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NUMEROS REAIS
Carlos Alberto Raposo da Cunhawww.carlosraposo.com.br
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Nesta aula, faremos uma breve introducao aos numeros reais. Nossareferencia e [1]. Comecamos recordando conjuntos numericos jaconhecidos do ensino medio.
Conjunto dos numeros naturais N = {0, 1, 2, 3, · · ·}
Conjunto dos numeros inteiros Z = {···,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ···}
Conjunto dos numeros racionais
Q = { pq
: p, q ∈ Z, q 6= 0}
[1] AVILA, G. Calculo Vol 1. 7a Ed. Rio de Janeiro, LTC, 2011.
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10=
0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6
“Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100=
0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85
“Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Os numeros racionais, isto e, as fracoes podem ser representadas emforma decimal:
3
5=
3x2
5x2=
6
10= 0, 6 “Parte decimal finita”
17
20=
17x5
20x5=
85
100= 0, 85 “Parte decimal finita”
Estes numeros possuem uma propriedade emcomum:a parte decimal e finita. Isto e uma consequencia de termosconseguido introduzir fatores 2 ou 5 no denominador
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2=
0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833.....
“Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11=
0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636.....
“Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Por outro lado, se o denominador contiver algum fator primo diferente de2 e 5, a fracao, em sua forma irredutıvel tera representacao decimalperiodica:
5
6=
5
3x2= 0, 833..... “Parte decimal periodica”
3
22=
3
2x11= 0, 1363636..... “Parte decimal periodica”
Vimos assim, que as representacoes decimais das fracoes sao de doistipos apenas:“decimais finita” ou “decimais periodicas”
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NUMEROS REAIS
Existem numeros cuja representacao decimal nao e finita nem periodica ?
A resposta e sim. E facil produzir numeros com esta propriedade; porexemplo:
0, 121314151617.....
3, 1234567891011.....
Os numeros cuja representacao decimal nao e finita nem e periodica saodenoniminados numeros irracionais .
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NUMEROS REAIS
Existem numeros cuja representacao decimal nao e finita nem periodica ?A resposta e sim. E facil produzir numeros com esta propriedade; porexemplo:
0, 121314151617.....
3, 1234567891011.....
Os numeros cuja representacao decimal nao e finita nem e periodica saodenoniminados numeros irracionais .
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NUMEROS REAIS
Existem numeros cuja representacao decimal nao e finita nem periodica ?A resposta e sim. E facil produzir numeros com esta propriedade; porexemplo:
0, 121314151617.....
3, 1234567891011.....
Os numeros cuja representacao decimal nao e finita nem e periodica saodenoniminados numeros irracionais .
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 28: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/28.jpg)
NUMEROS REAIS
Existem numeros cuja representacao decimal nao e finita nem periodica ?A resposta e sim. E facil produzir numeros com esta propriedade; porexemplo:
0, 121314151617.....
3, 1234567891011.....
Os numeros cuja representacao decimal nao e finita nem e periodica saodenoniminados numeros irracionais .
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Um exemplo importante de numero irracional e obtido quando dividimoso comprimento de uma circunferencia pelo se diametro.
O resultado desta divisao e
π = 3, 14159265358979.......
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NUMEROS REAIS
Um outro numero irracional e√
2.
A demonstracao de que√
2 e irracional pode ser encontrada em [1]pagina 3.O conjunto dos numeros irracionais iremos denotar por
R−−Q.
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NUMEROS REAIS
Um outro numero irracional e√
2.
A demonstracao de que√
2 e irracional pode ser encontrada em [1]pagina 3.
O conjunto dos numeros irracionais iremos denotar por
R−−Q.
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Um outro numero irracional e√
2.
A demonstracao de que√
2 e irracional pode ser encontrada em [1]pagina 3.O conjunto dos numeros irracionais iremos denotar por
R−−Q.
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Numero real que denotaremos por R e todo numero que e
racional ou irracional.
Neste curso, sempre que falarmos em numero, sem qualquer qua-lificacao, entenderemos tratar-se de numero real.
Em geral representamos os numeros reais como pontos de uma reta.
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Numero real que denotaremos por R e todo numero que e
racional ou irracional.
Neste curso, sempre que falarmos em numero, sem qualquer qua-lificacao, entenderemos tratar-se de numero real.
Em geral representamos os numeros reais como pontos de uma reta.
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Numero real que denotaremos por R e todo numero que e
racional ou irracional.
Neste curso, sempre que falarmos em numero, sem qualquer qua-lificacao, entenderemos tratar-se de numero real.
Em geral representamos os numeros reais como pontos de uma reta.
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NUMEROS REAIS
Os intervalos sao subconjuntos de R que utilizaremos aos longo destecurso, vejamos alguns exemplos:Intervalo aberto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
Intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto na extremidade esquerda e fechado naextremidade direita: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Intervalo fechado na extremidade esquerda e aberto naextremidade direita: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Os intervalos sao subconjuntos de R que utilizaremos aos longo destecurso, vejamos alguns exemplos:Intervalo aberto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
Intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto na extremidade esquerda e fechado naextremidade direita: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Intervalo fechado na extremidade esquerda e aberto naextremidade direita: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Os intervalos sao subconjuntos de R que utilizaremos aos longo destecurso, vejamos alguns exemplos:Intervalo aberto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
Intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto na extremidade esquerda e fechado naextremidade direita: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Intervalo fechado na extremidade esquerda e aberto naextremidade direita: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Os intervalos sao subconjuntos de R que utilizaremos aos longo destecurso, vejamos alguns exemplos:Intervalo aberto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
Intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto na extremidade esquerda e fechado naextremidade direita: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Intervalo fechado na extremidade esquerda e aberto naextremidade direita: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 40: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/40.jpg)
Vejamos um exemplo de como representamos intervalos na retareal. Observe nas figuras
onde temos respectivamente
(1, 3] = {x ∈ R : 1 < x ≤ 3},
[2, 4) = {x ∈ R : 2 ≤ x < 4},
(1, 4) = {x ∈ R : 1 < x < 4},
[2, 3] = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 3}.
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![Page 41: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/41.jpg)
NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica.
Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica. Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 43: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/43.jpg)
NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica. Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
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![Page 44: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/44.jpg)
NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica. Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
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![Page 45: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/45.jpg)
NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica. Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
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NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica. Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
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NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica. Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 48: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/48.jpg)
NUMEROS REAIS
Vamos finalizar esta aula, apresentando a tecnica de obter uma fracao apartir de uma dızima periodica. Seja
x = 0, 77777....
entao10x = 7, 77777....
isto e,10x = 7 + 0, 77777....
logo temos10x = 7 + x
ou seja,10x − x = 7
e assim,9x = 7
o que resulta em
x =7
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 49: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/49.jpg)
NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo.
Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 50: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/50.jpg)
NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo. Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 51: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/51.jpg)
NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo. Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
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NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo. Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
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NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo. Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 54: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/54.jpg)
NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo. Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 55: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/55.jpg)
NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo. Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
C. A. Raposo AULA 01 Curso ofertado remotamente no perıodo emergencial (COVID19)
![Page 56: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/56.jpg)
NUMEROS REAIS
Vejamos outro exemplo. Seja
x = 1, 777777....
entao10x = 17, 777777....
isto e,10x = 17 + 0, 77777....
logo temos10x = 16 + 1 + 0, 77777
ou seja,10x = 16 + 1, 77777
e assim,10x = 16 + x
o que resulta em
x =16
9
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![Page 57: NUMEROS REAIS · 2021. 2. 6. · NUMEROS REAIS Nesta aula, faremos uma breve introdu˘c~ao aos numeros reais. Nossa refer^encia e [1]. Come˘camos recordando conjuntos num ericos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081518/61358fd30ad5d2067647749e/html5/thumbnails/57.jpg)
NUMEROS REAIS
Sejax = 0, 232323....
entao100x = 23, 232323....
isto e,100x = 23 + 0, 232323....
logo temos100x = 23 + x
ou seja,100x − x = 23
e assim,99x = 23
o que resulta em
x =23
99
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NUMEROS REAIS
Sejax = 0, 232323....
entao100x = 23, 232323....
isto e,100x = 23 + 0, 232323....
logo temos100x = 23 + x
ou seja,100x − x = 23
e assim,99x = 23
o que resulta em
x =23
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NUMEROS REAIS
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isto e,100x = 23 + 0, 232323....
logo temos100x = 23 + x
ou seja,100x − x = 23
e assim,99x = 23
o que resulta em
x =23
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NUMEROS REAIS
Sejax = 0, 232323....
entao100x = 23, 232323....
isto e,100x = 23 + 0, 232323....
logo temos100x = 23 + x
ou seja,100x − x = 23
e assim,99x = 23
o que resulta em
x =23
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NUMEROS REAIS
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isto e,100x = 23 + 0, 232323....
logo temos100x = 23 + x
ou seja,100x − x = 23
e assim,99x = 23
o que resulta em
x =23
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NUMEROS REAIS
Sejax = 0, 232323....
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isto e,100x = 23 + 0, 232323....
logo temos100x = 23 + x
ou seja,100x − x = 23
e assim,99x = 23
o que resulta em
x =23
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NUMEROS REAIS
Sejax = 0, 232323....
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isto e,100x = 23 + 0, 232323....
logo temos100x = 23 + x
ou seja,100x − x = 23
e assim,99x = 23
o que resulta em
x =23
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NUMEROS REAIS
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ou seja,1000x − x = 579
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o que resulta em
x =579
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NUMEROS REAIS
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NUMEROS REAIS
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ou seja,1000x − x = 579
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NUMEROS REAIS
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NUMEROS REAIS
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NUMEROS REAIS
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isto e,1000x = 579 + 0, 579579579....
logo temos1000x = 579 + x
ou seja,1000x − x = 579
e assim,999x = 579
o que resulta em
x =579
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ATIVIDADE
Atividade:
(1) Reduza a forma de fracao ordinaria as seguintes dızimasperiodicas.
0, 090909..... 5, 212121..... 21, 454545..... 0, 123123123.....
(2) Represente na reta os seguintes intervalos de numeros reais.
(−∞,−2), (−1, 2), (1, 3], [−1, 0), [2, 4], [0,+∞)
(3) Prove que√
2 e um numero irracional.
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Proxima aula: Circunferencia.
Carlos Alberto Raposo da CunhaDepartamento de Matematica e EstatısticaUniversidade Federal de Sao Joao del-Rei
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