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Strukturmathematik1
Heutzutage treten bei einigen Schülern immer öfter Schwierigkeiten mit
dem Rechnen und insbesondere mit dem Umgang der Zahlen Null und
Eins auf. Typisch ist ein Ausspruch wie:
0x0 = 1 und 1x1 = 2
Und es ist kein Witz, dass manche Schüler bei der Aufgabe eine Zahl
durch 1 zu teilen, sagen
„Moment, ich muss erst den Taschenrechner rausholen!“
Man kennt einfach nicht die herausragende Bedeutung der Nichtigkeit (0)
und der Einheit (1). Und diese grundlegende Einmaligkeit dieser beiden
Zahlen kann nirgends besser verstanden werden als bei der algebraischen
Strukturuntersuchung: Die Zahlen bilden bezüglich des
Zusammenzählens die Struktur einer Gruppe mit dem neutralen
Element >>Null<< und bezüglich des Malnehmens eine Gruppe mit dem
neutralen Element >>EINS<<. Und wer dies begriffen hat, wird keine
derartigen Fehler mehr machen! Beide Gruppen zusammen bilden mit den
Distributivgesetzen eine Körperstruktur.
Auf dieser aufbauend kann man Vektorräume2 bilden wie z.B. der
Vektorraum RxR (sprich R kreuz R)= R² (sprich R-zwei) der Zahlenpaare
einer Ebene und der VR der Zahlentripel RxRxR = R³ des 3D-Raumes.
1 Was heißt SED? Nein, nicht Sozialistische Einheitspartei Deutschlands sondern Struktur-Erkennungs-Dienst 2 Es muss dabei für alle Vektoren x und y der additiven Gruppe von Vektoren und für alle Zahlen a und b eines Körpers (d.h. Zahlen mit additiver und multiplikativer Gruppenstruktur etc.) gelten, dass 1 mal x =x a(bx) = (ab) x mult. Assgesetz a(x+y) = ax +ay die zwei Dristributivgesetze (a+b) x = ax+bx
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Doch leider wird inzwischen in der Schule die Gruppentheorie ebenso
vollständig ignoriert, wie die Behandlung der komplexen Zahlen.
Beides ist aber in der Physik unerlässlich, wie wohl jeder ernst zu
nehmender Physiker zugesteht!
(Man denke nur an die Relativitätstheorie, oder an die irreduziblen
Darstellungen für Elementar-Teilchen).
Wir wollen uns im Folgenden mit den endlichen Gruppen, den nicht-
unendlichen <<Zahlengruppen<<. befassen, aber nur mit den
primitivsten Anfängen, und nur bis zur sechsten Ordnung.
Im Allgemeinen sind die Gruppen kommutativ. So sind alle Gruppen bis
zur sechsten Ordnung3 abelsch, d.h. die Gruppentafel ist also symmetrisch
zur Hauptdiagonalen. Insbesondere sind auch alle endlichen Zahlenkörper
kommutativ oder abelsch, d.h. auch die Faktoren einer Multiplikation sind
immer vertauschbar (was ja bei der Matrizenmultiplikation z.B. nicht gilt).
.
Von besonderem Interesse sind in der mathematischen Forschung die
Strukturen nicht-vertauschbarer Gebilde, wie etwa die
höherdimensionalen Zahlenkörper4 oder die Lie-Gruppen.
3 D.h. aus sechs Elementen bestehend. 4 Sie haben die Dimension 4, 8 oder 16 und sind nicht mehr kommutativ (oder nicht mehr assoziativ).
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Was bringt uns die Gruppentheorie?
Es gibt viele gruppentheoretische Erkenntnisse5, wie beispielsweise, dass
jedes linksinvere Element stets auch zugleich rechtsinvers sein muss,
- es gibt also auch in nicht-kommutativen Gruppen immer nur ein
inverses Element.
In jüngerer Zeit kommt man mit Computerhilfe zeigen, dass es nur
endlich viele sog. sporadische (einfache und nicht kommutative) Gruppen
gibt, und man fand auch die größte, die Monstergruppe:
-� YouTube-Video MathHistory23b von N.Wildberger
.
Die Anwendung der Mehrdimensionalität geschieht z.B. in der
elektrotechnischen Datenübertragung
�. IV.12 Kuss-Zahl und dichteste Kugelpackungen
Wir aber beschränken uns im Folgenden nur auf die primitivsten Anfänge
und beschränken uns auf Gruppen mit höchstens sechs Elementen!
Für Fortgeschrittenere �.IV.13 Geometrie und Gruppentheorie
5 Die Geschichte der Gruppentheorie beginnt mit der Auflösbarkeit von Gleichungen höheren Grades, bei der Permutationsgruppen von entscheidender Bedeutung sind, und zieht sich hin bis zum Monster mit Mondschein, der größten der endlich vielen nichtkommutativen einfachen sog. Sporadischen Gruppen �YouTubeVideo N.Wildberger
MathHistory23 und MathHistory23b.
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Endliche Gruppen
Die denkbar kleinste Gruppe besteht aus zwei Elementen, etwa 0 und I
(bezüglich das Addierens, links)
(oder multiplikativ 1 und -1, rechts).
plus 0 I mal 1 -1
0 0 I 1 1 -1
I I 0 -1 -1 1
0 ist neutral 1 ist neutral
Dabei ist das eine Element immer neutral und das andere ist stets zu sich
selbst invers. Schreiben wir an Stelle von Null = g wie gerade und Eins =
u (ungerade liefert den Rest 1 bei der Teilung durch 2), dann sieht die
Verknüpfungstafel so aus:
+, x g u mal p n
g g u p p n
u u g n n p
g ist neutral p ist neutral
g sei eine gerade Zahl und u eine ungerade Zahl. Die Summe (bzw.
das Produkt) einer geraden Zahl und einer geraden ist wiederum gerade,
während die (bzw. das Produkt) einer geraden Zahl und einer ungeraden
immer ungerade ist, und die Summe (bzw. das Produkt) zweier ungeraden
aber wieder gerade ist, so dass g und u gleich oft vorkommen.
Entsprechend ergibt plus mal plus wieder plus und aber auch eine
negative Zahl mit einer negativen multipliziert wird positiv ( n mal n = p )
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bzw. bei verschiedenen Vorzeichen erhält man n (d.h. ein negatives
Vorzeichen).
Natürlich gibt es noch viele Beispiele für diese minimalste Gruppe, wie
etwa das Ein- oder Aus-Schalten oder etwas das Wenden, oder die
Permutation von zwei Elementen. Nehmen wir als weiteres Beispiel eine
Achsenspiegelung (Klappung) an einer symmetrischen Figur (oder auch
eine Punktspiegelung = Drehung um 180°), oder die Vertauschung von
zwei Elemente {a, b}, dann erhalten wir die gleiche Gruppen-Struktur wie
oben.
tun Nichts tun vertausche
Nichts tun nichts tun vertauschen
vertauschen vertauschen nichts tun
Verwendet man „Blatt wenden“
dann ergibt das zweimalige wenden soviel wie „nichts getan“ Diese Verknüpfung bildet die kleinstmögliche Gruppe.
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Die Dreiergruppe6:
0 ^
⁄ \
Z ← I
Die Drei-Stunden–Uhr
(null-eins-zwei und es geht wieder von vorne los)
0 = Teilbarkeit durch 3 Rest 0 oder Drehung um 0°
I = Teilbarkeit durch 3 Rest 1 Drehung um 120°
Z = Teilbarkeit durch 3 Rest 2 Drehung um 240°
Diese Zahlen kann man sich (nicht auf einer Zahlengeraden sondern) auf
einem Kreis als Kreislauf (Zyklus) vorstellen (� Abbildung der
Dreistundenuhr), oder als die endlosen Drehung um jeweils 120°, die der
Addition mit Eins entspricht, wobei sich nach je drei Drehungen die
Ausgangssituation immer wieder herstellt.
plus 0 I Z
0 0 I Z mal I Z
I I Z 0 I I Z
Z Z 0 I Z Z I
Additionsgruppe mod 3 Multiplikationsgruppe7
Beachte, dass bei der Multiplikation stets das bezüglich der Addition neutrale Element (= das Nullelement)
auszuschließen ist!
6 Gruppe mit drei Elementen oder der Ordnung drei! 7 Allerdings ist I mal I = I modulo 3 (da vier durch drei den Rest 1 hat) und aber auch Z mal Z = I modulo 3, aber I geteilt durch Z = Z modulo 3.
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Die Multiplikative Gruppe ist um das neutrale Element der Addition kleiner,
denn für die Sonderzahl 0 gilt ja
Das Produkt mit Null liefert immer Null 0x1 = 0x2 = 0x3 = …= 0
und nur wenn ein Faktor Null ist, wird das Produkt Null!
Anders bei den Viererrestklassen, wo das Produkt zweier durch zwei teilbare
Zahlen auch durch vier teilbar und somit 2 * 2 = 0 ist.
mal 1 2 3 mal 0 1 2
1 1 2 3 0 0 0 0
2 2 0 2 1 0 1 2
3 3 2 1 2 0 2 1
Modulo 4 Modulo 3
Diese beiden Verknüpfungstafeln zeigen keine Gruppenstruktur
Frage: Warum nicht?
Die Null hat keinen Kehrwert ( = inverses Element)
0 x ? = 1,
also keine Zahl, die sie zur Einheit neutralisiert8
Da somit die Null kein multiplikativ-inverses Element (keinen
Kehrwert = ∞) hat, ist sie auszuschließen!
Die Restklassen 1, 2 und 3 bezüglich der Teilbarkeit durch 4 bilden aber,
was die Multiplikation anbetrifft, keine Gruppe9, da ja das
Abgeschlossenheitsgesetz nicht gilt: 2 mal 2 ist Null (Abbildung links).
8 Wäre 0 x ∞ = 1, dann wäre dies aber auch z.B. 2, denn 2 : ∞ ist ebenfalls 0 ! 9 Bei nicht primen Restklassen modulo n bilden diese (wie immer ohne das neutrale Element der Addition) keine multiplikative Gruppe, denn es fehlen zu den Teilern von n die inversen Elemente: Das Produkt zweiter n ergebenden Teiler ergibt nämlich die Null-Restklasse; man sagt, die Null ist nicht mehr teilerfrei. In sog. Zahlenkörpern ist das Produkt nämlich nur dann Null, wenn (zumindest) ein Faktor Null ist, aber z.B. für die
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Die (vier) Gruppengesetze lauten:
1.) Abgeschlossenheitsgesetz:
Die Operation bringt als Ergebnis stets einen Wert aus der Menge:
2.) Es gilt das Assoziativgesetz
Hier, da es nur auf die u- bzw. g-Anzahl und nicht auf die Reihenfolge der Ausführung ankommt: Nur eine ungerade Anzahl der einen Sorte und eine gerade der anderen Sorte ergeben u, sonst ist der Ergebniswert stets g
3.) Es gibt ein sog. neutrales Element, mit deren Verknüpfung nichts
geschieht, nämlich g hier
(bei der Addition ist es die Null10,
weil a+0 = 0 ist!)
4.) Es existiert zu jedem Element ein Umkehrelement (inverses oder
Gegenelement), das dieses neutralisiert, denn die beiden Elemente sind
zugleich ihr eigenes Gegenpart (sind zu sich selbst invers)
g wegen g+g = g und u wegen u+u = g
(bei der Addition ist es die Gegenzahl, die mit einem Minus gekennzeichnete
entsprechende negative Größe: a+ (-a) = 0 neutral! )
und zudem gilt (für kommutative Gruppen – wenn die Diagonale
Symmetrieachse ist) noch das Vertauschungsgesetz g+u = u+g.
Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch vier ist die Multiplikation auch Null ohne einen Faktor Null
2mod4 mal 2mod4 = 0mod4
Somit wird ein Produkt zumindest für zwei Primzahlen auch Null, obwohl kein Faktor Null ist: p mal q = 0 mod n (nichtprim). Mithin gibt es im Beispiel zur Zwei keinen Kehrwert, das heißt, kein Element existiert das, wenn mit zwei multipliziert das multiplikative neutrale Element 1 ergibt. 10 Ähnlich wie man dachte, die Luft sei nichts, meinte man auch die Null ist NICHTS, wofür man dann auch kein Symbol bräuchte. Daher wurde die für die Stellenwertsysteme so wichtige Ziffer 0 erst spät eingeführt.
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INFO: Wem dies zu schnell ging
wer das erst noch richtig verdauen muss
oder es ausführlicher erklärt bekommen will,
dem empfohlene ich folgende Videos
https://www.youtube.com/watch?v=y6IpzyZS3DA
Einführung in die Grupprnthrorie
Was ist eine Gruppe? - Teil 1/3 (Idee, Nutzen, Beispiel, Definition) Wieso Gruppen die "Atome der Algebra" sind,
das zeige ich euch an einem einfachen Beispiel in diesem 1. Teil
Gruppentheorie 1
https://www.youtube.com/watch?v=JcA19U_Ydtc
oder anspruchsvoller noch von Norman Wildberger
https://www.youtube.com/watch?v=DgSJH-xXDxo
https://www.youtube.com/watch?v=G1rxXcS0mpM
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Die Gruppenstruktur sichert die eindeutige Auflösbarkeit von
Gleichungen.
Wie beim Sudoku kommt in der Gruppen-Verknüpfung jedes Element
genau einmal in jeder Zeile und jeder Spalte vor11.
Denn wäre in einer Zeile ein Element doppelt vorhanden, so wäre das
Ergebnis zweier Verknüpfungen, etwa mit b und mit c, gleich.
Aus
a °°°° b = a °°°° c
folgt aber, wenn man die Gleichung mit dem Inversen a-1 von a
verknüpft, dass
a-1°°°° a °°°° b = a-1
°°°° a °°°° c
also in Wahrheit b = c ist.
Analoges gilt für die Spalten: Wären zwei Spaltenelemente gleich, etwa
a °°°° c = b °°°° c
dann folgt mit a °°°° c °°°° c-1 = b °°°° c °°°° c-1, dass
a = b ist.
11 Beim Sudoku (su ist japanisch und heißt Zahl, doku einzig, einsam) kommt zudem jede Ziffer ≠ 0 des 9x9-Quadrats auch in den neun 3x3-Qudaraten einmalig vor. Mit nur 16 Vorgaben kann man aber das Sudoku nicht eindeutig lösen, wie kürzlich mit Hilfe eines Computers, der fast an Jahr rechnete, bewiesen wurde. � Spektrum der Wissenschaften, April 2010
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Sie können sich unterstützend auch YouTube-Videos ansehen:
Die eindeutige Auflösbarkeit von Gleichungen
https://www.youtube.com/watch?v=y6IpzyZS3DA
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Bei Primzahlenresten bildet nun neben der Addition auch die Multiplikation
(ohne das Nullelement) eine Gruppe und beide zusammen bilden einen
sog. (Struktur-) Körper12. Dazu gilt noch das distributive
Verteilungsgesetz, welches die Addition und Multiplikation vermöge
(a + b) x c = a x c + b x c
verbindet.
Wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren gilt nun auch
a x ( b + c ) = a x b + a x c
Bei endlichen Körpern (wie den Primzahlrestklassen) wird die
Kommutativität der Multiplikation aus deren der Addition erzwungen13.
(Ferner soll 1xa = a sein, womit manche Schüler Schwierigkeiten haben!)
12 Mit diesen Körpern kann man dann noch höhere Strukturen wie einen
Boolschen Verband oder den Vektorraum aufbauen.
13 Endliche Schiefkörper sind kommutativ. Kap.5 in Aigner-Zieglers >>Buch der Beweise<<, Springer 2002. Bildet die Multiplikation keine Gruppe, dann spricht man von einem (endlichen) Ring, wie z.B. dem der Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch vier (allgemein durch eine Nicht-Primzahl). Auch die Matrizen bilden einen (unendlichen) Ring, wobei dieser durch die Einschränkung, dass ihre Determinante nicht Null sei, zum Schiefkörper wird.
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Schon ab der Ordnung vier (bei vier Elementen) gibt es nun (zwei)
verschiedene Gruppenstrukturen14: Links (0 und 2 sind selbstinvers bez.
der Addition modulo 4) und mittig (1 und 4 sind selbstinvers bezüglich
dem Produkt modulo 5) haben dieselbe Struktur, nämlich die zyklische.
Rechts ist die Kleinsche mit der Diagonalen-Neutralität, und jedes Element
ist zu sich selbst invers. Beide sind symmetrisch bezüglich der ersten
Diagonalen (also kommutativ oder abelsch).
+ 0 1 2 3 X 1 2 3 4 °°°° n a b p
0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 n n a b p
1 1 2 3 0 2 2 4 1 3 a a n p b
2 2 3 0 1 3 3 1 4 2 b b p n a
3 3 0 1 2 4 4 3 2 1 p p b a n
Addition mod 4 isomorph zur Multiplikation mod 5 Kleinsche 4er-Gruppe
Unter der ersten Gruppe können wir uns die Addition auf einer
Vierstundenuhr vorstellen. Die Zahlenrestklassen bezüglich der Teilbarkeit
durch die Vier (oder jeweils Drehungen um 0°, 90°, 180° und 270° ums
Zentrum) sind
n = die Zahl ist durch vier teilbar: Rest 0 a = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 1 b = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 2 c = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 3
Es ist eine zyklische Gruppe (ebenso wie die zweite bezüglich der
Multiplikation modulo 5) , denn man kann die ganze Gruppe aus einem
Element erzeugen, aus dem Einselement (oder hier um 90° drehen)
nämlich
14 Während endliche Körper (die Restklassenkörper Zp mit p Primzahl) immer eindeutig
sind, d. h. wenn sie gleiche Anzahl von Elementen haben sind sie isomorph.
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0+1 = 1 0° + 90° = 90°, 1+1 = 2 90° + 90° = 180°,
2+1 = 3 180° + 90° = 270°, 3+1 = 0 270° + 90° = 360° ≡ 0° (Identität)
Algemeiner ergibt sich eine zyklische Gruppe n-ter Ordnung beim
regelmäßigen n-Eck durch eine Drehung um 360°/n.
Die Zeilen entstehen durch einen Zyklus (Kreislauf):
Aus der ersten 0 1 2 3 wird um eins verschoben die zweite 1 2 3 0 daraus um eins verschoben die dritte 2 3 0 1 und schließlich die vierte 3 0 1 2
INFO:
Youtube-Video über zyklische Gruppen zB.
•
Zyklische Gruppen von Filip Muncan
oder (wenn sie englisch können) geben sie in die Suchmaschine
„Finite cyclic groups“
oder „grouptheory“ etc. ein
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Die zweite Vierergruppen-Struktur, - die sog. Kleinsche-, ist nicht zyklisch,
d.h. sie lässt sich nicht allein aus einem Element erzeugen. Da jedes
Element zu sich selbst invers ist, ist sie auch symmetrisch: Sie enthält das
neutrale Element n in der Diagonalen, bezüglich der sie gespiegelt werden
kann.
n = nichts tun (neutral)
um 0° (bzw. 360°) um den Schnittpunkt S der beiden senkrechten Achsen drehen
a = Spiegelung an der Achse a (Klappung um die Achse a)
A � D und B � C u.u.
b = Spiegelung an der Achse b (Klappung um b)
A � B und D � C u.u.
p = die Ecken über die Diagonalen vertauschen, also Punktspiegelung
A � C und B � D u.u.
(bzw. nacheinander an den beiden senkrechten Achsen a und b spiegeln
= Drehung um Schnittpunkt mit 180°)
Jedes Element der Kleinschen Vierergruppe ist dabei zu sich selbst
invers und enthält die maximale Anzahl an Untergruppen (Untergruppen
sind kleinere Gruppen in der Gruppe; sie müssen immer das neutrale
Element enthalten!), während die zyklische keine hat. Mann kann sie sich
als Symmetriegruppe des Rechtecks vorstellen:
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Zweimal hintereinander punkt-spiegeln ist p • p = Identität,
d. h. zweimal um 180° drehen ist also um 360°°°° drehen, was als Ergebnis
dasselbe ist, wie um 0°°°° drehen oder nichts tun,
also n (neutrales Element oder identische Abbildung).
Beispielsweise ist a • b = p (sprich „a nach b“) die Nacheinader-
Ausführung zweier Klappungen (Achsenspiegelungen) zuerst um a
klappen und danach um b. Das Resultat ist eine Drehung um den
doppelten Schnittwinkel, die Punktspiegelung an S, also p15.
a nach p ergibt b, denn p kann ersetzt werden durch eine Spiegelung an
beliebigen zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen das heißt also
durch a nach b, wobei ja a zu sich selbst invers, also a² = n ist:
a • • • • p = a • a • b = a² • b = b
Das ist übrigens zugleich die Gruppe der folgenden vier 2x2 Matrizen
bezüglich der Matrizen-Multiplikation:
1 0 -1 0 0 1 0 -1
0 1 0 -1 1 0 -1 0
neutral Punktspiegelung die beiden Klappungen
am Ursprung (0, 0) Spiegelung an y=x und y=-x
x´= -x und y´=-y
15 Normalerweise ist es ein Unterschied, ob ich zuerst an der Geraden a und dann an b spiegele, oder ob ich zuerst um b klappe und danach erst um die Achse a: Das Ergebnis ist jeweils eine Drehung um den doppelten Schnittwinkels bezüglich des Achsenschnitts, aber in verschiedener Orientierung, also in verschiedene (positive und negative) Drehrichtungen. Die Drehung im Uhrzeigersinn (negative) um α kann durch eine Drehung mit dem Winkel 360°-α ersetzt werden.
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Zwischenfrage für´s Verständnis:
Ist die folgende Gruppe zyklisch oder eine Kleinsche Vierergruppe?
mal i -1 -i 1
i -1 -1 1 i
-1 -i 1 i -1
-i 1 i -1 -i
1 i -1 -i 1
Hinweis:
i = √-1 ist die imaginäre Einheit,
also ist i² = -1, i³=-i und i4=1
Wer tiefer ins Komplexe einsteigen möchte:
Zeige dass auch k² = -1 ist
Der Zugang zu den Quaternionen geschieht über die Matrizen
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
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Natürlich ist die additive Gruppe der Teilbarkeitsklassen durch 5
(Restklassen modulo 5 genannt16) eine zyklische Gruppe. Aber auch sie
multiplikative Gruppe mod 5, - die ja nur vier Elemente enthält, da die
Null ausgeschlossen werden muss17-, ist eine „(versteckt)-zyklische“
Vierergruppe. Sie sieht folgendermaßen aus:
mal 1 2 3 4 mal 1 2 4 3
1 1 2 3 4 1 1 2 4 3
2 2 4 1 3 2 2 4 3 1
3 3 1 4 2 4 4 3 1 2
4 4 3 2 1 3 3 1 2 4
Die multiplikative Vierergruppe modulo 5 hat auch eine zyklische Struktur
Die multiplikative Restklassen-Gruppe der Teilbarkeit durch fünf (mod 5) ist somit nichts anderes als die zyklische Vierergruppe der Restklassen-Addition für die
Teilbarkeit durch vier (modulo 4), was man bei Vertauschung von 3 und 4 sieht!
16 Diese zyklischen, kommutativen Restklassen sind die Quotientengruppen (Zn,+) mit
Zn: = Z / {nz | z ist ganze Zahl}
{nz | z ist ganze Zahl} ist eine Untergruppe der Ganzzahlengruppe (Z, +) und somit ein sog. Normalteiler, die - grob gesagt - ein Maß für die Abweichung von der Kommitativität liefern (bei kommutativen oder abelschen Untergruppen sind Linksnebenklassen zugleich Rechtsnebenklassen, sprich solche Normalteiler). Besonders interessant ist die Zerlegbarkeit bzw. Unzerlegbarkeit (Irreduzibilität) von Gruppen, ähnlich wie bei den ganzen Zahlen die teilerfremden Primzahlen hervorstechen, weil jede Zahl eindeutig in Faktorprodukte aus Primzahlen zerlegbar ist. So ist auch jede endliche kommutative Gruppe ein (direktes) Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. 17 Null hat bezüglich dem Malnehmen keinen Kehrwert:
Es gibt keine Gegennull 0-1
mit 0 x 0-1
= 1, so dass deren Produkt mit Null zur Einheit
neutralisiert würde, denn 0-1
müsste Eins geteilt durch Null, also ∞ sein. Aber dies wäre zudem nicht eindeutig, da ja 0 geteilt durch jede andere Zahl ebenfalls unendlich wird!
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Das neutrale Element der Multiplikation ist wegen a mal 1 = a die Einheit
oder das 1-Element (d.h. bei der Teilung einer Zahl bleibt der Rest 1).
Zwei Zahlen mit Rest 1 miteinander multipliziert, ergeben
(5n +1)( 5m +1) = 25nm + 5(n + m) +1
also wieder eine Zahl mit dem Rest 1, wenn man sie durch fünf teilt.
Entsprechend ergeben zwei Rest-Vierer-Zahlen (modulo 5) auch eine Zahl
mit Rest 1 (modulo 5):
4(mod 5) x 4(mod5) → (5n + 4)(5m +4) = 5x5nm + 5x(4n+4m) + 16 → 1(mod 5)
und teilt man diese Zahl durch fünf, geht das bei den ersten beiden
Summanden auf, und man muss nur noch die 16 durch fünf teilen,
was den Rest 1 ergibt.
Die 4 modulo 5 ist also zugleich ihre eigenes multiplikatives Gegenstück
(ihr Kehrwert), denn mit sich selbst multipliziert neutralisiert sich die
(Restklassen-)Vier bezüglich der Teilung durch 5.
16 : 5 = 3 Rest 1 d.h. 16 = 1 mod 5
Man sagt, die Vier ist zu sich selbst invers oder ihr eigenes Inverse.
°°°° 1 2 3 4 1 2 3 4 mal 1 2 3 4
1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4
2 2 1 4 3 2 2 3 4 1 2 2 4 1 3
3 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 3 1 4 2
4 4 3 4 1 4 4 1 2 3 4 4 3 2 1 Kleinsche 4erGruppe zyklische zyklische4erGruppe
Alle 4erGruppen sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen
Bei der Kleinschen Vierergruppe links ist jedes Element zu sich selbst
invers, und {1, 2}, {1, 3} und {1, 4} bilden je eine (zwei-elementige)
Teilgruppe, die für sich genommen eine eigene kleinere Gruppe, eine sog.
Untergruppe bilden. Bei einer Untergruppe muss immer das neutrale
Element dabei sein, und die Gruppenverknüpfung muss „abgeschlossen“
sein, d.h. a °°°° b darf nicht c sein, wenn c nicht in der Untergruppe liegt.
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Währen also die Kleinsche Vierergruppe drei Untergruppen hat, ist bei der
mittigen zyklischen nur {1, 3}, und bei der rechten zyklischen nur {1, 4}
eine Untergruppe. Es gibt nur diese beiden verschiedenen
Vierergruppenstrukturen, die linke kleinsche und die zyklische (mittig und
rechts sind strukturgleich wie z.B. auch die Drehgruppe um eine Punkt mit
den Drehwinkeln 90, 180, 270 und 360 Grad – es gibt immer nur ein
selbstinverses Element außer dem Neutralen). Die zyklische Vierergruppe
ist allerdings zerlegbar als (direktes) Produkt18 zweier Zweiergruppen Z2
{0, 1} x {0, 1 } ={0, 1}²,
was man in der dualen Schreibweise 1 = 01, 2 = 10 und 3 = 11
sehr schön sehen kann:
+ 00 01 10 11
00 00 01 10 11
01 01 10 11 00
10 10 11 00 01
11 11 00 01 10
Definiert man als Gruppen-Verknüpfung statt der Addition der binären
Codes die Stellenweise Addition mod 2, bei der 1+1= 0 ist ohne Übertrag,
dann erhält man die Kleinsche Gruppe, bei der jedes Element zu sich
selbst invers ist.
00 01 10 11
00 00 01 10 11
01 01 00 11 10
10 10 10 00 01
11 11 10 01 00
Die Kleinsche 4erGruppe ist’
die (direkte) Summe zweier zwei-elementiger Gruppen
Z2 x Z2
18 Jede endliche kommutative Gruppe G ist als ein (direktes) Produkt solcher zyklischen
Restklassengruppen anzusehen G = Zn1
+ Zn2 + … + Zni
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Verständnisfrage:
•••• | ∆ □
□ ∆ | ••••
∆ □ •••• |
| •••• □ ∆
Um was für eine 4er-Gruppe handelst es sich? Kleinsch oder zyklisch?
Wie sähe die andere 4er-Gruppe aus?
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Die Gruppen von Primzahlordnung (die also p Element haben und p ist
prim) haben alle eine eindeutige Struktur. Also gibt es auch nur eine
Gruppenstruktur 5ter Ordnung.
Jetzt wird´s interessant: Die erste nicht-kommutative Gruppe
gibt es bei den Gruppen 6-ter Ordnung
Nehmen wir nun die Gruppe sechster Ordnung in näheren
Augenschein. Es gibt zweii verschiedene Strukturen sechster Ordnung.
1.) Die Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch sechs bilden die
zyklische Gruppe (Drehgruppe des Sechsecks mit Drehungen um je
weitere 60°).
Ebenso bilden die durch die prime Sieben teilbare Zahlenreste eine Gruppe
mit sechs Elementen, da ja die additiv-neutrale Null ausgeschlossen
werden muss. Und beide Gruppen haben dieselbe (zyklische) Struktur,
wie man durch das Vertauschen einiger Elemente sieht
a plus b 0
1
2
3
4
5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
Die zyklische Gruppe Z6der Addition modulo 6
ist isomorph zur direkten Summe einer zweiten mit einer dritten Ordnung
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a mal b 1 2 3 4 5 6 1
3
2
6
4
5
1 1 2 3 4 5 6 1 1 3 2 6 4 5
2 2 4 6 1 3 5 3 3 2 6 4 5 1
3 4 1 5 2 6 3 2 2 6 4 5 1 3
4 3 6 2 5 1 4 6 6 4 5 1 3 2
5 5 3 1 6 4 2 4 4 5 1 3 2 6
6 6 5 4 3 2 1 5 5 1 3 2 6 4
Die multiplikative Gruppe der Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch sieben (links) ist strukturgleich (isomorph) zur zyklischen Gruppe Z6
(rechts; vergleiche mit a+b zuvor: es wurde 2 und 3 vertauscht (4 mit 6 und 6 mit 5)
• AlgTopReview 4: Free abelian groups and non-commutative groups von N. Wildberger
Gruppen sind strukturell gleich, wenn sie operationstreu sind
(d. h. es besteht ein Gruppen-Homorphismus zwischen beiden Gruppen)
Ist diese Abbildung ein-eindeutig (= umkehrbar-eindeutig oder bijektiv),
dann spricht man von einem Isomorphismus (Gleichgestaltigkeit oder -
strukturiertheit)
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n
a
b
c
d
e
n
n
a
b
c
d
e
a a b n e c d
b b n a d e c
c c e d b a n
d d c e a n b
e e d c n b a
Ist das eine weitere Gruppe 6ter Ordnung? Die Antwort ist nein, wie wir gleich zeigen werden.
Sind G und H zwei endliche zyklische Gruppen, dann bildet man einfach
die geordneten Paare (g, h)
wobei g ein Element der Gruppe G ist und h ein Element der Gruppe H
Diese bilden wieder eine Gruppe mit dem neutralen Element (nG, n
H)
Die Verknüpfung geschieht vermöge
(g1, h
1) (g
2, h
2) = (g
1+ g
2, h
1+ h
2)
zB. (0,1)+ (1,2) = (1,0) da 1+2=0ist
So wie 2 mal 3 gleich 6 ist, kann man eine Gruppe aus Z2 und Z3
konstruieren. 0 1 0 1 2 1 0 „kreuz“ bzw. + 1 2 0 2 0 1
und man spricht von einer (direkten) Summe zweier endlicher Gruppen
In unserem Fall für Z6 ergibt sich daraus wieder eine Zyklische Gruppe
mit dem erzeugenden Element (1,1) ---� nächste Seite
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n
00 a
01 b
02 c
11 d
10 e
12
n 00 00 01 02 11 10 12
a 01 01 02 00 12 11 10
b 02 02 00 01 10 12 11
c 11 11 12 10 02 01 00
d 10 10 11 12 01 00 02
e 12 12 10 11 00 02 01
Diese Gruppe ist in zwei Gruppen zerlegbar
und ist die direkte Summe der zwei-elementigen mit der drei-elementigen
Z2+Z
3
Dies ist auch eine zyklische Gruppe, denn das erzeugende Element ist 11
00+11= 1x 11
11+11 = 02 = 2 x 11
11 +11+11=10 = 3 x 11
11 +11+11 +11 =01 = 4 x 11
11 +11+11 +11 +11 =12 = 5 x 11
11 +11+11 +11 +11 +11 =00 = 6 x 11
Da es nur eine zyklische Gruppe mit n Elementen gibt, ist diese
Gruppe gleichgestaltig zu den anderen obigen (auch zyklischen) Gruppen
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2.) Die aus drei Klappungen a, b und c und drei Drehungen um 0° oder
360°, um 120° sowie um 240° bestehende Decksymmetriegruppe des
regelmäßigen Dreiecks! Es ist die erste nicht-kommutative Gruppe!!
Dreiecks-
symmetrien
0◦
120◦
240◦
a
b
c
0◦ 0
◦ 120
◦ 240
◦
a b c
120◦ 120
◦ 240
◦ 0
◦
b c a
240◦ 240
◦ 0
◦ 120
◦
c a b
a a b c 0
◦ 240
◦ 120
◦
b b c a 120
◦ 0
◦ 240
◦
c c a b 240
◦ 120
◦ 0
◦
Die deckungsgleichen Kongruenzabbildungen eines reg. Dreiecks19 bildet die kleinste nicht-kommutative Gruppe
Beachte die Nichtsymmetrie zur Hauptdiagonalen im hinteren unteren Bereich
Dreh-UG
0◦
120◦
240◦
0◦ 0
◦ 120
◦ 240
◦
120◦ 120
◦ 240
◦ 0
◦
240◦ 240
◦ 0
◦ 120
◦
Die Drehungen bilden eine kom. Untergruppe 3. Ordnung20 Die Drehung um 240° ist identisch mit der Drehung um -120°
Vergleiche mit den Drehsymmetriegruppen des regelmäßigen n-Ecks!
19 Dies sind auch alle Abbildungen des Minimalmodells der Euklidischen Geometrie (2 Punkte je Gerade; insgesamt sechs Geraden und vier Punkte, wobei durch jeden Punkt – auch durch den fixen Ursprung - die Geraden gehen), die den Ursprung in sich abbilden. Die Drehungen bilden auch eine 3x3 Untergruppe (strukturelle Gleichheit – drei Selbstinverse neben der Identität) 20 Eine sog. Normale Untergruppe, auch Normalteiler genannt!
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Die sog-Di-edergruppen Dn sind die Deckabbbildungen des reg. n-Ecks,
(d.h. es ist die Permutationsgruppe der n-Ecks-Ecken)
Sie bestehen aus n Spiegelungen und n Drehungen.
Hier die Gruppe D3 = S3 des regulären Dreiecks und D4 des Quadrats
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
Die Gruppe der Deckabbildungen regulärer Vielecke sind nie kommutativ,
da das Hintereinanderausführen von Abbildungen
i. a. nicht vertauschbar ist!
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Diese Dreieckssymmetriegruppe ist gleichwertig (isomorph) zur
Permutationsgruppe aus drei Elementen21, d.h. beide haben die
gleiche-Struktur. Bekanntlich hat eine aus n Elementen bestehende
Menge n! Permutationen (beispielsweise gibt es 3! = 1 x 2 x 3 = 6
Möglichkeiten die Buchstaben des Worte „mit“ umzustellen22 nämlich für
den ersten Buchstaben drei und für jeden dieser für den zweiten
Buchstaben noch zwei – der dritte ist dann der noch übrig bleibende B
uchstabe)).
Die sechs Permutationen einer drei-elementigen Menge sind
n = (1�1; 2�2; 3�3) identische Abbildung (= neutrales Element)
sowie die drei Transpositionen
(entspricht den Klappungen)
1 = (1����1; 2�3; 3�2) nur 2 und 3 werden vertauscht (selbstinvers)
= (2,3)
2 = (1�3; 2����2; 3�1) nur 1 und 3 werden vertauscht (selbstinvers)
= (1,3)
3 = (1�2; 2�1; 3����3) nur 2 und 1 werden vertauscht (selbstinvers)
= (1,2)
und die zwei Dreierzyklen
(entspricht den Drehungen)
4 = (1�2; 2�3; 3�1) = (2,3,1) = (1,3) (2,3)
5 = (1�3; 2�1; 3�2) = (3,1,2) = (2,3) (1,3)
21 der Gruppe aller Vertauschungen dreier Elemente, 3! = 3x2x2= 6 Möglichkeiten 22 Dreibuchstabige Wörter zu bilden sind dagegen 26
3 Möglichkeiten, wenn das Alphabet
26 Buchstaben hat: Leicht lassen sich viele dreibuchstabige Vornamen oder Tiere finden,
z.B. UHU, Kuh, Reh, Ara, Hai, Wal, Gnu, Emu oder Vornamen mit drei Buchstaben: Eva, Ida, Ina, Kia, Mia, Pia, Ute, Alf, Kai, Kim, Tim, Udo
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n 1 2 3 4 5
n n 1 2 3 4 5
1 1 n 5 4 3 2
2 2 4 n 5 1 3
3 3 5 4 n 2 1
4 4 2 3 1 5 n
5 5 3 1 2 n 4
Es ist 1 ◌ 2 = 5 („◌“ bedeutet die Nacheinander-Ausführung etwa von Abbildungen, die nicht vertauschbar sein müssen) Also zuerst die Vertauschung der 2 und 3 und danach wird 3 und 1 vertauscht, was also 123->132->312 was die 5. Abbildung ergibt
aber 2 ◌◌◌◌ 1 = 4
2 ◌ 1 bedeutet: 1 nach 3 nach 2, 2 nach 2 nach 3, 3 nach 1 nach 1:
123-� 231 = 4
Es gilt also die Vertauschbarkeit nicht! 1•2 ≠ 2•1
Zwei mal die 4. Abbildung gibt 4 ◌ 4 = 4h = 5
und auch 5 ◌ 5 = 5h = 4
Was ist nun die inverse Abbildung zu 5 = (1�3; 2�1; 3�2)?
Dies ist (1�2; 2�3; 3�1) also 4 ◌ 5 = n = 5 ◌ 4
Somit ist 4 zu 5 invers und ungekehrt 5 zu 4
Die Drehung um 240° ist identisch mit der Inversen von 120°; der Drehung um -120° und zweimal um 240° gedreht ist wie um 120° gedreht
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INFO für Leute, denen das alles viel zu viel war :
Youtube-Video https://www.youtube.com/watch?v=XTJ9K4bvGgI
Mathematik für Informatik Studenten - Algebraische Grundstrukturen : Permutationen
https://www.youtube.com/watch?v=JcA19U_Ydtc
Jeder Permutation ist ein Produkt von Transpositionen (Vertauschungen)
wie z.B. diese zwei Dreiezyklen (1, 7, 6) und (2, 5, 3)
sind durch diese vier Zweierzyklen
(1 gegen 7) (7 gegen 6) (2 gegen5) (5 gegen 3)
ersetzbar
(die 4 bleibt unverändert)
• AlgTopReview4: Free abelian groups and non-commutative groups von N. Wildberger
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Da ja jede Algebra durch Matrizen realisierbar ist, wollen wir noch zwei
Matrizengruppen sechster Ordnung erörtern. Zuvor noch etwas über die
Bedeutung der Gruppen für die ( oder genauer gesagt, für eine)
Geometrie. Eine Geometrie besteht nicht nur aus einer Ansammlung
geometrischer Objekte wie Punkte, Strecken, Flächen und Körper, sondern
wird viel eher durch die Bewegungsmöglichkeiten dieser Objekte
bestimmt, d.h. dadurch, welche Abbildungen des Raumes auf sich
existieren, welche Transformationen möglich sind. Welche sog.
Bewegungen, das sind Kongruenzabbildungen wie Verschiebungen,
Drehungen und Spiegelungen sind möglich? Diese
„Bewegungsmöglichkeiten“ sind Abbildungen des geometrischen Raumes
in sich; und sie bilden eine Gruppe!
Beispielsweise ist es charakteristisch für die Nicht-Euklidischen
Geometrien, dass sie keine Ähnlichkeitsabbildungen kennen - weswegen
übrigens der Satz des Pythagoras auch nicht gilt! Alle Dreiecke mit
gleichen Winkeln sind schon deckungsgleich (kongruent), und jedes
Dreieck ist gewissermaßen fast schon ein Individuum, denn es gibt ihm
nichts Ähnelndes, wie z.B. beim Pol-Aquator-Dreieck mit den drei rechten
Winkeln auf der Kugel.
Eine Geometrie entsteht also erst, wenn man neben den geometrischen
Objekten bzw. der Punktmenge noch eine Gruppe von Transformationen
vorgibt, wobei jeder Gruppe eine andere besondere Geometrie entspricht.
Dies zeigte das Studium der Nicht-Euklidischen Geometrien nach dem
1872 veröffentlichten sog. Erlanger Programm von Felix Klein (1849-
1925)
Im Folgenden wollen wir uns einmal das endlicheste Modell der Geometrie
ansehen
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Stellen Sie sich nun vor, eine Gerade hätte sehr viele, aber eben
nicht unendlich viele Punkte, sagen wir auf jeder lägen „ nur“ 10 hoch
1000 Punkte23. Könnten wir irgend einen, wenn auch noch so kleinen
Unterschied feststellen? Ganz klar, nein! Im krassesten Fall kann man die
Anzahl der Punkte, die auf jeder Gerade liegen, sogar auf zwei reduzieren
und erhält dann das überhaupt kleinstmögliche endliche Modell der
Euklidischen Geometrie. Zur Strukturuntersuchung kann man die kleinste
endliche Gruppe bzw. Zahlenkörper (0, I) verwenden:
Minimalstmodell {0,1}² der euklidischen Ebene24:
Nur zwei Punkte liegen auf jeder Geraden
und drei Geraden gehen durch jeden Punkt
Die insgesamt sechs Geraden sind die schwarzen geraden Verbindungen Der gelbe Kreis ist keine Gerade,
sondern ein Kreis, und eine Spiegelung an ihm ist die Identität.
Will man das Modell mit sechs sich nicht schneidenden Geraden
darstellen, so muss man in den Raum gehen: Die sechs Geraden sind die
sechs Kanten eines Tetraeders, der bekanntlich vier Ecken hat.
23 Eine so riesige Zahl (Gogol), mit der niemand etwas anfangen kann! 24 Wären es Atome, könnte man z.B. an NH3 oder SO3 denken!
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Durch jeden Punkt gehen immer genau drei Geraden, und je drei Geraden
schneiden sich immer in drei Punkten. Alle Punkte haben denselben
Abstand 1 voneinander (es gibt ja nur den Abstand 0 oder 1), und
daher gibt es genau vier Kreise, die einen der vier Ebenenpunkte als
Zentrum haben und durch die anderen drei verlaufen; der Radius ist r=1
(eine anderen gibt es ja nicht).
Es ist aber kein Minimalstmodell der Projektiven Ebene, das ja das
Parallelenpostulat erfüllt ist. Das minimalste Modell der Projektiven
Geometrie ist ein Dreieck mit seinen drei Punkten und Seiten, wobei
letztere die Geraden repräsentieren.
Es gibt als Ortsvektordifferenzen vier mögliche Richtungen und somit vier
Translationen (mit der Nullvektor-Verschiebung), die eine (Unter-) Gruppe
bilden: Für Translationen ergeben sich die vier möglichen
Verschiebungsvektoren (0, 0) = id, (1, 0), (0, 1) oder (1, 1). Sie bilden
eine kommutative 4er-Gruppe Z2X Z2, wobei jede Translation selbstinvers
ist:
Zwei Klappungen an verschiedenen nichtparallelen Achsen ergeben immer
Drehungen um den doppelten Achsenschnittwinkel. Aber welche Winkel
gibt es überhaupt? Den Vollwinkel in drei Teile zu teilen sollte nicht
möglich sein, könnte man meinen, wenn es nur die Zahlen 0 und 1 gibt!
Es gäbe nur die Winkel 0○ (Drehung um 0○ ist die Identität) und 1○!
Wobei zweimal um den Drehwinkel 1○ zu drehen aber doch nicht 2○
bedeuten könnte, da doch 1+1 = 0 ist, denn die 2 existiert nicht im
Körper:
Alle Deckabbildungen, die den Ursprung fix lassen (die drei Drehungen D0,
D+ und D- um ihn, und die drei Klappungen um eine Ursprungsgerade),
bilden bezüglich der Hintereinanderausführung (Matrizen-Multiplikation:
Zeile mal Spalte) ebenso eine Gruppe sechster Ordnung, die der 2x2
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Matrizen mit Determinante25 1 (also flächentreue) nämlich; alle anderen
haben verschwindende Determinanten: Es gibt überhaupt keine nicht
flächentreuen Abbildungen (insbesondere gibt es keine echten
Ähnlichkeitsabbildungen), denn die Determinante kann ja nur Null oder
Eins werden!
Die Drehungen sind das Ergebnis einer Komposition zweier
Achsenspiegelungen an sich schneidenden Achsen (Schnittpunkt = fixer
Drehpunkt), denn diese können keine Verschiebungen ergeben, da sie ja
keinen Punkt fest lassen, außer bei der (identischen) Verschiebung um
den Nullvektor (0, 0). Und die hintereinander ausgeführten drehsinn-
vertauschenden Spiegelungen an zwei sich nicht schneidenden Geraden
(Parallelen) ergeben eine drehsinn-erhaltende Translation (Verschiebung).
Allgemein werden alle homogenen26 Abbildungen des Rn auf sich durch
Abbildungsgleichungen dargestellt, die in Matrixform geschrieben werden:
x´ = M x
Sie haben immer mindestens einen Fixpunkt, denn sie bilden den
Ursprung auf sich ab. Sie können aber auch eine Fixpunktgerade haben.
Die allgemeinen linearen (= inhomogenen) Abbildungen x´ = Mx + v
sind solche, die durch eine zusätzliche Translation erhältlich sind, die also
einen zusätzlichen Verschiebungsvektor v haben.
Ist der Betrag der Determinante 1, so handelt es sich immer um eine
Flächen erhaltende Abbildung, wie es die Kongruenzabbildungen sind27:
Negative Determinante -1 liefert Klappungen (der Drehsinn wird dabei
25 Det A = a11 a22 - a12 a2 ist die Subtraktion der Diagonalprodukte
26 „Null auf Null abbilden“ – die den Nullpunkt fix lassen
27 es gibt aber auch inhaltstreue Abbildungen, die nicht längen- und winkeltreu sind
z.B. Scherungen, Eulerabbildungen.
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umgekehrt28), während +1 die Orientierung erhaltenden (Drehungen um
O) liefert, die für sich alleine schon eine kommutative Gruppe bilden.
Die Matrix 0 1 1 0 beispielsweise bedeutet die Abbildung mit x´= 0*x+1y y´= 1*x+0*y d.h. hier wird das x-Koordinatenbild zu y und umgekehrt ist das y-Bild die
ursprüngliche x-Koordinate; die Abszissen und Ordinaten werden also
vertauscht. Es handelt sich somit um die Spiegelung an der ersten
Winkelhalbierenden y = x (die bei Graphen ihre Umkehrabbildung liefert).
Diese Matrix ist zu sich selbst invers, denn das zweimalige Spiegeln an derselben Geraden liefert ebenso die Identität, wie ihr Matrizenprodukt: (Zeile mal Spalte!) 0 1 0 1 0*0+1*1 0*1+1*0 1 0
mal = = 1 0 1 0 1*0+0*1 1*1+0*0 0 1 Wenn wir zuerst an der Winkelhalbierenden y = x spiegeln und dann an der y-Achse (x=0), die nur die x-Werte negiert, dann erhalten wir eine Drehung um den doppelten Schnittwinkel der beiden Spiegelachsen, also eine Drehung um 90° im mathematisch positiven Sinne, Die Matrix29 -1 0 0 1 0 -1 0 1 mal 1 0 ergibt 1 0 oder a´= 0*a -1*b b´= 1*a+0*b Der senkrechte Vektor zu (a; b) ist (-b; a), ein sog. Normalenvektor.
28 Man denke daran, dass ja auch der linke und rechte Schuh verschiedene Orientierungen haben und durch eine Ebenspiegelung deckungsgleich sind. 29
Die Matrix 0 1 -1 0 0 1
1 0 mal 0 1 ergibt -1 0 eine Drehung um 270° = -90° A• B heißt „ A nach B “ d.h. also die Abbildung B zuerst ausführen und
danach erst die Abbildung A.
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1 1
1 0
ist eine Drehung, welche den x-Einheitsvektor (1, 0) auf (1, 1) abbildet,
und (1, 1) auf die y-Einheit (0, 1) und diese schließlich auf die x-Einheit
„dreht“. Ich nenne sie D+, da positiv orientiert gedreht wird, wohingegen
D- die Drehung in die andere (negative) Orientierung sei. Führt man D+
zweimal hintereinander aus, dann erhält man
1 1 1 1 0 1 1 1
1 0 mal 1 0 ergibt 1 1 wobei 1 0 hoch drei die
Einheitsmatrix (Diagonale nur Einsen, sonst Nullen) bzw. die Identität D0
(Drehung um Null) ist.
Diese neuerliche Drehung D+² ist nun also D-
0 1
1 1
und macht die y-Einheit zu (1, 1), die x-Einheit zur y-Einheit, und
schließlich (1, 1) zur y-Einheit und somit ist kein Punkt außer (0, 0)
Fixpunkt. Zweimaliges Hintereinanderausführen von D- liefert obige D+
als zu dieser hier inverse Matrix bzw. Umkehrabbildung.
01 01 11 01
11 mal 11 = 10 wobei 11 hoch drei auch die Identität D0 ist.
D+³ = D-³ = D0
D- mal D- liefert also D+.
Und D- mal D+ = D+ mal D- = D0 (linksinvers = rechtsinvers)30.
30 Man muss also dreimal drehen um zur Identität zu gelangen, womit man quasi 1/3 und 2/3 Volldrehungen hat! Erinnert dies nicht sehr an die Elementarteilchenphysik mit ihren Spin-Tripletts oder den Quarks mit den entsprechenden Elementarladungen?
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Welche Abbildungen (Matrizen) gibt es, die den Ursprung in sich abbilden
und gerdentreu (lineare Abb.) sind.
a ° b 10 01
11 10
01 11
10 11
11 01
01 10
10
01
10
01
11
10
01
11
10
11
11 01
01
10
11
10
11
10
11
10
10
01
01
10
10
11
11
01
01
11
01
11
10
01
11
10
11
01
01
10
10
11
10
11
10
11
11
01
01
10
10
01
11
10
01
11
11 01
11 01
01
10
10
11
01
11
10
01
11
10
01
10
01
10
10
11
11
01
11
10
01
10
10
01
Alle Kongruenzabbildungen, die den Ursprung in sich abbilden,
sind hier die 2x2 Matrizen mit nicht-verschwindender Determinante. Sie bilden bezüglich der Multiplikation eine nicht-kommutative Gruppe,
welche die kommutative Gruppe der Drehungen als 3er-Untergruppe enthält.
Es gibt drei selbst inverse Achsenspiegelungen und drei Drehungen, wobei um 0°
= 360° zu drehen die identische Abbildung ist und als neutrales Element fungiert;
diese drei Drehungen bilden eine sogar kommutative Untergruppe (Normalteiler)
(nicht so die drei Klappungen, da zwei Klappungen immer eine Drehung ergeben)
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Dreiecks-
symmetrien
0◦
120◦
240◦
a
b
c
0◦
0◦
120◦
240◦ a b c
120◦ 120
◦ 240
◦ 0
◦ b c a
240◦
240◦
0◦
120◦ c a b
a a b c 0
◦ 240
◦ 120
◦
b b c a 120
◦ 0
◦ 240
◦
c c a b 240
◦ 120
◦ 0
◦
Die deckungsgleichen Kongruenzabbildungen eines reg. Dreiecks31
sind die aus drei Klappungen um die drei Symmetrieachsen a, b und c und
die aus den drei Drehungen um 0◦ oder 360
◦, um 120
◦ oder um 240
◦
bestehende Decksymmetriegruppe des regelmäßigen Dreiecks!
Auch hier taucht also diese minimalste nicht-abelsche (=nicht kom.)
Gruppe wieder auf.
Aber auch drei-mal-drei Matrizen mit dieser nicht-kommutativen
Gruppenstruktur finden sich im folgenden Beispiel.
31 Dies sind (wie wir gleich sehen werden) auch alle Abbildungen des Minimalmodells der Euklidischen Geometrie (2 Punkte je Gerade; insgesamt sechs Geraden und vier Punkte, wobei durch jeden Punkt – auch durch den fixen Ursprung - die Geraden gehen), die den Ursprung in sich abbilden. Die Drehungen bilden auch eine 3x3 Untergruppe
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Die nicht-kommutative Gruppe der Dreieckssymmetrie ist auch
strukturgleich (isomorph) mit den folgenden sechs 3x3 - Matrizen aus
nur Einsen und Nullen, wobei in jeder Zeile und jeder Spalte nur genau
einmal die 1 vorkommen darf, bezüglich dem Matrizenprodukt
(Hintereinander ausführen von Abbildungen). Diese Matrizen mit der
Determinante 1 beschreiben also die Permutationen dreier Elemente:
Die Einheitsmatrix
100 010 001
ist n
das neutrale Element (die identische Abbildung), denn
100 1 1 010 mal 2 = 2 001 3 3
(Zeile mal Spalte ergibt für x 1x1+0x2+0x3 =1 für y 0x1+1x2+0x3 =2
für z 0x1+0x2+1x3 =3)
100 001 010
ist das Element (Achsenspiegelung) 1= (2,3),
denn
100 1 1 001 mal 2 = 3 010 3 2
diese Transposition vertauscht 2 und 3
001 010 100
ist die Achsenspiegelung 3= (1,3)
denn
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001 1 3 001 mal 2 = 2 100 3 1
diese Transposition vertauscht 1 und 3
100 010 100
Achsenspiegelung 2 = (1,3)
010 001 100
ist die Rotation 4 = (1�2; 2�3; 3�1) = (2,3,1) = (1,3) (2,3)
denn
010 1 2 001 mal 2 = 3 100 3 1
Aber auch die Matizenmultiplikation (1,3) mal (2,3)
001 100 010 mal 001 100 010
ergibt
010 001 100
und schließlich
001 100 010
ist die andere Drehung bzw.
5 = (1�3; 2�1; 3�2) = (3,1,2) = (2,3) (1,3)
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n 1 2 3 4 5 100 010 001
100 010 100
010 100 001
001 010 100
010 001 100
001 100
010 n n 1 2 3 4 5
100 010 001
100 010 001
100 001 010
010 100 001
001 010 100
010 001 100
001 100 010
1 1 n 5 4 3 2 100 001 010
100 001 010
100 010 001
001 100 010
010 001 100
001 010 100
010 100 001
2 2 4 n 5 1 3 010 100 001
010 100 001
010 001 100
100 010 001
001 100 010
100 001 010
110 010 100
3 3 5 4 n 2 1 001 010 100
001 010 100
001 100 010
010 001 100
100 010 001
010 100 001
100 001 010
4 4 2 3 1 5 n 010 001 100
010 001 100
010 100 001
001 010 100
100 001 010
001 100 010
100 010 001
5 5 3 1 2 n 4 001 100 010
001 100 010
001 010 100
100 001 010
100 010 001
100 010 001
010 001 100
Diese nicht-zyklische Gruppe enthält vier Untergruppen, nämlich drei
zwei-elementige
(n mit den Selbstinversen 1, 2 oder 3) und eine drei-elementige {n, 4, 5}
Die letztere Gruppe der Drehungen ist auch noch eine normale oder
invariante Untergruppe, und wird auch als. Normalteiler32 bezeichnet, da
die Untergruppenordnung ja immer ein Teiler der Gruppenordnung sein
muss (Satz von Lagrange). Als nächstes sind Link- und Rechtnebenklassen
dran, sowie die Frage, wann die Linksnebenklasse immer dasselbe ergibt
wie die Rechtnebenklasse.
32 N = Kern eines Homomorphismus, =Menge der Elemente, die auf das bneutrale Element der Bildgruppe abgebildet werden. Die Linksnebenklassen gN von N stimmen mit den Rechtsnebenklassen Ng überein, für alle Elemente g der Gruppe. Somit ist gNg-1 = N also invariant für alle g aus G. Ex: Bei der General Linear Group GL(n) sprich den n x n Matrizen, deren Determinante ungleich Null (=nicht entartete Abbildung, da Flächenerhaltend) ist, bilden die flächen- und orientierungstreuen Abbildungen (d.h. Determinante =1) den Normalteiler. Bei den Permutationsgruppen Sn sind es die geraden Permutationen An
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Normalteiler = abgeschwächte Kommutativität33
Ein Normalteiler N ist eine invariante Untergruppe: gNg-1=N für alle g aus G
� https://www.youtube.com/watch?list=PL6763F57A61FE6FE8&v=xPeeFp_Hd3A
Die zweielementigen Untergruppen der Achsenspiegelungen sind aber
keine Normalteiler, denn die Linksnebenklassen sind keine
Rechtsnebenklassen.
Da die Dreierzyklen sich durch je zwei Vertauschungen ersetzen lassen, handelt es sich um sog. gerade Abbildungen (bei einer geradzahligen Anzahl Transpositionen - es gibt genau so viel gerade wie ungerade Abbildungen, nämlich ½n!) Man nennt sie auch die alternierende Gruppe A3. Die alternierenden Gruppen An sind der einzige Normalteiler der symmetrischen Gruppe
Sn.(=Permutationsgruppe), zumindest für n>434; dann spricht man auch von der
Einfachheit der An , da sie keinen (echten) Normalteiler haben.
Für n=4 ist übrigens die Kleinsche Vierergruppe der größtmöglicher Normalteiler der A4.
33 Bei kommutativen Gruppen ist jede Untergruppe eine normale (= Normalteiler)! 34
Für die Auflösbarkeit von Gleichungen höheren als vierten Grades ist die Auflösbarkeit der symmetrischen Gruppe Sn.notwendig. Und diese ist nach einem Satz von Abel eben
für n>4 nicht auflösbar!
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Normalteiler N: Für jedes Gruppenelement muss die Linksnebenklasse mit
der Rechsnebenklasse übereinstimmen.
Hier ist bei der Linksnebenklasse von g1 interessanterweise das Bild mit (123)
nicht mit demjenigen des von rechts verknüpften g1 identisch,
die gesamte Menge aber ist schon gleich.
Weitergehende Fragen
Was aber sind Quotientengruppen, auch Faktorgruppen genannt?
(die Gruppe der Nebenklassen einer Untergruppe UG der Gruppe G
auch als G/UG (lies G nach U) bezeichnet!
Hier bei der S3 gibt es keine solchen Faktorgruppen S3/UG
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Die nicht-zyklische 6er-Gruppe kann man wie gesagt auch durch 3 x 3
Matrizen35 erhalten, die nur aus Nullen und Einsen bestehen,
wobei die 1 nur einmal in jeder Zeile und Spalte vorkommt
100 010 001
100 010 100
010 100 001
001 010 100
010 001 100
001 100
010
100 010 001
100 010 001
100 001 010
010 100 001
001 010 100
010 001 100
001 100 010
100 001 010
100 001 010
100 010 001
001 100 010
010 001 100
001 010 100
010 100 001
010 100 001
010 100 001
010 001 100
100 010 001
001 100 010
100 001 010
110 010 100
001 010 100
001 010 100
001 100 010
010 001 100
100 010 001
010 100 001
100 001 010
010 001 100
010 001 100
010 100 001
001 010 100
100 001 010
001 100 010
100 010 001
001 100 010
001 100 010
001 010 100
100 001 010
100 010 001
100 010 001
010 001 100
Dies sind lineare, bijektive
Abbildungen des dualen euklidischen Minimalraums auf sich!
{0.1}³ →→→→ {0.1}³
x →→→→ M x
sind natürlich auch geradentreu bzw. ebenentreu, denn durch je zwei bzw.
drei Punkte geht genau eine Gerade bzw. Ebene. Diese acht Dualpunkte
des binären Minimalst-Raumes bilden je drei Punkte eine Ebene: Eine
acht-elementige Menge hat 8 über 3 = 8x7x6/1x2x3 = 56 Möglichkeiten
für Ebenen, wenn in einer Ebene nur drei Punkte lägen. Ebenen bestehen
35 wie allgemein jede Permutationsgruppe mit n Elementen durch solche binären n mal n Matrizen darstellbar sind (die allgemeine Matrizengruppe, die General Linear Group GL(n) ist also noch viel reichhaltiger als die Permutationsgruppen Sn)
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aber aus deren vier! Es sind also weniger Ebenen. Das ist jetzt aber nicht
die Frage, sondern, was für eine Abbildung ist zB.
001 010 100
x´ = M x
für die acht Raumpunkte
( Einheitswürfel des 3d-Raumes)
001 1 0
010 mal 0 = 0 100 0 1
001 0 0 010 mal 1 = 1
100 0 0 Fixpunkt
001 0 1 010 mal 0 = 0 100 1 0
001 1 0 010 mal 1 = 1 100 0 1
001 1 1 010 mal 0 = 0
100 1 1 Fixpunkt
001 0 1 010 mal 1 = 1 100 1 0
und immer wird 111 auf 111 abgebildet
001 1 1 010 mal 1 = 1 100 1 1
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Also ist die Gerade durch den Ursprung und durch (1,1,1) eine
Fixpunktgeraden bei allen Abbildungen (`= Drehungen um diese Achse
und Klappungen = Ebenenspiegelung) denn auch der Ursprung ist ja
immer ein Fixpunkt
001 0 0 010 mal 0 = 0 100 0 0
Dies ist offensichtlich eine Ebenenspiegelung, bei der 100 und 001
vertauscht werden sowie 110 und 011.
Die drei Transpositionen sind also Spiegelungen (Klappungen) an den drei
„diagonalen“ Ursprungsebenen durch einen der Nachbarpunkte des
Ursprungs (die drei Achsen-Einheiten nämlich), die alle die Gerade
enthalten, welche durch den Ursprung und durch den „Gegenpol“ 111
geht.
Und die beiden Dreierzyklen sind zwei Ebenenspiegelungen, also wohl
zwei Drehungen um die gemeine Ursprungsgerade durch 000 und 111 mit
doppeltem Schnittwinkel als Drehwinkel.
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Da die Umstellungen (Permutationen) überhaupt alle möglichen
Kombinationen erfassen, ist jede endliche Gruppe eine Untergruppe einer
Permutationsgruppe, deren allgemeine Struktur allerdings sehr kompliziert
ist: Jede endliche Gruppe G ist strukturgleich zu einer Untergruppe
der Permutationsgruppe Pn, wobei n nicht größer als die Ordnung von
G ist (Satz von Cayley).
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
Die Permutationsgruppen nennt man auch die
symmetrischen Gruppen Sn
Die “Gruppen-Theorie“ ist das Studium der Symmetrieen!
Vgl. auch die 7 eindimensionalen Friezegruppen, die 17 zweidimensionalen Symmetriegruppen = Wallpaper- und die 230 dreidimensionalen Kristallgruppen ----� IV.13 Geometrie und Gruppentheorie
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Hier noch eine Übersicht der endlichen Gruppenanzahlen bis zur 25. Ordnung:
AnzahlElemente
Anzahl von Guppen
Kommutativ Nicht
kommutativ
4 2 2 0 5 1 1 0 6 2 1 1 7 1 1 0 8 5 3 2 9 2 2 0
10 2 1 1 11 1 1 0 12 5 2 3 13 1 1 0 14 2 1 1 15 1 1 0 16 14 5 9 17 1 1 0 18 5 2 3 19 1 1 0 20 5 2 3 21 2 1 1 22 2 1 1 23 1 1 0 24 15 3 12 25 2 2 0
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Anhang
zur den unendlichen zyklischen Gruppen der Zahlen,
mit denen wir rechnen
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Nun aber noch kurz etwas zu den eigentlichen Rechenoperationen
der zyklischen unendlichen Gruppen!
Wenn wir die unendliche Produktbildung betreiben
{0, 1} x {0, 1 } x {0, 1 } x {0, 1 } x {0, 1 } … = {0, 1}n,
und n immer größer bis ins Unendliche gehen lassen, dann kommen wir
nicht mehr zur Eins zurück, wie es bei den endlichen Kreisgruppen ja stets
der Fall war. Wir erhalten also kein selbstinverses Element mehr am
Anfang bzw. „in der Mitte“, zwischen positiven und negativen Zahlen,
denn die Mitte von Unendlich ist sozusagen selbst unendlich. Nur die
Erweiterung mit neuen Inversen in Form negativer Zahlen liefert uns die
zyklische Gruppenstruktur, wobei die Neutralen Nullelemente in der
Diagonalenrichtung „durch den Ursprung“ gehen. Norman Wildberge
spricht daher von freien abelschen Gruppen.
0 1 10 11 4 101 110 111 1000 1001 1010 1100
- 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1011
- -1 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1010
-10 -1 0 1 10 11 100 101 110 111 1001
-11 -10 -1 0 1 10 11 100 101 110 1000
-100 -11 -10 -1 0 1 10 11 100 101 111
-1 0 1 10 11 100
-10 -1 0 1 10 11 -11 -10 -1 0 1 10 -100 -11 -10 -1 0 1 -101 - -11 -10 1 0
Die Vielfachen von Z sind nZ , also z.B. 3Z={3, 6, 9, 12, 15 …} Die 3er-Gruppe ist isomorph zu der Gruppe mit den drei Elementen Z + 0 Restklasse 0), 3Z+1 (Restklasse 1) und 3Z+2 (Rest 2). So kommt man zu Z3 Und allgemeiner spricht man von den Quotienten- oder Faktorgruppen Die Quotientengruppen von Z in Zeichen Z/ nZ sind die zyklischen Restklassen- oder Modulogruppen Zn