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NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES
CCCooouuurrrsss eeettt EEExxxeeerrrccciiiccceeesss CCCooorrrrrriiigggsss
Riadh BEN HAMOUDA
Centre de Publication Universitaire
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AVANT-PROPOS
Ltude de la mcanique des fluides remonte au moins lpoque de la Grce
antique avec le clbre savon Archimde, connu par son principe qui fut lorigine
de la statique des fluides. Aujourdhui, la dynamique des fluides est un domaine
actif de la recherche avec de nombreux problmes non rsolus ou partiellement
rsolus.
Dans cet ouvrage se trouve expos lessentiel de ce quun tudiant des Instituts
Suprieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes
hydrauliques et pneumatiques sont actuellement trs utiliss en industrie. Donc, un
technicien quelque soit sa spcialit doit acqurir les notions fondamentales en
mcanique des fluides. Nous avons cherch viter les dveloppements
mathmatiques trop abondants et pas toujours correctement matriss par la
plupart des techniciens suprieurs et insist trs largement sur les applications
industrielles et les problmes de dimensionnement. Ainsi, ltude de la mcanique
des fluides sera limite dans cet ouvrage celle des fluides homognes. Les lois
et modles simplifis seront utiliss pour des fluides continus dans une description
macroscopique. Egalement, nous limiterons notre tude celle des fluides parfaits
et rels. Dans ltude dynamique nous serons amens distinguer les fluides
incompressibles et les fluides compressibles.
Le chapitre 1 constitue une introduction la mcanique des fluides dans
laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides rels, les fluides incompressibles
et les fluides compressibles et on dfinit les principales proprits qui seront
utilises ultrieurement.
Le chapitre 2 est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes
fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, le
thorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de
lhydrostatique sont expliqus.
Dans le chapitre 3 sont traites les quations fondamentales qui rgissent la
dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, lquation de
continuit et le thorme de Bernoulli. Elles sont considres trs importantes
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dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des
instruments de mesures de pressions et de dbits quon peut rencontrer dans
beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout.
Dans le chapitre 4 sont dmontrs les quations et les thormes relatifs la
dynamique des fluides incompressibles rels. Une mthode simplifie de calcul
des pertes de charge base sur ces quations est propose. Elle est indispensable
pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problmes de
pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles
est vhicul un fluide etc.)
Le chapitre 5 est consacr ltude des fluides compressibles. Les lois et les
quations fondamentales de la dynamique ainsi que le thorme de Saint-Venant
ncessaires pour traiter un problme dcoulement de gaz sont dmontrs.
Certaines notions de thermodynamique, juges indispensables pour introduire
quelques paramtres, sont ajoutes.
La dernire partie de chaque chapitre est consacre des exercices corrigs.
Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveills que jai propos
lInstitut Suprieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour
leur intrt pratique et pour leur diversit. Chaque exercice traite un domaine
particulier dapplication quun technicien suprieur pourrait rencontrer aussi bien
dans le cadre des travaux pratiques lISET quen industrie dans sa vie active. Les
solutions avec beaucoup de dtail, devraient permettre ltudiant dacqurir, en
peu de temps, la matrise ncessaire des concepts utiliss. Ces exercices
permettront galement de tester lavancement de leurs connaissances.
En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mmes
notations dans la partie exercices corrigs et dans la partie cours. Les points
importants sont crits en caractre gras et les rsultats sont encadrs.
Cet ouvrage constitue une premire version. Il sera certainement rvis. Les
critiques, les remarques et les conseils de tous les comptents du domaine qui
veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et
remerciement.
Riadh BEN HAMOUDA, Octobre 2008
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TABLE DES MATIERES
Chapitre 1 : Introduction la Mcanique des Fluides ......................................... 1 1 Introduction ........................................................................................................... 1 2 Dfinitions ............................................................................................................. 1
2.1 Fluide parfait .................................................................................................. 2 2.2 Fluide rel ...................................................................................................... 3 2.3 Fluide incompressible .................................................................................... 3 2.4 Fluide compressible ....................................................................................... 3
3 Caractristiques physiques ................................................................................... 4 3.1 Masse volumique ........................................................................................... 4 3.2 Poids volumique ............................................................................................ 4 3.3 Densit .......................................................................................................... 4 3.4 Viscosit ........................................................................................................ 5
4 Conclusion ............................................................................................................ 7 5 Exercices dapplication ......................................................................................... 8
Chapitre 2 : Statique des fluides ......................................................................... 10 1 Introduction ......................................................................................................... 10 2 Notion de pression en un point dun fluide .......................................................... 10 3 Relation fondamentale de lhydrostatique ........................................................... 12 4 Thorme de Pascal ........................................................................................... 14
4.1 Enonc ........................................................................................................ 14 4.2 Dmonstration ............................................................................................. 14
5 Pousse dun fluide sur une paroi verticale ........................................................ 15 5.1 Hypothses .................................................................................................. 15 5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression ........................... 15
5.2.1 Rsultante ............................................................................................ 16 5.2.2 Moment................................................................................................. 16
5.3 Centre de pousse ...................................................................................... 17 6 Thorme dArchimde ....................................................................................... 17
6.1 nonc ........................................................................................................ 17 6.2 Dmonstration ............................................................................................. 18
7 Conclusion .......................................................................................................... 20 8 Exercices daplication ......................................................................................... 21
Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................ 52 1 Introduction ......................................................................................................... 52 2 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 52 3 Equation de Continuit ........................................................................................ 52 4 Notion de Dbit ................................................................................................... 54
4.1 Dbit massique ............................................................................................ 54 4.2 Dbit volumique ........................................................................................... 55 4.3 Relation entre dbit massique et dbit volumique ....................................... 55
5 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement sans change de travail ........... 56 6 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement avec change de travail .......... 57
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7 Thorme dEuler : ............................................................................................. 59 8 Conclusion .......................................................................................................... 61 9 Exercices dapplication ....................................................................................... 61
Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 88 1 Introduction ......................................................................................................... 88 2 Fluide Rel .......................................................................................................... 88 3 Rgimes dcoulement - nombre de Reynolds ................................................... 88 4 Pertes de charges ............................................................................................... 90
4.1 Dfinition ...................................................................................................... 90 4.2 Pertes de charge singulires ....................................................................... 94 4.3 Pertes de charges linaires : ....................................................................... 94
5 Thorme de Bernoulli appliqu un fluide reel ................................................. 95 6 Conclusion .......................................................................................................... 96 7 Exercices dapplication ....................................................................................... 96
Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 120 1 Introduction ....................................................................................................... 120 2 Equations detat dun gaz parfait ....................................................................... 120
2.1 Lois des gaz parfaits .................................................................................. 120 2.2 Transformations thermodynamiques ......................................................... 120
3 Classification des coulements ......................................................................... 122 3.1 Clrit du son ........................................................................................... 122 3.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 122 3.3 Ecoulement subsonique ............................................................................ 122 3.4 Ecoulement supersonique ......................................................................... 122
4 Equation de continuite ...................................................................................... 122 5 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 123 6 Etat gnrateur : ............................................................................................... 124 7 Conclusion ........................................................................................................ 125 8 Exercices dapplication ..................................................................................... 125
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CChhaappiittrree 11 :: IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN AA LLAA MMEECCAANNIIQQUUEE DDEESS FFLLUUIIDDEESS
11 IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN La mcanique des fluides est la science des lois de I'coulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mcanismes de
transfert des fluides. Cest une branche de la physique qui tudie les coulements
de fluides c'est--dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces
ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches:
- la statique des fluides, ou hydrostatique qui tudie les fluides au repos. C'est
historiquement le dbut de la mcanique des fluides, avec la pousse d'Archimde
et l'tude de la pression.
- la dynamique des fluides qui tudie les fluides en mouvement. Comme autres
branches de la mcanique des fluides.
On distingue galement dautres branches lies la mcanique des fluides :
l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'arodynamique, Une nouvelle approche a vu
le jour depuis quelques dcennies: la mcanique des fluides numrique (CFD ou
Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'coulement des fluides en rsolvant les quations qui les rgissent l'aide d'ordinateurs trs puissants : les
supercalculateurs.
La mcanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines
comme l'ingnierie navale, l'aronautique, mais aussi la mtorologie, la
climatologie ou encore l'ocanographie.
22 DDEEFFIINNIITTIIOONNSS Un fluide peut tre considr comme tant une substance form d'un grand
nombre de particules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par
rapport aux autres. Cest donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit
et qui peut s'couler. Les forces de cohsion entres particules lmentaires sont
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 2
trs faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la
forme du rcipient qui le contient, par exemple: les mtaux en fusion sont des
fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pices brutes de formes
complexes.
On insiste sur le fait quun fluide est suppos tre un milieu continu : mme si l'on
choisit un trs petit lment de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la
dimension des molcules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de
brouillard, aussi petite soit-elle notre chelle, est toujours immense l'chelle
molculaire. Elle sera toujours considre comme un milieu continu. Parmi les
fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.
Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur
viscosit. La viscosit est une de leur caractristique physico-chimique qui sera
dfinie dans la suite du cours et qui dfinit le frottement interne des fluides. Les
fluides peuvent tre classs en deux grande familles : La famille des fluides
"newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non
newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les ptes, les
suspensions, les mulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosit
constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la temprature. La deuxime
famille est constitue par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularit d'avoir
leur viscosit qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent
lorsque ceux-ci s'coulent. Ce cours est limit uniquement des fluides
newtoniens qui seront classs comme suit.
2.1 Fluide parfait Soit un systme fluide, c'est--dire un volume dlimit par une surface ferme fictive ou non.
nr
Fdr
NFdr
TFdr
dS
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 3
Considrons Fdr
la force dinteraction au niveau de la surface lmentaire dS de
normale nr entre le fluide et le milieu extrieur.
On peut toujours dcomposer Fdr
en deux composantes:
- une composante TFdr
tangentielle dS.
- une composante NFdr
normale dS.
En mcanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de dcrire son
mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. Cest dire quand la
composante TFdr
est nulle. Autrement dit, la force Fdr
est normale l'lment de
surface dS.
2.2 Fluide rel Contrairement un fluide parfait, qui nest quun modle pour simplifier les calculs,
pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide rel les forces tangentielles
de frottement interne qui sopposent au glissement relatif des couches fluides sont
prise en considration. Ce phnomne de frottement visqueux apparat lors du
mouvement du fluide.
Cest uniquement au repos, quon admettra que le fluide rel se comporte comme
un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux
lments de surface sur lesquels elles sexercent. La statique des fluides rels se
confond avec la statique des fluides parfaits.
2.3 Fluide incompressible Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occup par une masse donn ne
varie pas en fonction de la pression extrieure. Les liquides peuvent tre
considrs comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)
2.4 Fluide compressible Un fluide est dit compressible lorsque le volume occup par une masse donne
varie en fonction de la pression extrieure. Les gaz sont des fluides compressibles.
Par exemple, lair, lhydrogne, le mthane ltat gazeux, sont considrs comme
des fluides compressibles.
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 4
33 CCAARRAACCTTEERRIISSTTIIQQUUEESS PPHHYYSSIIQQUUEESS 3.1 Masse volumique
Vm=
o :
: Masse volumique en (kg/m3), m : masse en (kg),
V : volume en (m3).
Exemples :
Fluide Masse volumique (kg/m3) Type de fluide Benzne 0,880. 103
Incompressible Chloroforme 1,489. 103 Eau 103 Huile dolive 0,918. 103 Mercure 13,546. 103 Air 0,001205. 103
compressible1 Hydrogne 0,000085. 103 Mthane 0,000717. 103
3.2 Poids volumique
gVgm .. ==
: Poids volumique en (N/m3). m : masse en (kg),
g : acclration de la pesanteur en (m/s2),
V : volume en (m3).
3.3 Densit
ref
d ==
rfrence de fluideun d' volumiquemassefluidedu volumiquemasse
Dans le cas des liquides en prendra leau comme fluide de rfrence. Dans le cas
des gaz on prendra lair comme fluide de rfrence.
1 Ces valeurs sont prise titre indicatif dans les conditions normales de pression et de temprature.
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 5
3.4 Viscosit Cest une grandeur qui caractrise les frottements internes du fluide, autrement dit
sa capacit scouler. Elle caractrise la rsistance d'un fluide son coulement
lorsqu'il est soumis l'application d'une force. Cest dire, les fluides de grande
viscosit rsistent l'coulement et les fluides de faible viscosit s'coulent
facilement. Elle peut tre mesure par un viscosimtre chute de bille, dans lequel
en mesure le temps coul pour la chute dune bille dans le fluide. Elle peut
galement tre mesure par un rcipient dont le fond comporte un orifice de taille
standardise. La vitesse laquelle le fluide s'coule par cet orifice permet de
dterminer la viscosit du fluide.
La viscosit est dtermine par la capacit d'entranement que possde une
couche en mouvement sur les autres couches adjacentes.
Par exemple, si on considre un fluide visqueux plac entre deux plaques P1 et P2,
tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2 est anime dune vitesse 2V .
Si on reprsente par un vecteur, la vitesse de chaque particule situe dans une
section droite perpendiculaire l'coulement, la courbe lieu des extrmits de ces
vecteurs reprsente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut tre
considr comme rsultant du glissement des couches de fluide les unes sur les
autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On
distingue la viscosit dynamique et la viscosit cinmatique.
Plaque P1 fixe
Plaque P2 2V Z
Z FV
VV +
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 6
Viscosit dynamique La viscosit dynamique exprime la proportionnalit entre la force qu'il faut exercer
sur une plaque lorsqu'elle est plonge dans un courant et la variation de vitesse
des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprime par un
coefficient reprsentant la contrainte de cisaillement ncessaire pour produire un
gradient de vitesse d'coulement d'une unit dans la matire.
Considrons deux couches de fluide adjacentes distantes de z. La force de frottement F qui s'exerce la surface de sparation de ces deux couches s'oppose
au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle la diffrence de
vitesse des couches soit v, leur surface S et inversement proportionnelle z : Le facteur de proportionnalit est le coefficient de viscosit dynamique du fluide.
ZVSF
= .. * o :
F : force de glissement entre les couches en (N),
: Viscosit dynamique en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m2),
V : cart de vitesse entre deux couches en (m/s), Z : Distance entre deux couches en (m).
Remarque : Dans le systme international (SI), l'unit de la viscosit dynamique
est le Pascal seconde (Pas) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pas = 1 Pl = 1 kg/ms Exemple :
Fluide (Pas) eau (0 C) 1,787103 eau (20 C) 1,002103 eau (100 C) 0,2818103 Huile d'olive (20 C) 100103 glycrol (20 C) 1000103 Hydrogne (20 C) 0,86105 Oxygne (20 C) 1,95105
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
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Viscosit cinmatique
=
L'unit de la viscosit cinmatique est le (m2/s).
Remarque 1 (unit):
On utilise souvent le Stokes (St) comme unit de mesure de la viscosit
cinmatique.
1 St= 10-4 m2/s Remarque 2 (Influence de la temprature) :
Lorsque la temprature augmente, la viscosit d'un fluide dcrot car sa densit
diminue.
Remarque 3 (diffrence entre viscosit dynamique et viscosit cinmatique)
La viscosit cinmatique caractrise le temps d'coulement dun liquide. Par
contre, la viscosit dynamique correspond la ralit physique du comportement
dun fluide soumis une sollicitation (effort). En dautre terme, cette dernire
exprime la rigidit dun fluide une vitesse de dformation en cisaillement (voir
la relation * la page 6).
44 CCOONNCCLLUUSSIIOONN Les fluides peuvent tre classs en fluides parfaits (sans frottement), fluides rels (avec frottement), fluides incompressibles (liquides) et fluides compressibles (gaz). Les fluides sont caractriss par les proprits suivantes: la masse volumique, le poids volumique, la densit et la viscosit. Ces proprits
seront utilises ultrieurement.
Le comportement mcanique et les proprits physiques des fluides
compressibles et ceux des fluides incompressibles sont diffrents. En effet, les lois
de la mcanique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables
uniquement pour une classe de fluides donne. Conformment la classification
qui a t faite, les lois relatives chaque type de fluides seront exposes dans la
suite du cours dune faon indpendante.
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 8
55 EEXXEERRCCIICCEESS DDAAPPPPLLIICCAATTIIOONN EExxeerrcciiccee NN11::
11 ENONCE Dterminer le poids volumique de lessence sachant que sa densit d=0,7.
On donne :
- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2
- la masse volumique de leau 3/1000 mkg= 22 REPONSE
gd .. = A.N. 3/686781,9.1000.7,0 mN== EExxeerrcciiccee NN22::
11 ENONCE Calculer le poids P0 dun volume V=3 litres dhuile dolive ayant une densit
d=0,918.
22 REPONSE
gVdPo ...= A.N. NPo 2781,9.10.3.1000.918,0 3 == EExxeerrcciiccee NN33:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2233--0066--22000033
11 ENONCE Quelle est linfluence de la temprature sur la viscosit ?
22 REPONSE Si la temprature augmente la viscosit diminue, et inversement.
EExxeerrcciiccee NN44:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1155--0011--22000044
11 ENONCE Convertir le stockes en m2/s.
22 REPONSE
Conversion du stockes : smStockes /101 24= EExxeerrcciiccee NN55:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2244--0066--22000044
11 ENONCE Expliquer le principe de mesure d'un viscosimtre chute de bille.
22 REPONSE
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 9
La viscosit cinmatique est proportionnelle au temps mis par une bille sphrique
en chute pour descendre au fond dun tube contenant un fluide de viscosit
inconnue.
EExxeerrcciiccee NN66:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033
11 ENONCE Dterminer la viscosit dynamique de lhuile dolive sachant que sa densit est
0,918 et sa viscosit cinmatique est 1,089 Stockes.
22 REPONSE
.= A.N. sPa.1,010.089,1.918 4 == EExxeerrcciiccee NN77::
11 ENONCE Du fuel port une temprature T=20C a une viscosit
dynamique sPa.10.95 3= . Calculer sa viscosit cinmatique en stockes sachant que sa densit est d=0,95.
On donne la masse volumique de leau est 3/1000 mkgeau = 22 REPONSE
deau . = A.N. stockessm 1/10.1
95,0.100010.95 243 ===
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CChhaappiittrree 22 :: SSTTAATTIIQQUUEE DDEESS FFLLUUIIDDEESS
11 IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN Lors dune plonge sous marine, on constate que la pression de leau augmente
avec la profondeur. La pression deau exerce sur un sous-marin au fond de
locan est considrable. De mme, la pression de leau au fond dun barrage est
nettement plus grande quau voisinage de la surface. Les effets de la pression
doivent tre pris en considration lors du dimensionnement des structures tels que
les barrages, les sous marins, les rservoirs etc. Les ingnieurs doivent calculer
les forces exerces par les fluides avant de concevoir de telles structures.
Ce chapitre est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes
fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, le
thorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de
lhydrostatique y sont expliqus.
Le calcul des presses hydrauliques, la dtermination de la distribution de la
pression dans un rservoiretc., sont bass sur les lois et thormes
fondamentaux de la statique des fluides.
22 NNOOTTIIOONN DDEE PPRREESSSSIIOONN EENN UUNN PPOOIINNTT DDUUNN FFLLUUIIDDEE La pression est une grandeur scalaire. Cest lintensit de la composante normale
de la force quexerce le fluide sur lunit de surface.
Elle est dfinie en un point A dun fluide par lexpression suivante :
A
dS
nrNFdr
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 11
dS
dFP
N
A = o :
dS : Surface lmentaire de la facette de centre A (en mtre carr),
n : Vecteur unitaire en A de la normale extrieure la surface,
NdF : Composante normale de la force lmentaire de pression qui sexerce sur la
surface (en Newton),
PA : pression en A (en Pascal),
Sur la surface de centre A, daire dS, oriente par sa normale extrieuren , la force
de pression lmentaire dF sexprime par :
ndSPdF AN ..= Exemple : Chaque cm2 de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force)
reprsentant le poids de l'atmosphre. C'est la pression atmosphrique au niveau
de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses
cavits (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air la mme pression.
Si on s'lve de 5 000 m, la pression atmosphrique est deux fois plus faible qu'au
niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tte est alors moiti
moindre. Do la ncessit dune pressurisation des avions.
En plonge sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le
bar: 1 bar = 1 kg / cm2.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 12
Plus on descend en profondeur, plus la pression est leve car il faut tenir compte
du poids de l'eau au-dessus de nous : 10 mtres de profondeur, chaque cm2 de
notre peau supportera un poids gal :
1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = lquivalent du poids
d1 litre deau. Le poids dun litre deau douce est gal 1kg. Le poids dun litre
deau de mer est un plus important ( cause du sel quelle contient) : 1,026 kg.
En ngligeant cette diffrence, on considrera que de manire gnrale un litre
d'eau pse 1 kg.
Par consquent, la pression due l'eau 10 m de profondeur est donc de 1 kg /
cm2, c'est--dire 1 bar. Si on descend nouveau de -10 m, la pression augmentera
nouveau de 1 bar. Cest ce quon appelle la pression hydrostatique (pression due
l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport la
surface.
La pression hydrostatique (comme la pression atmosphrique) sexerce dans
toutes les directions (et pas simplement de haut en bas).
Remarque :
Lunit internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m. Cette unit est
trs petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mcanique,
rsistance des matriaux , etc.,lunit utilise est le mga pascal :
1 MPa= 1 N/mm2=106 Pa
En mcanique des fluides on utilise encore trs souvent le bar. Le bar est gal
peu prs la pression atmosphrique moyenne :
1 bar = 105 Pa.
33 RREELLAATTIIOONN FFOONNDDAAMMEENNTTAALLEE DDEE LLHHYYDDRROOSSTTAATTIIQQUUEE Considrons un lment de volume dun fluide incompressible (liquide homogne
de poids volumique ). Cet lment de volume a la forme dun cylindre daxe (G, u ) qui fait un angle avec laxe vertical (O, Z ) dun repre R(O, Xr ,Yr ,Zr ). Soit l la longueur du cylindre et soit dS sa section droite.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 13
Soit G1 daltitude Z1 et G2 daltitude Z2, les centres des sections droites extrmes.
Etudions lquilibre du cylindre lmentaire, celui-ci est soumis aux :
- actions distance : son poids : ZdSldPO = - actions de contact : forces de pression sexerant sur :
o la surface latrale : idF .
o les deux surfaces planes extrmes : udSPudSPdF ..).(. 111 == et udSPdF ..22 = .avec P1 et P2 les pressions du fluide respectivement en G1
et en G2.
Le cylindre lmentaire tant en quilibre dans le fluide, crivons que la rsultante
des forces extrieures qui lui sont appliques est nulle :
021 =+++ dFdFdFdP iO En projection sur laxe de symtrie (G,u ) du cylindre,
0..cos... 21 =+ dSPdSPdSl
Z
u
2Fdr
1Fdr
iFdr
l
G1
G2
oPdr
dS
Z2
Z1
G
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 14
Exprimons la diffrence de pression P1 P2 aprs avoir divis par dS et remarqu
que 12cos ZZl = )().( 121221 ZZgZZPP == : Relation fondamentale de lhydrostatique.
Autre forme plus gnrale :
En divisant les deux membres de la relation prcdente par :
22
11 ZPZP +=+ . Ou encore 2
21
1 ZgPZ
gP +=+
Comme G1 et G2 ont t choisis de faon arbitraire lintrieur dun fluide de poids
volumique , on peut crire en un point quelconque daltitude Z, ou rgne la pression p :
CteZgPZP =+=+
44 TTHHEEOORREEMMEE DDEE PPAASSCCAALL 4.1 Enonc
Dans un fluide incompressible en quilibre, toute variation de pression en un point entrane la mme variation de pression en tout autre point.
4.2 Dmonstration Supposons quau point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci
devienne 11 PP + . 1P tant un nombre algbrique. Calculons la variation de pression 2P qui en rsulte en G1. Appliquons la relation fondamentale de lhydrostatique entre G1 et G2 pour le fluide
o ltat initial: )( 1221 ZZPP = (1) o ltat final : ).()()( 122211 ZZPPPP =++ (2) En faisant la diffrence entre les quations (2) et (1) on obtient :
021 = PP . Do 21 PP =
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
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55 PPOOUUSSSSEEEE DDUUNN FFLLUUIIDDEE SSUURR UUNNEE PPAARROOII VVEERRTTIICCAALLEE 5.1 Hypothses
La paroi verticale possde un axe de symtrie (G,Yr
). G est son centre de surface.
Dun cot de la paroi il y a un fluide de poids volumique , de lautre cot, il y a de lair la pression atmosphrique Patm. On dsigne par PG la pression au centre de
surface G du cot fluide.
5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression Connaissant la pression PG au point G, la pression PM au point M est dtermine
en appliquant la relation fondamentale de lhydrostatique : ).( MGGM YYPP = Dans le repre (G, X
r, Y
r,Zr
) dfini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc
yPP GM .= Exprimons la force de pression en M : XdSyPdF G
r.)..( =
Soit { }pousse le torseur associ aux forces de pression relative :
{ }Gs
G
Spousse
dFGMM
dFR
==
=
)(
Xr
Yr
G
dF dS
M y
Go yo
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
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5.2.1 Rsultante XdSyPR
SG
r..).(
)( =
que lon peut crire en mettant en facteur les termes constants :
XdSydSPRSS
G
r....
)()(
=
On note que SdSS
=)(
(aire de la paroi),
0..)(
== SydSy Gs
: Moment statique de la surface S par rapport laxe (G,Z ), donc
XSPR G ..=
5.2.2 Moment
= dFGMMG Dans le repre (G, X , Y , Z ) on peut crire:
YyGMr
.= et XdSyPdF G .)..( = , donc [ ] =
)(
.)..(.S
GG XdSyPYyM r
Sachant que ZXY = donc ).(....)(
2
)(
ZdSydSyPMSS
GG
=
On sait que 0..)(
== SydSy GS
et ),()(
2 . ZGS
IdSy r= : Moment quadratique de la surface S par rapport laxe (G,Z ) passant par le centre de surface G. Donc
ZIM ZGG .. ),( r= En rsum :
{ }GZG
Gpoussee ZI
XSP
=
....
),(r
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
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5.3 Centre de pousse On cherche dterminer un point G0 o le moment rsultant des forces de
pression est nul.
Compte tenu de lhypothse de symtrie, si ce point existe il appartient laxe
(G,Y ) et il est tel que :
000 =+= RGGMM GG . Ecrivons alors que : GMRGG =0 Avec les rsultats prcdents, on obtient : ZIXSPYy ZGG ..... ),(0 s= , ce qui conduit
SPI
yG
ZG
.
. ),(0
r=
Go existe, il sappelle le centre de pousse de la paroi.
Remarque : Le centre de pousse est toujours au-dessous du centre de surface G.
66 TTHHEEOORREEMMEE DDAARRCCHHIIMMEEDDEE 6.1 nonc
Tout corps plong dans un fluide reoit de la part de ce fluide une force (pousse) verticale, vers le haut dont l'intensit est gale au poids du volume
de fluide dplac (ce volume est donc gal au volume immerg du corps).
PARCH=fluide.Vimm.g
ARCHPr
Fluide
Solide immerg S
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
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6.2 Dmonstration Dans un fluide (E) de poids volumique , imaginons un certain volume de fluide (E1) dlimit par un contour ferm (S) :
Si le fluide est au repos, il est vident que (E1) est en quilibre sous leffet des
actions mcaniques extrieures suivantes :
- Action de la pesanteur, modlisable par le torseur : { })( 1Epes - Action des forces de pression Fd
rdu fluide (E2) qui entoure (E1) modlisable par
le torseur :{ })( 12 EE On peut donc crire lquation dquilibre de (E1) :{ } { } { }0)()( 121 =+ EEEpes Nous savons quen G, centre de gravit du fluide (E1) le torseur des forces de
pesanteur se rduit un glisseur :{ }G
PEpes
=0
)( 1
Il est donc vident quau mme point G le torseur des forces de pression dF se
rduira lui aussi un glisseur :
{ }G
S
dFEE
= 0
)( )(12
Lquation dquilibre de la portion de fluide (E1) scrit : 0)(
=+ PdFS
Fluide
Volume imaginaire (E1) Dlimit par le contour S
Volume (E2) extrieur au contour S
Fdr
Poids de (E1)
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
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(E1) est ici une portion de fluide et P est le poids du fluide occupant le volume
(E1). Si le volume (E1) est occup par un solide immerg ayant le mme contour S,
les forces de pousse sur ce contours (S) sont les mmes , ce qui revient dire
que la force de pousse ne dpend que du volume du fluide dplac et non pas de
la nature du solide immerg (plomb, acier, etc).
Conclusion :
Tout corps solide immerg dans un fluide en quilibre est soumis de la part de
celui-ci des forces de pression dF dont les actions mcaniques sont
modlisables au centre de gravit du fluide dplac par un glisseur dont la
rsultante est directement oppose au poids du fluide dplac.
{ }G
PEE
=0
)( 12
Remarques : - 1er cas : Si le solide immerg est homogne alors le centre de pousse G, point
dapplication de la pousse dArchimde sera confondu avec le centre de gravit
du solide. Lquilibre du solide est indiffrent.
- 2ime cas : Si le solide immerg est htrogne alors le centre de pousse G,
point dapplication de la pousse dArchimde nest pas confondu avec le centre
de gravit Gs du solide. Lquilibre du solide est stable si G est au dessus de GS.
Lquilibre du solide est instable si G est au dessous de GS.
ARCHPr
Fluide
Solide immerg S
G
Poids du solide
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
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77 CCOONNCCLLUUSSIIOONN La statique des fluides est base principalement sur les rsultats suivants:
a) La diffrence de pression entre deux points est proportionnelle leur diffrence
de profondeur : )().( 121221 ZZgZZPP == : Cest la relation fondamentale de lhydrostatique, b) Toute variation de pression en un point engendre la mme variation de pression en tout autre point daprs le thorme de Pascal. c) Le torseur associ aux forces de pression dun fluide sur une paroi plane
verticale est : { }GZG
Gpoussee ZI
XSP
=
....
),(r
d) La position du centre de pousse. est SP
Iy
G
ZG
.
. ),(0
r=
e) Tout corps plong dans un fluide subit une force verticale, oriente vers le haut cest la pousse dArchimde et dont l'intensit est gale au poids du volume de fluide dplac.
ARCHPr
Fluide
Solide immerg S
G
Poids du solide
GS
Position stable
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 21
88 EEXXEERRCCIICCEESS DDAAPPLLIICCAATTIIOONN EExxeerrcciiccee NN11:: Extrait du devoir surveill du 30-10-2006
11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente un cric hydraulique form de deux pistons (1) et
(2) de section circulaire.
Sous leffet dune action sur le levier, le piston (1) agit, au point (A), par une force
de pression hPF /1r
sur lhuile. Lhuile agit, au point (B) sur le piston (2) par une force
2/ phFr
On donne :
- les diamtres de chacun des pistons : D1 = 10 mm; D2 = 100 mm.
- lintensit de la force de pression en A : Fp1/h = 150 N.
Travail demand :
1) Dterminer la pression PA de lhuile au point A. 2) Quelle est la pression PB ? 3) En dduire lintensit de la force de pression Fh/p2.
22 REPONSE
1) Pression PA de lhuile au point A: 21
/1
..4DFP hPA = A.N aA PP
52 10.1901,0.
150.4 ==
2) RFH entre A et B: ).( ABBA ZZPP = , or ZA = ZB donc PascalPP AB 510.19== .
3) Force de pression en B : 4..
22
2/DPF BPh
= .N. NF Ph 56,1492241,0..10.19
25
2/ == Commentaire: On constate que la force Fp1/h = 150 N est relativement faible par rapport Fh/P2=14922,56 N. Avec ce systme nous avons atteint un rapport de
Z
ZA=ZB
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 22
rduction de force de presque 100. Ce rapport correspond au rapport des diamtres des cylindres. On utilise souvent le mme principe de rduction deffort dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique).
EExxeerrcciiccee NN22:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 1133--1122--22000044
11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente un rservoir ouvert, quip de deux tubes
pizomtriques et rempli avec deux liquides non miscibles :
- de l'huile de masse volumique 1=850 kg/m3 sur une hauteur h1=6 m, - de l'eau de masse volumique 1=1000 kg/m3 sur une hauteur h2=5 m.
On dsigne par:
- A un point de la surface libre de l'huile,
- B un point sur l'interface entre les deux liquides,
- C un point appartenant au fond du rservoir
- D et E les points reprsentants les niveaux dans les tubes pizimtriques,
- (O,Zr
) est un axe vertical tel que ZC=O.
Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points:
1) B et A. En dduire la pression PB (en bar) au point B. 2) A et E. En dduire le niveau de l'huile ZE dans le tube pizomtrique.
Zr
eau
huile
A
B
C
E
D h1
h2
Tubes pizomtriques
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 23
3) C et B. En dduire la pression PC (en bar) au point C. 4) C et D. En dduire le niveau de l'eau ZD dans le tube pizomtrique.
22 REPONSE 1) RFH entre B et A : )(1 BAAB ZZgPP = Or PA=Patm et ZA-ZB=h1 Donc 11 .hgPP atmB += A.N. barPaPB 5,11500316.81,9.850105 ==+= 2) RFH entre A et E : )(1 AEEA ZZgPP = Or PA=PE=Patm Donc 21 hhZZ AE +== A.N. mZE 1156 =+= 3) RFH entre C et B : )(2 CBBC ZZgPP = Or ZB-ZC=h2 Donc 22 .hgPP BC += A.N. barPaPC 21990815.81,9.1000150031 ==+= 4) RFH entre C et D : )(2 CDDC ZZgPP = Or PD=Patm et ZC=0
Donc gPPZ atmCD .2
= A.N. mZD 1,1081,9.100010199081 5 ==
EExxeerrcciiccee NN33:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 1133--1122--22000077
11 ENONCE Soit un tube en U ferm une extrmit qui contient deux liquides non miscibles.
Entre les surfaces :
- (1) et (2) il sagit de lessence de masse volumique essence=700 kg/m3.
- (2) et (3), il sagit du mercure de masse volumique mercure=13600 kg/m3.
La pression au-dessus de la surface libre (1) est P1=Patm=1 bar.
Lacclration de la pesanteur est g=9,8 m/s2.
La branche ferme emprisonne un gaz une pression P3 quon cherche calculer.
Z
Z1 Z3 Z2
(1)
(2) (3) h
h Essence
Mercure
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 24
1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de lHydrostatique) pour lessence, calculer la pression P2 (en mbar) au niveau de la surface de sparation
(2) sachant que h= (Z1-Z2)= 728 mm.
2) De mme, pour le mercure, calculer la pression P3 (en mbar) au niveau de la surface (3) sachant que h= (Z3-Z2)= 15 mm.
22 REPONSE 1) RFH pour lessence : ( )2112 .. ZZgPP essence =
hgPP essence ..12 += A.N. mbarpascalP 105010.05,1728,0.8,9.70010 552 ==+= 2) RFH pour le mercure : ( )2332 .. ZZgPP mercure =
'..23 hgPP mercure= A.N. mbarpascalP 103010.03,115,0.8,9.1360010.1050 533 === EExxeerrcciiccee NN44:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033
11 ENONCE
Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimtres. On
verse dans lune des branches un mlange deau - alcool thylique qui forme une
colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lautre branche, on verse de leau
pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu ce que les deux surfaces du
mercure reviennent dans un mme plan horizontal. On mesure alors la hauteur de
la colonne deau h2=24 cm.
1) Appliquer la relation fondamentale de lhydrostatique pour les trois fluides.
Z
Eau
Mercure
Alcooles h1 h2
(1)
(2) (3)
(4)
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 25
2) En dduire la masse volumique du mlange eau alcool thylique.
22 REPONSE 1) Relation fondamentale de lhydrostatique :
Alcool : 112 .. hgPP alcool= Mercure : 032 = PP Eau : 243 .. hgPP eau= 2) On sait que P1=P2=Patm et P2=P3 donc 21 .... hghg eaualcool =
Donc 1
2.hh
eaualcool = A.N. 3/8003024.1000 mkgalcool ==
EExxeerrcciiccee NN55::
11 ENONCE On considre un tube en U contenant trois liquides:
- de leau ayant une masse volumique 1 = 1000 kg/m3, - du mercure ayant une masse volumique 2 = 13600 kg/m3, - de lessence ayant une masse volumique 3 = 700 kg/m3. On donne :
Z0 Z1 = 0,2 m
Z3 Z2 = 0,1 m
Z1 + Z2 = 1,0 m
Z3
Z2
Z0
Z1
eau
mercure
essence
Zr
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 26
On demande de calculer Z0, Z1, Z2 et Z3.
22 REPONSE Daprs (RFH), chapitre 2, on peut crire:
P1 P0 = 1.g.( Z0 Z1) P2 P1 = 2.g.( Z1 Z2) P3 P2 = 3.g.( Z2 Z3) Puisque que P0 = P3 = Patm, en faisant la somme de ces trois quations on obtient :
1.( Z0 Z1) + 2.( Z1 Z2) + 3.( Z2 Z3) = 0 ).().()( 23
2
310
2
112 ZZZZZZ =
A.N: (Z2 Z1) = 0,0096 m
or (Z1 + Z2) = 1,0 m donc Z2 = 0,5048 m et Z1 = 0,4952 m
(Z3 Z2) = 0,1 m donc Z3 = 0,6048 m
(Z0 Z1) = 0,2 m donc Z0 = 0,6952 m
EExxeerrcciiccee NN66::
11 ENONCE
La figure ci-dessus reprsente un barrage ayant les dimensions suivantes :
longueur b=200 m, hauteur h=60 m
Le barrage est soumis aux actions de pression de leau.
Le poids volumique de leau est : 33 /10.81,9 mN= . On demande de :
Yr
Zr
(S)
G
Go
yo h=60
b = 200 m
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 27
1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de leau.
2) Calculer la position y0 du centre de pousse G0.
22 REPONSE
1) Calcul de R :
SPR G .= , On applique la RFH entre le point G et un point A la surface de leau on obtient :
AG PhP +=2
. En A, sommet du barrage, la pression de leau est suppos gale la pression
atmosphrique.
La surface du barrage est : hbS .= , donc :
.
.).2
.( hbhPR atm += A.N. .
10.73,460.200).2
60.981010( 95 NR =+=
2) Calcul de y0 :
R
Iy ZGr
r),(
0
.=
Le moment quadratique12. 3
),(
hbI ZG =r , donc
R
bh
y r12.
3
0
= A.N. my 46,7
10.73,412
60.200.98109
3
0 ==
Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs au dessous du centre de surface. Dans le calcul de stabilit du barrage il est hors de question de confondre ces deux points.
EExxeerrcciiccee NN77::
11 ENONCE Un piston de vrin a un diamtre d=60 mm. Il rgne au centre de surface G du
piston une pression de 40 bar, soit environ PG=4 MPa.
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 28
Lhuile contenue dans le vrin a un poids volumique 33 /10.8,0.81,9 mN= . On demande de :
1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de lhuile.
2) Calculer la position y0 du centre de pousse G0.
22 REPONSE
1) Calcul de R :
SPR G .= avec 4. 2dS = , donc
4..
2dPR G= A.N. NR 310.3,11=
2) Calcul de y0 :
R
Iy ZGr
r),(
0
.= avec 64.),(
4dzGI = , donc R
d
y r64..
4
0
=
A.N. my 73
4
0 10.4,410.3,1164
06,0..8,0.9810==
Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs voisin du centre de surface. Dans le calcul de pousse du vrin il est, donc, tout fait normal de les confondre.
Yr
Zr
d = 60
Go yo
G
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 29
EExxeerrcciiccee NN88:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033
11 ENONCE Un rservoir de forme paralllpipdique ayant les dimensions suivantes :
- hauteur h = 3m,
- longueur L1= 8 m,
- largeur L2 = 6 m.
est compltement remplie dhuile de masse volumique 3/900 mkg= .
1) Calculer le module de la rsultante des forces de pression sur chaque surface du rservoir (les quatre faces latrale et le fond).
2) Dterminer pour les surfaces latrales la position du point dapplication (centre de pousse).
22 REPONSE
1) SPR G .= Sur les parois latrales :
12
11 ....21..
2. LhgLhhR == A.N. NR 3178448.3.81,9.900.
21 2
1 ==
22
22 ....21..
2. LhgLhhR == A.N. NR 2383836.3.81,9.900.
21 2
2 == Sur le fond du rservoir :
h
L1
L2
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 30
21213 ...... LLhgLLhR == A.N. NR 12713768.6.3.81,9.9003 ==
2) Les points dapplication sont mh 13
= du fond pour les faces latrales.
EExxeerrcciiccee NN99:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 0022--0066--22000088
11 ENONCE On considre un rcipient en forme de paralllpipde de largeur b=2 m, ouvert
lair libre et rempli jusqu une hauteur h=1,5 m avec du mercure de masse
volumique =13600 kg/m3.
On dsigne par:
- G le centre de gravit de la surface mouille S.
- ( )ZYXG rrr ,,, un R.O.D. o Xr est orthogonal S et Yr est vertical. On donne lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2.
1) En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer la pression PG.
2) Dterminer lintensit de la rsultante Rr
des forces de pression agissant sur S.
3) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r de la surface S.
h
G Xr
Yr
Zr
b
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 31
4) Calculer la position Y0 du centre de pousse.
22 REPONSE 1) RFH entre G et M : ( )GMMG YYgPP = .. or YM=h/2 , YG=0 et PM=Patm donc
2.. hgPP atmG +=
A.N. barPG 210.225,1.81,9.1360010 55 ==+=
2) Intensit de la rsultante : bhPSPR GG .. ==r
A.N. NR 55 10.65,1.2.10.2 ==r
3) Moment quadratique : 12
3
),(
bhI ZG =r A.N. 43
),( 5625,0125,1.2 mI ZG ==r
4) Position du centre de pousse :R
IY ZGo r
r),(.=
A.N. mYo 125,010.65625,0.81,9.13600
5 ==
EExxeerrcciiccee NN1100:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2233--0055--22000033
11 ENONCE On considre un aquarium gant utilis dans les parcs dattraction reprsent par
la figure suivante :
X
H
O
a=2 m
Z
vitre
1 m
Rr
G0
ZR
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 32
Il est rempli deau une hauteur H= 6m, et quip dune partie vitre de forme rectangulaire de dimensions (2m x 3m) qui permet de visualiser lintrieur. Travail demand :
1) Reprsenter le champ de pression qui sexerce sur la partie vitre.
2) Dterminer le module de la rsultante Rr
des forces de pression.
3) Calculer la profondeur ZR du centre de pousse. 4) Reprendre les questions 2. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la partie vitre par une forme circulaire de diamtre d= 2m.
22 REPONSE 1) Le champ de pression agissant sur le vitrage a lallure suivante :
2) Si on nglige la pression atmosphrique, la rsultante des forces de pressions :
XSPR G ..= avec baS .= donc gZSgR ...=r
A.N. NR 2354404.6.81,9.1000 ==r 3) La profondeur ZR du centre de pousse est donne par lexpression suivante :
GG
YGR ZSZ
IZ +=
.),(
r ou 4
3
),( 2123.2 mI YG ==r A.N. mZR 0833,4=
4) Cas dune partie vitre de forme circulaire de diamtre d= 2 m :
22
141,34. mdS == , 4
4
),( 785,064. mdI YG == r
gZSgR ...=r
A.N. NR 123252=r
X
H
O
2 m
Z 1 m
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 33
GG
YGR ZSZ
IZ +=
.),(
r A.N. mZR 0625,4414,3.4
785,0 =+=
EExxeerrcciiccee NN1111:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 3300--1100--22000066
11 ENONCE Une vanne de vidange est constitue par un disque de diamtre d pivotant autour
dun axe horizontal (G,Zr
). Le centre G du disque est positionn une hauteur
h=15,3 m par rapport au niveau deau.
On donne :
- le diamtre de la vanne : d = 1 m,
- la pression atmosphrique Patm = 1 bar,
- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2,
- la masse volumique de leau =1000 kg/m3. Travail demand :
1) Dterminer le poids volumique de leau. 2) Dterminer la pression PG de leau au point G.
3) Calculer lintensit de la pousse Rr
sur le disque.
4) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r du disque par rapport laxe (G,Zr
).
5) Calculer le moment GMr
des forces de pression agissant sur le disque.
6) Dterminer la position du centre de pousse y0.
22 REPONSE 1) Poids volumique g. =
X G
Y
eau h
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 34
A.N. 3/981081,9.1000 mN== 2) Pression au point G hPP atmG .+= . A.N. PascalPG
55 10.5,23,15.981010 =+=
3) Intensit de la pousse 4..
2dPR G=s
A.N. NR 5,19634941..10.5,2
25 == s
4) Moment quadratique 64. 4
),(
dI ZG=r
A.N. 44
),( 049,0641. mI ZG == r
5) Moment des forces de pression ZIM ZGGrr
r .. ),(=
A.N. mNMG .6,480049,0.9810 ==r
6) Position centre de pousse : ( )R
Iy ZGc r
r,.=
A.N. myc310.44,2
5,196349049,0.9810 ==
EExxeerrcciiccee NN1122:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 1133--1122--22000044
11 ENONCE Une conduite AB de longueur L =646 mm est soude sur un rservoir cylindrique
de diamtre D = 3 m. Le rservoir est rempli jusqu'au point A avec du ptrole brut
de densit d = 0,95.
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 35
Le repre (G, Xr
,Yr
,Zr
) a t choisit tel que G est le centre de la surface circulaire S
(fond de rservoir). (G, Xr
) est l'axe de rvolution du rservoir et (G,Yr
) est vertical. On donne:
- la masse volumique de l'eau eau=1000 kg/m3 ,
- l'acclration de la pesanteur g=9,81 m.s-2,
- la pression PA=Patm=1bar.
Travail demand :
1) Quelle est la masse volumique du ptrole?
2) En dduire son poids volumique . 3) En appliquant la RFH entre G et A, dterminer la pression PG au point G.
4) Calculer le module de la rsultante Rr
des forces de pression du ptrole sur le fond du rservoir.
5) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r de la surface circulaire S par rapport
l'axe (G, Zr
).
6) Dterminer la position y0 du centre de pousse G0.
22 REPONSE
Yr
Zr
Xr
Yr
G
G0
G
G0 y0 R
r
L
D
A
B B
A
Surface S
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 36
1) Masse volumique du ptrole: eaud .= A.N. 3/95081,9.95,0 mkg== 2) Poids volumique : g. = A.N. 3/5,931981,9.950 mN== 3) RFH entre G et A : )(. GAAG YYgPP = Or PA=Patm et YG=0
Donc )2
.(. DLgPP atmG ++=
A.N. barPaPG 2,164,119999)5,1646,0.(81,9.950105 ==++=
4) Intensit de la rsultante :4..
2DPR G=r
A.N. NR 47,84822743..64,119999
2
== r
5) Moment quadratique: 64. 4
),(
DI ZG=r A.N. 4
4
),( 976,3643. mI ZG == r
6) Position du centre de pousse : R
Iy ZGr
r),(
0
.=
A.N. my 04368,047,848227976,3.5,9319
0 ==
EExxeerrcciiccee NN1133:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 1133--1122--22000077
11 ENONCE Suite au naufrage dun ptrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter lpave et
reprer dventuelles fuites. Lpave repose une profondeur h= 1981 m.
On donne :
- lacclration de la pesanteur g= 9,8 m/s2, - la pression atmosphrique Patm= 1 bar,
- la masse volumique de leau de mer est = 1025 kg/m3, Le sous marin est quip dun hublot vitr de diamtre d= 310 mm., de centre de
gravit G, et de normale ( ),( XGr
est situ dans un plan vertical ),,( ZYGrr
. Laxe
),( ZGr
est vertical.
Travail demand :
1) Calculez la pression PG de leau cette profondeur au point G.
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 37
2) Quelle est lintensit ( Rr
) de la rsultante des actions de pression de leau sur
le hublot ?
3) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r du hublot.
4) Quelle est lintensit ( GMr
) du moment des actions de pression de leau sur le
hublot ?
22 REPONSE 1) RFH entre le point G et un point M la surface : ( ) hgZZgPP GMMG .... ==
hgPP atmG ..+= A.N. barpascalPG 20010.2001981.8,9.102510
55 ==+=
2) Intensit de la rsultante : 4...
2dPSPR GG==r
A.N. NR 52
5 10.154310,0..10.200 == r
3) Moment quadratique : 64. 4
),(
dI YG=r
A.N 444
),( 10.533,464310,0. mI YG
== r
4) Intensit du moment : ),(. YGG IM rr =
A.N NmMG 5,410.533,4.8,9.1025' == r
EExxeerrcciiccee NN1144:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 1111--1111--22000033
11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente une vanne de scurit de forme rectangulaire
destine un barrage. Elle permet dvacuer leau stocke dans le barrage surtout
lorsque le niveau du fluide devient lev.
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 38
Les dimensions de la vanne sont : b=4 m et h= 2 m. Sa partie suprieure affleure la surface du plan deau.
Un repre (G, Xr
,Yr
,Zr
) est reprsent sur la figure tel que : G est le centre de
surface de la vanne.
On donne : la masse volumique de leau =1000 kg/m3 et lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2,
Travail demand :
1) En ngligeant la pression atmosphrique, calculer la pression PG de leau au centre de gravit.
2) Dterminer la rsultante Rr
des forces de pression.
yr
xr G h
A
(vanne)
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 39
3) Dterminer le moment GMr
des forces de pression.
4) Calculer lordonne y0 du centre de pousse.
22 REPONSE 1) RFH entre G et A: ).(. GAAG yygPP = Or yG=0, yA=h/2, PA=Patm (nglige)
Donc 2
.. hgPG =
A.N. PaPG 98191.81,9.1000 == 2) xSPR G
rr ..= avec hbS .= donc xbhPR G r
r..=
A.N. NR 784802.4.9810 ==r
3) zIgM zGGrr
r ... ),(= Avec 123
),(bhI zG =r
Donc zbhgMG
rr .12
..3
=
A.N. NMG 26160128.4.81,9.1000 ==r
4) R
My Gr
r=0
A.N. my 33,07848026160
0 ==
EExxeerrcciiccee NN1155:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2299--1100--22000022
11 ENONCE On considre un rservoir deau quip au niveau de sa base dune plaque
rectangulaire qui peut tourner dun angle ( 0 ) autour dun axe (A, Z ).
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 40
Dun cot, la plaque est soumise aux forces de pression de leau et de lautre cot,
elle est soumise la pression atmosphrique (Patm). Sous leffet des forces de
pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure dune
faon naturelle la fermeture tanche ( 0= ) ou louverture ( 0 ) du rservoir. Lobjectif de cet exercice est de dterminer la valeur h0 du niveau deau partir de
laquelle le rservoir souvre automatiquement.
On donne :
- le poids volumique de leau : 33 /10.81,9 mN= - les dimensions de la plaque : a=0,75 m (selon laxe Z ) , b=1,500 (selon laxe
Y )
- la distance entre le centre de surface G et laxe de rotation (A,Z ) est : d=50 mm
- la pression au point O est Po=Patm
Travail demand :
1) En appliquant le principe fondamental de lhydrostatique, donner lexpression de la pression de leau PG au centre de surface G en fonction de la hauteur h.
db
Y
O
Patm
Patm
X
Y
Z
A
G
a
Axe de rotation
Vue suivant X de la plaque
eau h
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 41
2) Dterminer les expressions de la rsultante R et du moment GM associs au
torseur des forces de pression hydrostatique dans le repre ( )ZYXG ,,, . 3) En dduire lexpression du moment AM des forces de pression de leau, par
rapport laxe de rotation (A, Z ).
4) Donner lexpression du moment AM ' des forces de pression atmosphrique
agissant sur la plaque, par rapport laxe de rotation (A,Z ).
5) A partir de quelle valeur h0 du niveau deau la plaque pivote ( 0 ) ? 22 REPONSE
1) Principe fondamental de lhydrostatique : ( )GG YYPP = 00 . or 20bhY = ;
0=GY et atmPP =0 Donc
+=2
. bhPP atmG
2) XSPR G ..= avec baS .= donc XbabhPR atm ...2.
+=
3) ( )ZzGIMG .,.= avec 12. 3baI = donc ZabMG .12. 3= RAGMM GA += avec YdAG .= donc ZbabhPdbaM atmA ...2..12
..3
+=
4) ZdbaPM atmA ....' =
5) La plaque pivote ( 0
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 42
On considre une sphre pleine en bois de rayon r=20 cm et une sphre creuse
en acier de rayon r=20 cm et dpaisseur e=8 mm.
On suppose que le volume compris entre 0 et (r-e) est vide.
On donne :
- la masse volumique du bois : bois = 700 kg/m3 - la masse volumique de lacier : acier = 7800 kg/m3 - la masse volumique de leau : eau = 1000 kg/m3 1) Dterminer le poids dune chaque sphre. 2) Dterminer la pouss dArchimde qui sexercerait sur chacune de ces sphres
si elles taient totalement immerges dans leau.
3) Ces sphres pourraient-elles flotter la surface de leau ? 4) Si oui quelle est la fraction du volume immerg ?
22 REPONSE
1) Poids de chaque sphre: poids = .g.V )..34.(. 3rgpoids boisbois = A.N.
Npoidsbois 2300335,08,9700 == )]).(.34()..
34.[(. 33 errgpoids aciersacier =
A. N. Npoidsacier 29500386,08,97800 == 2) Pousse dArchimde : La pouss dArchimde est gale au poids du volume dplac. Or lorsquelles sont
totalement immerges, ces deux sphres vont dplacer le mme volume e volume
donc: )..34.(. 3rgP eauARCH = A.N. NPARCH 3280335,08,91000 ==
3) Ces deux sphres peuvent toutes les deux flotter car leurs poids sont infrieurs la pouss dArchimde.
4) A lquilibre la pouss dArchimde est gale au poids : 5)
230 = 1000.9,8.Vbois immergVbois immerg = 0,0234 m3 soit F=70%.
295 = 1000.9,8.Vacier immerg Vacier immerg = 0,0301 m3 soit F=90%. EExxeerrcciiccee NN1177:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1155--0011--22000077
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 43
11 ENONCE Une sphre de rayon R=10 cm flotte moiti (fraction du volume immerg F1=50
%) la surface de leau de mer (masse volumique mer=1025 kg/m3). 1) Dterminer son poids P. 2) Quelle sera la fraction du volume immerg F2 si cette sphre flottait la surface
de lhuile (masse volumique huile=800 kg/m3) ? 22 REPONSE
1) Equation dquilibre : gRFgVFPPoids mermerARCH ...34.... 311 ===
A.N. NPoids 2181,9.1025.1,034
21 3 ==
2) PoidsgVFPPoids huileARCH == ...2
quivaut huile
merF
21
2 = AN. %648001025
21
2 ==F
EExxeerrcciiccee NN1188:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 1133--1122--22000077
11 ENONCE La glace -10C a une masse volumique glace= 995 kg/m3. Un iceberg sphrique
de 1000 tonnes flotte la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique
eau = 1025 kg/m3.
Travail demand :
1) Dterminer la fraction F du volume immerge ? 2) Quelle sera F si la glace avait une forme cubique ?
22 REPONSE
Eau de mer
glace
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 44
1) Equation dquilibre : Parch=Poids immergeautotalglace VgVg .... =
donc 100.100.eau
glace
total
immerg
VV
F ==
A.N. %97100.1025995 ==F
2) La fraction F ne dpend que du rapport des masses volumiques. Elle est indpendante de la forme. Donc F=97% si la forme tait cubique.
EExxeerrcciiccee NN1199:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2200--0066--22000055
11 ENONCE Un cube en acier de cot a=50 cm flotte sur du mercure.
On donne les masses volumiques :
- de lacier 1= 7800 kg/m3
- du mercure 2= 13600 kg/m3
1) Appliquer le thorme dArchimde, 2) Dterminer la hauteur h immerge.
22 REPONSE 1) Thorme dArchimde : la pousse dArchimde est gal au poids du volume
dplac: ghaPARCH ... 22 = .
2) Equation dquilibre : PoidsPARCH = Donc gagha ..... 1
32
2 =
quivaut ah .2
1
=
A.N. cmh 676,2850.136007800 ==
EExxeerrcciiccee NN2200:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033
11 ENONCE
ha
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 45
On considre une plate-forme compose dune plaque plane et de trois poutres
cylindriques en bois qui flottent la surface de la mer.
On donne:
- les dimensions dune poutre: diamtre d=0,5 m et longueur L=4 m,
- la masse volumique du bois : 3/700 mkgbois = , - la masse volumique de leau de mer: 3/1027 mkgmer = , - la masse de la plaque Mc = 350 kg,
- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2.
Travail demand:
1) Calculer le poids total P0 de la plate-forme. 2) Ecrire lquation dquilibre de la plate-forme. 3) En dduire la fraction F(%) du volume immerg des poutres. 4) Dterminer la masse Mc maximale quon peut placer sur la plate-forme sans limmerger.
22 REPONSE
1) Poids total de la plate-forme : ( ) ).4...3(..3
2
0 LdMgMMP boispbp
+=+=
A.N. NP 49,1961381,9.4.4
5,0..700.33502
0 =
+=
2) Equation dquilibre : P0 = Pousse dArchimde 3) PARCH= poids du volume deau dplac
gPVPgVPeau
immergoimmergeeauARCH ..3...3 0 ===
Eau de mer
Plaque
Bois d
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 46
La fraction du volume immerg : 100....3
100.(%) 0poutreeaupoutre
immerge
VgP
VV
F ==
A.N. %62,82100.4.
45,0..81,9.1027.3
49,19613(%)2
=
= F
4) Poutre compltement immerge : F(%)=100 % c'est--dire Vimmerg=Vpoutre
poutreeau
C VggMP =+
..3.0
. On obtient : ( )opoutreeauc PVggM = ..3.1 A.N. kgMc 47,42049,196134.4
5,0..81,9.1027.3.81,91 2 =
=
EExxeerrcciiccee NN2211:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 3311--0055--22000044
11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente un montage destin pour la pche la ligne.
Il est compos dune sphre pleine (1) de rayon R1 =10 mm en plomb suspendu,
par lintermdiaire dun fil souple et lger (3), un flotteur (2) en forme de sphre
creuse en matire plastique de rayon R2=35 mm et dpaisseur e=5 mm.
On donne :
- la masse volumique de leau de mer : =1027 kg/m3,
(2)
(1)
(3) Eau de mer
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 47
- la masse volumique du plomb : 1 =11340 kg/m3 , - la masse volumique du matriau du flotteur : 2 =500 kg/m3, - lacclration de la pesanteur g=9,81m.s-2.
Travail demand:
1) Calculer le poids P1 de la sphre (1). 2) Dterminer la pousse dArchimde PARCH1 qui agit sur la sphre (1). 3) Ecrire lquation dquilibre de la sphre (1). En dduire la tension T du fil. 4) Calculer le poids P2 du flotteur (2). 5) Ecrire lquation dquilibre du flotteur. En dduire la pousse dArchimde PARCH2 agissant sur la sphre (2).
6) En dduire la fraction F% du volume immerg du flotteur.
22 REPONSE
1) Poids de la sphre (1) : gRP ..34
1311 = A.N. NP 4659,081,9.11340.01,0.3
4 31 ==
2) Pousse dArchimde sur la sphre (1) : gRPARCH ..34 3
11 =
A.N. NPARCH 0422,081,9.1027.01,0.34 3
1 ==
3) Equation dquilibre : OPPT ARCHrrrr =++ 1
Tension du fil : T=P1-PARCH1 A.N. T=0,4659-0,0422=0,4237 N
4) Poids du flotteur (2) : [ ] geRRP ..)(34 232322 = A.N. [ ] NP 3262,081,9.500.030,0035,0.34 332 == 5) Equation dquilibre du flotteur (2) : OPPT ARCH
rrrr =++ 22 Pousse dArchimde agissant sur la sphre (2) : PARCH2=P2+T
A.N. PARCH2=0,3262+0,4237=0 ,7499 N
6) Fraction du volume immerg : 100..
34
100.
34 3
2
2
32 R
gP
R
VF
ARCH
im
==
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 48
A.N. %4449,41100.035,0.
34 3
2
==
gP
F
ARCH
EExxeerrcciiccee NN2222:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2299--1100--22000022
11 ENONCE On considre un densimtre form dun cylindrique creux de longueur L=400 mm
et de diamtre d, dans lequel est place une masse de plomb au niveau de sa
partie infrieure. Le centre de gravit G du densimtre est situ une distance a
=10 mm par rapport au fond. Le densimtre flotte la surface dun liquide de
masse volumique inconnu. Il est immerg jusqu' une hauteur h. Lorsque le densimtre est plac dans de leau de masse volumique
30 /1000 mkg= , la hauteur immerge est h0 = 200 mm.
Travail demand :
1) Quel est la masse volumique du liquide si la hauteur immerge h=250 mm? 2) Quel est la masse volumique min quon peut mesurer avec ce densimtre ? 3) Jusqu quelle valeur de la masse volumique du liquide le densimtre reste dans une position dquilibre verticale stable?
4) Donner un exemple de liquide dans lequel on risque davoir un problme de stabilit.
22 REPONSE
h L
d
Ga
-
Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 49
1) Le densimtre est soumis son poids propre dintensit m.g et la pousse
dArchimde dirige vers le haut et dintensit hdgVg deplaceliquide .4.....
2 = .
Lquation dquilibre est : hdggm .4....
2= quivalente hdm .4..
2= (1)
De mme si le liquide tait de leau on a : 02
0 .4.. hdm = (2)
(1) et (2) entrane 00.. hh = donc 00 . hh= A.N. 3/800 mkg=
2) La masse volumique min correspond une hauteur immerge h=400 mm.
00
min . hh=
A.N. 3/500 mkg= 3) Le densimtre reste en position dquilibre stable si le centre de gravit du liquide dplac (situ une distance h/2 de la base) est au dessus du centre de
gravit (situ une distance a de la base).
Donc, il faut que ah >2
pour assurer la stabilit du densimtre.
Or 00 .hh = donc il faut que 00 ..2
1
1 donc lcoulement est supersonique.
4) Temprature darrt
+= 2.2
11. MTTi
A.N. KTi04683100.
214,11.223 =
+=
5) Pression darrt :
12.2
11.
+=
MPPi A.N. PaPi 11246100.214,11.26500
14,14,1
=
+=
EExxeerrcciiccee NN44:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1155--0011--22000044
11 ENONCE Un rservoir contient de lair comprim une pression Pi= 4 bar, suppose
pression darrt ltat initial. Louverture dune vanne dans ce rservoir provoque
la dtente de lair vers lextrieur sous forme dun jet ayant un diamtre d = 5 mm.
Les paramtres extrieurs du jet dair ltat final sont :
- Pression P= 1 bar,
- Temprature T=250 C,
On donne 4,1= et r=287 J/Kg.0K. 1) Calculer la vitesse du son C lextrieur du rservoir en (m/s).
2) Dterminer la masse volumique de lair lextrieur du rservoir en (kg/m3). (On suppose que lair est un gaz parfait.)
3) Ecrire lquation de Saint-Venant, en terme de rapport de pression, entre un point darrt et un point sur le jet dair.
4) En dduire le nombre de Mach M au niveau du jet dair. 5) Quelle est la nature de lcoulement ? 6) Calculer la vitesse dcoulement V du jet dair en (m/s). 7) En dduire le dbit massique qm (kg/s).
22 REPONSE
1) Clrit du son : rTC .= A.N. smC /346298.287.4,1 ==
2) Masse volumique :rTP= A.N. 3
5
/169,1298.287
10 mkg==
3) Equation de Saint-Venant
12.2
11
=+PPM i
-
Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 129
4) Nombre de Mach :
=
1.1
21
pp
M i A.N. 558,1=M
5) M>1 donc lcoulement est supersonique.
6) Vitesse dcoulement : CMV .= A.N. smV /48,549346.558,1 ==
7) Dbit massique : VdVSqm .4...
2 ==
A.N. skgqm /52,2448,549.4005,0..169,1 ==
EExxeerrcciiccee NN55:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2244--0066--22000044
11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente une chaudire qui produit de la vapeur d'eau un
dbit massique qm=13,4 kg/s.
Par une canalisation cylindrique, la vapeur arrive dans une section S de diamtre
d=10 cm une pression P=15 bar et une temprature T=541 K. On donne les caractristiques de la vapeur d'eau :
- =1,3. - r=462 J/kgK.
Travail demand:
Canalisation
S
Chaudire
Eau
Vapeur Pi
-
Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 130
1) On suppose que la vapeur est un gaz parfait, calculer la masse volumique de la vapeur d'eau en sortie de la chaudire.
2) Dterminer la vitesse d'coulement V. 3) Calculer la clrit du son C. 4) En dduire le nombre de Mach M. Prciser la nature de l'coulement. 5) Ecrire l'quation de Saint-Venant en terme de rapport de pression, et calculer la pression d'arrt Pi l'intrieur de la chaudire.
22 REPONSE
1) Masse volumique de la vapeur : rTP= A.N. 3
5
/6541.462
10.15 mkg==
2) Vitesse dcoulement : ...4
2dqV m= A.N. smV /356,284
6.1,0.4,13.4
2 ==
3) Clrit du son: Trc ..= A.N. smc /021,570541.462.3,1 ==
4) Nombre de Mach : CVM = A.N. 5,0
021,570356,284 ==M
M
-
Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 131
Travail demand :
1) En appliquant lquation de Saint- Venant , dterminer la pression Pi (en bar) lintrieur du rservoir.
2) A partir de quelle pression Pi, lcoulement devient supersonique ?
22 REPONSE
1) Equation de Saint-Venant :
=+ 12.
211
PPM i donc
+= 122
11. MPPi
A.N. barPaPi 5,121,15009777,0.214,11.10.014,1
14,14,1
25 ==
+=
2)
+>> 12
1.1PPM i
A.N. barPi 2191943214,1.10.014,1
14,14,1
5 =
+>
EExxeerrcciiccee NN77:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1199--0066--22000066
11 ENONCE Lazote est comprim dans une bouteille dans laquelle rgne une pression darrt
Pi = 3 bar. Il schappe travers un orifice vers lextrieur ou la pression ambiante
est P= 1 bar.
On donne 4,1= .
Pi
-
Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 132
1) En appliquant lquation de Saint-Venant, dterminer le nombre de Mach M. 2) Prciser la nature de lcoulement.
22 REPONSE
1) Thorme de Saint-Venant :
12.2
11
=+PPM i
Nombre de Mach
=
1.1
21
PPM i A.N. 357,11
13.
14,12 4,1
14,1
=
=
M .
2) M>1 donc lcoulement est supersonique.
EExxeerrcciiccee NN88:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1188--0066--22000077
11 ENONCE De l'air, suppos gaz parfait, s'chappe par la valve d'une chambre air d'un
pneu. La pression lintrieur de la chambre air est Pi = 1,7 bar. On suppose que
la dtente de lair, seffectue vers lextrieur une pression P=1 bar et une
temprature ambiante T=25 C.
On donne les caractristiques de lair suivantes :
- r= 287 J/kgK,
- =1,4. Travail demand :
1) Calculer la clrit du son. 2) En appliquant lquation de Saint-Venant, dterminer le nombre de Mach. 3) Dterminer la vitesse dchappement V de lair.
22 REPONSE
1) Trc ..= A.N. : smc /346298.287.4,1 == 2) Equation de Saint-Venant :
=+ 12.
211
PPM i quivaut
=
11
21
PPM i
-
Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 133
A.N. 9,0117,1
14,12 4,1
14,1
=
=
M
3) cMV .= smV /4,311346.9,0 ==
-
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 134
BIBLIOGRAPHIE
[1] Dynamique des fluides. Inge L. Ryhming Presse Polytechniques et Universitaires Romandes
[2] Mcanique de fluides Prpas PC-PSI
Cline Anthoine Guillaume Levvre Samuel Marque- 1999 [3] Mcanique des fluides.
Cours, exercices et problmes corrigs. Classes prparatoires- Premier cycle universitaire. Christian Grossette -1999
[4] Hydraulique.
Cours et Exercices. Souha Bahlous El Ouafi Centre de Publication Universitaire (CPU) 2002
[5] Mcanique des fluides.
Comolet (Masson) [6] Mcanique des fluides incompressibles
Mohamed MAALEJ Centre de Publication Universitaire (CPU) 2001
-
Cet ouvrage est une introduction la mcanique des fluides. Il est
conforme aux programmes de formation des techniciens suprieurs en
maintenance industrielle ou en gnie mcanique. Il est destin aux tudiants
des Instituts Suprieurs des Etudes Technologiques, aux enseignants et aux
auditeurs de la formation continue. Centr sur les lois et leurs applications en
statique et en dynamique des fluides, Il fournis aux techniciens suprieurs les
notions lmentaires ncessaires pour dimensionner plusieurs appareils
(rservoirs, tuyauterie, pompe, turbine, distributeur, vrins etc.) quil
rencontrent dans la vie active.
Accompagn de 70 exercices corrigs dune faon dtaille, cet ouvrage
rassemble un volume dapplications pratiques intressant qui en font une
bonne prparation aux examens, aux concours et la vie professionnelle.
Riadh BEN HAMOUDA Ingnieur principal de lEcole Nationale dIngnieurs de Tunis, Diplm de lEcole Nationale Suprieure de lAronautique et de lEspace ENSAE- SUPAERO de Toulouse. Enseignant agrg en Gnie Mcanique et Technologue lInstitut Suprieur des Etudes Technologiques de Djerba.
Centre de Publication Universitaire, Tunis 2008
ISBN : 978-9973-37-494-3 Prix : 12 dinards
P
1 Introduction2 Dfinitions2.1 Fluide parfait2.2 Fluide rel2.3 Fluide incompressible2.4 Fluide compressible
3 Caractristiques physiques3.1 Masse volumique 3.2 Poids volumique3.3 Densit3.4 Viscosit
4 Conclusion1 Enonc2 Rponse1 Enonc2 RponseExercice N3: Extrait de lexamen du 23-06-20031 Enonc2 RponseExercice N4: Extrait de lexamen du 15-01-20041 Enonc2 RponseExercice N5: Extrait de lexamen du 24-06-20041 Enonc2 RponseExercice N6: Extrait du devoir surveill du 21-04-20031 Enonc2 Rponse1 Enonc2 Rponse1 Introduction2 Notion de pression en un point dun fluide3 Relation fondamentale de lhydrostatique4 Thorme de Pascal4.1 Enonc4.2 Dmonstration
5 Pousse dun fluide sur une paroi verticale5.1 Hypothses5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression5.2.1 Rsultante 5.2.2 Moment
5.3 Centre de pousse
6 Thorme dArchimde6.1 nonc6.2 Dmonstration
7 Conclusion8 Exercices daplication1 Enonc2 RponseExercice N2: Extrait du dev