Los vectores se pueden multiplicar de varias maneras diferentes.
Producto mixto : el resultado es un escalar
Multiplicación de Vectores.
Producto escalar : el resultado es un escalar
Producto vectorial : el resultado es un vector
Al producto escalar también se le conoce como producto interno, escalar o punto
Dados dos vectores cualesquiera 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)
y 𝑏 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) definimos el producto escalar
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b
Producto escalar de vectores
Si 𝑎 = 10𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘 , 𝑏 = −1
2𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘 , entonces
𝑎 ∙ 𝑏 = 10 −1
2+ 2 4 + −6 −3 = 21
Ejemplo .
Producto escalar de vectores
i) 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
ii) 𝛼 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝛼𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝛼𝑏
iii) 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐
iv) 𝑎 ∙ 𝑎 ≥ 0
v) 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 2
Producto escalar de los vectores 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .
𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑖 ∙ 𝑘 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 0
Producto escalar entre vectores canónicos.
Producto escalar de vectores
cos( )a b a b
Si los vectores 𝑎 y 𝑏 forman un ángulo 𝜃 ( medida en radianes) y 0 < 𝜃 < 𝜋, entonces:
Si 𝑎 = 0 o 𝑏 = 0 entonces 𝑎 ∙ 𝑏 = 0
Producto escalar de vectores
Hallar el ángulo entre 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 + 𝑘 , 𝑏 = −𝑖 + 5𝑗 + 𝑘
Solución
𝑎 = 14, 𝑏 = 27 y 𝑎 ∙ 𝑏 = 14
cos 𝜃 =14
14 27=
14
378
Entonces
𝜃 = cos−114
378≈ 43,94
Ejemplo.
(i) 𝑎 ∙ 𝑏 > 0 si y sólo si es agudo
(ii) 𝑎 ∙ 𝑏 < 0 si y sólo si es obtuso
(iii) 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 si y sólo si cos 𝜃 = 0, 𝜃 =𝜋
2
Producto escalar de vectores
Observación: Como 0 ∙ 𝑏 = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.
Teorema. Dos vectores no nulos 𝑎 y 𝑏 son
ortogonales si y sólo si 𝑎 ∙ 𝑏 = 0.
𝑖 , 𝑗 , 𝑘 son vectores ortogonales.
Observación
Si 𝑎 = −3𝑖 − 𝑗 + 4𝑘 , 𝑏 = 2𝑖 + 14𝑗 + 5𝑘 ,
entonces 𝑎 ∙ 𝑏 = −6 − 14 + 20 = 0 Luego son ortogonales.
i j j i 0 j k k j 0 i k k i 0
Ejemplo
Proyección escalar de 𝑎 sobre 𝑏
La proyección del vector 𝑂𝑃 en la dirección 𝑂𝑄 es el
segmento de recta dirigido 𝑂𝑅 donde 𝑅 es el pie de la perpendicular desde el punto 𝑃 a la recta que contiene
al vector 𝑂𝑄.
Proyección escalar de 𝑎 sobre 𝑏
La proyección escalar del vector 𝑎 sobre el vector 𝑏 se define como 𝑎 cos(𝜃) donde 𝜃 es el ángulo
comprendido entre 𝑎 y 𝑏, se denota por:
Pr cosb
oy a a a b
Observar que la proyección escalar puede ser
positiva o negativa según si θ <𝜋
2 o 𝜃 >
𝜋
2
Sea 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 , 𝑏 = 𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 . Hallar 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 𝑎 y 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 𝑎 .
Solución
Prb
1 1 2b 6 b i j k
6 6 6
1 1 2 3oy a 2i 3 j 4k i j k
6 6 6 6
Pra
2 3 4a 29 a i j k
29 29 29
2 3 4 3oy b i j 2k i j k
29 29 29 29
Ejemplo.
Proyección vectorial de 𝒂 sobre 𝒃.
La proyección vectorial del vector 𝑎 sobre el vector 𝑏 se define como 𝑎 cos 𝜃 𝑏 donde 𝑏 es el vector unitario en la dirección y sentido del vector 𝑏. Se denota por:
Pr cos Prb boy a a b oy a b
Ejemplo
Hallar la proyección de 𝑎 = 4𝑖 + 𝑗 sobre 𝑏 = 2𝑖 + 3𝑗 .
Pr , Prb b
11 2 3 22 33oy a oy a i j
13 13 13 13 13
Pr cosb
oy a a a b
Solución
,2 2 2 3b 2 3 13 b
13 13
Proyección escalar: Prb
2 3 11oy a 4 1
13 13 13
Producto cruz entre vectores
El producto cruz o o producto vectorial de dos vectores
tridimensionales 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 y 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 es el
vector definido por la igualdad
, , , ,1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1xa b c c c a b a b a b a b a b a b
Y
X
Z
a
b
c
El resultado de esta operación es un vector perpendicular al plano determinado por los
vectores 𝑎 y 𝑏.
Al producto vectorial también se le conoce como producto externo, o producto cruz.
Producto cruz entre vectores
Regla de la mano derecha: Si
pones el dedo índice de tu mano
derecha apuntando en el mismo
sentido que el vector 𝑎 y el del dedo
mayor en el mismo que 𝑏, entonces,
el sentido del producto vectorial 𝑎 𝑥𝑏
de los vectores 𝑎 y 𝑏, lo da el pulgar
de la misma mano derecha cuando
se estira de manera que esté
perpendicular a los otros dos dedos.
Producto cruz entre vectores
Los dedos de la mano derecha giran desde 𝑎 hasta
𝑏 siguiendo el camino mas corto. El pulgar indica la
dirección de 𝑐
Producto cruz entre vectores
Observación.
El cálculo de 𝑎 𝑥 𝑏 se puede realizar, usando la notación
de determinantes
2 3 1 3 1 2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
x
i j ka a a a a a
a b a a a i j kb b b b b b
b b b
Donde el determinante de segundo orden 𝑎 𝑏𝑐 𝑑
= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 y
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
Es la notación para un determinante de tercer orden.
Ejemplo.
Si 𝑎 = (1,−2,3) y 𝑏 = −1,1,2 , hallar 𝑎 𝑥𝑏.
𝑖 𝑗 𝑘
1 −2 3−1 1 2
=−2 31 2
𝑖 −1 3−1 2
𝑗 +1 −2−1 1
𝑘
𝑖 𝑗 𝑘
1 −2 3−1 1 2
= −7𝑖 − 5𝑗 − 𝑘
𝑖 𝑗 𝑘
1 −2 3−1 1 2
= −4 − 3 𝑖 − 2 + 3 𝑗 + 1 − 2 𝑘
Propiedades
i. 𝑎 𝑥 𝑏 = −𝑏 𝑥 𝑎
ii. 𝑎 𝑥 (𝑏 + 𝑐 ) = (𝑎 𝑥 𝑏) + (𝑎 𝑥 𝑐 )
iii. 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑐 = (𝑎 𝑥 𝑐 ) + (𝑏 𝑥 𝑐 )
iv. 𝑎 𝑥 𝑘𝑏 = 𝑘𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑘(𝑎 𝑥 𝑏)
v. 𝑎 𝑥 𝑎 = 0
vi. 𝑎 ∙ (𝑎 𝑥 𝑏 ) = 0
vii. 𝑏 ∙ (𝑎 𝑥 𝑏 ) = 0
Producto cruz entre vectores
𝑖 𝑥 𝑗 = − 𝑗 𝑥 𝑖 = 𝑘
𝑗 𝑥 𝑘 = − 𝑘 𝑥 𝑗 = 𝑖
𝑘 𝑥 𝑖 = − 𝑖 𝑥 𝑘 = 𝑗
𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑘 𝑥 𝑘 = 0
Producto cruz entre vectores
1. sina xb a b
Si 𝑎 y 𝑏 vectores y es el ángulo entre ellos, 0 entonces:
2. 22 2 2
a xb a b a b
El módulo del vector producto vectorial coincide con el área del paralelogramo definido por los dos
vectores, es decir, 𝐴 = 𝑎 𝑥𝑏
Producto cruz entre vectores
Y
X
Z
a
b
c
Ejemplo 5
Hallar el area del triángulo definido por los puntos 𝑃1(1, 1, 1), 𝑃2(2, 3, 4), 𝑃3(3, 0, –1).
102
3||58||
2
1 kjiA
Solución 𝑃2𝑃1 = 1,2,3 y 𝑃3𝑃1 = 2,−1,−2
2 1 3 1
2 1 3 1
2 1 3 1
i j k2 3 1 3 1 2
P P xP P 1 2 3 i j k1 2 2 2 2 1
2 1 2
P P xP P 4 3 i 2 6 j 1 4 k
P P xP P i 8 j 5k
Producto cruz entre vectores
Dos vectores no nulos 𝑎 y 𝑏 son paralelos, si y
sólo si 𝑎 𝑥 𝑏 = 0 Ejemplo.
Verificar que los vectores 𝐴𝐵 determinado por los puntos
𝐴 = 6,2,8 , 𝐵 = 8,6,2 y 𝐶𝐷 determinado por los puntos 𝐶 4,2,6 , D = (6,6,0) son paralelos. Solución.
𝐴𝐵 = (2,4,−6), 𝐶𝐷 = (2,4, −6).
Luego el determinante es (0,0,0) puesto que tiene dos filas iguales o proporcionales..
i j k
AB xCD 2 4 6
2 4 6
Producto mixto entre vectores
Dados los vectores 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 , y
𝑐 = 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 . Se define producto escalar triple o
producto mixto como:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x
a a a
a b c b b b
c c c
Ejemplo.
Sean los vectores 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (0,3,0) y
𝑤 = (5,0,2). Calcular 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤
𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 =0 1 10 3 05 0 2
𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 =3 00 2
∙ 0 −0 05 2
∙1+0 35 0
∙ 1 = −15
Producto mixto entre vectores
Y
X
Z
a
b
c
ba
Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.
Propiedades.
acbbaccba
:cíclica i)
Ejemplo.
Hallar el volumen del paralelepípedo que determinan los vectores 𝑢 = 1,2,3 , 𝑣 = (−3,1,4) y 𝑤 = (1,2,1)
𝑉 = 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 =1 2 3−3 1 41 2 1
= −14 = 14
Producto mixto entre vectores
𝑎 ∙ 𝑏 𝑥 𝑐 = 0 si y sólo si 𝑎 , 𝑏, 𝑐 son coplanarios.
Ejemplo. Dados los puntos 𝐴 = −5,2,−3 , 𝐵 −1,0,4 y 𝐶 = (2, −7,1).
Verifique que el vector 𝑣 = 2𝑖 + 5𝑘 es coplanar con 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶. Solución.
𝐴𝐵 = 4𝑖 − 2𝑗 + 7𝑘 ; 𝐵𝐶 = 3𝑖 − 7𝑗 − 3𝑘 . Luego
𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶 𝑥 𝑣 =4 −2 73 −7 −32 0 5
𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶 𝑥 𝑣 = −140 + 12 + 0 + 98 + 30 = 0