PFCMPFCM11 – PFCM – PFCM22FFORMAÇÃOORMAÇÃO CONTÍNUACONTÍNUA EMEM MATEMÁTICAMATEMÁTICA

PARAPARA PROFESSORESPROFESSORES DOSDOS 1.º 1.º EE 2.º 2.º CICLOSCICLOS

Tarefas para 6.º ano

NNÚMEROSÚMEROS EE OPERAÇÕESOPERAÇÕESNNÚMEROSÚMEROS RACIONAISRACIONAIS NÃONÃO NEGATIVOSNEGATIVOS

Escola Superior de Educação de ViseuMinistério da Educação

Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior

Tema Números e OperaçõesPropósitoPrincipalDe Ensino

Desenvolver nos alunos o sentido de número, a compreensão dos números e das operações, e a capacidade de cálculo mental e escrito, bem como a de utilizar estes conhecimentos e capacidades para resolver problemas em contextos diversos.

Tópicos Objectivos específicos NotasTarefas

PFCM ESEV DGIDCNúmeros racionaisnão negativos

• Operações (multiplicação e divisão)

• Propriedades das operações e regras operatórias

• Valores aproximados

Relações e regularidades• Expressões numéricas e propriedades das operações

• Multiplicar números racionais não negativos representados em diferentes formas.

• Compreender o efeito de multiplicar (dividir) um número racional não negativo por um número menor que 1.

• Calcular a potência de expoente natural de um número racional não negativo, representado nas suas diferentes formas.

• Compreender a noção de inverso de um número.

• Dividir números racionais não negativos representados em diferentes formas.

• Utilizar estratégias de cálculo mental e escrito para as quatro operações usando as suas propriedades.

• Determinar o valor aproximado de um número e estimar a resposta a problemas envolvendo números racionais não negativos.

• Usar expressões numéricas para representar situações.

• Resolver problemas que envolvam números racionais não negativos.

• Propor situações em que os alunos exercitem os algoritmos já trabalhados, em especial o da divisão com decimais.

• Propor situações que evidenciem, o significado das operações, por exemplo:36: 4 e 36 x 0,2548: 0,2 e 48 x 5

• Solicitar o cálculo de expressões numéricas do tipo 10,45 ‐ 1,2 : 2/8 ou 7/2 + 5/4 x 2/5.• Propor o uso de estratégias como, por exemplo:- 1,8 x 6 = 1,8 x 5 + 1,8;- 99 x 8 = 100 x 8 ‐ 1x 8;-108:4=54:2= 27:1

• Solicitar aproximações, às décimas, por excesso e por defeito.• Propor a estimação de resultados de operações (adição, subtracção) usando números representados com uma ou duas casas decimais.• Na estimação de resultados da multiplicação (divisão) utilizar números naturais num dos factores (no divisor).

• Quadrados quadradinhos• As estufas de ananases• Na sala de aula…

• Bolinhos de chocolate

• A unidade dos pares

• Doce distribuição• A passo de caracol• Sumo de laranja

• Uma expressão de peso

• A tia Maria• As rosas• Figuras sombreadas…• As tulipas das irmãs• Fracções… para que vos quero

• Combinado de fracções• A horta do Malaquias• Pintar figuras

• Potências de base racional• Actividade de consolidação I

• Partilhando tartes

• Sentidos da divisão

• Actividade de consolidação II

• Expressões numéricas com figuras

QUADRADOS QUADRADINHOS

Observa os quadrados da figura seguinte:

O lado do quadrado inicial Q1 mede 1 cm; o lado de cada quadrado seguinte é metade do lado do quadrado anterior. Calcula a medida da área de cada um dos quadrados representados.

Que relação há entre as medidas das áreas de dois quadrados consecutivos, em que a medida do lado passa a metade?

Usando o teu Magalhães, determina a medida da área do quadrado 10 (Q10).

AS ESTUFAS DE ANANASES

O senhor Carlos tem 5/7 de um terreno ocupado com estufas. Em cada 3 estufas, duas estão cultivadas com ananases. Que fracção do terreno está ocupada pelas estufas de ananases?

...

PROGRAMA DA MATEMÁTICAFORMAÇÃO CONTÍNUA

Escola Superior de Educação de ViseuPFCM 2010/11

www.esev.ipv.pt/mat1ciclo

NA SALA DE AULA …

No início da aula de Matemática, dois alunos discutiam…

Imagem adaptada de Neves, M.ª et al (2003). Matemática 6.º ano. Caderno de actividades. Porto: Porto Editora

Qual dos dois tem razão? Justifica a tua resposta .

BOLINHOS DE CHOCOLATE

A avó Matilde, que é professora de Matemática aposentada, fez 125 bolinhos para a festa de anos do Roberto. Ela resolveu colocar o

seguinte problema ao neto: “Três quintos de três quintos de três quintos dos bolinhos que fiz são de chocolate”. Que parte dos bolinhos feitos são de chocolate?Quantos bolinhos de chocolate fez a avó Matilde?

A UNIDADE DOS PARES

Mentalmente, encontra, no quadro seguinte, pares de números cujo produto seja 1.

1/2 5 1/6 34/13

4/3 0,2 4 7/9

2 9/7 13/34 0,4

0,25 6 2/5 3/4

Regista os pares que encontraste. Que relação existe entre os factores de cada par de números?

DOCE DISTRIBUIÇÃO

A loja Chocolate e C.ª é especializada em chocolates. Por isso, compra grandes quantidades de bombons de chocolate que depois vende em sacos mais pequenos. Têm dois tipos de sacos: Nos vermelhos está escrito 0,125Kg e nos azuis 1/4Kg. A encomenda de 50kg de chocolates vai ser colocada nesses sacos (metade nuns e metade noutros). Quantos sacos vermelhos e azuis vão ser embalados?

A PASSO DE CARACOL

Um caracol, que está no fundo de um poço com 5 metros de profundidade, sobe por dia ¼ m. Quantos dias demorará a atingir o topo do poço?Explica como chegaste à resposta.

SUMO DE LARANJA

A irmã do Roberto bebeu ¼ L do pacote do sumo de laranja.

Para o lanche, o Roberto convidou os seus vizinhos e colocou na mesa copos como o da figura.

Quantos copos conseguiu encher, o Roberto, com sumo de laranja?

UMA EXPRESSÃO DE PESO

Como aprendeste na disciplina de Ciências da Natureza, todos os nutrientes são fundamentais e desempenham diferentes funções no organismo. A obesidade ou a excessiva magreza são, geralmente, consequências de erros alimentares.Determina, aproximadamente, o teu peso ideal utilizando uma das seguintes expressões, em que a letra A representa a tua altura.

Para o sexo masculino Para o sexo feminino

A TIA MARIA

A Tia Maria foi às compras do mês com 160 euros, dos quais gastou 3/5. Repartiu igualmente o restante pelos seus 4 sobrinhos.Nesta situação, o que representa cada uma das expressões seguintes:

a)

b)

c)

Calcula o valor de cada uma das expressões numéricas.

AS ROSAS

O senhor António cultiva rosas em estufas. Normalmente, colhe 720 rosas que depois vende durante a semana. Na semana que passou, vendeu na Segunda-feira 1/6 das rosas e 2/3 na Terça-feira. Quantas rosas poderá, ainda, vender no resto da semana?

FRACÇÕES… PARA QUE VOS QUERO!

Escolhe quatro números diferentes e utilizando-os uma única vez escreve fracções.Quantos pares de fracções consegues obter?Para cada par de fracções, determina: a soma, a diferença, o produto e os quocientes. Para cada operação, define uma estratégia para encontrar a menor e a maior fracção no resultado.

FIGURAS SOMBREADAS…

1.Utilizando as operações com números racionais na forma de fracção, escreve uma expressão que represente a parte sombreada de cada figura.

a) b) c)

2. Determina a parte de cada figura que está sombreada (primeiro por via geométrica e só depois através do cálculo escrito).

3. Desenha uma figura em que a parte sombreada seja representada por .

Indicações para o formadorAprendizagens préviasCom o trabalho desenvolvido no 1.º ciclo e no 5.º ano, o aluno deve: Compreender fracções com o significado quociente, parte-todo e operador.

Ser capaz de:o Identificar a metade, a terça parte, a quarta parte, a décima parte e outras partes da unidade e

representá-las na forma de fracção.o Identificar e dar exemplos de fracções equivalentes a uma dada fracção.

Aprendizagens visadasCom o seu trabalho nesta tarefa, o aluno deve: Compreender o efeito de multiplicar (dividir) um número racional não negativo por um número menor que 1.

Ser capaz de:o Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas.o Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números racionais não negativos representados

em diferentes formas.o Resolver problemas que envolvam números racionais não negativos.o Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.

Apresentação e desenvolvimento pelo professor

Indicações gerais. As operações com números racionais constituem instrumentos da resolução de problemas, tanto em contextos do quotidiano dos alunos como em contextos matemáticos. Esta tarefa enquadra o recurso a expressões numéricas com fracções numa situação matemática, evitando a sua utilização repetitiva e descontextualizada, contribuindo para o desenvolvimento do sentido de número racional e a consolidação do significado das operações.Nesta tarefa, os alunos contactam com múltiplas representações de números racionais e das operações, favorecendo o estabelecimento de relações entre os contextos numérico e geométrico. Na pergunta 2 os alunos podem determinar o valor da parte sombreada, primeiro por via geométrica (divisão e composição da figura) e depois pelo cálculo da expressão numérica. Dessa forma, os alunos podem compreender melhor o significado dos resultados parciais da simplificação da expressão. A tarefa está dividida em três partes. Cada uma delas pode ser realizada aos pares ou em pequenos grupos, à qual se segue um momento de apresentação e discussão de resultados e processos de resolução à turma. A discussão da tarefa após cada ponto permite que os alunos usem nos pontos seguintes compreensões dos anteriores, evitando que fiquem bloqueados por dificuldades ou erros iniciais. Contudo, se durante a resolução da tarefa o professor se aperceber que os alunos não estão a ter grandes dificuldades, a discussão pode fazer-se entre o segundo e o terceiro pontos, ou mesmo no final. Para ajudar os alunos a compreender esta tarefa, o professor pode socorrer-se de transparências ou de um Powerpoint

que evidencie as operações que são realizadas sobre as figuras. Para a realização da tarefa prevê-se um duraçãode 90 minutos.

Exploração da tarefa. No acompanhamento da tarefa, no caso de os alunos iniciarem a abordagem ao ponto 1 escrevendo expressões do tipo ¼ + 1/12, o professor deve solicitar uma outra representação para a parte sombreada que envolva a operação multiplicação. Na interacção com os alunos, o professor deve sublinhar o facto de que em cada uma das figuras há uma primeira divisão (linhas) à qual se sucede uma segunda (sombreado). O professor deve também estar atento às reacções dos alunos ao facto de as figuras b) e c) não terem sido divididas em partes iguais, o que pode redundar em dificuldades acrescidas na figura c).

No ponto 2, os alunos começam por determinar a parte sombreada das figuras por via geométrica e só depois por via do cálculo numérico. Dessa forma, desenvolvem o sentido de número e das operações, uma vez que o “efeito” de uma operação aritmética é antecipado pela abordagem geométrica. Por exemplo, na figura b) o prolongamento dos segmentos de recta horizontais permite visualizar na 4.ª coluna o efeito de

multiplicar por .

Nos casos das figuras b) e c) coloca-se também a questão da adição de números racionais na forma de fracção com denominadores diferentes. Esta é uma boa altura para consolidar o conceito de fracção equivalente, compreender o seu significado geométrico e entender a sua necessidade para a realização do algoritmo da adição de números racionais na forma fraccionária.

No ponto 3 é necessário levar os alunos a compreender que o primeiro factor de cada um dos produtos (1/2 e 1/3) se refere à segunda divisão da figura (sombreado) e que o segundo factor (1/4 e 3/8) se refere à divisão inicial da figura (linhas). Para isso, poderá ser importante o professor levar os alunos a estabelecerem um paralelo com as expressões anteriores e a sua relação com cada uma das figuras. No caso da figura a) evidencia-se a divisão dos sextos em doze-avos:

Na discussão final, o professor deve evidenciar também que a primeira divisão, relativa ao segundo factor, corresponde a uma fracção que toma como unidade a figura inicial – neste caso, a fracção evidencia o sentido parte-todo. As segundas divisões das figuras a), b) e c) são originadas, respectivamente, pelos operadores ½, 4/7 e 2/4 – sentido da fracção como operador.

Na discussão da tarefa é igualmente importante analisar a questão da unidade. Na primeira fase a unidade é a figura inicial. Depois, quando se sombreia, pode tomar-se como unidade uma das partes e depois fazer a correspondência com a figura inicial.Nesta tarefa, o professor deve também levar os alunos a concluir que multiplicar uma quantidade por um número racional não negativo inferior à unidade (produto de 1/2 por 1/6) tem o efeito de diminuir a quantidade de que se partiu (de 1/6 passamos para 1/12).

Resoluções dos alunos

No ponto 1, os alunos podem seguir duas estratégias: soma das duas partes sombreadas ou diferença entre a unidade e a parte não sombreada. A primeira estratégia será para os alunos mais natural, embora a segunda também possa surgir. Optando pela primeira, os alunos são inicialmente tentados a representar por uma única fracção cada uma das zonas sombreadas -- na primeira figura ¼ e 1/12. Numa turma em que esta tarefa foi desenvolvida, a utilização da multiplicação na escrita da expressão numérica surgiu depois de o professor sublinhar a existência das duas divisões consecutivas da figura (linhas e sombreado):

A disposição das duas expressões lado a lado permitiu colocar em relevo a sua equivalência. Na primeira figura debateu-se a necessidade e o significado de obter uma fracção equivalente a ¼ (3/12).

Na realização desta tarefa colocou-se num dos grupos, antes do ponto 1 do enunciado, um ponto prévio para evidenciar as duas operações realizadas sobre as figuras:

A região sombreada na figura ao lado pode ser representada pela expressão

Este exemplo permitiu que os alunos desse grupo se apercebessem das duas divisões e representassem as zonas sombreadas das figuras através de expressões numéricas que usam a adição e a multiplicação:

Na figura a) a maioria dos alunos representou a zona da esquerda por ½ × 3/6, mas alguns recorreram à divisão: 3/6 : 2. Esta foi uma boa ocasião para analisar a equivalência das expressões e assim reforçar a consolidação do algoritmo da divisão de números racionais na forma de fracção.

No ponto 2 – determina a parte de cada figura que está sombreada (primeiro por via geométrica e só depois através do cálculo escrito) – os alunos usam duas estratégias: (i) divisão das figuras em partes iguais, seguida de contagem das partes (sombreadas e total); e (ii) junção e equivalência das partes. A primeira estratégia foi a mais usada, sendo imediata na figura b) (4/28) e menos directa na c) em que os alunos tiveram que compreender que o quadrado pequeno (1/4) pode ser dividido ao meio usando outros dois eixos de simetria (vertical ou horizontal). No caso da figura a), alguns alunos recorreram à segunda estratégia, deslocando o 1/12 e juntando-o ao ½ de 3/6. Nesse caso, em vez da traçarem a diagonal do quadrado 3/6, consideraram uma coluna e meia (1/6 + ½ de 1/6). Juntando as duas partes: 1/6 + ½ de 1/6 + 1/12, ou seja, 2/6, ou 1/3:

No cálculo do valor das expressões numéricas, a prioridade da multiplicação em relação à adição é justificada por argumentos geométricos.

No ponto três, os alunos podem desenhar diversas figuras que representem , A existência de

somas sombreadas diferentes faz realçar a importância da discussão da unidade.

Indicações suplementaresEsta tarefa permite algumas extensões. A partir da primeira parte da tarefa, o professor pode sugerir outras figuras que tenham três zonas sombreadas (e) ou que envolvam de forma mais manifesta a utilização da operação de subtracção (f):

e) f)

Pode também ser interessante trabalhar esta situação com elementos discretos.

Uma forma de estabelecer a ligação da tarefa a situações do dia-a-dia é propor que os alunos escolham uma das figuras a), b) ou c) e escrevam o enunciado de um problema que possa ser representado por ela.