II VEZBA
TEMA Presek dYe ravni
21 Zadatak Nacrtati presecnicu ravni a i ravni ~ u dye ortogona[ne projekcije 0 (6070) Osni lragovi zadatih ravni dati su u tabe[i 61
Tabe[a 6
v a - 0 a a v a B Bv B
I 60 40 40 15 -IS -30 2 5 -5 -10 70 45 30 3 10 00 -10 55 40 SO 4 70 40 30 IS 00 -to - -5 60 40 35 00 IS 00
6 00 -20 00 55 35 40 7 60 40 00 00 10 00
8 00 -10 -00 70 00 45 9 40 -SO -40 20 -IS -10 10 30 -30 -30 10 -5 -5 11 45 40 00 10 -10 -10 12 [5 -10 -10 60 00 40 13 70 30 40 15 00 -10 14 10 -10 00 65 35 25 IS 50 00 40 10 -5 00
16 15 00 -10 SO 40 00
17 15 -15 -10 00 20 00
18 00 -20 I-shy
00 10 -5 -10 19 45 55 40 60 20 30 20 10 -5 -5 30 -20 -30
16
Primer 21 Nacrtati presecmcu ravm dye ortogonalnc projekcije
0(503540) i raVl1l ~(-3020 10) tl
Resenje
z
x
j
Stika 5 Graficko resenje primera 21
Kako je presecna prava p zajednicka za obe ravni sL 5 njeni prodori Kro projekcijske ravni nalaze se u prescku odgovarajuCih tragova
17
TEMA Tacka i praltJ II ravni
22 Zadllak O~(6n200)
Obit Itaga 1lt1 Iill i ltX pro laze kroz koorclinatpj poectak Scm toga prvi trag ravni ltX prolazi kroz tack u A a drugi trag ~ kroz tack u B Odrediti Ilc[lOlllatll projckciju lacke C koja lezi u ravn i klllisteci pravll p koja prolazi kroz taeke A i C Pomocli jeclne od paralela odred iti nep07Oatu projekcijll taekc D koja leZ i 1I ravni a dobiJcno rcScnjc kontrolisat i drugom para1clom Koordinatc taeak A B C j D date Sll Ll tabeli 7
Tabela 7 V
x I 40 2 -40 3 40 4 60 1 i)0
r-Ci 30-shy
A B C D y z x y z x y z x y z
SO 60 30 70 10 90 30 -20 90 60 60 30 70 20
-60 ) 80 ) SO SO 40 30 7 40 40 7 40 ) 30 -10 7 -20 40 -20 7
90 ) 60 ) SO SO ) 20 10 -40 7
50 7 10 I 50 -30 -20 7 SO -20 7
7 -50 1-50 ) -20 ) -30 30 7 -20 50 ) -10 f--shy
~ 1() 60 ) 60 I ) 50 40 -10 7 -20 10 7 1--- --shy - -_-1-----shy -shy
) I 70 I (10 __i J ()O I (iO 40 10 ) 40 J -10 --shy - --shy C---__ 1---r---shy10 30 -50 ) 60 ) -20 40 If) ) 40 7 -30
f--shyI I 100 40 -40 ) -20 -40 -20 7 60 40 12 -30 -50 J -20 7 -30 40 7 SO 40 7 -10 U 40 50 90 7 60 20 7 60 70 20
14 -50 -30 7 -30 7 -50 30 7 40 -10 20 7
11 60 80 7 -60 J -30 10 -50 20 SO 7
16 20 -60 ) SO ) 30 80 30 7 -20 7 -10 17 60 40 90 7 60 30 7 -10 20 -30 )
18 50 30 7 20 7 -90 10 7 30 20 20 7
19 100 80 7 SO 7 60 -20 -60 7 30 7 -20 20 -30 -SO 7 -SO 7 -50 50 20 20 7 40
18
Primer 22
Rdenje
Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom
xY
9
Slika 6 Graficko resenje primera 22
Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)
pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt
19
TEMA Prodor prave kroz ravan
23 Zadalak 0(250 140)
Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8
u
i ra
datoj raVDl ~
~ date su u vni a i
Tabela 8
v a ~ A B C
ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z
I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10
-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80
20
Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)
Resenje
V
x V
_~155
ppy
Slika 7 Graflcko rdenje primera 23
Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI
Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21
21
III VEZBA
TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1
horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9
Tabela 9
3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40
5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()
r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40
Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i
I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40
22
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 21 Nacrtati presecmcu ravm dye ortogonalnc projekcije
0(503540) i raVl1l ~(-3020 10) tl
Resenje
z
x
j
Stika 5 Graficko resenje primera 21
Kako je presecna prava p zajednicka za obe ravni sL 5 njeni prodori Kro projekcijske ravni nalaze se u prescku odgovarajuCih tragova
17
TEMA Tacka i praltJ II ravni
22 Zadllak O~(6n200)
Obit Itaga 1lt1 Iill i ltX pro laze kroz koorclinatpj poectak Scm toga prvi trag ravni ltX prolazi kroz tack u A a drugi trag ~ kroz tack u B Odrediti Ilc[lOlllatll projckciju lacke C koja lezi u ravn i klllisteci pravll p koja prolazi kroz taeke A i C Pomocli jeclne od paralela odred iti nep07Oatu projekcijll taekc D koja leZ i 1I ravni a dobiJcno rcScnjc kontrolisat i drugom para1clom Koordinatc taeak A B C j D date Sll Ll tabeli 7
Tabela 7 V
x I 40 2 -40 3 40 4 60 1 i)0
r-Ci 30-shy
A B C D y z x y z x y z x y z
SO 60 30 70 10 90 30 -20 90 60 60 30 70 20
-60 ) 80 ) SO SO 40 30 7 40 40 7 40 ) 30 -10 7 -20 40 -20 7
90 ) 60 ) SO SO ) 20 10 -40 7
50 7 10 I 50 -30 -20 7 SO -20 7
7 -50 1-50 ) -20 ) -30 30 7 -20 50 ) -10 f--shy
~ 1() 60 ) 60 I ) 50 40 -10 7 -20 10 7 1--- --shy - -_-1-----shy -shy
) I 70 I (10 __i J ()O I (iO 40 10 ) 40 J -10 --shy - --shy C---__ 1---r---shy10 30 -50 ) 60 ) -20 40 If) ) 40 7 -30
f--shyI I 100 40 -40 ) -20 -40 -20 7 60 40 12 -30 -50 J -20 7 -30 40 7 SO 40 7 -10 U 40 50 90 7 60 20 7 60 70 20
14 -50 -30 7 -30 7 -50 30 7 40 -10 20 7
11 60 80 7 -60 J -30 10 -50 20 SO 7
16 20 -60 ) SO ) 30 80 30 7 -20 7 -10 17 60 40 90 7 60 30 7 -10 20 -30 )
18 50 30 7 20 7 -90 10 7 30 20 20 7
19 100 80 7 SO 7 60 -20 -60 7 30 7 -20 20 -30 -SO 7 -SO 7 -50 50 20 20 7 40
18
Primer 22
Rdenje
Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom
xY
9
Slika 6 Graficko resenje primera 22
Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)
pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt
19
TEMA Prodor prave kroz ravan
23 Zadalak 0(250 140)
Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8
u
i ra
datoj raVDl ~
~ date su u vni a i
Tabela 8
v a ~ A B C
ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z
I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10
-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80
20
Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)
Resenje
V
x V
_~155
ppy
Slika 7 Graflcko rdenje primera 23
Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI
Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21
21
III VEZBA
TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1
horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9
Tabela 9
3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40
5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()
r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40
Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i
I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40
22
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
TEMA Tacka i praltJ II ravni
22 Zadllak O~(6n200)
Obit Itaga 1lt1 Iill i ltX pro laze kroz koorclinatpj poectak Scm toga prvi trag ravni ltX prolazi kroz tack u A a drugi trag ~ kroz tack u B Odrediti Ilc[lOlllatll projckciju lacke C koja lezi u ravn i klllisteci pravll p koja prolazi kroz taeke A i C Pomocli jeclne od paralela odred iti nep07Oatu projekcijll taekc D koja leZ i 1I ravni a dobiJcno rcScnjc kontrolisat i drugom para1clom Koordinatc taeak A B C j D date Sll Ll tabeli 7
Tabela 7 V
x I 40 2 -40 3 40 4 60 1 i)0
r-Ci 30-shy
A B C D y z x y z x y z x y z
SO 60 30 70 10 90 30 -20 90 60 60 30 70 20
-60 ) 80 ) SO SO 40 30 7 40 40 7 40 ) 30 -10 7 -20 40 -20 7
90 ) 60 ) SO SO ) 20 10 -40 7
50 7 10 I 50 -30 -20 7 SO -20 7
7 -50 1-50 ) -20 ) -30 30 7 -20 50 ) -10 f--shy
~ 1() 60 ) 60 I ) 50 40 -10 7 -20 10 7 1--- --shy - -_-1-----shy -shy
) I 70 I (10 __i J ()O I (iO 40 10 ) 40 J -10 --shy - --shy C---__ 1---r---shy10 30 -50 ) 60 ) -20 40 If) ) 40 7 -30
f--shyI I 100 40 -40 ) -20 -40 -20 7 60 40 12 -30 -50 J -20 7 -30 40 7 SO 40 7 -10 U 40 50 90 7 60 20 7 60 70 20
14 -50 -30 7 -30 7 -50 30 7 40 -10 20 7
11 60 80 7 -60 J -30 10 -50 20 SO 7
16 20 -60 ) SO ) 30 80 30 7 -20 7 -10 17 60 40 90 7 60 30 7 -10 20 -30 )
18 50 30 7 20 7 -90 10 7 30 20 20 7
19 100 80 7 SO 7 60 -20 -60 7 30 7 -20 20 -30 -SO 7 -SO 7 -50 50 20 20 7 40
18
Primer 22
Rdenje
Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom
xY
9
Slika 6 Graficko resenje primera 22
Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)
pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt
19
TEMA Prodor prave kroz ravan
23 Zadalak 0(250 140)
Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8
u
i ra
datoj raVDl ~
~ date su u vni a i
Tabela 8
v a ~ A B C
ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z
I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10
-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80
20
Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)
Resenje
V
x V
_~155
ppy
Slika 7 Graflcko rdenje primera 23
Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI
Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21
21
III VEZBA
TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1
horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9
Tabela 9
3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40
5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()
r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40
Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i
I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40
22
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 22
Rdenje
Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom
xY
9
Slika 6 Graficko resenje primera 22
Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)
pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt
19
TEMA Prodor prave kroz ravan
23 Zadalak 0(250 140)
Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8
u
i ra
datoj raVDl ~
~ date su u vni a i
Tabela 8
v a ~ A B C
ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z
I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10
-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80
20
Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)
Resenje
V
x V
_~155
ppy
Slika 7 Graflcko rdenje primera 23
Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI
Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21
21
III VEZBA
TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1
horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9
Tabela 9
3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40
5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()
r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40
Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i
I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40
22
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
TEMA Prodor prave kroz ravan
23 Zadalak 0(250 140)
Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8
u
i ra
datoj raVDl ~
~ date su u vni a i
Tabela 8
v a ~ A B C
ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z
I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10
-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80
20
Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)
Resenje
V
x V
_~155
ppy
Slika 7 Graflcko rdenje primera 23
Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI
Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21
21
III VEZBA
TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1
horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9
Tabela 9
3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40
5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()
r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40
Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i
I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40
22
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)
Resenje
V
x V
_~155
ppy
Slika 7 Graflcko rdenje primera 23
Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI
Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21
21
III VEZBA
TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1
horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9
Tabela 9
3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40
5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()
r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40
Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i
I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40
22
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
III VEZBA
TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1
horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9
Tabela 9
3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40
5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()
r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40
Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i
I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40
22
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni
ReSenje
z
x
y
Slika 8 Graficko resenje primera 31
Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )
Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt
obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
I I
TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan
32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti
tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10
Tabela 10
v A x y
I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~
I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30
B C D E z x y z x y z x y z x y Z
5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40
35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35
24
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 32
Resenje
Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor
z E
Y 4
bullc
6
3 x
6
y
Slika 9 Graficko resenje primera 32
Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice
25
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
IV VEZBA
TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni
41 Zadalak 0 1(60120)
Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11
Tabela 11 v (J
(J ~
I 120 140
~I -50 30 J 10 -30
4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10
I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)
10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70
A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F
26
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 41
Resenje
Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H
z
Co
x
10 y
Stika 10 Graficko resenje primera 41
Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H
27
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija
42 Zadatak 0(250120)
Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12
Tabela 12 ry~ A r
X y ~ I
I
-20 -3(1
sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50
I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40
~
B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z
- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()
20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()
-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()
40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()
10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()
[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()
3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Stika 11 Graficko resenje primera 42
Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11
Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)
Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )
Primer 42
Rdenje
Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)
D
i I
I
29
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
V VEZBA
TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan
51 Zadatak O(40RO)
Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13
Tabela 13
~
v A
x L 1 -40 50 2 20 10
3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40
10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10
IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10
19 -20 40
20 -40 -50
B C 0 a z x y z x y z x y z 0
30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO
40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180
30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150
30
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)
Resenje
y
Stika 12 Graficko resenje primera 51
Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
TEMA Rotacija i transformacija
52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati
transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14
Tabela 14 V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
r--shy13 14 15 16 17 18 19 20
A B C () x y z x y z x y z
-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h
-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v
-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h
20 50 20 60 10 10 70 70 50 h
40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h
-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h
70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h
50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h
0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h
70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v
32
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 52
Rcscnjc
Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom
8
x
Stika 14 Graficko rescnje primera 52
Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI
velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )
Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike
Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije
33
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni
53 Zadatak 0(230 140)
Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS
Tabela IS V
a 1 110
2 110
3 110
4 110
5 100
6 100
7 100
R 100
9 100
10 100
11 100
12 100
13 100
14 95
IS 95
16 95
17 100
18 100
19 100
20 100
a A S Pravilan
a y at x y z x y Z mnogougao
100 100 45 25 25 25 ) 6
100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4
100 100 45 25 25 25 ) 3
90 90 10 30 25 25 ) 6
90 90 10 30 ) 25 25 ) 5
90 90 10 30 ) 25 25 ) 4
SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5
80 80 10 20 ) 25 20 ) 4
80 70 30 20 ) 30 5 ) 6
80 70 30 20 ) 30 5 ) 5
80 70 30 20 30 5 ) 4
70 70 20 20 ) 5 20 ) 6
70 70 20 20 ) 5 20 ) 5
70 70 20 20 ) 5 20 ) 4
100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5
34
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica
Resenje
x
Slika 14 Graficko resenje prim era 53
Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina
35
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
VI VEZBA
TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza
61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu
zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je
Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16
Tabela 16 V A
x y
I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0
9 -10 40 10 10 10 II -10 ()
I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()
16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()
B C V (J
z x y z x y z x y z (J a (J
0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00
0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00
40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00
0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00
30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00
0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO
36
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
z
A
I JIbN I
B
Primer 61
Resenje
Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)
B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide
o
--gt-1-~cf- ti~J-y
V
Stika 15 Graficko resenje primera 61
Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji
37
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
VII VEZBA
ltMA Ravan presek prizme i mreza
7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena
specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17
Tabela 17
A
x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40
) 35
10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(
3 SO 10 4 70 2()
5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5
B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()
4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60
8
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39
Primer 7L
Resenje
Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije
Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L
Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)
39