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PARFORPARFOR

ELEMENTOS DE MATEMÁTICAELEMENTOS DE MATEMÁTICA

Números ComplexosNúmeros Complexos

i 1

042 x42 x

4x

No conjunto dos números No conjunto dos números Reais não tem soluçãoReais não tem solução

ImagináriosImaginários

14 x14 xix 2


NN ZZ QQII

RR

CC


biabaz , biaz Rba ,

Forma algébricaForma algébrica

ab

realparte imagináriaparte

0 0 bea0b

puroimaginário puroreal

iz 2 2z


10 iPotências de Potências de ii

?39 i

39

339 ii

ii 1

1122 i

iiiii 123

Para expoentes maior ou igual a 4, Para expoentes maior ou igual a 4, dividimos o expoente por 4 e dividimos o expoente por 4 e utilizamos o resto da divisão.utilizamos o resto da divisão.

493

ii 39


biaz

Igualdade de números complexosIgualdade de números complexos

dicw

wz ca dbe


biaz Conjugado de um número complexoConjugado de um número complexo

biaz iz 34 iz 34

Oposto de um número complexoOposto de um número complexo

biaz biaz

iz 34 iz 34


biaz Simétrico de um número complexoSimétrico de um número complexo

biasz

iz 34 isz 34

Módulo de um número complexoMódulo de um número complexo22 baz z

222bazz

Norma de um número Norma de um número complexo.complexo.


biaz

Operações com números complexos Operações com números complexos (FORMA ALGÉBRICA)(FORMA ALGÉBRICA)

dicw

AdiçãoAdição

++

idbcawz dicbiawz


iz 42


iw 83

AdiçãoAdição

++

iwz 41

iiwz 8342


zwwz


twztwz

Propriedades da SomaPropriedades da Soma

wzwz zzz 00

0 zz

Comutativa Comutativa

Associativa Associativa

Elemento neutroElemento neutro


iz 42


iw 83

SubtraçãoSubtração

– –

iwz 125

wzwz


iz 42


iw 83MultiplicaçãoMultiplicação

23212166 iiiwz

iiwz 8342

iwz 2826


zwwz


twztwz

Propriedades da multiplicaçãoPropriedades da multiplicação

wzwz

tzwztwz zzz 11

Comutativa Comutativa

Associativa Associativa

DistributivaDistributiva

Elemento neutroElemento neutro


22 bazz


Observação.:Observação.:

12 i

biabiazz

22 biazz 222 ibazz


iz 42


iw 83DivisãoDivisão

÷÷

i

i

i

i

w

z

83

83

83

42

w

w

w

z

w

z


iz 42



÷÷

ii

ii

w

z

8383

8342

w

w

w

z

w

z


iz 42



÷÷

2

2

6424249

3212166

iii

iii

w

z

w

w

w

z

w

z


iz 42



÷÷

73

438 i

w

z

w

w

w

z

w

z


iz 42



÷÷

73

4

73

38 i

w

z

w

w

w

z

w

z

701416 2

70162 yy

280256 24

16 yx 70yxyx 16 7016 yy

070162 yy

03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.


12

2416

y

2

2416 y

070162 yy

16 yx 70yxyx 16 7016 yy

2

6216 iy

iy 68


16 yx 70yxyx 16 7016 yy

iy 68

iy 681 iy 682

ix 68161

ix 681 ix 682

ix 68162

i 68

i 68ee

04) Determine x e y para que o numero complexo 04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (yz = (x + 6) – (y2 2 – – 16)16)··ii seja: seja:

a) real;a) real;

162 y

0162 y 16y

4y

4y

iyxz 166 2

0

a) Imaginário puro.a) Imaginário puro.

162 y0162 y

16y4y

6x06 x

4

6

y

x

4

6

y

xouou

04) Determine x e y para que o numero complexo 04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (yz = (x + 6) – (y2 2 – – 16)16)··ii seja: seja:

iyxz 166 2

00

08) Se , calcule x e y.08) Se , calcule x e y.

62

5

y

x yyx 23

5126 yx

03 yx

yiiyxy

x263

2

5

yiiyxy

x263

2

5

1265 yx

176 yx

01763 yy

05118 yy5117 y3y

1736 x1x

09) Assinale a alternativa correta.09) Assinale a alternativa correta.

1...40 ii

mniia mn )

iii ...73

FALSOFALSO

iii ...51

1...62 ii

12842 ) iib FALSOFALSO

42

242 ii

4102

128

0128 ii

4320

12 i 10 i12842 ii

09) Assinale a alternativa correta.09) Assinale a alternativa correta.

m

m

m

n

i

i

i

i

.4 ) demúltiploémniic mn VERDADEIROVERDADEIRO

1m

n

i

i

1 mni

1...24201612840 iiiiiii

09) Assinale a alternativa correta.09) Assinale a alternativa correta.199 ) iid

FALSOFALSO1 ) 2 ie

FALSOFALSO

9

19 ii

421

19

319 ii

443

ii 1 ii 3

199 ii

12 i

15) O número complexo 15) O número complexo z = a + bi, {a,b} z = a + bi, {a,b} R R, tem módulo 10. , tem módulo 10. sabemos que sabemos que a + b = 14a + b = 14. Calcule . Calcule zz..

22 baz 10z10022 ba1022 ba

14baba 14 10014 22 bb

10028196 22 bbb 2096282 2 bb

048142 bb

;61 b 82 b

61 b6141 a

81 a

82 b8142 a

62 a

iz 681 iz 862

31) (UFSC) Se determine 31) (UFSC) Se determine

222baz

2

2

21

10

ii

iiiz

,1

102

503

i

iiiz

2z

121

10 22

i

iiiz

i

iiz

2

210 2

i

iz

2

210

i

i

i

iz

2

2

2

210

2

2

4

420

i

iiz

4

420 iz

iz 5

1252 z

262 z

35) (UFSC) Dada a expressão sendo 35) (UFSC) Dada a expressão sendo zz um um número complexo, determinenúmero complexo, determine

222baz

biabiaibiabia 22

zzizz 222z

biabiaibiabia 22222biabaibia 223

ibababia 223baa 23 bab 2

35) (UFSC) Dada a expressão sendo 35) (UFSC) Dada a expressão sendo zz

um número complexo, determineum número complexo, determine

222baz

zzizz 222z

baa 23 bab 2

024 ba

022 ba ++

0//6 a0a

02 b0b

02 z

222baz

Números ComplexosNúmeros ComplexosForma Polar ou Trigonométrica Forma Polar ou Trigonométrica

(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)

R (Real) R (Real)

Im (Imaginário) Im (Imaginário)

(a, b) = a + b(a, b) = a + bii

aa

bb

Números ComplexosNúmeros ComplexosForma Polar ou Trigonométrica Forma Polar ou Trigonométrica


R (Real) R (Real)


afixoafixo

33

22

iz 23

Números ComplexosNúmeros ComplexosMódulo de um número complexo Módulo de um número complexo


R (Real) R (Real)


(a, b)(a, b)

aa

bb

00

z

z

Números ComplexosNúmeros ComplexosMódulo de um número complexo Módulo de um número complexo


R (Real) R (Real)


(a, b)(a, b)

aa

bb

00

z

z

a

b

PitágorasPitágoras222 ba 22 ba

Números ComplexosNúmeros ComplexosArgumento de um número complexo Argumento de um número complexo


ReRe

ImIm

00

P(a, b)P(a, b)

aa

bb

a

b

TrignometriaTrignometria

b

sen

acos


(PLANO ARGAND–GAUSS)(PLANO ARGAND–GAUSS)Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-Gauss o número complexo Gauss o número complexo iz 3

ImIm 1,3

3 12 10 ReRe

1



ImIm 1,3

3 12 10 ReRe

1

2213

13 2



ImIm 1,3

3 12 10 ReRe

1

2

2

1sen

2

3cos



2

1sen

2

3cos

CosCos

SenoSeno

++––

++++

––––

––++

CosCos

SenoSeno

FF180º180º



2

1sen

2

3cos

CosCos

SenoSeno

FF180º180º

º30º180 º30º180

º150

Números ComplexosNúmeros ComplexosForma Polar ou TrigonométricaForma Polar ou Trigonométrica

b

sen

acos

biaz

senb cosa seniz cos

seniz cos

Módulo de zMódulo de z

37) (UFSC) Sendo o argumento principal do número 37) (UFSC) Sendo o argumento principal do número

complexo , então o valor de , em graus, écomplexo , então o valor de , em graus, é

22 ba

22 i

a

cos5

422 2

2

2cos

b

sen

2

2sen

º45º180 º45º180

º135 5

º135

5

º27

5

49) (Vunesp) Considerando o número complexo49) (Vunesp) Considerando o número complexo

i2

1

2

3 1i

, em que , em que , encontre o número, encontre o número

complexo complexo vv cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do argumento de .argumento de .

a

cos

2

3cos

22 ba

14

1

4

3

1

b

sen

2

1sen

º30 3v

º90v

49) (Vunesp) Considerando o número complexo49) (Vunesp) Considerando o número complexo

i2

1

2

3 1i

, em que , em que , encontre o número, encontre o número

complexo complexo vv cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do argumento de .argumento de .

º90v seniv cos

º90º90cos2 seniv

102 iv

iv 2

Números ComplexosNúmeros ComplexosOperações com números complexos na forma trigonométricaOperações com números complexos na forma trigonométrica

21212121 cos senizzMultiplicaçãoMultiplicação

DivisãoDivisão

21212

1

2

1 cos

seniz

z

PotenciaçãoPotenciação

nseninz nn cos

58) (UCMG) O produto dos três números complexos:58) (UCMG) O produto dos três números complexos: º40º40cos21 seniz

é:é:

º135º135cos32 seniz º125º125cos13 seniz

321321321321 cos senizzz

º125º135º40º125º135º40cos132321 senizzz

º300º300cos6321 senizzz

º60º60cos6321 senizzz

2

3

2

16321 izzz

58) (UCMG) O produto dos três números complexos:58) (UCMG) O produto dos três números complexos: º40º40cos21 seniz

é:é:

º135º135cos32 seniz º125º125cos13 seniz

2

3

2

16321 izzz

2

36

2

6321

izzz

izzz 333321 BB

61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de 61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de

argumento argumento , então , então é:é:n

n

zz

1*

Zn

nisennz nn cos

nseninz n cos

11

nisennz nn cos1

nseninz n cos

nsenin

nsenin

cos

cos

22cos

cos1

nsenin

nsenin

z n



n

zz

1*

Zn

22cos

cos1

nsenin

nsenin

z n

nsenin

nsenin

z n 222cos

cos1

nsenn

nsenin22cos

cos

1

cos1 nsenin

z n nsenincos



n

zz

1*

Zn

nseninzn

cos1 nseninz n cos ee

nseninnseninz

zn

n coscos1

nz

zn

n cos21

BB

61) (Acafe) Dado , o valor de61) (Acafe) Dado , o valor deé:é:

6z

66cos2

seniz

66

66cos2

66 seniz

AA

seniz cos646

0186 z

86 z

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