![Page 1: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/1.jpg)
Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori
Marko Uršič, Filozofija narave, FF
![Page 2: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/2.jpg)
Gl. tudi: Marko Uršič & Olga Markič, Osnove logike, str. 228-229
Evklidska, klasična geometrija Evklid, Elementi, 13 knjig, ~ 325–300 pr. n. š., Aleksandrija
Prvo neevklidsko geometrijo je odkril Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1826).
Lobačevski je zasnoval svojo geometrijo na spremenjenem aksiomu o vzporednici:
Skozi točko T, ki ne leži na premici p, poteka več kot ena vzporednica k premici p.
(Pozneje se to imenuje “hiperbolična geometrija”.)
![Page 3: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/3.jpg)
Sferične in hiperbolične neevklidske geometrije (ponazoritev v dveh dimenzijah)
![Page 4: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/4.jpg)
Pozitivno in negativno ukrivljeni prostor (ponazoritev v 2D)
Vir: Graham Nerlich, The Shape of Space, 1994, str. 77
![Page 5: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/5.jpg)
Trikotniki na neevklidskih ploskvah,
računanje intrinzične ukrivljenosti prostora (Carl Friedrich Gauss, 1777–1855)
Vira: B. K. Ridley, Time, Space and Things, 1995, str. 50 (slika levo);
Edward Harrison, Cosmology, 2000, str. 194 (slika desno)
![Page 6: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/6.jpg)
Geodetke so intrinzično “ravne” črte (“premice”)
v ukrivljenem prostoru (ponazoritev na sferični 2D ploskvi)
![Page 7: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/7.jpg)
Hipersfera
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866),
Gaussov študent, je leta 1854 posplošil teorijo
neevklidskih geometrij tudi na višje dimenzije
(4D, 5D, …, nD).
Med Riemannovimi geometrijami imajo posebno
mesto (zaradi svoje “preprostosti”, “prvotnosti”)
tri geometrije s konstantno ukrivljenostjo:
• hipersfera (pozitivna ukrivljenost)
• psevdosfera (negativna ukrivljenost)
• evklidska geometrija (“ničelna” ukrivljenost).
Hipersfera ima lahko poljubno število dimenzij (n):
x1, x2, x3 …xn (ali: x, y, z …)
n-hipersfera se definira kot množica točk po formuli:
Rn2 = x1
2 + x22 + x3
2 + … + xn2 (R je njen radij),
tj. kot posplošitev 3D sfere (oz. evklidske krogle):
R32 = x1
2 + x22 + x3
2 ( ali: R2 = x2 + y2 + z2 ).
4D-hipersfera je intuitivno sfera, katere središče je
povsod, obod nikjer, namreč v 3D prostoru, ki je
njena “površina” – nota bene: to je bil prostorski
model vesolja že pri Nikolaju Kuzanskem (15. st.).
Hipersfera je po volumnu
končna – vendar brezmejna!
Na sliki (s spleta) vidimo poskus
nemogoče vizualizacije hipersfere
v treh dimenzijah (3D): posamezni
“krožni” preseki 4D-hipersfere so sfere
oziroma krogle v 3D.
![Page 8: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/8.jpg)
Hiperbolični (negativno ukrivljeni) prostor; psevdosfera
Vir obeh levih slik je knjiga: Jeffrey R. Weeks, Oblika prostora,
Sigma, Lj., 1998; vir desne slike je Wikipedija.
psevdosfera (ponazoritev v 2D)
![Page 9: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/9.jpg)
Slike ponazarjajo optiko v treh
konstantno ukrivljenih ( “homogenih”)
prostorih: evklidskem (ravnem),
sferičnem in hiperboličnem.
Vir slik : Scientific American, 1999.
Sferično ukrivljeni prostor
optično poveča objekte
(do “ekvatorja”),
hiperbolični pa jih
pomanjša.
Ukrivljenost prostora optično učinkuje
kot povečevalna ali pomanjševalna leča
![Page 10: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/10.jpg)
M. C. Escher: Balkon, litografija, 1945 (levo),
in prvotna “evklidska” skica zanj (desno)
![Page 11: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/11.jpg)
Escher: Belvedere, litografija, 1958
“Nora kletka”
Na sliki je perspektiva v
sicer evklidskem prostoru
zasukana za 90°
![Page 12: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/12.jpg)
Escher: Drugi svet II, litografija, 1947
Na sliki je evklidska
geometrija, tj. “ravni” 3D
prostor, viden s treh
različnih perspektiv
![Page 13: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/13.jpg)
Escher: Möbiusov trak II, lesorez, 1963
Möbiusov trak je 2D ploskev
z eno samo površino
![Page 14: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/14.jpg)
Zrcaljenje in sámonanašanje: kdo sem jaz, “M. C. E.” …?
Roka z zrcalno kroglo
litografija, 1935
Tri krogle II, litografija, 1946
![Page 15: Neevklidske geometrije, Marko Uršič, FF, 2010mursic3/Neevklidske_geometrije_FN-2013.pdf · 2013-12-15 · Neevklidske geometrije ukrivljeni prostori Marko Uršič, Filozofija narave,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041715/5e4b140cc5b0d118ed0dd54e/html5/thumbnails/15.jpg)
Escher: Galerija grafik, litografija, 1956
V beli pegi
(“fokusu”) je
vpisano ime:
M.C.Escher