 5.4. Bir dairenin apna gre eylemsizlik momentinive merkezine gre kutupsal eylemsizlik momentini bulunuz.Eylemsizlik yaraplarn hesaplaynz.zm: nce kutupsal eylemsizlik momentini hesaplayalm.Bunun iin 0dan ayn r uzaklnda bulunan elemanlarnmeydana getirdii halka eleman alalm. 2dA r dr =
dy
h-y
h
b
ekil 5.11
x
h/3
h
b
ekil 5.12
x0G
R
r
dr
x
y
ekil 5.13
0
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
41/74
41
olduundan kutupsal eylemsizlik momentini iin
42 3
0
0
22
R
A
RI r dA r dr
= = =
elde edilir.xI i bulmak iin simetri nedeniyle x yI I= olduundan (4.3)den yararlanalm:
4 4
0 0 0
12
2 4 2x y x xR R
I I I I I I I
= + = = = =
Eylemsizlik yaraplar;4
00 2
4
2
2 2
4 2x
x y
I R Ri
A R
I R Ri i
A R
= = =
= = = =
bulunur.
Burada bulunan sonular halka iin de kullanabiliriz(ekil 5.14). Halkann eylemsizlik momenti R2 yarapldaire levhann eylemsizlik momentinden R1 yarapldaire levhann eylemsizlik momenti kartlarak bulunur:
( )4 44 4 2 12 14 4 4x
R RR RI
= =
Bu ifadeden ince kalnlkl ( 2R d ) daire halkasnn
merkezinden geen eylemsizlik momenti de
hesaplanabilir (ekil 5.15). Sonuncu ifadenin eklinideitirirsek;
( )( )( )2 22 1 2 1 2 14x
R R R R R RI
+ +=
Burada 2 1 0R R R ve 2 1R R d = olduu gz nnealndnda
( ) ( )20 0 30
2 2
4xR d R
I R d
= =
elde edilir.
rnek 5. 5. ekil 5.16deki T kesitinin, arlkmerkezinden geen eksenlere gre eylemsizlikmomentlerini hesaplaynz.zm: Alan iki dikdrtgene ayralm. Arlkmerkezinin koordinatlar
1 1 2 2
1 2
2 12 6 9 2 13 144 2349
2 12 9 2 24 18
y A y Ay cm
A A
+ + += = = =
+ + +
4,5x cm= olarak bulunur.
Eylemsizlik momentleri, paralel eksen teoremindenyararlanarakyle hesaplanr:
R1
R2
x
y
ekil 5.14
0
d
R0
x
y
ekil 5.15
0
ax
ay
4 4,5 cm
9 cm
G
G2
2 cm
A2 cm G1
9 cm
ekil 5.16
4 cm
12 cm
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
42/74
42
3 32 2 4
3 34
2 12 9 22 12 3 9 2 4 798
12 12
12 2 2 98 121,5 129,5
12 12
x
y
I cm
I cm
= + + + =
= + = + =
rnek 5. 6. ekil 5.17deki kesitin arlk merkezinden geen eksenlere gre eylemsizlikmomentini hesaplaynz.zm: Kesitin arlk merkezinin tabandan uzakl
16 24 12 8 12 913
16 24 8 12
16 : 2 8
y cm
x cm
= =
= =
Eylemsizlik momentleri:3 3
2 2
4
16 24 8.1216 24 1 8 12 4
12 12
18816 2688 16128
xI
cm
= + + =
= =
3 3424 16 12 8 8192 512 7680
12 12yI cm
= = =
rnek 5.7.ekil 5.18deki birleik kiri, NPI20 profilinstne bir NPU16 konarak tekil edilmitir. Bileikkesitin arlk merkezinden geen eksenlere greeylemsizlik momentlerini ve eylemsizlik yaraplarnhesaplaynz.zm: Profil tablolarndan u deerler alnr:
2 4 4
2 4 4
20 : 33,5 , 2140 , 117
16 : 24 , 925 , 85,3
1,84 , 0,75
x y
x y
I A cm I cm I cm
U A cm I cm I cm
e cm d cm
= = =
= = =
= =
Bileik kesitin arlk merkezinin tabandan uzakl33,5 10 24,0 18,91 335 454
13,733,5 24,0 57,5
y cm + +
= = =+
.Paralel eksen teoremi kullanlarak2 2
4
2140 33,5 (13, 7 10) 85,3 24, 0 (18,91 13, 7)
2140 459 85 651 3335
x
x
I
I cm
= + + +
= + + + =
4117 925 1042y
I cm= + =
olarak elde edilir.Eylemsizlik yaraplar
3335 10427,62 4, 26
57,5 57,5x yi cm i cm= = = =
olarak bulunur.
rnek 5.8. ekil 5.19deki kesitin asal eylemsizlikeksenlerini ve asal eylemsizlik momentlerini bulunuz.zm: nce arlk merkezini bulalm:
4 cm
8 cm
3 cm
4 cm
16 cm
24 cm
12 cm
ekil 5.17
9 cm
G
eU16
I20
ekil 5.18
d
18,91cm
13,7cm
5,11cm
20cm
aG
12 cm
Aa)
20 cm
2 cm
2 cm
ax
ay
Av
0 aGax
ay
u
b)
ekil5.19
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
43/74
43
12 2 6 18 2 13
12 2 18 212 2 1 18 2 11
712 2 18 2
x cm
y cm
+ = =
+ +
= = +
Arlk merkezinden geen eksenlere gre birinci dikdrtgenin arlk merkezininkoordinatlar (3, -6), ininci dikdrtgenin arlk merkezinin koordinatlar ise (-2, 4) olur.Arlk merkezinden geen eksenlere gre eylemsizlik momentleri ve arpm eylemsizlikmomenti paralel eksek teoremi kullanarakyle bulunur:
( )( ) ( ) ( )
3 32 2 4
3 32 2 4
4
12 2 18 212 2 6 18 2 4 2420
12 12
2 12 18 212 2 3 18 2 2 660
12 12
0 12 2 3 6 0 18 2 2 4 720
x
y
xy
I cm
I cm
I cm
= + + + =
= + + + =
= + + + + + =
xyI nin hesabndaki ilk terim, alttaki dikdrtgenin kendi arlk merkezinden geen eksene
gre eylemsizlik momentidir, simetri nedeniyle sfrdr. kincisi paralel eksen teoremininsonucu olup [(5.15) forml] iaretler dikkate alnmtr.Asal eylemsizlik eksenlerinin yapt a (5.19) formlne gre
( ) 00 0
0 00 0
2 2 7202 0,818 2 39,3
2420 660
19,65 90 19,65 109,65
xy
x y
Itg
I I
= = = = +
= = + =
olur. Eksenler yandaki ekilde gsterilmitir. Asal eylemsizlik momentleri ise (5.20)denhesaplanr.
( )
2 2
2 2u v
22 4
u
2 2 2 2
2420 660 2420 660720 1540 1140 2680
2 2
x y x y x y x y
xy xy
I I I I I I I I
I I I I
I cm
+ + = + + = +
+ = + + = + =
( )2
2 4v
2420 660 2420 660720 1540 1140 400
2 2I cm
+ = + + = =
Bu deerler, (5.17) formlnde yerine yukarda
hesaplanan 0 deerleri konularak da bulunabilir.
Bir rnek olarak0
2 39,3 = iin uI yuhesaplayalm.0 0
u
4 4u
2420 660 2420 660cos39,3 ( 720)sin39,3
2 2
1540 880 0,774 720 0,633 2677 2680
I
I cm cm
+ = +
= + + = Probleme ait Mohr dairesi ayrca ekil 5.20 deizilmitir. stenirse sonular buradan grafik yolla
bulunabilir.
02680 I400
xyI
660, 720
39,30
2420, 720
ekil 5.20
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
44/74
44
rnek 5.9. ki U20lik profil ekil 5.21deki gibi birletirilerek bir bileik kesit meydanagetirilmitir. Bileik kesitin arlk merkezine gre asal eylemsizlik eksenlerini vemomentlerini bulunuz.
zm: Bir U20ye ait deerler profil tablolarndan u ekilde bulunur:
2 4 432,2 1910 148 2,01x y
A cm I cm I cm e cm= = = =
Buna gre bileik kesitin arlk merkezinin yeri yle bulunur:
10 32, 2 22, 01 32, 216
32, 2 32, 2
10 32, 2 17, 99 32, 214
32, 2 32, 2
x cm
y cm
+ = =
+
+ = =
+
Gden geen eksenlere gre;2 2
4
1910 32, 2 (14, 0 10) 148 32, 2 (17,99 14,0)
1910 515 148 513 3086
x
x
I
I cm
= + + +
= + + + =
2 2
4
4
148 32, 2 (22, 01 16, 0) 1910 32, 2.(16, 0 10)
148 1163 1910 1159 4380
32, 2 (14, 0 10) (22, 01 16) 32, 2 (17, 99 14, 0) (16, 0 10)
774 771 1545
y
y
xy
xy
I
I cm
I
I cm
= + + +
= + + + =
= +
= + =
olarak bulunur. Asal eylemsizlik ekseninin yapt a;
e
10 cm
U20 U20
G
ekil 5.21
10 cm
17,99 cm
22,01cm
v
u
14 cm
16 cm
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
45/74
45
00 0
2 15452 2,388 2 67,3
4380 3086tg
= = =
0 0 0 00 033,6 ve 33,6 90 56,4 = = + =
olur. Asal eylemsizlik momentleri de;2
2 4u
2
2 4v
3086 4380 3086 4380 1545 54082 2
3086 4380 3086 43801545 2058
2 2
I cm
I cm
+ = + + =
+ = + =
olarak bulunur. Asal eksenlerekil 5.21de gsterilmitir.
rnek 5.10.ekil 5.22deki kesitin arlk merkezindengeen xy ve uv eksen takmlarna gre eylemsizlikmomentlerini hesaplaynz.
zm: nce kesitin a
rl
k merkezini hesaplayal
m. xeksenine gre simetri olduu iin arlk merkezi xekseninin zerindedir.
2 15 7,5 22 6 1 2 15 7,54,48
2.15 2 26 2 152 15 1 2 26 15 2 15 29
152 15 2 26 2 15
x cm
y cm
+ + = =
+ + + +
= = + +
imdi eylemsizlik momentlerini hesaplayalm:3 3
2 415 2 2 262 14 15 2 14709,3312 12
xI cm
= + + =
3 32 2 426 2 2.153,48 2. 6 2 15 2 3,02 1756,79
12 12yI cm
= + + + =
x simetri ekseni olduuna gre 0xyI = olur. Asal eylemsizlik momentleri iin
( ) ( )u,v u,v4 4
u v
1 1cos 2 sin 2 ; 8233,06 3238,135
2 2
11471,12 ; 4994,92
x y x y xyI I I I I I I
I cm I cm
= + =
= =
4uv
1 3( )sin 2 cos 2 (14709,33 1756,79) 5608,45
2 2x x xyI I I I cm = + = =
elde edilir.
rnek 5.11. ekil 5.23deki kesitte x eksenine gre eylemsizlikmomentini hesaplaynz. 7 , 3a cm r cm= = zm: Karenin eksenine gre eylemsizlik momenti;
3 4
1 12 12xa a a
I
= = , daireninki ise3
2 12xr
I
= dir. Boluun eylemsizlik
momenti negatif olduundan kesitin eksenine gre eylemsizlikmomenti;
4 4 4 44
1
7 3,14 3179
12 12 12 12x
a rI cm
= = =
ekil 5.22
300
2 cm
2 cm
2 cm
30 cm
x
y
15cm
v
u
a
a
ekil 5.23
-
7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov
46/74
46
bulunur. Bu yntem koordinat eksenleri simetri ekseni olduundauygulanr.
rnek 5.12. ekil 5.24de gsterilen kesitin arlk merkezindengeen ve y eksenlerine gre eylemsizlik momentlerin
hesaplaynz. Uzunluklar cm cinsinden verilmitir.zm: Kesit kesit lleri 220 4cm ve 226 4cm olan ikidrtgenden ibarettir ve y eksenine gre simetriktir. Arlkmerkezinin koordinatlar;
10x cm=
1 1 2 2
1 2
20 4 2 26 4 1710,5
20 4 26 4
A y A yy cm
A A
+ + = = =
+ +
olur. Paralel eksenler teoremine gre eksenlerine greeylemsizlik momenti;
( ) ( )
3 32 2
4
20 4 4 2620 4 10,5 2 4 26 17 10,512 12
107 5780 5859 4394 16140
xI
cm
= + + + = + + + =
3 344 20 26 4 2667 139 2806
12 12yI cm
= + = + =
rnek 5.13. ekil 15.25de gsterilen kesitin arlkmerkezinden geen a) x ve y eksenlerine gre eylemsizlikmomentlerini; b) Asal eksenleri ve asal eylemsizlikmomentlerini hesaplaynz. Uzunluklar cm cinsinden
verilmitir.zm: nce arlk merkezinin koordinatlarn bulunur. Bu kesit lleri 218 3cm ve29 3cm olan iki drtgenden ibarettir.