Download - Números complexos

TERCEIRÃO SISTEMA ANGLO DE ENSINO43

Professor:

Terc

eirã

o –

Cad

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6 –

Cód

igo

8303

7161

0

Aula 55 (pág. 44) AD TM TC









SETOR AÍNDICE-CONTROLE DE ESTUDO

SISTEMA ANGLO DE ENSINO TERCEIRÃO44

Há inúmeras situações problemáticas em que a variável ou a incógnita ocorre no expoente de uma potência. Nesses casos, a teoria dos logaritmos for-nece recursos adequados para a busca de soluções.

Em análises de crescimento populacional é comum indicar o número N de elementos de uma população no instante t pela notação N(t). Dado que, numa dada população, N(t) = 50 ⋅ 2t, obtenha t, tal que:

a) N(t) = 50

50 ⋅ 2t = 502t = 1 ∴ t = 0Resposta: 0

b) N(t) = 100

50 ⋅ 2t = 1002t = 2 ∴ t = 1Resposta: 1

c) N(t) = 141 (Dado: 2 ≈ 1,41)

50 ⋅ 2t = 14150 ⋅ 2t = 100 ⋅ 1,41

50 ⋅ 2t = 100 ⋅ 2

2t = 2 ⋅ 2

2t = 21 ⋅ 212

t = 1 + 12

Resposta: 1,5

d) N(t) = 150 (Dado: log 3 ≈ 1,58 ⋅ log 2)

50 ⋅ 2t = 150

2t = 3 ∴ t = log2 3 = log 3log 2

= 1,58

Resposta: 1,58

CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE II

TAREFA MÍNIMAFaça o exercício 23 – série 8.

TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios 22 e 26 – série 8.

Número complexo é todo aquele da forma a + bi com a ∈ e b ∈ , sendo i a unidade imaginária de-finida de tal forma que i2 = –1.

O número a chama-se parte real do complexo e é indicada por Re(z); o número b chama-se parte ima-ginária do complexo e é indicada por Im(z).

Observações1. O conjunto dos números reais é um subconjunto do

conjunto dos números complexos, isto é, ⊂ C.2. Dado o número complexo z = a + bi, temos:

a) z é um número real se e somente se b = 0.b) z é um número imaginário puro, se e somente

se, a = 0 e b ≠ 0.

55LOGARITMOS: ExERCÍCIOS

56NÚMEROS COMPLExOS (FORMA ALGÉBRICA)


1 POTêNCIAS DE i COM ExPOENTE NATURAL

Quanto às potências de i, temos:

i0 = 1i1 = ii2 = – 1i3 = i2 ⋅ i = – ii4 = i2 ⋅ i2 = 1

Sendo i a unidade imaginária, n um número in-teiro maior que 4 e r o resto da divisão de n por 4, temos:

n 4 ⇒ n = 4 ⋅ q + rr q

Daí:

in = i4q + r = i4 ⋅ q ⋅ ir = (i4)q ⋅ ir = 1q ⋅ ir = ir

ou seja: in = ir

2 OPERAçõES COM NÚMEROS COMPLExOS

As operações de adição, subtração e multipli-cação seguem as regras da álgebra, lembrando que i2 = –1.

1. Complete:a) i0 = 1

b) i1 = i

c) i2 = –1

d) i3 = i2 ⋅ i = – i

e) i4 = i2 ⋅ i2 = 1

f) i19 = i3 = – i

19 43 4

2. Calcule:a) (1 + i)2 = 12 + 2 ⋅ i + i2 = 2i

b) (1 + i)10 = [(1 + i)2]5

= (2i)5

= 25 ⋅ i5

= 32i

3. Dados os números z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – i, obtenha:a) z1 + z2 = 2 + 3i + 1 – i

= 3 + 2i

b) z1 – z2 = 2 + 3i – (1 – i) = 2 + 3i – 1 + i = 1 + 4i

c) z1 ⋅ z2 = (2 + 3i)(1 – i) = 2 – 2i + 3i – 3i2

= 2 – 2i + 3i + 3 = 5 + i

4. Sendo z1 = 1 – i e z2 = 2 + xi, x ∈ , obtenha x para que z1 ⋅ z2 seja real.

z1 ⋅ z2 = (1 – i)(2 + xi)= 2 + xi – 2i – xi2

= 2 + xi – 2i + x= (2 + x) + (x – 2)i

z1 ⋅ z2 real → x – 2 = 0∴ x = 2

5. Resolva em C a equação x2 + 9 = 0

x2 = –9 ∴ x2 = 9i2 ∴x = 3iS = {3i, –3i}

CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE III

TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 1 e 2 (até d) – série 11.



1 NÚMEROS COMPLExOS CONjUGADOS

Chama-se conjugado do número complexo z = x + yi, {x, y} ⊂ , o número indicado por z–, tal que

z– = x – yi

2 DIvISãO DE NÚMEROS COMPLExOS

Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, z2 ≠ 0, o número z quociente de z1 por z2 é indicado por

z = z1z2

(I)

Obtém-se a forma algébrica de z do seguinte modo:

a) Toma-se o conjugado de z2, isto é, z–2 = c – di.b) Multiplicam-se o numerador e o denominador de (I)

por z–2.

3 IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLExOS

a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d{a, b, c, d} ⊂

1. Calcule:

a) 2 + 3i1 + i

=

= (2 + 3i)(1 – i)(1 + i)(1 – i)

= 2 – 2i + 3i – 3i212 – i2

=

= 5 + i2

= 52

+ i2

b) i2 – i

=

= i(2 + i)(2 – i)(2 + i)

= 2i + i222 – i2

=

= –1 + 2i5

= – 15

+ 25

i

2. Determine os reais x e y tais que:2x + (y – 1)i = 8 + 3i

123

2x = 8 ∴ x = 4

y – 1 = 3 ∴ y = 4

Resposta: x = 4 e y = 4

3. Obtenha z tal que 2z + z– = 3i.

Seja z = x + yi, {x, y} ⊂ e i2 = –1Então:2 ⋅ (x + yi) + x – yi = 3i2x + 2yi + x – yi = 3i

3x + yi = 0 + 3i ⇒

123

3x = 0 ∴ x = 0

y = 3

Logo, z = 3i


TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 6 e 7 – série 11.


57NÚMEROS COMPLExOS (DIvISãO – IGUALDADE)


1 PLANO DE ARGAND-GAUSS

Vamos associar a cada número complexo z = x + yi, {a, b} ⊂ , o par ordenado (x, y). Assim, no plano de Argand-Gauss ou plano complexo, no qual o eixo das abscissas é o eixo real e o das ordenadas é o eixo imaginário, o número z = x + yi será identificado pelo ponto P(x, y), chamado afixo de z.

Re (eixo real)

Im (eixo imaginário)

0

P (afixo de z)

x

y

2 MóDULO DE UM NÚMERO COMPLExO

Chama-se módulo de um número complexo z = x + yi, {x, y} ⊂ , o número real não negativo, indi-

cado por |z|, tal que |z| = x2 + y2 , ou seja, a distân-

cia do afixo P de z até a origem zero.O módulo também será indicado pela letra grega ρ.

Re

Im

0

P

x

y

3 PROPRIEDADES DO MóDULO

Sendo z, z1 e z2 números complexos, tem-se:

a) z ⋅ z– = |z|2

b) |z1 ⋅ z2| = |z1| ⋅ |z2|

c) | z1z2 | = |

z1||z2|

(z2 ≠ 0)

d) |zn| = |z|n (n ∈ )

e) |z1 + z2| < |z1| + |z2|

1. Calcule:a) |3 + 4i| =

= 32 + 42 = 25 = 5

b) |2 – i| =

= 22 + (–1)2 = 5

c) |i| =

= |0 + i| = 02 + 12 = 1

2. Sendo z = 4 + yi, y ∈ , obtenha y tal que |z| = 5.

|z| = 5

42 + y2 = 5

16 + y2 = 25

y2 = 9

123

y = 3ouy = –3

Resposta: y = –3 ou y = 3

3. Sendo x e y variáveis reais, esboce no plano com-plexo o lugar geométrico dos afixos dos números z = x + yi tais que |z – 2| = |z|.

|x + yi – 2| = |x + yi||(x – 2) + yi| = |x + yi|

(x – 2)2 + y2 = x2 + y2

x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2

–4x + 4 = 0 ∴ x = 1

58NÚMEROS COMPLExOS (MóDULO)


Re

Im

0 1

4. Seja z um número complexo.a) Mostre que z ⋅ z– = |z|2.

Seja z = x + yi, {x, y} ⊂ e i2 = –1Temos:z ⋅ z– = (x + yi)(x – yi) = x2 – (yi)2

= x2 – y2i2

= x2 + y2

= |z|2

b) Obtenha |z|, sabendo que z– = 16z

.

z– = 16z

∴ z– ⋅ z = 16

|z|2 = 16Ou seja: |z| = 4


TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 9 e 10 – série 11.

TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios de 14 a 16 – série 11.

1 ARGUMENTO

Seja P o afixo do número z = x + yi, z ≠ 0.Ao ângulo ϕ, 0 < ϕ 2π, que o sentido positivo do

eixo real forma com a semirreta de origem zero e que contém P, denomina-se argumento de z.

Re

Im

0

P

x

y

2 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU FORMA POLAR

Dado o número complexo z = x + yi, z ≠ 0, de mó-dulo ρ e argumento ϕ, temos:

ρ = x2 + y2

cos ϕ = xρ

⇒ x = ρ ⋅ cos ϕ

sen ϕ = yρ

⇒ y = ρ ⋅ sen ϕ

Daí:

z = x + yi

z = ρ ⋅ cos ϕ + ρ ⋅ sen ϕ ⋅ i

Ou seja: z = ρ(cos ϕ + i ⋅ sen ϕ) ,

denominada forma trigonométrica ou polar do número complexo z.

59NÚMEROS COMPLExOS (FORMA TRIGONOMÉTRICA)


Exemplo:

Consideremos o número z = 1 + 3 i.Temos:

3

0 1

ρ = 12 + (3)2 = 2

cos ϕ = 12

cos ϕ = 32

14243

ϕ = π3

Portanto a forma trigonométrica de z = 1 + 3 i é:

z = 2(cos π3

+ i sen π3 )

Escreva na forma trigonométrica cada número abaixo:

a) z = 3 + i

0

1

3

ρ = (3)2 + 12 = 2

sen ϕ = 12

cos ϕ = 32

14243

ϕ = 30°

Então:z = 2 ⋅ (cos 30° + i sen 30°)

b) z = –1 + i

0

1

1

ρ = (–1)2 + 12 = 2

ϕ = 135°Então:

z = 2 (cos 135° + i sen 135°)

c) z = i

0

1

ρ = 1 e ϕ = 90°z = 1 ⋅ (cos 90° + i sen 90°)

d) z = –3

03

ρ = 3 e ϕ = 180°z = 3 ⋅ (cos 180° + i sen 180°)


CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE IIITAREFA MÍNIMAFaça o exercício 11 (a até e) – série 11.

TAREFA COMPLEMENTARFaça o exercício 11 (f até j) – série 11.Faça o exercício a seguir.

Dê a forma trigonométrica do número z = 4i1 + i

.

Resposta: z = 2 2 (cos 45° + i sen 45°)

PRODUTO DE DOIS NÚMEROS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Dados os números complexos não nulos:

z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) ez2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2),

temos que:

z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ [cos (ϕ1 + ϕ2) + i ⋅ sen (ϕ1 + ϕ2)]

Demonstração:

z1z2 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2)

z1z2 = ρ1ρ2 [cos ϕ1 cos ϕ2 + i sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 +

+ i sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2]

z1z2 = ρ1ρ2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2) +

+ i (sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 + sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1)]

z1z2 = ρ1ρ2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)] c.q.d.

Para a divisão temos:

z1z2

= ρ1ρ2

[cos (ϕ1 – ϕ2) + i sen (ϕ1 – ϕ2)]

Exemplo:

Dados: z1 = 10 ⋅ (cos π3

+ i sen π3 ) e

z2 = 2 ⋅ (cos π6

+ i sen π6 )

temos:

z1z2 = 10 ⋅ 2 ⋅ cos ( π3 + π6 ) + i sen ( π3 +

π6 )

z1z2 = 20 ⋅ cos π2

+ i sen π2

z1z2 = 20 ⋅ [0 + i]

z1z2 = 20 i

z1z2

= 102

⋅ cos ( π3 – π6 ) + i sen ( π3 –

π6 )

z1z2

= 5 ⋅ cos π6

+ i sen π6

z1z2

= 5 ⋅ 32

+ i ⋅ 12

, ou seja: z1z2

= 53

2 +

52

i

Dados um número inteiro n e um número complexo não nulo,

z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ),

temos que:

zn = ρn ⋅ [cos (nϕ) + i sen (nϕ)]

Exemplo:

Dado: z = 2 ⋅ (cos π6

+ i sen π6 ) ,

temos:

60 e 61NÚMEROS COMPLExOS (OPERAçõES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA)


z3 = 23 cos (3 ⋅ π6 ) + i sen (3 ⋅

π6 )

z3 = 8 ⋅ cos π2

+ i sen π2

z3 = 8 ⋅ [0 + i]

z3 = 8i

1. Dados os números na forma trigonométrica:z1 = 8 (cos 90° + i sen 90°)ez2 = 4 (cos 30° + i sen 30°)escreva na forma algébrica:a) z1 ⋅ z2

z1 ⋅ z2 = 8 ⋅ 4 [cos 120° + i sen 120°]

= 32 – 12

+ i 32

= –16 + 163 i

b) z1z2

z1z2

= 84

[cos 60° + i sen 60°]

= 2 12

+ i 32

= 1 + 3 i

2. Escreva na forma algébrica o número (3 + i)10.

Seja z = 3 + i

0

1

3

ρ = (3)2 + 12 = 2

cos ϕ = 32

sen ϕ = 12

14243

ϕ = 30°

z = 2 (cos 30° + i sen 30°)z10 = 210 ⋅ [cos 300° + i sen 300°]

z10 = 1.024 ⋅ 12

+ i ⋅ (– 32 )

z10 = 512 – 5123 i

3. Diz-se que um número complexo z é uma das raí-zes quadradas de um complexo w se, e somente se, z2 = w. Mostre que 2 + i e –2 – i são raízes quadradas de 3 + 4i.

Devemos mostrar que (2 + i)2 e (–2 – i)2 são iguais a 3 + 4i.

Assim,(2 + i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4ie(–2 – i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i

4. Calcule as raízes quadradas de 4i.

1o modoPassando para a forma trigonométrica temos:

4i = 4 (cos π2

+ i sen π2 )

Seja uma raiz: z = x (cos α + i sen α).

z2 = 4 (cos π2

+ i sen π2 )

x2 (cos 2α + i sen 2α) = 4 (cos π2

+ i sen π2 )

x2 = 4 ∴ x = 2 (pois x 0)e

2α = π2

+ h 2π, h ∈

∴ α = π4

+ h π, h ∈

Como 0 < a 2π, α = π4

ou α = 5π4

Assim,

z = 2 (cos π4

+ i sen π4 ) =

= 2 (22

+ i 22 ) = 2 + i 2

z = 2 (cos 5π4

+ i sen 5π4 ) =

= 2 (– 22

– i 22 ) = –2 – i 2


2o modoSeja z = x + yi, {x, y} ⊂ e i2 = –1(x + yi)2 = 4ix2 – y2 + 2xyi = 4i

14243

x2 – y2 = 0

2xy = 4 ∴ y = 2x

x2 – 4x2

= 0 ∴ x4 = 4 ∴ x = 2

Se x = 2 , então y = 22

⋅ 22

= 2

Se x = – 2 , então y = – 22

⋅ 22

= – 2

Assim,

z = 2 + i 2 ou z = – 2 – i 2

CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE IIITAREFA MÍNIMAc Aula 60

Faça o exercício 12 – série 11.

c Aula 61Faça os exercícios 15 e 17 – série 11.

TAREFA COMPLEMENTARc Aula 60

Faça o exercício 16 – série 11.

c Aula 61Faça os exercícios 19 e 20 – série 11.

Chamamos polinômio de grau n na variável x a toda expressão da forma

anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 + a1x1 + a0,

em que os expoentes n, n – 1, n – 2, … sejam todos números naturais e os coeficientes an, an – 1, an – 2, …, a2, a1 e a0 sejam números complexos, com an ≠ 0 e x sendo uma variável complexa.

Se, na expressão acima, os coeficientes forem to-dos nulos, teremos o polinômio nulo e, nesse caso, não se define o grau.

São exemplos de polinômios:

P(x) = 2x3 + x2 – 7x + 0,8 (o grau de P(x) é 3)P(x) = (3 + 4i)x2 – πx (o grau de P(x) é 2)P(x) = 7x (o grau de P(x) é 1)P(x) = –3 (o grau de P(x) é 0)P(x) = 0x2 + 0x + 0, isto é, P(x) = 0 e não existe o grau de P(x).

Expressões como x–1 + x–2 + x–3 e 33 + 5x

12 não

são polinômios.

Dados os polinômios:

A(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 +

a1x1 + a0

e

B(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … + b2x2 +

b1x1 + b0,

dizemos que A(x) e B(x) são polinômios idênticos e escrevemos A(x) B(x) se, e somente se, eles tiverem os mesmos coeficientes, isto é, an = bn, an – 1 = bn – 1 etc.

Assim, por exemplo, sendo a, b e c constantes, teremos:

ax2 + bx + c 3x + 5 se, e somente se, a = 0, b = 3 e c = 5.

Se, num polinômio P(x), substituirmos a variável x por um número r dado e efetuarmos as operações indicadas, obteremos um número P(r) que é chama-do de valor numérico de P(x) para x = r.

Dizemos que r é uma raiz (ou que r é um zero) de P(x) se, e somente se, P(r) = 0.

62POLINôMIOS: INTRODUçãO


Assim, por exemplo, com P(x) = x2 – x – 2, temos P(1) = –2, P(0) = –2 e P(–1) = 0. Portanto, –1 é um zero de P(x).

Dado o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, temos P(0) = d e P(1) = a + b + c + d.

Note que, em todo polinômio P(x), P(0) é o termo in-dependente de x, e P(1) é a soma de seus coeficientes.

1. Considere em C o polinômio P(x) = x3 (3x2 + 5)2 – 8.

a) Qual é grau de P(x)?

3x2 + 5 é um polinômio de grau 2(3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 4x3 (3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 7x3 (3x2 + 5)2 – 8 é um polinômio de grau 7

Resposta: 7

b) Obtenha o termo independente de x.

P(0) = 03 (3 ⋅ 02 + 5)2 – 8 = –8

Resposta: –8

c) Obtenha a soma dos coeficientes de P(x).

P(1) = 13 (3 ⋅ 12 + 5)2 – 8 = 56

Resposta: 56

d) Calcule P(i).

P(i) = i3 (3 ⋅ i2 + 5)2 – 8P(i) = – i(–3 + 5)2 – 8P(i) = –8 –4i

Resposta: –8 – 4i

2. Sabe-se que existem constantes a e b, tais quea(x – 1) + b(x + 1) 5x – 1.Obtenha essas constantes.

1o modoEfetuamos as multiplicações indicadas no primeiro membro e agrupamos os termos semelhantes.

ax – a + bx + b 5x – 1(a + b)x – a + b 5x – 1

Resolvendo o sistema a + b = 5 e –a + b = –1, obtemos a = 3 e b = 2.

2o modoPela identidade, podemos afirmar que a igualdade a(x – 1) + b(x + 1) = 5x – 1 é verificada para qualquer valor de x.

x = 1 ⇒ a(1 – 1) + b(1 + 1) = 5 – 12b = 4 ∴ b = 2

x = –1 ⇒ a(–1 – 1) + b(–1 + 1) = –5 – 1–2a = –6 ∴ a = 3

Resposta: a = 3, b = 2

3. Determine as constantes a e b, tais quea

x + 1 + b

x – 1 = 5x – 1

x2 – 1

para todo x, x ≠ –1 e x ≠ 1.

a(x – 1) + b(x + 1)(x + 1)(x – 1)

= 5x – 1x2 – 1

Como os denominadores são idênticos, basta impor que os numeradores também sejam iguais.Assim, devemos ter:a(x – 1) + b(x + 1) 5x – 1Do exercício anterior, temos a resposta.

Resposta: a = 3 e b = 2


TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 1, 3, 4 e 6 – série 5.

TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios de 8 a 12 – série 5.


Dados os polinômios P(x) e D(x), nos quais D(x) não é um polinômio nulo, existe um único par de po-linômios Q(x) e R(x), tais que

P(x) D(x) ⋅ Q(x) + R(x) e R(x) 0 ou o grau de R(x) é menor que o grau de D(x).

Dizemos que Q(x) e R(x) são, nessa ordem, o quo-ciente e o resto da divisão de P(x) por D(x). P(x) é o dividendo, e D(x) é o divisor.

Assim, sendo P(x) = x5 + x3 + x + 7 e D(x) = x3, te-mos, na divisão de P(x) por D(x), o quociente Q(x) = x2 + 1 e o resto R(x) = x + 7, pois:

x5 + x3 + x + 7 x3 ⋅ (x2 + 1) + (x + 7).

Note que o grau de R(x) é menor que o grau de D(x).

Dizemos que P(x) é divisível por D(x) se, e so-mente se, o resto da divisão de P(x) por D(x) for nulo, isto é, P(x) D(x) ⋅ Q(x).

1. Obtenha o quociente e o resto da divisão de 5x3 + x + 7 por x2 – x.

5x3 + 0x2 + x + 7 x2 – x–5x3 + 5x2 + 0x + 0 5x + 5 0x3 + 5x2 + x + 7 –5x2 + 5x + 0 6x + 7

Resposta: O quociente é 5x + 5 O resto é 6x + 7

2. Obtenha a constante real m de modo que2x3 + 3x2 + mx + m + 1 seja divisível por x2 + 1.

1o modo 2x3 + 3x2 + mx + m + 1 x2 + 1

2x + 3–2x3 –2x 3x2 + (m – 2)x + m + 1 –3x2 –3 (m – 2)x + m – 2

Devemos ter m – 2 = 0, isto é, m = 2

Resposta: 2

2o modoSendo Q(x) o quociente dessa divisão, temos2x3 + 3x2 + mx + m + 1 (x2 + 1) ⋅ Q(x)Com x = i, temos2i3 + 3i2 + m ⋅ i + m + 1 (i2 + 1) ⋅ Q(i)–2i – 3 + m ⋅ i + m + 1 = 0m – 2 + (m – 2)i = 0 + 0iComo m ∈ , devemos ter m = 2

CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE IIITAREFA MÍNIMAFaça o exercício 15 – série 5.


63POLINôMIOS: DIvISãO (MÉTODO DA ChAvE)

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