Download - Notiuni Generale de Electrotehnica
5
NOŢIUNI GENERALE DE ELECTROTEHNICĂ
1. LEGILE FENOMENELOR ELECTROMAGNETICE
1.1. Legea conservării sarcinii electrice
1.1.1. Forma integrală
Dacă se consideră o suprafaţă închisă, Σ, care trece numai prin
medii izolante, astfel încât nu trece curent prin această suprafaţă, se
constată experimental că, sarcina totală, localizată în interiorul
suprafeţei, rămâne constantă, qΣ = constant, oricare ar fi fenomenele
care se produc în interiorul suprafeţei.
Dacă însă, suprafaţa Σ trece şi prin conductoare în care apare
curent electric de conducţie, sarcina electrică din interiorul suprafeţei
variază în timp - în acord cu interpretarea microscopică a curentului de
conducţie.
Fig. 1.1. Explicativă pentru legea conservării sarcinii.
Considerăm un condensator
încărcat, ale cărui armături se leagă
printr-un conductor metalic (figura
1.1). În interiorul conductorului
potenţialul nu poate rămâne constant
(armăturile având potenţiale diferite)
şi echilibrul electrostatic nu se mai
poate menţine.
Σ
B
-q
q
6
Condensatorul se va descărca, dând naştere unui curent electric
de conducţie, prin conductorul de legătură dintre armături, curent care
va fi egal cu viteza de scădere în timp a sarcinii armăturii
condensatorului:
dtdqi −= . (1.1)
Acest rezultat se generalizează pentru totalitatea corpurilor încăr-
cate, conţinute într-o suprafaţă închisă, Σ, care trece prin medii izolante
sau conductoare şi care se consideră ataşată mediului, prin următorul
enunţ:
Intensitatea curentului electric de conducţie, iΣ, care iese dintr-o
suprafaţă închisă, Σ, ataşată corpurilor, este în fiecare moment egală
cu viteza de scădere a sarcinii electrice, qΣ, localizată în interiorul
suprafeţei.
dt
dqi ΣΣ −= . (1.2)
Relaţia (1.2) exprimă forma globală a legii conservării sarcinii.
1.1.2. Forma locală
Exprimând curentul iΣ cu ajutorul densităţii de curent J , iar
sarcina qΣ, în ipoteza unei repartiţii de volum, cu ajutorul densităţii de
volum a sarcinii, ρV, legea se scrie sub următoarea formă:
dVρdtddsJ
ΣVV
Σ∫∫∫∫∫ −=⋅ . (1.3)
7
Observaţii.
1) La folosirea acestei
legi trebuie să se observe că iΣ
este suma algebrică a curenţilor
care străbat suprafaţa (cu
semnul „+” cei care ies şi cu
semnul „-” cei care intră) adică,
normala n , din dsnds ⋅= , este
nor-mala exterioară (figura 1.2).
Fig. 1.2. Explicativă pentru sensul normalei la suprafaţă.
2) La derivarea integralei de volum trebuie să se considere
suprafaţa Σ mobilă, odată cu corpurile de care este ataşată (derivată
substanţială).
Dacă considerăm suprafaţa fixă, putem deriva sub semnul de
integrare. În acest caz, variaţia sarcinii din interiorul suprafeţei fixe este
produsă şi de ieşirea corpurilor încărcate din suprafaţă, ca urmare a
mişcării lor faţă de ea, adică apare şi curentul de convecţie:
dVt
dVdtd
dtdqii
V
V
VVv ∫∫
ΣΣ
Σ ∂∂
−=−=−=+ ΣΣ
ρρ ;
dVt
dsvdsJV
VV ∫∫∫
Σ∂
∂−=⋅⋅+⋅
ΣΣ
ρρ .
Obţinem forma dezvoltată a legii conservării sarcinii:
( ) dVt
dsvJiiV
VVv ∫∫
Σ
Σ ∂∂
−=+=+Σ
Σρρ . (1.4)
n J
ds
Σ
qΣ , ρV
8
Viteza de scădere a sarcinii electrice din interiorul unei suprafeţe
închise Σ, fixă, este egală cu suma dintre curentul de conducţie, iΣ şi
curentul de convecţie, ivΣ, care ies din suprafaţă.
1.2. Legea legăturii între E,D şi P
În orice moment şi în orice punct din spaţiu, inducţia electrică
este egală cu suma dintre intensitatea câmpului electric multiplicată cu
constanta universală electrică ε0 şi polarizaţie:
[ ]mCDPED o =+= ;ε (1.5)
Legea este valabilă şi pentru câmpul electromagnetic variabil în
timp. În vid 0P = , deci relaţia exprimă proporţionalitatea universală,
existentă prin definiţie, între inducţie şi intensitate:
000 ED ε= . (1.5.a)
1.3. Legea polarizaţiei electrice temporare
Legea polarizaţiei electrice temporare exprimă dependenţa locală
dintre intensitatea câmpului electric şi componenta temporară a polari-
zaţiei electrice:
( )EfPt = . (1.6)
9
Forma explicită a acestei legături depinde de materialul consi-
derat şi de condiţii neelectrice, fiind determinată, cu anumită aproxi-
maţie, prin mijloace experimentale.
Materiale liniare şi izotrope.
Materialele izotrope sunt acele materiale care au proprietăţi locale
independente de direcţie. Ele pot fi în stare fluidă sau solidă amorfă.
Polarizaţia temporară este proporţională cu intensitatea câmpului
electric:
EP et χε 0= ; (1.7)
=
−
mF
πε
3610 9
0 .
χe este o mărime de material, adimensională, numită
susceptivitate electrică, care depinde de natura materialului şi de
condiţiile neelectrice locale (temperatură, presiune, etc.).
Materialele care se conformează acestei dependenţe se numesc
liniare din punct de vedere dielectric.
În aplicaţii, legea polarizaţiei temporare se combină cu legea
legăturii, pentru a stabili legătura de material care rezultă între inducţie
şi intensitate.
1. Materiale fără polarizaţie permanentă.
EPPP etp χε 00 ==⇒= ;
( ) EEEEED ree εεεχεχεε ==+=+=⇒ 0000 1 .
În care:
10
er χ1ε += , este permitivitatea relativă a materialului, adimen-
sională;
rεεε ⋅= 0 este permitivitatea absolută a acestuia.
Pentru vid avem χe = 0, iar pentru aer χe ≈ 0.
2. Materiale cu polarizaţie permanentă.
ppt PEPPEPED +=++=+= εεε 00 ;
pPED += ε .
pP depinde de condiţii neelectrice sau de tratamentele
tehnologice ale materialului.
1.4. Legea fluxului electric
Fluxul electric instantaneu, ψΣ care trece prin orice suprafaţă
închisă Σ, este egal cu sarcina electrică adevărată instantanee qΣ din
interiorul suprafeţei:
ψΣ = qΣ . (1.8)
Dacă se exprimă fluxul electric în funcţie de inducţia electrică, D
şi sarcina electrică adevărată, în funcţie de densităţile ei, se obţine:
ΣΣΣ+++=⋅ ∫∫∫∫
ΣΣΣiC lS SV V qdsdAdVdAD ρρρ . (1.9)
Prin aplicarea teoremei Gauss-Ostrogradski şi separarea
diferitelor specii de divergenţe rezultă formele locale ale legii fluxului
electric.
11
Reţinând doar prima divergenţă, cea de volum, se poate exprima
cea mai cunoscută expresie a formei locale a fluxului electric:
VDdiv ρ= . (1.10)
1.5. Legea fluxului magnetic
1.5.1. Forma integrală a legii
Fluxul magnetic (fluxul vectorului inducţie magnetică) printr-o
suprafaţă închisă este nul, oricare ar fi forma suprafeţei şi în orice
moment: 0=∑Φ , sau,
∫ =⋅Σ
dsB 0 . (1.11)
Această relaţie este o lege general valabilă, oricând şi oriunde,
exprimând o proprietate intrinsecă, de structură, a câmpului magnetic:
caracterul conservativ al fluxului magnetic.
Unitatea de măsură a fluxului magnetic, în sistem internaţional,
este weberul – [Wb].
1.5.2. Forma locală a legii
În domeniile de continuitate a funcţiei de punct )r(B , prin aplica-
rea teoremei Gauss-Ostrogradski, relaţiei (1.11), se obţine:
∫ ∫Σ Σ
=⋅=⋅V
dvBdivdsB 0 ;
ΣV , volumul mărginit de suprafaţa Σ, fiind arbitrar, rezultă:
12
0=Bdiv , (1.12)
adică forma locală a legii fluxului magnetic: în fiecare moment şi în
orice punct, divergenţa inducţiei magnetice este nulă.
Inducţia magnetică este un vector câmp solenoidal (fără sursă),
deci liniile câmpului magnetic sunt întotdeauna curbe închise.
1.6. Legea legăturii dintre H,B şi M
În orice moment şi în orice punct din spaţiu, inducţia magnetică
este egală cu suma dintre intensitatea câmpului magnetic şi magneti-
zaţie, multiplicată cu constanta universală magnetică µ0:
( )MHB o += µ . (1.13)
Legea este general valabilă şi pentru câmpul electromagnetic
variabil în timp. În vid 0=M , relaţia exprimând proporţionalitatea
universală existentă, prin definiţie, între inducţie şi intensitate:
000 HB µ= . (1.13.a)
1.7. Legea magnetizaţiei temporare
Legea magnetizaţiei temporare exprimă dependenţa locală dintre
intensitatea câmpului magnetic şi componenta temporară a magneti-
zaţiei.
( )HfM t = . (1.14)
13
Forma explicită a acestei dependenţe depinde de materialul consi-
derat şi de condiţii ne-electromagnetice.
1. Materiale liniare.
Majoritatea substanţelor sunt izotrope şi liniare din punct de ve-
dere magnetic. Ele nu au magnetizaţie permanentă, iar magnetizaţia
temporară este proporţională cu intensitatea câmpului magnetic care o
determină:
HMM mt χ== , (1.15)
unde χm este o constantă de material, adimensională, numită suscepti-
vitate magnetică.
De obicei această lege se foloseşte combinată cu legea legăturii
dintre H,B şi M :
( ) ( ) ( )HHHMHB mm χµχµµ +=+=+= 1000 , (1.16)
sau:
HB µ= . (1.17)
Mărimea ( ) rmHB µµχµµ 00 1 =+== se numeşte permeabilitate
absolută a materialului, iar 0µ
µµ =r se numeşte permeabilitatea
relativă a materialului.
Materialele magnetizabile temporar se împart din punct de vedere
al proprietăţilor magnetice în două categorii:
− materiale diamagnetice (cuprul): HM ↑↓ , substanţe nepolare,
moleculele lor neavând iniţial moment magnetic rezultant.
14
− materiale paramagnetice (aluminiul): substanţe polare, care se
magnetizează în sensul câmpului magnetic aplicat, HM ↑↑ .
Ambele categorii de materiale se numesc materiale neferomag-
netice cu µr ≈1, deci µ ≈ µ0.
2. Feromagnetismul.
Fierul, cobaltul, nichelul şi unele aliaje se deosebesc de restul
materialelor, prin valori extrem de mari ale permeabilităţii relative (102
÷ 105).
Experimental, se constată că în acest caz, dependenţa B = f(H) nu
mai reprezintă o dreaptă, ca pentru materialele dia şi paramagnetice,
permeabilitatea, µ, fiind funcţie de intensitatea câmpului magnetic, H.
1.8. Teorema lui Ampère
1.8.1. Forma integrală
În regim staţionar tensiunea magnetomotoare, adică tensiunea
magnetică în lungul unei curbe închise, este egală cu solenaţia curen-
ţilor înlănţuiţi de această curbă:
∑∫ ⋅==⋅Γ
INdlH θ . (1.18)
Tensiunea magnetomotoare (t.m.m.) este integrala de linie, pe o
curbă închisă, a intensităţii câmpului magnetic H :
∫Γ
⋅= dlHumm . (1.19)
15
Solenaţia, θ, reprezintă curentul de conducţie total, adică suma
algebrică a curenţilor din conductoarele care străpung suprafaţa
considerată (figura 1.3):
∑∫ ⋅=⋅=Γ
INdsJS
θ . (1.20)
Fig. 1.3. Explicativă pentru modul de integrare.
Se utilizează termenul de „solenaţie”, în loc de intensitatea curen-
tului electric de conducţie, deoarece, ultima mărime caracterizează un
conductor, pe când solenaţia este definită referitor la o suprafaţă,
suprafaţă care poate fi străbătută de mai multe conductoare sau, de
acelaşi conductor de mai multe ori.
1.8.2. Forma locală
În domeniile de continuitate a funcţiei )r(H , se poate aplica teo-
rema lui Stokes integralei (1.19):
∫ ∫ ∫Γ Γ Γ
⋅=⋅=⋅S S
dsJdsHrotdlH .
Cum SΓ este o suprafaţă arbitrară, obţinem:
ds J
ΓS
dl
Linie a câmpului J
H
Γ
Linie a câmpului H
16
JHrot = . (1.21)
Adică, densitatea de curent este egală cu rotorul intensităţii
câmpului magnetic.
Concluzia este că, H este un câmp magnetic staţionar, numai în
domeniile fără curent.
1.9. Legea circuitului magnetic
1.9.1. Forma integrală
Tensiunea magnetomotoare, umm, de-a lungul oricărei curbe
închise, Γ, este egală cu suma a doi termeni:
− primul este solenaţia,ΓSθ , corespunzătoare curenţilor care
străbat o suprafaţă deschisă oarecare, SΓ, mărginită de curba Γ;
− al doilea termen este derivata în raport cu timpul a fluxului
electric,ΓSΨ , prin aceeaşi suprafaţă, SΓ, şi se numeşte curent de depla-
sare.
dt
du S
SmmΓ
Γ
Ψ+= θ . (1.22)
Relaţia (1.22) este general valabilă (şi în regim nestaţionar) şi
poate fi scrisă explicit, sub următoarea formă:
∫ ∫ ∫Γ Γ Γ
⋅+⋅=⋅S S
dsDdtddsJdlH . (1.23)
Dacă se alege un sens pozitiv pentru solenaţie, prin suprafaţa
deschisă, SΓ şi acestuia i se asociază, după regula burghiului drept, un
17
sens pozitiv al t.m.m., pe conturul suprafeţei, Γ, se constată că,
solenaţiilor pozitive le corespund t.m.m. pozitive şi invers. Prin ur-
mare, în expresia (1.23) a legii, ds şi dl sunt asociaţi după regula bur-
ghiului drept (figura 1.4).
Fig. 1.4. Alegerea sensurilor mărimilor vectoriale.
Observaţii.
1) Γ şi SΓ sunt arbitrare şi trebuie considerate drept curbe şi
suprafeţe ataşate corpurilor, în mişcarea lor.
2) În cazul corpurilor imobile legea circuitului magnetic are
următoarea formă integrală:
∫ ∫ ∫Γ Γ Γ
⋅∂
∂+⋅=⋅
S S
dstDdsJdlH ; (1.24)
termenul ∫Γ
Γ ∂∂
=S
D dstDi
S se numeşte curent de deplasare.
3) Se numeşte regim cvasistaţionar, regimul variabil în care se
poate neglija curentul de deplasare în legea circuitului magnetic, peste
tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor. În acest regim, ca şi în
D ds
dl H
J
18
regim staţionar, legea circuitului magnetic se reduce la teorema lui
Ampère.
1.9.2. Forma locală (valabilă numai pentru sisteme de corpuri imo-
bile).
În domeniile de continuitate a proprietăţilor fizice, aplicând teore-
ma lui Stokes membrului din stânga a relaţiei (1.24), se obţine:
∫ ∫ ∫Γ Γ Γ
⋅∂
∂+⋅=⋅
S S S
dstDdsJdlHrot ;
sau,
tDJHrot
∂∂
+= . (1.25)
Relaţia (1.25) reprezintă prima ecuaţie a lui Maxwell.
1.10. Legea inducţiei electromagnetice
1.10.1. Forma integrală
Se numeşte inducţie electromagnetică, producerea unei tensiuni
electromotoare (t.e.m.) într-un circuit sau, în general, în lungul unei
curbe închise, datorită variaţiei în timp a fluxului magnetic care străbate
o suprafaţă sprijinită pe acea curbă.
Sensul acestei t.e.m. este astfel încât, efectele ei se opun cauzei
care a produs-o (regula lui Lenz).
Forma integrală a legii inducţiei electromagnetice:
19
dtd
e SΓΦ
−=Γ (1.26)
Tensiunea electromotoare, produsă prin inducţie
electromagnetică, în lungul unei curbe închise, Γ, este egală cu viteza
de scădere a fluxului magnetic, prin orice suprafaţă sprijinită pe
această curbă.
Relaţia (1.26) se scrie explicit, sub forma:
Γ
Γ
Γ Φ
Γ∫∫ ⋅−=⋅
S
S
e
dsBdtddlE . (1.27)
Observaţii.
1) Sensul de integrare pe curba Γ, adică sensul lui dl şi sensul
normalei n , la suprafaţa ΓS , în raport cu care se calculează fluxul
Fig. 1.5. Explicativă pentru asocierea
sensurilor vectorilor.
(adică sensul lui dsnds ⋅= ),
sunt asociate după regula
burghiului drept.
2) În regim staţionar, când
fluxul magnetic nu va-riază în
timp, t.e.m. indusă e nulă pentru
orice curbă închisă, Γ:
∫Γ
Γ =⋅= 0dlEe . (1.28)
De aici rezultă caracterul potenţial al câmpului electric staţionar.
Teorema potenţialului electrostatic şi teorema potenţialului electric
staţionar sunt forme particulare ale legii inducţiei electromagnetice.
d
J
dl
D
E
dl
ΓS
n ds B
Γ
20
1.10.2. Forma integrală dezvoltată a legii
Derivata fluxului magnetic, în raport cu timpul, este o derivată
substanţială (se ţine cont de faptul că suprafaţa considerată este în
mişcare, odată cu corpurile din interiorul ei):
( )∫ ∫Γ Γ
×+⋅+
∂∂
=⋅S S
dsvBrotBdivvtBdsB
dtd ;
cum 0=Bdiv (legea fluxului magnetic), obţinem:
( )∫ ∫ ∫Γ Γ Γ
Γ ×+∂∂
=⋅=Φ
S S S
S dsvBrotdstBdsB
dtd
dtd
. (1.29)
Aplicând teorema lui Stokes ultimului termen al relaţiei (1.29),
obţinem forma integrală dezvoltată a legii:
( )∫ ∫∫Γ Γ
Γ ×+∂∂
−=⋅=Γ
.. misctransee
S
dlBvdstBdlEe ; (1.30)
în care:
− etrans. - este t.e.m. indusă prin transformare (pulsaţie);
− emişc. – este t.e.m. indusă prin mişcare (rotaţie).
1.10.3. Formele locale
În cazul domeniilor de continuitate a proprietăţilor fizice locale,
aplicând teorema lui Stokes în relaţia (1.30) şi anume, membrului întâi
şi ultimului termen din membrul al doilea, se obţine:
( )∫ ∫Γ Γ
×−
∂∂
−=⋅S S
dsBvrottBdsErot .
21
Suprafaţa SΓ fiind arbitrară, rezultă forma locală a legii inducţiei
electromagnetice:
( )BvrottBErot ×+
∂∂
−= . (1.31)
Pentru corpurile imobile (v = 0), se obţine:
tBErot
∂∂
−= ; (1.32)
relaţie care reprezintă cea de-a doua ecuaţie a lui Maxwell.
1.11. Legea conducţiei electrice (legea lui Ohm)
1.11.1. Forma locală
Legea conducţiei electrice este o lege de material, care generali-
zează condiţia de echilibru electrostatic. În regim electrocinetic,
0≠+ iEE .
Forma locală a legii se exprimă prin relaţia:
JρEE i ⋅=+ (1.33)
şi are următorul enunţ:
Suma vectorială dintre intensitatea câmpului electric, E , şi
intensitatea câmpului electric imprimat, iE , din interiorul unui
conductor izotrop, este proporţională, în fiecare punct, cu densitatea
curentului electric de conducţie din acel punct.
Factorul de proporţionalitate este o mărime de material, numită
rezistivitate, ρ, care depinde de natura materialului, de temperatură, etc.
22
Valoarea reciprocă a rezistivităţii se numeşte conductivitate, σ:
ρσ 1
=
Cu ajutorul conductivităţii, forma locală a legii conducţiei se
scrie:
)(−−−
+= iEEJ σ . (1.33.a)
Observaţii.
1) Condiţia de echilibru electrostatic e forma particulară a legii
conducţiei electrice pentru regimul electrostatic, în care 0=J .
2) În conductoare omogene, 0=iE : JρE ⋅= sau, EσJ ⋅= .
1.11.2. Forma integrală a legii
Fig. 1.6. Porţiune de circuit filiform.
Se consideră o porţiune de circuit
filiform în care este inclusă şi o sursă de
t.e.m. (figura 1.6). Circuitul fiind fili-
form, curentul se poate considera repar-
tizat uniform pe secţiune:
SiJ = ;
SiuJ
−−
= ;
unde, S este aria secţiunii
transversale a conductorului.
Cum dlJ ↑↑−
, se poate scrie:
Sdlidl
SidlJdlJ ==⋅=⋅
−
; (1.34)
dludl ⋅=−
−
J
(C)
2
ei
1
i
23
∫∫ ⋅⋅=+=+−−− 2
)(112
2
)(112)(
Ci
Cfi dlJeudlEE ρ ; (1.35)
− ∫ ⋅=−2
112 dlEu f , este tensiunea electrică în lungul firului;
− ∫ ⋅=−2
112 dlEe ii , este tensiunea imprimată.
Dacă în relaţia (1.35) înlocuim produsul scalar dlJ ⋅−
, prin
expresia sa, dată de (1.34), obţinem:
∫ ⋅==+2
1121212 Ri
Sdlieu if ρ . (1.36)
Relaţie în care, mărimea ∫ ⋅=2
112 S
dlρR se numeşte rezistenţa
electrică a conductorului, între punctele „1” şi „2”.
În general, dacă se notează:
− uf - tensiunea electrică în lungul firului,
− ei - tensiunea electrică imprimată,
− R - rezistenţa firului,
− i - intensitatea curentului,
se obţine forma integrală a legii conducţiei electrice:
iReu if ⋅=+ (1.37)
Pentru o porţiune oarecare, neramificată de circuit filiform,
suma dintre tensiunea electrică luată în lungul firului, uf, şi tensiunea
imprimată, ei (t.e.m.), a surselor ce se găsesc în acea porţiune de
24
circuit, este egală cu produsul dintre intensitatea curentului şi o
mărime caracteristică circuitului, numită rezistenţă electrică.
Observaţii.
1) În cazul în care conductorul este închis:
uf + ei = e, (1.37.a)
e fiind tensiunea electromotoare de contur. Se observă că:
e = R⋅i.
2) În cazul unui circuit pasiv, ei = 0, deci:
uf = R⋅i. (1.37.b)
1.11.3. Teorema potenţialului electric staţionar. Legea lui Ohm.
Legea conducţiei electrice este valabi-
lă atât în curent continuu cât şi în curent
variabil în timp, pentru materiale liniare. În
curent continuu, adică în regim staţionar,
este valabilă teorema potenţialului electric
staţionar:
∫Γ
=⋅ 0dlE (1.38)
Şi, în consecinţă, tensiunea nu depinde de curba în lungul căreia se
calculează integrala, ci numai de punctele extreme:
∫ −=⋅==2
121 VVdlEuu bf ; (1.39)
în care, ub este tensiunea între bornele „1” şi „2”ale conductorului.
Γ ub uf
1
2
25
Se obţine următoarea formă particulară a legii conducţiei
electrice:
iRub ⋅= , (1.40)
cunoscută sub denumirea de legea lui Ohm.
Tensiunea electrică la bornele unui circuit pasiv (fără surse), de
curent continuu, este egală cu produsul dintre intensitatea curentului şi
rezistenţa circuitului.
Forme uzuale: Rui b= ; sau,
iuR b= .
Semnificaţii:
a) definiţia rezistenţei unui conductor: rezistenţa conductorului
este numeric egală cu raportul dintre tensiunea electrică continuă,
aplicată la capetele conductorului şi curentul care-l străbate.
b) conţinut experimental: raportul dintre ub şi i nu depinde de
aceste mărimi, ci de natura ş dimensiunile conductorului.
Observaţii.
1) Legea lui Ohm se referă la materiale liniare din punct de
vedere al conducţiei electrice. Există şi materiale ale căror rezistenţă
depinde de valoarea tensiunii – rezistenţe neliniare.
2) Rezistenţa electrică a unei porţiuni de conductor filiform are
expresia:
∫=2
1 SdlR ρ (1.41)
şi este totdeauna pozitivă.
În cazul unui conductor omogen şi de secţiune constantă:
26
SlR ρ= [Ω]. (1.42)
3) Conductanţa electrică, prin definiţie, este:
lS
RG σ==
1 (1.43)
şi se măsoară în siemens, [S].
4) Un element de circuit construit pentru a avea o anumită rezis-
tenţă, se numeşte rezistor.
1.12. Legea transformării energiei în conductori (legea Joule -
Lenz)
1.12.1. Forma locală
Legea transformării energiei în conductori este o lege generală
care, sub formă locală, dă expresia energiei cedate de câmpul electro-
magnetic în unitatea de timp şi pe unitatea de volum:
Puterea, pJ, cedată pe unitatea de volum a conductorului, de
câmpul electromagnetic, în procesul de conducţie electrică, este egală
cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric şi densitatea
curentului electric de conducţie:
JEpJ ⋅= . (1.44)
Practic, pJ este o densitate de putere şi se măsoară în [W/m3].
În conductorii omogeni, 0=iE , deci, pJ reprezintă căldura
dezvoltată în unitatea de timp şi de volum, de conductor:
27
2JJEp
JE
J ⋅=⋅=⋅=
ρρ
> 0. (1.45)
Pentru conductorii neomogeni, 0≠iE ; din legea conducţiei elec-
trice avem: iEJρE −⋅= , prin urmare se poate scrie:
GiJ pJJEJp −⋅=⋅−⋅= 22 ρρ . (1.46)
Primul termen al relaţiei (1.46), 2JρpR ⋅= > 0, este întotdeauna
pozitiv şi reprezintă densitatea de volum a puterii pierdute, ireversibil,
de câmpul electromagnetic şi transformată în căldură (independent de
sensul curentului) – efectul Joule - Lenz.
Al doilea termen, cu semn schimbat, JEp iG ⋅= , care poate fi
negativ sau pozitiv, reprezintă densitatea de volum a puterii cedate de
sursele de câmp electric imprimat şi primită de câmpul electromag-
netic.
Dacă vectorii iE şi J sunt omoparaleli, atunci pG > 0 şi această
putere este efectiv cedată de sursă şi primită de câmp (acest fenomen
are loc în orice sursă care debitează curent).
Dacă iE şi J sunt antiparaleli (curentul străbate sursa în sens
opus tensiunii electromotoare), pG < 0 şi puterea este efectiv primită de
sursă şi cedată de câmpul electromagnetic).
1.12.2. Forma integrală
Dacă se integrează expresia (1.44) pe volumul V al unei porţiuni
de conductor filiform, în care E , J şi dl sunt paraleli, se obţine
28
puterea totală, PJ, cedată de câmpul electromagnetic conductorului, în
procesul de conducţie a curentului electric:
∫∫∫ ⋅⋅=⋅⋅=⋅=VVV
JJ dvJEdvJEdvpP . (1.47)
Ţinând cont de caracterul filiform
al conductorului, se poate scrie că,
dldsdv ⋅= ; transformăm integrala
de volum în integrala de linie a
unei integrale de suprafaţă:
∫ ∫∫∫ ∫ ⋅=⋅=⋅
⋅=⋅
⋅⋅=
2
1
2
1
2
1f
SSJ uidlEidldsJEdldsJEP .
S-a considerat că E este constant pe suprafaţa S a conductorului
şi că idsJS
=⋅∫ .
PJ = uf⋅i. (1.48)
Puterea totală cedată de câmpul electromagnetic unei porţiuni de
conductor filiform, în procesul de conducţie electrică, este egală cu
produsul dintre intensitatea curentului şi tensiunea în lungul firului.
Conform legii conducţiei electrice (forma integrală), uf = R⋅i – ei,
deci se poate scrie relaţia:
PJ = R⋅i2 – ei⋅i = PR – PG. (1.49)
Primul termen al relaţiei (1.49) reprezintă puterea disipată, adică
puterea dezvoltată ireversibil sub formă de căldură: PR = R⋅i2 > 0, legea
Joule – Lenz.
dl
ds E J
V
S
i
1
2
29
Prin integrare în timp, se obţine căldura totală dezvoltată în
timpul ∆t = t2 - t1:
∫ ⋅⋅=2
1
2t
tJ dtiRQ . (1.50)
În curent continuu, pentru circuite pasive, tensiunea în lungul
firului, R⋅i, este egală cu tensiunea electrică la borne, ub:
RuiuiRP b
bR
22 =⋅=⋅= ; respectiv, QJ = R⋅i2⋅∆t.
Al doilea termen cu semn schimbat, PG = ei⋅i, care poate fi
negativ sau pozitiv, reprezintă puterea generată, adică puterea adusă în
circuit de sursa de t.e.m., ei, care debitează curentul de intensitate i şi
este egală cu produsul acestor două mărimi.
Dacă PG > 0, adică ei şi i au acelaşi sens efectiv, sursa produce
energie, iar dacă PG < 0, adică ei şi i au sensuri efective opuse, sursa
primeşte energie.
30
2. INDUCTIVITĂŢI.
2.1. Flux fascicular, flux total, definiţia inductivităţii.
Fie o bobină cu N spire, parcursă de curentul I care generează
câmp magnetic. Se consideră că toate spirele sunt traversate de aceleaşi
linii de câmp (figura 1.7).
Se numeşte flux fascicular, φf, fluxul
magnetic care traversează suprafaţa unei
singure spire.
Se numeşte flux total al bobinei, φ,
fluxul magnetic prin toate spirele acesteia
(fluxul printr-o suprafaţă sprijinită pe
curba elicoidală descrisă de conductorul
bobinei). În mod evident, φ = N⋅φf.
Observaţie.
În cazul în care nu toate spirele sunt
traversate de aceleaşi linii de câmp (figura
1.8.), fluxul fascicular nu poate fi definit.
În această situaţie se poate defini un flux fascicular mediu:
Nmed,fφ
=φ . (1.51)
Se numeşte inductivitate (inductanţă), raportul dintre fluxul total
şi curentul care îl generează:
N
i Fig. 1.7. Fluxul magnetic
al unei bobine.
i
N
Fig.1.8. Repartiţia reală a liniilor de câmp magnetic.
31
i
fΦN
iΦL
⋅== ; (1.52)
[L] = H (henry); 1H = 1Wb/ 1A.
2.2. Inductivităţi proprii şi mutuale
Se consideră două circuite
(bobine) cu N1, respectiv N2 spire
şi se presupune că numai primul
circuit este străbătut de curent (i1).
Notaţii (figura 1.9):
− φf11, fluxul fascicular produs de
circuitul „1”;
− φf21, fluxul fascicular produs de circuitul „1” care trece printr-o
spiră a circuitului „2”;
− φfσ21, fluxul fascicular de dispersie (scăpări) al circuitului „1”
faţă de circuitul „2”.
Observaţii:
− primul indice precizează circuitul prin a cărui suprafaţă trece
fluxul;
− al doilea indice precizează curentul care produce fluxul
respectiv;
− sensul de referinţă al fiecăruia dintre aceste fluxuri se asociază
cu sensul de referinţă de pe circuitul înlănţuit de acest flux, după regula
burghiului drept:
φf 21 φfσ21
φf 11
N1, i1
N2, i2 = 0
Fig. 1.9. Referitoare la fluxul de dispersie.
32
Φf 11 > 0; Φf 21 >< 0; Φf 11 = |Φf 21| + Φfσ 21.
A) Inductivitatea proprie
Se numeşte inductivitate proprie, L11, a circuitului „1”, raportul
pozitiv dintre fluxul total, φ11, prin circuitul „1”, produs de curentul
acelui circuit (cu sensul asociat după regula burghiului drept sensului
curentului ) şi curentul i1 care-l produce:
0i
Ni
L1
11f1
1
1111 ≥
Φ⋅=
Φ= . (1.53)
În mod analog se defineşte inductivitatea proprie a circuitului
„2”, în ipoteza i1 = 0 şi i2 ≠ 0:
0i
Ni
L2
22f2
2
2222 ≥
Φ⋅=
Φ= . (1.53.a)
În mediile liniare din punct de vedere magnetic, din teorema
super-poziţiei câmpurilor magnetice, rezultă că fluxurile sunt
proporţionale cu curenţii care le produc. Prin urmare, raportul lor
(flux/curent) este constant, adică inductivitatea proprie, L11, este o
mărime de material care depinde de natura materialului magnetic, de
dimensiunile şi forma circuitului şi de numărul său de spire, dar nu
depinde de mărimea fluxului sau a curentului.
B) Inductivitatea mutuală.
Se numeşte inductivitate mutuală, L21, între circuitele „1” şi „2”,
raportul dintre fluxul total, Φ21, produs de circuitul „1”, care trece
prin circuitul „2”, şi curentul i1 care-l produce:
33
1
21f2
1
2121 i
Ni
L Φ⋅=
Φ= >
< 0. (1.54)
Observaţii:
− într-un mediu magnetic liniar, inductivitatea mutuală depinde
numai de natura materialului, de dimensiunile şi forma circuitelor şi de
poziţia lor relativă;
− inductivitatea mutuală poate rezulta pozitivă sau negativă,
după sensurile de referinţă alese în cele două circuite.
Analog, inductivitatea mutuală L12, între circuitele „2” şi „1” (cu
i1 = 0 şi i2 ≠ 0) este:
2
12f1
2
1212 i
Ni
L Φ⋅=
Φ= >
< 0. (1.54.a)
Se poate demonstra că induc-
tivităţile mutuale satisfac relaţiile de
reciprocitate: L12 = L21.
Stabilirea semnului inductivităţii
mutuale.
Pentru fiecare bobină se notează
una dintre borne cu ∗, „borna de
început” – acele borne în care, dacă
curenţii i1 şi i2 intră simultan, cele două bobine produc flux magnetic în
acelaşi sens (figura 1.10).
Dacă curenţii prin cele două bobine au acelaşi sens în raport cu
bornele de început (ambii intră sau ambii ies), L12 > 0.
i1 *
* i2
Fig. 1.10. Marcarea bornelor „de început”.
34
Dacă curenţii au sensuri contrare în raport cu bornele de început
(unul intră, celălalt iese), L12 < 0.
2.3. Relaţiile lui Maxwell privitoare la inductivităţi
Fluxul total prin circuitul „1”, produs de curentul „2”, este: Φ12 =
L12 i2.
Fluxul total prin circuitul „1”, produs de ambii curenţii (i1 şi i2) se
poate calcula prin superpoziţie (mediu liniar), ca sumă a fluxurilor
produse de fiecare curent în parte:
Φ1 = Φ11 + Φ12;
în care:
Φ11 = L11·i1
Φ12 = L12·i2
Generalizând pentru n circuite, se obţine:
Φ1 = L11·i1+ L12·i2 + ... + L1n·in
Φ2 = L21·i1 + L22·i2+ … + L2n·in (1.55)
.……………………………….
Φn = Ln1·i1+ Ln2·i2 + … + Lnn·in.
2.4. Inductivitatea echivalentă
Se numeşte inductivitate echivalentă a unui ansamblu de bobine
conectate în serie din punct de vedere electric, inductivitatea calculată
cu fluxul total, al întregului circuit.
35
Considerăm cazul a două bobine şi scriem relaţiile lui Maxwell:
⋅+⋅=Φ⋅+⋅=Φ
2221212
2121111
iLiLiLiL
.
Dacă cele două bobine sunt înseriate din punct de vedere electric,
avem i1 = i2 = i, iar fluxul total este Φt = Φ1 + Φ2.
Obţinem:
M2LLii
L 221121t
e ++=Φ+Φ
=Φ
= ; (1.56)
Le este inductivitatea echivalentă a circuitului şi M = L12 = L21.
În relaţia (1.56) trebuie luat în consideraţie semnul lui M. Fluxul
unei bobine prin cealaltă poate avea acelaşi sens cu fluxul propriu al
acesteia (bobinele sunt în concordanţă din punct de vedere magnetic)
sau poate avea sens contrar cu acest flux (bobinele sunt în opoziţie). În
primul caz M > 0, în cel de-al doilea M < 0.
2.5. Inductivităţi utile şi de dispersie
În mod normal, numai o parte din fluxul fascicular propriu produs
de un circuit electric trece prin alt circuit electric. Această parte din
fluxul fascicular propriu se numeşte flux util, Φfu. Φfu→ Φf21.
Cealaltă parte a fluxului fascicular propriu, care se închide direct,
fără a înlănţui spirele altui circuit, se numeşte flux de dispersie sau flux
de scăpări şi se notează Φfσ:
Φfσ 21 = Φf 11 - |Φf 21| > 0. (1.57)
36
Se numeşte inductivitate de dispersie a circuitului „1” faţă de
circuitul „2”, partea din inductivitatea proprie a circuitului „1” cores-
punzătoare fluxului de scăpări faţă de „2”:
0LNNL
iN
iN
iNL 21
2
111
1
21f1
1
11f1
1
21f121 >−=
Φ−
Φ⋅=
Φ⋅= σ
σ .(1.58)
Inductivitatea de dispersie a circuitului „2” faţă de „1”, este:
0LNNLL 12
1
22212 >−=σ . (1.58.a)
În general, Lσ21 ≠ Lσ12.
Inductivitatea proprie a unui circuit se poate scrie sub forma:
L11 = Lσ21 + 2
1
NN |L21| = Lσ21 + Lu21,
în care, 0LNNL 21
2
1u21 >= , se numeşte inductivitate utilă a circuitului
„1” faţă de „2”;
Inductivitatea utilă a circuitului „1” faţă de „2”, este partea din
inductivitatea proprie a circuitului „1” corespunzătoare fluxului util al
circuitului „1” faţă de „2”.
În tehnică se operează cu coeficienţi care definesc gradul de
dispersie a circuitelor.
a) Coeficientul de cuplaj magnetic a două bobine:
212211
12
2211
1221
LLM
LLL
LLLLk
⋅=
⋅=
⋅⋅
= ; (1.59)
în care, M = |L12|.
37
Bobinele necuplate magnetic au L12 = 0, deci k = 0, iar bobinele
cuplate perfect au 2211212 LLL ⋅= , deci k = 1. În general, 0 ≤ k ≤ 1.
b) Coeficientul de dispersie:
21
221
2211
12212211
2211
12212
LLMLL
LLLLLL
LLLL1k1
⋅−⋅
=⋅
⋅−⋅=
⋅⋅
−=−=σ . (1.60)
− pentru k = 0 ⇒ σ = 1; dispersie maximă, adică bobine
necuplate;
− pentru k = 1 ⇒ σ = 0; dispersie nulă, adică bobine cuplate
perfect.
38
3. CIRCUITE MAGNETICE
Se numeşte circuit magnetic, ansamblul format dintr-o succesiune
de corpuri feromagnetice, separate eventual prin întrefieruri, liniile de
câmp ale inducţiei magnetice fiind „conduse” prin aceste corpuri fero-
magnetice în mod similar curentului prin conductoarele metalice.
Calculul circuitelor magnetice se face cu ajutorul legii circuitului
magnetic şi al legii fluxului magnetic. Calculul constă în determinarea
solenaţiei necesare pentru a stabili un anumit flux fascicular util sau
invers.
3.1. Reluctanţe. Permeanţe. Fie o porţiune neramificată de circuit magnetic – care constituie
deci, un tub de flux magnetic – suficient de subţire pentru a putea
considera fluxul repartizat uniform pe secţiunea lui (figura 1.11).
Tensiunea magnetică între două puncte „1” şi „2”, de-a lungul
curbei (C), pe axa tubului, este:
( ) ( ) ( )dlBdlHdlHU
2
1c
2
1c
2
1cm ∫∫∫ µ
=⋅=⋅= ;
deoarece dlHB ↑↑↑↑ (curba (C) este o
linie de câmp), iar HB µ= , obţinem:
( ) ( )
∫∫ µφ=
µφ
=2
1cf
2
1c
fm A
dldlA
U , (1.61)
1
2
dl
H
B
Fig. 1.11. Calculul tensiunii magnetice.
39
în care, φf este fluxul magnetic fascicular, constant prin toate secţiunile
tubului de flux (adică prin toate secţiunile porţiunii de circuit magnetic
neramificat) şi fără dispersie.
Mărimea pozitivă, definită de raportul dintre tensiunea
magnetică şi fluxul fascicular, se numeşte reluctanţă sau rezistenţă
magnetică a porţiunii de circuit magnetic şi se notează:
0>=f
mm
URφ
. (1.62)
Unitatea de măsură a reluctanţei este
⋅
WbspA .
Cu relaţia (1.61), obţinem pentru reluctanţă expresia:
∫ µ=
2
1m A
dlR . (1.63)
Dacă materialul este liniar, reluctanţa este o caracteristică a
tubului de flux, independentă de φf sau de Um.
În cazul particular al porţiunilor de circuit omogen (de lungime l,
de arie, A, constantă şi permeabilitate magnetică, µ, constantă), reluc-
tanţa este:
AlR m µ
= . (1.63.a)
Inversul reluctanţei se numeşte permeanţă şi se notează:
lA
UR1
m
f
m
µ=φ
==Λ . (1.64)
Din relaţia de definiţie (1.62) a reluctanţei se poate scrie:
fmm RU φ= , (1.65)
40
relaţie numită „legea lui Ohm”, pentru circuite magnetice.
Există o analogie între relaţiile definite pentru circuitele
magnetice şi cele pentru circuitele electrice. Fiecare mărime definită
pentru circuitele magnetice are un corespondent în cadrul circuitelor
electrice: tensiunii magnetice îi corespunde tensiunea electrică, fluxului
magnetic fascicular îi corespunde intensitatea curentului electric, iar
reluctanţei magnetice rezistenţa electrică.
Toate aceste corespondenţe duc la o analogie şi între teoremele
folosite în calculul circuitelor magnetice şi cele folosite în calculul
circuitelor electrice.
3.2. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice
A) Teorema I
Aplicăm legea fluxului magnetic, 0dsBφΣ
Σ =⋅= ∫ , unei
suprafeţe Σ ce conţine un punct de
ramificaţie (nod), „q”, al unui circuit
magnetic (figura 1.12):
03f2f1f =+φ+φ+φ=φΣ .
Fluxurile sunt considerate pozi-
tive când sunt îndreptate după nor-
malele exterioare la suprafaţă („ies”
din nod) şi negative în caz contrar (când „intră” în nod).
(q)
φf1
φf2
φf4
φf5 φf3
Σ
Fig. 1.12. Explicativă pentru deducerea teoremei I.
41
Sub formă restrânsă, prima teoremă a lui Kirchhoff pentru nodul
„q”, q = 1,2,3,…,.N - 1, se scrie în mod analog teoremei
corespunzătoare din electrocinetică.
( )
0qk
fk =φ∑∈
. (1.66)
Suma algebrică a fluxurilor magnetice, care trec prin laturile
unui circuit magnetic ce converg într-un nod al acestui circuit,
considerate negative când „intră” în nod şi pozitive în caz contrar, este
nulă.
B) Teorema a II - a
Se consideră ochiul „p”,
într-un circuit magnetic (fi-
gura 1.13) şi se alege un sens
de referinţă pe ochi (sensul în
care se efectuează integrala de
linie a vectorului H ). Se
notează: Rm1, Rm2,…, reluc-
tanţele laturilor; θ1, θ2, …,
solenaţiile bobinelor care înfă-
şoară laturile; φf1, φf2,…, fluxurile fasciculare care trec prin laturi.
Solenaţiile şi fluxurile fasciculare ale laturilor se presupun
definite în sensul de referinţă ales pe ochi. În caz contrar, mărimea
respectivă (solenaţie, flux) intră cu semnul minus în ecuaţia care se
obţine.
(p) Γ φfk
θk
Fig. 1.13. Explicativă pentru deducerea teoremei a II-a.
42
Conform teoremei lui Ampère, în regim staţionar şi cvasista-
ţionar:
( )∑θ=θ= ΓΓ
pkSmmU .
Pe de altă parte, conform definiţiei, descompunând integrala pe
porţiuni:
( ) ( )
fkp
mkp
mkmm RUdlHU φ==⋅= ∑∑∫Γ
Γ .
Rezultă, pentru fiecare ochi, p = 1, 2,…, n (n fiind numărul total
de ochiuri), o a doua teoremă a lui Kirchhoff:
( ) ( )
fkpk
mkpk
k R φ⋅=θ ∑∑∈∈
. (1.67)
În regim staţionar şi cvasistaţionar, suma algebrică a solenaţiilor
care înlănţuie laturile fără dispersie magnetică ale oricărui ochi de
circuit magnetic, este egală cu suma algebrică a produselor reluctan-
ţelor magnetice ale laturilor prin fluxurile magnetice fasciculare care
trec prin ele (adică cu suma căderilor de tensiune magnetică).
3.3. Tensiunea magnetică între două puncte (calculată prin aer).
Se calculează tensiunea
magnetomotoare în lungul
ochiului Γ (figura 1.14), format
din laturile reţelei între două
noduri „A” şi „B” şi închizându-
se prin aer.
φfk Γ
UmAB
θk
A B
Fig. 1.14. Explicativă pentru calculul tensiunii magnetice prin aer.
43
mABfkBA
mkBA
k UR −φ=θ ∑∑→→
,
sau:
( )∑→
θ−φ=BA
kfkmkmAB RU . (1.68)
Analogia dintre teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice
şi cele pentru circuite electrice, permite să se stabilească, în teoria
reţelelor magnetice, teoreme corespunzătoare celor din teoria reţelelor
electrice de curent continuu, dar numai în cazul circuitelor magnetice
liniare – µ = ct., (circuite magnetice nesaturate şi ale căror laturi nu
prezintă dispersie): teorema superpoziţiei, teorema fluxurilor de
ochiuri, etc.
3.4. Teoremele reluctanţelor echivalente
Reluctanţa echivalentă a unei porţiuni de circuit magnetic cu
două „borne” de acces (două extremităţi de circuit) şi fără solenaţii pe
laturi, este egală cu raportul dintre tensiunea magnetică aplicată între
cele două „borne” şi fluxul fascicular care intră printr-o „bornă” şi
iese prin cealaltă:
f
mme
UR
φ= . (1.69)
A) Circuitul magnetic are „n” laturi în serie (figura 1.15).
Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, obţinem:
∑∑∑===
φ=φ==3
1kmkff
3
1kmk
3
1kmkm RRUU .
44
În concluzie,
∑=
=φ
=3
1kmk
f
mme RUR .
Observaţie: s-a ţinut cont
de faptul că fluxul este acelaşi
prin cele trei reluctanţe.
Prin generalizare, se obţine:
∑=
=n
1kmkme RR . (1.70)
Reluctanţa echivalentă a mai multor laturi conectate în serie,
străbătute de acelaşi flux, este egală cu suma reluctanţelor laturilor.
B) Circuitul magnetic are „n” laturi în paralel (figura 1.16).
Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff, obţinem:
φf
A B
φf1
Rm1 φf2
Rm2 φf3
Rm3
Rm1
φf
B A
φf1
φf2
φf3
Rm2
Rm3 ⇔
Fig. 1.16. Reluctanţe conectate în paralel.
A B
φf
Rm1 Rm2 Rm3
A B
φf Rm1 Rm2 Rm3
Um1 Um2 Um3
Um
Fig. 1.15. Reluctanţe în serie.
45
∑∑∑===
==φ=φ3
1k mkm
3
1k mk
m3
1kfkf R
1URU ;
deci,
∑=
=3
1k mkme R1
R1 .
Observaţie: tensiunea magnetică este aceeaşi la bornele tuturor
laturilor.
Prin generalizare, se obţine:
∑=
=n
1k mkme R1
R1 ; sau, ∑
=
Λ=Λn
1kke . (1.71)
Inversul reluctanţei echivalente a mai multor laturi conectate în
paralel, cărora li se aplică aceeaşi tensiune magnetică, este egal cu
suma inverselor reluctanţelor acestor laturi.
46
4. REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL.
4.1. Mărimi variabile, mărimi periodice, terminologie.
Mărime variabilă – este acea mărime care ia valori diferite la
momente diferite, f(t).
Valoare instantanee – este valoarea pe care o mărime variabilă o
are într-un moment oarecare, t şi se notează cu litera mică a simbolului
stabilit prin convenţie, pentru mărimea respectivă.
Mărime periodică – mărimea variabilă a cărei succesiune de
valori se reproduce în aceeaşi ordine, după trecerea unor intervale de
timp egale (figura 1.17).
Fig. 1.17. Explicativă pentru mărimile periodice.
Valoarea instantanee a unei mărimi periodice e o funcţie
periodică de timp u(t) care, prin definiţie, satisface condiţia: u(t) ≡ u(t +
k·T), pentru orice t şi k∈Z. T este o constantă, numită perioadă şi este
Umax
UVV
Umin
T
t1+T t1 0
u
t
47
egală cu cel mai mic interval de timp, după care se reproduc, în aceeaşi
ordine, caracteristicile fenomenului periodic.
Frecvenţa reprezintă numărul de perioade cuprinse în unitatea de
timp:
f = 1/T [Hz]. (1.72)
Produsul frecvenţei prin 2π se numeşte pulsaţie sau frecvenţă
unghiulară, ω, a mărimii periodice:
ω = 2лf [rad/sec]. (1.73)
Relaţiile dintre frecvenţă, pulsaţie şi perioadă:
f = 1/T = ω/2л; ω = 2л/T; ω∙T = 2л.
4.2. Valori caracteristice ale mărimilor periodice
a) Valoarea instantanee.
b) Valoarea de vârf (maximă): cea mai mare valoare instantanee
atinsă de o mărime periodică în decursul unei perioade; notaţie: Umax
sau Û.
c) Valoarea minimă: cea mai mică valoare instantanee atinsă de o
mărime periodică în decursul unei perioade; notaţie: Umin.
d) Valoarea vârf la vârf:
Uvv = Umax – Umin . (1.74)
e) Valoarea medie: media aritmetică a valorilor instantanee ale
mărimii, considerată pe intervalul unei perioade; notaţii: Umed, Uo, ū.
( )∫+
=Tt
tmed1
1
dttuT1U . (1.75)
48
f) Valoarea efectivă (eficace): media pătratică a valorilor
mărimii, pe intervalul unei perioade; notaţii: U, Uef.
( )∫+
⋅=Tt
t
21
1
dttuT1U > 0. (1.76)
Sens fizic: valoarea efectivă a unui curent, e numeric egală cu
valoarea intensităţii unui curent continuu care, străbătând aceeaşi
rezistenţă ca şi curentul periodic, produce aceeaşi dezvoltare de căldură
în timp de o perioadă.
4.3. Clasificarea mărimilor periodice
a) Mărimi alternative: sunt mărimile periodice ale căror valori
medii, în decursul unei perioade, sunt nule (figura 1.18).
Fig. 1.18. Mărime alternativă.
( ) ( ) 0AAT1dttu
T1U
Tt
tmed
1
1
=−== −++
∫ .
„A+ ” şi „A−” sunt modulele integralei funcţiei u pe alternanţa pozitivă
(u > 0), respectiv pe cea negativă (u < 0).
+ +
- -
u
t
T t1
0
49
Întrucât valoarea medie pe o perioadă este nulă, se defineşte
valoarea medie pe o semiperioadă:
( )∫+
=2Tt
t2Tmed
1
1
dttu
2T1U . (1.77)
Se definesc:
− factorul de formă:
( )
( )∫
∫+
+
==2Tt
t
Tt
t
2
2Tmed
eff
1
1
1
1
dttuT2
dttuT1
UUk ; (1.78)
− factorul de vârf:
ef
maxv U
Uk = . (1.79)
b) Mărimi pulsatorii: mărimi periodice pentru care 0Umed ≠ , pe
o perioadă (figura 1.19).
Fig. 1.19. Mărimi pulsatorii.
u
t 0
u
t 0
50
4.4. Mărimi sinusoidale
Se numeşte mărime sinusoidală (armonică), o mărime alternativă
a cărei expresie, ca funcţie de timp, poate fi scrisă sub forma „în sinus”:
( ) ( )γω +⋅= tUtu sinmax ; (1.80)
în care, Umax > 0, ω > 0, γ, pozitiv sau negativ, sunt parametri
constanţi, caracteristici mărimii: amplitudine, pulsaţie şi faza iniţială.
Amplitudinea este modulul valori maxime a mărimii sinusoidale.
Faza este argumentul, dependent liniar de timp, al sinusului:
(ωt + γ).
Faza se exprimă întotdeauna în radiani.
Faza iniţială reprezintă valoarea fazei, γ, în momentul t = 0. De
obicei, γ se aduce în intervalul [-π, π ].
Reprezentările grafice ale mărimilor sinusoidale sunt prezentate
în figura 1.20.
Fig. 1.20. Reprezentări grafice ale mărimilor sinusoidale.
A) Calculul valorilor caracteristice
Se consideră o mărime sinusoidală cu faza iniţială nulă:
ωt γ
t 0 0
u(t)
T
u(ωt)
ωT = 2π ωγ
Umax Umax
51
u(t) = Umax⋅sinωt
a) Valoarea medie pe o semiperioadă.
( ) maxπ0max
π
0maxmed U
π2cosωoU
π1ωtdsinωiU
π1U =⋅−=⋅⋅= ∫ . (1.81)
b) Valoarea efectivă.
( ) =ω⋅ω⋅
π= ∫
π2
0
22max tdtsinU
21U
( ) ( ) .2
Uωtdcos2ωo121U
2π1 max
2π
0
2max =−= ∫ (1.82)
c) Factorul de formă.
1,1122
π
Uπ2
2U
UUk
max
max
med
eff ≅=== . (1.83)
d) Factorul de vârf.
1,412
2UU
UUk
max
max
ef
maxv ≅=== . (1.84)
e) Expresia mărimii sinusoidale în funcţie de valoarea efectivă:
( ) ( )γωtsin2Utu +⋅⋅= . (1.85)
Relaţia (1.85) se numeşte expresie normală în sinus.
B) Relaţii de fază
Se numeşte defazaj între două mărimi sinusoidale, considerate
într-o ordine dată, diferenţa fazelor lor, în această ordine.
52
Considerând două mărimi sinusoidale cu frecvenţe (pulsaţii)
egale,
( )( )
γ+ω⋅=
γ+ω⋅=
222
111
tsinU2u
tsinU2u
,
se observă că defazajul celor două mărimi este egal cu diferenţa fazelor
lor iniţiale (figura 1.21):
( ) ( ) 212112 tt γ−γ=γ+ω−γ+ω=ϕ . (1.86)
Fig. 1.21. Explicativă pentru defazajul dintre două mărimi sinusoidale.
Se definesc următoarele relaţii de fază:
a) ϕ12 = γ1 - γ2 > 0 ⇒ u1 este defazată înaintea lui u2;
b) ϕ12 = γ1 - γ2 < 0 ⇒ u1 este defazată în urma lui u2;
c) γ1 = γ2, ⇒ ϕ12 = 0 ⇒ u1 şi u2 sunt în fază;
d) ϕ12 = γ1 - γ2 = 2π
± ⇒ u1 şi u2 sunt în cuadratură;
e) ϕ12 = γ1 - γ2 = ± π ⇒ u1 şi u2 sunt în opoziţie.
Observaţii.
1. Dacă mărimea u1 e înaintea mărimii u2 cu defazajul ϕ12,
atunci mărimea u2 e în urma mărimii u1 cu defazajul ϕ12.
0 ωt
u2 u1
ϕ12
γ1
γ2
u
53
2. Deoarece fazele sunt determinate până la un termen aditiv,
multiplu arbitrar de 2π şi defazajul e determinat până la un asemenea
termen. De aceea, dacă nu se introduce o restricţie suplimentară,
relaţiile de fază înainte şi în urmă nu au o interpretare unică. Pentru a
evita o exprimare ambiguă, defazajul se reduce întotdeauna la
intervalul [- π, π], adăugând sau scăzând un multiplu de 2π în relaţia
(1.86). Cu această precizare, relaţia de definiţie a defazajului devine:
ϕ12 = γ1 – γ2 + 2π⋅n, iar ϕ12 ∈ [- π; π]. (1.87)
4.5. Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale
A) Reprezentări geometrice
O funcţie sinusoidală de timp, de frecvenţă dată, e complet carac-
terizată de două valori scalare:
− amplitudinea sau valoarea efectivă – număr pozitiv;
− faza iniţială – unghi.
Un vector liber în plan, e complet caracterizat de două valori
reale:
− modulul – număr pozitiv;
− unghiul făcut de orientarea lui cu o axă de referinţă, numit
argumentul său – unghi.
Se numeşte vector liber, un vector al cărui punct de aplicaţie e
arbitrar, astfel încât reprezintă mulţimea tuturor vectorilor omoparaleli
şi de aceeaşi mărime cu el (echipolenţi cu el), având diferite puncte de
aplicaţie.
54
Se poate deci asocia, fără restricţie, fiecărei mărimi sinusoidale
dintr-o specie dată (curent, tensiune, etc.), un vector liber în plan şi
reciproc, această asociere fiind biunivocă:
( ) ( ) uFγωtsin2Utu ↔+⋅= .
Relaţiilor analitice dintre mărimile sinusoidale le vor corespunde
relaţii geometrice între vectorii corespunzători, relaţii care sunt mai
intuitive şi mai uşor de explicitat.
Vectorii reprezentativi Fu sunt numiţi fazori pentru a se preciza
distincţia faţă de mărimile fizice vectoriale definite în spaţiul fizic,
tridimensional.
Se obţin astfel reprezentările analitice – sau în complex – ale
mărimilor sinusoidale:
( ) ( ) uCγωtsin2Utu ↔+⋅= ,
în care fiecărei funcţii sinusoidale de timp u îi corespunde o mărime
complexă, C u.
B) Reprezentarea în complex simplificată
Această reprezentare poate fi utilizată numai când toate mărimile
sinusoidale au aceeaşi frecvenţă.
În reprezentarea în complex simplificată, imaginea în complex a
mărimii u este un număr complex constant, având modulul egal cu
valoarea efectivă a mărimi sinusoidale şi argumentul egal cu faza
iniţială:
( ) ( ) jγeUUγωtsin2Utu ⋅=↔+⋅= , (1.88)
55
unde 1−=j , este unitatea imaginară, iar U = C u.
C) Teoremele reprezentării in complex
1. Teorema de liniaritate.
∑ ∑∑= ==
⋅=⋅=
⋅
n
1k
n
1kkkkk
n
1kkk UauCauaC . (1.89)
Imaginea în complex a unei expresii liniare de mărimi sinusoidale
este o expresie liniară de mărimi complexe.
2. Teorema derivatei.
UjωujωωdtduC ==
. (1.90)
Demonstraţie:
( )γωtsin2Uu +⋅=
( )
++⋅=+⋅⋅=
2πγωtsin2ωUγωtcosω2U
dtdu
UjωeUeωeUωdtduC
U
jγ
j
2πj
2πγj
⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=
+
3. Teorema integralei.
( ) Ujω1dttuC =∫ (1.91)
Demonstraţie:
( )γωtsin2Uu +⋅=
( ) ( ) ( )
++−=
=+−=+= ∫∫
2πγωtsin2U
ω1
γωtcosω12Udtγωtsin2Udttu
56
( ) Ujω1U
ωjeUe
ω1eU
ω1dttuC
U
jγ
j
2πj
2πγj
=−=⋅⋅−=⋅−=
+
∫ .
4.6. Reprezentarea fazorială a mărimilor sinusoidale
Se aleg în mod convenţional, în plan:
− o axă origine a fazelor (unghiurilor);
− un sens pozitiv pentru măsurarea unghiurilor → sensul trigo-
nometric.
Convenţia de reprezentare.
1. Lungimea fazorului este ega-
lă cu valoarea efectivă a mărimii
sinusoidale (la o anumită scară).
2. Unghiul măsurat de la axa
origine la direcţia fazorului, în
sens pozitiv (trigonometric), este faza iniţială a mărimii sinusoidale.
Reprezentarea prin fazori, pe aceeaşi figură, a tuturor mărimilor
electrice (tensiuni şi curenţi) dintr-un circuit (reţea) constituie diagra-
ma fazorială a circuitului respectiv.
De regulă, în diagrama fazorială nu se mai reprezintă axa origine a
fazelor, alegându-se ca origine a fazelor direcţia unuia dintre fazorii
respectivi.
U
γ
U
+ Axa origine
de fază Fig. 1.22. Fazorul unei mărimi
sinusoidale.
57
5. PUTERI ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
5.1. Puterea instantanee
Facem referire la un dipol electric, adică o reţea electrică cu două
borne de acces. Puterea instantanee la bornele acestuia, în regim
variabil, este dată de relaţia:
p(t) = u(t)⋅i(t). (1.92)
Această putere este primită, respectiv cedată, de la reţeaua
exterioară, după modul de asociere a sensurilor tensiunii la borne u şi
curentului i, respectiv dacă aceasta se face după regula de la receptoare,
sau de la generatoare.
Regulile de asociere a sensurilor tensiunii la borne şi curentului
sunt reamintite în figura 1.23.
În regim sinusoidal, pentru tensiunea la borne şi curent avem
următoarele expresii:
( ) ( )
( ) ( )
+⋅=
+⋅=
2
1
γωtsin2Iti
γωtsin2Utu.
Înlocuindu-le în relaţia (1.92), obţinem:
Dipol electric
Dipol electric
Dipol electric
Dipol electric
i i
ub ub ub ub
i i
a) b) Fig. 1.23. Reguli pentru asocierea sensurilor tensiune – curent: a) convenţia de la receptoare; b) convenţia de la generatoare.
58
p = 2⋅U⋅I⋅sin(ωt + γ1)⋅sin(ωt + γ2) = U⋅I⋅cos(γ1 – γ2) –
– U⋅I⋅cos(2ωt + γ1 + γ2);
p = U⋅I⋅cosϕ – U⋅I⋅cos(2ωt + γ1 + γ2). (1.93)
S-a ţinut cont de faptul că 2sinα⋅sinβ = cos(α – β) – cos(α + β) şi s-a
notat γ1 – γ2 = ϕ.
Prin urmare, puterea instantanee la bornele unui dipol este o
mărime periodică, având o componentă constantă, numită putere activă
şi o componentă de frecvenţă dublă, numită putere oscilantă.
5.2. Puterea activă
Se numeşte putere activă şi se notează cu P, valoarea medie a
puterii instantanee p, luată pe un număr întreg de perioade:
( )∫==nT
0
dttpnT1pP . (1.94)
Înlocuind p din relaţia (1.93) obţinem:
( ) =++−= ∫∫nT
021
nT
0
dtγγ2ωωIcosUnT1dtIcosU
nT1P ϕ
( ) IUγγsinγγ2ωωnsin4πT
nT1IcosU
0
21214ππ
⋅
+−
++−=
ϕ ;
P = U ⋅I⋅cosϕ. (1.95)
Puterea activă a unui dipol electric, în regim sinusoidal, este
egală cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii şi curentului,
multiplicat cu cosinusul unghiului de defazaj dintre acestea.
59
Puterea activă, ca şi puterea instantanee, se măsoară în [W].
Pe un interval arbitrar de timp τ, se observă că puterea medie p
are valori apropiate de puterea activă, cu abateri de ordinul τT , fiind
practic egală cu aceasta dacă τ >> T:
( ) ( ) ( )[ ]2121
P
τ
0τ γγsinγγ2ωωsin
4πT
τ1IcosUτ
τ1dttp
τ1p +−++−⋅== ∫
ϕ .
Condiţia τ >> T este întotdeauna realizată în practică, deoarece
intervalele τ cele mai mici, în care se apreciază puterea medie, sunt de
ordinul secundelor şi cuprind sute de perioade la frecvenţa de 50 Hz.
Observaţii.
1. Relaţia generală de definiţie a puterii active (1.94) este
valabilă şi în regim periodic nesinusoidal.
2. Relaţia (1.95) este relaţia de calcul a puterii active în regim
sinusoidal pentru o reţea cu două borne, deci în monofazat.
3. Expresia (1.93) a puterii instantanee arată că aceasta oscilează
cu frecvenţa unghiulară 2ω, în jurul valorii ei medii, care e puterea ac-
tivă (figura 1.24).
ωt
p
u
u, i
i
p = u·i
U⋅I⋅cosφ = P
+ + + +
- - -
Fig. 1.24. Variaţia puterii instantanee.
60
Chiar dacă circuitul e un receptor pasiv, adică P > 0, există
momente în decursul unei perioade când puterea instantanee primită
devine negativă, fiind de fapt cedată spre exterior.
5.3. Puterea aparentă. Factorul de putere.
Se numeşte putere aparentă a unui dipol electric şi se notează cu
S mărimea definită de produsul pozitiv al valorilor efective ale
tensiunii şi curentului:
2
maxmax IUIUS ⋅=⋅= > 0. (1.96)
Unitatea de măsură a puterii aparente este [VA].
Puterea aparentă este o putere calculată „ca în curent continuu”,
fără a lua în considerare influenţa defazajului. Fără a avea o semni-
ficaţie energetică nemijlocită, ca puterea activă, puterea aparentă este
importantă deoarece, reprezintă valoarea maximă a puterii active, la
valori efective invariabile ale tensiunii şi curentului şi defazaj variabil.
Deoarece maşinile şi aparatele electrice sunt caracterizate prin
valori maxime admisibile ale curentului şi tensiunii, puterea aparentă
caracterizează limitele lor de funcţionare şi este indicată, de obicei, pe
plăcuţa de fabricaţie respectivă.
Factorul de putere.
Se numeşte factor de putere, raportul pozitiv şi subunitar dintre
puterea activă şi cea aparentă:
61
01 ≥=≥SPk p . (1.97)
În regim sinusoidal monofazat, cu relaţiile (1.95) şi (1.96), rezultă
pentru factorul de putere următoarea expresie:
.coskIU
cosIUk pp ϕϕ=⇒
⋅⋅⋅
= (1.98)
Pentru ca o anumită instalaţie, de putere aparentă dată, să funcţi-
oneze cu eficienţă maximă, deci cu maximum de putere activă, factorul
de putere corespunzător trebuie să fie cât mai mare (cât mai aproape de
unitate), adică defazajul să fie cât mai mic. De aici rezultă una dintre
problemele tehnico – economice cele mai importante ale exploatării cât
mai eficiente a energiei electrice şi anume, problema ameliorării
factorului de putere.
5.4. Puterea reactivă
Se numeşte putere reactivă a unui dipol electric, Q, mărimea
definită de produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului,
multipli-cat cu sinusul unghiului de defazaj dintre acestea:
ϕϕ sin2
sin maxmax IUIUQ ⋅=⋅⋅=
>< 0. (1.99)
Puterea reactivă se măsoară în [var] (volt – amper – reactiv).
Puterea reactivă primită de un dipol pasiv este pozitivă pentru
circuitele inductive, negativă pentru cele capacitive şi nulă pentru
circuitele rezistive.
62
Între puterea aparentă, puterea activă şi puterea reactivă se poate
pune în evidenţă relaţia:
222 SQP =+ , (1.100)
deoarece,
( ) ( ) ( ) ( )
1
2222222 sincosIUsinIUcosIU ϕϕϕϕ +⋅=⋅+⋅ .
Relaţia (1.100) sugerează aşa numitul „triunghi al puterilor”,
valorile celor trei puteri fiind, întotdeauna, numere pitagorice (figura
1.25).
Observaţii.
1. Puterea reactivă a fost intro-
dusă pe baza relaţiei de definiţie
(1.99), construită prin analogie cu
expresia (1.95) a puterii active. Spre
deosebire de puterea activă, puterea reactivă nu are interpretarea
energetică simplă a acesteia, adică nu corespunde unui aport mediu de
energie pe la borne. Puterea reactivă reprezintă o măsură a
necompensării schimburilor interioare de energie între câmpul
magnetic şi cel electric.
2. Factorul de putere poate fi scris în funcţie de Q:
2
222
p SQ1
SQS
SPk −=
−== , (1.101)
de unde rezultă că problema ameliorării factorului de putere este
echivalentă cu problema reducerii puterii reactive.
P
S=U⋅I Q ϕ
Fig. 1.25. Triunghiul puterilor.
63
6. APLICAŢII TEORETICE
6.1. Probleme rezolvate
1) Se dă circuitul din figură. Dimensiunile sale sunt: b = 15 cm
şi a = 10 cm, secţiunea miezului magnetic are arie constantă A = 10
cm2; δ = 0,5 cm; permeabilitatea materialului este μFe = 2 000μ0. Se
cunoaşte intensitatea câmpului magnetic în prima coloană, H1 = 4 A/m,
produs de bobina respectivă. Se cere să se calculeze intensităţile
câmpului magnetic în celelalte coloane şi în întrefier. Să se calculeze
fluxurile magnetice în cele trei coloane şi tensiunea magnetică între
punctele A şi B. Se consideră că liniile de câmp ale inducţiei magnetice
se închid numai prin materialul magnetic şi întrefier.
Rezolvare:
Analogia dintre circuitele electrice şi magnetice permite
rezolvarea cu uşurinţă a problemei. În figura 1.26.b este reprezentat
circuitul electric echivalent, în care:
B
A
H1 H2
H3
H0
δ
b
a
a
A
B
R1 R2 R1
R3
R0
Φ1 Φ2
Φ3
F
a) b)
64
F = w∙i, reprezintă tensiunea magnetomotoare a bobinei (egală la
rândul ei cu solenaţia w·i a bobinei);
R0, R1, R2, R3, – reluctanţele diferitelor porţiuni ale circuitului
magnetic,
μAδR;
μAb2a
μAδb2aR
μAbR;
μAb2aR 0321 =
+≈
−+==
+= ;
Φ1, Φ2, Φ3 – fluxurile prin cele trei coloane.
Fluxul Φ1 este cunoscut:
AHμΦ 11 ⋅⋅=
Acest flux se va divide prin coloanele 2 şi 3, invers proporţional
cu reluctanţele R2 şi R3 + R0 ale acestor coloane, deoarece, tensiunea
magnetică UmAB este aceeaşi, calculată fiind, fie pe drumul oferit de
coloana 2, fie pe cel oferit de coloana 3:
032
213
032
0312 RRR
RΦΦ;RRR
RRΦΦ++
=++
+=
Din aceste ultime expresii rezultă intensităţile câmpului magnetic
în coloane şi în întrefier:
;μAΦH;
μAΦH;
μAΦH 3
03
`32
2 ===
precum şi tensiunea magnetică, între punctele A şi B:
22mAB ΦRU = .
Numeric:
Φ1 = µH1A = 1,005 10-3 Wb;
Φ2 = 0,905 10-3 Wb;
Φ3 = 0,100 10-3 Wb;
65
H2 = 360 A/m;
H3 = 40 A/m;
H0 = 7,96 104 A/m;
UmAB = R2Φ2 = 54 A.
2) Să se calculeze valoarea curentului i4, din figura alăturată,
ştiind că:
.2πt100πcos2i
;4πt100πcos22i
;4πt100πsin22i
3
2
1
−=
−=
+=
Rezolvare:
2314 IIII −+= , conform primei teoreme a lui Kirchhoff.
( )
( )
( ).t100πsin2i
1;2j212j2I
;2j24πjsin
4πcos2I
;1jsin0cos0I
;100π0sin22π
2πt100πsin2i
;2j24πjsin
4πcos2I
;4π100π0sin22
2π
4πt100πsin22i
4
4
1
3
3
2
2
=
=−−++=
+=
+=
=+=
=
+−=
+=
+
=
+=
+−=
i1
i2
i3 i4
66
3) Să se determine tensiunea u1, din figură ştiind că:
.3πt100πcos22u
;3πt100πsinu
;6πt100πsin22u
4
2
3
−=
−=
+=
Rezolvare:
Conform celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff, se obţine:
;26j
22
3πjsin
3πcos2U
;j36πjsin
6πcos2U
;6π100π0sin22
2π
3π100π0sin22u
;j36πjsin
6πcos2U
;UUUU
2
4
4
3
4231
−=
−+
−=
+=
+⋅=
+=
+−=
+=
+⋅=
−−=
( )
.3πt100πsin22u
;3π3arctg
;231
;3j1223j3
23
23j
21U
1
221
1
+=
==
=+=
+=++−−=
ϕ
U
u4
u3
u1
u2
67
4) Să se calculeze rezistenţa echivalentă între punctele:
a) A − B;
b) D − E;
c) B − E;
d) C − F.
Rezolvare:
Se observă că punctele A, F, E, respectiv B, C, D, sunt puncte de
acelaşi potenţial. În consecinţă, circuitul poate fi echivalat cu
următoarea schemă:
Se calculează rezistenţele echivalente:
R
R
R R
R
R
R
R
R
A
B
C D
E
F
Re1
Re1 R
R
R B,C,D A,E,F
Re2
Re2
R B,C,D A,E,F
68
52RR
2R5
R1
2R3
R1
4R3
4R3
R1
34R
3RRRRR
3RR
R1
R1
R1
R1
EE
e1e2
e1e1
=⇒=+=++=
=+=+=
=⇒++=
5) Se conectează în serie 100 de becuri având puterea de 1 W şi
tensiunea nominală de 2 V. Să se calculeze tensiunea pe care trebuie să
o furnizeze redresorul care le alimentează şi puterea pe care o absoarbe
acesta de la reţea, dacă randamentul său este de 80%.
Rezolvare:
Rezistenţa celor 100 de becuri: Ω.4004100R
;4Ω14
PUR
t
2
b
=⋅=
===
U = 2·100 = 200 V − tensiunea pe cele 100 de becuri legate în
serie.
Curentul pe care trebuie să-l debiteze redresorul:
A0,5400200
RUI
t
=== ; (valoarea curentului prin becuri).
.W1250,8100
ηPP
;W1000,5200IUP
R1
R
===
=⋅=⋅=
PR, – puterea necesară alimentării becurilor;
P1, – puterea absorbită de redresor, de la reţea.
69
6) Să se efectueze
bilanţul puterilor pentru
circuitul din figura alătu-
rată, ştiind că:
B1 ≡ B2: 24 W / 12 V; B3 ≡ B4: 48 W / 12 V; E1 = 16 V; r1 = 1 Ω; E2 =
12 V; r2 = 0,5 Ω.
Rezolvare:
a) Rezistenţele becurilor din circuit:
.Ω348
144P
URR
;Ω624
144P
URR
;RIRUIUP
2
43
2
21
22
====
====
==⋅=
b) Rezistenţa echivalentă a becurilor, conectate în paralel:
;1R2
R2
R1
31e
=+=
Ω1R e = .
Pentru a afla valorile curenţilor din laturile circuitului echivalent,
obţinut, se aplică teoremele lui Kirchhoff (I1, I2, I3):
E1 E2
r1 r2 R2 r1
E1 E2
r2 R R1
B2 B1
E1 E2
r1 r2 B3 B4
70
231
3e222
3e111
III0IRIrE
IRIrE
+−=⋅+⋅=
⋅+⋅=
Rezolvarea sistemului conduce la următoarele valori:
I1 = 6 A
I2 = 4 A
I3 = 10 A
c) Bilanţul puterilor:
23e
222
2112211 IRIrIrIEIE ++=+
W.144W144 =
6.2. Probleme propuse
1) Să se calculeze rezistenţa echivalentă a circuitului din figură,
între bornele:
a) A − D;
b) A − C;
c) F − C.
2) Un redresor încarcă doi
acumulatori de 12 V, având
capacitatea de 55 Ah, respectiv 45 Ah.
Se recomandă ca valoarea curentului
de încărcare să fie 10% din capacitatea
RL
E2 E
E1
R
R
R R R
R R A B
D E
G C F
R
71
acumulatorului. Cât trebuie să fie rezistenţa de limitare a curentului,
dacă redresorul furnizează 17 V ?
3) Să se calculeze curenţii din laturi şi să se realizeze bilanţul
puterilor, pentru circuitele din figurile următoare, dacă: R1 = R2 = R3 =
1 Ω; E1 = 2 V; E2 = 4 V.
4) Să se determine valoarea
standardizată a siguranţei S, necesară în
circuitul din figură, dacă, E1 = 16 V, r1 =
1 Ω, E2 = 12 V, r2 = 0, 5 Ω, în situaţiile în
care, între bornele A − B ale circuitului,
se conectează consumatorii din figurile a), b), c) şi d).
E2 E1 R2
R1
R3
E1
E2
R2 R1 R3
E2
E1
R2 R1 R3
E1
R1
E2
R2 R3
E1
S
r1
E2
r2
A
B
72
a) b)
c) d)
3Ω
0,5Ω
3Ω 1Ω
1Ω
A
B
3Ω
2Ω
3Ω
2Ω 2Ω
A
B
3
1Ω
3 4Ω 4Ω 2Ω 2Ω
A
B
2Ω
0,75Ω
0,75Ω
1Ω 1Ω
A
B