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Curso Técnico em Eletrotécnica

INICIAÇÃO À PRÁTICA PROFISSIONAL INSTALAÇÕES ELÉTRICAS PREDIAIS ELETRICIDADE BÁSICA

Números Complexos e Conversão

de Forma AULA I

Os Dispositivos Básicos e os Fasores 1. Números complexos; 2. Forma retangular; 3. Forma polar; 4. Conversão de formas.

Sequência de conteúdos: 1. Revisão; 2. Números complexos; 3. Forma retangular; 4. Forma polar; 5. Conversão de formas.

Vitória-ES

Números Complexos e Conversão -1-17.

Prof. Dorival Rosa Brito 1 -17.

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Resposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CA

Para uma dada tensão:

( ) ( )c mv t V sen tω= ⋅

( )( )d( ) ( )( )C

C

d v ti t C

dt=

dt

( ) ( )( )md V sen ti t C

ω⋅=

( )( )d

( )Ci t Cdt

=

( ) ( )Ci t C V cos tω ω= ⋅ ⋅ ⋅

m mI C Vω= ⋅ ⋅( ) ( )( )CC

d v ti t C

dt=

( ) ( )C mi t C V cos tω ω

( ) ( )90oC mi t I sen tω= ⋅ +

dtRelação v x i no capacitor

Números Complexos e Conversão -2-17.

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Resposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CA

Para um capacitor, iC está adiantada 90º em relação a vC. Em outras palavras,p , C ç C p ,vC está atrasada 90º em relação a iC.

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Comportamento de R L e C com a freqüênciaComportamento de R L e C com a freqüênciaComportamento de R, L e C com a freqüênciaComportamento de R, L e C com a freqüência

1XCXCω

=⋅LX Lω= ⋅R

Resistor Indutor CapacitorResistor Indutor Capacitor

Freqüência Elemento1 1

0f Hz⇒1 1

2 0 0CXCπ

= = = ∞Ω⋅ ⋅

2 0 0LX π= ⋅ = ΩR

f Hz⇒∞ 2LX π= ⋅∞ = ∞ΩR 1 1 02CX

Cπ= = = Ω

⋅∞ ⋅ ∞

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Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA

Considerando que em determinado elemento se tenha:

( ) ( )m vv t V sen tω θ= ⋅ +

q

( ) ( )m ii t I sen tω θ= ⋅ +A potência será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m v m ip t v t i t V sen t I sen tω θ ω θ= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +( ) ( ) ( ) ( ) ( )m v m ip

( ) ( ) ( )m m v ip t V I sen t sen tω θ ω θ= ⋅ ⋅ + ⋅ +

Após usar identidades trigonométricas e algumas manipulações:

V I V I⎡ ⎤ ⎡ ⎤( ) ( ) ( )22 2

m m m mv i v i

V I V Ip t cos cos tθ θ ω θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − ⋅ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Valor fixo Valor que varia no tempo

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Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA

No resistor:

0ov iθ θ θ= − = Defasagem entre tensão e corrente

V I( )02

m mef ef ef ef

V IP V I cos V I= ⋅ ⋅ = ⋅ =

fV 2f fV Vef

ef

VI

R= ef ef

ef ef ef

V VP V I V

R R= ⋅ = ⋅ =

ef efV R I= ⋅ 2ef ef ef ef efP V I R I I R I= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

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Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA

No indutor:

( )0 90 90o oθ θ θDefasagem entre tensão e corrente

( )0 90 90o ov iθ θ θ= − = − − =

( )90 0oP V I cos W( )90 0ef efP V I cos W= ⋅ ⋅ =

A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal(sem resistência associada) é zero.

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Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA

No capacitor:p

( )0 90 90o oθ θ θDefasagem entre tensão e corrente

( )0 90 90o ov iθ θ θ= − = − + = −

( )90 0oP V I cos W( )90 0ef efP V I cos W= ⋅ ⋅ − =

A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal(sem resistência associada) é zero.

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Números complexosNúmeros complexosNúmeros complexosNúmeros complexos

Um número complexo pode ser representado por um ponto numplano, referido a um sistema de eixos cartesianos.

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Forma retangularForma retangularForma retangularForma retangular

C X j Y= + ⋅C X j Y= +

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Forma retangularForma retangularForma retangularForma retangular

Exemplo 14.13: Represente os seguintes números no plano complexo:

a) 3 4b) 0 6

C jC j= += −

c) 10 20C j= − −

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Forma polarForma polarForma polarForma polar

C Z θ=C Z θ=

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Forma polarForma polarForma polarForma polar

Efeito do sinal negativo:g

180oC Z Zθ θ− = − = ±

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Forma polarForma polarForma polarForma polar

Exemplo 14.14: Represente os seguintes números no plano complexo:

a) 5 30b) 7 120

o

o

CC=

= −)c) 4, 2 60oC = −

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Conversão entre formasConversão entre formasConversão entre formasConversão entre formas

Retangular para polarg p p

2 2Z X Y= +

1 YtgX

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠X⎜ ⎟⎝ ⎠

Polar para retangularPolar para retangular

( )X Z cos θ= ⋅ ( )

( )Y Z sen θ= ⋅ ( )

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Conversão entre formasConversão entre formasConversão entre formasConversão entre formas

Exemplo 14.15: Converta o número complexo a seguir para a forma polar:

3 4C j= +

2 22 23 4 5Z = + =

4⎛ ⎞1 4 53,133

otgθ − ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

5 53,13oC =

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Conversão entre formasConversão entre formasConversão entre formasConversão entre formas

Exemplo 14.16: Converta o número complexo a seguir para a forma retangular:

10 45oC =

( )10 45 7 07oX cos= ⋅ =( )10 45 7,07X cos= ⋅ =

( )10 45 7,07oY sen= ⋅ =

7,07 7,07C j= +

( )7,07 7,07C j+

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