Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação
KAMILLY SUZANY FÉLIX ALVES
O ENSINO DE FRAÇÕES POR ATIVIDADES
Belém–PA
2018
KAMILLY SUZANY FÉLIX ALVES
O ENSINO DE FRAÇÕES POR ATIVIDADES
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção de título de Mestre em Educação. Linha de Pesquisa: Formação de Professores e Práticas Pedagógicas. Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Belém-PA 2018
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)
Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA
Morais, Ana Célia do Nascimento
Educação, saberes e cultura: a produção intelectual do Programa de pós-Graduação
em Educação / Ana Célia do Nascimento Morais; orientadora Maria Betânia B.
Albuquerque, 2018
Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,
2018.
1. Educação não formal. 2. Saberes 3. Produção intelectual. I. Albuquerque, Maria
Betânia B. (orient.). II. Título.
CDD. 23º ed. 371.3
KAMILLY SUZANY FÉLIX ALVES
O ENSINO DE FRAÇÕES POR ATIVIDADES
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção de título de Mestre em Educação. Linha de Pesquisa: Formação de Professores e Práticas Pedagógicas Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Belém, 03 de Maio de 2018.
BANCA EXAMINADORA ___________________________________ - Orientador Prof. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Pará ___________________________________ - Membro externo Prof. José Ricardo e Souza Mafra Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade Federal do Oeste do Pará ___________________________________ - Membro interno Prof. Emmanuel Ribeiro Cunha Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Pará
Belém-PA 2018
À Creuza Félix (in memoriam), menina nordestina
que chegou ao Pará na década de 50, com tantos
sonhos e planos que se materializam neste trabalho
e à Profa. Regina Julieta (in memoriam) que me
ensinou a amar a Educação de maneira inefável.
AGRADECIMENTOS
A Deus por me presentear com oportunidades únicas de alcançar o
improvável e impensável.
A minha filha Sophie Julieta, por ser fonte inesgotável de inspiração e
superação, por me motivar diariamente com seus sorrisos e beijinhos.
A minha mãe, ser humano incansável na superação de obstáculos para me
proporcionar uma Educação de qualidade e poder galgar degraus inacessíveis
diante da nossa história.
Ao meu companheiro Maximo Passos, por não desistir, por compreender
minhas oscilações de humor, dividir comigo cada momento de desgaste físico e
mental derivados desta produção, por ser um ser humano admirável e inspirador na
luta por uma educação Pública de Qualidade para todos e por acreditar em minha
potencialidade.
A minha rede de apoio, contando com tias (Juci, Júlinha e Léia), amigas
(Izabelle, Sarah, Karina, Elis, etc) e compadre Guga Júnior, que foram parte
importante nestes anos cuidando da Sophie quando precisava me ausentar para
participar das aulas e atividades do mestrado.
Ao meu orientador, professor Dr. Pedro Franco de Sá, por confiar na minha
capacidade, por motivar o melhor em mim, por dedicar uma generosidade grandiosa
e admirável em momentos de muita tensão nesta caminhada, por ser luz quando só
havia escuridão. Por de ser fonte inesgotável de conhecimento, proporcionando
aprendizado muito além do cientifico a cada encontro, agradeço por ser e me fazer
reconhecer o ser humano além do pesquisador.
Ao Prof. Dr. Emannuel Cunha pela oportunidade em ser sua aprendiz em
Formação de Professores, oferendo os mais valiosos conhecimentos em suas aulas,
bem como por aceitar ser parte deste trabalho com suas importantes e
indispensáveis contribuições enquanto membro da banca.
Ao Prof. Dr. Ricardo Mafra por aceitar o convite para compor minha banca de
qualificação e defesa, sobretudo, por enriquecer este trabalho com suas
contribuições a respeito das Práticas Pedagógicas e Educação Matemática.
Aos egressos, docentes e estudantes que aceitaram participar deste trabalho,
sendo essenciais para o seu desenvolvimento.
Ao Prof. Adamor Pantoja, por confiar em mim e respeitar cada etapa do meu
trabalho, acompanhando, contribuindo e sempre ajudando no que fosse necessário.
Um amigo ímpar.
A Escola Estadual de Ensino Fundamental Santo Afonso pela acolhida, pelo
apoio por oferecer espaço e estrutura necessária ao desenvolvimento do
Experimento.
À Profa. Dra. Jeane Silva por se revelar uma grande amiga, oferendo todo
apoio e confiança necessárias do começo ao fim. Sem uma visita especial a sua
biblioteca há alguns anos atrás esse sonho não seria possível.
À Profa. Dra. Acylena Coelho que sempre esteve disposta a ajudar na minha
formação intelectual, construindo comigo o projeto inicial desta dissertação e
apoiando-me incansavelmente no decorrer do curso.
Aos amigos por todo apoio, pelos momentos de diversão, tão necessários
para dar seguimento à rotina de estudo. Pela compreensão das ausências neste
período e pelas orações para que tudo se encaminhasse da melhor maneira.
Ao amigo que a vida me presenteou, Luiz Mendes, por dividir comigo além
das incertezas humanas, da luta por uma sociedade melhor, as tensões e alegrias
próprias da pós-graduação.
Aos amigos da Turma Rio 12 por momentos de grande aprendizado em
rotinas intensas de estudo, mas acima de tudo pelos momentos de afeto, partilha e
empatia, emoções traduzidas em poesia, abraços, ritmos, açaí, peixe assado e
muitas gargalhadas. Obrigada, clandestinos!
As meninas da Matemática, Sandy Dias, Jakelline Batista e Renata Matni, que
revolucionaram o pensamento dos que nos cercavam sobre Educação Matemática,
sempre muito companheiras, desde o início, compartilhando e ajudando a superar
as aflições, os prazos, e diversas tensões que envolveram este período, mas
também vivendo junto cada conquista.
Em especial, agradeço, à Sandy que me acompanhou no campo realizando
as observações e contribuindo para a construção deste trabalho, e à Jakelline, cula
colaboração foi fundamental para minhas análises. Grandes amigas, parte do meu
todo.
A Universidade do Estado do Pará, pela oportunidade, em especial ao
Programa de Pós Graduação em Educação por proporcionar momentos de grande
contribuição intelectual para minha carreira acadêmica, em encontros inesquecíveis
e valiosos com grandes mestres da Educação como Profa. Dra. Albêne Monteiro,
Profa. Dra. Ivanilde Apoluceno, Profa. Dra. Lucélia Bassalo, Profa. Dra. Marta Genú,
Profa. Dra. Josefa Távora, entre outros.
Ao Jorginho, Joaquim e Carlos, sempre dispostos a ajudar.
A CAPES por me proporcionar subsídios financeiros necessários para que eu
pudesse realizar este estudo.
Esta é uma produção coletiva, pois o todo se fez parte e da parte se fez o
todo.
“O saber não nos torna melhores nem mais felizes. Mas a educação pode ajudar a nos tornarmos melhores, se não mais felizes, e nos ensinar a assumir a parte prosaica e viver a parte poética de nossas vidas.”
Edgar Morin
RESUMO
ALVES, kamilly Suzany Félix. O ensino de Frações por Atividades. 2018. 318 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017. Este trabalho apresenta os resultados de um estudo com o objetivo de avaliar os efeitos da aplicação de uma Sequência Didática, baseada no Ensino por Atividades, para o Ensino de Frações, em uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental em uma Escola Pública de Belém, nas fundamentada na metodologia de pesquisa Engenharia Didática (Artigue, 1996). O estudo se desenvolveu em quatro fases. A primeira fase (Análises prévias) foi realizada a partir de um levantamento histórico, um estado da arte e consulta à docentes de Matemática e à estudantes egressos do 6º ano, sobre o processo de ensino e aprendizagem de Fração. A segunda fase (Concepção e análise a priori) foi abalizada nas análises prévias e como fruto, a proposta de uma sequência de atividades composta por 10 atividades para abordar e desenvolver o conteúdo de Fração, 2 testes (Pré-teste e Pós-teste), bem como, as análises a priori realizadas para cada uma das atividades. A terceira fase do estudo, (Experimentação), teve como lócus uma escola pública da rede estadual de ensino do município de Belém do Pará, com 25 estudantes de uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental. A quarta fase (Análise a posteriori e validação), foi realizada por meio de análises das atividades e dos testes avaliativos mediante uma abordagem qualitativa e quantitativa. Os resultados revelam que a Sequência Didática apontou um avanço nos estudantes no desempenho em relação ao conteúdo de Frações, além de maior desempenho na resolução de questões por parte destes alunos, também foi possível observar avanços em relação a linguagem e simbologia matemática, conhecendo as variadas operações e significados pertinentes a este assunto. Palavras-chave: Educação. Formação de Professores. Ensino por Atividade. Ensino de Fração. Educação Matemática.
ABSTRACT
ALVES, kamilly Suzany Félix. The teaching of fraction by activities. 2018. 318 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017.
This work presents the results of a study with the objective of evaluating the effects of the application of a Teaching Sequence, based on Teaching by Activities, for the Teaching of Fractions, in a class of 6th grade of Elementary School in a Public School in Belém, based on the research methodology Didactic Engineering (Artigue, 1996). The study was developed in four phases. The first phase (Preliminary analysis) was carried out from a historical survey, a state of the art and consultation to teachers of Mathematics and the students of the 6th grade, about the teaching and learning process of Fraction. The second phase (A priori conception and analysis) was based on previous analyzes and as a result, the proposal of a sequence of activities composed of 10 activities to address and develop the content of Fraction, 2 tests (Pre-test and Post-test) , as well as the a priori analyzes performed for each of the activities. The third phase of the study, (Experimentation), had as a locus a public school of the state education network of the municipality of Belém do Pará, with 25 students from a 6th grade elementary school class. The fourth phase (a posteriori analysis and validation) was carried out through analysis of the activities and the evaluation tests through a qualitative and quantitative approach. The results show that the didactic sequence showed a progress in the students in the performance in relation to the content of fractions, besides a higher performance in the resolution of questions by these students, it was also possible to observe advances in relation to the language and mathematical symbology, knowing the varied operations and meanings relevant to this subject.
Keywords: Education. Teacher training. Teaching by Activity. Fraction Teaching. Mathematics Education.
LISTA DE QUADROS
Quadro 01 – Quadro Geral da Revisão dos Estudos 40
Quadro 02 – Estudos sobre Os Diferentes Significados de Fração 41
Quadro 03 – Estudos Diagnósticos sobre Fração 50
Quadro 04 – Estudos Experimentais sobre Frações 60
Quadro 05 – Estudos sobre Formação de Professores 74
Quadro 06 – Faixa Etária dos Docentes 77
Quadro 07 – Escolaridade dos Docentes 78
Quadro 08 – Tempo de Serviço dos Docentes 79
Quadro 09 – Níveis de atuação na Educação Básica 80
Quadro 10 – Séries da Educação Básica em que os Docentes já
lecionaram 81
Quadro 11 – Formação: Curso de Disciplina sobre Metodologias de Ensino
de Fração 82
Quadro 12 – Formação: Curso ou Evento sobre o Ensino de Fração 84
Quadro 13 – Abordagem do Conteúdo de Fração pelos Docentes 85
Quadro 14 – Fixação do Conteúdo de Fração pelos Docentes 87
Quadro15 – Carga Horária dedicada ao Ensino de Fração 88
Quadro 16 – Relação Assunto X Ensino 89
Quadro 17 – Dificuldade dos Estudantes segundo os Docentes 92
Quadro 18 – Idade dos Discentes 95
Quadro 19 - Localização da Escola dos Discentes 96
Quadro 20 – Discentes que Trabalham de forma remunerada 97
Quadro 21 – Relação com o comércio 98
Quadro 22 – Responsável Masculino dos Discentes 99
Quadro 23 – Escolaridade do Responsável Masculino dos Discentes 100
Quadro 24 – Ocupação do Responsável Masculino dos Discentes 101
Quadro 25 – Responsável Feminino dos Discentes 101
Quadro 26 – Escolaridade do Responsável Feminino dos Discentes 102
Quadro 27 – Ocupação do Responsável Feminino dos Discentes 103
Quadro 28 – Idade de Início da Vida Escolar dos Discentes 104
Quadro 29 – Histórico de Educação Infantil dos Discentes 105
Quadro 30 – Histórico de Repetência dos Discentes 106
Quadro 31– Anos de Repetência dos Discentes 107
Quadro 32 – Pessoa que ajuda nas Tarefas de Matemática dos Discentes 108
Quadro 33 – Cursos realizados pelos Discentes 109
Quadro 34 – Aceitação da Matemática pelos Discentes 110
Quadro 35 – Dificuldade em aprender Matemática pelos Discentes 110
Quadro 36 – Distração nas Aulas de Matemática pelos Discentes 111
Quadro 37 – Notas em Matemática dos Discentes 112
Quadro 38 – Hábito de Estudo em Matemática dos Discentes fora da
Escola 113
Quadro 39 – Tipo de Escola em que os Discentes cursaram o 6º Ano 114
Quadro 40 – Prática de Esporte dos Discentes 115
Quadro 41 – Dependência em Matemática no 6º Ano 115
Quadro 42 – Abordagem das Aulas sobre Fração no 6º Ano segundo
Discentes 116
Quadro 43 – Fixação do Conteúdo de Fração segundo Discentes 117
Quadro 44 – Dificuldade de Aprendizagem segundo Discentes 119
Quadro 45 – Planejamento da Aplicação Sequência Didática 124
Quadro 46 – Cronograma das Sessões de Ensino desenvolvidas na
Experimentação 164
Quadro 47 - Faixa Etária dos Estudantes 166
Quadro 48 - Gênero dos Estudantes 168
Quadro 49 - Localização da Escola 168
Quadro 50 - Relação com o comércio 169
Quadro 51 - Responsáveis pelos Estudantes 170
Quadro 52 - Escolaridade dos Responsáveis 172
Quadro 53 - Ocupação dos Responsáveis 173
Quadro 54 - Início da vida Escolar 175
Quadro 55 - Realização da Educação Infantil 176
Quadro 56 - Repetência Escolar 177
Quadro 57 - Ajuda nas Tarefas de Matemática 178
Quadro 58 - Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo 179
Quadro 59 – Afinidade dos Estudantes em Matemática 180
Quadro 60 – Dificuldade dos Estudantes em aprender Matemática 181
Quadro 61 – Distração nas Aulas de Matemática 182
Quadro 62 – Desempenho em Matemática dos Estudantes 182
Quadro 63 – Dedicação em Matemática dos Estudantes 183
Quadro 64 – Prática de Esportes dos Estudantes 184
Quadro 65 – Compreensão da Matemática a partir da Explicação 185
Quadro 66 – Registros dos Estudantes no Primeiro Momento da Sessão de
Ensino I 190
Quadro 67 – Registros dos Estudantes no Segundo Momento da Sessão
de Ensino I 192
Quadro 68 – Registros dos Estudantes no Terceiro Momento da Sessão de
Ensino I 194
Quadro 69 – Registros dos Estudantes no Quarto Momento da Sessão de
Ensino I 196
Quadro 70 – Registros dos Estudantes no Quinto Momento da Sessão de
Ensino I 198
Quadro 71 – Registros dos Estudantes na primeira questão da Sessão de
Ensino II 204
Quadro 72 – Registros dos Estudantes na segunda questão da Sessão de
Ensino II 205
Quadro 73 – Registros dos Estudantes na quarta questão da Sessão de
Ensino II 207
Quadro 74 – Registros dos Estudantes nas questões de 05 a 09 da Sessão
de Ensino II 208
Quadro 75 – Registros dos Estudantes na décima questão da Sessão de
Ensino II 213
Quadro 76 – Registros dos Estudantes na Formalização dos Termos da
Fração na Sessão de Ensino II 214
Quadro 77 – Desempenho dos Estudantes na Atividade de
Aprofundamento 216
Quadro 78 – Registros dos Estudantes na primeira questão da Sessão de
Ensino III 221
Quadro 79 – Registros dos Estudantes nas Conclusões das questões de
02 a 05 da Sessão de Ensino III
223
Quadro 80 – Registros dos Estudantes na sexta questão da Sessão de
Ensino III 225
Quadro 81 – Registros dos Estudantes nas questões de 16 a 21 da Sessão
de Ensino III 228
Quadro 82 – Registros dos Estudantes na questão 22 da Sessão de Ensino
III 230
Quadro 83 – Registros dos Estudantes nas questões de 02 a 08 da Sessão
de Ensino IV 232
Quadro 84 – Registros dos Estudantes na questão 10 Sessão de Ensino IV 234
Quadro 85 – Registros dos Estudantes nas questões de 01 a 05 da Sessão
de Ensino V 236
Quadro 86 – Registros dos Estudantes nas questões de 06 a 09 da Sessão
de Ensino V 239
Quadro 87 – Registros dos Estudantes no Quadro da Sessão de Ensino V 241
Quadro 88 – Registros dos Estudantes na Conclusão da Sessão de Ensino
V 242
Quadro 89 – Registros dos Estudantes no Quadro de Adição da Atividade
da Sessão de Ensino VI 243
Quadro 90 – Registros dos Estudantes na Conclusão e na Regra da Adição
na Sessão de Ensino VI 244
Quadro 91 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade de
Subtração da Sessão de Ensino VI 245
Quadro 92 – Registros dos Estudantes na Conclusão e na Regra da
Subtração na Sessão de Ensino VI 246
Quadro 93 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade da Sessão
de Ensino VIII 249
Quadro 94 – Registros dos Estudantes na Conclusão e na Regra da
Sessão de Ensino VIII 250
Quadro 95 – Registros dos Estudantes no Primeiro Quadro da Atividade da
Sessão de Ensino IX 252
Quadro 96 – Registros dos Estudantes no Segundo Quadro da Atividade
da Sessão de Ensino IX 253
Quadro 97 – Registros dos Estudantes no Terceiro Quadro da Atividade da 253
Sessão de Ensino IX
Quadro 98 – Registros dos Estudantes na Conclusão e Regra da Sessão
de Ensino IX 254
Quadro 99 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade da Sessão
de Ensino VII 257
Quadro 100 – Registros dos Estudantes na Conclusão e na Regra da
Adição na Sessão de Ensino VII 258
Quadro 101 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade de
Subtração da Sessão de Ensino VII 260
Quadro 102 – Registros dos Estudantes na Conclusão e na Regra da
Subtração na Sessão de Ensino VII 261
Quadro 103 – Confronto entre Análises a Priori e a Posteriori das
Atividades 265
Quadro 104 – Desempenho dos Estudantes por Questão no Pré-Teste 271
Quadro 105 – Desempenho dos Estudantes por Questão no Pós-Teste 274
Quadro 106 – Desempenho dos Estudantes nos Testes por Questão 275
Quadro 107 – Desempenho por Estudante no Pré-Teste 277
Quadro 108 – Desempenho por Estudante no Pós-Teste 279
Quadro 109 – Desempenho dos Estudantes nos Testes 280
Quadro 110 – Frequência dos Estudantes durante o Experimento 282
Quadro 111 – Regras de Rejeição da Hipótese Nula em um Teste t
Unilateral 284
Quadro112 – Resultado dos Desempenhos nos Testes e Diferença entre
as Médias 285
Quadro 113 – Classificação da Correlação conforme o Coeficiente 𝑟 287
Quadro 114 – Parametrização das Variáveis referentes à Escolaridade do
Responsável Masculino 287
Quadro 115 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes
e Escolaridade do Responsável Masculino 288
Quadro 116 - Parametrização das Variáveis Referentes à Escolaridade do
Responsável Feminino 289
Quadro 117 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes
e Escolaridade do Responsável Feminino
289
Quadro 118 – Parametrização das Variáveis referentes a quem ajuda os
Estudantes nas Tarefas de Matemática 290
Quadro 119 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes
e quem ajuda os Estudantes nas Tarefas de Matemática 290
Quadro 120 – Parametrização das Variáveis referentes à afinidade dos
Estudantes por Matemática 291
Quadro 121 - Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes
e afinidade dos Estudantes por Matemática 291
Quadro 122 – Parametrização das Variáveis referentes ao Hábito de
Estudo dos Estudantes 292
Quadro 123 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes
e Hábito de Estudo dos Estudantes 292
Quadro 124 - Parametrização das Variáveis referentes às notas em
Matemática dos Estudantes 293
Quadro 125 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes e as notas em Matemática dos Estudantes
293
Quadro 126 – Parametrização das Variáveis referentes à Dificuldade dos
Estudantes em aprender Matemática 294
Quadro 127 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes
e a Dificuldade em Matemática dos Estudantes 294
Quadro 128 – Parametrização das Variáveis referentes à Frequência dos
Estudantes 295
Quadro 129 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes
e a Frequência dos Estudantes 295
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 01 – Faixa Etária dos Docentes 77
Gráfico 02 - Escolaridade dos Docentes 78
Gráfico 03 – Tempo de Serviço dos Docentes 80
Gráfico 04 – Níveis de atuação na Educação básica 81
Gráfico 05 – Séries da Educação básica em que os Docentes já lecionaram 82
Gráfico 06 – Formação: curso de disciplina sobre metodologias de Ensino de Fração 83
Gráfico 07 – Formação: curso ou evento sobre o Ensino de Fração 85
Gráfico 08 – Abordagem do conteúdo de Fração pelos Docentes 86
Gráfico 09 – Fixação do conteúdo de Fração pelos Docentes 87
Gráfico 10 – Carga horária dedicada ao Ensino de Fração 88
Gráfico 11 – Relação Assunto x Ensino 91
Gráfico 12 – Dificuldade dos alunos segundo os Docentes 96
Gráfico 13 – Idade dos Discentes 97
Gráfico 14 – Localização da escola dos Discentes 98
Gráfico 15 – Discentes que trabalham de forma remunerada 98
Gráfico 16 – Discentes que realizam compras 99
Gráfico 17 – Responsável masculino dos Discentes 100
Gráfico 18 – Escolaridade do responsável masculino dos Discentes 101
Gráfico 19 – Ocupação do responsável masculino dos Discentes 102
Gráfico 20 – Responsável feminino dos Discentes 103
Gráfico 21 – Escolaridade do responsável feminino dos Discentes 104
Gráfico 22 – Ocupação do responsável feminino dos Discentes 105
Gráfico 23 – Idade de início da vida escolar dos Discentes 106
Gráfico 24 – Histórico de Educação Infantil dos Discentes 107
Gráfico 25 – Histórico de repetência dos Discentes 107
Gráfico 26 – Anos de repetência dos Discentes 108
Gráfico 27 – Pessoa que ajuda nas tarefas de Matemática dos Discentes 109
Gráfico 28 – Cursos realizados pelos Discentes 110
Gráfico 29 – Aceitação da Matemática pelos Discentes 111
Gráfico 30 – Dificuldade em aprender Matemática pelos Discentes 111
Gráfico 31 – Distração nas aulas de Matemática pelos Discentes 112
Gráfico 32 – Notas em Matemática dos Discentes 113
Gráfico 33 – Hábito de estudo em Matemática dos Discentes fora da escola 114
Gráfico 34 – Escola em que os Discentes estudaram o 6º ano 115
Gráfico 35 – Prática de esporte dos discentes 116
Gráfico 36 – Dependência em Matemática no 6º ano 117
Gráfico 37 – Abordagem das aulas sobre Fração no 6º ano segundo Discentes 118
Gráfico 38 – Fixação do conteúdo de Fração segundo Discentes 167
Gráfico 39 – Faixa Etária dos Estudantes 168
Gráfico 40 – Gênero dos Estudantes 169
Gráfico 41 – Localização da Escola 170
Gráfico 42 – Relação com o Comércio 171
Gráfico 43 - Responsáveis pelos estudantes 173
Gráfico 44 – escolaridade dos responsáveis 174
Gráfico 45 – Ocupação dos responsáveis 175
Gráfico 46 – Início da vida escolar 176
Gráfico 47 – Realização da Educação Infantil 177
Gráfico 48 – Repetência Escolar 178
Gráfico 49 – Ajuda nas tarefas de Matemática 179
Gráfico 50 – Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo 180
Gráfico 51 – Afinidade dos estudantes com Matemática 181
Gráfico 52 – Dificuldade dos Estudantes em Aprender Matemática 182
Gráfico 53 – Distração nas aulas de Matemática 183
Gráfico 54 – Desempenho em Matemática dos Estudantes 184
Gráfico 55 – Dedicação em Matemática dos Estudantes 185
Gráfico 56 – Prática de Esportes dos Estudantes 186
Gráfico 57 – Compreensão da Matemática a partir da explicação 272
Gráfico 58 – Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste 274
Gráfico 59 – Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste 276
Gráfico 60 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão 278
Gráfico 61 – Desempenho por Estudante no Pré-teste 279
Gráfico 62 – Desempenho por Estudante no Pós-teste 281
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 - Frações Egípcias: notação 28
Figura 02 - Frações Egípcias: representações especiais 29
Figura 03 - Frações Egípcias: variação dos símbolos 29
Figura 04 - Frações Egípcias: não unitárias 30
Figura 05 - Frações Babilônicas: notação 31
Figura 06 - Kit de Frações: Um Inteiro 128
Figura 07 - Kit de Frações: Um meio 128
Figura 08 - Kit de Frações: Um terço 129
Figura 09 - Kit de Frações: Um Quarto 129
Figura 10 - Kit de Frações: Um Quinto 129
Figura 11 - Kit de Frações: Um sexto em tiras 130
Figura 12 - Kit de Frações: Um sexto retangular 130
Figura 13 - Kit de Frações: Um Oitavo 130
Figura 14 - Kit de Frações: Um nono 131
Figura 15 - Kit de Frações: Um Décimo 131
Figura 16 - Kit de Frações: Um Doze Avos em Tiras 131
Figura 17 - Kit de Frações: Um Doze Avos retangular 132
Figura 18 - Kit de Frações: Um Quinze Avos 132
Figura 19 - Kit de Frações: Um Dezoito Avos 132
Figura 20 - Kit de Frações: Um Vinte e Sete Avos 133
Figura 21 - Lócus da pesquisa 163
Figura 22 – Q01 Atividade de Aprofundamento 216
Figura 23 – Q02 Atividade de Aprofundamento 217
Figura 24 – Q03 Atividade de Aprofundamento 217
Figura 25 – Q04 Atividade de Aprofundamento 217
Figura 26 – Q05 Atividade de Aprofundamento 218
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 21
1. ANÁLISES PRÉVIAS ........................................................................................... 27
1.1 Fração no Ensino de Matemática ........................................................................ 27
1.1.1 Aspectos Históricos ................................................................................................. 27
1.1.2 A O Ensino de Fração na Escola ........................................................................... 34
1.1.3 O Ensino de Fração na Escola ............................................................................... 36
1.2 Revisão dos Estudos ........................................................................................... 39
1.2.1Estudos sobre os cinco diferentes significados de fração ............................. 41
1.2.2 Estudos diagnósticos sobre frações ................................................................... 49
1.2.3 Estudos Experimentais sobre Frações ............................................................... 59
1.2.4 Estudos sobre formação de professores ........................................................... 73
1.3 Consulta aos docentes ........................................................................................ 76
1.3.1Perfil dos docentes .................................................................................................... 77
1.4 Consulta a Estudantes egressos do 6º ano ......................................................... 94
1.4.1Perfil dos estudantes consultados ........................................................................ 95
2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE À PRIORI ................................................................ 123
2.1Abordagem metodológica da atividade .............................................................. 126
2.1.1O Ensino por Atividades ......................................................................................... 126
2.1.2 O Kit de Frações ...................................................................................................... 128
2.1.3 A Sequência Didática ............................................................................................. 133
2.1.3.1 Atividade1: Conceito de Fração ....................................................................... 134
2.1.3.2 Atividade 2: Representação de Fração .......................................................... 136
2.1.3.3 Atividade 3: Equivalência de frações ............................................................. 141
2.1.3.4 Atividade 4: Simplificação de Frações ........................................................... 144
2.1.3.4 Atividade 5: Comparação de frações .............................................................. 147
2.1.3.5 Atividade 6: Adição e Subtração de Frações com o mesmo
Denominador ...................................................................................................................... 149
2.1.3.6 Atividade 7: Adição e subtração de Frações com denominadores
diferentes..............................................................................................................................153
2.1.3.7 Atividade 08: Multiplicação de Frações ......................................................... 156
2.1.3.8 Atividade 09 – Divisão de Frações .................................................................. 158
2.1.3.10 Atividade de Aprofundamento ....................................................................... 161
3. EXPERIMENTAÇÃO .......................................................................................... 162
3.1 Perfil dos Estudantes ........................................................................................ 166
3.2 Aplicação do Pré-teste ...................................................................................... 187
3.3 Sessão de Ensino I ........................................................................................... 187
3.4 Sessão De Ensino II .......................................................................................... 202
3.5 Atividade De Aprofundamento – 01/12/2017 ..................................................... 215
3.6 Sessão de ensino III .......................................................................................... 218
3.7 Sessão de Ensino IV ......................................................................................... 230
3.8 Sessão De Ensino V ......................................................................................... 235
3.9 Sessão de Ensino VI ......................................................................................... 242
3.10 Sessão De Ensino VIII..................................................................................... 246
3.11 Sessão De Ensino IX ...................................................................................... 251
3.12 O 17º Encontro ................................................................................................ 255
3.13 Sessão De Ensino VII ..................................................................................... 255
3.14 Considerações Sobre O Experimento ............................................................. 262
4. ANÁLISES A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ...................................................... 264
4.1 Análises A Posteriori ......................................................................................... 265
4.2 Análises A Posteriori dos Testes Avaliativos ..................................................... 271
4.3 Teste de Hipóteses ........................................................................................... 283
4.4 Cálculos da Correlação Linear nos Testes ........................................................ 286
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 297
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 300
APÊNDICES ........................................................................................................... 306
21
INTRODUÇÃO
A Matemática está presente na vida da maioria das pessoas, de maneira
fundamental, não somente no ambiente escolar, mas apresentando-se como forma
de expressão e compreensão da realidade, o que torna seu ensino indispensável
para o exercício da cidadania.
O ensino de números racionais na forma Fracionária é estabelecido no
currículo de Matemática como um conteúdo a ser desenvolvido nos ciclos iniciais do
ensino fundamental, com o objetivo gerar nos alunos a percepção de que os
números naturais não são mais suficientes para resolver determinadas situações.
O interesse pelo estudo do processo de ensino e aprendizagem de Fração
emergiu de observações empíricas, presentes nos momentos de atuação docente
em Matemática em escolas públicas e particulares das séries finais do Ensino
Fundamental. Em alguns momentos, pudemos observar e conviver com dificuldades
na aprendizagem deste conteúdo matemático, o que sinalizava uma aversão ou até
distanciamento dos alunos.
Neste contexto desafiador, conduzir o aluno à identificação em seu cotidiano
da presença das Frações se tornava um obstáculo, levando-o, algumas vezes, ao
consequente fracasso e rejeição às tarefas. Fato este retomou uma memória
pessoal, do momento em que ainda cursava o ensino fundamental, que apesar de
ter bom desempenho e sentir grande satisfação ao estudar matemática, tais
dificuldades também estavam presentes.
Anos antes, durante o curso de Licenciatura em Matemática, o estereótipo de
esta disciplina ser difícil, complicada e somente para alguns “escolhidos”, que
sempre esteve presente em nossa vida escolar, parecia manter-se, motivo este que
instigava a sempre procurar entender os “porquês” de tudo na Matemática.
O contato com disciplinas de cunho didático-pedagógicas, ainda na
Graduação, aumentou o interesse em conhecer, compreender e criar novas e
diferentes maneiras em ensinar Matemática. Na oportunidade, o conteúdo de
Fração, ministrado no 6º ano do ensino fundamental, mostrava-se um interessante
objeto de pesquisa para o desenvolvimento do Trabalho de Conclusão de Curso.
Então, como Trabalho de Conclusão de Curso, foi desenvolvido um estudo
acerca das principais dificuldades apontadas por alunos da 5ª série do Ensino
22
Fundamental na resolução de tarefas sobre Frações. Entretanto, pelas limitações
deste estágio acadêmico e (falta de) maturidade na pesquisa, pela complexidade do
objeto de estudo, o trabalho na graduação não exauriu as possiblidades para o
mesmo.
O período de curso das disciplinas da Especialização em Educação
Matemática proporcionou a possiblidade de retomar este estudo. Iniciamos, então,
uma pesquisa acerca dos Diferentes Significados da Fração, como possiblidade de
abordagem deste conteúdo.
Já no Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado
do Pará (Mestrado Acadêmico em Educação), o ensejo em aprofundar
conhecimentos e compreender, de modo pleno, o processo de aprendizagem de
Fração apresentou um campo fértil de pesquisa, pois os conhecimentos
provenientes das disciplinas realizadas no curso, bem como as discussões feitas
durante as aulas oportunizaram subsídios para o aprofundamento deste objeto.
Neste estudo analisamos o processo de ensino e aprendizagem do número
racional em sua forma fracionária que doravante denominaremos, simplesmente,
como Fração, buscando refletir na busca de novos caminhos que possam contribuir
para a melhora no ensino e no aprendizado deste conteúdo matemático.
Dessa maneira, dissertamos acerca da seguinte questão norteadora: Que
efeitos o desenvolvimento de uma sequência didática, baseada no ensino por
atividades, para o Ensino de Frações, em uma turma de 6º ano do Ensino
Fundamental de uma Escola Pública de Belém, provoca sobre a participação
em aulas de Matemática e no desempenho da resolução de questões
envolvendo conceitos relacionados a Frações?
Para tanto, buscamos, inicialmente, compreender como os docentes e
discentes percebem o ensino da Fração na Educação Básica, quais são abordagens
metodológicas mais frequentes no ensino de Frações, o que apontam os estudos
realizados acerca deste objeto, para obtermos subsídios suficientes para a
construção de nossa Sequência Didática. Assim, propomos experimentar e analisar
os efeitos de uma sequência didática que auxilie na tentativa de alcançar uma
alternativa metodológica, que atenda a necessidade de abordagem do conteúdo
Fração, tendo como sujeitos desta pesquisa discentes do 6º ano do nível
fundamental de uma escola pública da rede estadual do município de Belém (PA).
23
Portanto, o objetivo principal deste estudo foi avaliar os efeitos da aplicação
de uma sequência didática, baseada no ensino por atividades, para o Ensino
de Frações, sobre alunos de uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental de
uma Escola Pública de Belém, nas aulas de matemática e sobre o desempenho
de resolução de questões envolvendo este conteúdo.
Assim, nossos objetivos específicos foram: identificar as principais
dificuldades no processo de ensino e aprendizagem de Fração, bem como as
metodologias de ensino utilizadas para abordar este conteúdo matemático, conhecer
aspectos da formação e os saberes de professores de Matemática sobre Frações,
elaborar uma sequência de atividades para o ensino de Fração, analisar os efeitos e
as contribuições desta sequência para a aprendizagem deste conteúdo, avaliar a
participação destes alunos em aulas de Matemática durante o desenvolvimento da
sequência didática, avaliar o desempenho dos mesmos ao resolverem questões
sobre Frações após a aplicação da sequência.
Quanto à opção metodológica desta pesquisa, nos fundamentamos nos
Princípios da Engenharia Didática, de Michele Artigue (1996), pois se apresenta
adequada para tal proposta, visto que é uma metodologia de pesquisa com a
finalidade de analisar situações didáticas.
A Engenharia Didática caracteriza-se por ser uma metodologia qualitativa, na
qual a análise dos dados é feita a partir de uma abordagem comparativa com a
validação de hipóteses levantadas no processo da investigação. Elas são realizadas
confrontando-se expectativas, experimentação e resultados, e a validação dessas
análises é interna.
Conforme Oliveira (2013, p. 153), a Engenharia Didática “associa pesquisa
com ação didática no contexto da sala de aula”. Esta metodologia é caracterizada
por um esquema experimental de sequência de atividades didáticas no ensino, isto
é, na concepção, na realização, na observação, e na análise de sequências de
ensino, caracterizando-se pelos registros das observações feitas sobre o caso em
questão e sua validação.
Artigue (1996) relaciona o trabalho do pesquisador de didática ao trabalho de
um engenheiro, no que diz respeito ao processo de concepção, planejamento e
execução do projeto. Ela determina as características da Engenharia Didática como
metodologia de pesquisa. Escolhemos esta metodologia por confiarmos que seja
mais adequada para este tipo de estudo.
24
No Brasil, esta metodologia é objeto de estudo de Pais (2001, 2015) e
Almouloud (2007), importantes pesquisadores na área da Educação Matemática, os
quais também serviram de fonte para nosso embasamento.
Esta metodologia de pesquisa é dividida em quatro fases, proposta por
Artigue (1996): Análises prévias (ou análises preliminares); Concepção e análise a
priori; Experimentação; e, Análise a posteriori e validação. As quais descrevemos
como serão desenvolvidas em nosso estudo a seguir.
I- Análises Prévias: nesta primeira fase do estudo, buscamos estudar a
epistemologia do objeto, a partir do levantamento de referenciais teóricos sobre os
quais será elaborada a sequência didática; os aspectos históricos do objeto, o
estado da arte e uma consulta através da aplicação de questionários com 100
docentes e 100 discentes (7º ano, egressos do 6º ano, pois já estudaram este
conteúdo) sobre o ensino de Frações.
Os aspectos referentes ao conteúdo de Fração serão realizados sob três
óticas: Fração no Ensino de Matemática, o ensino de Fração na Escola e a Revisão
dos Estudos acadêmicos acerca do processo de ensino e aprendizagem de Fração.
No tópico Fração no Ensino de Matemática, abordaremos aspectos históricos sobre
a evolução do conteúdo de Fração, sua definição formal e propriedades; em o
ensino de Fração na Escola Básica, discutiremos as propostas presentes nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2008), os apontamentos dos Sistemas
de Avaliação, no âmbito regional (SISPAE, 2015) e no âmbito nacional, do Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (Inep), no que se refere a Provinha
Brasil, do Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) aplicada em 2015;
seguindo pela revisão de estudos, dividida em quatro categorias: Estudos sobre os
cinco significados da Fração, Estudos Diagnósticos, Estudos Experimentais e
Estudos sobre a formação de professores.
Nas consultas aos docentes, consultamos professores da rede pública de
ensino paraense, atuantes no Ensino Fundamental, para obter informações sobre
ensino de Fração, quais metodologias de ensino utilizam, quais os obstáculos de
ensino e o grau de dificuldade em aprender que os alunos apresentam.
Em relação aos discentes egressos do 6º ano do Ensino Fundamental, com o
objetivo de verificar qual a percepção deles com relação ao conteúdo de Fração,
suas possíveis dificuldades, utilizando para isso, um modelo de questionário análogo
25
ao aplicado ao docente como meio de coleta de dados. Para então, traçar o perfil
dos docentes e dos discentes.
II- Concepção e análise à priori: nesta fase da Engenharia Didática é
realizada a descrição das escolhas feitas e as características de cada situação
didática, analisando a importância dessas situações para o aluno, fundamentando-
se em hipóteses. Neste momento são delimitadas as variáveis de comando, as quais
permitem conhecer o que se pretende experimentar.
Conforme Artigue (1996), essas variáveis são classificadas como variáveis
globais e locais. As variáveis locais ou micro-didáticas dizem respeito ao
planejamento específico de uma fase (aula) da sequência didática, e as variáveis
globais ou macro-didáticas se referem à elaboração global da sequência didática.
Essas variáveis serão observadas e analisadas durante a aplicação da
sequência, relacionando o conteúdo em questão com a sequência proposta. O
confronto, operado na análise a priori e a posteriori resultará na validação dessas
hipóteses (ARTIGUE, 1996).
Esta segunda fase, contou com o subsídio da fase anterior, que contribuiu
para a construção das atividades da sequência. Dessa forma, realizada a descrição
da abordagem metodológica da Sequência de Atividade proposta, descrição das
escolhas e características de cada situação didática, análise da importância dessas
situações para o aluno, bem como as hipóteses levantadas.
Neste sentido, foram elaboradas 10 atividades para a Sequência Didática,
acerca do estudo do conteúdo de Fração, que possibilitem ao estudante a
construção de conceitos relacionados a este conteúdo.
As atividades construídas consideram fatores evidenciados nas análises
prévias decorrentes de todo o levantamento bibliográfico, bem como as variáveis
que mais se destacaram em relação às dificuldades de aprendizagem, evidenciado
em nas consultas a docentes e discentes sobre o processo de ensino-aprendizagem
de Frações.
III- Experimentação: a terceira fase é a realização da sequência didática
propriamente dita, que foi organizada com um número determinado de aulas
planejadas e com uma prévia análise, com a intenção da observação das situações
de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos na pesquisa. Nesse momento
realizamos registros que ajudaram na quarta fase da Engenharia Didática.
26
A Experimentação, diz respeito à aplicação da Sequência didática produzida
na fase anterior. As atividades utilizadas na Sequência Didática desse estudo foram
aplicadas em uma Escola Pública estadual do município de Belém. A
experimentação contou com a participação de uma turma do 6º ano do Ensino
Fundamental.
IV- Análise à posteriori e validação: A quarta e última fase da Engenharia
didática é focada em todos os aspectos do processo da sequência didática: as
observações, os registros das observações e representações professor/aluno, até a
análise dos resultados.
Essa fase se apoia no conjunto dos dados recolhidos na experimentação,
observações realizadas nas sessões de ensino, nas produções dos alunos dentro e
fora da sala de aula, conforme Artigue (1996). Adicionados a estes dados,
questionários, testes individuais ou em grupos, realizados em diversos momentos do
ensino ou no final completam a análise.
No momento da validação foi realizado o cruzamento entre os dados da
análise a priori e a posteriori para a verificação das hipóteses feitas no início do
estudo. Conforme Pais (2001) esta é uma etapa em que a vigilância deve ser
ampliada, pois ela irá garantir o caráter científico. Somente após vivenciar cada uma
destas fases chega o momento de fazer o relatório final dos resultados obtidos na
Engenharia Didática vivenciada num contexto escolar, segundo Oliveira (2013).
Nesta última etapa da pesquisa, a produção de informações para análise foi
realizada por meio de registros de um observador em diário de campo, roteiros das
atividades preenchidas pelos discentes e os testes (Pré e Pós-teste) realizados
pelos mesmos, avaliando sua participação e desempenho, verificamos as condições
e entraves que ocorreram durante a Experimentação, enfim, pontuamos as
mudanças ocorridas nas relações dos fenômenos discutidos em relação ao
conteúdo de Frações, o que nos possibilitou fazer as devidas avaliações e validação
da nossa sequência.
Dessa maneira, concluímos esta produção com nossas considerações finais.
27
1. ANÁLISES PRÉVIAS
No estudo do processo de ensino e aprendizagem de Fração, é de
fundamental importância a exploração de dois aspectos deste conteúdo: sua
disposição na Matemática enquanto ciência (sua evolução, aspectos matemáticos e
formalidade) e o da Matemática como disciplina escolar (sua localização no
currículo, seu ensino e aprendizagem).
Nesse sentido, apresentaremos nesta seção aspectos do conteúdo de Fração
sobre diferentes enfoques. O primeiro se refere à Fração no Ensino Matemática,
onde realizaremos uma breve descrição da evolução histórica deste conteúdo.
O segundo enfoque refere-se ao Ensino de Fração na Escola Básica,
destacando as recomendações presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 2008), os resultados e indicações das avaliações regionais do Sistema
Paraense de Avaliação Educacional (SISPAE, 2015) e das avaliações nacionais
realizadas pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (Inep), no
que se refere a Provinha Brasil, do Sistema de Avaliação da Educação Básica
(Saeb).
O terceiro enfoque diz respeito à Fração do ponto de vista da Educação
Matemática, através da revisão dos estudos realizados desde 2001 até os dias
atuais que buscam conhecer o processo de ensino e aprendizagem de números
racionais na forma de Fração, tecendo considerações a respeito do significado de
Fração, do uso de metodologias de ensino como proposta metodológica e práticas
de ensino, aos conhecimentos dos professores acerca do assunto e sua formação
inicial e/ou continuada, à aprendizagem e compreensão dos conceitos e as atitudes
em relação a este conteúdo matemático.
1.1 Fração no Ensino de Matemática
1.1.1 Aspectos Históricos
Para conhecermos os aspectos históricos que permeiam as Frações,
precisamos inicialmente, conhecer como se deu o desenvolvimento histórico deste
conteúdo matemático. A História da Matemática nos apresenta como se deu a
evolução deste conteúdo desde épocas mais remotas até os dias atuais com a
28
contribuição de alguns povos, com suas diferentes representações ao longo do
tempo.
Boyer (1996) conjectura não ter havido necessidade dos homens primitivos
usarem as frações. Somente com o aparecimento de culturas mais avançadas,
durante a Idade do Bronze, parece ter surgido a necessidade da utilização do
conceito de fração e notação para representar as frações. Para os egípcios, o
aspecto mais notável é o seu cálculo de frações, onde todas as frações eram
reduzidas a somas das chamadas frações unitárias e isso só era possível através de
tabelas, exemplo disso é o Papiro de Rhind.
Com a descoberta do Papiro de Rhind (descoberto em 1858; escrito por volta
de 1650 a. C. por Ahmes) e do Papiro de Moscovo e seus problemas matemáticos,
constata-se que já havia familiaridade com o uso das Frações unitárias, que
possuíam uma notação especial, presentes em inscrições hieroglíficas que se
apresentavam da seguinte maneira:
O recíproco de qualquer inteiro era indicado simplesmente colocando sobre
a notação para um inteiro um sinal oval alongado. A fração 1
8 aparecia então
como e 1
20 como . Na notação hierática dos papiros, o oval alongado é
substituído por um ponto, colocado sobre a cifra para o inteiro correspondente (ou sobre a cifra da direita no caso do recíproco de um
número multidígito). No Papiro de Ahmes, por exemplo a fração 1
8 aparece
como =̇ e 1
20 como
∙
^ (BOYER, 1996, p. 9).
Conforme Ifrah (1997a, p. 349) este sinal oval era o hieróglifo da boca, que
tinha o sentido de “parte” e era colocado embaixo do número que servia de
denominador.
Figura 1 – Frações Egípcias: notação
Fonte: Ifrah (1997a, p. 349)
Algumas Frações recebiam representações especiais, como 1
2 que era
representado por hieróglifo que exprimia a ideia de “metade”, 2
3 por um hieróglifo que
29
significava “duas partes” e como 3
4 por um hieróglifo que denotava “três partes”,
conforme Ifrah (1997a, p. 349).
Embora Cajori (1993, p. 13), Smith (1958) e Boyer (1996) anunciem a fração 1
4
como uma representação usual, com o símbolo oval; Bunt, Jones e Bedient (1988, p.
16) explicitam que os egípcios utilizavam um símbolo especial para esta fração
também. Vejamos a imagem (Figura 2) a seguir:
Figura 2 – Frações Egípcias: representações especiais
Fonte: Bunt, Jones e Bedient (1988, p.16)
Cajori (1993) nos apresenta as várias formas como as frações se
apresentavam no Egito:
Figura 3 – Frações Egípcias: variação dos símbolos
Fonte: Cajori (1993, p. 13)
Com exceção de 2
3 e
3
4 , os egípcios só utilizavam as frações unitárias, não
reconheciam frações de numerador além da unidade. Ifrah (1997a) apresenta que
para exprimir, por exemplo, o equivalente de nossa fração 3
5 , eles decompunham
em uma soma de frações com numerador 1. Assim:
3
5 =
1
2 +
1
10
30
Em notação egípcia da época, teríamos a fração 3
5 como na imagem 4:
Figura 4 – Frações Egípcias: não unitárias
Fonte: Ifrah (1997a, p. 349)
Para Boyer (1996), estas frações unitárias eram bastante manipuladas em
Ahmes, porém a fração geral era tomada como um enigma para os egípcios. A
fração 2
3 era utilizada de maneira livre e era atribuído um sinal hierático 2.
Ocasionalmente usavam sinais especiais para frações da forma 𝑛
(𝑛+1), os
complementos das frações unitárias.
Nos processos aritméticos, a fração 2
3 era utilizada de maneira especial, tal
que para encontrar a terça parte de um número, primeiramente calculavam dois
terços e tomavam depois a metade disso. Os egípcios conheciam e usavam o fato
de dois terços da fração unitária 1
𝑝 ser a soma de duas frações unitárias
1
2𝑝 e
1
6𝑝 .
Porém, como confirma Boyer (1996), parece que tirando a fração 2
3 os egípcios
consideravam a fração racional própria geral da forma 𝑚
𝑛 não como algo elementar,
mas como parte de um processo inacabado, assim, as frações eram sempre
pensadas como somas de frações unitárias.
A operação aritmética fundamental no Egito era a Adição, já as operações,
hoje conhecidas como multiplicação e divisão eram efetuadas por sucessivas
duplicações, o que levou esse povo a alcançar grande virtuosidade no processo de
duplicação e do conceito de Fração unitária, perceptível nos cálculos dos problemas
do Papiro de Ahmes.
Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 18) apresentam que os egípcios utilizavam
uma representação diferente para facilitar no momento de realizar cálculos com as
frações, por exemplo, 1
12 era representado por 12̅̅ ̅̅ ̅, e, generalizando,
1
𝑛 era �̅�.
Para Ifrah (1997b, p. 327), a notação moderna das frações ordinárias deve-se
aos hindus, que devido ao uso de um sistema decimal posicional, chegaram a
31
simbolizar de maneira semelhante, como usamos atualmente, uma fração como
34
1265; onde 34 é o numerador e 1265 é o denominador. Esta notação foi
aperfeiçoada e adotada pelos árabes, que inventaram a barra horizontal.
Os Babilônios, conforme Boyer (1996), a cerca de 5.000 anos atrás,
obtiveram um nível de superioridade matemática com relação aos egípcios. Esta
civilização da Mesopotâmia atingiu uma grande habilidade para calcular com um
sistema sexagesimal, utilizando uma notação posicional própria, apesar de o
sistema decimal já ser comum à maioria das civilizações, tanto antigas como
modernas, talvez justificado na astronomia, ou por uma grandeza de sessenta
unidades ser facilmente subdividida.
Figura 5 – Frações Babilônicas: notação
Fonte: Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 46)
Para Ifrah (1997b) os babilônios, partindo do principio de posição e ao
representar frações cujo denominador é uma potencia de 60, utilizavam o que hoje
chamamos de potências negativas de 60: (60-1 = 1/60, 60-2 = 1/602 = 1/3.600, 60-3 =
1/603 = 1/216.000 etc.). Dessa maneira, a numeração era desenvolvida à esquerda
em potências positivas de 60 (601, 602, 603 etc) e à direita em potências negativas
de 60 (1, 60-1, 60-2, 60-3 etc). Para o autor, este sistema era:
(...) exatamente da mesma maneira como o desenvolvimento dos números em potências positivas ou negativas de dez de nosso sistema decimal. A única diferença é que não houve no sistema nenhum sinal comparável a nossa vírgula para permitir a separação da parte inteira da parte fracionária (IFRAH, 1997b, p. 307).
A falta deste sinal para separar a parte inteira da parte fracionária foi razão
para dificuldades na interpretação das notações numéricas utilizadas pelos
babilônios.
32
Os gregos usavam uma representação simples, com frações unitárias. Na
carência de um sistema uniforme, os gregos usavam as frações unitárias egípcias,
as frações sexagesimais da Babilônia, além das frações cuja notação se assemelha
a nossa.
Para os gregos, conforme Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 68) e Smith (1958),
o numerador recebia um acento e o denominador era repetido e recebia dois
acentos, assim:
2
3 = β’γ”γ”
Posteriormente, durante o período alexandrino, o hábito grego antigo de usar
frações comuns com o numerador embaixo do denominador foi invertido,
começaram a usar como notação o denominador acima do numerador, ainda sem o
uso da barra, e foi nessa forma que os hindus o adotaram, sem a barra entre eles,
da seguinte maneira:
2
3=
γβ
Boyer (1996) indica que parece ter havido algum contato entre a Índia e a
China e desta com o Ocidente, mas os estudiosos não estão de acordo quanto à
extensão e ao sentido do conhecimento emprestado entre esses povos. O fato de a
notação chinesa permanecer essencialmente decimal, com notações diferentes das
de outros países, faz com que não se consiga perceber influencias dos babilônios e
dos gregos na matemática chinesa. Pois não há referência de os chineses terem
usado frações sexagesimais.
Os chineses conheciam as operações com frações comuns, para as quais achavam o mínimo denominador comum. Como em outros contextos, viam analogias com diferenças entre os sexos, referindo-se ao numerador como “filho” e ao denominador como “mãe”. A ênfase sobre yin e yang (opostos, especialmente em sexo) tornava mais fácil seguir as regras para manipular frações (BOYER, 1996, p. 137)
A descrição mais importante da numeração chinesa era a tendência ao uso
das frações decimais. Conforme Boyer (1996), a adesão à ideia decimal em pesos e
medidas teve como resultado um hábito decimal no tratamento de Frações que pode
ser encontrado já no século XIV a. C.
Os Árabes utilizavam as frações decimais, talvez por influência da China, e
percebendo a importância do notável matemático Jamshid Al-Kashi e sua
contribuição para este assunto, este foi considerado o inventor das frações decimais,
33
indicando que as decimais são igualmente convenientes para problemas que
exigiriam muitas casas exatas. Este matemático, embora tivesse precursores, foi o
primeiro, dentre os que usavam frações sexagesimais, a sugerir que as decimais
são igualmente convenientes para problemas que exigem muitas casas exatas
(BOYER, 1996, p. 167).
Já na Idade Média, Fibonacci usava regularmente a barra horizontal para
Frações, conforme afirma Boyer (1996). Este matemático foi um dos primeiros a
separar o numerador do denominador por um traço. Antes dessa época, quando as
frações eram escritas em algarismos hindu-arábicos, o denominador era escrito
embaixo do numerador, mas sem qualquer sinal de separação. Apenas no século
XVI o uso da barra tornou-se comum (a barra inclinada foi sugerida em 1845, por De
Morgan), conforme indica o autor (p.173).
13
= 1
3
A partir do século XVI, coube aos europeus tornar compreensível a aplicação
do princípio posicional aos submúltiplos da unidade, tornando possíveis os cálculos
com quantidades menores que a unidade, sem o uso de frações. A transição da
Renascença para o mundo moderno também se fez por meio de um grande número
de matemáticos, dentre eles, há alguns que contribuíram para a o surgimento das
frações decimais, conforme Jucá (2008).
Segundo Ifrah (1997b, p. 328), em 1582 o belga Simon Steven separou a
parte inteira da parte decimal de 679,567 da seguinte maneira:
679(0) 5 (1) 6 (2) 7 (3)
Dessa maneira, simbolizou 679 partes inteiras, 5 décimos, 6 centésimos e 7
milésimos, o que, para o autor, foi um passo decisivo ruma a nossa notação atual.
Simon Stevin, em 1585, fez uma recomendação em favor da escala decimal
para frações e inteiros. Boyer (1996) aponta que Stevin deu o primeiro tratamento
sistemático às frações decimais, que buscava ensinar como efetuar, com mais
facilidade, as computações por meio de inteiros sem frações.
A organização lógico-histórica do conceito de fração e da evolução de sua
representação numérica perpassa séculos, desde as frações unitárias dos egípcios
até o nosso sistema de numeração decimal posicional dos dias de hoje. A origem
deste conhecimento matemático está estreitamente relacionada ao problema de
medida e na busca de uma notação para representar esta medida.
34
1.1.2 A O Ensino de Fração na Escola
O estudo de Matemática no Ensino Fundamental leva o aluno,
gradativamente, a perceber que os números naturais são insuficientes para
representar todas as situações em que nos deparamos no cotidiano. Situações
como a divisão de uma barra de chocolate entre três crianças mostram a
necessidade de um novo número que possa representar tal situação.
Os PCN (BRASIL, 2008) apontam que aprendizagem dos números racionais
supõe rupturas com ideias construídas para os números naturais, assim, iniciamos
agora a definição a respeito dos números racionais na forma de Fração.
Uma delas é conceber que a representação 𝑎
𝑏 com 𝑏 ≠ 0 é um número e não
dois números naturais e um traço separando-os, ou seja, este novo número
representa o quociente entre dois números inteiros quaisquer, sendo o segundo não
nulo.
Giménez e Bairral (2005, p. 07) corroboram que existem três concepções
errôneas comumente apresentadas pelos estudantes sobre frações, as quais são:
(a) a fração é uma parte menor da unidade;
(b) são dois números separados por um traço;
(c) a fração é um operador que sempre indica uma subdivisão e, portanto, um
resultado menor.
No cotidiano, as frações mostram-se em diferentes aspectos: fração como
quantidade, como expressão de um escalar ou medida, função, símbolo ou como
probabilidade, e, a mais frequente, como parte de um todo.
A primeira ideia de Fração é distribuição de uma quantidade, caracterizada
por qualquer tipo de repartição de uma coleção de objetos em um número de partes,
com a conseguinte designação do que corresponde a cada uma e, traz consigo a
identificação do resto da divisão como parte do divisor.
A segunda ideia diz respeito à Fração como expressão de um escalar ou
medida, atribui-se à situações em que a Fração é utilizada explicitamente para
designar medidas ou processos de medição, ou estratégias de agrupamento. A
terceira indica o aspecto de Fração como função, ou seja, uma relação de objetos ou
35
realidades, como a relação entre duas partes distintas de um todo, ou as situações
de reduções ou ampliações.
A quarta ideia é de Fração como símbolo, que se subdivide em: Fração como
par ordenado; equivalência como diversidade de representações de uma mesma
realidade; inverso ou inversão de uma Fração; Fração como quociente de dois
números naturais; Fração como operador multiplicativo; como expressão de uma
medida e como resultado de equação linear do tipo:
ax = b (a≠0).
A quinta se refere à Fração como probabilidade, na qual expressa uma
relação ou uma determinada quantidade.
Convergindo com as ideias de Giménez e Bairral (2005), os PCN (BRASIL,
2008), com outra perspectiva, nos fornece que os racionais assumem diferentes
significados nos diversos contextos: relação parte/todo, divisão e razão. Neste
estudo, as atividades propostas serão sustentadas na relação parte/todo.
A relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide em
partes equivalentes, indicando uma relação que existe entre um número de partes e
o total de partes. Busca-se então, que o aluno seja capaz de identificar a unidade
que representa o todo (grandeza contínua ou discreta), compreenda a inclusão de
classes, saiba realizar divisões operando com grandezas discretas ou contínuas,
conforme os PCN.
No ensino de Matemática, o conceito de Fração é explorado, com maior
frequência, em situações em que está presente a relação parte-todo, na qual a
Fração indica uma relação existente entre um número de partes e o total de partes,
sendo esta abordagem comumente encontrada nos livros didáticos.
A ideia presente nessa relação é a da partição de um todo 𝑎 (contínuo ou
discreto) em b partes iguais e que cada parte pode ser representada como 𝑎
𝑏. Em
nosso estudo assumiremos a relação parte-todo como: dado um todo, dividido em
partes iguais, cuja utilização de um procedimento de dupla contagem é suficiente
para chegar a uma representação correta, ou seja, esse procedimento consiste em
quantas partes o todo foi dividido (denominador) e o número de partes tomadas
(numerador).
𝑎
𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0, 𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒)
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑡𝑜𝑑𝑜)
36
1.1.3 O Ensino de Fração na Escola
O conteúdo de Frações é delimitado no currículo de Matemática para sua
abordagem nos ciclos iniciais do Ensino Fundamental, com aspectos iniciais no 4º
ano do fundamental e o desenvolvimento do conceito e operações no 6º ano deste
nível de ensino.
Um aspecto importante sobre o estudo e a aprendizagem dos números
racionais é destacado nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL,
2008) destacando que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os
significados associados a este tipo de número, nem seus procedimentos de cálculo,
embora sejam conteúdos desenvolvidos nos ciclos iniciais (p. 100).
O documento também aponta que a abordagem dos números racionais tem
como objetivo levar os alunos a perceber que os números naturais são insuficientes
para resolver determinadas situações-problema, sugerindo uma abordagem a partir
de problemas históricos envolvendo medidas como contexto para seu ensino.
Os PCN (BRASIL, 2008) destacam como pontos importantes do
desenvolvimento do conteúdo de números racionais: os significados (a relação
parte-todo, divisão, razão e operador) suas diferentes representações (fracionária,
decimal e porcentagem), equivalência, estudo do cálculo com racionais (adição e
subtração com denominadores iguais, adição e subtração com denominadores
diferentes, multiplicação com frações e a divisão om frações).
Avaliações oficiais, realizadas nos âmbitos federal e estadual corroboram com
os apontamentos dos PCN, pois tem encontrado resultados que apontam o baixo
desempenho dos alunos aos se depararem com questões envolvendo Fração.
Na esfera estadual, o Sistema Paraense de Avaliação Educacional (SISPAE,
2015), que é um processo avaliativo de larga escala, que investiga as habilidades e
competências para mobilizar conhecimentos adquiridos na escola, desenvolvidas
pelos alunos durante a trajetória escolar, apresenta para o Ensino Fundamental, em
seus descritores, os seguintes conteúdos referentes ao ensino de números
racionais.
Identificar diferentes representações de um mesmo número racional;
Identificar fração como representação que pode estar associada a
diferentes significados (parte/todo, quociente, razão);
37
Identificar a localização de números racionais representados na reta
numérica;
Reconhecer as representações decimais dos números racionais como
uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de
ordens como décimos, centésimos e milésimos;
Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação - expoentes inteiros e
radiciação);
Resolver problemas com números racionais que envolvam as
operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).
Diante da avaliação do Sistema Paraense de Avaliação Educacional
(SISPAE) realizada em 2015, os resultados que revelam que, das escolas estaduais,
63,6% dos alunos do 5º ano do Ensino Fundamental apresentam nível de
proficiência em Matemática abaixo do básico, ou seja, demonstram domínio
insuficiente dos conhecimentos, habilidades e competências desejáveis para o ano
escolar em que se encontram; 28,6% encontram-se no nível básico; 6,8 no nível
adequado e apenas 1% dos estudantes encontra-se no nível avançado.
Já para o 8º ano, 55,7% dos alunos alcançaram nível de proficiência abaixo
do básico; 34,9% básico; 8,5% adequado e 0,9% avançado. Para o 9º ano, o nível
de proficiência avançado caiu para 0,2%; ficando 2,8% dos alunos no nível
adequado, 33,2% no nível básico e 63,8% abaixo do básico.
Conforme o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (Inep), o
Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb), é composto por um conjunto de
avaliações externas em larga escala e tem como principal objetivo realizar um
diagnóstico da educação básica brasileira e de alguns fatores que possam interferir
no desempenho do estudante, fornecendo um indicativo sobre a qualidade do ensino
ofertado.
Este sistema de avaliação traz em sua matriz de referência, o destaque para
os seguintes objetivos inerentes ao conteúdo dos números racionais.
Para o 5º ano:
Identificar diferentes representações de um mesmo número racional;
38
Identificar a localização de números racionais representados na forma
decimal na reta numérica;
Identificar fração como representação que pode estar associada a
diferentes significados.
Resolver problema com números racionais expressos na forma decimal
envolvendo diferentes significados da adição ou subtração.
Para o 9º ano:
Identificar a localização de números racionais na reta numérica;
Reconhecer as diferentes representações de um número racional;
Identificar fração como representação que pode estar associada a
diferentes significados;
Identificar frações equivalentes;
Reconhecer as representações decimais dos números racionais como
uma extensão do sistema de numeração decimal identificando a existência de
“ordens” como décimos, centésimos e milésimos;
Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais
(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação);
Resolver problema com números racionais que envolvam as operações
(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).
Resultados apontados pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais (Inep), no que se refere a Provinha Brasil, do Sistema de Avaliação da
Educação Básica (SAEB, 2015) aplicada em 2015 indicou que o estado do Pará
possui proficiência média em Matemática, no 5º ano do Ensino Fundamental, inferior
à média nacional, na qual mais da metade dos alunos pesquisados encontram-se no
3º nível (de um total de 10).
Assim, no que se refere à Fração, mais da metade dos alunos do estado do
Pará não alcançaram as habilidades exigidas a partir do 4º nível, que são:
reconhecer uma fração como representação da relação parte-todo, com o apoio de
um conjunto de até cinco figuras; associar a metade de um total ao seu equivalente
em porcentagem; localizar um número racional dado em sua forma decimal em uma
reta numérica graduada onde estão expressos diversos números naturais
consecutivos, com dez subdivisões entre eles; reconhecer uma fração como
representação da relação parte-todo, com apoio de um polígono dividido em oito
39
partes ou mais; associar a metade de um total a algum equivalente, apresentado
como fração ou porcentagem; reconhecer uma fração como representação da
relação parte-todo, sem apoio de figuras, etc.
Estes dados foram levados em consideração no momento da construção de
nossa Sequência didática, tanto no sentido de traçar objetivos de aprendizagem
para cada das Sessões de Ensino quanto na construção de estratégias para superar
estas dificuldades.
1.2 Revisão dos Estudos
As Frações, seu processo de ensino e de aprendizagem, seus elementos
curriculares, são objetos de estudo de pesquisas em Educação, educação
Matemática, Ensino de Matemática, etc. Os mais diversos olhares para este tema,
são influenciados e assumem as mais diversas interpretações a partir das
experiências, diagnósticos, estudos e experimentos dos pesquisadores. O objetivo
desta seção é fazer uma revisão de alguns estudos que foram realizados sobre o
ensino dos números racionais na forma fracionária, com o intuito de relacionar as
dificuldades de aprendizagem referentes a esse conteúdo para subsidiar nosso
experimento. Foram considerados 45 estudos sobre a problemática do processo de
ensino-aprendizagem das frações.
A seguir apresentamos uma breve análise desses estudos, apresentados a
partir das categorias explicitadas acima. Para alcançar este objetivo foram
pesquisados trabalhos na base de dados dos periódicos nacionais da Capes,
Periódicos Capes, mais especificamente o Google Acadêmico, com as chaves de
busca, com os termos livres: “Fração”, “Ensino de Fração”, “Significados de Fração”,
“Aprendizagem de Fração”, “Números racionais”. A seleção consistiu em considerar
os trabalhos publicados desde o ano 2001 até os dias atuais, garantindo a detecção
da maioria dos trabalhos publicados dentro destes critérios.
Os critérios utilizados para a organização destes estudos foram suas
abordagens, resultando em 14 que versam sobre os diferentes significados de
Fração; 13 que realizaram estudos diagnósticos, 16 que realizaram pesquisas
experimentais e 2 que exploram a temática da Formação do professor para o ensino
de número racional.
40
Quadro 01 – Quadro Geral da Revisão dos estudos
(continua)
Tipo de estudo Número de estudos Autor, ano
Os diferentes Significados de Fração
14 estudos
Bezerra, 2001
Rodrigues, 2005
Santos, 2005
Merlini, 2005
Moutinho, 2005
Maciel e Câmara, 2007
Vasconcelos, 2007
Lins e Silva, 2007
Malaspina, 2007
Onuchic e Alevato, 2008
Teixeira, 2008
Magina e Campos, 2008
Okuma, 2010
Lessa, 2011
Estudos Diagnósticos 13 estudos
Notari, 2002
Fonseca, 2005
Oliveira e Aguila, 2005
Canova, 2006
Silva, 2007
Cavalcante et al, 2007
Nascimento, 2008
Justulin e Pirola, 2008
Lopes, 2008
Silva et al, 2010
Silva e Ito, 2013
Santana et al, 2013
Souza, 2013
Estudos Experimentais 16 estudos
Monteiro et al, 2005
Silva, 2007
Druzian, 2007
Secco, 2007
Rosa, 2007
Costa e Sá, 2007
Guerra e Silva, 2008
Silva e Almouloud, 2008
Magina et al, 2009
Moreira, 2010
Sá et al, 2010
Moreira et al, 2010
Pasuch et al, 2013
Jesus, 2013
Lopes e Patrício, 2013
Schimitt et al, 2014
41
Quadro 01: Quadro Geral da Revisão dos estudos
(conclusão)
Sobre a Formação de
Professores
02 estudos
Damico, 2007
Pinto e Ribeiro, 2013
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
1.2.1 Estudos sobre os cinco diferentes significados de fração
O processo de ensino e aprendizagem de Frações, envolvendo um ou mais
dos cinco significados: parte-todo, quociente, medida, operador multiplicativo e
número foi considerado como uma das categorias de análise para este levantamento
de estudos.
O quadro 02 a seguir nos apresenta os estudos selecionados a partir deste
critério.
Quadro 02 – Estudos sobre os diferentes significados de Fração
(Continua)
Autor Título Ano de
publicação
Bezerra Introdução do conceito de número fracionário e de suas
representações: uma abordagem criativa para a sala de aula
2001
Rodrigues Números racionais: um estudo das concepções dos alunos
após o estudo formal
2005
Santos O conceito de Fração em seus diferentes significados: Um
estudo diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental
2005
Merlini O conceito de Frações em seus diferentes significados: um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do ensino
fundamental
2005
Moutinho Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos
de 4ª e 8ª séries do ensino fundamental
2005
Maciel e Câmara
Analisando o rendimento dos alunos das séries finais do ensino fundamental e do ensino médio em atividades
envolvendo Frações e ideias associadas.
2007
Vasconcelos Números Fracionários: a construção dos diferentes
significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do ensino fundamental
2007
Lins e Silva Intervenção docente na construção do conhecimento de
Frações de alunos do EJA
2007
Malaspina O inicio do ensino de Fração: uma investigação com alunos de
segunda série do ensino fundamental
2007
42
Onuchic e Alevato As diferentes personalidades do número racional trabalhadas
através da resolução de problemas
2008
Quadro 02: Estudos sobre os diferentes significados de Fração
(Conclusão)
Teixeira O professor, o ensino de Fração e o livro didático: um estudo
investigativo
2008
Magina e Campos A fração nas perspectivas do professor e do aluno dos dois
primeiros ciclos do ensino fundamental
2008
Okuma Ensino e aprendizagem de Fração: um estudo comparativo e
uma intervenção didática
2010
Lessa A compreensão do conceito de número fracionário: uma
sequencia didática para o significado de medida
2011
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
A organização da apresentação das obras se dará a partir do ano de sua
publicação, ou seja, em ordem cronológica; e os aspectos apontados serão:
primeiramente, autor e ano da obra, destacando os objetivos ou questões de
pesquisa, apontando a metodologia utilizada, explicitando os resultados encontrados
e, finalizando com as conclusões ou considerações dos autores.
Bezerra (2001) realizou um estudo sobre números fracionários com o objetivo
de estudar a aquisição do conceito e de suas representações diante de situações
problema. Desenvolveu sua pesquisa com duas classes de 3ª série do Ensino
Fundamental de uma escola pública, com crianças entre oito e dez anos de idade,
dividas em um grupo experimental e outro de controle. No grupo experimental, foram
realizadas sequencias de ensino que envolviam o conceito de Fração, todas
elaboradas pelo autor. No grupo de controle, não houve nenhum contato com o
conteúdo de Fração.
Ambos os grupos foram submetidos a dois testes: um pré-teste (aplicado
antes da aquisição do conceito de Fração) e um pós-teste (aplicado depois do
contato com este conteúdo), cada um contendo 10 questões. Após análises, este
autor aponta que o grupo experimental obteve melhor desempenho em comparação
ao grupo de controle, sinalizando que o processo de aquisição do conceito de
Fração torna-se significativo quando é iniciado com a resolução de problemas; a
combinação entre os modelos parte-todo, quociente, medida, com quantidades
discretas e contínuas, favorecem a aprendizagem das frações.
Outro estudo que trata do mesmo tema é Rodrigues (2005), que teve como
objetivo identificar aspectos do conceito de Fração com relação ao significado parte-
43
todo e quociente. O estudo é orientado por três aspectos: a gênese do número
racional, os princípios da psicologia cognitivista e modelos específicos para o estudo
de números racionais.
As análises foram apoiadas na aplicação de instrumento composto por 48
questões que envolviam os significados parte-todo e quociente, em três níveis de
dificuldade, para 13 alunos da 8ª série, 31 do 3º ano do Ensino Médio e 29 alunos do
Ensino Superior.
Os resultados apontados pelo autor revelaram que diante de situações em
que o aluno deve estabelecer o referencial de como responder a questão, com
pequena preocupação em relação à fixação desse referencial, se torna tendencioso
em evitar a fração imprópria; nas situações de quociente envolvendo quantidades
discretas, há uma disposição da maioria dos alunos utilizar a cardinalidade do
conjunto a ser repartido, ainda quando esta é dispensável, ocasionando um grande
percentual de erros; ainda nesta situação, há uma obstinação a assumir um número
natural como fração, realizando um processo semelhante à divisão de grandezas
contínuas; e, utilizavam procedimentos intuitivos.
Em sua dissertação, Santos (2005), teve como objetivo compreender o estado
em que se encontra o conceito de Fração, para professores que atuam no Ensino
Fundamental, para isso, propôs a seguinte questão de pesquisa: É possível
reconhecer as concepções dos professores que atam no 1º e 2º ciclos (polivalentes)
e no 3º ciclo (especialistas) no Ensino Fundamental no que diz respeito ao conceito
de Fração? Se sim, quais? Se não, por que?
Para isso, o autor realizou um estudo diagnóstico com 67 professores do
Ensino Fundamental, em 7 escolas públicas estaduais. A pesquisa se deu em dois
momentos: no primeiro, o pesquisador solicitou aos professores que elaborassem
seis problemas que envolvessem o conceito de Fração; no segundo momento, pediu
para que resolvessem os próprios problemas elaborados.
Foram analisados os enunciados dos problemas elaborados e as estratégias
de resolução dos problemas. Os resultados apontaram que tanto os professores
polivalentes, quanto os professores especialistas, valorizavam a fração com o
significado operador multiplicativo na elaboração dos problemas; e, quanto à
resolução, há uma valorização dos aspectos procedimentais nos três grupos.
O autor concluiu que não existe diferença significativa entre a concepção dos
professores polivalentes e especialistas, seja na elaboração ou na resolução de
44
problemas de Fração em seus diferentes significados. Enfatiza que é provável que
essas concepções carreguem fortes influencias construídas na Educação Básica.
Merlini (2005), em sua dissertação, realizou um estudo com 120 alunos da 5ª
e 6ª série do Ensino Fundamental, distribuídos em duas escolas da rede pública
estadual da cidade de São Paulo. A pesquisadora teve como objetivo investigar as
estratégias de resolução de questões que abordavam o conceito de fração a partir
de seus cinco significados: parte-todo, quociente, medida, operador multiplicativo e
número. Apresentou como questão de pesquisa: Quais as estratégias de resolução
alunos de 5ª e 6ª séries utilizam frente a problemas que abordam o conceito de
Fração, no que diz respeito os cinco significados da Fração?
Como instrumentos de pesquisa foram aplicados um questionário e uma
entrevista. Os resultados encontrados após as devidas análises (quantitativa e
qualitativa) apontaram para um mesmo significado, os alunos utilizam uma mesma
estratégia de resolução, ou seja, a abordagem que se faz do conceito de fração, não
garante que o aluno construa o conhecimento deste conceito; o significado parte-
todo apresenta homogeneidade de desempenho em ambas as séries; os
significados número e medida apresentaram os piores resultados.
A autora revela também que avaliações oficiais realizadas nos âmbitos
estadual e federal têm encontrado resultados que apontam baixo desempenho dos
alunos em questões que envolvam Fração. Sendo assim, conclui a pesquisa
destacando que se faz importante elaborar sequencias de ensino para alunos de 5ª
série que trabalhem os cinco significados da Fração, as quais deverão apresentar
quantidades discretas e contínuas com representações icônicas e não icônicas.
Moutinho (2005), ao estudar o ensino de Fração, teve como objetivo
identificar as concepções que alunos de 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental
utilizam frente a problemas que abordam este conceito, e como questão de pesquisa
apresentou: Quais as concepções que são possíveis de identificar com relação aos
cinco significados de Fração a partir de um estudo diagnóstico com alunos de 4ª e 8ª
séries do Ensino Fundamental?
A metodologia contou com um estudo descritivo, com elaboração de um
instrumento diagnóstico, que foi aplicado a 65 alunos da 4ª e 8ª séries do Ensino
Fundamental, de duas escolas públicas estaduais de São Paulo. As análises
centraram-se no desempenho e nas estratégias utilizadas pelos alunos, quando
resolveram de forma errônea as questões propostas.
45
Os resultados apontaram que os alunos da 4ª série demonstraram possuir a
concepção do significado parte-todo como central apara a resolução de problemas,
já os alunos da 8ª série, além desta, buscaram resolver os problemas com um uso
mais intenso de operações sem, contudo, atingir um índice de acerto favorável, o
que resultou em um desempenho menor que dos alunos da 4ª série.
Maciel e Câmara (2007) buscou identificar como se comporta o rendimento de
alunos em atividades de resolução de problemas envolvendo as ideias associadas
às frações, em função de sua escolaridade.
Participaram da pesquisa 630 alunos de duas escolas públicas de
Pernambuco, com uma média de 90 alunos por série. O instrumento constou de 10
itens envolvendo três ideias associadas às frações (parte-todo, quociente e
operador), variando o tipo de quantidade envolvida (discreta e contínua), o registro
de representação (figuras ou linguagem natural).
Os resultados mostram um comportamento diferenciado dos alunos do
terceiro Ciclo (quinta e sexta séries) quando se faz variar o tipo de quantidade e a
ideia de fração envolvida no item. Foi possível identificar também que os tipos de
erros cometidos pelos alunos apresentam certa estabilidade com o desenvolvimento
da escolaridade.
Vasconcelos (2007) investigou a aquisição do conceito de número racional na
sua representação fracionária, com o objetivo de comparar as estratégias cognitivas
utilizadas por alunos com bom desempenho em Matemática com as estratégias
cognitivas utilizadas por alunos que apresentam baixo desempenho em Matemática,
durante o processo de aquisição dos diferentes significados dos números racionais:
parte-todo, quociente e operador multiplicativo.
O estudo foi realizado em uma escola da rede privada de Porto Alegre, com
50 alunos, de 4ª a 8ª séries do Ensino Fundamental. Os resultados mostraram uma
desconexão entre a compreensão dos alunos sobre a divisão e a aprendizagem de
Fração e a relacionou à tendência metodológica em ensinar fração somente o
significado parte-todo.
O autor constatou que embora existam semelhanças nas estratégias de
resolução dos dois grupos, eles apresentam diferenças na recuperação automática
de fatos na memória, que afetam a resolução de problemas mais complexos.
Conclui que é necessário a aquisição do conceito de números fracionários em várias
situações e diferentes contextos, valorizando conhecimentos extraescolares, a
46
interação entre os alunos para observar suas estratégias, proporcionando
diversidade no ensino para possibilitar um avanço de estratégias mais eficiente e
econômicas.
Lins e Silva (2007), no estudo: Intervenção docente na construção do
conhecimento de frações de alunos EJA: um estudo de caso, com uma pesquisa
qualitativa, baseada na observação em sala de aula, questionário e entrevistas,
utilizando quatro os professores como sujeitos de pesquisa, estudou os cinco
significados de Frações: parte-todo, quociente, medida, número e operado
multiplicativo.
Os autores após análises das aulas de uma das professoras EJA da 5º série
do Ensino Fundamental chegaram à reflexão de que esta professora não tinha
conhecimentos sobre os cinco significados, abordou o significado fração como
quociente nas frações próprias e impróprias e nos números mistos; já no significado
parte-todo, também em quantidades contínuas e com ícone em sua maioria, ela traz
frações própria e impróprias, frações equivalentes e simplificação de frações.
O terceiro dos cinco significados abordado pela professora foi situação
operador multiplicativo, onde ela o abordou ao ensinar os alunos a transformar um
número misto em número fracionário; os significados medida e número não foram
mencionados em suas aulas.
A pesquisa de Malaspina (2007) buscou realizar uma intervenção com o uso
de material manipulativo para a introdução do conceito de Fração com alunos da 2ª
série do Ensino Fundamental, com o objetivo de descobrir quais eram os efeitos que
cada um dos significados: parte-todo, quociente, operador multiplicativo e medida,
trazem para a aprendizagem inicial destes alunos.
O estudo se deu com 61 alunos da 2ª série do Ensino Fundamental de uma
escola pública estadual, divididos em dois grupos: um Grupo Experimental, que foi
submetido à intervenção; e um Grupo de Controle, que não passou pela intervenção,
mas que assim como o primeiro, resolveu o instrumento diagnóstico proposto. A
autora elaborou uma sequência didática com 28 situações problema que envolviam
os significados de parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente.
A autora revela que os resultados de seu estudo poderão contribuir para a
construção do conceito de Fração em crianças nos níveis iniciais de ensino; aponta
que houve predominância expressiva do significado parte-todo, em seus valores
absolutos, em todos os testes-diagnóstico; a variável icônica sobressai em relação
47
às outras variáveis, o que indica interferência, para os alunos, na resolução de
situações com esta variável.
Onuchic e Alevato (2008), com o objetivo de abordar e analisar as diferentes
“personalidades” do número racional e o conceito de proporcionalidade, para isso
utilizou a metodologia ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da
resolução de problemas, com o uso de problemas geradores.
Os estudos apresentam alguns dados que foram desenvolvidos em cursos de
formação continuada de professores visando a compreensão das diferentes
“personalidades” do número racional. Para os autores os diferentes significados do
número racional: ponto racional, quociente, fração, razão e operador são construtos
que dependem das teorias matemáticas em que se inserem e das situações a que
se referem na resolução de problemas.
Os resultados apontam que, em geral, essas “personalidades” não são
facilmente identificadas, por professores e alunos, razão das grandes dificuldades
encontradas durante a resolução de problemas envolvendo números racionais. Uma
dessas “personalidades”, a razão, fundamenta o conceito de proporcionalidade,
relevante por ser uma ideia unificadora na Matemática.
Teixeira (2008), em sua dissertação contou com 52 professores como sujeitos
de pesquisa distribuídos em 15 escolas municipais. Teve como objetivo traçar um
diagnóstico das competências e concepções de professores do 2º ciclo do Ensino
Fundamental a respeito do conceito de Fração. Para isso, trouxe como questão de
pesquisa: Quais as concepções e competências apresentadas por professores que
atuam no 2º ciclo do Ensino Fundamental, sobre o conceito de fração e seu ensino?
O autor aplicou um instrumento de coleta de dados composto por 33 questões
subdivididas em três partes, dividias em dois cadernos. A primeira se referia ao perfil
do professor, com 10 questões; a segunda para a concepção, com 18 questões; e, a
terceira com 5 problemas cada um para cada significado da Fração, investigava a
competência.
A análise dos resultados mostrou que mais de 80% dos professores
pesquisados tinham entre 6 e 25 anos de carreira, suas concepções apresentaram
forte tendência em valorizar a Fração com os significados operador multiplicativo e
parte-todo, e, quanto a competência verificou que está fortemente ligada ao
significado parte-todo, seguido dos significados medida e quociente. No geral, o
autor aponta que os professores apresentaram baixo desempenho na resolução de
48
problemas com Fração, concluindo que é necessário ampliar o conhecimento
matemático dos mesmos, bem como realizar trabalhos que ajudem a expandir suas
concepções a respeito do conceito de Fração e de seu ensino.
O estudo de Magina e Campos (2008), traz a discussão do ensino e
aprendizagem do conceito de Fração nas séries iniciais do Ensino Fundamental,
teve como objetivo compreender como a Fração vem sendo concebida e ensinada
no 2º ciclo do Ensino Fundamental.
As autoras realizaram um estudo diagnóstico com 70 professores polivalentes
e 131 alunos da 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental em 7 escolas públicas de São
Paulo. As análises partiram de dois instrumentos de pesquisa, um para os
professores e outro para os alunos.
Os resultados indicam que os professores tem um prognóstico do
desempenho dos alunos longe do real, havendo uma tendência a superestimar o
nível de acertos, principalmente dos alunos da 4ª série, o que, conforme as autoras,
se deve ao fato da maioria dos professores não ter claro, os diferentes significados
de Fração, resumindo as estratégias de ensino ao uso do material concreto e de
desenhos pra realizar comparações, as quais nem sempre auxiliam os alunos a
superarem as falsas concepções sobre este conceito.
O estudo afirma que, embora a maioria dos professores conseguissem
identificar e explicar, de maneira aceitável, os erros cometidos pelos alunos em
diferentes situações, apenas apresentavam estratégias de ensino limitadas, não
oferecendo aos alunos condições de superarem suas dificuldades. Os alunos
apresentaram desempenhos insuficientes quanto ao significado número e operador
multiplicativo.
O trabalho de Okuma (2010) trata do ensino do conceito de fração e teve por
objetivo investigar as variáveis envolvidas na produção de respostas na resolução
dos problemas propostos que tratam do ensino e aprendizagem do conceito de
fração e seus significados: número, parte todo, quociente, medida e operador
multiplicativo.
A metodologia constou de um estudo comparativo dos resultados da
aplicação de uma sequência de situações-problema apresentados por 15 alunos do
5º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede particular.
Os resultados comparativos foram considerados equivalentes e mostraram
que os alunos apresentam dificuldades e estratégias similares na resolução das
49
situações-problema e, ainda, que o desempenho de ambas as turmas foi
considerado insatisfatório. Considerando os resultados apresentados e com a
finalidade de reverter o quadro referente ao baixo desempenho na resolução dos
problemas de fração, optou-se pela realização de uma intervenção por meio de
contação de três pequenas histórias que abordavam três dos quatro significados do
estudo de frações: parte-todo; número; operador multiplicativo. Os alunos se
mostraram interessados com as histórias. Duas semanas após a intervenção, a
autora aplicou a mesma sequência de situações problema e os resultados obtidos
foram analisados e comparados com os da aplicação inicial. Assim, constatou que
houve uma evolução da capacidade de resolução das situações-problema e também
das estratégias utilizadas.
Lessa (2011), ao desenvolver, em sua dissertação, uma proposta de ensino
com alunos do 6º ano em uma escola em Porto Alegre, envolvendo algumas etapas
da engenharia didática, discutiu os diferentes significados do número fracionário e
apresentou como proposta metodológica uma sequência para o significado de
Medida, com o objetivo de verificar a compreensão do conceito de número
fracionário na experimentação desta proposta didática para a escola básica, de
forma a qualificar o ensino-aprendizagem de Matemática.
Para atingir seu objetivo, a autora aplicou uma sequência de atividades a 12
alunos, em 9 módulos, durando no total um mês de intervenção. A autora observou
que é possível, através desta sequência, propiciar aos alunos uma melhor
compreensão do número fracionário e os alunos conseguiram identifica-los também
como medidas de segmentos e pontos na reta.
1.2.2 Estudos diagnósticos sobre frações
Na seleção de trabalhos referente à categoria Estudos Diagnósticos
encontramos 13 trabalhos. As pesquisas foram organizadas em ordem cronológica,
apontando os aspectos: autor e ano da obra, objetivos ou questões de pesquisa,
metodologia utilizada, resultados encontrados e as conclusões ou considerações
dos autores.
50
Quadro 03 – Estudos Diagnósticos sobre Fração
Autor Título Ano de publicação
Notari Simplificação de Frações aritméticas e algébricas: um
diagnóstico comparativo 2002
Fonseca A divisão de números racionais decimais: um estudo
diagnóstico junto aos alunos de 6ª série 2005
Oliveira e Aguila Dificuldade no processo de ensino-aprendizagem na
resolução de problemas envolvendo Fração na 5ª série do ensino fundamental
2005
Canova Crença, concepção e competência dos professores do 1º e
2º ciclos do ensino fundamental em relação à Fração 2006
Silva
O desafio do desenvolvimento profissional: análise da formação continuada de um grupo de professores das
séries iniciais do ensino fundamental, tendo como objeto de discussão o processo de ensino e aprendizagem das
frações
2007
Cavalcante et a Um olhar sobre os obstáculos que permeiam a aula de
matemática: um exemplo das Frações 2007
Nascimento Perspectiva de aprendizagem e ensino de números
racionais 2008
Justulin e Pirola Um estudo sobra as relações entre as atitudes em relação à
matemática e a resolução de problemas envolvendo Frações
2008
Lopes O que os nossos alunos podem estar deixando de aprender
sobre Frações, quando tentamos lhes ensinar Frações? 2008
Silva et al O ensino de Frações segundo a opinião docente 2010
Silva e Ito Conhecimento de estudantes de licenciatura em
matemática a respeito de situações para o ensino da divisão com frações
2013
Santana et al Fração e seus diferentes registros de representação
semiótica: uma análise da percepção de futuros pedagogos 2013
Souza Abordagem do conceito de fração: uma análise de livros
didáticos 2013
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A pesquisa de Notari (2002) trouxe como objetivo um diagnóstico sistemático
dos principais erros e dificuldades manifestados por alunos do Ensino Fundamental
e do Ensino Médio nas operações de simplificação de frações aritméticas e
algébricas, procurando compreendê-los. Para isso, investigou os procedimentos
utilizados por alunos do Ensino Fundamental e Médio na simplificação de frações
aritméticas e algébricas, buscando, por um lado, verificar se estabelecem relações
de equivalência entre a fração dada e a fração obtida pela simplificação; por outro,
conhecer as manifestações dos sistemas conceituais aritméticos e algébricos no
tratamento dessas expressões.
O autor realizou um estudo de caso com alunos da oitava série do ensino
fundamental e do primeiro ano do ensino médio de duas escolas estaduais. Foi
aplicada como instrumento de coleta de dado: a observação in lócus, o estudo piloto,
51
a aplicação de um instrumento provisório para levantamento dos erros. Estes
instrumentos permitiram a identificação das dificuldades manifestadas pelos alunos
e a elaboração do instrumento definitivo a ser aplicado.
Notari (2002) aplicou, posteriormente, entrevistas e testes, que constavam de
oito questões, divididas em dois grupos: a primeira com frações aritméticas e a
segunda com frações algébricas. O autor considera que os estudos apontaram dois
resultados distintos: o elevado número de erros nas simplificações algébricas,
devido a uma generalização de regras de uma situação para outra, sem uma análise
das condições que validam essas generalizações; e no tratamento das expressões
aritméticas, há um predomínio de procedimentos computacionais realizados
automaticamente sem uma reflexão sobre a natureza da tarefa proposta.
A investigação de Fonseca (2005) trouxe como objetivo verificar a
compreensão de alunos de 6ª série sobre a divisão de números racionais na forma
decimal, trazendo como questões de pesquisa: “Os alunos conhecem a técnica da
divisão de números racionais?”, “Os alunos utilizam a operação de divisão para
resolver questões contextualizadas?”; “Que relações os alunos estabelecem entre
dividendos, divisor e quociente?”, “Que significados os alunos atribuem aos restos
parciais na operação de divisão?”.
O autor realizou um estudo preliminar em uma escola particular e a pesquisa,
de fato, em uma classe de trinta alunos dos quais somente 24 alunos participaram
da pesquisa, em uma turma de 6ª série do ensino fundamental de uma escola
pública de São Paulo. A pesquisa constou de teste escrito, com dois tipos de
questões, denominadas “operações aritméticas” e “questões contextualizadas”,
seguido de entrevista semiestruturada.
Fonseca (2005), assinala que entre as relações; dividendo, divisor e
quociente, são poucos os alunos que conhecem a técnica da divisão, a grande
maioria dos alunos utilizam a operação sem saber que está utilizando a técnica.
Dentre os que conhecem a técnica, os erros mais frequentes, se dão no momento
da colocação da vírgula e do zero no quociente. Todos os alunos que conhecem a
técnica da divisão utilizam-na para resolver problemas contextualizados ou não.
A pesquisa de Oliveira e Aguila (2005) trouxe como objetivo investigar uma
abordagem crítico-construtiva no que tange ao processo de ensino e aprendizagem
dos números fracionários, operações com frações, na 5ª série do Ensino
Fundamental a partir de situações-problemas. As autoras utilizaram a Técnica da
52
redescoberta e Resolução de Problemas para minimizar o caráter de “disciplina
difícil” que a matemática possui na cultura e na Educação Matemática. Para isso, as
autoras realizaram análise de três livros didáticos, dos quais, dois foram distribuídos
aos alunos através do programa de distribuição gratuita (PNLDMEC), o terceiro livro
não foi incluído nesta distribuição, sendo escolhido com o intuído de comparar o
conteúdo contido e também por apresentar características distintas na abordagem
do conteúdo Fração.
Os instrumentos de coleta de dados para formalizar seus estudos foram: um
pré-teste e um pós-teste, atividades de redescoberta e resolução de problemas,
realizados com 27 alunos na faixa etária de 09 a 14 anos, de uma turma de 5ª série
do ensino fundamental. O pré-teste teve como objetivo diagnosticar os
conhecimentos dos alunos com relação aos números racionais na referida série e as
dificuldades encontradas pelos alunos, nesse novo conjunto numérico e o Pós-teste,
o qual se tratou das mesmas atividades do pré-teste, teve o intento de reavaliar e
validar o estudo, através da melhoria na aprendizagem dos sujeitos da pesquisa.
Oliveira e Aguila (2005) apontam, após análises, ser de suma importância que
as atividades ou situações-problemas, que expressam os mais diferentes contextos
onde os números racionais estejam presentes, possam ser trabalhadas, como
grandezas contínuas e grandezas discretas, e que isso tem implicações conceituais.
Nesse caso, as frações necessitam que seus denominadores sejam divisores do
número que expressa o total da quantidade, grandeza discreta, isso porque, no
conjunto dos números racionais, a divisão nem sempre é exata.
Para as autoras, são exatamente esses contextos onde os números racionais
estão presentes que precisam ser trabalhados por meio de atividades ou situações-
problemas de forma que novas situações matemáticas possam ser construídas ou
adquiridas, assim como os seus significados. Portanto, o importante é operar com
os números racionais, nos contextos em que está presente, em situação
determinante para garantir um bom rendimento quanto aos procedimentos
numéricos, ou seja, utilizar certos princípios que precisam ter significado para os
alunos, através de uma adequada fundamentação teórica.
Canova (2006) realizou um estudo sobre números fracionários com o objetivo
de identificar e analisar as crenças, concepções e competências dos professores
que atuavam no 1º e no 2º ciclos no Ensino Fundamental no que diz respeito ao
conceito de Fração. Buscando responder à questão de pesquisa: “Qual o
53
entendimento que os professores dos 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental
apresentam em relação ao conceito de Fração?”, o autor sustentou sua pesquisa
nas ideias de Vergnaud, Nunes e Ponte.
O autor elaborou um instrumento de coleta de dados contendo 29 questões
com as categorias; perfil, crenças, concepções e competências, que foi aplicado a
51 professores do 1º e do 2º ciclo do Ensino Fundamental, distribuídos em três
escolas da Rede municipal da cidade de Osasco. E, posteriormente, realizou
entrevistas com 10% da amostra.
Como resultados principais da pesquisa, o autor revela que, as crenças dos
professores não são influenciadas pela sua prática docente, o que não é verdade
para as concepções, que estão mais restritas entre os professores do 1º ciclo do que
para os professores do 2º ciclo. Com relação à competência não houve um
desempenho equitativo entre os cinco significados da Fração e os invariantes.
Canova (2006) considera que há necessidade de se aumentar o campo conceitual
dos professores em relação ao objeto Fração.
A investigação de Angélica Silva (2007) teve como objetivo analisar os fatores
que podem interferir no desenvolvimento profissional de professores das primeiras
séries do Ensino Fundamental, como resultado de uma formação continuada com a
finalidade de discutir questões relacionadas à abordagem da representação
fracionária de números racionais e seus diferentes significados, quando estes
professores estão inseridos em projeto de pesquisa.
Os dados da pesquisa são provenientes de coletas realizadas em 16 sessões
de 4 horas cada, das quais: 3 sessões foram destinadas à aplicação de uma
avaliação diagnóstica; 9 sessões foram dedicadas a estudos dos significados das
frações e à vivência de metodologias diversificadas; uma das sessões foi dedicada à
elaboração de uma sequência de trabalho pelos professores, que foi desenvolvida
com seus alunos em sala de aula. As sessões restantes, três, foram destinadas a
entrevistas, sendo duas sessões, logo após a intervenção do professor em suas
salas de aula, e a última sessão, ocorrida um ano após a intervenção, com o objetivo
de verificar as reflexões feitas pelos docentes depois da pesquisa.
Angélica Silva (2007), em suas conclusões, aponta que alguns fatores que
podem exercer influência sobre o processo de desenvolvimento profissional dos
docentes. Um deles se refere às dificuldades relativas ao conhecimento matemático
do professor. Outro seria a concepção dos professores sobre ensino e
54
aprendizagem da Matemática e a constante reflexão sobre a prática, sobretudo em
ambientes que propiciem um trabalho colaborativo. A autora completa, articulando
que a pesquisa mostra a necessidade de rediscutir as formas como os conteúdos
matemáticos e, em especial, os números racionais, são introduzidos – quando o são
– nos cursos de formação, tanto inicial quanto continuada, sendo possível constituir
uma visão da influência das dificuldades relativas ao conhecimento matemático na
prática do professor.
Em 2007, no Encontro Nacional de Educação Matemática, Cavalcanti et al
apresentou em forma de Comunicação Oral, o estudo: “Um olhar sobre alguns
obstáculos que permeiam a aula de matemática: um exemplo com frações”. Os
autores trouxe como objetivo do estudo a discussão de alguns obstáculos na
construção de conceitos matemáticos onde os conhecimentos anteriores construídos
(na escola e fora dela) constituem-se em dificultadores.
A pesquisa foi realizada com 9 alunos da 6ª série e nove da 8ª série do ensino
fundamental de uma Escola Pública, e 41 professores do ensino fundamental I,
lecionando 3ª e 4ª séries. Todos os professores eram efetivos da Rede Municipal de
Educação e representavam 82% dos professores que lecionavam séries do 2º ciclo
(3ª e 4ª séries) do ensino fundamental no município.
O trabalho com os alunos consistiu em uma atividade investigativa, com
aplicação de um teste com oito itens envolvendo diferentes conceitos de matemática
dos quais utilizaram dois para análise. Com os professores foi realizada uma
pesquisa monográfica para identificar o comportamento dos sujeitos em relação ao
conceito de fração e de equivalência de frações, como instrumento de coleta de
dados foi aplicado um teste constituído de 8 quesitos, alguns delas com subitens.
Entre os resultados, os autores apontaram que o ensino de frações pode ser
um obstáculo, pois não favorece a compreensão de fração como um número distinto
e nem favorece o reconhecimento da fração como um quociente entre dois inteiros.
A pesquisa bibliográfica que resultou em um artigo de Nascimento (2008),
direcionado à formação do professor, teve como objetivo investigar as concepções
dos professores que atuam no Ensino Fundamental em relação ao conceito de
número racional em sua representação fracionária, para compreender como se
encontra o conceito de fração para professores desse nível do ensino escolar. A
pesquisa foi realizada com 67 professores, em 7 escolas públicas da cidade de São
Paulo.
55
As análises foram de trabalhos de: Dante (1987), que faz uma síntese no
ensino de matemática a respeito de métodos baseados na repetição e memorização;
Valera (2003), em uma pesquisa sobre fração na forma decimal; David e Fonseca
(1997), sobre o conceito de número racional em sua representação fracionária.
As perspectivas que fundamentam o trabalho com os números racionais, para
o autor, são: aspecto prático, aspecto psicológico, aspecto da evolução conceitual
da matemática, aspecto didático-epistemológico. Nascimento (2008) compreende
que aprender conceitos matemáticos significa mais que aprender técnicas e
memorizar regras, na realidade deve-se; ter raciocínio lógico, interpretar, construir
conceitos, criar alternativas, equacionar, desenvolver essas habilidades dentre
outras para a promoção da aprendizagem de conteúdos matemáticos, bem como o
conteúdo deve ser iniciado repensando as práticas docentes, métodos,
metodologias e estratégias de ensino.
Nascimento (2008) aponta uma tendência, tanto dos professores polivalentes
como dos especialistas, em elaborar problemas partindo de situações próximas do
cotidiano do aluno, resultando em três categorias nos tipos de resoluções, que são:
algoritmo, icônica e mista. A autora considera que a concepção dos professores,
sujeitos da pesquisa, explícita nos momentos da elaboração e da resolução de
problemas envolvendo o conceito de fração, sem apoio de nenhum tipo de material,
carrega fortes marcas da própria escolaridade, que podem mantê-los inertes em
adquirir novas concepções.
Os autores Justulin e Pirola (2008), com o objetivo de investigar as possíveis
relações entre as atitudes em relação à matemática e a resolução de problemas
envolvendo frações, realizaram uma pesquisa que foi realizada com 95 estudantes
do ensino médio de uma escola pública estadual, distribuídos em: 32 alunos do 1º
ano, 37 do 2º ano e 26 do 3º ano, todos do período da manhã.
Os instrumentos de coleta de dados contaram com um questionário pessoal,
uma escala de atitudes em relação à matemática, prova de matemática a ser
realizada por meio do recurso Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C), uma prova de
matemática para resolver operações com frações sem utilizar o M.M.C e entrevista
audiografada.
Após análises dos instrumentos aplicados, no que concerne às atitudes em
relação à matemática, os autores perceberam que em média os alunos do 3º ano
gostam menos de Matemática do que os alunos do 1º e 2º ano e, que as meninas
56
começam gostando mais da disciplina no 1º ano e no 3º ano gostam menos. Em
relação ao desempenho na prova de matemática os alunos apresentaram melhor
desempenho na prova de algoritmo, do que na prova que contém os problemas.
Afirmaram que a relação entre as atitudes e o desempenho na prova de Matemática
mostrou que a correlação geral entre variáveis série e gênero foi muito baixa,
embora significativa.
Lopes (2008) retoma discussões da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática para advogar pela permanência das frações no currículo do ensino
fundamental. O autor fundamenta-se em resultados de pesquisas na área de
Educação Matemática e nos dados coletados de sua experiência de sala de aula,
apresentando uma perspectiva diferenciada daquela que existe hoje, e que é
adotada pela maioria dos livros didáticos e professores de matemática.
O autor aponta que não devemos ensinar frações do modo como tem sido
ensinada, problematizando que nós não precisamos ensinar frações como elas são
ensinadas hoje, na maioria dos programas elementares, na realidade, “nós nunca
deveríamos ter ensinado frações deste modo”, coloca (p.2).
Apresenta como propósito maior a abertura da discussão sobre possibilidades
não convencionais para o ensino das frações, que podem contribuir para uma
aprendizagem significativa e um enriquecimento das ideias matemáticas que
coabitam o campo conceitual das estruturas multiplicativas em que a
proporcionalidade é a ideia forte.
Os principais defeitos apontados no currículo de Frações pelo autor são:
marcas do século passado, como a aplicação de regras prontas e acabadas;
procuram-se frações no dia a dia, o que não quer dizer que as frações devam ser
abolidas, para o autor, temos que reconhecer sua importância em contextos não
utilitários, que atendem a outros significados e objetivos e não com uma
contextualização inadequada; o que sabemos sobre a aprendizagem de fração está
obsoleto, assim os professores deveriam ter atenção para as complexidades que
envolvem conceito tão delicado, bem como os obstáculos à aprendizagem são
muitos e de várias naturezas; o que os alunos deveriam estar aprendendo sobre
frações, professores, comumente, expõe sua incredulidade pelo fato de seus alunos
não responderem a atividades que envolvem frações com o desempenho esperado,
pois confinar o tema frações em algumas séries do currículo é um erro grave.
57
O autor finaliza explicando que apesar de as frações terem adquirido um outro
estatuto no currículo, devido à perda de força da componente utilitarismo, seu ensino
é essencial e inegociável, isto se atribuirmos a devida importância a outros aspectos:
o cultural, o formativo (de natureza cognitiva) e o matemático, apontando para uma
reflexão crítica sobre o currículo, as práticas e objetivos do ensino-aprendizagem da
matemática.
Silva et al (2010), no X Encontro Nacional de Educação Matemática,
apresentaram na forma de Comunicação Oral o estudo: O ensino de Frações
segundo a opinião docente. Os autores apresentam resultados preliminares de uma
pesquisa que teve objetivo de apresentar a opinião dos docentes sobre a forma de
abordagem e o grau de aprendizagem dos discentes referente ao ensino de fração.
A pesquisa foi realizada no período de 27 de dezembro de 2008 a 23 de
março de 2009. A amostra foi composta por 54 professores que atuam, já atuaram e
os que ainda não atuaram, na 5ª série ou 6º ano do ensino fundamental,
desenvolvendo o conteúdo de fração, em diversas instituições da região
metropolitana de Belém. Um formulário composto de questões acerca de alguns
dados pessoais dos professores e de que forma os conteúdos de fração são
abordados, bem como o grau de dificuldade de aprendizagem dos alunos neste
assunto.
As análises apontaram que a maioria dos professores devem abordar o
assunto iniciando com situações problemas, os alunos encontram grande dificuldade
de aprendizagem. É importante que o professor tente viabilizar uma forma,
diferenciada da tradicional, de como abordar o assunto sobre fração, seja por
resolução de problemas, seja por meio de jogos. Para os autores, o importante é
tornar a aprendizagem significativa e, consequentemente, formar pessoas mais
conscientes de seus saberes e potencialidades.
No mesmo evento, Silva e Ito (2013) teve como objetivo analisar os registros
textuais de um grupo de futuros professores de Matemática ao apresentar o estudo:
Conhecimento de estudantes de licenciatura em Matemática a respeito de situações
para o ensino da divisão com frações.
Com o intuito de investigar os conhecimentos necessários para explorar
noções relativas ao conceito de divisão com frações, os autores tomaram como base
um quadro teórico composto por Shulman (1986), Ball (2008), Vergnaud (1990), etc.
58
relacionado tanto à formação de professores quanto ao objeto matemático divisão
com frações.
As autoras apontam a importância do domínio dos professores acerca destes
três significados: a divisão como medida, a divisão como partilha equitativa, e a
divisão como a operação inversa da multiplicação.
A pesquisa mostra que há necessidade de rediscutir as formas como os
conteúdos matemáticos, em especial, os da divisão com vem sendo desenvolvidos
nos cursos de formação inicial de frações.
Em Santana, Lima, Silva e Oliveira (2013), uma comunicação oral
apresentada no XI Encontro Nacional de Educação Matemática, o objetivo foi avaliar
os conhecimentos dos sujeitos em relação à diversificação de registros de
representação de frações, bem como seu conhecimento em relação às regras de
conformidade quando da formação das diferentes representações semióticas.
O estudo aborda a diversificação dos registros de representação semiótica,
em especial, àqueles relacionados ao conceito de fração, utilizando a Teoria dos
Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval.
Os sujeitos da pesquisa foram 10 alunos, de ambos os sexos, do curso de
pedagogia de uma Universidade Estadual. Todos os alunos já haviam finalizado as
disciplinas de matemática contempladas em sua formação e consequentemente os
elementos referentes à fração. Para coleta de dados foi realizada uma entrevista
clínica baseada em um questionário com situações-problema acerca de fração. As
entrevistas foram realizadas individualmente e duraram duas horas.
Os resultados mostraram que as representações que foram escolhidas pelos
sujeitos são aquelas com as quais possuem maior familiaridade a partir de sua
própria escolarização, as representações mais contempladas foram à numérica
fracionária e decimal e a figural contínua, normalmente abordada no ensino de
fração.
Os autores acreditam apontar um caminho que vai além de um reforço do
discurso de que existe uma defasagem na formação dos professores. Isto porque ao
elucidar como futuros pedagogos pensam o conceito de fração torna-se possível
intervir de acordo com as concepções do conceito que estes sujeitos apresentam.
Portanto, é possível elencar alguns elementos para o repensar das práticas
formativas com relação à fração, quais sejam: propiciar a realização de conversões
entre os registros de fração; propor situações que evidenciam a relação entre
59
frações com outros conceitos matemáticos como porcentagem e razão; evidenciar
os invariáveis de equivalência e ordem nos diferentes registros de fração; explorar
situações que envolvam os registros figurais contínuos e discretos; explicitar as
diferenças de relações e propriedades entre o conjunto dos números inteiros e
racionais; possibilitar a coordenação de várias representações de fração de modo
simultâneo; trabalhar a formação das representações de fração partindo da
compreensão de suas relações com o conceito.
No XI Encontro Nacional de Educação Matemática, Souza (2013) apresentou
o estudo: “Abordagem do Conceito de Fração: Uma análise dos Livros Didáticos”, na
forma de comunicação oral. O objetivo do trabalho foi analisar as abordagens
metodológicas sobre os conceitos e significados de fração nos livros didáticos
adotados nas escolas da Rede Municipal de Ensino do Município de Itapororoca/PB,
com o intuito de identificar quais são as contribuições e implicações desse recurso
metodológico acerca deste conteúdo para a prática do professor.
A metodologia foi de cunho exploratória documental realizando um
levantamento dos livros adotados pelos professores do 6º ano das escolas da rede
municipal de ensino do município de Itapororoca/PB. Os livros didáticos adotados
foram: o intitulado Tudo é Matemática de Luiz Roberto Dante (DANTE, 2009),
Matemática de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis (IMENES; LELLIS, 2009), e
Matemática e Realidade de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado (IEZZI;
DOLCE; MACHADO, 2009).
Como resultados, o autor aponta que os livros apresentaram falhas como
fatos históricos pouco aprofundados, sugestões de atividades pouca
contextualizada. Os três livros analisados contemplam a relação parte/todo, porém,
apenas um destaca os demais conceitos fracionários, significando assim, que muitas
vezes a construção das situações em que os diferentes conceitos de fração são
abordados deixa de ser vistos em sala de aula.
1.2.3 Estudos Experimentais sobre Frações
Diante dos estudos encontrados, selecionamos 16 estudos na categoria
referente às pesquisas experimentais. Apresentamos os trabalhos em ordem
cronológica de publicação.
60
Quadro 04: Estudos Experimentais sobre Frações
Autor Título Ano de
publicação
Monteiro et al As Fracções e o desenvolvimento do sentido do número
racional 2005
Silva A compreensão de ideia de número racional e suas operações
na EJA; uma forma de inclusão em sala de aula 2007
Druzian Jogos como recurso didático no ensino aprendizagem de
Frações 2007
Secco Um ambiente interativo de aprendizagem em Fração 2007
Rosa Dificuldades na compreensão e na formação de conceitos de
números racionais: uma proposta de solução 2007
Costa e Sá Operações com Frações x dificuldade na resolução de
problemas 2007
Guerra e Silva As operações com Frações e o princípio da contagem 2008
Silva e Almouloud As operações com números racionais e seus significados a
partir da concepção parte-todo 2008
Magina et al Como desenvolver a compreensão de crianças sobre Fração? 2009
Moreira O ensino das operações envolvendo Frações com calculadora 2010
Sá et al Adição e Subtração de Frações com calculadora virtual 2010
Moreira et al Adição e Subtração de Frações com denominadores diferentes
a partir de situações-problema 2010
Pasuch et al A utilização do lúdico no processo de ensino-aprendizagem de
frações 2013
Jesus Uma proposta de ensino de Frações voltada para a construção
do conhecimento 2013
Lopes e Patrício O uso de jogos no ensino de Fração 2013
Schimitt et al O estudo das Frações através de investigações matemáticas
com uma turma de 5º ano do ensino fundamental 2014
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A pesquisa dos autores Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005) apresentou como
objetivo a discussão de uma proposta metodológica como alternativa para abordar a
introdução do conteúdo de frações, de maneira distinta da tradicional, tomando
como ponto de partida da aprendizagem a própria Matemática. O conceito de fração
é construído através de figuras, que funcionam como modelos visuais - usadas com
alunos do 2º ciclo (3ª e 4ª séries) do ensino fundamental em Portugal. A proposta
iniciou com uma experiência em sala com alunos de 5º ano (5ª série).
Para os autores, as estratégias informais usadas pelos alunos na resolução
de tarefas em contextos de partilha equitativa, ajudam a construir o conceito de
fração de forma significativa, valorizando ao mesmo tempo, a compreensão e a
participação ativa do aluno no seu próprio processo de aprendizagem. Conforme os
autores, a abordagem apresentada no estudo, foi inspirada no trabalho de Stree
(1986, 1991), sobre o ensino e aprendizagem das frações e que se insere na
corrente matemática designada por Matemática Realista, uma teoria de Educação
61
Matemática vem sendo desenvolvida no Instituto Freudenthal na Holanda. Esta é
uma teoria em constante construção, mas que teve o seu ponto de partida na ideia
de Freudenthal, onde a Matemática é em primeira instância uma atividade humana,
que passou a constituir um corpo organizado de conhecimentos, no entanto a sua
essência está no processo que conduz a estruturas matemáticas. Segundo o teórico,
os alunos, deveriam aprender Matemática, através do fazer Matemática,
matematizando assuntos da realidade do dia-a-dia e matematizando a sua própria
atividade.
Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005), mostram a fração, em situações de
partilha equitativa, onde o dividendo é quase sempre um múltiplo do divisor; no caso
do quociente não ser um número inteiro, os alunos, apresentaram os resultados na
forma de número decimal. Os trabalhos eram realizados em grupos à volta de
variados problemas de partilha equitativa, sem alguma explicação prévia de como
podiam ou deveriam resolvê-los.
Durante a investigação, no 5º ano (5ª série), os alunos não tinham estudado
frações no 1º ciclo (1ª e 2ª séries), o que, aliás, acontece com grande parte dos
alunos portugueses, apesar destas fazerem parte do programa do 1º ciclo em vigor.
Os autores concluíram que ao longo do tempo, os alunos, recorreram cada vez mais
ao uso dos símbolos das frações, notando-se também que nenhum dos grupos
apresentou respostas sem sentido, o que revela que possuem implicitamente
conceitos significativos. No caso das frações decimais, as produções permitiram
destacar a existência de diferentes designações para o mesmo número racional,
especificamente os numerais decimais, as frações e as percentagens – com
exemplo: 3/4 = 0,75 = 75%.
O fato dos autores partirem de estratégias informais dos alunos, dando
espaço ao trabalho e ao nível de compreensão de cada grupo, possibilitou que todos
os conceitos estudados, que são reconhecidos como complexos, fossem resgatados
pelos alunos. Assim, de acordo com Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005), apontam
que uma primeira abordagem às frações em contextos significativos para os alunos,
proporciona, às crianças, um trabalho em diversificadas situações, onde as frações
surgem com diferentes significados. Os autores ainda apontam a necessidade de
dar tempo aos alunos para agregar todos os conceitos fracionários e as suas
relações, sem pressa em introduzir regras e algoritmos, correndo o risco de fazê-los
antes que estes possam ter significado.
62
O trabalho de Silva (2007), realizado com alunos da EJA (Educação de
Jovens e Adultos), através de atividades mediadas e sequência didática, teve como
objetivo melhorar a apreensão e compreensão no ensino e aprendizagem de
números racionais em sua representação decimal e fracionária, considerando os
conhecimentos prévios dos mesmos. A investigação tem como objetivo analisar o
potencial de uma sequência didática para a inclusão de alunos de EJA no processo
de ensino e aprendizagem de frações em suas formas fracionária e decimal.
O autor utilizou: relação parte-todo, operador, equivalência, razão, quociente
e decimal, escolhidos a partir dos resultados obtidos na aplicação de uma atividade
diagnóstica, em relação aos conhecimentos dos números racionais. Esta atividade
foi baseada nos erros detectados por Perez (1988), em sua pesquisa sobre o ensino
dos números racionais na representação decimal. Tácio Silva (2007) considera os
erros apontados por Perez (1988), como obstáculos à aprendizagem. Os erros
abordados pelo autor foram: erros relacionados com o zero; erros relacionados com
a ordem dos decimais e erros relacionados com as operações.
Assim, apresenta-se a proposta de uma sequência didática a ser
desenvolvida em 10 aulas, dirigida a 30 alunos do 3º nível da EJA. As atividades
foram elaboradas considerando os seguintes pontos: abordagem dos conhecimentos
prévios, conceito, objetivos, material necessário e procedimentos que os alunos
deverão realizar. Em suas conclusões, o autor, apresenta alguns resultados
positivos evidenciados na aplicação da sequência didática elaborada, como:
aumento na frequência escolar dos sujeitos da pesquisa e sua consequente inclusão
no processo de ensino e aprendizagem; superação de algumas hipóteses, que
levaram a identificação dos racionais e os naturais; a compreensão entre números
positivos e medida, a partir de figuras que representavam medidas; obtenção da
capacidade de relacionar os números racionais na representação fracionária e
decimal, superando, ao menos neste caso, a fragmentação excessiva do
conhecimento matemático.
O autor aponta também a obtenção de habilidade na resolução de algumas
questões relacionadas a operações de adição e subtração, sem a utilização da
técnica que utiliza o mínimo múltiplo comum, afirmando que, a sequência didática de
atividades aplicadas em sala de aula, colaborou para que os alunos superassem
algumas dificuldades, detectadas anteriormente, na aprendizagem de conceitos
fracionários. Apesar de projetar uma resistência dos alunos adultos em trabalhar
63
com material manipulativo, como palitos e material dourado, durante as aulas isto
não ocorreu. O autor comenta ainda, que tais materiais foram de grande ajuda na
compreensão das noções envolvidas nas atividades.
Druzian (2007), em seu estudo, teve como objetivo analisar, por meio do
emprego de uma metodologia lúdica, as contribuições de jogos didáticos no ensino
aprendizagem de frações. Para isso, utilizou como sujeitos de pesquisa, 28 alunos
de uma turma de 5a série do ensino fundamental de uma escola estadual, divididos
em 7 grupos. A metodologia escolhida para a investigação foi de cunho qualitativa,
na modalidade estudo de caso.
O autor utilizou as técnicas: observação participante, diário de campo,
gravações em áudio, análise, de documentos e questionário. Antes de iniciar a
aplicação dos jogos, a professora introduziu o conceito de fração e propôs aos
alunos várias atividades. Após os alunos assimilarem o conceito e o reconhecimento
das frações, iniciou-se a aplicação dos jogos para desenvolver o estudo das frações.
A análise constatou que o aluno, ao jogar, deixa de ser apenas ouvinte
passivo das explicações do professor para ser um elemento ativo, construindo sua
própria aprendizagem. Após duas semanas de trabalho, o autor, percebeu que os
jogos auxiliaram os alunos na aprendizagem dos conteúdos relacionados com
frações.
Com a finalidade de avaliar o desempenho dos alunos e compará-lo com o
trimestre anterior, no qual não se usou jogos nas aulas de Matemática, o autor
realizou uma análise de trabalhos, testes e provas: notou que 68% dos alunos da
turma apresentou um melhor rendimento; 14% mantiveram a mesma média; e os
outros 18% não obtiveram sucesso no rendimento do 2º trimestre.
A dissertação de Secco (2007) traz como proposta de ensino um ambiente
interativo de aprendizagem de Fração, para abordar as séries iniciais do Ensino
Fundamental, com o objetivo de melhorar a interação entre aprendiz e sistema. Para
a realização deste trabalho, a autora utilizou a Aprendizagem Baseada em
Problemas através da implementação de funcionalidades de um ambiente
computacional de aprendizagem, na modalidade Sistema Tutor Inteligente.
A autora, para obter uma avaliação do ambiente de aprendizagem proposto,
realizou um experimento com 26 alunos da quarta série de uma escola municipal de
Alagoas e dois professores da área. Inicialmente, a autora aplicou um pré-teste com
os estudantes, juntamente com interação e explicação sobre o sistema.
64
Posteriormente, aplicou-se um pós-teste, com o intuito de avaliar o conhecimento
dos alunos antes e depois do uso do ambiente.
Como principais resultados a autora assinala que: os estudantes sentiram um
pouco de dificuldade em interagir com o sistema devido a falta de conhecimento
básico em informática; os professores avaliaram o sistema como bom, porém um
pouco lento.
Com a finalidade de comprovar os resultados do experimento, a autora
organizou uma nova seção com seis alunos selecionados do universo de 26 alunos
pesquisados, pois estes usavam frequentemente o computador. Divididos em
duplas, os alunos interagiram durante 30 minutos com o ambiente.
Secco (2007) observou que os alunos não lembravam mais do conceito de
numerador e denominador de Fração, o que dificultou a resolução do problema
apresentado, porém após uma ajuda a respeito dessas dificuldades, conseguiram
seguir adiante com a atividade, explorando inclusive a operação de subtração de
Fração; os alunos sentiram dificuldade em capturar no texto as Frações e operações
a serem utilizadas na resolução do problema proposto. Após a atividade os alunos
demonstraram satisfação e curiosidade em relação ao ambiente.
O estudo de Rosa (2007) teve como objetivo determinar se o uso de planilha
como recurso no ensino dos números racionais na Educação Básica contribui para a
aprendizagem na compreensão e formação de conceitos que envolvem frações e
número decimais, e uma maior retenção desses conceitos a médio e longo prazo. A
investigação foi realizada com uma amostra de 62 alunos, de duas turmas da sexta
série de uma escola pública de Porto Alegre, em um ambiente informatizado. A
pesquisa utilizou apenas uma das turmas para a intervenção.
A autora explica que a planilha utilizada como recurso oferece a oportunidade
de visualizar os procedimentos, analisar os resultados, deixando o aluno no
comando de sua própria aprendizagem. Isso acontece porque não há necessidade
do aluno perder tempo com cálculos, já que o computador os faz. Para ela, a
planilha além de calcular também proporciona a visualização do processo que se
está executando não apresentando somente os resultados finais.
A pesquisa de Rosa (2007) aponta que o uso da planilha favorece a
aprendizagem e torna as aulas mais prazerosas para os alunos, que conseguiram
visualizar os processos com os quais trabalharam. Cinco meses após o primeiro, foi
65
aplicado um segundo teste que mostrou que os alunos que utilizaram a planilha
mostraram uma maior retenção do conteúdo.
Rosa (2007) assinala sugestões para um novo repensar, sobre o uso de
tecnologia nas escolas: não se podem oferecer simplesmente os computadores para
os professores utilizarem sem dar estrutura e treinamento, para um melhor
desenvolvimento das aulas; o uso da planilha eletrônica no desenvolvimento de
outros conteúdos.
Costa e Sá (2007) apresentaram como Comunicação Cientifica no evento IX
Encontro Nacional de Educação Matemática, o trabalho: Operações com Frações x
Dificuldade na resolução de problemas, como o objetivo de investigar a viabilidade
do ensino das operações fundamentais com frações (adição, subtração,
multiplicação e divisão) a partir da resolução de problemas.
Os procedimentos metodológicos se deram através de duas professoras em
uma turma de 5ª série de uma escola de ensino fundamental em regime de
cooperativa, localizada no município de Ananindeua, no Estado do Pará, durante os
meses de outubro e novembro de 2004. Participaram deste estudo 27 alunos com
faixa etária de 09 a 14 anos.
A pesquisa foi realizada nas seguintes etapas: aplicação de Pré-teste,
elaboração das aulas, desenvolvimento das aulas, aplicação de Pós-Teste. Os
resultados desse trabalho foram analisados após a realização das atividades, e para
verificar se persistiam algumas dificuldades que se mostraram evidentes no pré-
teste, foi aplicado um pós-teste contendo os mesmos problemas do referido pré-
teste, cujo intuito foi verificar os efeitos das atividades desenvolvidas junto aos
sujeitos investigados.
Os autores evidenciaram após a intervenção realizada por meio das
atividades propostas envolvendo as operações com frações, muitos dos alunos
investigados conseguiram eliminar a dificuldade de associação dos conceitos
matemáticos com situações práticas, apontam que é de fundamental importância
que no processo de aprendizagem matemática todos os conceitos trabalhados nos
currículos escolares devam partir de situações-problema que favoreçam uma análise
e discussão junto aos alunos para que alcancem um resultado satisfatório em suas
resoluções.
O trabalho de Guerra e Silva (2008) apresenta uma proposta de ensino de
operações entre frações, considerando a maturidade cognitiva dos alunos, bem
66
como subsidiar a prática docente de professores não-especialistas do conhecimento
matemático, mas que ensinam Matemática nas séries iniciais. Apoiados em
pressupostos da geometria grega, evocando o princípio da contagem para a
iniciação dos aprendizes sobre as operações com frações, admitindo que este
conceito se constitua um dos conhecimentos prévios de excelência que deve estar
presente na estrutura cognitiva dos alunos das séries iniciais, para a aprendizagem
de número e das operações com números racionais.
Os autores afirmam que o princípio da contagem evidenciado na contagem de
unidade mostra a estreita relação operatória entre frações e números inteiros
provendo de significados as técnicas algorítmicas adotadas no fazer escolar. Essas
técnicas algorítmicas são práticas e estabelecem modos de se operar com frações
que, posteriormente, são sistematizados em fazeres escolares, como o das regras
operatórias para expressões algébricas, ditas racionais, não apresentando conexão
com os números inteiros e, consequentemente, com o princípio de contagem.
Guerra e Silva (2008) relatam que as técnicas adotadas devem constituir um
fazer matemático de evocação epistemológico-conceitual, podendo subsidiar outros
fazeres docentes diretamente relacionados, como, por exemplo: o de medida de
áreas de figuras planas; construção de números com vírgula em diferentes sistemas
de base de numeração; a relação entre frações e áreas de retângulos que induz à
construção de uma relação de equivalência usada amiúde em textos da matemática
superior para o estudo da construção dos racionais; além de proporcionar, de modo
direto, a construção do conceito de grandezas comensuráveis; ou ainda, suscitar
questões das relações entre esse conceito e do conceito de enumerável na
construção dos números reais, etc.
Silva e Almouloud (2008) em seu artigo ponderam a respeito das operações
com números fracionários focalizando a concepção parte-todo por meio de
atividades que contribuam para a prática docente na escola básica, trazendo como
foco a possibilidade do tratamento das operações com números fracionários a partir
de representações de figuras planas, mobilizando a concepção parte-todo, a partir
de uma breve caracterização da concepção, tratando a seguir das quatro operações
fundamentais.
As informações foram coletadas a partir de observações da frequência do
conteúdo, tanto em livros didáticos, quanto na prática docente, provindas das várias
formações em projetos do qual participaram. Como resultados dessas participações
67
foram apresentados várias atividades, demonstrando a eficiência do estudo. Silva e
Almouloud (2008) acreditam que as atividades apresentadas podem auxiliar o aluno
na compreensão das regras operatórias sobre números fracionários com significado,
no entanto, são insuficientes para que sejam conceituadas adequadamente como
números racionais.
Os autores complementam explicitando a necessidade de descontextualizar
as situações para que as habilidades com o cálculo se desenvolvam independente
de representações visuais (figuras), oportunizando ao aluno um aprendizado
significativo, reconhecendo que o aluno precisa dos conhecimentos iniciais bem
fundamentados para ter sucesso na aprendizagem de novos conteúdos
matemáticos.
Magina, Bezerra e Spnillo (2009), em seu artigo apresentaram os resultados
de uma pesquisa de intervenção, com o objetivo de desenvolver o conceito de
frações em crianças de oito a dez anos. Os autores dividiram 57 crianças em três
grupos: Grupo Experimental (GE) e Grupo Controle (GC), formados por alunos da 3ª
série do ensino fundamental sem instrução prévia sobre frações, e Grupo de
Referência (GR), formado por crianças da 4ª série que já haviam tido instrução sobre
frações por meio de uma abordagem mecanicista e de aplicação de regras. Todos
os participantes realizaram um pré-teste e um pós-teste.
O Grupo Experimental, com 19 alunos, passou por uma intervenção no ensino
baseada na resolução de situações-problema de frações como quociente e como
relação parte-todo. Essas situações eram apresentadas por meio da combinação e
das comparações entre diferentes suportes de representação, gerando discussões
em que as crianças refletiam acerca dos processos de resolução adotados.
O Grupo Controle, com 20 alunos de 3ª série que nunca haviam recebido
qualquer tipo de instrução sobre fração no contexto escolar e o Grupo de
Referência, com 18 alunos de 4ª série com instrução formal sobre fração no contexto
escolar. Na escola investigada, o ensino de fração se caracterizava por um ensino
tradicional voltado, fundamentalmente, para uma abordagem mecânica e algorítmica
da fração, sendo enfatizada a aplicação de regras e o uso da representação
simbólica formal.
O pré-teste e o pós-teste consistiam na resolução de 15 itens cada, que se
caracterizavam como tarefas tipicamente escolares envolvendo quantidades
discretas, enfatizava-se a representação fracionária de uma relação parte-todo;
68
envolvia quantidades contínuas e requeria da criança realizar uma divisão e, então,
representar, sob a forma de fração, o resultado obtido.
A intervenção consistiu em dez sessões realizadas no contexto escolar
durante o horário regular de aula, foram ministradas duas sessões por semana no
período de cinco semanas, com duração de duas horas cada. A dinâmica da sala de
aula baseava-se na resolução de problemas de fração, em pequenos grupos ou em
pares, que envolviam tanto problemas verbais quanto jogos e situações baseadas
em atividades extraescolares, como a feira, por exemplo.
Os resultados após análises apontaram que as crianças do grupo
Experimental e do grupo Referência tiveram um melhor desempenho no pós-teste
do que no pré-teste, destacam ainda que embora as crianças dos dois grupos
tenham se beneficiado da instrução recebida (tradicional do GR e a intervenção
alternativa do GE), as crianças do GE tiveram um progresso muito mais expressivo
do que as do GR.
A dissertação de Moreira (2010) apresentou os resultados de uma pesquisa
que teve como objetivo investigar a viabilidade do ensino das operações com
frações por meio de atividades desenvolvidas a partir de situações-problema
mediadas por uma calculadora virtual de fração e jogos. O experimento foi
desenvolvido em uma escola pública do Município de Ananindeua no Estado do
Pará, os sujeitos foram 45 alunos da 5ª série (6º ano) do ensino fundamental.
A autora explica que utilizou a Engenharia Didática como metodologia,
realizou os estudos prévios a partir de uma revisão de trabalhos sobre o ensino de
frações e uma consulta a 100 docentes sobre o processo de ensino aprendizagem
de frações; a parte experimental deu-se por meio de atividades tendo situações
problemas como ponto de partida e uma calculadora virtual de frações como recurso
didático.
Durante o experimento os alunos foram solicitados a solucionar questões
envolvendo as operações com fração, sem que eles já tivessem estudado o assunto
em questão. Os cálculos necessários ao desenvolvimento das atividades foram
executados com a calculadora virtual. Após a resolução de cada atividade, os
discentes eram desafiados a descobrirem uma maneira de obter os mesmos
resultados produzidos pela máquina sem a utilizarem novamente. A maioria dos
alunos conseguiu descobrir algoritmos válidos para o cálculo das operações com
frações.
69
Após as devidas análises, a autora aponta que a comparação entre o
desempenho nos pré e pós-testes indicou que os discentes internalizaram os
algoritmos construídos durante as atividades, devido o significativo aumento do
percentual de acertos no pós-teste em relação ao pré-teste, possibilitando a
viabilidade da metodologia de ensino adotada.
Moreira (2010) indica como principais resultados: a viabilidade da calculadora
virtual de fração como recurso didático para o ensino de operações com frações; a
sensibilização para novas reflexões na formação de professores sobre o uso de
novas metodologias e um novo olhar na resolução das operações de frações com
denominadores diferentes sem a utilização da ferramenta m.m.c.
Em Sá et al (2010), uma comunicação oral apresentada no X Encontro
nacional de Educação Matemática, o objetivo foi avaliar a viabilidade de ensino da
adição e subtração de frações por meio de atividades mediadas por uma calculadora
virtual para frações.
A pesquisa foi realizada em uma turma de 4ª série de uma escola estadual de
ensino fundamental e médio, localizada no bairro do Telégrafo, em Belém-Pará,
composta por 24 alunos, nos meses de outubro de 2009 a janeiro de 2010, e
obedeceu às seguintes etapas: diagnóstico inicial, elaboração das atividades,
aplicação das atividades, fixação, diagnóstico final e análise dos resultados.
Para realizar um diagnóstico do conhecimento prévio dos alunos sobre as
operações de adição e subtração com frações foi aplicado um formulário contendo
questões sobre dados pessoais e 10 questões envolvendo as operações de adição e
subtração de frações. Com a aplicação do pré-teste, verificou-se que a maioria dos
discentes não conseguiu resolver corretamente as questões de adição e subtração
de frações, muitos as deixando em branco e outros, quando tentavam fazê-lo,
apenas davam como resposta números inteiros.
A pesquisa realizada pretendeu propor uma metodologia de ensino de frações
mediada pela utilização de recursos tecnológicos (a máquina de calcular virtual),
apresentar e analisar os resultados de sua aplicação em sala de aula.
Foram elaboradas quatro atividades de redescoberta, um jogo de baralho
sobre adição e subtração de frações com o mesmo denominador e outro envolvendo
as duas operações com denominadores iguais e diferentes. As atividades
apresentavam adição e subtração de frações com denominadores iguais, adição e
subtração de frações com denominadores diferentes. Cada atividade possuía uma
70
descrição com nome, objetivo e materiais utilizados (roteiro da atividade, lápis ou
caneta e a máquina de calcular virtual), as questões para resolução, conclusão e
fórmula.
Os autores, após análises, afirmam que em todas as questões houve um
aumento significativo na porcentagem de acertos no pós-teste, em comparação com
o pré-teste, apesar de alguns alunos ainda terem feito certas confusões entre
procedimentos de resolução.
Moreira et al (2010), no evento X Encontro nacional de Educação Matemática,
apresentado como comunicação cientifica, apresentam um estudo experimental com
o objetivo de avaliar a viabilidade do ensino das operações por meio de atividades
mediadas por uma calculadora virtual de fração a partir de problemas.
A metodologia do estudo se deu a partir de um pré-teste e um pós-teste que
participaram do estudo 45 alunos do 6º ano do ensino fundamental de uma
instituição pública estadual do município de Ananindeua-Pará, com faixa etária
variando entre 9 e 11 anos. A pesquisa foi desenvolvida por meio das seguintes
etapas: diagnóstico inicial; elaboração das atividades, aplicação das atividades,
fixação, diagnóstico final e analise dos resultados.
Com os resultados do pré-teste, os autores realizaram a elaboração das
atividades, sendo cinco atividades sobre adição e cinco sobre subtração de fração
com denominadores diferentes, as quais foram desenvolvidas pelos alunos, no
laboratório de informática, organizados em grupos de três pessoas e utilizando como
recurso pedagógico a Calculadora de Fração (máquina virtual). A Calculadora de
Fração é um software educativo, baseado em uma calculadora convencional.
Com o objetivo de avaliar os efeitos da aplicação das atividades propostas foi
aplicado um pós-teste com as mesmas questões do pré-teste. Como resultados,
Moreira et al (2010) indicam que o conteúdo trabalhado foi assimilado de forma
significativa, sugerindo que o aprendizado ocorreu, com boa intensidade, pois tem-
se um crescimento considerável das melhorias nas resoluções dos problemas,
consequentemente nas construções dos algoritmos, com atividades mediadas pela
Calculadora de Fração e sem o recurso do mmc.
No trabalho dos autores Pasuch, Barbosa e Bassani (2013) encontramos um
relato com a proposta de inserção do lúdico como recurso didático no processo de
ensino-aprendizagem, de modo a perceber sua importância na educação
matemática. Construído na forma de oficina, foi elaborada por acadêmicas do curso
71
de Matemática – Licenciatura do Instituto Federal Catarinense, realizada em uma
Escola Básica da rede municipal, com 24 alunos da turma da 6ª série, em 2012.
O lúdico foi utilizado no ensino de frações, abordando: conceito, equivalência,
simplificação, adição e as diferentes representações, com o objetivo de tornar as
aulas atrativas e possibilitar a interação entre aluno/material-manipulável/professor.
Os autores observaram que os alunos se interessavam em fazer as atividades
propostas, bem como a questionar e participar compartilhando suas ideias, pois o
fato de estarem brincando em grupo fazia com que eles se auxiliassem,
desenvolvessem limites por obedecerem às regras das atividades e construíssem
seu conhecimento, tornando a aula prazerosa.
Dessa forma, percebeu-se que se bem planejada a dinâmica da aula pelo
professor, o lúdico pode ser inserido no ensino com expectativas de bons resultados,
pois ele não só auxilia na dinâmica das aulas, como também pode ser utilizado na
inserção de novos conteúdos ou para relacionar diferentes conceitos, ao mesmo
tempo em que diverte e envolve os alunos.
A dissertação de Jesus (2013) teve como objetivo apresentar uma proposta
de ensino de Frações, pautada na experimentação do aluno que se mostrava,
conforme o autor, significativa e coerente com a etapa do desenvolvimento cognitivo
dos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental.
Quanto à introdução do conteúdo de fração, o autor apresentou as cinco
primeiras atividades. A primeira atividade apresentada tratava de Fração como
Parte-todo, tinha como objetivo relacionar a unidade as suas partes fracionárias e
assim, identificar Frações; a segunda atividade apresentava o mesmo objetivo da
primeira. A terceira atividade era em forma de exercício e tinha como objetivo
aprofundar o conteúdo de identificação de Frações, a quarta também possui o
mesmo objetivo que a anterior. A atividade cinco busca reconhecer a função
denominador trabalhando a reconstrução do inteiro a partir de suas partes.
Com relação à equivalência de Frações, foram apresentadas as atividades de
6 a 9: a atividade seis tinha como objetivo a conceituação de frações equivalentes; a
sete idem a seis utilizando o circulo; a oito buscou a identificação de Frações
decimais equivalentes; a nove, concluir a operação matemática envolvida no
processo de equivalência de Frações.
No que concerne às operações com Frações, o autor propôs as atividades
10, 11 e 12. Na atividade 10, o autor buscou introduzir a noção de adição e
72
subtração de Frações, relacionando a parte do inteiro que cada um representa; na
atividade 11 o objetivo era de efetuar a adição e subtração de Frações através da
representação de seus termos; na 12, além das operações, o reconhecimento de
Frações equivalentes ou com denominadores diferentes para a resolução destes
cálculos.
Lopes e Patricio (2013), no evento X Encontro nacional de Educação
Matemática, apresentaram o estudo: “O uso de jogos no ensino de Fração” na forma
de comunicação oral, com o objetivo de apresentar uma compilação de três jogos
que envolvem o conteúdo de frações. Os autores buscaram contribuir para uma
prática mais lúdica por parte do professor, de modo que o mesmo possa introduzir o
conteúdo e fixá-lo utilizando-se de um destes jogos apresentados ou mesmo de
todos.
O primeiro jogo proposto consistiu em um baralho cujas cartas eram geradas
por todas as frações determinadas por dois dados, um maior que representaria o
numerador e um menor que representaria o denominador, o qual foi testado com
alguns alunos da 6ª série, 7º ano, em paralelo ao assunto que estavam vendo em
sala de aula. Lopes e Fabricio (2013) indicam que os alunos conseguiram a partir do
jogo fixar o conceito de fração e sua inversa, além de lerem a fração de forma
correta identificando numerador e denominador.
O segundo jogo se tratava de um Dominó de Frações Equivalentes, no qual
as peças do dominó convencional são substituídas por peças de frações
equivalentes e representações gráficas e o terceiro jogo foi composto por um
baralho com 32 cartas, uma tabela com tiras de frações e as regras do jogo para
cada grupo, que no momento ainda não haviam sido aplicados.
Os autores afirmam que além do aprendizado matemático, os alunos se
divertiam e partilhavam conhecimento. Os alunos ficaram entusiasmados com a
atividade lúdica a ponto de pedirem para que atividades deste tipo fossem realizadas
mais vezes. Ao submeter os alunos a uma lista de exercícios de fixação os autores
concluíram que eles aprenderam.
O artigo de Schmitt, Quartieri e Oliveira (2014), foi construído a partir do relato
que descreveu uma experiência desenvolvida com alunos do 5º ano do Ensino
Fundamental da Educação Básica na qual se utilizou a tendência Investigação
Matemática no contexto do ensino de frações. O objetivo deste trabalho foi introduzir
frações de forma não tradicional, desenvolvendo atividades de cunho investigativo e
73
concreto, de maneira que os alunos participassem do processo e elaborassem
conclusões, incentivando o trabalho de equipe e a escrita na aula de matemática.
Os autores apontaram como problema de pesquisa teve-se: Que conjecturas
alunos do 5º ano apresentam ao trabalharem com atividades envolvendo
investigação matemática e o assunto frações?
O material de coleta de dados da pesquisa constituiu-se dos diários de campo
da professora, e de cadernos dos alunos com observações realizadas no decorrer
das atividades, de uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola
filantrópica localizada no município de Roca Sales-RS, que atende alunos do
maternal até o 3º ano do Ensino Médio. A turma em estudo era constituída de 22
alunos sendo 11 meninos e 11 meninas, entre 10 e 13 anos, os quais eram muito
criativos e esforçados, destacam os autores.
A primeira atividade realizada foi com dobraduras e recortes, relacionada com
eixos de simetria; a segunda aula foi explorado o conteúdo de frações de
quantidades discretas; na terceira aula trabalhou-se com a determinação de uma
fração de uma quantidade; na quarta aula foi explorada a representação das
frações. Com essas atividades, os autores encerraram o trabalho com frações por
meio da metodologia Investigação Matemática com a turma do 5º ano e passaram à
análise dos dados coletados ao longo das atividades.
Como resultados observou-se que os alunos gostaram das atividades e
demonstraram criatividade na realização das atividades, chegando às respostas sem
solicitar auxílio da professora e perceberam as regularidades que aconteciam nas
questões e quanto às dificuldades apresentadas pelos alunos, o destaque foi em
relação à escrita das conclusões no caderno, pois tinham muito receio de estarem
escrevendo errado.
1.2.4 Estudos sobre formação de professores
Estudos no campo da educação e da Educação Matemática discutem
processo de ensino e aprendizagem de Matemática relacionando-a, positivamente
ou negativamente, com a formação Inicial do professor. Vejamos o Quadro 05:
74
Quadro 05 – Estudos sobre formação de professores
Autor Título Ano de publicação
Damico Uma investigação sobre a formação inicial de professores
de matemática para o ensino de números racionais no ensino fundamental
2007
Pinto e Ribeiro Conhecimento e formação de futuros professores dos
primeiros anos – o sentido do número racional 2013
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Este levantamento nos possibilitou a análise de 02 trabalhos mais específicos
sobre o ensino de Fração, que serão organizados e apresentados a partir do ano de
sua publicação, apontando os aspectos: primeiramente, autor e ano da obra,
destacando os objetivos ou questões de pesquisa, apontando a metodologia
utilizada, explicitando os resultados encontrados e, finalizando com as conclusões
ou considerações dos autores.
Damico (2007), em sua tese, com o objetivo de investigar a formação inicial
de professores de Matemática para o ensino dos Números Racionais no Ensino
Fundamental, pesquisou 346 estudantes para professores de Matemática, sendo
189 iniciantes e 157 concluintes, bem como 41 formadores de professores de duas
universidades do ABC paulista.
A coleta de dados para esta investigação foi realizada a partir de cinco
instrumentos. No primeiro os alunos concluintes foram solicitados a criarem oito
problemas envolvendo frações com o objetivo de avaliar alunos do Ensino
Fundamental; no segundo os alunos concluintes resolveram oito problemas que eles
mesmos criaram; no terceiro todos os alunos, iniciantes e concluintes, foram
submetidos a uma avaliação contendo vinte questões sobre conhecimentos
fundamentais sobre números racionais; no quarto instrumento, realizou-se uma
entrevista interativa com 10% dos alunos concluintes participantes da pesquisa e no
quinto e último instrumento, uma entrevista interativa com 41 professores.
Damico (2007) realizou uma análise que precedia de dados estatísticos,
seguidos de análise qualitativa, sempre especificando a categoria utilizada para a
mesma. Os resultados foram apresentados em três unidades de análise que
abordam o conhecimento matemático dos estudantes para professores em relação
aos cinco significados da Fração; o conhecimento matemático e o conhecimento
pedagógico (do conteúdo ou didático) em relação às operações básicas com
frações; os números racionais na formação universitária.
75
O autor evidencia que os estudantes para professores têm uma visão
sincrética dos números racionais, demonstrando um acentuado desequilíbrio entre o
conhecimento conceitual e processual, com prevalência do processual. Observou
também um baixo nível de conhecimento didático com relação às formas de
representação dos conteúdos ensinados no Ensino Fundamental referente aos
números racionais.
No artigo “Conhecimento e formação de futuros professores dos primeiros
anos – o sentido de número racional”, de Pinto e Ribeiro (2013), o objetivo central foi
identificar quais as situações matematicamente (mais) críticas para os professores
de modo que, pela formação facultada, possam deixar de o ser. Tomando como foco
o conhecimento matemático do professor e as suas especificidades, os autores
discutem alguns aspetos desse conhecimento de futuros professores sobre números
racionais, em concreto o sentido de número racional, identificando as suas
componentes mais problemáticas e equacionando alguns dos porquês em que se
sustentam.
Os autores apontaram como pretensão promover uma discussão e reflexão
sobre aspetos concretos do conhecimento dos futuros professores no âmbito dos
números racionais e, de forma mais ampla, problematizar as implicações desse
conhecimento (ou falta de evidências) na formação que facultamos, questionando,
também, o nosso papel como formador e responsabilidades associadas.
O estudo combinou uma metodologia quantitativa com um estudo de caso
instrumental, Pinto e Ribeiro (2013), primeiramente, aplicaram algumas tarefas a
futuros professores em duas Instituições de Ensino Superior (IES) que formam
professores dos Primeiros Anos, para aceder ao seu conhecimento relativo ao
conceito de número racional, que lhes permita: reconhecer diferentes significados
das frações, identificar e reconstruir a unidade de referência; reconhecer frações
equivalentes e relacionar diferentes representações; comparar e ordenar números
racionais, reconhecendo a sua densidade; e relacionar símbolos com ações e
conhecimentos informais, bem como com linguagem matemática formal (e
adequada) de forma significativa.
Como resultados, apontaram que relativamente aos diferentes significados
das frações, a maioria dos estudantes revelou pouca familiaridade, mesmo com o
significado que admitiram ter sido mais explorado durante o seu percurso escolar, ou
seja, a fração como parte-todo; revelam um conhecimento matemático
76
especificamente relacionada com a atuação docente de um nível bastante baixo,
alguns estudantes parecem não estar muito familiarizados com a representação
fracionária e revelaram sérias limitações ao nível do desenvolvimento do seu
raciocínio multiplicativo. Para os autores, a formação deverá focar-se onde é,
efetivamente, necessária, de modo a potenciar um incremento do conhecimento dos
alunos, pelo conhecimento (e práticas) dos professores.
Os diversos trabalhos consultados e analisados em nossa revisão dos
estudos nos possibilitaram informações importantes sobre o processo de ensino e
aprendizagem de Frações que subsidiaram a elaboração de nossa consulta aos
docentes e discentes, bem como contribuiu para a construção e aplicação de nossa
Sequencia Didática.
1.3 Consulta aos docentes
Para que possamos compreender melhor os fenômenos a serem
investigados, realizamos uma consulta a 100 professores de Matemática da rede
pública e particular de ensino. Realizada no município de Belém, no estado do Pará,
e sua aplicação ocorreu nos meses de Janeiro a Março de 2017.
O material usado para esta coleta foi um questionário (Apêndice A), com três
folhas de papel A4 contendo perguntas como nome, idade, escolaridade, tempo de
serviço, etc. Este instrumento foi elaborado e aplicado aos professores, com o
objetivo de caracterizá-los, bem como conhecer suas concepções sobre o ensino da
matemática, especificamente do ensino das frações.
O questionário, dividido em três partes, constituiu-se de 13 questões. A
primeira parte, com as questões da 1 a 7, eram sobre o perfil dos professores, que
se referem aos dados pessoais, tempo de serviço, formação acadêmica e
experiência profissional. Na segunda parte, as questões de 8 a 12, buscavam
conhecer as atividades dos professores no ensino dos números decimais e a 13ª
questão, teve como objetivo ter um panorama das dificuldades dos alunos a partir
das suas percepções.
As informações coletadas a partir da aplicação deste questionário nos
permitiram traçar o perfil destes docentes, o qual será explorado adiante.
77
1.3.1 Perfil dos docentes
Após análise das respostas encontradas nos questionários, organizamos os
resultados, prioritariamente, na mesma ordem em que as questões estavam
dispostas no questionário, podendo vim individualmente ou em conjunto com outro
item, em que foram apresentadas aos profissionais da área de Matemática.
Nesta consulta participaram 100 docentes, 20 professoras e 80 professores,
sendo que 56% são, exclusivamente, docentes de escolas públicas da rede estadual
do Pará; 29% são de escolas públicas e de outras instituições, dentre as municipais,
federais e privadas; e, 15% são de escola privada ou não estão atuando em sala de
aula, pois estão de licença. Os professores estão concentrados na faixa etária entre
26 e 45 anos, com 66%, como mostra o quadro 06 a seguir.
Quadro 06 – Faixa Etária Dos Docentes
Faixa Etária (anos) Frequência Absoluta Frequência Relativa
21 a 25 8 8,00%
26 a 30 9 9,00%
31 a 35 21 21,00%
36 a 40 16 16,00%
41 a 45 20 20,00%
46 a 50 18 18,00%
51 a 55 3 3,00%
56 a 60 3 3,00%
61 a 65 2 2,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 01 – Faixa Etária dos docentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
8,0%
9,0%
21,0%
16,0%
20,0%
18,0%
3,0%
3,0%
2,0%
21 a 25 26 a 30 31 a 35 36 a 40 41 a 45
46 a 50 51 a 55 56 a 60 61 a 65
78
Observando Quadro 06 e o gráfico 01, percebemos que as maiores
frequências estão entre as idades de 31 a 50 anos, somando 75% da amostra,
demostrando que os docentes consultados estão combinando juventude e atuação
docente.
Estes dados convergem com o estudo de Moreira (2010, p. 61), que aponta
que o maior percentual da construção de um perfil docente recaiu no gênero
masculino na faixa etária variando entre 15 a 45 anos.
Para discutirmos os resultados encontrados a respeito da formação dos
docentes consultados, buscamos Cunha (2007), Sánches-Amaya e Gonzáles-Melo
(2016) e Tardif (2002) para debatermos a respeito dos saberes docentes
necessários à atuação do professor em exercício.
Quanto à escolaridade dos docentes consultados, temos:
Quadro 07 – Escolaridade dos Docentes
Nível Frequência Absoluta Frequência Relativa
Somente a Graduação 45 45,00%
Possui uma especialização 38 38,00%
Possui mais de uma especialização 11 11,00%
Possui mestrado 5 5,00%
Possui doutorado 1 1,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 02 - Escolaridade dos Docentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
45,0%38,0%
11,0%5,0% 1,0%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Somente aGraduação
Possui umaespecialização
Possui mais deuma
especialização
Possuimestrado
Possuidoutorado
79
O quadro 07 e o gráfico 02 apresentam todos os docentes possuem o nível de
graduação concluído, indicando que 38% possuem pelo menos uma especialização.
Os cursos apontados estão conectados à área da educação, sendo citadas as
Especializações em: Educação Matemática, Matemática Financeira, Matemática no
Ensino Médio, Matemática, Gestão Escolar, Atendimento Educacional
Especializado, Docência do Ensino Superior, Educação Especial, metodologia do
Ensino da Matemática, etc.
Dos docentes consultados, 17% indicaram estar cursando Mestrado, dos
cursos indicados estão: Profissional em Matemática e em Educação. Quanto ao
docente que declarou ter doutorado, relatou ser em Educação Matemática, na PUC
de São Paulo.
Com a leitura destes dados, percebemos que a população consultada
apresenta um relevante nível de formação, estando em sua maioria em processo de
formação continuada, o que nos permite indicar uma maior apropriação de técnicas
e teorias relacionadas ao campo da educação, ao processo de ensino e
aprendizagem.
O quadro 08 nos fornece os dados referentes ao tempo de serviço dos
docentes consultados, proporcionando um panorama dos diversos níveis de
experiência docente em que os docentes estão, apresentando razoável experiência
no trabalho docente, sendo o maior índice na faixa de 6 a 10 anos de atuação, com
30% dos consultados.
Quadro 08 – Tempo De Serviço Dos Docentes
Tempo de Serviço (anos) Frequência Absoluta Frequência Relativa
01 a 05 25 25,00%
06 a 10 30 30,00%
10 a 15 23 23,00%
16 a 20 17 17,00%
21 a 25 5 5,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Podemos notar que o período de 06 a 15 anos concentra o maior percentual
de tempo de atuação destes professores, o que nos indica uma considerável
experiência no trabalho docente.
80
Gráfico 03 - Tempo de Serviço dos Docentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em relação aos níveis de ensino em que os docentes consultados estão
lecionando, no que diz respeito à educação básica, atualmente temos que: 36% está
atuando no ensino fundamental e no ensino médio, 35% apenas no fundamental,
17% somente no ensino médio e 12% não está lecionando em nenhum dos dois
níveis de ensino, pois estão de licença para cursarem o Mestrado.
Estes dados estão dispostos no Quadro 09.
Quadro 09 – Níveis De Atuação Na Educação Básica
Situação Frequência Absoluta Frequência Relativa
Não está lecionando 12 12,00%
Somente Ensino Fundamental 35 35,00%
Fundamental e Médio 36 36,00%
Somente Médio 17 17,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em uma das maiores frequências encontram-se os professores que atuam
nos dois níveis de ensino (Fundamental e Médio), 15 lecionam em todos os anos, ou
seja, 6º, 7º, 8º e 9º anos; 14 atuam em três anos (7º, 8º e 9º anos); 7 lecionam em
dois dos anos do ensino fundamental e, 1 atua somente no 9º ano.
No que se refere aos professores que lecionam apenas no ensino
fundamental, também uma das maiores frequências, estão distribuídos da seguinte
maneira: 15 atuam em todos os anos (6º, 7º, 8º e 9º anos); 10 trabalham nos 6º, 7º e
01 a 05 anos25%
06 a 10 anos30%
10 a 15 anos23%
16 a 20 anos17%
21 a 25 anos5%
81
8º anos; 7 apenas no 7º e no 9º ano; 2 professores ensinam somente no 7º ano e 1
na modalidade Eja.
Com relação aos professores que ensinam somente no nível médio, 8 deles
trabalham apenas em um ano (2º e 3º); 12 opera apenas em 2 anos (2º e 3º ano) e
16 deles nos três anos do ensino médio.
Informações que corroboram com os resultados encontrados no estudo de
Moreira (2010, p. 63) em sua consulta a docentes, na qual o maior resultado foi para
a categoria Ensino Fundamental/Médio com 39%, sendo que a opção Ensino
Fundamental tem uma votação significativa, 25%, podemos somar e dizer que o
percentual total para a análise equivale a 64%, ou seja, mais da metade dos
participantes da consulta já lecionou no ensino fundamental (5ª a 8ª série).
Gráfico 04 - Níveis de Atuação na Educação básica
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os docentes consultados, ao serem perguntados em quais séries da
educação básica já atuaram, mencionam que já lecionaram, conforme o Quadro 10:
Quadro 10 – Séries da Educação Básica em que os Docentes já lecionaram
Nível de Ensino Frequência Absoluta Frequência Relativa
Fundamental e Médio 74 74,00%
Apenas Fundamental 20 20,00%
Apenas Médio 6 6,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
FUNDAMENTAL E MÉDIO12,0%
SOMENTE FUNDAMENTAL
35,0%
SOMENTE MÉDIO36,0%
NÃO ESTÁ LECIONANDO
17,0%
82
Os índices relativos nos demonstram que os docentes, em grande maioria
(74%), já atuaram nos níveis fundamental e médio, o que nos indica que estes,
possivelmente, possuem acúmulo de conhecimentos curriculares no que diz respeito
à educação básica, conforme podemos verificar no gráfico 5.
Destes professores que já atuaram tanto no ensino fundamental quanto no
ensino médio, 51 expressaram ter lecionado em todos os anos de ambos os níveis
de ensino; 13 apontaram todos os anos do nível médio, porém apenas 1, 2 ou 3
anos do ensino fundamental; 10 trabalharam em todos os anos do nível
fundamental, mas apenas em dois do nível médio.
Os docentes que lecionaram no somente no ensino fundamental, 12 disseram
ter trabalhado em todos os anos deste nível de ensino; 5 apontou ter ensinado nos
5º, 6º e 7º ano; 3 professores mencionaram ter lecionado em dois dos quatro anos
do fundamental. No que se referem aos professores que atuaram apenas no nível
médio, todos assinalaram ter trabalhado nos três anos deste nível de ensino.
Gráfico 05 - Séries da Educação Básica em que os Docentes já lecionaram
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Indagamos se durante sua formação de professor de Matemática, o docente
realizou alguma disciplina sobre Metodologias de Ensino de Fração, e obtivemos:
Quadro 11 – Formação: Curso de Disciplina sobre Metodologias de Ensino de Fração
Realizou Frequência Absoluta Frequência Relativa
Sim 20 20,00%
Não 80 80,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
Fundamental eMédio
ApenasFundamental
Apenas Médio
83
Observamos que 80% dizem não ter feito disciplina com esta característica,
os outros 20% dos docentes pesquisados apontam as disciplinas: Matemática I,
Metodologia do ensino de Matemática, Prática de Ensino I, Instrumentação para o
Ensino de Matemática e Fundamentos Metodológicos.
Esses dados sinalizam uma fragilidade na formação da maioria destes
professores em relação às possibilidades de abordagem e desenvolvimento de
diferentes metodologias para o processo de ensino do conteúdo de fração,
ocasionando problemas na apropriação dos saberes curriculares destes docentes
consultados, acarretando em lacunas na aprendizagem de seus estudantes ou até
mesmo um fator causador de aversão a esta disciplina.
Gráfico 06 - Formação: Curso de disciplina sobre
metodologias de ensino de Fração
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Além dos saberes curriculares, ou seja, aqueles que os professores
constroem ao longo de sua carreira e dizem respeito aos discursos, objetivos,
conteúdos e métodos, o docente necessita manipular também diversos outros
saberes inerentes ao processo de ensino, ou seja, um saber plural como nos aponta
Tardif (2002, p. 54)
Saber plural, saber formado de diversos saberes provenientes das instituições de formação, da formação profissional, dos currículos e da prática cotidiana, o saber docente é, portanto, essencialmente, heterogêneo. Mas essa heterogeneidade não se deve apenas à natureza dos saberes presentes; ela decorre também da situação do corpo docente diante dos demais grupos produtores e portadores de saberes das instituições de formação (...).
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
Sim Não
20,0%
80,0%
84
Sendo assim, estes saberes estão intrinsecamente relacionados à formação
inicial e/ou continuada que este docente recebeu.
Ainda a respeito de sua formação, ao serem perguntados se, durante sua
atuação enquanto professor de matemática, já fez algum curso ou evento que
abordou o ensino de fração, os docentes sinalizaram que: 76% afirmaram que não
fizeram curso ou participaram de evento com a abordagem descrita, conforme o
Quadro 12:
Quadro 12 - Formação: Curso ou Evento sobre o Ensino de Fração
Realizou Frequência Absoluta Frequência Relativa
Sim 24 24,00%
Não 76 76,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico 07 aponta que sobram apenas 24% dos docentes que já realizaram
algum curso ou evento nesta área, citando: Formação Continuada, Mini-cursos,
CONNEPPI, Material dourado, Material do Positivo, formação anual e método da
redescoberta.
Consistente com os resultados revelados pelo Gráfico 06, notamos que além
da fragilidade na formação inicial do professor de Matemática no que diz respeito à
metodologias voltadas para o conteúdo de Fração, temos também a formação
continuada. Dos 100 professores consultados, 76 afirmaram não ter realizado algum
curso ou evento sobre o ensino de Fração.
Resultados semelhantes foram encontrados no estudo de Pinto e Ribeiro
(2013), apontando que os professores possuem pouca familiaridade com este
conteúdo, revelando um conhecimento matemático de um nível bastante baixo para
o ensino de Fração, possivelmente causado por estas lacunas em sua formação.
Para atuar em sala de aula o professor necessita utilizar diferentes saberes,
pois como define Tardif, Lessard e Lahaye (1991, p. 218, apud CUNHA, 2007, p. 34)
“a relação dos docentes com os saberes não se reduz a uma função de transmissão
dos conhecimentos já constituídos, (pois) sua prática integra diferentes saberes,
com os quais o corpo docente mantém diferentes relações”.
Sendo assim, conforme Cunha (2007), são necessários os saberes: das
disciplinas, curriculares, da formação profissional e os da experiência para que o
professor tenha condições de realizar o ensino.
85
O gráfico 07 demonstra claramente este resultado:
Gráfico 07 - Formação: Curso ou Evento sobre o Ensino de Fração
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Quando perguntados com relação à maneira como os professores
consultados ensinam o conteúdo de fração, a maioria dos docentes apontou que as
aulas começam com uma situação problema para depois realizar a introdução do
referido conteúdo, conforme o Quadro 13 e o Gráfico 08.
Com a frequência de 50% dos docentes indicando que abordam o conteúdo a
partir de uma situação problema para posteriormente introduzir o assunto, notamos
um aspecto positivo quanto à metodologia destes docentes. Ainda que 42% ainda
permaneçam abordando o conteúdo de Fração de maneira tradicional, ou seja, pela
definição, seguida de exemplos e exercícios.
Os índices de frequência absoluta e relativa se encontram no Quadro 13:
Quadro 13 - Abordagem do Conteúdo de Fração pelos Docentes
ROTEIRO Frequência Absoluta
Frequência Relativa
Pela definição seguida de exemplos e exercícios 42 42,00%
Com uma situação problema para depois introduzir o assunto
50 50,00%
Com um modelo para a situação e em seguida analisando o modelo
6 6,00%
Nunca ensinou o assunto 2 2,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
24,0%
76,0%
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0%
Sim
Não
86
Os demais docentes indicaram que abordam o conteúdo de Frações com um
modelo para a situação em seguida analisando o modelo (6%) e 2 docentes
declaram nunca ter ensinado este assunto.
A utilização de jogos para a abordagem deste conteúdo para a posterior
sistematização não foi apontada por nenhum dos docentes consultados, indicando
que esta alternativa metodológica, ainda não tem se aplicado com frequência em
sala de aula, possivelmente pela falta de recursos suficientes nas escolas públicas
estaduais para a aplicação e execução dos mesmos.
Gráfico 08 - Abordagem do Conteúdo de Fração pelos Docentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Pasuch, Barbosa e Bassani (2013) destacam em seu estudo que o uso do
lúdico no ensino de Matemática é um aspecto pedagógico facilitador da
aprendizagem de Frações, bem como Silva (1997, p. 295) comenta que “um ensino
voltado à memorização e à aplicação de algoritmos, o conteúdo de frações
apresenta-se como um dos vilões do fracasso escolar”, o que implica na
necessidade do professor dominar um saber pedagógico, que para Sánchez-Amaya
e González-Melo (2016, p. 251)
(...) está constituído por um conjunto de fragmentos e recortes de saberes, de disciplinas e de discursos científicos, de práticas, de relações e interações que se entrelaçam no interior da ação educativa e que o professor põe em funcionamento cotidianamente em seu trabalho de ensinar.
42,0%
50,0%
6,0%2,0%
Pela definição seguida deexemplos e exercícios
Com uma situação problemapara depois introduzir oassunto
Com um modelo para asituação e em seguidaanalisando o modelo
Nunca ensinou o assunto
87
Ao perguntarmos aos docentes sobre como desenvolviam a fixação do
conteúdo de Fração com os alunos, como meio de identificar as diferentes maneiras
utilizadas para promover a aprendizagem de seus estudantes,
A maioria dos docentes expôs a maneira tradicional como a mais frequente
forma de fixação deste conteúdo, ou seja, apresentam uma lista de exercícios para
serem resolvidos pelos alunos, como podemos observar o Quadro 14.
Quadro 14 - Fixação Do Conteúdo De Fração Pelos Docentes
Maneira Frequência Absoluta
Frequência Relativa
Apresentam uma lista de exercícios para serem resolvidos
74 74,00%
Apresentam jogos envolvendo o assunto 9 9,00%
Solicitam que os alunos resolvam os exercícios do livro didático
15 15,00%
Não propõe questões de fixação 2 2,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico 9 apresenta que as principais escolhas estão entre apresentar uma
lista de exercícios (74%) e solicitar que os alunos resolvam exercícios presentes no
livro didático (15%), dados que demonstram pouca variedade na utilização de
recursos didáticos para o desenvolvimento do ensino do conteúdo de Fração.
Resultados estes, que se pensarmos a maioria das Escolas Públicas do Estado do
Pará, possivelmente, são os únicos recursos didáticos disponíveis ao professor.
Gráfico 09 - Fixação Do Conteúdo De Fração Pelos Docentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação à quantidade de aulas destinadas ao ensino do conteúdo de
Frações, temos o Quadro 15:
74%
9%
15%
2%
Apresentam uma lista de exercícios paraserem resolvidos
Apresentam jogos envolvendo o assunto
Solicitam que os alunos resolvam osexercícios do livro didático
Não propõe questões de fixação
Para fixar o conteúdo, os docentes
88
Quadro15 - Carga Horária Dedicada Ao Ensino De Fração
Nº DE HORAS/AULA Frequência Absoluta Frequência Relativa
2 3 3,00%
4 3 3,00%
De 4 a 5 3 3,00%
5 30 30,00%
De 1 a 6 3 3,00%
6 12 12,00%
8 1 1,00%
De 08 a 10 3 3,00%
9 3 3,00%
10 6 6,00%
18 3 3,00%
20 12 12,00%
30 6 6,00%
45 3 3,00%
48 3 3,00%
50 3 3,00%
1 bimestre 3 3,00%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
As respostas foram bastante variadas, demonstrando que não há uma
coerência entre as respostas fornecidas pelos docentes. Diversas opções foram
encontradas: 2 horas, 4 horas/aula, de 4 a 5 horas, 5 horas e até mesmo 1 bimestre,
como respostas dos docentes consultados.
Gráfico 10 – Carga Horária dedicada ao Ensino de Fração
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Já no gráfico 10, podemos observar que a maioria dos professores
consultados (30%) utiliza em torno de 5 horas/aula para desenvolver o conteúdo de
3,00%3,00%3,00%
30,00%3,00%
12,00%1,00%
3,00%3,00%
6,00%3,00%
12,00%6,00%
3,00%3,00%3,00%3,00%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
2 horas/aula
De 4 a 5 horas/aula
De 1 a 6 horas/aula
8 horas/aula
9 horas/aula
18 horas/aula
30 horas/aula
48 horas/aula
1 bimestre
89
Frações. As demais respostas mostram uma discrepância considerável, enquanto há
indicações de 2 horas aulas, também há de 2 meses. Diante da extensão e
complexidade deste conteúdo, verificamos uma disparidade entre as respostas para
o desenvolvimento do ensino do conteúdo de Frações.
A terceira parte do questionário buscou conhecer a avaliação dos docentes
sobre o aprendizado dos discentes em Fração, para alcançarmos um panorama das
dificuldades dos alunos a partir das suas percepções.
Estas percepções estão intrinsecamente relacionadas à atuação em sala
destes docentes consultados, pois só com os saberes construídos através da
experiência é possível mensurar a dificuldades de seus estudantes a respeito de
determinados conteúdos.
Para Cunha (2007, p. 37), os saberes da experiência “são formados por todos
os outros saberes, retraduzidos e submetidos às certezas originadas da prática e da
vivência no contexto real profissional”.
Sendo assim, aliado a outros saberes, o saber da experiência é essencial à
atuação docente, visto que proporciona, a partir da realidade de cada sala de aula,
possibilidades de ensino enraizadas na história profissional de cada professor.
O quadro 16 nos fornece a relação entre os tópicos citados anteriormente e
se o professor costuma ou não ensiná-los em suas aulas. Esta análise foi realizada
ao perguntar se o docente costuma ensinar determinado tópico do conteúdo do
ensino de Fração, bem como sua avaliação pelos critérios “MUITO FÁCIL”, “FÁCIL”,
“REGULAR”, “DIFÍCIL” e “MUITO DIFÍCIL”.
Vejamos:
Quadro 16 - Relação Assunto X Ensino (continua)
Item ASSUNTO
COSTUMA ENSINAR
SIM (%) NÃO (%)
01 Conceito de fração 94 6
02 Tipos de fração 91 9
03 Representação de frações 97 3
04 Simplificação de frações 94 6
05 Comparação de frações 94 6
06 Adição de frações com o mesmo denominador 97 3
Quadro 16 - Relação Assunto X Ensino (conclusão)
Item ASSUNTO COSTUMA ENSINAR
90
SIM (%) NÃO (%)
07 Adição de frações com denominadores diferentes 97 3
08 Subtração de frações com o mesmo denominador 97 3
09 Subtração de frações com denominadores diferentes 97 3
10 Multiplicação de fração 97 3
11 Divisão de fração 97 3
12 Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte 94 6
13 Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer o todo 88 12
14 Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar outra
parte 88 12
15 Expressões numéricas com frações envolvendo adição e subtração 88 12
16 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e
multiplicação 85 15
17 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração,
multiplicação e divisão 85 15
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Conteúdos básicos ao ensino de Fração, em sua maioria, são trabalhados
pelos docentes, como: Conceito de fração, tipos de fração, representação de
frações, simplificação de frações, comparação de frações, as quatro operações com
frações e problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte, todos
alcançando acima de 90% no índice relativo no costume de ensinar.
Percebemos que os itens mais frequentes que os professores mais costumam
deixar de ensinar referem-se às expressões numéricas envolvendo as operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão com Frações.
Ainda que o docente possua uma formação bastante ampla em
conhecimentos matemáticos, se faz necessário o professor de matemática tenha
domínio das especificidades do conteúdo de Fração. Dessa maneira, concordamos
com o que indica Cunha (2007) ao explicitar que “os saberes dos professores
aprendidos durante a formação inicial (saberes das disciplinas e saberes da
formação profissional) irão ser reformulados e se reconstruindo no dia-a-dia da sala
de aula”.
O Gráfico 11 nos fornece os dados acima descritos através da relação
assunto x ensino.
91
Gráfico 11 – Relação Assunto X Ensino
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Agora, apresentamos as opiniões dos docentes quanto ao grau de
dificuldades que os alunos sentem ao aprenderem os tópicos do conteúdo de fração
descritos na tabela acima. Utilizamos MF para referir-se à “Muito Fácil”, FA para
“Fácil”, RE para “Regular”, DI para “difícil” e MD para “Muito Difícil”.
A partir da opinião dos professores consultados, buscamos identificar o grau
de dificuldade de aprendizagem dos tópicos de Frações presentes no Quadro 17. A
confiabilidade das respostas dadas pelos sujeitos consultados seguindo uma escala
Likert em 5 pontos (1= muito fácil; 2= fácil; 3= regular; 4=difícil; 5= muito difícil) foi
medida pelo coeficiente Alfa de Cronbach.
Para o número de itens 𝑘 = 17, os dados mostram que a soma variância das
respostas de cada item é ∑ 𝑠𝑖2𝑘
𝑖=1 = 11,1416 e a variância total é 𝑠𝑡2 = 21,26 . Dessa
forma, encontramos 𝛼 = 0,50568, o que indica um valor de confiabilidade “regular”
na escala apresentada por Hill e Hill (2009).
Conforme o Quadro 17, com valores em percentual, os professores informam
sua opinião acerca do grau de dificuldade dos estudantes em relação aos
conhecimentos acerca do Conceito de Fração, assim, são fáceis (56%) ou regulares
(32%), sobrando apenas 9% que acreditam ser um conteúdo muito fácil e 3
docentes que declararam ser um conteúdo difícil.
94
%
91
%
97
%
94
%
94
%
97
%
97
%
97
%
97
%
97
%
97
%
94
%
88
%
88
%
88
%
85
%
85
%
6% 9
%
3% 6
%
6%
3%
3%
3%
3%
3%
3% 6
%
12
%
12
%
12
% 15
%
15
%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17SIM NÃO
92
Quadro 17 – Dificuldade dos Estudantes segundo os Docentes It
em
ASSUNTO
GRAU DE DIFICULDADE DOS
ESTUDANTES
MF (%)
FA (%)
RE (%)
DI (%)
MD (%)
01 Conceito de fração 9 56 32 3 0
02 Tipos de fração 12 41 44 3 0
03 Representação de frações 3 59 32 6 0
04 Simplificação de frações 0 24 58 18 0
05 Comparação de frações 0 18 47 35 0
06 Adição de frações com o mesmo denominador 18 44 32 6 0
07 Adição de frações com denominadores diferentes 0 6 47 35 12
08 Subtração de frações com o mesmo denominador 18 38 30 11 3
09 Subtração de frações com denominadores diferentes 0 23 38 27 12
10 Multiplicação de fração 15 44 29 12 0
11 Divisão de fração 3 26 35 30 6
12 Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte 0 15 67 15 3
13 Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer o todo 0 12 50 29 9
14 Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar outra parte 0 15 41 32 12
15 Expressões numéricas com frações envolvendo adição e subtração 0 12 37 42 9
16 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e multiplicação 0 6 35 41 18
17 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão 0 3 30 43 24
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação aos tipos de fração, como mostra o Quadro 17, na qual os
professores afirmaram, de modo geral, que o grau de dificuldade à aprendizagem
deste conteúdo, indicado por 44% dos professores é considerável regular, 41% fácil,
12% muito fácil e 3% afirmaram ser um conteúdo difícil.
No que concerne às representações de frações, os docentes declararam que
este conteúdo são: 59% fácil, 32% regular, 6% difícil e 3% muito fácil.
O conteúdo de simplificação de frações foi considerado pela maioria dos
docentes como regular, alcançando 58% da amostra; 24% como fácil e 18% como
difícil.
93
Os valores de frequência relativa com relação ao conteúdo de comparação de
frações são: 47% dos docentes avaliaram este conteúdo como regular; 35% como
difícil e 18% como fácil.
Em relação à operação de adição de frações com o mesmo
denominador, 44% dos docentes avaliaram como um conteúdo fácil, 32% como
regular, 18% como muito fácil e 6% como difícil. Já para adição de frações com
denominadores diferentes, os apontamentos foram: 47% avaliou como regular; 35%
como difícil, 12% como muito difícil e 6% como fácil.
Quanto à operação de subtração de Frações com o mesmo denominador,
38% dos docentes apontaram que este conteúdo é considerado fácil; 30% como
regular; 18% como muito fácil; 11% como difícil e 3% como muito difícil. Já em
relação à operação de subtração com denominadores diferentes, os índices relativos
dos docentes são: 38% regular; 27% difícil; 23% fácil e 12% muito difícil.
A operação de multiplicação para 44% dos docentes consultados é
considerada fácil; 29% declarou ser regular; 15% disse ser um tópico do conteúdo
muito fácil e 12% difícil.
Com relação à operação de divisão de Fração, 35% dos docentes
consultados disseram ser um tópico do conteúdo de nível de dificuldade regular,
30% declarou ser difícil, 26% disse ser fácil, 6% pronunciou ser um conteúdo muito
difícil e apenas 3% muito fácil.
No que tange aos problemas envolvendo frações, exploramos três situações:
Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte, Problemas em que se
conhece uma parte e deseja conhecer o todo e Problemas em que se conhece uma
parte e deseja encontrar outra parte. Para a primeira situação 67% dos professores
consultados declararam ser um conteúdo regular; 15% disseram ser fácil, o mesmo
percentual proferiu ser difícil e 3% disse ser muito difícil.
Com relação aos problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer
o todo, 50% dos discentes disse ser um conteúdo regular; 29 difícil; 12% fácil e 9%
muito difícil. Já no que concerne aos problemas em que se conhece uma parte e
deseja encontrar outra parte, os professores declaram ser regular (41%), difícil
(32%), Fácil (15%) e muito difícil (12%).
Para as expressões numéricas envolvendo Frações, apresentamos três
casos: expressões numéricas com frações envolvendo adição e subtração,
Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e multiplicação e
94
Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração, multiplicação e
divisão.
Para o primeiro caso, os docentes julgaram um nível de dificuldade: difícil
(42%), regular (37%), fácil (12%) e muito difícil (9%). Para as expressões que
envolvem adição, subtração e multiplicação 41% indicou ser um conteúdo difícil;
35% regular, 18% muito difícil e 6% fácil.
Para as expressões que envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão,
os docentes apontaram como: 43% difícil; 30% regular; 24% muito difícil e apenas 3
docentes declararam ser um conteúdo considerado fácil.
Apesar de alguns conteúdos relacionados à Fração serem considerados
difíceis, ou até mesmo nem serem abordados pelos docentes, devem ser mais
valorizados em sala de aula para que o aluno, tendo o contato com esses tópicos
possa ter oportunidades de compreendê-los para a promoção da aprendizagem,
caso contrário, estará sendo cerceado seu acesso a esse conhecimento tão
fundamental para a sua vida escolar e cotidiana.
Estas dificuldades em desenvolver alguns conteúdos de Frações são
apontadas nos estudos de Damico (2007), Pinto e Ribeiro (2013) e Lopes (2016) e
nos inclina a refletir quanto às concepções e saberes destes professores de
Matemática sobre Frações. Ponderamos, então, a importância da formação docente,
tanto inicial como continuada, trazendo os saberes necessários para atuação em
sala de aula, para sanar ou amenizar estas dificuldades encontradas nos
professores e alunos.
Estes resultados nos forneceram informações que serviram de suporte na
elaboração de nossa Sequência Didática, bem como no momento de sua aplicação,
pois a partir dos apontamentos dos professores consultados, pudemos prever
algumas dificuldades.
1.4 Consulta a Estudantes egressos do 6º ano
Assim como os docentes em Matemática, também realizamos uma consulta a
100 estudantes, egressos do 6º ano do Ensino Fundamental, com o intuito de
compreender melhor os fenômenos a serem investigados. Realizada no município
de Belém, no estado do Pará, na mesma escola em que, posterior a esta consulta,
95
realizamos a Sequência didática, sua aplicação ocorreu nos meses de Fevereiro e
Março de 2017.
O material usado para esta coleta foi um questionário (apêndice B), contendo
perguntas como nome, idade, escolaridade, tempo de serviço, etc. Este instrumento
foi elaborado e aplicado aos alunos, com o objetivo de caracterizá-los, bem como
conhecer suas concepções e dificuldades sobre o ensino da matemática,
especificamente do ensino das frações.
Para realizar um diagnóstico, o instrumento continha questões referentes a
dados pessoais, conhecimentos oriundos das séries anteriores e as dificuldades que
os alunos pudessem ter em matemática. Após a análise das respostas do
questionário, conseguimos traçar um perfil dos discentes e esses dados serão
apresentados na sequência em que foram respondidos, porém virão relacionados
entre si, para contribuir nas reflexões das análises. As tabelas a seguir apresentam
os resultados das análises dos dados obtidos na aplicação do questionário.
1.4.1 Perfil dos estudantes consultados
A amostra contou com a participação de 100 estudantes, que estão cursando
o 7º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública da rede estadual de ensino
do município de Belém (PA), distribuídos entre 47 alunas do sexo feminino e 53
alunos do sexo masculino.
Em relação à faixa etária, temos o Quadro 18:
Quadro 18 – Idade dos discentes
Idade (anos) Frequência absoluta Frequência relativa
10 1 1%
11 10 10%
12 45 45%
13 23 23%
14 16 16%
15 3 3%
16 2 2%
Total Geral 100 100,00%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Este quadro nos mostra que os estudantes de 12 anos corresponderam a
maioria, equivalendo a 45% do total da amostra; seguido do índice relativo de 23%
96
que encontram-se na idade de 13 anos; 16% com 14 anos; 10% com 11 anos; 3%
com 15 anos, 1 aluno com 10 anos e 2 aluno com 16 anos.:
Já gráfico a seguir, destaca que 45% dos discentes consultados encontram-
se na idade adequada para o ano em que estão cursando, pois atualmente os
estudantes iniciam o ensino básico com 6 anos e chegam ao 7º ano, possivelmente
com 12 anos. Porém há estudantes com atrasos, como os 21% que tem 14 anos ou
mais e ainda cursam o 7º ano.
Gráfico 12 - Idade dos discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação à localização da escola em que os discentes estudam, temos a
tabela a seguir que nos apresenta que 68% dos alunos declarou que moram no
mesmo bairro em a escola fica localizada.
Quadro 19 - Localização da Escola dos Discentes
Localização da escola Frequência absoluta Frequência relativa
No mesmo bairro em que mora 68 68%
Em outro bairro 32 32%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
10 11 12 13 14 15 16
1,0%
10,0%
45,0%
23,0%16,0%
3,0% 2,0%
97
A localização da escola é um fator importante para o desenvolvimento da vida
escolar do estudante, visto que facilita sua locomoção até a escola e assim, facilita
sua participação nas diversas atividades da mesma.
O gráfico 14 mostra os índices relativos, em % da localização da escola dos
discentes em relação ao seu bairro de moradia:
Gráfico 13 - Localização da escola dos discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em relação ao exercício de trabalho de forma remunerada, os discentes
indicaram que: 74% não exercem trabalho remunerado, porém, 26% responderam
sim ou às vezes. Conforme o Quadro 20:
Quadro 20 - Discentes que Trabalham de Forma Remunerada
Situação Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 8 8%
Não 74 74%
As vezes 18 18%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Ao relacionarmos estes dados à faixa etária (mínimo de 10 anos e máximo de
16 anos) destes discentes, percebemos que, embora seja uma minoria (08
trabalham e 18 às vezes), alguns deles já estão exercendo alguma forma de
trabalho remunerado, mesmo que este seja impróprio legalmente, o que nos remete
a uma questão social de grande importância em nosso país: o trabalho infantil.
O gráfico 16 explora os índices relativos destas informações.
68%
32%No mesmo bairro emque mora
Em outro bairro
98
Gráfico 14 - Discentes Que Trabalham De Forma Remunerada
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A escola em que estudam os discentes consultados fica localizada em um
bairro periférico da cidade de Belém, cercada de outros bairros com igual ou maior
vulnerabilidade social. Somadas estas circunstâncias, podemos compreender os
casos de evasão e desistência que ocorrem durante o ano letivo nesta escola.
O Quadro 21 e o gráfico 16 apresentam dados com relação ao consumo
realizado pelos discentes. Perguntados se costumam fazer compras em comércio,
mercearia, supermercado, açougue, etc, os discentes informaram que:
Quadro 21 – Relação com o comércio
Situação Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 45 45%
Não 4 4%
As vezes 51 51%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 15 - Relação com o comércio
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
8%SIM
74%NÃO
18%AS VEZES
SIM
NÃO
AS VEZES
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
SIM NÃO AS VEZES
45,0%
4,0%
51,0%
99
O gráfico 16 deixa nítido que uma pequena parte dos discentes (4%) não
costuma fazer compras, ou seja, a grande maioria já realiza. Assim, estes alunos
estão familiarizados com situações em que se utilizam cálculos de operações
fundamentais, como pagamento e troco, por exemplo.
Ao serem perguntados a respeito de seu responsável masculino, os
discentes, em sua maioria (62%) indicaram o pai. Conforme o Quadro 22:
Quadro 22 – Responsável masculino dos discentes
Responsável Frequência absoluta Frequência relativa
Pai 62 62%
Avô 8 8%
Tio 12 12%
Irmão 2 2%
Não possui 9 9%
Outro 7 7%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
As figuras masculinas mais citadas, além do pai, foram: tio (12%), Avô (8%),
Irmão (2%) e outros (7%). Dos estudantes que escolheram a opção outros, 6 deles
citou o padrasto como seu responsável masculino e 01 não respondeu.
Para além das figuras masculinas citadas, o gráfico 17 destaca que 9% dos
estudantes não possui um responsável masculino.
Gráfico 16 - Responsável masculino dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
62,0%
8,0%
12,0%
2,0%
9,0%
7,0%
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0%
Pai
Avô
Tio
Irmão
Não possui
Outro
100
Ainda sobre o seu responsável masculino, quando perguntados a respeito da
escolaridade deste responsável, 44% dos estudantes consultados não soube
responder, os demais apontaram os seguintes dados:
Quadro 23 – Escolaridade do responsável masculino dos discentes
Nível de ensino Frequência absoluta Frequência relativa
Nunca estudou 0 0%
Fundamental completo 14 14%
Fundamental incompleto 16 16%
Médio completo 14 14%
Médio incompleto 7 7%
Superior completo 5 5%
Pós graduado 0 0%
Não soube responder 44 44%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 17- Escolaridade do responsável masculino dos discentes
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Podemos indicar que a escolaridade da maioria dos responsáveis masculinos
destes alunos encontra-se na educação básica, restando apenas 5% dos
responsáveis que alcançaram o nível superior.
Em relação à ocupação do responsável masculino, 9 alunos (9% da amostra)
declaram que seu responsável masculino não trabalha. Já 91 discentes, ou seja,
91% da amostra indicou que seu responsável masculino trabalha.
Dos discentes que declaram que seu responsável masculino trabalha, foram
destacadas as seguintes ocupações: capinador, mecânico, bicheiro, carpinteiro,
marceneiro, pedreiro, cobrador de ônibus, barbeiro, eletricista, dono de estância,
vigilante, professor, empresário, policial, com barco, com viagens, consertando
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Não soube responder
Fundamental completo
Fundamental incompleto
Médio completo
Médio incompleto
Superior completo
44,0%
14,0%
16,0%
14,0%
7,0%
5,0%
101
celular, mototaxi, agente prisional, fotógrafo, farmacêutico, administração, vendedor
de: frango, peixe, gás de cozinha, açaí, churrasco, roupas, pastel, toldos, películas
para carro. Ainda com relação a estes discentes, 17 deles não souberam responder
com o que o seu responsável masculino trabalha.
Conforme o Quadro 24:
Quadro 24 – Ocupação do responsável masculino dos Discentes
Trabalha Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 91 91%
Não 9 9%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 18 - Ocupação do responsável masculino dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Ao serem perguntados a respeito de seu responsável feminino, temos:
Quadro 25 - Responsável feminino dos discentes
Responsável Frequência absoluta Frequência relativa
Mãe 82 82%
Avó 13 13%
Tia 4 4%
Irmã 1 1%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os alunos consultados apontaram em sua maioria (82%) que a mãe assume
esta posição. Para além da mãe, os discentes assinalaram como responsável
feminina: a avó com 13% dos alunos; a tia com 4% da amostra e a irmã com 1% dos
91,0%
9,0%
TRABALHA
NÃO TRABALHA
102
consultados. Conforme podemos observar no Quadro 25 e no gráfico 20 que nos
oferecem a distribuição dos índices absolutos e relativos das informações elucidadas
pelos alunos consultados
O gráfico 20 nos fornece as porcentagens referentes a estas informações:
Gráfico 19 – Responsável Feminino dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Ainda sobre sua responsável feminina, perguntamos aos estudantes sobre a
escolaridade da mesma. Conforme os alunos, seu responsável feminino alcançou o
nível de escolaridade: fundamental incompleto (11%); fundamental completo (9%);
Médio incompleto (8%); médio completo (20%), superior completo (9%) e pós-
graduação (5%).
Os dados estão dispostos no Quadro 26 a seguir:
Quadro 26 – Escolaridade Do Responsável Feminino Dos Discentes
Nível de ensino Frequência absoluta Frequência relativa
Nunca estudou 0 0,0%
Fundamental completo 9 9%
Fundamental incompleto 11 11%
Médio completo 20 20%
Médio incompleto 8 8%
Superior completo 9 9%
Pós graduado 5 5%
Não soube responder 38 38%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
60,0%
70,0%
80,0%
90,0%
100,0%
Mãe Avó Tia Irmã Nãopossui
Outro
82,0%
13,0%4,0% 1,0% 0,0% 0,0%
103
Gráfico 20 – Escolaridade do responsável feminino dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico destaca que 38% dos alunos consultados não soube responder qual
a escolaridade de seu responsável feminino.
Quanto à ocupação que esta responsável exerce, dos 64% dos discentes que
indicaram que sua responsável feminina trabalha 12 alunos não soube responder
exatamente com o que. Dentre as ocupações citadas, temos: empregada doméstica,
cabelereira, padeira, manicure, professora, fotógrafa, segurança, faxineira, dentista,
babá, enfermeira, auxiliar de cozinha, promotora de vendas, operadora de caixa,
com barco, com viagens, em farmácia, comércio, escritório de advocacia,
recepcionista, técnica de enfermagem, vendedora de: açaí, sorvete, frango,
churrasco, sapato, pastel, avon. Conforme o Quadro 27:
Quadro 27 – Ocupação Do Responsável Feminino Dos Discentes
Trabalha Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 64 64,0%
Não 36 36,0%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%
Não soube responder
Fundamental completo
Fundamental incompleto
Médio completo
Médio incompleto
Superior completo
Pós graduado
Nunca estudou
38%
9%
11%
20%
8%
9%
5%
0%
104
O gráfico 22 nos fornece os índices relativos (%) presentes no Quadro 27:
Gráfico 21 – Ocupação Do Responsável Feminino Dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Perguntados a respeito da idade em que iniciaram sua vida escolar, os 33%
dos discentes indicaram que iniciaram seus estudos aos 3 anos de idade, conforme
o Quadro 28:
Quadro 28 - Idade de início da vida escolar dos discentes
Idade (anos) Frequência absoluta Frequência relativa
3 33 33%
4 14 14%
5 20 20%
6 20 20%
7 13 13%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os percentuais das idades de início da vida escolar encontrados foram: 33%
para início com 3 anos; 14% com 4; 20% com 5; 20% com 6 e 13% com 7 anos.
Percebemos que uma somatória de 33 alunos, ou seja, 33%, indicou ter começado a
vida escolar com ou após os 6 anos de idade, fato que demonstra a ausência da
Educação Infantil, momento tão importante para o desenvolvimento de habilidades
necessárias para a evolução do Ensino Fundamental.
Ainda que o acesso à escola seja um direito da criança assegurado pelo
Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) e registrado também na Lei de
64%
36%
TRABALHA NÃO TRABALHA
105
Diretrizes e Bases da Educação (LDB), percebemos que estes 33% dos alunos não
tiveram o seu direito assistido.
As informações acima são destaques no gráfico 23 que nos proporciona a
exposição dos índices relativos (%) do Quadro 28:
Gráfico 22 - Idade de início da vida escolar dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Agora, perguntados quanto à realização da educação infantil, encontramos
dados que confrontam com os resultados anteriores, vejamos o Quadro 29:
Quadro 29 – Histórico De Educação Infantil Dos Discentes
Realizou Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 80 80%
Não 20 20%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Dos alunos consultados, 80% declararam ter realizado a educação infantil,
resultado que pode ser confrontado com o gráfico 28, que aponta uma somatória de
apenas 67% dos alunos com início da vida escolar até os cinco anos.
Já para aqueles que declararam não ter realizado a educação infantil,
portanto, conforme o Quadro, 20% dos alunos consultados, incoerente com o gráfico
23 que mostra que 33% dos alunos iniciaram sua vida escolar com ou após os 6
anos de idade.
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
60,0%
70,0%
80,0%
90,0%
100,0%
3 ANOS 4 ANOS 5 ANOS 6 ANOS 7 ANOS
33,0%
14,0%20,0% 20,0%
13,0%
106
O gráfico 24 aponta os percentuais do histórico de educação infantil dos
discentes consultados:
Gráfico 23 – Histórico De Educação Infantil Dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em relação ao seu histórico de repetência, 75% dos discentes assinalou não
ter tido episódio de repetência em sua vida escolar, já 25% disse já ter repetido
algum ano/série durante sua vida escolar. Estes dados estão dispostos no Quadro
30 a seguir:
Quadro 30 – Histórico De Repetência Dos Discentes
Repetência Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 25 25%
Não 75 75%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico 25 apresenta a distribuição dos percentuais das respostas dos
alunos a respeito de seu histórico de repetência:
80,0%
20,0%
REALIZOU NÃO REALIZOU
107
Gráfico 24 – Histórico de repetência dos discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Dos 25 estudantes que declaram já terem repetido alguma vez na vida
escolar, distribuímos no Quadro 31as indicações dos anos em que estes alunos
repetiram:
Quadro 31– Anos De Repetência Dos Discentes
Ano Frequência absoluta Frequência relativa
2º 1 4%
5º 17 68%
6º 4 16%
7º 3 12%
Total 25 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 25 - Anos de repetência dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
25,0%
75,0%
JÁ REPETIU NUNCA REPETIU
4%
68%
16% 12%0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2º 5º 6º 7º
108
O gráfico 26 destaca que a maioria dos alunos que já repetiram de ano, 68%,
indicou ter repetido o 5º ano, dentre as mais diversas causas que justificariam está
repetência, podemos inferir a ruptura em relação ao volume de conteúdo,
metodologias e viés pedagógico que a passagem do quinto para o sexto ano
representa para os alunos.
Das disciplinas citadas que ocasionaram está repetência, os alunos
destacaram: Matemática, Português, Estudos Amazônicos, História e Educação
Física.
Com relação à ajuda nas tarefas de matemática, o Quadro 32 e o gráfico 27
mostram que 30% dos discentes consultados tem auxílio em casa da sua
responsável feminina, 14% contam com a ajuda do responsável masculino e 15% de
um professor particular.
Quadro 32 – Pessoa que ajuda nas tarefas de Matemática dos Discentes
Pessoa Frequência absoluta Frequência
relativa
Ninguém 10 10%
Professor particular 15 15%
Responsável masculino 8 8%
Responsável feminino 30 30%
Irmão/irmã 7 7%
Responsável masculino e feminino 14 14%
Outras pessoas da família 10 10%
Colega da escola 4 4%
Outros 2 2%
Total Geral 100 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 26 – Pessoa Que Ajuda Nas Tarefas De Matemática Dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Ninguém
Responsável masculino
Irmão/irmã
Outras pessoas da família
Outros
10%15%
8%30%
7%14%
10%4%
2%
109
O gráfico 27 nos indica que 10% dos alunos não possuem ajuda nas tarefas
de Matemática. Apesar da maioria dos alunos possuírem ajuda nestas tarefas, é
importante o aprimoramento das aulas, planejando a dimensão didática e
metodológica das aulas.
O Quadro 33, assim como gráfico 28, representam os cursos que os alunos
fazem nos horários livres da escola, predominando a ausência de atividades fora da
escola, pois 77% declararam que não fazem nenhum curso em outros horários. Os
cursos de informática, que representa 13% da tabela, bem como o de língua
estrangeira, que corresponde a 8% dos discentes, são os cursos frequentados pelos
discentes.
Quadro 33 – Cursos Realizados Pelos Discentes
Tipo Frequência absoluta Frequência relativa
Nenhum 77 77%
Informática 13 13%
Língua estrangeira 8 8%
Outros 2 2%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os cursos citados na opção outros foram: Curso de desenho e Curso de
Mágico, correspondendo à 2% dos discentes consultados, conforme o Quadro 33.
O gráfico 28 traz os índices relativos dessas informações:
Gráfico 27 – Cursos Realizados Pelos Discentes
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
77%
13%
8% 2%
Nenhum Informática Língua estrangeira Outros
110
No que diz respeito à afinidade com a disciplina de Matemática, o Quadro 34,
mostra que:
Quadro 34 – Aceitação Da Matemática Pelos Discentes
Gosta Frequência absoluta Frequência relativa
Nenhum pouco 9 9%
Pouco 52 52%
Muito 39 39%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico 29 que apesar da maioria dos discentes consultados declararem
que gosta pouco, 52 alunos, ou seja, 39% da amostra afirmou gostar muito de
Matemática, e apenas 9% disse gostar de nenhum pouco da referida disciplina.
Gráfico 28 – Aceitação da Matemática pelos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
No que diz respeito à dificuldade no aprendizado de matemática pelos
discentes, o Quadro 35 traz as informações declaradas pelos discentes consultados:
Quadro 35 – Dificuldade em aprender Matemática pelos Discentes
Apresenta dificuldade Frequência absoluta Frequência relativa
Não 32 32%
Um pouco 54 54%
Muita 14 14%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
9,0%
52,0%
39,0%
Não gosta Nenhum pouco Gosta Pouco Gosta Muito
111
A maioria dos estudantes (54%) diz sentir um pouco de dificuldade ao aprender
matemática, já 32% relata não sentir dificuldade, restando 14% que declarou sentir
muita dificuldade. O gráfico 30 nos destaca a frequência relativa destas informações:
Gráfico 29 – Dificuldade Em Aprender Matemática Pelos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O Quadro 36 traz as informações coletadas dos discentes quando
perguntados quanto à sua distração durante as aulas de matemática:
Quadro 36 – Distração nas aulas de Matemática pelos Discentes
Distrai Frequência
absoluta Frequência
relativa
Não, eu sempre presto atenção. 36 36%
Às vezes, quando a aula está chata. 53 53%
Sim, eu não consigo prestar atenção. 11 11%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico 31 nos oferece estas informações destacadas em forma de
porcentagem:
Gráfico 30 – Distração nas Aulas de Matemática pelos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
54%32%
14%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Um pouco de dificuldade
Não apresenta
Muita dificuldade
36,0%
53,0%
11,0%
Não, eu sempre presto atenção. Às vezes, quando a aula está chata.
Sim, eu não consigo prestar atenção.
112
Temos que 11% dos discentes consultados apontaram não conseguir prestar
atenção nas aulas de matemática, 36% disse sempre prestar atenção e a maioria
(53%) declarou que às vezes se distraem, quando a aula está chata.
A distração durante as aulas de matemática pode estar diretamente ligada à
qualidade do aprendizado nesta disciplina, visto que aquele aluno que consegue se
concentrar melhor e prestar atenção durante a aula, possivelmente, conseguirá
apreender melhor o que o docente explica.
Ainda neste contexto de rendimento do docente, perguntamos a respeito de
suas notas em Matemática. Destacamos que 75% dos alunos consultados disseram
obter notas nas avaliações de matemática acima de 5, enquanto 15% declarou que
suas notas são iguais a 5 e 10% que as notas são abaixo de 5.
Vejamos o Quadro 37:
Quadro 37 – Notas em Matemática dos Discentes
Notas (pontos) Frequência absoluta Frequência relativa
Acima de 5 75 75%
Iguais a 5 15 15%
Abaixo de 5 10 10%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Percebemos que o mesmo índice de alunos que se distraem durante as aulas
de matemática destacou-se também com os alunos que tiraram notas abaixo de 5
nas avaliações, o que nos demonstra uma intrínseca ligação entre a distração
durante as aulas e o rendimento do aluno em matemática.
O gráfico 32 nos mostra estas informações a respeito das notas dos discentes
em Matemática em forma de porcentagem.
Gráfico 31 – Notas em Matemática dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
75,0%
15,0%
10,0%
Acima 5 Iguais a 5 abaixo de 5
113
Ao perguntarmos sobre o hábito de estudo em Matemática, dos 100 discentes
informantes, a maioria absoluta não possui o costume de estudar todos os dias,
como mostra o Quadro 38 e o gráfico 33, apontando apenas 7 estudantes tem um
hábito diário de estudo em Matemática.
Ainda encontramos que 24% dos alunos estudam somente na véspera da
prova e 10% somente no período da prova, ou seja, em períodos próximos das
avaliações. Informação que pode nos levar à compreensão do baixo rendimento
destes alunos nestas avaliações, dada a dedicação aos estudos desta disciplina.
Quadro 38 – Hábito de Estudo em Matemática dos Discentes fora da Escola
Dias de estudo Frequência absoluta Frequência relativa
Nunca estudo matemática 12 12%
Uma vez por semana 14 14%
Duas vezes por semana 6 6%
Três vezes por semana 10 10%
Quatro vezes por semana 3 3%
Só na véspera da prova 24 24%
Só no período da prova 10 10%
Só nos finais de semana 8 8%
De segunda a sexta-feira 6 6%
Todo dia 7 7%
Total Geral 100 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 32 – Hábito de estudo em Matemática dos Discentes fora da escola
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Nunca estudo matemática
Uma vez por semana
Duas vezes por semana
Três vezes por semana
Quatro vezes por semana
Só na véspera da prova
Só no período da prova
Só nos finais de semana
De segunda a sexta-feira
Todo dia
12%
14%
6%
10%
3%
24%
10%
8%
6%
7%
114
Em relação à escola em que os discentes estudaram o ano anterior, ou seja,
cursaram o sexto ano do ensino fundamental, os alunos, predominantemente, são
oriundos de Escola Pública, já que 94% declararam que estudaram o Ensino
Fundamental em Escola Pública Estadual e 5% dos alunos derivaram de Escolas
Públicas Municipais, e o restante são egressos de Escola Particular.
Vejamos o Quadro 39:
Quadro 39 – Escola em que os discentes cursaram o 6º ano
Tipo Frequência absoluta Frequência relativa
Pública estadual 94 94%
Pública municipal 5 5%
Particular 1 1%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Dos alunos consultados, todos aqueles que afirmaram ter estudado no ano
anterior em escola pública estadual, destacaram ter estudado na mesma escola em
que estão atualmente, ou seja, os alunos permaneceram na mesma escola em que
estudaram o 6º ano do ensino fundamental.
O gráfico 34 nos fornece os índices relativos do Quadro 39:
Gráfico 33 – Escola em que os Discentes cursaram o 6º ano
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
94,0%Pública
Estadual
5,0%Pública
Municipal
1,0%Particular
115
Em relação à prática de esportes, os discentes consultados declaram que:
praticam (53 estudantes) e não praticam (47 estudantes), conforme podemos
observar no Quadro 40:
Quadro 40 – Prática de Esporte dos Discentes
Pratica Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 53 53%
Não 47 47%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Percebemos que mais da metade dos consultados pratica algum esporte.
Estes alunos citaram como esporte que praticam: futebol, jiu jitsu, vôlei, futsal,
dança/balé, boxe, natação e outros.
Gráfico 34 – Prática de Esporte dos Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Quando perguntados se já ficaram de dependência escolar em Matemática no
sexto ano, 91% dos alunos assinalaram que não e 9% que sim. Como mostra o
Quadro 41:
Quadro 41 – Dependência em Matemática no 6º Ano
Ficou Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 9 9%
Não 91 91%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
53,0%
47,0%PRATICA
NÃO PRATICA
116
O gráfico 36 traz as porcentagens referentes aos alunos que declararam ter
ficado ou não de dependência escolar em matemática no sexto ano.
Gráfico 35 – Dependência em Matemática no 6º ano
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
No que se refere à maneira como o seu professor ministrou as aulas
referentes ao conteúdo de Fração, no sexto ano, o Quadro 42 e o gráfico 37,
mostram que 84% dos alunos indicaram que docentes iniciaram suas aulas pela
definição seguida de exemplos e exercícios, portanto, da maneira tradicional, e o
segundo índice maior, em valores relativos, foi de aulas que começam por uma
situação-problema e depois introduz o assunto, o que equivale a 12% dos
informantes.
O Quadro 42 nos fornece todas as informações a respeito de como foi
abordado o conteúdo de frações no sexto ano pelos docentes, segundo os alunos.
Quadro 42 – Abordagem das aulas sobre Fração no 6º ano segundo Discentes
Abordagem Frequência
absoluta Frequência relativa
Pela definição, seguida de exemplos e exercícios 84 84%
Com uma situação problema para depois introduzir um assunto
12 12%
Com um experimento para chegar ao conceito 4 4%
Com jogos para depois sistematizar os conceitos 0 0,0%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O Quadro 42 destaca que nenhum dos alunos (0%) declarou que os docentes
utilizaram jogos para abordar o conteúdo de Fração, bem como apenas 4% disse ter
iniciado os estudos deste conteúdo a partir de um experimento para chegar ao
conceito.
9,0%
91,0%
SIM
NÃO
117
Gráfico 36 – Abordagem das aulas sobre Fração no 6º ano segundo Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
As respostas dos Estudantes diferem bastante daquelas encontradas na
consulta aos docentes, pois 42% destes apontaram que abordam o conteúdo de
Frações através da definição, seguida de exemplos e exercícios, contrapondo com
os 84% dos estudantes que indicaram esse tipo de abordagem.
Ao tecer comparações com as respostas encontradas, destacamos também
que 50% dos docentes declararam que iniciam este conteúdo com o uso de uma
situação problema, bastante diferentes dos 12% das respostas dos estudantes para
esta abordagem.
Em relação à fixação do conteúdo de Fração, temos o Quadro 43:
Quadro 43 – Fixação do conteúdo de Fração segundo Discentes
Maneira como o professor realizou Frequência
absoluta Frequência
relativa
Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos 36 36%
Apresentava jogos envolvendo o assunto 1 1%
Mandava resolver os exercícios do livro didático 51 51%
Não fazia proposta de questões de fixação 4 4%
Pedia que o aluno procurasse questões sobre o assunto em outras fontes
8 8%
Total Geral 100 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
84%
12%
4%
0,00%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Pela definição, seguida de exemplos eexercícios
Com uma situação problema para depoisintroduzir um assunto
Com um experimento para chegar ao conceito
Com jogos para depois sistematizar osconceitos
118
A maior parte dos alunos informou que o professor escolheu fazer uso de livro
didático (51%), solicitando a resolução de exercícios do mesmo; seguido da
apresentação de uma lista de exercícios para serem resolvidos (36%).
O gráfico 38 destaca que apenas 1 dos alunos declarou que os docentes
utilizaram jogos envolvendo o assunto de Fração para a fixação deste conteúdo.
Percebemos que a predominância é do uso de exercícios do livro didático ou lista de
exercícios.
Estes resultados nos fazem refletir sobre a necessidade da apresentação de
materiais diferenciados como recurso metodológico para o trabalho do professor
seja para a abordagem do conteúdo de Fração (ou até mesmo dos demais), seja
para a fixação do mesmo.
Gráfico 37 – Fixação do conteúdo de Fração segundo Discentes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A última parte do questionário buscou conhecer, a partir dos discentes,
informações a respeito do ensino e da aprendizagem de Fração, objetivando
construir um panorama das dificuldades dos alunos a partir das suas percepções.
Esta análise foi realizada ao se perguntar se o discente, ainda no sexto ano
estudou determinado tópico do conteúdo do ensino de Fração, bem como sua
avaliação pelos critérios “MUITO FÁCIL”, “FÁCIL”, “REGULAR”, “DIFÍCIL” e “MUITO
DIFÍCIL”.
36,0%
1,2%
51,2%
3,5%
8,1%
0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%
Apresentava uma lista de exercícios para seremresolvidos
Apresentava jogos envolvendo o assunto
Mandava resolver os exercícios do livro didático
Não fazia proposta de questões de fixação
Pedia que o aluno procurasse questões sobre oassunto em outras fontes
119
Embora todos os itens do conteúdo de Fração listados no questionário façam
parte deste componente curricular da Matemática, 24% dos docentes declaram não
ensinar um ou mais destes tópicos.
A partir das respostas dos estudantes consultados, buscamos identificar o
grau de dificuldade de aprendizagem dos tópicos de Frações presentes no Quadro
44 a seguir.
A confiabilidade das respostas dadas pelos sujeitos consultados segundo
uma escala Likert em 5 pontos (1= muito fácil; 2= fácil; 3= regular; 4=difícil; 5= muito
difícil) foi medida pelo coeficiente Alfa de Cronbach. Destacamos que para dados
não informados atribuímos o valor 0.
Para o número de itens 𝑘 = 17, os dados mostram que a soma variância das
respostas de cada item é ∑ 𝑠𝑖2𝑘
𝑖=1 = 38,4517 e a variância total é 𝑠𝑡2 = 63,4675.
Assim, encontramos 𝛼 = 0,418785, o que indica um valor de confiabilidade
“baixo” de acordo com a escala apresentada por Hill e Hill (2009).
O Quadro 44 nos fornece a relação entre os tópicos citados e o grau de
dificuldade dos discentes referente ao conteúdo de Frações. Vejamos:
Quadro 44 – Dificuldade de aprendizagem segundo discentes
Item ASSUNTO
GRAU DE DIFICULDADE
DOS ALUNOS
MF
(%)
FA
(%)
RE
(%)
DI
(%)
MD
(%)
01 Conceito de fração 20 36 38 6 0
02 Tipos de fração 15 39 30 15 1
03 Representação de frações 27 41 20 10 2
04 Simplificação de frações 16 25 35 17 7
05 Comparação de frações 20 40 27 12 1
06 Adição de frações com o mesmo denominador 20 27 29 20 4
07 Adição de frações com denominadores diferentes 16 34 27 15 8
08 Subtração de frações com o mesmo denominador 14 29 40 12 5
09 Subtração de frações com denominadores diferentes 14 29 29 20 8
10 Multiplicação de fração 23 36 30 8 3
11 Divisão de fração 21 29 31 15 4
12 Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte 35 34 17 13 1
13 Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer 16 31 34 15 4
120
o todo
14 Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar
outra parte 10 27 38 21 4
15 Expressões numéricas com frações envolvendo adição e
subtração 15 30 29 19 7
16 Expressões numéricas com frações envolvendo adição,
subtração e multiplicação 14 28 28 22 8
17 Expressões numéricas com frações envolvendo adição,
subtração, multiplicação e divisão 10 14 40 26 10
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Agora, apresentamos as opiniões dos discentes quanto ao grau de
dificuldades que sentem ao aprenderem os tópicos do conteúdo de fração descritos
no Quadro 44. Utilizamos MF para referir-se à “Muito Fácil”, FA para “Fácil”, RE para
“Regular”, DI para “difícil” e MD para “Muito Difícil”.
Conforme o Quadro 44a, com valores de frequência absolutos (FA) e relativos
(FR), de modo geral, os alunos informam que os conhecimentos acerca do conceito
de Fração possuem um grau de dificuldade regular (38% da amostra) ou fácil (36%).
Com relação aos tipos de fração, os discentes afirmaram que a aprendizagem
deste conteúdo possui um grau considerável fácil, alcançando 39% da amostra, já
30%, o que corresponde a 30 estudantes, afirmaram ser um conteúdo regular. No
que concerne às representações de frações, os alunos consultados declararam que
este conteúdo é: 41% fácil; 27% muito fácil; 20% regular; 10% difícil e 2% muito
difícil.
O conteúdo de simplificação de frações foi considerado pela maioria dos
discentes como regular, alcançando 35% da amostra; 25% como fácil e 17% como
difícil. Os valores de frequência relativa com relação ao conteúdo de comparação de
frações são: 40% dos discentes consultados avaliaram este conteúdo como fácil;
26,7% como regular e 19,8% como muito fácil.
Em relação à operação de adição de frações com o mesmo denominador,
29,0% dos alunos avaliaram como um conteúdo de grau de dificuldade regular, 27%
como fácil; 20% como difícil; 20% como muito fácil e 4% como muito difícil. Já para
adição de frações com denominadores diferentes, os apontamentos foram: 34% da
amostra avaliou como fácil; 27% como regular; 16% como muito fácil; 15% como
difícil e 8% como muito difícil.
121
Quanto à operação de subtração de Frações com o mesmo denominador,
40% dos discentes apontaram que este conteúdo é considerado regular e 29% como
fácil. Já em relação à operação de subtração com denominadores diferentes, os
índices relativos dos discentes são: 29% regular e 29% como fácil.
A operação de multiplicação para 36% dos alunos consultados é considerada
fácil seguida de 30% da amostra que declarou ser regular. E, com relação à
operação de divisão de Fração, 31% dos discentes consultados disseram ser um
tópico do conteúdo de nível de dificuldade regular e 29,0% declarou ser fácil.
No que tange aos problemas envolvendo frações, exploramos, assim como
com os docentes, três situações: Problemas em que se conhece o todo e deseja
saber a parte, Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer o todo e
Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar outra parte. Para a
primeira situação 35% dos alunos consultados declararam ser um conteúdo muito
fácil, seguido de 34% que proferiu ser fácil.
Com relação aos problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer
o todo, encontramos 34% dos discentes declarando ser um conteúdo regular,
acompanhado de 31% que disse ser um conteúdo de grau de dificuldade fácil. Já no
que concerne aos problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar
outra parte, os alunos declaram ser regular (38%), Fácil (27%), Difícil (21%), Muito
fácil (10%) e muito difícil (4%).
Para as expressões numéricas envolvendo Frações, apresentamos
novamente três casos: expressões numéricas com frações envolvendo adição e
subtração, Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e
multiplicação e Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração,
multiplicação e divisão.
Para o primeiro caso, os discentes julgaram um nível de dificuldade: fácil
(30%) e regular (29,0%). Para as expressões que envolvem adição, subtração e
multiplicação 28% indicou ser um conteúdo fácil e o mesmo percentual disse ser um
conteúdo regular. Para as expressões que envolvem adição, subtração,
multiplicação e divisão, os alunos apontaram como: 40% regular; 26% difícil; 14%
fácil; 10% muito difícil e o mesmo percentual declarou ser um conteúdo considerado
muito fácil.
Observamos que os estudantes apontam coo conteúdos de maior dificuldade
as operações de Adição e Subtração com denominadores diferentes e as
122
expressões com frações envolvendo as mais diversas operações de maneira geral.
Estes dados nos proporcionaram subsídios para a construção das tarefas de nossa
Sequência de Atividades.
No bojo dos resultados encontrados nestas Análises Prévias, construímos
nossa Concepção e Análise a priori, apresentada na seção a seguir.
123
2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE À PRIORI
Nesta fase são delimitadas as variáveis de comando (globais e locais), as
quais dizem respeito ao planejamento específico de cada uma das aulas da
sequência didática, e à elaboração global da sequência didática. Estas variáveis
foram observadas e analisadas durante a aplicação da sequência, relacionando o
conteúdo em questão com a sequência proposta.
Dessa forma, construção das atividades contou com o subsídio dos
resultados encontrados a partir das consultas a docentes e discentes, para
elaborarmos uma sequência didática constituída de atividades com o auxilio de
materiais manipuláveis, que denominamos kit de Frações, buscando oportunizar aos
alunos condições para uma melhor compreensão dos conceitos e regras referentes
ao conteúdo de frações.
Apoiados em Sá (2009, p. 18), nossa sequência didática foi construída no
ensino de matemática por atividades, metodologia de ensino que pressupõe “a
possibilidade de conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções
matemáticas presentes nos objetivos das atividades”.
A sequência foi estruturada com atividades, distribuídas em 12 encontros
destinados ao desenvolvimento do conteúdo de Fração a partir dos seguintes
tópicos: Conceito, representação, equivalência, adição e subtração de frações com
mesmo denominador; adição e subtração de frações com denominadores diferentes;
multiplicação de frações e divisão de frações, com o objetivo de produzir significados
e melhorar o desempenho em Matemática de estudantes do 6º ano do ensino
fundamental de uma escola pública estadual do município de Belém/PA.
No Quadro 45 apresentamos o planejamento da aplicação da sequência
didática que foi constituída por 10 atividades, que compreendeu um conjunto de
situações problemas de conteúdos diferenciados relacionados à Fração, nas quais
se empregou o uso de materiais manipuláveis (kit de Frações), como ferramenta
metodológica o ensino por atividades, dos conceitos e das regras que envolvem o
conteúdo de Frações. A sequência proposta foi planejada, inicialmente, em 12
encontros, 10 para a efetivação da atividade e 02 para a aplicação dos instrumentos.
124
Quadro 45 – Planejamento da aplicação Sequência Didática (continua)
Ordem dos encontros
Ação Tempo Objetivo Material utilizado
1º Aplicar o Pré-teste 45 minutos
Avaliar o desempenho
dos alunos na resolução de questões
envolvendo o conteúdo de Fração.
Pré-teste, contendo 12
problemas envolvendo o conteúdo de Fração, lápis
ou caneta.
2º Aplicar a Atividade
1: “Conceito de Fração”
90 minutos Levar o aluno a
conceituar Fração.
Roteiro da atividade para
o professor, roteiro da atividade para o aluno,
Folhas de papel A4, caneta ou lápis.
3º Aplicar a Atividade 2: “Representação
de Fração” 90 minutos
Levar o aluno a descobrir como se representa Fração.
Roteiro da atividade para
o professor, roteiro da atividade para o aluno,
Folhas de papel A4, caneta ou lápis.
4º Aplicar a Atividade de Aprofundamento
90 minutos
Aprofundar os
conhecimentos dos estudantes sobre o
conceito e representação de
Frações.
Questões tipo Prova Brasil
5º Aplicar a Atividade 3: “Equivalência de
Frações” 90 minutos
Levar o aluno a descobrir maneira de identificar e encontrar Frações equivalentes.
Kit de frações, roteiro da
atividade para o professor, roteiro da
atividade para o aluno, caneta ou lápis.
6º Aplicar a Atividade 4: “Simplificação de
Frações” 90 minutos
Levar o aluno a descobrir maneira de
simplificar Fração.
Kit de frações, roteiro da
atividade para o professor, roteiro da
atividade para o aluno, caneta ou lápis.
7º Aplicar a Atividade 5: “Comparação de
Frações” 90 minutos
Levar o aluno a descobrir maneira de comparar Frações.
Kit de frações, roteiro da
atividade para o professor, roteiro da
atividade para o aluno, caneta ou lápis.
125
Quadro 45 – Planejamento da aplicação Sequência Didática (conclusão)
8º
Aplicar a Atividade 6: “Adição e Subtração de
Frações com o mesmo
denominador”
90 minutos
Levar o aluno a descobrir maneira de
somar e subtrair Frações com o mesmo
denominador, realizando a
elaboração da regra a partir da resolução de
problemas com o auxílio do kit de
Frações.
Kit de frações, roteiro da atividade para o
professor, roteiro da atividade para o aluno,
caneta ou lápis.
9ª
Aplicar a atividade 7: “Adição e subtração de Frações com
denominadores diferentes”
90 minutos
Levar o aluno a Descobrir maneira de
Somar e subtrair Frações com
denominadores diferentes, realizando a elaboração da regra a partir da resolução de problemas com o
auxílio do kit de Frações.
Kit de frações, roteiro da atividade para o
professor, roteiro da atividade para o aluno,
caneta ou lápis.
10º Aplicar a atividade 8: “Multiplicação de
Fração” 90 minutos
Levar o aluno a
Descobrir maneira de Multiplicar Frações,
realizando a elaboração da regra a partir da resolução de
problemas com o auxílio do kit de
Frações.
Kit de frações, roteiro da atividade para o
professor, roteiro da atividade para o aluno,
caneta ou lápis.
11º Aplicar a atividade
9: “Divisão de Frações”
90 minutos
Levar o aluno a Descobrir maneira de
Dividir Frações, realizando a
elaboração da regra a partir da resolução de
problemas com o auxílio do kit de
Frações.
Kit de frações, roteiro da atividade para o
professor, roteiro da atividade para o aluno,
caneta ou lápis.
12º Aplicar o Pós-teste 45 minutos
Avaliar quais os efeitos da aplicação da
sequência didática, bem como o
desempenho dos alunos na resolução
de questões envolvendo este
conteúdo.
Pós-teste contendo 12 problemas envolvendo o
conteúdo de Fração, lápis ou caneta.
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
126
2.1 Abordagem metodológica da atividade
2.1.1 O Ensino por Atividades
As atividades que compõem a Sequência, apresentada como proposta para o
Ensino de Frações neste trabalho, possuem como abordagem metodológica do
Ensino por atividades, estudada por Fossa (2000), Sá (2008, 2009) e Mendes e Sá
(2006).
Esta metodologia de ensino propõe a inserção de uma dinâmica experimental
na sala de aula, respeitando o desenvolvimento físico e mental do aluno, bem como
suas necessidades e interesses para que este possa compreender e questionar seu
próprio conhecimento, pois, nessa abordagem metodológica, passa de mero
espectador a um criador ativo, conforme nos fornece Sá (2008, p. 15).
Convergindo com o que afirmam Mendes e Sá (2006), destacando que o
ensino de matemática por atividades possibilita aos alunos a construção das noções
matemáticas que estão inerentes aos objetivos das atividades.
Uma das vantagens para o aluno, no Ensino por Atividades, é a intenção de
que estes aprendam não somente “o que”, mas o “porque” se deve fazer uma tarefa
desta ou daquela maneira, desenvolvendo assim aspectos como a observação, a
criatividade e a criticidade, ao realizar os experimentos, interpretá-los e discutir os
resultados com o professor.
Para alcançar uma aprendizagem plena com o uso do Ensino por Atividades,
se faz necessário a disponibilidade do professor em querer e acreditar que pode
melhorar sua prática em sala de aula, adaptando-se às condições da escola e às
necessidades de cada turma. Outro ponto bastante relevante é o bom planejamento
das atividades, que possibilite a condução do aluno a uma construção constante dos
conhecimentos matemáticos envolvidos em cada uma delas.
Segundo Fossa (2000), o professor que for usar as atividades deve possuir
objetivos claros, estruturas as atividades a fim de permitir a familiarização pelos
alunos; conduzir os alunos a formular hipóteses a serem investigadas e discutidas
entre si, registrar os resultados obtidos no final de cada atividade. O autor propõe
um roteiro descrito em cinco etapas: Provocação, Participação, Precipitação,
Publicação e a Perturbação.
127
Cada uma destas etapas possui um alvo, a primeira é o lançamento de um
problema ou um desafio aos alunos, provocando-os; a segunda leva os alunos a
analisar o problema proposto e com isso formular e testar suas hipóteses, a terceira
conduz os alunos a registrar seus resultados em linguagem apropriada, a quarta, a
Publicação, consiste na revelação dos resultados, com objetivo de avaliar a
preparação do grupo a fim de continuar a sequência de atividades, e finalmente, e a
última, a Perturbação, que ajuda a relacionar as atividades com o mesmo objetivo ou
com objetivos semelhantes.
Os elementos essenciais, segundo Sá (2008, p. 19), para a elaboração das
atividades fundamentadas nesta concepção de ensino são:
As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os
alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;
Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções
matemáticas através de três fases: a experiência, a comunicação oral das ideias
apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;
As atividades devem prever um momento de socialização das informações
entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo.
Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito
mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do
grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;
As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam
conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias matemáticas
construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele.
As atividades propostas pelo professor deve se apresentar de três maneiras:
desenvolvimento, conexão e abstração, de modo que sejam sequencialmente
apresentadas e possam contribuir para a construção gradual dos conceitos
matemáticos, conforme afirma o autor, convergindo com as ideias de Fossa (2000).
Dessa maneira, desenvolver a disciplina de matemática, mais
especificamente o conteúdo de Frações, auxiliada pelo Ensino por atividades pode
permitir aos docentes de matemática novas propostas para um ensino de maneira
diferente do tradicional, oferecendo aos estudantes um novo caminho para a
construção do conhecimento com a valorização dos saberes que eles já possuem
para alcançar os objetivos previstos para cada atividade, tornando-os atores de sua
aprendizagem.
128
2.1.2 O Kit de Frações
Para o desenvolvimento das atividades propostas para esta Sequência
Didática, elaboramos um material, que denominamos kit de Frações, que será
utilizado como possível facilitador no processo da construção do conhecimento
matemático do conteúdo de Fração. Descreveremos agora o kit de Frações.
Ao planejar e construir a sequência de Atividades, buscamos criar um
elemento que pudesse, além de facilitar o aprendizado, ser de fácil manipulação e
transporte, bem como de baixo custo para que seja acessível ao maior número de
educadores que desejarem fazer uso, para tanto escolhemos como material de
produção do kit de Frações o papel cartão nas mais variadas cores. O kit de Frações
consiste em um conjunto com 137 peças em papel que representam as frações.
Abaixo descrevemos cada um destes conjuntos.
Para representar um inteiro temos a figura 6:
Figura 6 – Kit de Frações: Um Inteiro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para 1
2 temos 02 peças, conforme figura 7:
Figura 7 – Kit de Frações: Um meio
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
129
Para 1
3 temos 03 peças, conforme figura 8:
Figura 8 – Kit de Frações: Um terço
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para a Fração 1
4 temos 04 peças, conforme imagem 9:
Figura 9 – Kit de Frações: Um Quarto
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para representar a Fração 1
5 temos 05 peças em formato retangular,
conforme figura 10:
Figura 10 – Kit de Frações: Um Quinto
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
130
Para a representação da Fração 1
6 temos um conjunto com 12 peças, sendo
06 em formato de tiras e 06 em formato retangular, em duas opções. Conforme as
figuras 11 e 12.
Figura 11 – Kit de Frações: Um sexto em tiras
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Figura 12 – Kit de Frações: Um sexto retangular
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para 1
8 temos 08 peças, conforme figura 13:
Figura 13 – Kit de Frações: Um Oitavo
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
131
Para 1
9 temos 09 peças, conforme figura 14:
Figura 14 – Kit de Frações: Um nono
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para 1
10 temos 10 peças, conforme figura 15:
Figura 15 – Kit de Frações: Um Décimo
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para 1
12 temos 24 peças, sendo 12 em formato de tiras e 12 em formato
retangular, em duas opções de representação para esta Fração. Conforme as
figuras 16 e 17:
Figura 16 – Kit de Frações: Um Doze Avos em Tiras
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
132
Figura 17 – Kit de Frações: Um Doze Avos retangular
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para 1
15 temos 15 peças, conforme figura 18:
Figura 18 – Kit de Frações: Um Quinze Avos
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para 1
18 temos 18 peças, conforme figura 19:
Figura 19 – Kit de Frações: Um Dezoito Avos
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
133
Para 1
27 temos 27 peças, conforme figura 20:
Figura 20 – Kit de Frações: Um Vinte e Sete Avos
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
2.1.3 A Sequência Didática
As atividades que compõem a nossa sequência didática proposta abordam os
seguintes tópicos referentes ao conteúdo de Fração:
Conceito de Fração
Representação de Fração
Equivalência de Fração
Simplificação de Fração
Comparação de Fração
Adição de Frações com o mesmo denominador
Subtração de Frações com o mesmo denominador
Adição de Frações com denominadores diferentes
Subtração de Frações com denominadores diferentes
Multiplicação de Fração
Divisão de Frações
Para cada uma das atividades serão apresentados o título, o objetivo, o
material necessário e os procedimentos a serem realizados. Para as operações
envolvendo Frações, quadro com a solicitação de observações quanto ao número da
questão, a operação realizada, as Frações envolvidas, o cálculo realizado para que
os alunos possam expor suas observações acerca do desenvolvimento da atividade
e resolução dos problemas, e o espaço o aluno descrever a maneira de obter o
134
Um inteiro ou Um todo
resultado sem o uso do material, suas conclusões e registro da regra matemática
descoberta, sistematizando os conhecimentos matemáticos adquiridos na atividade.
Com a intenção de obter o tempo médio de realização das atividades para
comparar com tempo previsto no planejamento para a realização de cada uma das
atividades, registraremos o horário de início e fim de cada atividade,
A seguir exibiremos cada uma dessas atividades com suas respectivas
análises a priori.
2.1.3.1 Atividade1: Conceito de Fração
Título: O conceito de Fração
Objetivo: Conceituar de Fração
Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno,
Folhas de papel A4, caneta ou lápis.
Horário de Início da atividade: ______
Procedimento:
Utilize as folhas de Papel A4 para responder às perguntas abaixo:
Pegue as folhas de Papel A4 e divida-as ao meio no sentido do
comprimento para obter uma tira de papel. Conforme imagem abaixo:
Nesta tira, considere e escreva: Um inteiro ou Um todo.
Pegue um inteiro e divida, no sentido da largura, em duas partes iguais,
conforme imagem abaixo:
135
Responda às perguntas:
1) Que nome você daria a cada uma das partes obtidas?
2) Como se obtém a metade de um inteiro?
3) Quantas metades cabem em um inteiro?
Pegue um inteiro e divida em três partes iguais
Responda às perguntas:
4) Que nome você daria a cada parte obtida?
5) Como se obtém a terça parte de um inteiro?
6) Quantos terços cabem em um inteiro?
Pegue um inteiro e divida em quatro partes iguais
Responda às perguntas:
7) Qual é o nome de cada parte obtida?
8) Como se obtém um quarto de um inteiro?
9) Quantos quartos cabem em um inteiro?
Pegue um inteiro e divida em cinco partes iguais
Responda às perguntas:
10) Qual é o nome de cada parte obtida?
11) Como se obtém um quinto ou a quinta parte de um inteiro?
12) Quantos quintos cabem em um inteiro?
A metade, a terça parte, um quarto e um quinto de um inteiro são
exemplos de Frações de um inteiro.
A palavra Fração tem origem do latim Fraction e significa parte de um
todo. Este é o significado etimológico da palavra Fração.
136
Em Matemática, a palavra Fração significa Parte de um todo que foi
dividido igualmente.
Responda:
13) O que é necessário fazer para obter uma fração de um todo?
14) Quanto é a terça parte de 15?
15) Quanto é a metade de 20?
16) Quanto é a quarta parte de 8?
17) Quanto é a sexta parte de 36?
18) Quanto é a quinta parte de 20?
19) Quanto é a metade de 100?
20) O que são Frações?
Análise a Priori da Atividade 1:
Esta atividade aborda o conceito de Fração, dando enfoque no significado
parte-todo, utiliza material para que os alunos manipulem e construam significado
nas descobertas a se realizar. Nossa expectativa é que os alunos descubram o
conceito a partir da manipulação de um inteiro, obtendo, a partir das orientações,
diferentes frações deste inteiro.
A Atividade 1 possui 20 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90
minutos) para o seu desenvolvimento. Acreditamos que os alunos alcançarão os
objetivos esperados, pois a manipulação do material representando um inteiro nas
diversas situações mostra-se um facilitador na visualização destas e possíveis
direcionamentos para a formalização deste tópico do conteúdo de Frações.
2.1.3.2 Atividade 2: Representação de Fração
Título: Representação de Frações
Objetivo: Descobrir como se representa Frações.
137
Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno,
caneta ou lápis.
Horário de Início da atividade: ______
Procedimento:
Responda às perguntas abaixo:
1) Observe as figuras e informe que Fração de cada uma dela é a parte pintada:
2) Pinte o que se pede nas figuras abaixo:
138
Um pouco da História das Frações Os homens da Idade da Pedra não usavam frações, mas com a chegada da Idade do Bronze, parece ter surgido a necessidade de um conceito e de uma notação para frações. Os egípcios, em suas inscrições hieroglíficas, em monumentos e tumbas, utilizavam as frações unitárias com uma notação especial: “O inverso de um número inteiro era indicado colocando sobre a notação para o inteiro um sinal oval alongado”.
Para eles 1
3 , por exemplo, era representado como . Além de haver frações com notações
especiais, como: 1
2 = ;
1
4 = x ;
2
3 =
Os egípcios usavam um método diferente para representar aquelas frações que não eram
unitárias, por exemplo: para representar a fração 5
6 eles utilizavam a soma
1
3 +
1
2 .
Os Babilônios, utilizando a numeração cuneiforme, posicional, com leitura da direita para esquerda, com notação sexagesimal, obtiveram um nível de superioridade matemática em relação aos egípcios. Para eles:
1
5 =
12
60 era representado por
Os gregos usavam as frações unitárias egípcias, as frações sexagesimais da Babilônia, além das frações cuja notação se assemelha a nossa. Durante o período alexandrino, o hábito grego antigo de usar frações comuns com o numerador embaixo do denominador foi invertido, e foi nessa forma que os hindus o adotaram, sem a barra entre eles. Para os gregos, o numerador recebia um acento e o denominador era repetido e recebia dois acentos, assim:
2
3 = β’γ”γ”
Posteriormente, os gregos começaram a usar como notação o denominador acima do numerador, ainda sem o uso da barra, da seguinte maneira:
2
3=
γβ
Na China operações com frações eram comuns, viam analogias com diferenças entre os sexos, referindo-se ao numerador como “filho” e ao denominador como “mãe”. Os árabes, representados por Jamshid Al-Kashi, utilizavam as frações decimais, e percebendo sua importância e sua contribuição para este assunto, foi considerado o inventor das frações decimais. Já na Idade Média, um matemático chamado Fibonacci usava regularmente a barra horizontal para Frações, o qual foi um dos primeiros a separar o numerador do denominador por um traço. Antes dessa época, quando as frações eram escritas em algarismos hindu-arábicos, o denominador era escrito embaixo do numerador, mas sem qualquer sinal de separação. Apenas no século XVI o uso da barra tornou-se comum.
13
= 1
3
139
3) Com base no texto acima, responda as questões a seguir:
a) Na sua opinião, a maneira como os egípcios utilizavam para representar as
frações que não eram unitárias facilitava essa representação? Por quê?
b) O que você acha do modo como os babilônios realizavam em seus cálculos
com frações, sempre transformando o denominador em 60? Por quê?
c) Qual a diferença entre a notação que utilizamos atualmente para representar
frações daquela utilizada pelos gregos nos dois momentos apresentados no texto?
4) Escreva a Fração, com a notação atual, correspondente à parte pintada das
figuras abaixo:
5) Maria fez um bolo e dividiu em 8 fatias para vende-las. Após a venda,
sobraram apenas 2 fatias:
a) Que fração representa o número de fatias que
foram vendidas?
b) Que fração representa o número de fatias que
não foram vendidas?
6) Uma caixa possui bolinhas azuis e vermelhas. Observe a imagem abaixo e
responda:
a) Que fração representa o número de bolinhas vermelhas?
140
b) Que fração representa o número de bolinhas azuis?
7) Uma caixa de ovos possui capacidade para 6 ovos. Observe a figura abaixo e
responda:
a) Qual a fração que representa o
número de ovos que foram consumidos?
b) Que Fração representa o número de
ovos que estão na caixa?
8) Pedro possui um pacote com 15 bombons e quer distribuir igualmente entre
seus três irmãos. Que fração representa a quantidade de bombons que cada irmão
irá ganhar?
9) Uma coleção possui 24 figurinhas. Escreva a Fração que representa a
quantidade de:
a) 12 figurinhas dessa coleção
b) 8 figurinhas dessa coleção
c) 6 figurinhas dessa coleção
10) Descubra a Fração que representa cada uma das situações abaixo:
a) Nove em cada dez atrizes usam
a loção “Cheiro Bom”.
b) Três em cada cinco pessoas
consomem feijão diariamente.
c) Oito a cada doze homens
assistem o programa “TV Esporte”.
d) De cada cem pessoas, vinte e
cinco votam no candidato “Zé da
Praça”.
141
Após a resolução das tarefas acima, podemos concluir que:
O total de partes que o todo foi divido em uma fração é _____________
A quantidade de partes considerada é ________________
Análise a Priori da Atividade 2 Esta atividade que aborda o conteúdo de Representação de Fração utiliza
questões icônicas, questões com variáveis quantidades contínuas e discretas, assim
como também traz aspectos históricos da evolução da notação de Fração.
Acreditamos que os alunos percebam e identifiquem os termos da Fração a
partir do desenvolvimento da atividade, ao relacionar a parte com o todo.
A Atividade 2 possui 10 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90
minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos que esta atividade seja de nível
fácil e que os alunos conseguirão alcançar os objetivos esperados.
2.1.3.3 Atividade 3: Equivalência de frações
Título: Equivalência de Frações
Objetivo: Descobrir maneira de identificar e encontrar Frações Equivalentes.
Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno, kit
de Frações, caneta ou lápis.
Horário de Início da atividade: ______
Procedimento:
Utilize o kit de Frações para realizar as tarefas abaixo:
1) Tente sobrepor dois quartos em um meio.
a) Foi possível sobrepor?
b) Anote o que acontece:
c) As frações 1
2 e
2
4 representam a mesma parte do todo? Por quê?
2) Sobreponha três sextos em um meio.
a) Foi possível sobrepor?
b) Anote o que acontece:
c) As frações 1
2 e
3
6 representam a mesma parte do todo?
142
3) Sobreponha quatro oitavos em um meio.
a) Foi possível sobrepor?
b) Anote o que acontece:
c) As frações 1
2 e
4
8 representam a mesma parte do todo?
4) Sobreponha cinco décimos em um meio.
a) Foi possível sobrepor?
b) Anote o que acontece:
c) As frações 1
2 e
5
10 representam a mesma parte do todo?
5) Sobreponha seis doze avos em um meio.
a) Foi possível sobrepor?
b) Anote o que acontece:
c) As frações 1
2 e
6
12 representam a mesma parte do todo?
6) Sobreponha quatro sextos em um meio.
a) Foi possível sobrepor?
b) Anote o que acontece:
c) As frações 1
2 e
4
6 representam a mesma parte do todo?
Duas frações do mesmo inteiro que representam a mesma parte são
denominadas de Frações Equivalentes.
7) Dê dois exemplos de frações equivalentes a 1
2?
8) Dê dois exemplos de frações não equivalentes a 1
2?
9) Dê dois exemplos de frações equivalentes a 1
3?
10) Dê dois exemplos de frações não equivalentes a 1
3?
11) Dê dois exemplos de frações equivalentes a 1
4?
143
12) Dê dois exemplos de frações não equivalentes a 1
4?
13) Dê dois exemplos de frações equivalentes a 1
5?
14) Dê dois exemplos de frações não equivalentes a 1
5?
15) O que são frações Equivalentes?
16) O que você faria para a partir da fração 1
4 , obter
2
8? Estas frações são
equivalentes?
17) O que você faria para a partir da fração 1
3, obter
3
9? Estas frações são
equivalentes?
18) O que você faria para a partir da fração 1
5 , obter
4
20? Estas frações são
equivalentes?
19) O que você faria para a partir da fração 3
12 , obter
1
4? Estas frações são
equivalentes?
20) O que você faria para a partir da fração 16
20, obter
8
10? Estas frações são
equivalentes?
21) O que você faria para a partir da fração 3
9 , obter
1
3? Estas frações são
equivalentes?
22) Como se obtém frações Equivalentes?
Análise a Priori da Atividade 3 Esta atividade aborda o tópico de Equivalência de Frações, nossa expectativa
é que os alunos descubram uma maneira de identificar e obter Frações
equivalentes. Provavelmente os alunos encontrarão os resultados esperados, pois a
utilização do kit de Fração e a sequência com que as tarefas lhe são apresentadas
poderá facilitar no momento da construção do conhecimento.
144
A Atividade 3 possui 22 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90
minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos que esta atividade seja de nível
médio e que os alunos conseguirão alcançar os objetivos esperados.
2.1.3.4 Atividade 4: Simplificação de Frações
Título: Simplificação de Frações
Objetivo: Descobrir maneira de simplificar de Frações.
Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno, kit
de Frações, caneta ou lápis.
Horário de Início da atividade: ______
Procedimento:
Utilize o kit de Frações para realizar as tarefas abaixo:
1) Considere a fração 7
14 e encontre seis frações equivalentes com termos
menores.
2) O que é necessário realizar com os termos da fração 1
2 para obter a fração
5
10
, conforme imagem a seguir?
3) O que é necessário realizar com os termos da fração 6
12 , para obter
1
2 ,
conforme imagem a seguir?
1
2 =
2
4 =
3
6 =
4
8 =
5
10 =
6
12 =
7
14…
1
2 =
2
4 =
3
6 =
4
8 =
5
10 =
6
12 =
7
14…
145
1
3 =
2
6 =
3
9 =
4
12 =
5
15 =
6
18 =
7
21…
4) Considere a fração 1
3 e encontre seis frações equivalentes com termos
menores.
5) O que é necessário realizar com os termos da fração 1
3 , para obter
6
18 ,
conforme imagem a seguir?
6) O que é necessário realizar com os termos da fração 5
15 , para obter
1
3 ,
conforme imagem a seguir?
7) O que é necessário realizar com os termos da fração 5
15 , para obter
6
30 ?
8) O que é necessário realizar com os termos da fração 7
35 , para obter
1
5 ?
Simplificar uma fração consiste em __________________.
9) Utilizando a simplificação, escreva frações equivalentes a:
a) 10
15
b) 6
12
c) 12
18
d) 15
45
e) 14
42
1
3 =
2
6 =
3
9 =
4
12 =
5
15 =
6
18 =
7
21…
146
10) Como se simplifica uma fração?
11) Simplifique sucessivamente cada Fração a seguir até não ser mais possível
simplificar:
a) 4
20
b) 8
16
c) 4
12
d) 3
21
Quando simplificamos uma Fração até não ser mais possível dividir seus
termos por qualquer número, obtemos, então, ________________.
12) Utilizando a simplificação, obtenha a fração irredutível de:
a) 3
24
b) 8
20
c) 6
8
d) 5
50
13) Dona Maria fez um bolo de chocolate e um bolo de abacaxi. Do bolo de
chocolate, Dona Maria vendeu 1
2 e do bolo de abacaxi vendeu
2
4. De qual bolo
Dona Maria vendeu a maior quantidade? Porquê?
14) Miguel dividiu seus carrinhos entre seus dois irmãos menores. João, ficou
com 3
9 dos carrinhos e Felipe com
1
3. Qual irmão ficou com a maior
quantidade de carrinhos? Porquê?
Horário final da atividade: ______________ Análise a Priori da Atividade 4:
Esta atividade aborda o tópico Simplificação do conteúdo de Fração, utiliza
material para que os alunos manipulem e construam significado nas descobertas a
se realizar. Nossa expectativa é que os alunos descubram o modo como se
147
simplifica uma Fração através do manejo das Frações Equivalentes, que foram
estudadas na atividade anterior.
A Atividade 4 possui 14 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90
minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos ser esta uma atividade de nível de
dificuldade médio, pois os alunos deverão apresentar conhecimentos prévios das
operações de produto e divisão para realizar os cálculos necessários para o
desenvolvimento da atividade.
A disposição das tarefas mostra-se como ponto facilitador, assim,
acreditamos que os alunos alcançarão os objetivos esperados.
2.1.3.4 Atividade 5: Comparação de frações
Título: Comparação de Frações
Objetivo: Descobrir maneira de comparar Frações.
Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno, kit
de Frações, caneta ou lápis.
Horário de Início da atividade: ______
Procedimento:
1ª Parte
Utilize o kit de Frações para realizar as tarefas abaixo:
Considere o mesmo inteiro e responda:
1) Quem é maior 1
4 ou
3
4 ?
2) Quem é maior 1
5 ou
2
5 ?
3) Quem é maior 2
8 ou
7
8 ?
4) Quem é maior 1
3 ou
2
3 ?
5) Quem é maior 1
15 ou
10
15 ?
Descubra uma maneira de comparar Frações sem usar o Kit
Conclusão
2ª Parte
Utilizando o Kit de Frações e considerando o mesmo inteiro, responda:
6) Quem é maior 1
2 ou
1
3 ?
Para realizar a comparação entre duas ou mais frações de um mesmo inteiro, cujos denominadores são iguais, basta __________________.
148
7) Quem é maior 1
8 ou
1
6 ?
8) Quem é maior 2
3 ou
1
4 ?
9) Quem é maior 1
5 ou
3
8 ?
Descubra uma maneira de comparar Frações sem usar o Kit
Conclusão
Agora, responda: quem é maior:
10) 1
3 ou
1
2 ?
Calcule o que se pede nas questões de 11 a 16 e complete os espaços em branco
na tabela:
11) 1
3 de 1500 e
1
2 de 1000
12) 1
3 de 900 e
1
2 de 600
13) 1
3 de 1800 e
1
2 de 800
14) 1
3 de 1200 e
1
2 de 300
15) 1
3 de 3000 e
1
2 de 3000
16) 1
3 de 600 e
1
2 de 600
INTEIRO 𝟏
𝟑 INTEIRO
𝟏
𝟐 CONCLUSÃO:
1500 1000 Considerando inteiros diferentes,
𝟏
𝟑 e
𝟏
𝟐 podem ser ...........................
900 600
1800 800 Considerando inteiros diferentes,
𝟏
𝟑 e
𝟏
𝟐 podem ser ...........................
1200 300
3000 3000 Considerando inteiros iguais,
Para realizar a comparação entre duas ou mais frações de um mesmo inteiro, cujos denominadores são diferentes, basta _________________________
149
600 600 𝟏
𝟑 e
𝟏
𝟐 podem ser ...........................
A comparação de Frações de inteiros diferentes é realizada da mesma forma que de
frações de mesmo inteiro?
17) Qual fração de um mesmo inteiro é maior?
a) 1
2 ou
2
3
b) 4
5 ou
2
7
c) 3
5 ou
6
8
d) 7
8 ou
3
9
18) O que devemos observar antes de realizar a comparação entre duas ou mais
frações?
19) Como se faz para comparar frações?
Hora final da Atividade:_____________ Análise a Priori da Atividade 5
Nesta atividade contemplamos o tópico de comparação de Frações, com o
intuito de conduzir os alunos a descobrirem uma maneira de comparar frações
quando: os denominadores são iguais e quando os denominadores são diferentes.
Acreditamos que esta seja uma atividade de nível regular, pois os alunos poderão
encontrar dificuldade na compreensão de que a comparação frações é diferente da
comparação de números naturais, mas a manipulação do kit de Frações mostra-se
como facilitador.
A Atividade 5 possui 19 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90
minutos) para o seu desenvolvimento.
2.1.3.5 Atividade 6: Adição e Subtração de Frações com o mesmo
Denominador
Título: Adição e Subtração de Frações com denominadores iguais
150
Objetivo: Descobrir maneira de somar e subtrair Frações com o mesmo
denominador.
Material: Kit de frações, roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade
para o aluno, caneta ou lápis.
Horário de Início da atividade: ______
Procedimento:
Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações
para tentar resolvê-la;
QUESTÃO INICIAL - ADIÇÃO
Matilde repartiu um bolo em 8 pedaços. Ela comeu 1
8 e Rodolfo também comeu
1
8 do
bolo. Que fração representa a parte do bolo que Matilde e Rodolfo comeram?
Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o
uso do kit de Frações;
Resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do kit de
frações
QUESTÕES PROPOSTAS
1) Julia e Renato foram comer pizza. Julia comeu 1
4 e Renato
1
4 de uma
pizza de calabresa. Que fração da pizza eles comeram juntos?
2) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1
6 dos
apartamentos foi vendido e 1
6 foi arrendado. Que fração corresponde ao total de
apartamentos vendidos e arrendados?
3) Um motorista saiu de Belém para Brasília. No primeiro dia, percorreu 1
3
da distância que separa as duas cidades e no segundo dia, 1
3 dessa mesma
distância. Qual é a fração que representa a distância percorrida após os dois dias de
viagem?
Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.
151
Questão Operação
realizada Cálculo realizado Resultado obtido
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:
Conclusão:
Para somar Frações que possuem o mesmo denominador, devemos
___________________
Complete a Fórmula:
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑏=
Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações
para tentar resolvê-la;
QUESTÃO INICIAL - SUBTRAÇÃO
Dona Benta repartiu uma torta e deu 4
6 para seus sobrinhos Felipe e Tiago.
Felipe ganhou 1
6 da torta. Que fração da torta Tiago ganhou?
Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o
uso do kit de Frações / Resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do
kit de frações;
QUESTÕES PROPOSTAS
4) A fazenda de seu Francisco perde-se de vista. Ele reservou 8
12 de sua fazenda
para a agricultura, sendo que 2
12 foi para o plantio de milho. Que fração da reserva
ficou para o plantio de feijão?
152
5) Em um loteamento foram vendidos 18
30 lotes, sendo que
7
30 foram vendidos a vista.
Que fração do loteamento foi vendida a prazo?
6) Paulo e Ana ganharam 5
8 de uma torta. Paulo ganhou
3
8. Que fração da torta Ana
ganhou?
Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.
Questão Operação
realizada Cálculo realizado Resultado obtido
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:
Conclusão:
Para subtrair Frações que possuem o mesmo denominador, devemos
___________________
Complete a Fórmula:
𝑎
𝑏−
𝑐
𝑏=
Horário Final da atividade: ______
Análise a Priori da Atividade 6:
Esta atividade aborda as operações de Adição e Subtração de Frações com o
mesmo denominador, nossa expectativa é que os alunos descubram uma maneira
de somar Frações com denominadores iguais, e assim, percebam que há uma regra
para efetuar as operações de Adição e Subtração neste caso.
A Atividade 6 possui 8 problemas, divididos em uma questão inicial a ser
desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 3 problemas envolvendo
a Adição e o mesmo para a operação de subtração de Frações com o mesmo
153
denominador, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu
desenvolvimento.
Acreditamos que os alunos encontrarão os resultados esperados, pois a
utilização do kit de Fração poderá facilitar no momento da soma, juntamente com o
quadro que proporcionará a visão da sequência dos cálculos realizados e dos
resultados obtidos.
As estratégias de resolução previstas podem convergir com o que indicam os
estudos como Merlini (2005) e Monteiro e Pinto (2007), em que os erros dos alunos
ao realizar a operação de adição de Frações, tendem a se confundir e realizar algum
tipo de operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão) entre os termos das
frações envolvidas, o que acontece também com a subtração.
Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho de Costa e Sá (2007)
com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões de nossa autoria.
2.1.3.6 Atividade 7: Adição e subtração de Frações com denominadores
diferentes
Titulo: Adição e Subtração de Fração com denominadores diferentes
Objetivo: Descobrir maneira de somar e Subtrair Frações com denominadores
diferentes.
Material: Kit de frações, roteiro da atividade, caneta ou lápis.
Horário de Início da atividade: ______
Procedimento:
Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações
para tentar resolvê-la;
QUESTÃO INICIAL - ADIÇÃO
Numa fazenda em Castanhal, 1
2 da área total foi destinada para a plantação
de milho, enquanto 1
3 da área total foi destinada ao cultivo de frutas diversas. Qual é
a fração da área total da fazenda que está ocupada com a cultura de milho e frutas?
154
Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o
uso do kit de Frações e resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do
kit de frações;
QUESTÕES PROPOSTAS
1) Dona Carmem deu uma caixa de
bombons para seus filhos Carlos e
Raimundo. Carlos comeu 1
2 dos
bombons desta caixa e Raimundo
comeu 1
5 dos bombons. Qual é a fração
que representa a parte dos bombons
que eles comeram juntos?
2) Uma escola oferece aos seus alunos
duas atividades em educação Física:
basquete e vôlei. Entre os alunos da
escola, 2
4 se inscreveram em basquete e
1
6 em vôlei. Que fração corresponde aos
alunos inscritos?
3) Ana Maria está lendo um livro. Em
um dia, ela leu 1
2 do livro e, no dia
seguinte, leu 1
7 do livro. Qual a fração do
livro que ela já leu?
4) Miguel comeu 1
5 dos bombons de
uma caixa e Marcos comeu 2
3. Que
Fração dos bombons eles comeram?
Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.
Questão Operação
realizada Cálculo realizado Resultado obtido
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:
Conclusão:
Fórmula:
Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações
para tentar resolvê-la;
155
QUESTÃO INICIAL - SUBTRAÇÃO
De uma caixa de bombons, foi distribuído 1
2 dos bombons para Luiz Carlos e
Fabiana. Luiz Carlos ficou com 1
4. Com que fração da caixa de bombons Fabiana
ficou?
Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o
uso do kit de Frações e resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do
kit de frações;
QUESTÕES PROPOSTAS
1) Roberto Carlos e Ronaldinho
fizeram 1
2 dos gols de uma partida de
futebol de salão. Roberto Carlos fez 1
6
dos pontos da partida. Que fração de
pontos representa os pontos que
Ronaldinho marcou?
2) 3
4 da população de uma cidade
votou na eleição para prefeito. 1
2 das
pessoas que votaram são mulheres.
Que fração representa os votos dos
homens?
3) Augusto levou 7
8 de um chocolate
para a escola, mas só comeu 1
6. Que
fração do chocolate Augusto não
comeu?
4) Paulo e Ana ganharam 7
9 de uma
quantia como prêmio em um sorteio.
Após a divisão, Paulo ficou com 1
3.
Que Fração do prêmio Ana ficou?
Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.
Questão Operação
realizada Cálculo realizado Resultado obtido
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:
Conclusão:
Fórmula:
156
Horário Final da atividade: ______
Análise a Priori da Atividade 7:
Nesta atividade abordamos as operações de Adição e Subtração de Frações
com diferentes denominadores, nossa intenção é que os estudantes descubram uma
maneira de realizar esta soma ou subtração, percebendo e registrando que há uma
regra para efetuar a operação de Adição e de subtração neste caso.
Acreditamos que esta seja uma atividade de nível regular, pois os alunos
poderão encontrar dificuldade mesmo com a utilização do kit de Fração, a presença
de denominadores diferentes pode gerar conflitos por não seguir a mesma regra de
adição e subtração de Frações com denominadores iguais, podendo ser facilitada
pela aplicação posterior à atividade 6.
A Atividade 7 possui 10 problemas, divididos em uma questão inicial a ser
desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 4 problemas envolvendo
cada um desses conteúdos citados, com tempo estimado de 2 horas-aula (90
minutos) para o seu desenvolvimento. A presciência dos erros antevistos coincide
aos da atividade 6. Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho de Costa e
Sá (2007) com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões de nossa
autoria.
2.1.3.7 Atividade 08: Multiplicação de Frações
Titulo: Multiplicação de Fração
Objetivo: Descobrir maneira de multiplicar Fração.
Material: Kit de frações, roteiro da atividade, caneta ou lápis.
Horário de início da atividade: ______
Procedimento:
Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações
para tentar resolvê-la;
QUESTÃO INICIAL
Uma bandeira tem três cores em espaços igualmente distribuídos: vermelho,
amarelo e branco. Nessa bandeira, 1
3 corresponde à faixa vermelha e dessa faixa,
1
4
157
foi reservado para desenhar um emblema. Qual é a fração da bandeira na qual está
o emblema?
Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o uso do
kit de Frações e resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do kit de
frações;
QUESTÕES PROPOSTAS
1) Você dedica 1
2 do tempo livre para
estudar. Desse tempo de estudo, você
gasta 1
5 estudando Matemática. Qual é a
fração do tempo livre que você utiliza para estudar Matemática? 2) De uma folha de papel de seda,
Rodrigo só tem 1
2. Dessa metade, ele
usou 1
3 para fazer um remendo em sua
pipa. Que fração da folha de papel de seda ele usou para remendar a pipa?
3) Gastei 1
4 de hora para ir a pé da
escola para a casa da minha tia. Minha
irmã foi de bicicleta e gastou 1
6 do tempo
que gastei. Que fração da hora ela gastou?
4) Uma jarra de suco está preenchida
com 1
3 da sua capacidade. Fabiana
tomou 1
5 do suco que havia na jarra. Que
fração da jarra representa o que ela bebeu? 5) No passeio ao parque, Alexandre
levou 4
5 da sua merenda. No final do dia,
ele havia comido 1
3 da merenda. Que
fração da merenda ele comeu no parque?
6) Num recipiente, havia 7
9 de litro de
uma substancia, quando retirei 1
5 dessa
quantidade. Qual a fração do litro que representa a quantidade retirada?
Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.
Questão Operação
realizada Cálculo realizado Resultado obtido
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:
158
Conclusão:
Fórmula:
𝑎
𝑏 𝑥
𝑐
𝑑=
Horário Final da atividade: ______
Análise a Priori da Atividade 08:
Nesta atividade contemplamos a operação de Multiplicação de Frações com o
intuito de conduzir os alunos a descobrirem uma maneira de realizar esta soma,
percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a operação de Produto
neste caso. Acreditamos que esta seja uma atividade de nível regular, pois os
alunos poderão encontrar dificuldade na compreensão de que a ideia de
multiplicação com frações é diferente da multiplicação com números naturais, ou
seja, agora o resultado não significa, necessariamente, um aumento.
A Atividade 08 possui 7 tarefas, divididas em uma questão inicial a ser
desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 06 problemas
envolvendo o conteúdo citado, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos)
para o seu desenvolvimento.
Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho de Costa e Sá (2007)
com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões de nossa autoria.
2.1.3.8 Atividade 09 – Divisão de Frações
Titulo: Divisão de Fração
Objetivo: Descobrir maneira de dividir Frações.
Material: Kit de frações, roteiro da atividade, caneta ou lápis.
Procedimento:
Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações para tentar
resolvê-la;
159
QUESTÃO INICIAL
Do terminal rodoviário saem ônibus da empresa Transbrasiliana a cada 1
3 de
horas para fazer uma viagem para o Maranhão. Quantos ônibus da empresa
Transbrasiliana saem do terminal em uma hora?
Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o
uso do kit de Frações e resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do
kit de frações;
QUESTÕES PROPOSTAS
BLOCO 1
1) Na cozinha há um copo que
totalmente cheio pode conter 1
4 de litro
de um líquido. Para encher um litro
desse líquido são necessários quantos
copos?
2) Quantas vezes 1
5 do metro de areia
branca para construção cabem em um
metro de areia?
3) No período da propaganda
eleitoral na televisão, cada candidato a
vereador tem 1
8 de horas em um
espaço na televisão para fazerem
igualmente sua propaganda. Quantos
vereadores fizeram propaganda em
uma hora de programação?
Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.
Questão Operação
realizada Cálculo realizado Resultado obtido
160
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:
Conclusão:
BLOCO 2
4) Seu João comprou 2 kg de pirarucu
para vender em seu mercadinho em
pacotes de 1
4 . Quantos pacotes de
pirarucu seu João colocou para vender?
5) Uma caixa de papelão comporta 3
6
de cento de salgadinhos. Para embalar
um cento de salgadinhos serão
necessárias quantas caixas?
6) João comprou 2 kg de queijo prato e
pediu para que fosse embalado em
porções de 1
4 de kg. Quantas porções
foram necessárias para embalar o
queijo?
Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.
Questão Operação
realizada Cálculo realizado Resultado obtido
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:
Conclusão:
Bloco 3
7) Lourdes tem 1
3 de um bolo inteiro.
Ele preenche exatamente 1
2 do
recipiente. Quanto do bolo caberá no
recipiente inteiro?
8) José tem 1
5 de uma coleção de
figurinhas. Elas completam
exatamente 1
2 de um álbum. Quanto da
coleção de figurinhas preencherá o
álbum inteiro?
9) Ana tem 1
4 de um pacote de
biscoitos. Eles enchem exatamente 2
3
de um pote. Quanto do pacote de
biscoitos encherá o pote inteiro?
161
Fórmula:
𝑎
𝑏 ÷
𝑐
𝑑=
Horário Final da Atividade: ____
Análise a Priori da Atividade 09:
Nesta atividade trabalhamos a operação de Divisão de Frações com a
intenção de que os alunos descubram uma maneira de realizar esta operação,
percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a Divisão neste caso.
Acreditamos que esta seja uma atividade de nível difícil, pois os alunos poderão
encontrar dificuldade mesmo com a utilização do kit de Fração, utilizando
erroneamente, a mesma ideia de divisão de naturais, ou seja, de partição,
chocando-se ao encontrar como resultado um número menor (ou maior) que aquele
que ele dividiu.
A Atividade 11 possui 10 problemas, divididos em uma questão inicial a ser
desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 09 problemas
envolvendo o conteúdo citado, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos)
para o seu desenvolvimento. Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho
de Costa e Sá (2007) com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões
de nossa autoria.
2.1.3.10 Atividade de Aprofundamento Título: Atividade de Aprofundamento
Objetivo: Aprofundar conhecimentos referentes à Conceito e representação de
Frações,
Material: Roteiro da Atividade, caneta ou lápis.
ATIVIDADE DE APROFUNDAMENTO
1. Em qual das figuras abaixo o número de bolinhas pintadas representa 2
3 do total
de bolinhas?
a)
162
b)
c)
2. Das 15 bolinhas de gude que tinha, Paulo deu 6 para o seu irmão. Considerando-se o total de bolinhas, a fração que representa o número de bolinhas que o irmão de Paulo ganhou é:
𝑎)6
15 𝑏)
9
15 𝑐)
15
9 𝑑)
15
6
3. Bianca e suas amigas saíram para comer uma pizza. Depois de 20 minutos
de conversa elas já haviam comido metade da pizza. Qual fração abaixo representa o total da pizza que elas já comeram?
𝑎) 1
5 𝑏)
3
4 𝑐)
1
8 𝑑)
1
2
4. Observe as figuras a seguir:
A parte pintada destas figuras é representada
pelas frações:
𝑎) 1
2 𝑒
1
4 𝑏)
1
4 𝑒
4
1 𝑐)
1
4 𝑒
1
3 𝑑)
2
4 𝑒
1
4
5. Carlinhos fez uma figura formada por vários triângulos e coloriram alguns.
Em qual das figuras abaixo o número de triângulos coloridos representa 1
3 do
total de triângulos?
a) b) c) d)
13
Análise a Priori da Atividade 10:
Nesta atividade trabalhamos os conteúdos referentes ao Conceito e
Representação de Fração, com a intenção de que os alunos aprofundem seus
conhecimentos nos respectivos assuntos. Acreditamos que esta seja uma atividade
de nível regular, pois, para sua elaboração, nos amparamos em questões do modelo
das questões abordadas na Avaliação em larga escala de nível nacional: Prova
Brasil.
A Atividade 10 possui 05 questões de múltipla escolha, envolvendo o
conteúdo citado, com tempo estimado de 1 hora-aula (45 minutos) para o seu
desenvolvimento. Esta atividade possui questões inspiradas na Prova Brasil.
162
3. EXPERIMENTAÇÃO
A terceira fase da Engenharia Didática refere-se à Experimentação, que “é a
realização da sequência didática propriamente dita, com participação ativa do
professor e alunos, por meio de observações sobre cada sessão e identificação das
concepções/representações sobre conteúdo de ensino e a aprendizagem”, conforme
Oliveira (2013, p. 135).
Nesta seção temos como objetivo descrever a fase da Experimentação e
apresentar os resultados obtidos a partir da aplicação da sequência didática para o
Ensino de Frações. Para tanto, utilizaremos os relatos das observações realizadas
em sala de aula, que foram escritas em diários de campo por um observador
presente em cada encontro com os estudantes, os testes avaliativos (pré e pós-
teste), bem como os registros dos próprios estudantes nos instrumentos utilizados
em sala de aula para o desenvolvimento das atividades.
Neste momento, destacamos que as falas apresentadas no estudo foram
coletadas durante a efetivação de cada encontro, através de gravação em celular e
registros feitos pelo observador em caderneta utilizada para registros diários – diário
de campo - porém, algumas foram transcritas de forma indireta, considerando a
fidelidade dos registros escritos e alguns equívocos linguísticos. Para esta
experimentação os estudantes foram escolhidos e identificados aleatoriamente por
meio da letra maiúscula do nosso alfabeto “E” acrescida de numerais (Ex: E1, E5,
E22,...).
As dez atividades que compunham nossa sequência foram desenvolvidas no
período de 13 de Novembro de 2017 a 04 de Janeiro de 2018, somando um total de
18 dias de aula, que nomearemos doravante de Sessões de Ensino. Descreveremos
o desenvolvimento das atividades, em cada sessão, conforme apresentado no
Quadro 46.
Para aplicação do nosso experimento, escolhemos como lócus da pesquisa
uma escola Pública Estadual de Ensino Fundamental, localizada no bairro do
Telégrafo, na cidade de Belém, no Estado do Pará. O contato com a escola realizou-
se anterior à intenção desta pesquisa, acontecendo partir da nossa atuação em um
projeto na referida escola em anos anteriores.
Em conversas informais com a direção e os docentes da disciplina de
Matemática da Escola houve demonstrações de interesse em realizarmos a
163
intervenção em uma das turmas da mesma, o que influenciou na escolha deste
lócus. Destacamos a importante contribuição do docente de Matemática da turma
que organizou seu plano anual de ensino de modo a não explorar o conteúdo de
Frações e disponibilizando as aulas necessárias para que pudéssemos realizar
nosso experimento.
Dessa maneira, além de se enquadrar nos nossos critérios de escolha (uma
escola da rede pública de ensino regular, vinculada à secretaria de educação do
estado (SEDUC-PA), que oferecesse o nível equivalente ao sexto ano do ensino
fundamental), apresentava a disponibilidade necessária para a nossa atuação. Os
sujeitos da pesquisa foram 25 estudantes de uma turma do 6º ano do Ensino
Fundamental do turno manhã.
A escola, que já possui mais de 50 anos, funciona nos três turnos, sendo o
terceiro (noite) apenas para turmas da educação de jovens e Adultos. O prédio
utilizado para seu funcionamento é alugado pela Igreja de Nossa Senhora do
Perpétuo Socorro, localizada ao lado da mesma. Quanto à estrutura, possui: Quadra
de esportes coberta, sala de multimídia (com recursos digitais: data-show, sistema
de som, entre outros recursos), sala de leitura e laboratório de informática.
Figura 21 – Lócus da pesquisa
Fonte: GoogleMaps (2017)
A Escola não possui salas climatizadas, e por isso apresenta problemas
estruturais que influenciaram nossa Experimentação. As salas de aula possuem um
dos lados construídos por meia parede e o restante de grades de metal, deixando
vazar ruídos que prejudicam o desenvolvimento das aulas e distraem os estudantes
164
ao terem contato direto com o meio externo (outros estudantes que passam no
corredor), bem como o calor que os incomoda bastante no interior destas.
No dia 13 de Novembro de 2017, nos reunimos com a direção da Escola e
com o professor turma para conversarmos sobre nossos objetivos em realizar a
pesquisa, como se daria seu desenvolvimento e o período necessário para a
realização da mesma. Ambos demostraram interessados com a realização de nosso
experimento didático para o ensino de Frações na Escola. Realizamos a leitura do
Termo de Autorização para a Realização da Pesquisa na Escola, esclarecendo as
possíveis dúvidas e finalizando com assinatura e consequente autorização da
diretora para a realização da nossa pesquisa, a qual se disponibilizou a contribuir no
que fosse necessário.
Ainda nesta reunião, explicamos como seria a execução da nossa Sequencia
de Atividades, e assim, junto com o docente da turma, montamos um cronograma da
aplicação das Sessões de Ensino, adequando-o às atividades anteriormente
programadas no calendário da Escola. No decorrer dos dias, esta programação
sofreu alterações e ajustes por motivos que serão esclarecidos no decorrer da nossa
descrição das sessões.
O Quadro a seguir apresenta uma organização das Sessões de Ensino
realizadas nesta fase da Experimentação, exibindo a data, quantidade de hora/aula
e Atividade Abordada, para que possamos oportunizar ao leitor uma visão geral das
atividades e dos conteúdos estudados no decorrer dos encontros realizados.
Quadro 46 – Cronograma das Sessões de Ensino desenvolvidas na Experimentação (continua)
Dias de Experimento
Data Horário de
Início Horário Final
Total de Alunos
Atividade desenvolvida
1º Dia 13/11/2017
08h30min 09h30min -
Reunião com a direção da Escola e docente da turma
Assinatura do Termo de Autorização
09h45min 10h05min 24 Entrega do termo de Consentimento Livre e
Esclarecido
2ªDia 14/11/2017 09h45min 11h10min 24 Aplicação do Questionário Socioeconômico
Pré-teste Geral
Quadro 46 – Cronograma das Sessões de Ensino desenvolvidas na Experimentação (conclusão)
165
3º Dia 27/11/2017 09h30min 11h00min 18 Sessão de Ensino I – Conceito
de Fração
4º Dia 29/11/2017 7h50min 10h00min 23 Sessão de Ensino II –
Representação de frações
5º Dia 30/11/2017 10h05min 11h05min 20 Sessão de Ensino II –
Representação de frações
6º Dia 01/12/2017 9h00min 09h45min 16 Atividade de Aprofundamento
7º Dia 06/12/2017 7h45min 09h50min 19 Sessão de Ensino III –
Equivalência de Frações
8º Dia 07/12/2017 10h10min 11h15min 18 Sessão de Ensino III –
Equivalência de Frações
9º Dia 11/12/2017 10h40min 11hh45min 18 Sessão de Ensino III –
Equivalência de Frações
10º Dia 13/12/2017 7h45min 09h45min 18 Sessão de Ensino IV –
Simplificação de Frações
11º Dia 14/12/2017 10h05min 11h15min Sessão de Ensino IV –
simplificação de Frações
12º Dia 15/12/2017 07h45min 10h50min 19 Sessão de Ensino V –
Comparação de Frações
13º Dia 18/12/2017 09h00min 11h00min 19 Sessão de Ensino V –
Comparação de Frações
14º Dia 20/12/2017 7h45min 09h00min 17 Sessão de Ensino VI – Adição e
Subtração de Frações com denominadores iguais
15º Dia 22/12/2017 9h20min 10h10min 23 Sessão de Ensino VIII – Multiplicação de Frações
16º Dia
26/12/2017 7h30min 18 Sessão de Ensino IX – Divisão
de Frações
17º Dia
28/12/2017 10h00min 10h45min
Explanação de conceitos estudados nas atividades
Realizadas Revisão
18º dia 04/01/2018 07h45min 10h50min 15
Sessão de Ensino VII – Adição
e Subtração de Frações com
denominadores diferentes
Pós-teste Geral
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
A seguir apresentamos as análises dos dados obtidos na aplicação do
questionário socioeconômico.
166
3.1 Perfil dos Estudantes
No dia 13 de Novembro de 2017, nos dirigimos à escola e, após reunião com
o docente de Matemática da turma e a direção da Escola, conhecemos a turma que
realizamos nosso experimento. O professor de Matemática nos apresentou aos
estudantes, destacando a realização de um trabalho anterior com o Programa Mais
Educação, e informou que estávamos naquele momento como pesquisadores do
Mestrado em Educação, com a finalidade de executarmos nossa pesquisa naquela
turma e pediu a colaboração de todos. Em seguida, o professor informou que
acompanharia todos os dias as Atividades a serem realizadas, bem como auxiliaria
quando necessário, e então, se retirou da sala naquele momento.
Ao nos apresentarmos aos estudantes, que mostravam-se curiosos,
destacavam perguntas do tipo: “Você será a nossa professora a partir de hoje?”, “O
que é mestrado?”, “Vai ter prova?”, entre outras. Nesse momento conversarmos
sobre como se dariam nossos encontros e destacamos que o conteúdo a ser
abordado, o qual ainda não haviam estudado naquele ano, seria o conteúdo a ser
cobrado na quarta avaliação.
Dessa maneira, iniciamos a distribuição do Termo de Consentimento Livre
Esclarecido e explicamos que precisávamos que os estudantes levassem aquele
documento para que seus responsáveis o assinassem autorizando a realização de
nosso experimento com eles e que nos devolvessem no próximo encontro, dia 14.
No dia seguinte, 14 de Novembro de 2017, retornamos ao lócus da pesquisa
e por volta das 09h45min, voltamos à turma da nossa experimentação e recolhemos
o Termo de Consentimento assinado pelos responsáveis dos alunos, logo depois
aplicamos um questionário socioeconômico, contendo 23 questões objetivas, com o
intuito de caracterizar os participantes da nossa experimentação, para analisarmos o
perfil dos estudantes. Os dados obtidos serão expostos por meio de Quadros e
gráficos, analisados a seguir. Em relação à faixa etária dos estudantes, temos o
Quadro 47 a seguir.
Quadro 47 - Faixa Etária dos Estudantes
IDADE QUANTIDADE ESTUDANTES (%)
11 3 12,50%
12 13 54,17%
13 5 20,83%
167
14 2 8,33%
15 1 4,17%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Os dados nos apontam que a faixa etária dos estudantes varia de 11 a 15
anos, apresentando uma turma bastante diversa. Dessa forma, percebemos que a
turma da nossa experimentação encontra-se dentro dos padrões de idade
recomendados pelo MEC para cursar o 6º ano do Ensino Fundamental, ou seja, a
maioria encontra-se até os 12 anos.
Da turma, a maioria, 66,67% possui até 12 anos, seguido de 20,83% com 13
anos, 8,33% com 14 anos e 4,17% com 15 anos, conforme observamos no Gráfico
39.
Gráfico 38 – Faixa Etária dos Estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
No estudo de Merlini (2005), os sujeitos também foram estudantes em faixa
etária semelhante à nossa, de 10 a 14 anos e Druzian (2007) com estudantes de 10
a 15 anos, convergindo para uma homogeneidade dos sujeitos em diferentes
estados do Brasil, pois suas pesquisas foram realizadas, respectivamente em São
Paulo e Rio Grande do Sul, bem como em diferentes anos.
Quanto ao gênero sexual dos estudantes da nossa experimentação, 45,83%
são do gênero masculino e 54,17% são do gênero feminino, conforme destaca a
Quadro a seguir.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
12,50%
54,17%
20,83%8,33% 4,17%
11 anos 12 anos 13 anos 14 anos 15 anos
168
Quadro 48 - Gênero dos estudantes
GÊNERO QUANTIDADE ESTUDANTE (%)
MASCULINO 11 45,83%
FEMININO 13 54,17%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Observamos que, apesar apresentar mais estudantes do gênero feminino, a
turma era bastante equilibrada em relação ao gênero.
Gráfico 39 – Gênero dos Estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em relação à localização da escola em que os estudantes cursam o 6º ano do
Ensino Fundamental, perguntamos se fica no mesmo bairro ou próximo da
residência onde mora, as respostas estão expostas no Quadro 49.
Quadro 49 - Localização da escola
Fica no Bairro onde mora? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)
SIM 14 58,33%
NÃO 10 41,67%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico 41 a seguir destaca que, mesmo que a maioria dos estudantes
(58,33%) tenha declarado morar próximo ou no mesmo bairro, uma parcela
significativa da turma (41,67%) não reside nas proximidades da escola.
45,83%54,17%
GÊNERO DOS ESTUDANTES
MASCULINO FEMININO
169
Gráfico 40 – Localização da Escola
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Consideramos esses resultados negativos, pois considerando que o aluno
que mora as proximidades de sua escola tem seu acesso facilitado, os demais
podem ter dificuldade em chegar à escola, o que pode refletir na sua frequência,
bem como em seu rendimento.
Observamos durante a nossa experimentação um alto índice falta dos alunos,
podendo ser justificado na distância entre a residência e a escola dos estudantes.
Ao perguntarmos se os estudantes costumam fazer compras (comércio,
mercearia, supermercado, açougue, etc), destacamos os seguintes resultados no
Quadro 50 e no Gráfico 42:
Quadro 50 - Relação com o comércio
Costuma fazer compras? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)
SIM 10 41,67%
NÃO 3 12,50%
AS VEZES 11 45,83%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
A escola fica no bairro onde mora?
58,33% 41,67%
Localização da Escola
SIM NÃO
170
Gráfico 41 – Relação com o Comércio
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Podemos observar que apenas uma minoria (12,5%) não costuma realizar
compras, acreditamos ser um resultado positivo para o desenvolvimento da
Matemática em sala de aula, pois quando o estudante já tem contato com os
cálculos, ainda que básicos, envolvidos nas transações comerciais, já possui um
raciocínio que facilita a apreensão de modelos matemáticos.
Os dados expostos na Quadro 51 nos destaca a predominância entre os
participantes de nossa experimentação que possuem o pai como responsável
masculino (50%) e a mãe como responsável feminino em 62,5% dos casos.
Quadro 51 - Responsáveis pelos estudantes
Responsável Masculino
Quantidade de Respostas
Percentual (%) Responsável Feminino
Quantidade de Respostas
Percentual (%)
Pai 12 50,00% Mãe 15 62,50%
Avô 3 12,50% Avó 5 20,83%
Tio 3 12,50% Tia 4 16,67%
Não tenho 6 25,00% Não tenho 0 0,00%
TOTAL 24 100,00% TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Dentre as indicações de responsável feminino também sobressai a Avó com
20,83% das respostas e da tia com 16,67%.
Estes dados estão dispostos no gráfico 43, no qual as barras em azul
destacam o percentual de responsáveis masculinos e em vermelho, os responsáveis
femininos.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
41,67%
12,50%
45,83%
Relação com o Comércio
SIM NÃO AS VEZES
171
Gráfico 42 - Responsáveis pelos estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação ao responsável masculino ainda aparecem tio (12,5%) e o avô
(12,5%), além de 25% dos estudantes que declararam não possuir responsável
masculino. Para estes estudantes, o acompanhamento das atividades escolares
pelos responsáveis influencia diretamente em seu rendimento, apontando um
resultado que creditamos ser preocupante, pois 25% dos estudantes não possui
responsável masculino.
Neste sentido, Sousa (2012, p. 14) afirma que “deve haver um estreitamento
das relações entre família e escola em busca de uma qualificação com mais
qualidade, evitando uma confusa transferência de responsabilidades entre ambas as
partes para alcançar um bom desenvolvimento saudável dos educandos”.
Ainda em relação às informações sobre a família destes estudantes,
perguntamos a respeito da escolaridade de seus responsáveis. Para os
responsáveis masculinos apenas 12,5% possuem ensino médio completo, já entre
os responsáveis femininos, esse percentual sobe para 37,5%.
Sobre o responsável masculino ainda temos que 12,5% cursou o Ensino
Fundamental completo e 20,83%, o Fundamental Incompleto. Ressaltamos ainda os
50,00%
12,50% 12,50%
25,00%
62,50%
20,83%16,67%
0,00%0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Pai/Mãe Avô/Avó Tio/Tia Não tenho
Responsáveis pelos estudantes
Responsável Masculino Responsável Feminino
172
8,34% cujo responsável masculino nunca estudou e os 11 estudantes que
declararam não saber responder quanto à escolaridade do responsável, somando
45,83% da turrma.
Vejamos as frequências das demais respostas dos estudantes no Quadro 52
e no Gráfico 44 a seguir:
Quadro 52 - Escolaridade dos responsáveis
Até que série estudou seu responsável
Responsável Masculino Responsável Feminino
Quantidade de Respostas
Percentual (%)
Quantidade de Respostas
Percentual (%)
Nunca estudou 2 8,34% 1 4,17%
Ens. Fundamental Incompleto
5 20,83% 3 12,50%
Ens. Fundamental completo
3 12,50% 3 12,50%
Ens. Médio Incompleto 0 0,00%
0,00%
Ens. Médio Completo 3 12,50% 9 37,50%
Ens. Superior Completo 0 0,00% 1 4,17%
Não sei responder 11 45,83% 7 29,16%
TOTAL 24 100,00% 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em relação à responsável feminina, temos que 12,5% estudou até o Ensino
Fundamental Incompleto, 12,5% até o Ensino Fundamental Completo e 4,17% o
Ensino Superior completo. Notamos que apenas uma das respostas destacou que a
responsável feminina nunca estudou e, 29,16% declarou que não sabia responder
sobre a escolaridade de sua responsável.
Dados que podemos visualizar no gráfico 44:
173
Gráfico 43 – Escolaridade dos responsáveis
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes influencia no
rendimento e desenvolvimento escolar dos estudantes, como afirmam Santos e
Graminha (2005, p. 08) que nos aponta que “a baixa escolaridade e qualificação
profissional dos pais podem se estabelecer como risco, na medida em que as
famílias têm menos condições de orientar e auxiliar os filhos academicamente e
expectativas quanto ao seu estudo futuro (...)”.
Ao dar seguimento ao questionário, perguntarmos se o responsável dos
estudantes trabalhava, obtemos os dados descritos na Quadro 53:
Quadro 53 - Ocupação dos responsáveis
Seu responsável trabalha?
Responsável Masculino Responsável Feminino
Quantidade de Respostas
Percentual (%) Quantidade de
Respostas Percentual (%)
SIM 17 70,83% 16 66,67%
NÃO 1 4,17% 7 29,17%
0,00%
0,00%
8,34%
12,50%
12,50%
20,83%
45,83%
0,00%
4,17%
4,17%
12,50%
37,50%
12,50%
29,16%
0% 10% 20% 30% 40% 50%
Ens. Médio Incompleto
Ens. Superior Completo
Nunca estudou
Ens. Fundamental completo
Ens. Médio Completo
Ens. Fundamental Incompleto
Não soube responder
Escolaridade dos Responsáveis
Responsável Feminino Responsável Masculino
174
Não sei responder 6 25,00% 1 4,17%
TOTAL 24 100,00% 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os estudantes revelaram em 70,83% das respostas que responsáveis
masculinos trabalham, apontando como ocupações: pedreiro, batedor/vendedor de
açaí, policial, porteiro, segurança, mototaxi, trabalhador da construção civil,
eletricista, militar, feirante e vendedor. A partir destas informações observamos que
dos responsáveis masculinos que trabalham, a incidência em atividade informal é
bastante relevante.
Para os demais estudantes, 4,17% responderam que seu responsável
masculino não trabalha e 25% não soube responder. Os dados quanto à
ocupação dos responsáveis dos estudantes estão dispostos no gráfico 45.
Gráfico 44 - Ocupação dos responsáveis
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação à responsável feminina, as principais ocupações reveladas
foram: empregada doméstica, zeladora, feirante, cabelereira, vendedora, manicure,
balconista, diarista, professora e costureira, somando 66,67% das respostas. Dos 24
estudantes, sete (29,17%) responderam que sua responsável feminina não trabalha
e apenas um não soube responder.
70,83%
4,17%
25,00%
66,67%
29,17%
4,17%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
SIM NÃO Não soube responder
Seu responsável trabalha?
Responsável Masculino Responsável Feminino
175
Para as responsáveis femininas, além de grande incidência de trabalhos
informais, observamos que apesar de 29,17% dos estudantes responderem que esta
não possui ocupação, citou que sua responsável realiza trabalho domestico.
Sobre o início da vida escolar dos estudantes, perguntamos com quantos
anos começaram a frequentar a escola. Os dados estão dispostos no Quadro 54 que
revela que 41,67% dos participantes iniciou aos 3 anos de idade.
Quadro 54 - Início da vida escolar
IDADE QUANTIDADE ESTUDANTE (%)
3 ANOS 10 41,67%
4 ANOS 2 8,33%
5 ANOS 1 4,17%
6 ANOS 6 25,00%
7 ANOS 5 20,83%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Estes dados podem ser visualizados no Gráfico 46, a seguir:
Gráfico 45 - Início da vida escolar
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação aos demais estudantes, 8,33% começou a frequentar a escola
aos 4 anos, apenas 1 aluno aos 5 anos, 25% com 6 anos e 20,83% com 7 anos.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
3 anos 4 anos 5 anos 6 anos 7 anos
41,67%
8,33% 4,17%
25,00% 20,83%
Com quantos anos voê começou a frequentar a escola?
176
Com relação à realização da educação Infantil, perguntamos aos estudantes
haviam feito, as respostas estão distribuídas no Quadro 55 a seguir:
Quadro 55 - Realização da educação infantil
Você fez educação Infantil? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)
SIM 18 75,00%
NÃO 6 25,00%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
As respostas dos alunos nos apontam que 25% dos estudantes da turma não
realizou a Educação Infantil, fase importante para o estímulo de muitas habilidades
necessárias ao desenvolvimento do conhecimento na vida escolar, como
coordenação motora, escrita, leitura, o que pode comprometer o desempenho
desejado em alunos que não foram oportunizados em realiza-la.
Em contrapartida, 45,83% dos estudantes declararam ter iniciado sua vida
escolar, o que contradiz as respostas quanto à realização da educação infantil.
Estes dados nos direcionam à reflexão do desenvolvimento de diversas capacidades
das crianças durante a Educação infantil, como física, cognitiva, ética, de convívio
social, etc. Acreditamos este ser um fator de dificuldade para os nossos estudantes,
pois estes estudantes não foram oportunizados a realização desta etapa de tamanha
relevância para sua evolução humana e acadêmica. O gráfico 47 destaca tais
resultados:
Gráfico 46 – Realização da Educação Infantil
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0%20%40%60%80%
100%
75,00%25,00%
Você fez Educação Infantil?
SIM NÃO
177
Os dados do Quadro 56, assim como os do gráfico x, revelam que a maioria
(70,83%) dos estudantes que participaram de nossa fase da experimentação nunca
haviam sido retidos em uma série anterior ao 6º ano. Em contra partida, 29,17%
declarou ter repetido algum ano no Ensino Fundamental.
Quadro 56 - Repetência escolar
Você já repetiu algum ano? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)
SIM 7 29,17%
NÃO 17 70,83%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Ao observar as respostas dos estudantes, temos que E4 repetiu uma vez o 6º
ano por conta de baixo desempenho na disciplina Ciências Físicas e Biológicas –
CFB –, o E5 ficou retido no 5º ano por causa do baixo rendimento em Língua
Portuguesa, o E10 no 5º ano em Língua Portuguesa e Matemática, o E12 no 5º ano
na disciplina de Matemática, o E13 no 6ºano em Matemática, o E23 repetiu por dois
anos o 4º ano por causa de Matemática e o E25 repetiu o 5º ANO por conta do baixo
desempenho em Língua Portuguesa e Matemática.
. O gráfico 48 a seguir discrimina a frequência relativa das respostas dos
estudantes.
Gráfico 47 – Repetência Escolar
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
29,17%70,83%
Você já repetiu algum ano?
SIM NÃO
178
Entre os estudantes que já repetiram algum ano anterior, notamos que a
disciplina Matemática é bastante citada, demonstrando que estes alunos podem
sentir alguma dificuldade de aprendizagem da mesma.
Ao perguntarmos quem ajudava os estudantes nas tarefas de Matemática,
obtemos que a maioria destes contam com a responsável feminina (33,33%) ou
ninguém (28,17%) para auxiliá-los. O Quadro 57, a seguir, demonstra a distribuição
das respostas encontradas.
Quadro 57 - Ajuda nas tarefas de matemática
PESSOA Quantidade de Respostas Percentual (%)
Ninguém 7 29,17%
Responsável Masculino 2 8,33%
Responsável Feminino 8 33,33%
Irmão/Irmã 4 16,67%
Outras pessoas da família 2 8,33%
Colegas da escola 1 4,17%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 48 – Ajuda nas tarefas de Matemática
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
4,17%
8,33%
8,33%
16,67%
29,17%
33,33%
0% 10% 20% 30% 40% 50%
Colegas da Escola
Responsável Masculino
Outras pessoas da familia
Irmão/Irmã
Ninguém
Responsável Feminino
Quem lhe ajuda nas tarefas de Matemática?
179
O Gráfico 49 também nos fornece que o 16,67% dos estudantes contam com
a ajuda do Irmão ou Irmã, 8,33% de outras pessoas da família, 8,33% do
responsável masculino e 4,17% de colegas da escola.
O acompanhamento escolar pelos responsáveis ou outras pessoas da família
através do envolvimento em tarefas de casa pode beneficiar a aprendizagem e
superação de dificuldades, pois dessa maneira é possível que “(...) identifiquem mais
rapidamente as dificuldades acadêmicas de seus filhos e, então, ajudem a resolvê-
las, evitando o desenvolvimento ou o agravamento de um problema” (SANTOS e
GRAMINHA, 2005, p.09), favorecendo um bom resultado quanto à aprendizagem
escolar destes estudantes.
Ao indagarmos os estudantes quanto à realização de cursos externos a
escola, uma minoria respondeu que sim. Com relação aos cursos citados pelos
alunos, podemos destacar: Informática (16,67%), Língua Estrangeira (8,33%) e
Música (4,17%), conforme mostra o Quadro a seguir.
Quadro 58 - Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo
CURSO Quantidade de Respostas Percentual (%)
Informática 4 16,67%
Língua Estrangeira 2 8,33%
Música 1 4,17%
Nenhum Curso 17 70,83%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 49 – Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
4,17%
8,33%
16,67%
70,83%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Música
Língua Estrangeira
Informática
nenhum curso
Você faz algum curso fora da Escola?
180
Com relação a afinidade que os alunos possuem com a disciplina de
Matemática, perguntamos aos estudantes: Você gosta de Matemática? As respostas
obtidas estão expostas no Quadro 59:
Quadro 59 - Afinidade dos estudantes com matemática
Você gosta de Matemática? Quantidade de Respostas Percentual (%)
Nenhum pouco 4 16,67%
Pouco 7 29,17%
Muito 13 54,17%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A maioria (54,17%) dos estudantes declarou gostar muito da disciplina de
Matemática, acreditamos que este seja um fator facilitador do nosso trabalho com
esta turma, pois já apresentavam afinidade com esta disciplina.
Gráfico 50 – Afinidade dos estudantes com Matemática
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para compreender mais sobre a relação entre os estudantes que participaram
deste experimento com a disciplina de Matemática, perguntamos quanto ao grau de
dificuldade que estes alunos julgam ter em relação à Matemática.
O Quadro 60 nos mostra que 75% dos participantes possui um pouco ou
muita dificuldade em aprender matemática segundo sua própria opinião,
16,67%Nenhum pouco
29,17%
Pouco
54,17%
Muito
Você gosta de Matemática?
181
contradizendo com o nível de afinidade com a disciplina declarado pelos estudantes.
Apenas 25% dos alunos declararam não possuir dificuldade.
Quadro 60 - Dificuldade dos Estudantes em aprender Matemática
Você sente dificuldade para aprender Matemática?
Quantidade de Respostas Percentual (%)
Não 6 25,00%
Um pouco 15 62,50%
Muita 3 12,50%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 51 – Dificuldade dos Estudantes em Aprender Matemática
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Dessa maneira, acreditamos que pelo fato de os estudantes, em sua maioria,
possuir dificuldades em compreender a matemática, este pode ser um dos fatores
que os fazem gostar pouco da disciplina e, por consequência, ter um rendimento
baixo na mesma, como veremos mais adiante. A seguir veremos mais um fator que
pode diretamente influenciar o desempenho em Matemática.
Ao perguntarmos aos estudantes: “Você se distrai nas aulas de Matemática?”,
obtemos que 62,5% declararam “Sim” ou “Ás vezes”, pois este pode ser um fator
que pode influenciar no aprendizado dos estudantes. O gráfico 53 demonstra estes
resultados, apontando que 9 dos 24 participantes, ou seja 37,5%, não se distrai nas
aulas de Matemática.
Vejamos o Quadro 61:
25%Não
62,5%
Um Pouco
12,5%
Muita
Você tem dificuldade para aprender Matemática?
182
Quadro 61 - Distração nas aulas de Matemática
Você se distrai nas aulas de Matemática?
Quantidade de Respostas Percentual (%)
Não 9 37,50%
Sim 6 25,00%
As vezes 9 37,50%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 52 – Distração nas aulas de Matemática
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para inferirmos a respeito, perguntamos sobre o desempenho dos estudantes
na disciplina. De acordo com a declaração sobre as notas que estes adquirem na
realização das avaliações de Matemática da escola, observamos que a maioria
(83,33%) declarou alcançar notas acima de 5 pontos. Vejamos o Quadro 62:
Quadro 62 - Desempenho em Matemática dos Estudantes
NOTAS Quantidade de Respostas Percentual (%)
ACIMA DE 5 20 83,33%
IGUAIS A 5 1 4,17%
ABAIXO DE 5 3 12,50%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
Sim Não As vezes
25,00%
37,50% 37,50%
Você se distrai nas aulas de Matemática?
183
Os demais estudantes indicaram que 12,5% obtém notas abaixo de 5 pontos
e apenas 4,17% notas iguais a 5 pontos, como expressa o gráfico 54:
Gráfico 53 – Desempenho em Matemática dos Estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com estes dados podemos observar resultados que convergem, pois mais de
70% dos estudantes disseram não se distrair ou às vezes e 83,33% declarou obter
nota acima de 5 pontos nas avaliações me Matemática. Estes resultados podem
estar relacionados também com a dedicação destes estudantes fora do ambiente
escolar.
Em relação à dedicação destes alunos ao aprendizado de matemática fora da
escola, apresentamos o Quadro 63:
Quadro 63 - Dedicação em Matemática dos Estudantes
Você costuma estudar Matemática fora da escola
Quantidade de Respostas Percentual (%)
Nunca estudo Matemática 5 20,83%
Uma vez por semana 5 20,83%
Três vezes por semana 3 12,50%
Só na véspera da prova 3 12,50%
Só no período da prova 2 8,33%
Só nos finais de Semana 2 8,33%
De segunda a sexta-feira 1 4,17%
Todo Dia 3 12,50%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Acima de 5 Abaixo de 5 Iguais a 5
83,33%
12,50%4,17%
Suas notas em Matemática são:
184
Ao observarmos as respostas, percebemos que grande parte dos estudantes
dedica regularmente dias da semana para o estudo de Matemática fora da escola,
coincidindo com o nível de distração e rendimento dos alunos. Porém, ainda
detectamos um percentual relevante (20,83%) que estudam apenas na véspera ou
no período de prova e, também 20,83% que nunca estuda Matemática.
Para os demais, 4,17% disse estudar de segunda a sexta-feira, 8,33% só nos
finais de semana, 12,5% todos os dias, 12,5% três vezes por semana e 20,83% pelo
menos uma vez por semana, conforme destaca o gráfico 55:
Gráfico 54 – Dedicação em Matemática dos Estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação à prática de esportes dos estudantes, apresentamos o
Quadro 64 com as respostas obtidas:
Quadro 64 - Prática de esportes dos estudantes
Você pratica esportes? Quantidade de Respostas Percentual (%)
Não 11 45,83%
Sim 13 54,17%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Percebemos que quase a metade (45,83%) da turma não pratica esporte. Ao
levarmos em consideração a faixa etária destes estudantes, acreditamos ser
20,83%
20,83%
12,50%
12,50%
12,50%
8,33%
8,33%
4,17%
0% 10% 20% 30% 40% 50%
Nunca estudo Matemática
Uma vez por semana
Três vezes por semana
Só na véspera da prova
Todo Dia
Só no período da prova
Só nos finais de Semana
De segunda a sexta-feira
Você costuma estudar Matemática fora da escola:
185
bastante relevante a prática de esportes para o bom desenvolvimento físico e mental
dos mesmos, ficando esta parcela dos estudantes prejudicada nesse aspecto.
Para aqueles que praticam esporte, os mais citados nas respostas foram:
natação, futebol, queimada e vôlei.
Gráfico 55 – Prática de Esportes dos Estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Perguntamos aos estudantes se as explicações do professor de Matemática
são suficientes para entender o que está sendo explicado. As respostas estão
dispostas no Quadro 65 a seguir:
Quadro 65 - Compreensão da Matemática a partir da explicação
As explicações do Professor de matemática são suficientes para você entender o que está
sendo explicado?
Quantidade de Respostas
Percentual (%)
Sempre 10 41,67%
Quase sempre 11 45,83%
Quase nunca 2 8,33%
Nunca 1 4,17%
TOTAL 24 100,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
54,17%
45,83%
Você pratica esportes?
SIM NÃO
186
Um percentual considerável declarou que as explicações são sempre
(41,67%) ou quase sempre (45,83%) suficientes para entender o que está sendo
explicado, restando apenas 8,33% dos estudantes que disseram que nunca e 4,17%
que declararam nunca ser suficiente.
O gráfico 57 expõe estes resultados:
Gráfico 56 – Compreensão da Matemática a partir da explicação
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Uma explicação clara e objetiva pode ser um facilitador para a aprendizagem
de Matemática, porém acreditamos há muitos fatores que influenciam esse
processo. Um espaço físico adequado, o uso de recursos como jogos, materiais
diferenciados, tecnologia, etc podem se configurar agentes facilitadores do
entendimento dos conteúdos desta disciplina.
O uso de outros recursos pode tornar o professor um mediador na
aprendizagem, colaborando com a construção do conhecimento pelos alunos,
tornando este momento mais prazeroso e expressivo com troca de saberes.
Os alunos responderam ao questionário em um tempo de 20min, finalizando e
realizando a entrega por volta das 10h05min. Neste momento, iniciamos a entrega
do Pré-teste avaliativo. A seguir exporemos e analisaremos os dados relativos à
aplicação deste.
45,83%
41,67%
8,33%
4,17%
0% 10% 20% 30% 40% 50%
Quase sempre
Sempre
Quase nunca
Nunca
As explicações do Professor são suficientes para você entender oo que está sendo explicado?
187
3.2 Aplicação do Pré-teste
Em 14 de Novembro de 2017, mesmo dia em que aplicamos o questionário
socioeconômico, após os 24 estudantes presentes responderem às perguntas do
mesmo, demos continuidade com a aplicação do pré-teste, iniciamos às 10h05min.
Então, pedimos para fazerem a leitura de doze questões sobre Frações e se
possível realizassem suas resoluções.
Observamos que os estudantes ficaram apreensivos, pois muitos diziam que
não sabiam resolver as questões propostas, sentindo dificuldade na leitura e
consequente, interpretação dos problemas propostos, então dissemos que ficassem
calmos e que se não soubessem realizar os cálculos poderiam deixar em branco,
mas que primeiro deveriam se esforçar tentar resolver.
Ao iniciarem a leitura, mesmo com a orientação de que a resolução deveria
ser feita de maneira individual, percebemos alguns estudantes conversando entre si,
dizendo que não iriam conseguir resolver e que parecia ser algo muito difícil.
Reiteramos que aquele momento era individual e tentassem resolver com o que
sabiam.
Ao final, apenas quatro alunos aproveitaram todo o tempo proposto para
resolver as questões de frações. Quando todos concluíram suas resoluções,
aproximadamente às 09h45min, entregamos uma autorização explicando aos
mesmos que deveriam levar para seus pais assinarem, para que assim fosse
possível divulgarmos suas imagens no decorrer da execução de nossas atividades e
que, por favor, nos devolvessem o documento no próximo encontro.
O pré-teste foi realizado em um tempo de 60 minutos e os dados obtidos
serão apresentados e analisados na seção que consta da análise a posteriori e
validação.
3.3 Sessão de Ensino I
No dia 27 de Novembro de 2017, adentramos o lócus da pesquisa por volta
das 9h00min da manhã, onde, na sala dos professores, ficamos aguardando a
chamada do Docente de Matemática da turma para que fossemos até a sala de
aula.
188
Desta forma, ao sermos chamados, nos dirigimos à sala de aula do 6º ano do
Ensino Fundamental, denominada pela escola de FM6902, aguardamos que os
alunos se acomodassem e percebemos que de um total de 25 alunos, 17 estavam
presentes. Em um primeiro momento, havíamos planejado dividir a turma em quatro
grupos, mas devido a quantidade de alunos presentes, os grupos ficaram desiguais,
dois com 5 alunos e dois com 4 alunos.
Para dar início à 1ª atividade, conversamos com os alunos sobre os
conhecimentos que eles já possuíam sobre o assunto de Frações, realizando
perguntas do tipo; “Vocês já estudaram Frações?”, “O que é uma Fração?”, “Alguém
pode citar um exemplo de Fração?’, com uma expressão de dúvida, a maioria da
turma respondeu que não havia estudado ou que não lembrava o que era,
destacando-se apenas um aluno que disse: “Professora, Fração é um número em
cima do outro com um traço!”. Neste momento declaramos o início da nossa
Atividade.
Para cada aluno foi entregue um roteiro da atividade e três folhas de papel A4
em branco, pedindo para que eles apenas observassem o que a pesquisadora ia
fazer. Demos início à leitura do roteiro juntamente com os alunos, apresentando a 1ª
atividade aos mesmos, por volta das 9h30min, a qual explicaremos a seguir.
Começamos a atividade deste dia com a AULA I, a qual faz parte da Sessão
de ensino I. Esta possui como título “O Conceito de Fração” e possui o objetivo de
levar os alunos a conceituar Fração.
Para esta atividade, consideramos cinco momentos até a formalização do
conceito de Fração. Descreveremos cada momento a seguir:
Primeiro momento: Corresponde às três primeiras questões que
proporcionam as ideias iniciais da divisão do todo em partes iguais, bem como a
obtenção de partes do todo e a nomenclatura destas partes, considerando o todo
dividido igualmente em duas partes iguais.
Segundo momento: corresponde à quarta, quinta e sexta questões, que
desenvolvem as ideias iniciais da divisão do todo em partes iguais trabalhado no
primeiro momento da atividade, considerando desta vez, o todo dividido igualmente
em três partes iguais.
Terceiro e quarto momentos: Correspondem às questões de número sete a
doze, desenvolvendo a nomenclatura e obtenção de uma fração, considerando o
todo dividido igualmente em quatro e cinco partes iguais, respectivamente.
189
Quinto momento: Após o quarto momento, inicia-se a apropriação do conceito
de Fração, com a apresentação da origem etimológica da palavra, dando subsídios
para que o aluno realize suas conclusões à respeito deste conceito. Corresponde às
questões de 13 a 20, que tratam da generalização de como fazemos para obter uma
fração de um todo, bem como quanto ao cálculo da parte de um todo, finalizando
com a formalização do que são Frações.
Para o desenvolvimento da Atividade, realizamos as seguintes orientações
aos estudantes: Primeiramente, com o papel A4 em mãos, as 4 equipes iniciaram a
dobra e divisão do mesmo para a obtenção de um inteiro, como indicado no roteiro
da atividade. Desta forma, a partir das observações, os grupos deveriam responder
às questões 1, 2 e 3 deste roteiro. Desta maneira, esperávamos que os alunos
respondessem da maneira exposta a seguir:
1) Que nome você daria a cada uma das partes obtidas?
Metades ou meio
2) Como se obtém a metade de um inteiro?
Dividindo “um inteiro” em duas partes iguais
3) Quantas metades cabem em um inteiro?
Duas metades ou duas partes
Durante a execução da atividade os alunos interagiram entre si e mostravam-
se bastante entusiasmados, apenas um dos grupos estava um pouco disperso e
distraído, mas sempre acompanhados da nossa presença, voltavam a atenção para
a atividade.
Ao tentarem responder as três primeiras questões, a aula foi interrompida
pelo docente de Matemática da Turma para que este pudesse conversar sobre uma
nota de uma prova com uma aluna. Fato que distraiu e dispersou a turma como um
todo. Para atrair a atenção dos alunos, começamos a citar exemplos como; “uma
barra de chocolate pode ser um exemplo de um inteiro, uma turma de alunos, uma
pizza, uma coleção de objetos, etc”, e caminhamos de grupo em grupo para
observar como os estudantes estavam desenvolvendo a atividade.
Os alunos debatiam entre si e citavam como resposta “se eu dividir em duas
partes iguais, então eu tenho a metade!”, “para obter a metade eu tenho que separar
duas partes” e “Duas partes formam um!”.
190
E, então começaram a registrar no roteiro suas respostas. Consideramos
conclusão correta àquelas que se adequavam à nossa análise a priori. Estes
registros foram expostos no Quando 66 a seguir:
QUADRO 66 – REGISTROS DOS ALUNOS NO PRIMEIRO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Orienta
çã
o:
Peg
ue u
m inte
iro e
div
ida e
m d
uas p
art
es igu
ais
.
uma metade
E3, E6, E13, E18, E22
e E25. Válida
um
meio
E1, E14, E15, E17,
E20 e E21. Válida
Parcela
E2, E8, E16 e E19. Inválida
Não houve registro E10. Não houve registro
Dividindo em duas partes iguais
E6, E8, E15, E16 e
E19 Válida
Dividindo em duas partes
E3, E13, E20 e E22
Parcialmente Válida
(faltou concluir que a
divisão é em partes
iguais.)
Dividindo
E1 e E17
Parcialmente Válida
(faltou concluir que a
divisão é em partes
iguais.)
Por duas partes
E2, E10, E14, E18,
E21 e E25.
Parcialmente Válida
(possivelmente
compreendeu que
necessita a divisão,
porém não registrou)
Duas metades
E1, E2, E3, E6, E8,
E10, E13, E14, E15,
E16, E17, E18, E19,
E20, E21, E22 e E25.
Válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
191
Ao discutimos cada uma das respostas encontradas por cada grupo,
acreditamos ter resultados bastante positivos para este primeiro momento, pois as
conclusões corretas foram bastante frequentes nas perguntas 01 e 02 e na terceira
alcançando 100% de acerto.
Na primeira questão, um dos grupos respondeu de maneira incorreta dando
como resposta “parcela”. Observamos que os estudantes do grupo falavam
repetidas vezes em “juntar” as partes para formar o todo, entendemos dessa
maneira, que os alunos podem ter pensado nesta resposta como um dos termos da
adição.
Já na segunda questão, percebemos que os estudantes que concluíram de
maneira incompleta, desconsideraram que a divisão deve ser feita em partes iguais,
o que é muito relevante na construção do conceito de Fração posteriormente,
porém, ao perceber que se obtém a parte através da divisão já aponta um raciocínio
coerente.
Neste momento continuamos as orientações para o segundo momento da
atividade. Agora, conforme o roteiro, juntamente com os estudantes, dividimos um
inteiro em três partes iguais.
A partir das observações, os estudantes deveriam responder às questões 4, 5
e 6. Assim, esperávamos que os alunos respondessem da maneira exposta a seguir:
4) Que nome você daria a cada parte obtida?
Um terço ou terço.
5) Como se obtém a terça parte de um inteiro?
Dividindo “um inteiro” em três partes iguais
6) Quantos terços cabem em um inteiro?
Três terços
Neste momento os estudantes mostravam-se bastante interessados em
responder às perguntas do roteiro, dobravam o papel e realizavam e discutiam as
observações com os integrantes dos grupos. Porém, o barulho que vinha de fora da
sala atrapalhava bastante a concentração dos alunos, que mesmo com esforços,
acabavam se distraindo. As 09h55min a aula foi interrompida por causa do horário
de intervalo.
192
Ao retornarem do intervalo, às 10h05min, muito agitados e dispersos,
pedimos que retomassem a atividade respondendo as perguntas de 4 a 6. Os
grupos se reorganizaram e iniciaram diversas discussões sobre as conclusões
individuais e qual seria a reposta do grupo. Os registros do segundo momento desta
atividade foram disponibilizados no Quadro 67 a seguir:
QUADRO 67 – REGISTROS DOS ALUNOS NO SEGUNDO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Orienta
çã
o:
Peg
ue u
m inte
iro e
div
ida e
m trê
s p
art
es igua
is.
Um
terço
E1, E2, E3, E8, E10,
E15, E16, E17, E18,
E22 e E25.
Válida
Três metades
E20. Inválida
Um
lado um meio um outro todo
E19. Inválida
Uma metade
E6, E13 e E21. Inválida
Todo
E14 Inválida
Dividindo igualmente em três partes
E1, E2, E3, E8, E10,
E13, E14, E15, E16,
E17, E18, E19, E20,
E21, E22 e E25.
Válida
Divide em três
E6
Parcialmente Válida
(Conclusão
Incompleta, pois não
citou que a divisão
deve ser em partes
193
iguais)
3 terços
E1, E2, E3, E6, E8,
E10, E13, E14, E15,
E16, E17, E18, E19,
E20, E21, E22 e E25.
Válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
As discussões e desacordos entre os integrantes das equipes gerou
indisposição para alguns que solicitaram a realização individual da atividade,
ponderamos então a importância do trabalho em equipe e da cooperação. Estes
comportamentos distraiam os demais alunos e atrapalhavam o andamento da aula.
Na quarta questão, 64,7% dos estudantes responderam de maneira
desejável, porém, o restante apresentou conclusões confusas e incoerentes,
justificativas como para a resposta “três metades” eram: “cada parte é uma metade!”,
ou “mesmo que a gente divida em três, cada um é uma metade, professora!”, e
então os próprios alunos dos outros grupos começaram a se posicionar dizendo que:
“só é metade se for por dois!”, “quando é por três é terço!”.
Pedimos então que cada grupo falasse em voz alta suas conclusões e isso
gerou interesse em acertá-las, criando um ambiente competitivo. Para a questão 05
o desempenho foi surpreendente, já que apenas um estudante não respondeu
completamente de maneira desejável. Incompleto, mas de maneira muito coerente
falou:
Estudante: “Professora, é só dividir por três!”
Então perguntamos: “Dividir em três partes é suficiente?”.
Logo a turma inteira, num alvoroço, respondeu:
Estudantes: “Não! Tem que ser em partes iguais!”.
Com relação à questão 06, todas as conclusões foram registradas de maneira
correta. Dessa maneira, quando iniciamos as orientações para o terceiro momento
194
da atividade, alguns grupos já haviam se adiantado e realizado a dobra no papel e
logo começaram a discutir as soluções.
Neste momento, pedimos então que fizessem com calma e estipulamos dez
minutos para que todos pudessem responder às questões de 07 a 09. Observamos
que durante a dobra do papel, os estudantes gostavam bastante.
Enquanto as equipes trabalhavam para responder às perguntas, dois
estudantes de grupos diferentes brigaram e agiram com violência um com o outro,
precisamos realizar uma intervenção para leva-los até a coordenação da escola.
Os demais fizeram seus registros e, antes do tempo estipulado, pediram para
discutirmos as respostas encontradas.
Vejamos o Quadro 68:
QUADRO 68 – REGISTROS DOS ALUNOS NO TERCEIRO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Orienta
çã
o:
Peg
ue u
m inte
iro e
div
ida e
m q
uatr
o p
art
es igua
is.
E1, E2, E3, E8, E10,
E14, E16, E17, E18,
E19, E21, E22 e
E25.
Válida
E20 Inválida
E13 Inválida
E6 Inválida
E15 Inválida
E1, E2, E3, E6, E8,
E10, E13, E16, E17,
E18, E19, E21, E22
e E25.
Válida
195
E14 e E20 Parcialmente Válida
E15 Inválida
E1, E2, E3, E6, E8,
E10, E13, E15, E16,
E17, E18, E19, E20,
E21, E22 e E25.
Válida
E14 Inválida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Apesar de a turma estar dividida em grupos, alguns estudantes discordavam
de seus colegas e davam respostas diferentes dos demais. Na sétima questão, 13
dos 17 alunos presentes concluíram corretamente, porém quatro participantes
concluíram de maneira incorreta e inválida. Vejamos:
O estudante E20 respondeu “quatro metades” com relação ao nome de cada
parte de um ao inteiro que foi dividido em quatro partes iguais, possivelmente por
confundir parte com metade; o E13 expressou “Um inteiro”, confundindo,
possivelmente parte com todo; o E6 respondeu “Terços”, não observando que neste
momento o todo havia sido dividido em quatro partes iguais e não três; e, o E15 que
registrou “dividindo em partes iguais”, respondendo como se obtém uma parte e não
o nome da parte obtida.
Ao circular pelos grupos, observamos que alguns estudantes já não estavam
realizando a dobra do papel (todo) como havíamos orientado inicialmente, o que
pode explicar estas desatenções.
Para a oitava questão (Como se obtém um quarto de um inteiro?), apenas o
E15 respondeu de maneira inválida: “Três partes iguais”, possivelmente por falta de
atenção. Os estudantes E14 e E20 concluíram de maneira parcialmente válida, pois
responderam “Divide em quatro partes”, demonstrando que estavam
compreendendo o raciocínio da atividade, porém não se atentaram que deveriam ser
quatro partes iguais.
196
Para a última questão do terceiro momento da atividade (quantos quartos
cabem em um inteiro?), 16 dos 17 estudantes responderam de maneira válida,
restando apenas o E14 que expressou “todo”. Acreditamos que os estudantes ainda
confundiam parte com todo, o que é aceitável, pois a atividade ainda estava em
andamento e seu desenvolvimento proporcionaria condições para estes ajustes.
Neste momento, pedimos que cada grupo respondesse sozinho as demais
questões do roteiro e que evitasse a comunicação com os demais grupos, pois
notamos que alguns participantes estavam olhando e copiando as respostas de
outros colegas de turma.
A turma ficou silenciosa, pois os estudantes mostravam-se bastante
concentrados e interessados em responder antes dos outros grupos. Apenas um dos
grupos, composto apenas por meninos, sentiu dificuldade e pediu auxílio à
pesquisadora.
Os estudantes perguntavam “professora, como faço pra saber o nome da
parte obtida?”. Nesse instante, resolvemos refazer, passo-a-passo o terceiro
momento desta atividade com este grupo, dividindo o papel em partes iguais,
realizando as observações e fazendo as perguntas aos estudantes, que logo
perceberam a semelhança e antes que terminássemos as explicações, disseram “Já
sabemos como é!”, e voltaram ao roteiro para continuar a responder.
Para o quarto momento desta atividade, temos o quadro 69 com os registros
dos alunos e sua validade:
QUADRO 69 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUARTO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Orienta
çã
o:
Peg
ue u
m
inte
iro e
div
ida
em
cin
co
part
es igua
is.
Um quinto
E1, E2, E3, E6, E8,
E10, E13, E14, E16,
E17, E18, E19, E20,
E21, E22 e E25.
Válida
Um
meio ou um todo
E15 Inválida
197
Dividindo em cinco partes iguais
E1, E3, E6, E21 e E22 Válida
Cinco partes iguais
E2, E10, E13, E16,
E18, E19 e E25
Parcialmente
Válida
Dividindo em cinco partes
E8, E14, E15, E20 e
E17
Parcialmente
Válida
Cinco quintos
E1, E2, E3, E6, E8,
E10, E13, E14, E15,
E16, E17, E18, E19,
E20, E21, E22 e E25.
Válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os alunos começaram a concluir a atividade por volta das 10h45min e, com o
sinal sonoro indicando o final do horário, os estudantes começaram a se apressar
para ir embora.
Para finalizar, pedimos que os estudantes deixassem seus roteiros na mesa e
nos acompanhassem, realizando uma releitura dos quatro primeiros momentos
desta atividade. Com isso, percebemos o entusiasmo em mostrar que sabiam as
respostas, acertando as perguntas que estavam no roteiro, bem como outras como
“Se o todo for dividido em dez partes, como seria o nome de cada parte?”.
Para concluir a atividade, pedimos aos estudantes que respondessem às
questões de 14 a 20, que já demonstravam cansaço e que já queriam ir embora.
Observamos que, neste momento, os alunos sentiram bastante dificuldade na
realização das operações necessárias para a solução destas questões, como
multiplicação e divisão, e constantemente faziam perguntas do tipo: “três vezes
cinco é quinze?” como forma de se sentirem seguros ao dar a resposta.
Para estas perguntas, não ofertávamos a resposta final, mas íamos
reconstruindo a multiplicação através da tabuada daquele número ou lembrando-os
que a multiplicação nada mais é que sucessivas adições, como “Lembra que três
vezes cinco é cinco mais cinco mais cinco? E quanto dá essa soma?”. Então
conseguiam confirmar seus resultados.
198
Perguntas sobre a identificação da operação também surgiram, como “é pra
multiplicar ou é pra dividir?”. Indicávamos então: “o que precisamos fazer com o todo
para encontrarmos aa parte?”. E, facilmente, voltavam a tentar resolver as questões.
Os registros estão dispostos no quadro 70 a seguir:
Quanto
é a
terç
a p
art
e d
e 1
5?
5
E1, E2, E3, E6, E8, E10, E14,
E15, E16, E17, E19, E20, E21,
E22 e E25.
Válida
15
E13 e E18 Inválida
Quanto
é a
meta
de d
e 2
0?
10
E1, E2, E3, E6, E8, E10, E13,
E14, E15, E16, E17, E18, E19,
E20, E21, E22 e E25.
Válida
QUADRO 70 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUINTO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I
(continua)
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
O q
ue é
necessári
o fazer
para
obte
r um
a
fração d
e u
m tod
o?
E1, E2, E3, E8, E10, E13, E16,
E17, E19, E21, E22 e E25. Válida
E14, E15 e E20 Parcialmente
Válida
E6 Parcialmente
Válida
E18 Inválida
QUADRO 70 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUINTO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I
(Continua)
199
Quanto
é a
qu
art
a p
art
e d
e 8
?
2
E2, E3, E6, E8, E10, E13, E14,
E15, E16, E17, E18, E19, E20,
E21 e E25.
Válida
4
E1 e E22 Inválida
Quanto
é a
sexta
part
e d
e 3
6?
6
E2, E3, E8, E10, E13, E14, E15,
E16, E17, E19, E20, E21, E22 e
E25.
Válida
7
E18 Inválida
18
E1 e E6 Inválida
QUADRO 70 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUINTO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I
(Conclusão)
Quanto
é a
qu
inta
part
e d
e 2
0?
E8, E15 e E20. Válida
E1, E3, E6, E13, E17, E18, E21,
E22 e E25 Inválida
E2, E10, E16 e E19 Inválida
E14 Inválida
200
Quanto
é a
meta
de
100?
E1, E2, E3, E6, E8, E10, E13,
E15, E16, E17, E18, E19, E20,
E21, E22 e E25.
Válida
E14 Inválida
O q
ue s
ão F
rações?
Parte de um todo que foi dividido igualmente
E1, E2, E3, E6, E8, E10, E13,
E14, E16, E17, E18, E20, E21 e
E22.
Válida
Parte de um todo que foi dividido
E15 Parcialmente
válida
Parte de um todo
E19 e E25 Parcialmente
válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com relação à pergunta “O que é necessário fazer para obter uma fração de
um todo?”, apenas o participante E18 respondeu de maneira incorreta e inválida,
doze estudantes conseguiram alcançar conclusões válidas e os quatro restantes,
conclusões parcialmente válidas.
Para estes quatro estudantes, os E14, E15 e E20 deram como resposta
“dividir”, entendendo que o todo precisa ser dividido para obtenção da Fração,
porém não concluíram que essa divisão deve ser partes iguais, já o E6 respondeu
“em fatores iguais”, possivelmente querendo expressar uma divisão em partes
iguais, ou seja, o estudante compreendeu o raciocínio, porém não utilizou a
linguagem corretamente.
As perguntas 14, 15, 16, 17 e 19, sobre o cálculo de Frações, apresentaram
registros bastante animadores, pois apesar de os estudantes já estarem
demonstrando pressa em terminar para ir embora, responderam com uma validade
bastante relevante.
201
Na questão 14, apenas E13 e E18 responderam de maneira inválida; na
questão 15, todos os participantes concluíram de maneira válida; na questão 16,
apenas E1 e E22 responderam de maneira incorreta a quarta parte de 8, apontando
4 como resultado, possivelmente por erro de cálculo; na questão 17, o E18, E1 e E6
apresentaram conclusões inválidas, provavelmente também por erro no momento do
cálculo da divisão.
Os registros dos alunos para a questão 18 apresentaram resultados bastante
insatisfatórios, pois apenas três estudantes conseguiram encontrar a solução
correta. Para os demais participantes, a maior incidência de erro foi como resposta
“5”, acreditamos que por confundir os fatores do produto 5x4=20; os demais deram
como respostas “10” (E2, E10, E16 e E19) e “2” (E14), conclusões inválidas para a
questão.
A questão 19 obteve registros muito satisfatórios, com um alto índice de
validade, pois quase todos os participantes apresentaram a resposta esperada,
possivelmente pela facilidade e familiaridade em calcular a metade de algo,
sobressaindo apenas o estudante E14 que apresentou “10” como resposta.
Para finalizar, perguntamos a cada grupo o que eles entendiam sobre o que
são Frações, o que gerou certa discussão entre os estudantes, pois alguns
acreditavam que “parte de um todo” e “parte de um todo que foi dividido” seriam as
conclusões adequadas, porém muitos até gritavam que não estava completo, que
estava faltando dizer que o todo foi “dividido igualmente”. Satisfeitos, conversamos
que o todo precisa ser dividido igualmente para considerarmos uma parte sua
Fração.
Dessa maneira, alcançamos o objetivo desta Sessão com a construção do
conceito de Fração pelos estudantes, os quais demonstravam alegria em ter
finalizado a aula respondendo de maneira correta e festejavam entre si, devolveram
os roteiros e perguntaram quando teriam outra aula igual aquela.
De maneira geral, se faz necessário destacar que além da agitação dos
alunos, fatores como ruídos externos à sala, a curiosidade de outros estudantes de
outras turmas ao ficarem na porta da sala olhando a aula e distraindo os
participantes desta Experimentação dificultou bastante nosso trabalho, pois em
diversos momentos foi necessário nossa intervenção no sentido de pedir que esses
estudantes voltassem para suas salas ou que os nossos estudantes se acalmassem
um pouco mais.
202
Esta primeira Sessão de Ensino terminou às 11h00min.
3.4 Sessão De Ensino II
PARTE I – 29/11/2017
No dia 29 de Novembro de 2017 realizamos o quarto encontro com a turma,
referente à Segunda Sessão de Ensino da nossa Experimentação. Por volta das
7h15min da manhã, chegamos o lócus da pesquisa, pois, conforme combinado com
o professor de Matemática da turma, teríamos os primeiros horários disponíveis.
Aguardamos a autorização de irmos para a sala de aula na sala dos professores.
O horário de entrada dos alunos é às 07h30min, e ao ouvirmos o sinal sonoro
nos dirigimos até a sala de aula, porém poucos alunos cumpriram esse horário e,
como havíamos planejado um trabalho com os alunos divididos em grupos, optamos
por aguardar a chegada de mais estudantes.
Enquanto aguardávamos a chegada do restante da turma, conversamos com
o Professor de Matemática da turma sobre as interferências da aula anterior, que
nos propôs que realizássemos a aula na sala de leitura, pois seria um ambiente mais
calmo e sem interferência dos alunos das outras turmas. Aceitamos a proposta e
nos dirigimos, juntamente com os alunos, para a sala de leitura, que contava com
mesas bem grandes que, inicialmente, acreditamos que facilitaria o trabalho em
grupo.
O professor da turma nos informou que ficaria na sala dos professores para
realizar a correção das provas da terceira avaliação da turma e que iria até a sala
somente no final do horário para repassar as notas e que teríamos o primeiro e o
terceiro horário disponível para trabalhar com a turma, pois havia cedido o segundo
horário para a Professora da disciplina de Língua Portuguesa.
Esta mudança de sala deixou os estudantes mais agitados, pois para eles era
uma exceção estar ali. Conversamos sobre a necessidade de concentração para a
realização das tarefas, dividimos os grupos a partir da ordem alfabética de seus
nomes, distribuímos o roteiro referente à segunda sessão de Ensino e dialogamos
sobre o que havíamos aprendido na sessão anterior.
Neste momento havia 20 alunos presentes, organizamos em quatro grupos,
com cinco estudantes. Então, pedimos que realizassem a leitura do roteiro e
respondessem às questões 01 e 02.
203
O objetivo desta atividade foi de conduzir o estudante a descobrir como se
representa Frações e quais são seus termos.
A primeira questão solicita a indicação da Fração de cada da parte pintada
em algumas figuras e a segunda para pintar na figura a fração solicitada.
A turma ficou em silêncio, ouvia-se alguns murmúrios entre eles sobre a
atividade. Os quatro grupos estavam bem entusiasmados e pediam que fizéssemos
a leitura para facilitar a compreensão do que estava sendo pedido. Alguns
estudantes perguntavam se podiam responder com palavras e não com números.
Um estudante chegou às 08h50m e foi incluído a um grupo, totalizando agora
21 participantes. Neste momento o professor da turma interrompeu nossa atividade
para entregar as notas e provas aos estudantes, o que acabou os distraindo e fez
com que começassem a conversar sobre as notas recebidas. No entanto, ainda era
possível observar alguns concentrados na atividade.
Pedimos que quem estava recebendo a prova que a guardasse e voltasse
para a resolução das tarefas da atividade. Assim, mesmo depois de receber as
provas, os participantes estavam dedicados e concentrados em resolver as questões
da atividade.
As 08h15m a aula foi interrompida pois estava no horário da disciplina de
língua portuguesa, voltamos as 09h15m.
Retornamos pedindo que cada grupo respondesse em voz alta o que haviam
respondido na primeira questão. Eles respondiam e quando sua resposta estava
certa, comemoravam.
Alguns alunos já queriam ir direto para a segunda questão, pois já tinham
resolvido tudo e responderam corretamente à primeira questão.
Os registros dos estudantes na primeira questão foram bastante satisfatórios,
pois esperávamos que os alunos respondessem por extenso cada fração pedida,
porém as respostas foram dadas na representação fracionária correta.
No quadro 71 abaixo apresentamos alguns desses registros:
204
QUADRO 71 – REGISTROS DOS ALUNOS NA PRIMEIRA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E3, E5, E6, E7, E9,
E11, E12, E13, E17, E21,
E23 e E25.
Válida
E10, E14, E15, E19, E22,
E24. Parcialmente Válida
Não houve registro E2 e E16. Não houve registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Nos registros dos estudantes E10, E14, E15, E19, E22 e E24, observamos
erros que coincidem, nos quais há a inversão do numerador com o denominador,
neste caso o todo (apresentado como numerador) com a parte (apresentada como
denominador), bem como equívoco na relação parte/todo, representando na forma
parte/parte.
Estas situações são encontradas também nos resultados de Bezerra (2001);
Merlini (2005) e Moutinho (2006).
No diálogo sobre a segunda questão os alunos também estavam acertando
as respostas e riam bastantes felizes por terem acertado. Os grupos pareciam estar
sintonizados e com vontade de participar da aula.
Os registros da segunda questão foram detalhados no quadro 72 a seguir:
205
QUADRO 72 – REGISTROS DOS ALUNOS NA SEGUNDA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E3, E5, E6, E7, E9, E10, E11,
E12, E13, E14, E15, E17, E19,
E21, E22, E23, E24 e E25.
Válida
E2 e E16. Inválida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Apenas os participantes E2 e E16 responderam de maneira incorreta e até
inesperada a questão 02, pois diante do registro, percebemos que ao menos
realizaram a leitura da questão, mostrando bastante desatenção. Estes estudantes
mostravam-se distraídos e conversavam bastante durante a aula, incomodando
inclusive os outros participantes do seu grupo.
Dois alunos voltaram somente as 09h30m, bastante atrasados da segunda
aula, fazendo com os demais alunos se distraíssem e dispersassem. Tivemos que
intervir para acalmar a turma, e começamos a contar como se deu a evolução das
Frações no decorrer da História da Matemática através de uma leitura dinâmica com
os grupos.
Os alunos sentiram dificuldade em alguns momentos com algumas
nomenclaturas. Por ser uma turma bastante numerosa, tivemos dificuldade em dar
atenção e manter a concentração de todos durante a leitura. Foi possível observar
que os alunos não ficaram entusiasmados com a parte histórica.
Nesse momento um aluno deu um soco em outro aluno e tivemos de leva-los
para a coordenação, interrompendo o desenvolvimento da atividade.
206
Ao voltarmos para a Sala de leitura, terminamos a leitura, explicamos os
termos de uma Fração, mas como o horário do intervalo, os estudantes já estavam
dispersos e desatentos. Pedimos que, agora como já conheciam os termos da
Fração, representassem na forma de fração suas respostas nas questões 01 e 02.
Apesar de não haver as distrações ocasionadas por fatores externos à sala
de aula, este encontro foi bastante conturbado por conta do comportamento inquieto
e por vezes até agressivo dos estudantes, por esse motivo resolvemos que a
realização do próximo encontro se daria na sala de aula.
Recolhemos os roteiros e terminando esta parte da segunda Sessão às
10h00m.
PARTE II – 30/11/17
A segunda parte da Segunda Sessão de Ensino foi realizada no dia 30 de
Novembro de 2017. Por volta das 10h00min da manhã, chegamos à escola e demos
início à Atividade às 10h05m, logo após o intervalo para o lanche dos estudantes, na
sala de aula.
No horário do Intervalo os estudantes correm e brincam, por conta disso
retornam para a sala de aula bastante agitados, falantes e suados. Estes fatores
tomam um tempo necessário para acalmá-los e concentrá-los novamente, por isso
organizamos os mesmos grupos do encontro anterior, redistribuímos os roteiros e
conversamos sobre tudo o que já havíamos estudado nos encontros anteriores: o
conceito de Fração, seus termos e sua representação.
Durante este diálogo, os estudantes respondiam atentamente às perguntas e
participavam ativamente, lembrando os momentos anteriores. Apesar de termos
divididos em grupos, pedimos que cada estudante tentasse resolver as demais
questões do roteiro de maneira individual e só depois debatesse com o restante do
grupo para dar uma resposta final no momento da exposição das conclusões.
Neste dia estavam presentes 22 estudantes, que mostravam-se concentrados
e atentos para a resolução das tarefas e nos chamavam quando sentiam alguma
dificuldade.
Quando solicitamos as respostas para a questão 03, todos os alunos
rapidamente se prontificaram em responder. Os três itens desta questão são
respostas subjetivas, sobre a opinião dos estudantes sobre a maneira como as
frações eram representadas em alguns momentos da História.
207
A quarta questão diz respeito à representação de Frações, destacamos as
respostas no quadro 73 a seguir:
QUADRO 73 – REGISTROS DOS ALUNOS NA QUARTA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7,
E9, E10, E12, E13, E16, E17,
E21, E22, E23 e E25.
Válida
E14 e E15.
Parcialmente Válida
(Conclusão
Incompleta, faz
inversão de
numerador com
denominador.)
E19 e E24.
Parcialmente Válida
(Conclusão
Incompleta, faz
relação parte/parte)
Não houve registro E11 Não houve registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
208
Apesar do entusiasmo dos estudantes, observamos que os erros presentes
nas questões 01 e 02 ainda permanecem nos registros da questão 04, como E14 e
e15 que fazem a inversão do numerador pelo denominador; E19 e E24 que
representam parte/parte invés de parte/todo.
Moutinho (2005, p. 157) afirma que “o aluno pode ter entendido a situação,
porém não foi capaz de representá-la utilizando corretamente a Fração, trocando a
ordem representativa da relação das grandezas envolvidas na situação (...)”.
Ainda houve o E11 que se recusou em realizar qualquer tarefa durante a aula.
Então, pedimos que os estudantes dedicassem mais atenção à representação
e solicitamos a resolução das questões de 05 a 10, são problemas matemáticos que
envolvem a representação das Frações.
Alguns participantes pediam auxílio na resolução, mesmo já tendo encontrado
a resposta ou já sabendo como fazer, sentiam-se inseguros em concluir. Como
reação, perguntávamos sempre a quantidade de partes que estavam considerando e
o total de partes que o todo foi dividido e, ao responder, percebiam que já sabiam as
respostas.
Os registros das questões 05 a 09 estão dispostos no quadro 74 abaixo:
QUADRO 74 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 05 A 09 DA SESSÃO DE ENSINO II
(Continua)
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Maria
fez u
m b
olo
e d
ivid
iu e
m 8
fatias p
ara
ve
nde
-las.
Após a
vend
a,
sobra
ram
ape
nas 2
fatias:
E2, E3, E5, E6, E7,
E9, E13, E15, E16,
E17, E21, E22, E24
e E25.
Válida
E4 e E23
Parcialmente
Válida (Conclusão
Incompleta, acertou
apenas um dos
itens)
209
E1, E12, E14 e E19
Inválida (Conclusão
Incorreta,
relacionou
parte/parte)
Não houve registro
E10 e E11 Não houve registro
QUADRO 74 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 05 A 09 DA SESSÃO DE ENSINO II
(Continua)
Um
a c
aix
a p
ossui b
olin
has p
reta
s e
bra
ncas. O
bserv
e a
ima
gem
ab
aix
o e
respo
nda
:
E2, E3, E4, E5, E6,
E7, E10, E15, E16,
E17, E21, E22, E23
e E24.
Válida
E1, E12, E13 e E25
Inválida (Conclusão
Incorreta,
relacionou
parte/parte)
E9, E14 e E19
Inválida (Conclusão
Incorreta, só
considerou parte)
Não houve registro E11 Não houve registro
Um
a c
aix
a d
e o
vos p
ossui capacid
ade
para
6 o
vos. O
bserv
e a
fig
ura
ab
aix
o e
respond
a:
E2, E3, E4, E5, E6,
E15, E16, E17,
E21, E22.
Válida
E7, E10, E13, E23,
E24 e E25.
Parcialmente válida
(Conclusão
Incompleta,
considerou
parte/pare)
210
E1, E9, E12 e E19.
Inválida (Conclusão
Incorreta, só
considerou parte)
Não houve registro E11 e E14. Não houve registro
QUADRO 74 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 05 A 09 DA SESSÃO DE ENSINO II
(Conclusão)
Pedro
possui um
pacote
co
m 1
5 b
om
bo
ns e
quer
dis
trib
uir
igu
alm
ente
entr
e s
eu
s trê
s irm
ãos. Q
ue fra
çã
o r
epre
se
nta
a
quan
tid
ade
de b
om
bo
ns q
ue c
ada irm
ão irá
ga
nhar?
E2, E3, E4, E5, E6,
E7, E9, E12, E13,
E15, E16, E17,
E21, E23, E24 e
E25
Válida
E1, E10 e e19 Parcialmente
Válida
E22
Parcialmente válida
(Conclusão
Incorreta, inverteu
numerador com
denominador)
Não houve registro E11 e E14. Não houve registro
Um
a c
ole
ção
possui 24
figuri
nh
as. E
scre
va a
Fra
çã
o
que r
epre
senta
a
quan
tid
ade
de:
E2, E3, E4, E5, E6,
E7, E10, E13, E15,
E16, E17, E21,
E22, E23, E24 e
E25.
Válida
211
E1, E12, E19
Inválida
(Conclusão
Incorreta, inverteu
numerador com
denominador)
Não houve registro E9, E11 e E14 Não houve registro
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Na resolução da quinta questão os estudantes sentiram um pouco de
dificuldade e pediram apoio, orientamos que tivessem atenção à parte que era
solicitada em cada questão, já que o total de partes consideradas era o mesmo para
ambos os itens. Ainda assim, quatro participantes concluíram de maneira incorreta e
inválida, além de dois participantes que não realizaram o registro das respostas.
Os estudantes E4 e E23 acertaram parcialmente, ou seja, resolveram
corretamente um dos itens da questão. E, os demais (14 participantes),
apresentaram uma conclusão correta para ambos os itens.
Em relação à sexta questão, 14 estudantes apresentaram conclusões
corretas e válidas e um não apresentou registro. Os erros observados nos registros
dos sete participantes que apresentaram conclusões incorretas e inválidas
consistem em relacionar parte/parte ou considerar apenas parte da fração,
desprezando o todo.
Os registros da sétima questão foram bastante satisfatórios, pois dezesseis
dos vinte e dois participantes produziram respostas válidas ou parcialmente válidas,
para as parcialmente válidas houve erro em apenas um item com representação da
fração como parte/parte, sem considerar o todo. Erro descrito no trabalho de Santos
(2005, p. 90-91), o qual destaca “o aluno procedeu à contagem da parte destacada
e, em seguida, procedeu à contagem das demais partes, esquecendo de relacionar
o todo.”.
Para os participantes que apresentaram respostas inválidas (E1, E9, E12 e E19),
o erro foi desconsiderar o todo e apresentar somente a parte. Além de dois
estudantes que não realizaram registro algum para esta questão.
212
No que se refere à oitava questão, 73% dos estudantes respondeu de
maneira correta e válida. Para aqueles que registraram conclusões incompletas,
destacamos dois tipos de erro: o primeiro diz respeito ao equívoco na identificação
da parte considerada, correspondente aos registros de E1, E10 e E19, que
consideraram como parte o número de irmãos e não o número de bombons que
cada um iria ganhar; o segundo erro se refere à inversão dos termos da Fração, no
qual o participante E22, possivelmente, identificou corretamente os termos pedidos
na questão, porém representou a fração de maneira equivocada.
Na nona questão eram solicitadas respostas para três itens, a qual
apresentou um considerável nível de validade, com 16 participantes registrando
conclusões válidas e três parcialmente válidas, com o registro da Fração
(identificando a parte e o todo solicitado), porém invertendo os termos da Fração.
Observamos que este erro tem sido bastante frequente nos registros dos
estudantes, coincidindo com os trabalhos de Merlini (2005) que destaca que o aluno
poderá ter pensado de maneira coerente, mas no momento da formalização da
resposta, inverter o numerador com o denominador.
Para os participantes que não realizaram registro nessa questão, temos E9,
E11 e E14.
No desenvolvimento destas questões observamos que alguns estudantes
ainda sentiam dificuldade em identificar a parte considerada em cada Fração, para
tanto, pedimos que cada grupo reunisse seus membros e respondesse às perguntas
em voz alta. Dessa maneira, podíamos ver a diferença nas respostas e pedíamos
para cada um que apresentasse uma resposta diferente, que a justificasse, assim
ajudando-os a superar esta dificuldade de maneira coletiva.
Inicialmente, os participantes ficaram um pouco indispostos em justificar suas
escolhas, porém, depois de estimulada a discussão, percebemos que a dificuldade
na leitura e, consequente, interpretação dos problemas eram os motivos que os
levavam aos erros de relacionar parte/parte ou inverter dispondo o termos da fração
a se representar.
Nesse momento também foi possível observar que a escolha da resolução
individual e posteriormente a socialização com o grupo para a elaboração de um
conclusão coletiva estimulou uma elaboração mais cuidadosa das respostas,
argumentando as escolhas, bem como o desejo em participar da discussão com a
turma.
213
Assim, solicitamos que os estudantes continuassem a resolução das tarefas
desta Atividade, agora respondendo à decima questão e posteriormente
completando os espaços na formalização da Atividade, identificando a descrição do
que significa cada termo da Fração.
Após a resolução, iniciamos o processo de discussão das respostas ofertadas
por cada grupo. É importante destacarmos que apesar de ser uma turma bastante
agitada, nesse momento cada grupo silenciava para ouvir a resposta do outro e
quando perguntados, tentavam argumentar suas escolhas.
Dos 22 alunos que estavam presentes, 15 acertaram completamente a
questão, respondendo todos os itens de maneira válida, alcançando um dos
objetivos desta atividade, que era descobrir como se representa Fração.
Para os estudantes E3, E6, E12 e E19, encontramos itens respondidos de
maneira correta e itens recorrentes ao erro de inversão todo/parte, como nas
questões anteriores, ou seja, conclusões parcialmente válidas e, os alunos E10, E11
e E14 que não responderam.
Os registros estão dispostos nos quadros a seguir:
QUADRO 75 – REGISTROS DOS ALUNOS NA DÉCIMA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E4, E5, E7,
E9, E13, E15, E16,
E17, E21, E22, E23,
E24 e E25
Válida
E3, E6, E12 e E19
Parcialmente
Válida (Conclusão
Incompleta, há item
correto e demais
com inversão dos
termos)
Não houve registro E10, E11 e E14 Não houve registro
Fonte: pesquisa de Campo (2017)
214
Neste momento pausamos a Atividade para conversar com estes estudantes
como forma de superar este erro de inversão, voltamos ao comando das questões e
íamos perguntando “Qual o total e o que estamos considerando?”, que verbalizavam
de maneira correta os termos das Frações solicitadas.
Após a socialização das respostas da décima questão, pedimos para cada
grupo falar em voz alta a palavra que havia preenchido o espaço na formalização
desta atividade, no final do roteiro.
Entre os 22 participantes, 16 responderam corretamente ao conceito dos
termos Numerador e Denominador da Fração, totalizando 73% de validade para esta
formalização, alcançando o segundo objetivo dessa Atividade.
De maneira incoerente, E15 e E19 responderam à formalização dos termos
da Fração com números aleatórios e, ao serem perguntados o porquê das
respostas, declararam que pensavam que era pra colocar algum número, ou seja,
não conseguiram interpretar o que estava escrito.
Os participantes E1, E10, E11 e E14 não escreveram a conclusão no roteiro
desta atividade, na justificativa de já estarem cansados e não acostumados a
resolver tantas questões num dia só, mas responderam verbalmente de maneira
correta.
Os resultados foram:
QUADRO 76 – REGISTROS DOS ALUNOS NA FORMALIZAÇÃO DOS TERMOS DA FRAÇÃO NA
SESSÃO DE ENSINO II
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E2, E3, E4, E5, E6, E7,
E9, E12, E13, E16, E17,
E21, E22, E23, E24 e
E25
Válida
E15 e E19 Inválida
Não houve registro E1, E10, E11 e E14 Não houve registro
Fonte: pesquisa de Campo (2017)
215
Algo que nos chamou atenção nesta sessão de ensino foi o estudante E11,
que desde o início da aula se recusou a escrever no roteiro da Atividade, deixando
todas as respostas em branco. Ao ser perguntado o porquê deste comportamento, o
aluno disse estar com problemas familiares que o deixavam sem vontade alguma de
estudar.
Ao liberarmos a turma, fomos até a coordenação da escola e informamos a
situação deste estudante, a qual se comprometeu de entrar em contato com a
família para verificar o que estava acontecendo.
A Segunda Sessão de Ensino terminou às 11h5min.
3.5 Atividade De Aprofundamento – 01/12/2017
As duas primeiras Sessões de Ensino nos proporcionaram uma aproximação
dos estudantes, gerando uma relação de confiança e conhecimento das dificuldades
de alguns deles, as quais se sobressaíram no tratamento dos registros dos
protocolos das atividades.
Para dar prosseguimento ao desenvolvimento da nossa Sequencia como
havíamos planejado, percebemos a necessidade de aprofundarmos os
conhecimentos referentes à Conceito e representação de Frações, para tanto
realizamos uma Atividade Extra, denominada “Atividade de Aprofundamento” para
que os estudantes pudessem se sentir mais seguros nas tarefas dos próximos
encontros.
Assim, no dia 01 de dezembro de 2017 realizamos o sexto encontro com a
turma, aplicando uma lista de Exercícios contendo cinco questões, as quais
respeitavam o modelo da Prova Brasil, justificado no fato de que estes alunos serão
submetidos à referida avaliação em algum momento de sua trajetória escolar.
Nosso encontro iniciou-se às 09h00min com a distribuição do protocolo da
Atividade, estavam presentes 16 alunos, os quais foram orientados que esta seria
uma tarefa para ser respondida individualmente.
Inicialmente, pensamos em um tempo de realização de pelo menos 40
minutos para a lista de exercícios, porém, dentro de 20 minutos, todos os estudantes
já haviam terminado a resolução e expressavam ter realizado com muita facilidade.
Quando percebemos que todos haviam terminado, apesar de serem questões
de múltipla escolha, pedimos que alguns estudantes (escolhidos aleatoriamente)
216
fossem até o quadro expor sua resolução e explicar como haviam chegado àquela
conclusão, o que foi aceito pela turma.
O Quadro 77 a seguir retrata o desempenho dos estudantes nesta atividade:
Quadro 77 – Desempenho dos estudantes na Atividade de Aprofundamento
QUESTÃO ACERTO (%) ERRO (%)
1 50,00% 50,00%
2 81,25% 18,75%
3 93,75% 6,25%
4 93,75% 6,25%
5 43,75% 56,25%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Na primeira questão, que solicitada a identificação de 2
3 de 6, na qual o
rendimento foi de 50% de acertos, os estudantes expressaram sentir dificuldade por
não ser uma fração unitária, marcando a opção “a” que trazia 1
3 de 6, ou seja 2, e
não a opção correta “c”, 4.
Figura 22: Q01 Atividade de Aprofundamento
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para a segunda questão, o índice de acerto (81,25%) foi satisfatório, tratava-
se da representação de uma fração cuja parte era 6 e o todo era 15, cuja solução
apresentava-se na opção “a”, 6
15 . Os estudantes sentiram bastante facilidade em
217
justificar a resposta. Para os que erraram, o destaque foi novamente para a inversão
dos termos, marcando a opção “d”, ou seja 15
6.
Figura 23: Q02 Atividade de Aprofundamento
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
No que se refere à terceira questão, apenas um aluno respondeu
equivocamente. A questão tratava da representação de um meio, opção “d”, na qual
93,75% dos participantes acertaram.
Figura 24: Q03 Atividade de Aprofundamento
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A quarta questão também teve um rendimento muito bom, atingindo 93,75%
da turma. Os alunos facilmente identificaram as frações correspondentes às partes
pintadas nas figuras, marcando a opção “a”, 1
2 e
1
4.
Figura 25: Q04 Atividade de Aprofundamento
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
218
A maior dificuldade encontrada pelos alunos foi na quinta questão, a qual
apenas 43,75% da turma conseguiu acertar. Esta questão solicita a identificação de
1
3 de 9 triângulos em uma figura, ou seja, opção “c”. A opção mais marcada foi “d”
que apresentava apenas um Triângulo. A justificativa dos alunos era corresponder
um triângulo com o numerador da Fração.
Figura 26: Q05 Atividade de Aprofundamento
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Após a explicação de cada um dos estudantes do porquê de sua resposta e
com o nosso auxilio, os estudantes esclareceram suas dúvidas e puderam superar
suas dificuldades com mais facilidade. Observamos então, que poderíamos avançar
com as demais Sessões de Ensino.
A Atividade de Aprofundamento finalizou às09h45min.
3.6 Sessão de ensino III
PARTE I – 06/12/17
A terceira Sessão de Ensino estava programada para acontecer no dia
04/12/17. Porém, por conta das condições da sala de aula (poeira, calor, acústica,
poluição sonora, etc), ficamos com a garganta prejudicada, necessitando prorrogar
este encontro para o dia 06 de Dezembro.
Em virtude dos horários disponíveis para trabalharmos com a nossa turma de
Experimentação, não foi possível realizar a Terceira Sessão de Ensino em um único
dia, sendo necessário dividi-la em três encontros diferentes, iniciando no dia
06/12/17, continuando no dia 07/12/17 e finalizando apenas no dia 11/12/17.
219
Esta atividade teve como objetivo levar o aluno a descobrir maneira de
identificar e encontrar Frações Equivalentes.
A primeira parte da Terceira Sessão foi realizada no dia 06 de Dezembro de
2017. Por volta das 7h25min da manhã, chegamos à escola e aguardamos até as
07h30min para a entrada dos alunos. Ao sinal sonoro que indica a entrada dos
alunos, nos dirigimos à sala de aula, em contrapartida, os estudantes só entraram na
sala por volta das 07h45min.
Os estudantes estavam bastante agitados e conversando bastante, pedimos
então que levassem em consideração nosso problema de saúde e que, por conta
disso, não poderíamos forçar e falar um pouco mais alto, e fizessem um semicírculo
em volta de nossa cadeira para que pudéssemos nos comunicar melhor naquele dia.
Todos os participantes colaboraram organizando as cadeiras, ficando em silêncio e
prestando atenção a tudo que falávamos.
Nas outras salas da escola estavam faltando cadeiras para os outros alunos,
os quais se dirigiam até a nossa sala para que pudessem pegar uma e retornar
apara sua sala de origem, fato que atrapalhou bastante a concentração de todos
neste dia, pois além de entrarem na sala, os outros alunos falavam alto e ficavam
fazendo perguntas para os nossos alunos, o que os distraia.
Com isso, perdemos um tempo que seria extremamente necessário para a
realização das tarefas desta Atividade. Assim, que a situação se acalmou,
distribuímos o roteiro da atividade e algumas folhas de papel A4 para a realização
dos procedimentos.
Quando todos estavam com o roteiro e o papel em mãos, pedimos que, de
uma tira da metade (divido ao meio no sentido do comprimento) do papel, os
estudantes obtivessem 1
2 e depois
2
4. Ao perceber que todos já haviam feito,
solicitamos que começassem a resolver o roteiro da atividade sobrepondo estas
frações e fazendo as anotações pedidas.
Os alunos estavam bastante concentrados e animados com a tarefa, porém,
neste momento, a aula foi interrompida pelo Professor de Matemática da turma para
dar alguns informes. Passado isso, os alunos voltaram a seguir as nossas
orientações com afinco.
220
Nesta etapa, dois alunos que não vinham demonstrando interesse em
participar das nossas atividades mostravam-se bastante empolgados, comparando
suas Frações e conversando sobre como tinham feito para obtê-la.
Como ponto negativo podemos destacar que alguns participantes não
conseguiam rasgar o papel de maneira que ficassem dividido igualmente e assim,
sentiam dificuldade em obter as Frações solicitadas. Estes estudantes,
possivelmente, pela frustração de não conseguir acompanhar os demais da turma,
começaram a conversar, trocar ofensas com outros estudantes e até falar palavras
de baixo calão (palavrões).
Este fato nos assustou, mas tentamos contornar conversando que aquele
vocabulário era inapropriado para aquele ambiente e que tentassem seguir as
normas de comportamento da escola, caso contrário precisaríamos comunicar a
coordenação.
Enquanto conversávamos o sinal sonoro tocou nos avisando que seria a troca
de horário, já eram 08h15min. Pedimos que todos guardassem o material que
retornaríamos no terceiro horário.
O terceiro horário, que iniciava às 09h00min estava à nossa disponibilidade
para darmos continuidade ao nosso trabalho. Ao voltarmos para a sala de aula,
pedimos que refizessem o semicírculo para retornarmos à resolução das tarefas do
roteiro.
Em relação à primeira questão, os estudantes sentiram dificuldade em
compreender a palavra “sobrepor”, por não saberem o seu significado. Ao
esclarecermos este significado, os estudantes mostraram-se empenhados em
terminar de resolver as demais tarefas.
Para amenizar a dificuldade e dar seguimento à Atividade, ao finalizar a
primeira questão, pedimos que respondessem em voz alta cada um dos itens desta
questão.
A primeira questão solicitava ao estudante que tentasse sobrepor dois quartos em
um meio e respondessem, primeiramente, se foi possível sobrepor; após, anotar o
que acontece e, por ultimo, perguntava se estas frações representavam a mesma
parte do todo e por quê.
Os resultados estão dispostos no Quadro 78 a seguir:
221
QUADRO 78 – REGISTROS DOS ALUNOS NA PRIMEIRA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO III
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Orienta
çã
o: T
ente
so
bre
por
dois
quart
os e
m u
m m
eio
.
Sim
E1, E2, E3, E4, E5,
E6, E7, E9, E11,
E13, E14, E16, E17,
E22 e E25.
Válida
Não
E12 e E19 Inválida
Não houve registro E10 e E23 Não houve registro
São do mesmo tamanho
E1, E2, E3, E4, E5,
E6, E7, E9, E11,
E13, E14, E16, E17,
E19, E22 e E25.
Válida
Nada
E12 Inválida
Não houve registro E10 e E23 Não houve registro
Sim, porque representa a mesma quantidade do
todo.
E1, E2, E3, E4, E5,
E6, E7, E9, E11,
e12, E13, E14, E16,
E17, E19, E22 e
E25.
Válida
Não houve registro E10 e E23 Não houve registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
No primeiro item, apenas E12 e E19 não conseguiram sobrepor, além
de E10 e E23 que não realizaram o registro na questão, os demais (15 estudantes)
conseguiram fazer a sobreposição da maneira esperada.
No segundo item, 16 estudantes conseguiram responder como esperávamos,
concluindo que um meio e dois quartos se sobrepõem, pois possuem o mesmo
222
tamanho. Ofereceram também como resposta: “Eles são iguais”, “Encaixa”, “fica
igualmente pois são do mesmo tamanho” e “os tamanhos são iguais”.
Os participantes E10 e E23 novamente não realizaram registro de suas
respostas, mas verbalmente demonstraram suas conclusões de maneira correta.
Apenas o E12 respondeu que “nada” acontecia ao sobrepor um meio e dois quartos,
continuando, assim como no primeiro item, a oferecer conclusões inválidas.
No terceiro item, com exceção de E10 e E23 que novamente deixaram em
branco, 17 dos 19 estudantes concluíram de maneira almejada, oferendo como
respostas “Sim, porque tem a mesma quantidade do todo” e “Sim, porque são
iguais”, o que foi bastante satisfatório, pois já no primeiro momento demonstravam
que estavam desenvolvendo os saberes necessários para alcançarmos o objetivo
desta atividade.
Quando estávamos finalizando a exposição das respostas junto aos
estudantes, fomos surpreendidos por dois estudantes que estavam se agredindo,
justificados em uma brincadeira violenta, necessitando a interrupção da Atividade
para solicitarmos que parassem com tal comportamento. Estes foram os mesmos
estudantes que não realizaram os registros na questão um desta Atividade.
Com a turma mais calma, pedimos que com o kit de Frações, separassem as
peças três sextos e um meio para que resolvessem a segunda questão.
Percebemos que esta manipulação de materiais chamava bastante atenção dos
estudantes e os concentravam mais.
A partir da segunda questão os estudantes conseguiram desenvolver sem
grandes dificuldades as demais tarefas, só argumentavam “está dando tudo a
mesma coisa!”, pois as conclusões eram bastante semelhantes para que eles
percebessem um padrão nas Frações Equivalentes.
Para a comparação de frações equivalentes, nas questões de 02 a 05, as
respostas variavam em “são iguais”, “são do mesmo tamanho”, “representam a
mesma quantidade do todo” ou “os tamanhos são iguais”, como esperávamos.
Na análise dos registros surgiram respostas em forma de fração, como na
questão 03 e na questão 05, nas quais, interpretamos que os estudantes
responderam com a intenção de dizer que ambas as frações representavam aquela
parte do todo, portanto, consideramos uma conclusão Correta e válida. Embora, na
questão 04, o E17, também tenha respondido com uma fração, mas de maneira
incorreta e incoerente, ou seja, inválida.
223
Diante disso, o Quadro 79 a seguir expõe as conclusões das questões de 02
a 06:
QUADRO 79 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS CONCLUSÕES DAS QUESTÕES DE 02 A 05 DA
SESSÃO DE ENSINO III
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Q02: T
en
te
sobre
por
três
sexto
s e
m u
m
meio
.
E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7,
E9, E11, E12, E13, E14,
E16, E17, E19, E22 e E25.
Válida
Não houve registro E10 e E23 Não houve registro
Q03: T
en
te s
obre
por
quatr
o
oitavos e
m u
m m
eio
.
E1, E2, E3, E4, E5, E7, E9,
E11, E12, E13, E16, E17,
E19, E22 e E25.
Válida
E6 e E14. Válida
Não houve registro E10 e E23 Não houve registro
Q04: T
en
te s
obre
por
cin
co
décim
os e
m u
m m
eio
.
E1, E2, E3, E4, E6, E7, E9,
E12, E13, E16, E19 e E22. Válida
E17 Inválida
Não houve registro E5, E10, E11, E14 E23 e
E25 Não houve registro
Q05: T
en
te s
obre
por
se
is d
oze a
vos e
m
um
meio
.
E1, E2, E4, E6, E7, E11, E13
e E22 Válida
E12, E16 e E17 Válida
E3 Inválida
224
Não houve registro E5, E9, E10, E14, E19, E23
e E25 Não houve registro
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Na questão 05, o E6 demonstrou seguir um pensamento coerente, mas no
momento do registro da conclusão respondeu de maneira inválida, acreditamos que
tenha se confundido, pois seu desenvolvimento na Atividade era bastante
satisfatório e com poucos erros.
No decorrer da resolução dos alunos, observamos que iam deixando de usar
o kit de Frações para comparar as peças, percebemos que alguns estudantes
desenhavam a fração na forma geométrica e comparavam. Para socializar as
respostas e suas estratégias de resolução, pedimos que alguns participantes fossem
até o quadro mostrar como haviam resolvido, mostrando suas estratégias.
Este momento foi o ápice deste encontro, pois pudemos observar a riqueza
nas discussões e formas diferentes que cada um encontrou para justificar que duas
frações são equivalentes, como por exemplo: desenhar um retângulo para
representar o todo e com canetas de cores diferentes, destacar cada uma das
frações e perceber que coincidiam, ou tomar uma coleção de objetos como um todo
e obter as Frações de cada questão, entre outras situações apresentadas.
Nosso horário terminou às 09h50min. Finalizamos recolhendo os roteiros de
Atividade e informando que continuaríamos no outro dia.
PARTE II – 07/12/17
A segunda parte da terceira Sessão de Ensino foi realizada no dia 07 de
Dezembro de 2017, na Sala de leitura, pois o Professor de Matemática da turma nos
sugeriu que utilizássemos um espaço mais calmo e isolado para o desenvolvimento
da Atividade.
A aula teve início às 10h10min, logo após o intervalo de lanche dos alunos. Por este
motivo, estavam bastante agitados e conversando bastante, pedimos então que
alguns alunos sentassem separados, formando quatro grandes grupos, e se
concentrassem para terminarmos aquela atividade.
Em frente à turma, com várias peças do kit de Frações nas mãos, fomos
resolvendo passo a passo as questões de 02 a 05, que eles haviam resolvido no
225
encontro anterior. Após essa exposição, distribuímos os roteiros de atividade e o kit
de Frações, pedindo que resolvessem a sexta questão.
Para facilitar o desenvolvimento do trabalho, visitamos cada um dos grupos
pedindo que atentassem às diferenças na sobreposição destas Frações com as das
questões anteriores, estipulando 15 minutos para nos oferecerem as respostas.
Após o tempo dado, conversamos com a turma e pedimos que cada grupo
manifestasse a sua resposta, mas manter a tenção e concentração dos estudantes
era difícil e desgastante, pois se distraiam facilmente e começavam a conversar uns
com os outros.
Para chamar a atenção, pedíamos que os participantes identificassem no kit
de Frações, algumas frações aleatórias, como: 1
2,
4
6, etc. Os alunos se empenhavam
em encontrar rapidamente e mostrar que sabiam quais frações eram.
Neste encontro a agitação dos estudantes dificultou muito o desenvolvimento
da atividade, pois apenas dois grupos mostravam-se empenhados de fato em
aprender.
Os registros da sexta questão estão dispostos no Quadro 80 a seguir:
QUADRO 80 – REGISTROS DOS ALUNOS NA SEXTA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO III
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Orienta
çã
o: te
nte
sobre
por
quatr
o s
exto
s e
m u
m m
eio
.
E1, E2, E3, E4, E5, E6,
E9, E11, E12, E13, E14,
E16, E17, E19, E23 e
E25.
Válida
E7 e E22. Inválida
Não houve registro E10 Não houve registro
E1, E2, E4, E5, E6, E9,
E11, E12, E13, E14, E16,
E17, E19, E23 e E25.
Válida
E3, E7 e E22. Inválida
Não houve registro E10 Não houve registro
226
E1, E2, E3, E4, E6, E7,
E9, E11, E12, E13, E16,
E17, E19 e E25.
Válida
E22 Inválida
Não houve registro E5, E10, E14 e E23 Não houve registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A sexta questão diferenciava das anteriores pois trazia duas Frações que não
eram equivalentes entre si e tínhamos como objetivo, neste momento, que os
participantes percebessem essa mudança no padrão das questões. Apenas os
estudantes E3, E7 e E22, acreditamos que por distração em copiar as respostas das
questões anteriores, responderam de maneira inesperada.
Como grande parte das conclusões foram válidas, acreditamos que até este
momento da Atividade foi bastante satisfatório. Para dar seguimento, formalizamos o
conceito de Frações equivalentes com os alunos perguntando a respeito do padrão
presente nas cinco primeiras questões em comparação com os resultados da sexta.
Os participantes expressaram, em coletivo, “há frações com termos diferentes
e que tem o mesmo tamanho, ou seja, a mesma parte do inteiro”. A partir dessa
conclusão, explicamos que essas Frações recebem a denominação de Frações
Equivalentes.
Neste momento fomos interrompidos pelo Professor de matemática da turma,
que entrou na sala para fazer a frequência do dia. Quando acabou, retornamos
pedindo que resolvessem as questões de 07 a 14, que solicitavam Exemplos de
Frações equivalentes e não equivalentes a outras frações.
Apesar da interrupção, os estudantes demonstravam interesse em continuar a
atividade, manipulavam os kits de Frações, discutiam entre si e argumentavam, pois
cada um tinha uma fração diferente para dar como resposta.
Encerramos este encontro com a exposição das respostas dos participantes.
Pedíamos que um deles falasse em voz alta sua resposta e perguntávamos se
algum havia encontrado resposta diferente.
227
Para as questões 07 e 08, que solicitava, respectivamente, Frações
equivalentes e não equivalentes a 1
2 , algumas respostas para a primeira foram: “
4
8,
12
24 ,
3
6 ,
10
20” , etc, e para a segunda: : “
1
8,
5
7 ,
3
5,
2
3”.
As demais questões foram desenvolvidas sem dificuldades.
Nosso horário encerrou às 11h15min, e não conseguimos terminar toda a
Atividade, por isso solicitamos que os estudantes não faltassem o nosso próximo
encontro para podermos finalizar este conteúdo de Equivalência de Frações.
PARTE III – 11/12/17
A terceira parte da terceira Sessão de Ensino foi realizada no dia 11 de
Dezembro de 2017, estavam presentes na sala de aula 18 alunos. Iniciamos às
10h40min, relembrando o que já havíamos feito sobre esta Atividade nos encontros
anteriores.
A turma estava bastante agitada e logo após nossa entrada, a coordenação
da escola retirou dois estudantes da sala pois haviam se envolvido em uma briga
durante o intervalo. Além destes, mais dois alunos foram liberados, restando apenas
14 participantes para este encontro.
Como havíamos formalizado o conceito de Frações Equivalentes, pedimos
que os participantes respondessem à questão 16, explicando o que são Frações
equivalentes. Como respostas, obtivemos “São Quando representam a mesma
quantidade do todo”, com exceção do E10, declarou não saber responder.
Para explicar, pegamos peças do kit de Frações e comparamos junto com o
participante, que logo depois verbalizou que já havia entendido, dizendo “São
quando tem o mesmo tamanho do todo”.
Após este momento, solicitamos a resolução das questões de 16 a 21, que
perguntavam que o estudante faria para de uma determinada fração obter outra e,
se as referidas Frações eram equivalentes.
O quadro abaixo destaca a respostas dos participantes nestas questões.
228
QUADRO 81 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 16 A 21 DA SESSÃO DE ENSINO III
(Continua)
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Q16
E1, E3, E4, E6, E7, E9, E10,
E12, E14, E16, E17 E19, E22
e E23.
Válida
Q17
E1, E3, E4, E6, E7, E9, E10,
E12, E14, E16, E17 E19, E22
e E23.
Válida
QUADRO 81 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 16 A 21 DA SESSÃO DE ENSINO III
(Conclusão)
Q18
E1, E3, E4, E6, E7, E9, E10,
E12, E14, E16, E17 E19, E22
e E23.
Válida
Q19
E4, E6, E9, E10, E12, E14,
E16, E17 E19 e E23. Válida
E7 Inválida
E1, E3, E22 Inválida
Q20
E4, E6, E7, E9, E10, E12,
E14, E16, E17 E19 e E23. Válida
E1, E3, E22 Inválida
229
Q21
E4, E6, E7, E9, E10, E12,
E14, E16, E17 E19 e E23. Válida
E1 e E3 Inválida
Sem registro E22 Sem registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Na questão 16, por unanimidade a turma respondeu que para a partir da
fração 1
4, obter a fração
2
8, devemos “multiplicar por dois” e essas são Frações
equivalentes. Para as questões 17 e 18, obtivemos o mesmo resultado, com a
resposta devemos “multiplicar por três”, “devemos multiplicar por quatro”,
respectivamente e essas “são Frações equivalentes” em ambas.
Para a Questão 19 entramos respostas bastante diferentes. Tratando-se de
uma questão que pretendia que o aluno percebesse que para obter uma Fração
Equivalente, além de multiplicar, também pode dividir os termos da Fração por um
mesmo número, já aguardávamos soluções semelhantes às que encontramos.
Os estudantes ofereceram como resposta “dividir por 3”, de maneira correta e,
“subtrair” e “não multiplicar” como respostas que consideramos inválidas, porém
previstas.
Este erro em confundir divisão com subtração persistiu nas questões 20 e 21,
então, fizemos uma exposição no quadro de obtenção de Frações equivalente
reduzindo seus termos, o que esclareceu a diferença entre subtrair e dividir os
termos da Fração.
Os estudantes declararam que confundiram o nome das operações e,
aproveitando a exposição, perguntamos então o que deveríamos fazer para obter
uma Fração equivalente a outra, em coro, a turma respondeu que deveríamos
“multiplicar por um número”. Com essa resposta, perguntamos “multiplica o que
exatamente?”, enquanto alguns estudantes se olhavam, outros respondiam “em
cima e embaixo”, uma das alunas falou “numerador e denominador!”.
Para construirmos uma resposta mais completa, perguntamos se bastava
multiplicar os termos da Fração por um número e, todos responderam que
230
poderíamos dividir também. Neste momento, pedimos que elaborassem uma
resposta a partir da nossa discussão para a questão 22.
O quadro abaixo destaca a respostas dos participantes nesta questão.
QUADRO 82 – REGISTROS DOS ALUNOS NA QUESTÃO 22 DA SESSÃO DE ENSINO III
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Dada u
ma F
ração, co
mo s
e
obté
m u
ma fra
çã
o
Equ
ivale
nte
a e
la?
E1, E3, E4, E6, E7,
E16, E17 e E19. Válida
Sem Registro E9, E10, E12, E14,
E22 e E23 Sem registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os estudantes já demonstravam cansaço e talvez por este motivo, alguns não
tenham realizado o registro na formalização da obtenção de Frações equivalentes
como gostaríamos. Porém, pra finalizar, pedimos que verbalizassem como se dá a
obtenção de Frações equivalentes, que responderam “Multiplicando ou dividindo o
numerador e o denominador por um mesmo número”.
Nesse momento, às 11h45min, alcançamos nosso objetivo para esta
atividade, recolhemos os roteiros, agradecemos e liberamos os alunos, finalizando a
Terceira Sessão de Ensino.
3.7 Sessão de Ensino IV
PARTE I
Em 13 de Dezembro de 2017 iniciamos a nossa Sessão de Ensino IV,
referente ao desenvolvimento do conteúdo de Simplificação de Frações com uma
conversa com os estudantes. Montamos um semicírculo e realizamos perguntas a
respeito de Equivalência de Frações, que havíamos trabalhado na Sessão Anterior.
Neste dia, tínhamos disponível para nossa Experimentação os três primeiros
horários, porém como os estudantes, comumente, se atrasavam, iniciamos a aula às
07h45min.
231
Os estudantes estavam bastante calmos neste encontro e mostravam-se
participativos respondendo verbalmente às perguntas feitas. Com 18 estudantes
presentes, separamos 4 grupos para o trabalho deste dia, distribuímos o material
(roteiro de atividade e kit de Frações) e autorizamos o início da resolução das
questões de 01 a 08.
Os membros dos grupos interagiam entre si e demonstravam bastante
interesse em responder ao que se pedia nas questões. Por diversas vezes nos
chamavam para ajuda-los a superar algumas dúvidas, uma bastante frequente se
tratava da obtenção de Frações Equivalentes através da divisão por um mesmo
número, pois os estudantes haviam fixado com mais propriedade a obtenção através
da multiplicação.
Apenas um dos grupos conversava bastante sobre coisas alheias à aula, o
que nos fez chama-los atenção e pedir que se concentrassem para resolver o que
havia sido pedido. De maneira bem rápida, os grupos resolveram as questões e
queriam expor suas respostas, pedindo para ir até o quadro escrever. Pedimos
então que cada grupo enviasse um estudante para ir até o quadro expor sua
resposta.
Neste momento, observamos que quando se tratava de obter frações
equivalentes pela multiplicação, o estudante desenvolvia facilmente, porém, quando
se tratava da obtenção pela divisão, sentia dificuldade e não conseguia realizar a
operação. Os auxiliamos lembrando de Múltiplos e divisores, o que facilitou a
realização das operações.
Algo que nos chamou bastante atenção neste momento foi a empatia da
turma, pois quando algum estudante não sabia ou estava tímido para responder, os
demais estudantes tentavam ajudar, dando dicas e indicando o que deviam fazer,
mostrando cooperação entre os estudantes.
A primeira questão solicitava frações equivalentes a 7
14 com termos menores,
a qual não houve muita dificuldade depois que lembramos que podemos obter
Frações equivalentes através da divisão. A partir de então as demais questões
foram desenvolvidas sem grandes dificuldades.
Após o registro destas questões, observamos que o grupo que estava
disperso no momento da resolução, não escreveu as respostas no roteiro da
Atividade até a 6ª questão. Aproximamos-nos do grupo e conversamos novamente,
232
falando da importância desse conhecimento para momentos futuros em outros
conteúdos.
Neste momento, com toda a turma atenta, explicamos que nestas questões
fizemos várias operações, de multiplicar ou dividir, para encontrar Frações
equivalentes, e quando esse procedimento obtém uma fração com termos menores
se chama simplificação de Frações.
Os registros dos estudantes das questões de 02 a 08 estão dispostos no
Quadro 83 a seguir:
QUADRO 83 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 02 A 08 DA SESSÃO DE ENSINO IV
(Continua)
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Q02
Multiplicar por 5
E5, E6, E7, E9, E10, E11,
E12, E13, E14, E17, E19,
E21, E22 e E24.
Válida
Não houve registro E1, E2, E3, E4, E18 Não houve
registo
QUADRO 83 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 02 A 08 DA SESSÃO DE ENSINO IV
(Continua)
Q03
Dividir por 6
E5, E6, E7, E9, E10, E12,
E14, E17, E22 e E24. Válida
Multiplica por 6
E11, E13, E14, E19, E21. Inválida
233
Não houve registro E1, E2, E3, E4, E18 Não houve
registo
Q04
E1, E2, E3, E4, E5, E6,
E7, E9, E10, E11, E12,
E13, E14, E17, E18, E19,
E22 e E24.
Válida
Não houve registro E21 Não houve
registro
Q05
Multiplica por 6
E5, E6, E12, E14, E17,
E18, E19, E21, E22 e
E24.
Válida
Divide por 7
E7, E9, E10 e E13 Inválida
Não houve registro E1, E2, E3, E4, E11, E18 Não houve
registro
QUADRO 83 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 02 A 08 DA SESSÃO DE ENSINO IV
(Conclusão)
Q06
multiplicar por 5
E5, E12, E14, E19 e E22 Inválida
Não houve registro E1, E2, E3, E4, E11, E18,
E21
Não houve
registo
Q07 / Q08
E1, E2, E3, E4, E5, E6,
E7, E9, E10, E11, E12,
E14, E17, E18, E19, E21,
E22 e E24.
Não houve registro E13 Não houve
registo
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
234
Os estudantes deram continuidade à Atividade resolvendo a 9ª e a 10ª questões.
Pra a 9ª questão, todos os grupos responderam corretamente, com exceção
do E21, que não respondeu todos os itens, realizando parcialmente a questão. Para
a questão 10, temos o Quadro 84:
QUADRO 84 – REGISTROS DOS ALUNOS NA QUESTÃO 10 SESSÃO DE ENSINO IV
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Com
o s
e s
implif
ica u
ma F
ração?
Dividindo ambos os termos por um mesmo número
E7, E10,E11, E12,
E13, E14, E19 Válida
Dividir os termos por o mesmo número
E6, E17, E22, E24 Válida
Dividido por termos menores
E1, E2, E5, E3, E4,
E18, E21. Váida
Não houve registro E9 Não houve
registo
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Apenas o E9 não realizou registro nesta questão, os demais, apesar de
oferecerem respostas diferentes, responderam de maneira válida e coerente,
mostrando compreensão dos procedimentos feitos nas questões anteriores.
No momento em que estávamos discutindo estas conclusões com os
estudantes, acabou o nosso horário e tivemos de finalizar este encontro sem
terminar esta Sessão de Ensino, às 09h45min.
PARTE II
No dia 14 de Dezembro de 2017 demos continuidade à Sessão de Ensino IV.
Chegamos no lócus da pesquisa por volta das 10h00min e nos dirigimos à sala de
aula de nossa turma de experimentação às 10h05min.
Iniciamos nosso encontro pedindo que os estudantes se organizassem
mesmos grupos da aula anterior para então, começarmos a comentar o que
havíamos feito na anteriormente dessa atividade.
235
Neste dia a turma estava bastante agitada e dispersa, uma maneira que
encontramos de atrair a atenção foi registrar um placar de acertos no quadro para os
grupos, o que empolgou os estudantes para participar da aula.
Dessa maneira, resolvemos a questão 11 sem dificuldades e formalizamos o
conceito de Fração irredutível.
Para as demais questões, pedíamos que cada grupo resolvesse uma delas no
quadro, o que gerou bastante interesse por todos para obter um ponto no placar.
Dessa forma, conseguimos resolver todas as tarefas que restavam, com participação
e bom aproveitamento.
A aula terminou às 11h15min.
3.8 Sessão De Ensino V
PARTE I
No dia 15 de Dezembro de 2017 realizamos nosso 13º encontro com os
participantes de nossa experimentação para realizar a Quinta Sessão de Ensino,
referente à atividade de Comparação de Frações, com o objetivo de levar o aluno a
descobrir maneira de comparar Frações.
A Sessão iniciou às 07h45min, com 15 minutos de atraso, pois os estudantes
entraram na escola as 07h30min, mas não se dirigiram de imediato para a sala de
aula. Neste dia estavam presentes 19 alunos, então pedimos que formassem os
mesmos grupos da aula anterior, formando assim três grupos de 5 estudantes e um
grupo de 4.
Para darmos inicio, conversamos sobre a atividade anterior, referente à
Simplificação de Frações, perguntando como deveríamos proceder para simplificar
uma determinada Fração. Os participantes demonstraram conhecimento sobre o
assunto e responderam positivamente às perguntas dirigidas a eles.
Para começarmos de fato a Atividade, chamamos dois estudantes à frente da
turma e perguntamos quem tinha maior altura entre os dois, para que todos
pudessem compreender o conceito de comparação e como iríamos utilizar naquela
aula.
Posteriormente, distribuímos um kit de Frações para cada grupo e pedimos
que pegassem as peças referentes a sextos, solicitando que separassem em uma
mão um sexto e na outra mão, dois sextos. Com as peças em mãos, perguntamos o
236
que era maior, um sexto ou dois sextos, que rapidamente foi respondido
corretamente.
Neste momento pudemos observar que os participantes faziam uma
sobreposição das peças e percebiam, dessa maneira, que uma peça era maior que
outra, e falavam “sobra um pedaço, então é maior!”.
Então, distribuímos os roteiros da Atividade e autorizamos a resolução das
questões de 01 a 05, observassem as respostas e escrevessem uma conclusão a
respeito. A turma inteira mostrava-se empenhada em resolver as tarefas,
conversando e discutindo internamente aos grupos.
Ao perceber que os grupos haviam terminado a resolução destas questões,
pedimos que um representante de cada grupo fosse até o quadro escrever sua
resposta.
Na comparação de Frações que possuem o mesmo denominador obtemos
100% de aproveitamento nas respostas dos estudantes, porém de três maneiras
diferentes. A maioria respondeu registrando a fração maior como observamos no
Quadro x acima. Os E14, E15 e E20 simbolizaram a Fração maior com o sinal de “+”
e a menor com o sinal de “-“ e os E17, E19 e E23 com os sinais > e <.
Quanto à conclusão dos estudantes sobre estas comparações temos que o
E15 não apresentou registro. O E12 registrou “temos que comparar os
denominadores”, o que consideramos parcialmente válido, visto que o participante
realizou corretamente a comparação das Frações, identificando a Fração maior,
dessa forma acreditamos que ele apenas confundiu o nome do termo a ser
comparado, trocando a palavra “numeradores” por “denominadores”.
Os registros dos estudantes estão dispostos no Quadro 85 a seguir:
QUADRO 85 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 01 A 05 DA SESSÃO DE ENSINO V
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Consid
ere
o m
esm
o
inte
iro e
respon
da:
E1, E2, E3, E5, E7,
E9, E10, E11, E12,
E13, E18, E21 e
E22.
Válida
237
E14, E15 e E20 Válida
E17, E19 e E23 Válida
Escre
va u
ma c
onclu
sã
o
E1, E2, E3, E5, E7,
E9, E10, E11, E13,
E14, E17, E18,
E19, E20, E21, E22
e E23.
Válida
E12 Parcialmente
Válida
Sem registro E15 Sem registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os demais estudantes responderam como esperávamos, expressando que
para compararmos duas ou mais frações de um mesmo inteiro, cujos
denominadores são iguais, basta compararmos seus numeradores.
No momento desta formalização, às 08h15min, o primeiro horário de aula
terminou. Pausamos nossa atividade, pois o segundo horário era de outra disciplina
e retornamos às 09h05min.
Diante disso, partimos então para um segundo momento desta Sessão de
Ensino, que diz respeito à comparação de Frações com denominadores diferentes,
pedindo que os estudantes resolvessem as questões de 06 a 09 e escrevessem
uma conclusão a respeito.
Ao observarmos a turma, notamos que os participantes estavam bastante
concentrados, porém algumas dúvidas surgiam, pois agora as Frações não tinham o
mesmo denominador. Já tínhamos previsto estas dúvidas.
238
Para conduzir os estudantes a uma solução, fomos até o quadro e colocamos
a Fração 1
2 , que estava presente na questão 06. Realizamos o seguinte diálogo:
Pesquisadora: Esta Fração possui o mesmo denominador que 1
3 ?
Estudantes: Não. São diferentes.
Pesquisadora: Como são diferentes, não podemos usar a mesma regra que
para denominadores iguais. Mas como faremos, então?
E17: Se tivessem o mesmo denominador, dava.
E5: Se a gente achar o mesmo denominador pras duas, dá.
Pesquisadora: Ótimo! O que devemos fazer para igualar estes
denominadores?
Neste momento a turma ficou em silêncio e foi muito gratificante ver todos os
participantes concentrados, pensando em uma solução. Até que o E5 mostrou uma
possibilidade válida.
E5: Tia, se a gente multiplicar, que nem a equivalente, por um número que dê
o mesmo pro 3?
Pedimos então, que ele fosse até o quadro para explicar melhor e o registro
foi: 1𝑥3
2𝑥3=
3
6 .
Pesquisadora: Mas ainda não é o denominador 3. O que fazemos com isso?
E5: Agora é transformar o 3 em 6 também. Daí dá pra comparar que nem as
outras.
Pedimos que ele escrevesse no quadro o que estava falando. O registro foi
1𝑥2
3𝑥2=
2
6.
Pesquisadora: E, o que fazemos agora?
E5: Só olhar o numerador. Aqui 3 é maior que 2 então um meio vai ser maior
que um terço.
239
Nesse momento parabenizamos o aluno e seu grupo que o ajudou no
desenvolvimento desta conclusão. A turma ficou agitada e empolgada com a
descoberta. Solicitamos que respondessem as demais questões e escrevessem a
conclusão.
QUADRO 86 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 06 A 09 DA SESSÃO DE ENSINO V
PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Consid
ere
o m
esm
o inte
iro e
respon
da:
E1, E2, E3, E5, E9,
E10, E17, E18, E19,
E20, E21, E22 e E23
Válida
E7, E11, E12 e E13 Parcialmente
Válida
E14 e E15 Parcialmente
Válida
Escre
va u
ma c
onclu
sã
o
Igualar os denominadores e comparar os numeradores
E1, E2, E3, E5, E9,
E11, E12, E13,
E14, E17, E18,
E19, E20, E21, E22
e E23
Válida
Comparar os denominadores
E10 Inválida
Sem registro E7 e E15 Sem registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os estudantes E7, E11, E12 e E13 acertaram algumas questões e erraram os
resultados de outras, sendo suas respostas parcialmente válidas.
240
Os registros de E14 e E15 nos fazem pensar que eles compreenderam que
deveriam encontrar Frações Equivalentes, mas se perderam nos cálculos, obtendo
respostas incompletas, portanto, consideramos respostas parcialmente válidas.
Quanto às conclusões, os E7 e E15 não realizaram registro e o E10 apenas
escreveu “comparar os denominadores”, respondendo de maneira inválida. Para os
demais participantes, as respostas foram registradas de maneira válida.
Para dar prosseguimento, fizemos a pergunta da questão 10: Quem é maior, 1
3
ou 1
2 ?
Os estudantes logo responderam 1
2 . Apenas um dos grupos, compostos pelos
E1, E3, E5, E15 e E17 responderam que dependia, perguntamos o porquê e a
resposta foi: “sempre usamos as peças do kit de Frações, mas se a gente usar ou
um meio e um terço de tamanho diferente não vai dar pra dizer.”.
Neste momento pedimos a atenção de todos e conversamos que para
realizarmos a comparação entre duas ou mais Frações devemos atentar ao inteiro
considerado, pois se considerarmos inteiros diferentes, 1
3 pode ser maior que
1
2.
Para que os estudantes percebessem essa ponderação, solicitamos que
respondessem as questões de 11 a 16 e preenchessem o quadro, que conseguiram
resolver as questões, porém na hora do preenchimento do quadro terminou nosso
horário de aula, às 10h50min.
PARTE II
No dia 18 de dezembro de 2017 demos continuidade à Sessão de Ensino V.
O horário previsto para o inicio de nossa aula neste dia era às 09h00min,
porém quando chegamos na turma os estudantes haviam trocado de sala a pedido
da professora da aula anterior. Esse movimento de voltar para a sala original,
demandou tempo para organizá-los e concentrá-los para darmos início ao nosso
trabalho.
Iniciamos relembrando os conceitos trabalhados no encontro anterior e
devolvendo os roteiros de atividade para cada um dos estudantes, orientando-os a
terminar o preenchimento do quadro com as respostas das questões de 11 a 16.
241
Como já haviam resolvido as questões na aula anterior, o preenchimento do
quadro foi bastante rápido. Os registros estão dispostos no Quadro 87 a seguir.
QUADRO 87 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA SESSÃO DE ENSINO V
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E5,
E7, E8, E11, E12,
E13, E14, E16, E18,
E19, E20, E22, E23,
E24
Válida
E17
Inválida
(dados incorretos,
preenchimento
incompleto)
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Após a socialização dos resultados, pedimos que continuassem a resolução
até a questão 19. Os estudantes demonstravam interesse em resolver, porém, às
09h45min, terminou nosso primeiro horário.
Para voltarmos a sala, aguardamos até o sinal sonoro, às 10h10min. Após a
volta do intervalo, aguardamos até que todos terminassem a resolução e corrigimos
junto com estudantes todas as questões restantes. Neste momento, os estudantes
respondiam verbalmente às questões de maneira correta, formalizando a
comparação de Frações, com bastante atenção às explicações.
Após discutirmos essas conclusões, finalizamos esta Sessão de Ensino de
Comparação de fração às 10h55min.
O Quadro 88 traz os registros dos estudantes nas Questões 18 e 19:
242
QUADRO 88 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO DA SESSÃO DE ENSINO V
QUESTÃO/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E5,
E7, E8, E11, E12,
E13, E14, E16, E17,
E18, E19, E20, E22,
E23, E24
Válida
E1
Inválida
(dados incorretos,
preenchimento
incompleto)
Sem registro E17, E18 Sem registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
3.9 Sessão de Ensino VI
No dia 20 de Dezembro de 2017 tivemos nosso 14º encontro com a turma de
nossa experimentação para realizar a Sexta Sessão de Ensino, referente à atividade
de Adição e Subtração de Frações com denominadores iguais, cujo objetivo era de
Levar o aluno a descobrir maneira de somar Frações com o mesmo denominador,
realizando a elaboração da regra a partir da resolução de problemas com o auxílio
do kit de Frações.
Os horários disponíveis para o nosso trabalho foram os primeiros, mas como
já citamos em outros momentos, só conseguimos iniciar por volta das 07h45min por
causa do atraso na entrada dos estudantes e a agitação com que chegam. Iniciamos
com uma conversa sobre o encontro anterior e pedimos que formassem grupos, que
diante dos 23 participantes presentes, ficaram com a seguinte configuração: 3
grupos de 4 alunos e 1 grupo de 5 alunos.
Para melhor exposição deste encontro, vamos dividi-lo em duas partes, a
primeira se refere à operação de Adição de Frações com o mesmo denominador e a
segunda à operação de Subtração de Frações com o mesmo denominador.
Parte I: Adição de Frações com o mesmo Denominador
Com os grupos organizados, distribuímos um roteiro de Atividade para cada
estudante, bem como um kit de Frações para cada grupo. Solicitamos que não
243
escrevessem nada, apenas prestassem atenção, pois íamos resolver a Questão
Inicial com o uso do kit de Frações para que eles tentassem resolver as questões de
01 a 03 da mesma maneira.
A Questão Inicial relava o seguinte problema: “Matilde repartiu um bolo em 8
pedaços. Ela comeu 1
8 e Rodolfo também comeu
1
8 do bolo. Que fração
representa a parte do bolo que Matilde e Rodolfo comeram juntos?”. Com o kit de
Frações em mãos, pegamos duas peças referentes a 1
8 e as aproximamos,
colocando uma do lado da outra, simbolizando a adição e respondendo à questão
inicial, 2
8.
Ao terminar a explicação, os grupos se reuniram bastante concentrados, e em
poucos minutos já nos chamavam para dizer que haviam acabado de responder as
questões. Observamos alguns alunos indo a outros grupos para ajudar.
Quando percebemos que haviam terminado, caminhamos de grupo em grupo
para verificar se de fato tinham resolvido todas as questões. De maneira
surpreendente, alguns estudantes não só tinham respondido às questões como já
haviam preenchido o quadro.
Os participantes não demonstraram dificuldades em resolver as questões e
nem no preenchimento do quadro, a qual está disponível os registros no quadro 89 a
seguir:
QUADRO 89 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DE ADIÇÃO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE
ENSINO VI
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7,
E9, E11, E12, E13, E14, E15,
E16, E17, E18, E19, E20,
E21, E22, E23, E24 e E25.
Válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
244
A totalidade dos participantes presentes neste encontro responderam as questões
corretamente e preencheram a tabela também de forma correta, apresentando 100%
de Validade.
Dessa maneira, pedimos que os estudantes escrevessem uma conclusão que
descrevesse como devemos fazer para somar frações que possuem o mesmo
denominador. Os registros estão dispostos no quadro 90 a seguir:
QUADRO 90 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA ADIÇÃO NA SESSÃO DE
ENSINO VI
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
Devemos somar os numeradores e repetir os
denominadores
E1, E2, E3, E4, E5, E7, E9,
E11, E12, E13, E14, E15,
E16, E17, E18, E19, E20,
E21, E22, E23, E24 e E25.
Válida
Somar os numeradores, coloca os denominadores e
repete os denominadores
E6 Válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
No momento da escrita da conclusão, alguns alunos não compreenderam
muito bem o que havíamos pedido, solicitando que esclarecêssemos. Voltamos a
cada uma das questões e perguntamos o que tinham feito para encontrar aquele
resultado, depois fomos até a tabela preenchida e pedimos que observassem o que
acontecia com as frações quando realizamos a adição. Antes que terminássemos de
explicar, os estudantes já sinalizavam ter entendido.
Para a elaboração da conclusão desta atividade, consideramos que a maioria
dos estudantes registrou de maneira correta e também montou a fórmula
corretamente, apenas a E6 escreveu sua conclusão de maneira confusa, mas dentro
de uma coerência com o que havíamos esperado, portanto, válida.
Seguimos então para a Segunda parte desta Sessão de Ensino.
245
Parte II: Subtração de Frações com o mesmo Denominador
Com os mesmos grupos, pedimos que atentassem ao que íamos explicar.
Com as peças referentes a 1
6 resolvemos, de maneira semelhante como fizemos a
Adição, a Questão Inicial de Subtração, que relava o seguinte problema: “ Dona
Benta repartiu uma torta e deu 4
6 para seus sobrinhos Felipe e Tiago. Felipe ganhou
1
6 da torta. Que fração da torta Tiago ganhou?”. Com as peças do kit de Frações em
mãos, pegamos quatro peças referentes a 1
6 , montando assim,
4
6 e, destas, separei
uma peça, representando a subtração de 1
6 . Dessa maneira, ficaram apenas 3
peças do kit, ou seja, 3
6, respondendo à questão inicial.
Antes mesmo de terminar a explicação, os grupos já conversavam entre si e
alguns estudantes já iniciavam a resolução das questões de 04 a 06. Em poucos
minutos já nos chamavam para dizer que haviam acabado de responder as questões
e preencher o quadro.
QUADRO 91 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DE SUBTRAÇÃO DA
SESSÃO DE ENSINO VI
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E5, E6,
E7, E9, E11, E12, E13,
E14, E15, E16, E17,
E18, E19, E20, E21,
E22, E23, E24 e E25.
Válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Todos os participantes presentes neste encontro responderam as questões
corretamente e preencheram a tabela também de forma correta, apresentando 100%
de Validade também na segunda parte.
246
Dessa maneira, pedimos que os estudantes escrevessem uma conclusão que
descrevesse como devemos fazer para subtrair frações que possuem o mesmo
denominador. Os registros estão dispostos no quadro 92 a seguir:
QUADRO 92 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA SUBTRAÇÃO NA SESSÃO
DE ENSINO VI
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E6, E7,
E9, E11, E12, E13, E14,
E15, E16, E17, E18,
E19, E20, E21, E22,
E23, E24 e E25.
Válida
E5
Parcialmente Válida
(Não apresentou
conclusão, porém a
regra está correta)
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os estudantes realizaram a escrita da conclusão com muita facilidade, com
entusiasmo, demonstrando compreensão da Atividade e quanto à regra, todos os
estudantes conseguiram escrever sem dificuldade, concluindo esta atividade
alcançando o objetivo com êxito.
Um fato importante que foi observado é que os estudantes fizeram as
questões de subtração sem ajuda do kit de Frações, mesmo estando autorizados a
utilizar.
Esta sessão foi finalizada às 09h00min.
3.10 Sessão De Ensino VIII
A Oitava Sessão de Ensino estava programada para acontecer no dia
21/12/17, nos dois últimos horários, conforme o professor de matemática da turma
havia disponibilizado. Já estávamos na escola aguardando o horário, porém, por
conta do período de avaliações da escola, uma professora de outra disciplina da
247
turma utilizou os horários para ministrar aula de revisão, o que nos privou de realizar
nosso experimento neste dia, tivemos então de reorganizar nosso planejamento.
Em conversa com o professor de Matemática da turma, fomos informados dos
conteúdos que iriam estar presentes na Prova que seria instrumento de Avaliação da
turma, não estando entre eles as operações de adição e subtração de Frações com
denominadores diferentes (correspondente a Sessão de Ensino VII), por isso
optamos em adiar a Atividade deste conteúdo e antecipar a Sessão de Ensino
referente à Multiplicação de Frações, conteúdo que seria contemplado na prova e
que ainda não havíamos trabalhado.
A Oitava Sessão de Ensino foi realizada no dia 22 de Dezembro de 2017 e
estavam presentes 23 estudantes, o objetivo para esta Atividade era levar o aluno a
descobrir maneira de Multiplicar Frações, realizando a elaboração da regra a partir
da resolução de problemas. Por volta das 7h25min da manhã, chegamos à escola,
pois o professor de Matemática da turma solicitou que ajudássemos a aplicar as
provas referentes à quarta avaliação da escola, e assim, por volta das 09h10min,
com a finalização da prova pelos alunos, entregamos as orientações para o Trabalho
de Matemática (instrumento de avaliação parcial), conforme havíamos combinado
com o referido professor.
Ao entregarem as provas os estudantes ficavam aguardando no lado de fora
da sala de aula, por isso tivemos de chama-los e reorganizá-los para dar início a
atividade, os quais mostravam-se chateados pois os alunos das demais turmas
haviam sido liberados após a prova.
Após organizá-los, conversamos sobre a importância daquela atividade para
um bom desempenho na Avaliação escolar, que seria uma semana depois, então às
09h20min iniciamos a distribuição dos roteiros e papéis para a realização da
Atividade.
Enquanto os estudantes observavam, íamos explicando através da dobradura
do papel como poderíamos resolver a questão Inicial do roteiro da Atividade. Ao
terminar a resolução, pedimos que os participantes, utilizando o exemplo da
dobradura do papel, resolvessem as questões de 01 a 06 e posteriormente
completassem o quadro que ficava abaixo das questões no roteiro.
Todos os alunos observaram a explicação com bastante atenção e
perguntavam se já podiam fazer, acreditamos que por estar ansiosos por fazer a
dobradura. Algumas interferências externas como outros alunos que ficavam
248
curiosos em saber o que a turma estava fazendo, ou até mesmo funcionários que
vinham perguntar a todo momento porque a turma não havia sido liberada com as
demais, nos atrapalharam e distraiam alguns alunos.
A turma aceitou positivamente a atividade, observamos que haviam
estudantes, como E7 que fizeram apenas a primeira questão com a dobradura e
começaram a resolver as demais sem fazer o uso desta, compreendendo o
raciocínio necessário para a resolução daqueles tipos de questões.
Para os estudantes resolverem com calma as questões, observamos e
aguardamos até que a maioria solucionasse a terceira questão para intervir e
perguntar se havia alguma dúvida, e em coro responderam que era fácil, que
bastava “multiplicar tudo”. Na ocasião, pedimos que parassem a resolução e
prestassem atenção, então pedimos que explicassem como se dava essa
multiplicação.
Neste momento o estudante E5 foi até o quadro, escreveu as frações da
primeira questão e disse: “multiplica os de cima e depois os de baixo”. Perguntamos
então qual era o nome de “os de cima”, e todos responderam: “numeradores e os de
baixo denominadores”.
Então, para tornar mais objetiva a construção do raciocínio, perguntamos de
que maneira resolveríamos aquelas questões, os estudantes responderam
“multiplica numerador com numerador e denominador com denominador”.
Gesticulando positivamente, pedimos que terminassem as demais questões.
De maneira muito rápida todos iam resolvendo as questões e preenchendo o
quadro, apenas o estudante E18 recusava-se em fazer ou responder qualquer coisa,
chegando a jogar o roteiro da atividade no chão, tentamos dialogar e ele não nos
respondia nada, apenas que queria ir embora.
Depois de preencherem o quadro sem apresentar dificuldade, pedimos a 6
alunos irem até o quadro apresentar suas respostas. Estes momentos foram
bastante rápidos, pois os estudantes não pareciam ter dúvidas do que respondiam.
A maioria dos estudantes (19 de 23) preencheu a tabela de maneira correta,
compreendendo que a operação utilizada era a multiplicação de Frações. Podemos
notar que três alunos que reclamaram pela aula e diziam estar com pressa de ir
embora da escola, preencheram o quadro de maneira incompleta e não registraram
o nome da operação realizada, porém há o registro dos cálculos realizados nas
questões, todos corretos, por esse motivo consideramos suas respostas
249
parcialmente válidas. O estudante E18, como já citamos, se recusou em realizar as
tarefas, não realizando registro algum no roteiro da Atividade.
Esta atividade de preencher esta tabela teve como objetivo descobrir uma
relação entre os termos das frações e seu produto. Após a socialização do
preenchimento do quadro com as respostas das questões, pedimos aos alunos para
escreverem o que eles haviam feito para resolver as questões, e mesmo sem pedir
que falassem alguns disseram: “multiplicar os termos”, dissemos então que tinham
condições de oferecer uma resposta mais completar.
A seguir o quadro 93 apresenta os registros do roteiro da Atividade:
QUADRO 93 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE ENSINO VIII
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E5, E6,
E7, E8, E10, E11, E12,
E13, E16, E17, E19,
E21, E22, E23 e E25
Válida
E9, E14 e E20 Parcialmente
Válida
Não houve registro E18 Não houve
registro
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Na ocasião, um dos alunos pediu para ir até o quadro colocar sua opinião, e
escreveu “devemos multiplicar seus denominadores”. A turma disse que estava
errado, então pedimos que alguém viesse até o quadro para corrigir, caso estivesse
250
errado. A estudante E1 foi até o quadro e escreveu: “multiplicar os termos,
numerador com numerador e denominador com denominador!”.
Dessa forma, solicitamos que cada um escrevesse em seu roteiro uma
conclusão com suas próprias palavras, bem como tentassem montar uma fórmula
que generalizasse qualquer multiplicação de Frações.
Os registros dos alunos estão dispostos no quadro 94 a seguir:
QUADRO 94 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA SESSÃO DE ENSINO VIII
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E6, E7, E11,
E12, E13, E14, E17, E21, E22,
E23 e E25
Válida
E5, E9, E16 e E19.
Parcialmente
Válida
(Conclusão
incompleta,
Fórmula Correta)
E8 e E20
Inválida
(Conclusão
Incompleta,
Fórmula
Incorreta)
Não houve registro E10 e E18 Não houve
registro
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Na elaboração da regra houve bastante discussão entre os alunos,
precisando nossa intervenção. Então, o estudante E5 pediu para ir ao quadro
escrever a regra. Ao registrar de maneira correta foi aplaudido pela turma, o que nos
gerou satisfação.
Assim, recolhemos os roteiros e finalizamos a Atividade às 10h10min.
251
3.11 Sessão De Ensino IX
No dia 26 de dezembro realizamos nossa Sessão de Ensino IX referente ao
conteúdo de Divisão de Frações, cujo objetivo era levar o aluno a descobrir maneira
de Dividir Frações, realizando a elaboração da regra a partir da resolução de
problemas. Chegamos ao lócus por volta das 07h25min e aguardamos o sinal
sonoro para nos dirigirmos até a sala de aula.
Iniciamos nosso 16º encontro com uma conversa sobre o que já havíamos
estudado até então, comentando todas as Atividades que já tínhamos realizado e
percebemos que os estudantes respondiam com interesse e atenção.
Este era o último conteúdo que os participantes iriam estudar antes de passar
pela prova de quarta avaliação, por isso pedimos que doassem o máximo de
atenção para aquele encontro.
Neste dia estavam presentes 20 estudantes, que foram divididos em quatro
grupos de cinco alunos para que pudéssemos ter um controle maior da turma
enquanto desenvolvíamos a atividade. Após organizá-los, iniciamos a distribuição
dos roteiros e papéis para a realização da Atividade.
Enquanto os estudantes observavam, íamos explicando através da dobradura
do papel como poderíamos resolver a questão Inicial do roteiro da Atividade. Ao
terminar a resolução, pedimos que os participantes, utilizando o exemplo da
dobradura do papel, resolvessem as questões de 01 a 03 e posteriormente
completassem o quadro que ficava abaixo das questões no roteiro.
Os estudantes observaram a explicação com bastante atenção, porém
declararam que sentiam dificuldade em fazer a tabuada de dividir. A turma aceitou
positivamente a atividade e demonstraram interesse em resolver as questões.
Para os estudantes resolverem com calma as questões, observamos e
aguardamos até que a maioria solucionasse a primeira questão para perguntar se
havia alguma dúvida, a resposta foi de que era “fácil contar os quadradinhos do
papel”.
De maneira muito rápida todos iam resolvendo as questões e preenchendo o
quadro, pedimos então que um aluno de cada grupo fosse até o quadro apresentar
suas respostas. Estes momentos foram bastante rápidos, pois os estudantes não
pareciam ter dúvidas do que respondiam.
252
Toda a turma conseguiu preencher o quadro de maneira correta,
compreendendo que a operação utilizada era a Divisão de Frações. Esta atividade
de preencher esta tabela teve como objetivo descobrir uma relação entre os termos
das frações e seu quociente. Após a socialização do preenchimento do quadro com
as respostas das questões, pedimos aos alunos para escreverem o que eles haviam
feito para resolver as questões, e mesmo sem pedir que falassem alguns disseram:
“multiplicar os termos”, dissemos então que precisávamos resolver as três questões
do bloco dois para elaborarmos uma resposta mais completa.
A seguir o quadro 95 apresenta os registros do roteiro da Atividade:
QUADRO 95 – REGISTROS DOS ALUNOS NO PRIMEIRO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE
ENSINO IX
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8,
E9, E11, E12, E13, E14, E15,
E17, E19, E21, E22, E23, E24
Válida
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Dessa forma, solicitamos que resolvessem as questões e preenchessem o
Quadro II para então começarmos a elaborar uma conclusão sobre a operação de
divisão de Frações.
Os registros dos alunos estão dispostos no quadro 96 a seguir:
253
QUADRO 96 – REGISTROS DOS ALUNOS NO SEGUNDO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE
ENSINO IX
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E3, E4, E5, E6, E7, E8,
E9, E11, E12, E13, E14, E15,
E17, E19, E21, E22, E23, E24
Válida
Não houve registro E2 Não houve registro
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Sem qualquer dificuldade, os estudantes preencheram de maneira satisfatória
o segundo quadro, apenas o E2 não realizou o registro, porém resolveu duas das
três questões deste segundo bloco.
Um dos participantes achou estranhos os resultados encontrados e perguntou
“Como pode o denominador dessas frações ser menor que o numerador?”. Então,
aproveitamos para conversar sobre os tipos de Frações, explicamos sobre Frações
Próprias e Impróprias, oferecendo exemplos no quadro.
Os estudantes também notaram que, diferente do primeiro quadro, agora o
resultado da divisão havia dado uma terceira Fração. Perguntamos então se o
resultado da divisão de Frações sempre dá uma outra Fração.
A turma ficou em silencio e percebemos que cada grupo discutia entre si
antes de verbalizar uma resposta. Pedimos então que resolvessem as questões do
Bloco três, preenchessem o quadro para que pudéssemos chegar a uma conclusão.
Para os registros do quadro do bloco três, temos o Quadro 97 a seguir:
QUADRO 97 – REGISTROS DOS ALUNOS NO TERCEIRO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE
ENSINO IX
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E2, E4, E5, E7, E8, E9,
E11, E12, E13, E14, E15,
E17, E21, E22, E24
Válida
254
E3, E6, E19 e E23
Parcialmente Válida
(Dados preenchidos
de maneira
incompleta, cálculo
parcialmente
correto)
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
A turma respondeu facilmente às questões e preencheu rapidamente o
quadro do terceiro bloco de questões sobre divisão. Ao final, um dos estudantes
levantou a mão e disse “deu fração de novo”.
Após a finalização da resolução por todos os grupos, pedimos que cada um
dissesse sua resposta e o porquê daquele resultado. Dessa maneira, sem
demonstrar dificuldade, os estudantes iam falando corretamente as respostas. No
entanto, um dos grupos (E3, E6, E19 e E23), erraram o cálculo da última questão,
porém, mesmo antes que pudéssemos explicar, os próprios detectaram o erro e
falaram a resposta de maneira correta.
Logo após essa socialização, pedimos que os participantes observassem o
preenchimento dos três quadros e elaborassem uma conclusão e uma fórmula que
sintetizasse a operação de divisão de Frações.
Para os registros da conclusão e regra da divisão de Frações, temos o Quadro 98 a
seguir:
QUADRO 98 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E REGRA DA SESSÃO DE ENSINO IX
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E3, E4, E7, E8, E9,
E11, E12, E13, E15, E17,
E19, E21, E22 e E23.
Válida
255
E2, E5, E6, E14 e E24
Parcialmente
Válida (apresentou
apenas fórmula)
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Para finalizar este encontro, socializamos a conclusão e a regra de cada
grupo. Alguns participantes disseram estar cansados e não preencheram
corretamente o roteiro, deixando a conclusão ou a regra em branco, como podemos
perceber com o Quadro 98 acima.
Neste momento a turma demonstrou ter apreendido o procedimento para
realizar a divisão de frações e conseguiu elaborar uma regra para tal operação,
alcançando o objetivo desta Sessão de ensino, finalizando com êxito mais um
encontro, às 10h00min.
3.12 O 17º Encontro
No dia 28 de dezembro de 2017 realizamos o nosso 17º encontro com a
nossa turma de Experimentação. Não denominamos este Encontro de Sessão de
Ensino, pois o objetivo deste dia era, na realidade, proporcionar aos estudantes uma
visão geral de todos os conteúdos que havíamos trabalhado até então, já que a
prova de 4ª avaliação seria aplicada no dia seguinte.
Em conversa com o Professor de Matemática da disciplina, coletamos
informações a respeito dos conteúdos presentes na prova e, juntamente com este,
fizemos uma aula expositiva de 45 minutos para explorar possíveis questões que
estariam presentes no instrumento de Avaliação.
Nossa aula iniciou às 10h00min e finalizou às 10h45min.
3.13 Sessão De Ensino VII
No dia 04 de Janeiro de 2018 realizamos nossa Sessão de Ensino VII alusiva
ao conteúdo de Adição e Subtração de Frações com denominadores diferentes, cujo
objetivo era levar o aluno a descobrir maneira de Somar e Subtrair Frações com
denominadores diferentes, realizando a elaboração da regra a partir da resolução de
256
problemas. Chegamos ao lócus por volta das 07h20min e aguardamos o sinal
sonoro para nos dirigirmos até a sala de aula.
Para este dia realizamos três momentos da nossa Experimentação: o primeiro
momento, das 07h30min às 08h40min, foi referente à Sessão de Ensino VII; o
segundo diz respeito à aplicação do Pós-teste, das 08h45min às 09h45min e; o
terceiro foi um diálogo seguido de lanche com os estudantes.
Iniciamos nosso 18º encontro com uma conversa sobre o que já havíamos
aprendido até então. Para isso, comentamos todas as Atividades que já tínhamos
realizado e percebemos que os estudantes respondiam com interesse e atenção,
mas ainda apresentavam erros de cálculo (tabuada) nas operações de multiplicação
e divisão. Aproveitamos também para conversar sobre como tinha sido a prova dos
alunos, pois havia sido no dia anterior.
Neste dia estavam presentes somente 15 estudantes, possivelmente porque
as provas e aulas das demais disciplinas já haviam encerrado, a turma estava de
férias e os mesmos foram apenas por conta da nossa Experimentação.
O objetivo deste encontro foi institucionalizar as regras gerais das operações
de adição subtração de frações com denominadores diferentes.
Para melhor exposição deste encontro, vamos dividi-lo em duas partes, a
primeira se refere à Adição de Frações com denominadores diferentes e a segunda
à Subtração de Frações com denominadores diferentes.
Parte I: Adição de Frações com Denominadores diferentes
Para a realização do trabalho, dividimos a turma em quatro grupos (três de
quatro estudantes e um trio) e, por volta das 07h45min, distribuímos os roteiros da
Atividade e folhas de papel A4 para cada dos participantes. Neste momento pedimos
que os estudantes não resolvessem ainda e que aguardassem a explicação da
questão inicial.
Com o uso de dobraduras, obtivemos um meio de um inteiro e posteriormente
um terço deste mesmo inteiro, pois a questão inicial solicitava: “Numa fazenda em
Castanhal, 1
2 da área total foi destinada a plantação de milho, enquanto
1
3 da área
total foi destinada ao cultivo de frutas diversas. Qual é a Fração da área total da
fazenda que está ocupada com a cultura de milho e frutas?”.
257
Para solucionar, mostramos a dobradura que após a obtenção de 12 e
1
3 ,
percebemos que o todo ficou divido em sextos. Assim, juntando a parte que
correspondia a1
2 e a
1
3 , obtínhamos
5
6.
Dessa forma, solicitamos que os estudantes tentassem resolver as questões
de 01 a 04 do roteiro e preenchessem o quadro com as respostas obtidas.
Os participantes demonstravam muita concentração e conversavam com os
colegas do grupo para tentar solucionar as questões. Alguns sentiam dificuldade em
fazer a dobradura no papel e solicitavam nossa ajuda.
Enquanto caminhávamos de grupo em grupo para observar a forma como
estavam resolvendo, dois grupos, sem qualquer auxilio, conseguiram terminar as
questões e pediram para verificar as respostas.
Surpresos com a situação, pedimos que estes grupos aguardassem um
pouco para que os demais pudessem terminar, o que também não demorou muito
tempo. Solicitamos um representante de cada grupo para que fosse até o quadro
expor sua resposta e modo de resolução.
As equipes foram ao quadro e responderam as questões facilmente e
explicando os procedimentos que haviam utilizado para a resolução. Apenas na
quarta questão houve um pouco de dificuldade na dobradura do papel e não
conseguiram chegar a um resultado para apresentar.
Com o uso da dobradura explicamos a quarta questão e pedimos que
registrassem os resultados no quadro do roteiro, os quais estão dispostos a seguir:
QUADRO 99 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE ENSINO VII
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E1, E3, E4, E5, E6, E7, E8,
E9, E10, E11, E12, E14,
E15, E16 e E19.
Válida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
258
A totalidade dos participantes presentes neste encontro responderam as
questões corretamente e preencheram o quadro também de forma correta,
apresentando 100% de Validade.
Então, pedimos que os estudantes escrevessem uma conclusão que
descrevesse como devemos fazer para somar frações que possuem denominadores
diferentes. Os registros estão dispostos no quadro 100 a seguir:
QUADRO 100 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA ADIÇÃO NA SESSÃO
DE ENSINO VII
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E7, E11 e E16 Válida
E1, E3, E4, E5, E6, E8,
E9, E14, E15 e E19.
Parcialmente
Válida (Conclusão
parcialmente
correta, sem
registro da
Fórmula)
Sem registro E10 e E12 Sem registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
No momento da escrita da conclusão, alguns alunos não conseguiram
escrever como realizaram os cálculos para a soma de Frações com denominadores
diferentes, apenas três participantes realizaram a conclusão de maneira válida.
Em virtude desta dificuldade, voltamos na resolução de cada uma destas
questões no quadro e perguntamos o que tinham feito para encontrar aquele
resultado, depois fomos até a tabela preenchida e pedimos que observassem o que
acontecia com as frações quando realizamos a adição, o que ou que operação
devíamos fazer para obter o numerador da Fração do resultado, etc.
Para a elaboração da conclusão desta atividade, consideramos parcialmente
válida aqueles que registraram a conclusão, porém não registraram a fórmula,
enquadrando 10 estudantes nesta situação.
259
Como os estudantes sentiram muita dificuldade em elaborar a Fórmula que
generaliza a adição de frações com denominadores diferentes, precisamos ir ao
quadro para explica-la e registrá-la para os participantes.
Após isso, oferecemos um exemplo para que pudessem visualizar a aplicação
da regra. Assim, demonstraram ter compreendido. Seguimos então para a Segunda
parte desta Sessão de Ensino.
Parte II: Subtração de Frações com Denominadores diferentes
Na primeira parte desta atividade, observamos que um dos grupos não estava
fazendo as tarefas, decidimos então diluí-lo nos demais grupos, ficando assim
apenas 3 grupos de 5 participantes cada um. Pedimos que atentassem ao que
íamos explicar. Novamente com a dobradura, de maneira semelhante como fizemos
a Adição, a Questão Inicial de Subtração, que relava o seguinte problema: “ De uma
caixa de bombons, foi distribuído 1
2 dos bombons para Luiz Carlos e Fabiana. Luiz
Carlos Ficou com 1
4 .Com que fração da caixa de bombons Fabiana ficou?
Com a dobradura obtivemos primeiro 1
2 , e depois
1
4 . Dessa maneira,
retiramos as partes que se referiam a 1
4, restando
2
8 respondendo à questão inicial.
Neste momento a turma estava em silencio e concentrada em responder as
questões de 01 a 04 de Subtração. Aguardamos até que as equipes sinalizaram o
término.
Para a socialização das respostas chamamos cada grupo para responder
uma pergunta no quadro, dessa forma poderíamos discutir caso houvesse respostas
diferentes.
A primeira equipe resolveu a primeira questão. É importante destacar que os
estudantes, mesmo com o uso autorizado, não utilizaram a dobradura no papel, já
resolveram montando o cálculo e realizando as operações, ou seja, utilizando a
regra da soma como referencia, “mudando a penas o sinal”, como justificativa dos
mesmos.
Desta mesma maneira aconteceu com a segunda e a terceira equipe. Os
estudantes mostravam-se bem felizes em conseguir resolver as questões de
maneira correta. Na quarta questão, resolvemos junto aos alunos no quadro,
260
fazendo as perguntas como; “quais são os termos?”, “qual operação devo usar?”,
“Como devo realizar o cálculo?”, etc, respondidas com interesse pelos estudantes.
Finalizadas as questões, pedimos que completassem o quadro do roteiro de
atividade, do qual os registros estão dispostos no quadro a seguir:
QUADRO 101 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DE SUBTRAÇÃO DA
SESSÃO DE ENSINO VII
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E3, E4, E5, E6, E7,
E8, E9, E10, E11,
E12, E14, E15, E16
e E19.
Válida
E1 Inválida
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A maioria dos participantes respondeu corretamente as questões e preencheu
o quadro de maneira correta, apenas a E1 respondeu corretamente as questões,
porém não preencheu o quadro de maneira satisfatória, invalidando seus resultados.
Dessa maneira, pedimos que os estudantes escrevessem uma conclusão que
descrevesse como devemos fazer para subtrair frações que possuem
denominadores diferentes. Os registros estão dispostos no Quadro 102 a seguir:
261
QUADRO 102 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA SUBTRAÇÃO NA
SESSÃO DE ENSINO VII
REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE
E6,E8, E9, E11, E14, E16 e E19. Parcialmente
Válida
Sem registro E3, E4, E5, E7, E10, E12 e E15 Sem registro
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os estudantes não conseguiram realizar a escrita da conclusão. Até
conseguiam verbalizar os procedimentos que faziam para somar frações com
denominadores diferentes, mas não escrever. Propomos então uma retomada das
questões, e íamos perguntando quais os termos, qual operação e como resolvíamos
cada questão, os estudantes respondiam corretamente, porém no momento da
escrita não conseguiam finalizar.
Para colaborar, escrevemos a regra no quadro e realizamos a leitura coletiva,
bem como apresentamos um exemplo para facilitar a compreensão dos alunos.
Quanto à Fórmula, aqueles que registraram, a fizeram de maneira correta e válida.
Neste momento, às 08h40min, finalizamos a Sétima Sessão de Ensino.
Neste mesmo dia, aplicamos o pós-teste, com o intuito de verificar como os
alunos resolveriam questões sobre Frações depois da aplicação de nossa sequência
de atividades sobre o assunto.
Os estudantes resolveram o teste em 60 minutos, finalizando por volta das
09h50min.
Como forma de agradecimento à acolhida e empenho dos estudantes em
nossos dias da experimentação, oferecemos um lanche coletivo (pizza, a pedido
deles) com a turma, equipe de pesquisa e professor de Matemática da disciplina. Em
clima de confraternização desejamos sucesso e perseverança a todos e fomos
presenteados com palmas e o reconhecimento de termos realizado um trabalho tão
prazeroso que expressões do tipo “foi muito bom, professora!”, “Eu aprendi muito,
errando e aprendendo a acertar!”, “Agora não tenho vergonha de falar como eu acho
que se resolve uma conta”, “agora eu gosto de resolver problemas”.
262
Após o lanche, os participantes se despediram com abraços e
agradecimentos.
Os resultados do pós teste serão detalhados na seção de Análise a Posteriori
e Validação que trataremos na sessão seguinte.
3.14 Considerações Sobre O Experimento
Nossa experimentação aconteceu em 18 encontros, desde Novembro de
2017 a Janeiro de 2018, ou seja, durando mais de um mês a nossa presença na
escola. Neste período desenvolvemos as atividades que estavam previamente
planejadas e também atividades adequando-se às necessidades dos estudantes e
da instituição, sempre com um apoio ímpar do Professor de Matemática da turma, da
coordenação e direção da escola.
Esta vivência proporcionou experiências valiosas tanto para nós,
pesquisadores, quanto para os estudantes, visto que evidenciaram uma satisfatória
evolução na participação das aulas, na capacidade de observar, de fazer
inferências, na elaboração de respostas, na organização das ideias e capacidade de
escrita, e em destaque na habilidade em resolver problemas matemáticos
envolvendo Frações.
Ao final, pudemos ser agraciados com a demonstração afeto de afeto dos
alunos, mostrando que além de um trabalho didático-metodológico, desenvolvemos
um trabalho humano e sensível. Fomos parte do todo do aprendizado.
Em relação à escola, fomos convidados a participar da confraternização dos
professores na justificativa de termos feito um importante trabalho com nossos
alunos, o que indica um reconhecimento do nosso comprometimento e seriedade
com o que nos propomos fazer.
No momento, em conversa informal com o Professor da turma, tomamos
ciência de que a turma de nosso experimento obteve um rendimento de destaque na
ultima avaliação realizada na escola e que, estes resultados, foram decisivos na
aprovação dos alunos.
A contribuição do professor de Matemática da Turma com a nossa proposta
foi de extrema importância para alcançarmos tais resultados, o qual organizou seu
planejamento anual de forma que a turma com um período disponível somente para
263
a realização da nossa pesquisa, bem como sempre estava disponível para qualquer
solicitação e nos informando das mudanças de horário e atividades da escola.
Com relação às dificuldades encontradas no andamento das nossas Sessões
de Ensino podemos destacar, no que concerne à estrutura, as condições físicas da
escola, que dificultam a concentração dos alunos e facilitam a distração, bem como
as interrupções (sem aviso prévio) para dar informes à turma, pegar material nas
salas, etc. Em relação aos alunos, sobressai-se o mal comportamento, que chega à
agressividade entre eles; as dificuldades nas operações fundamentais, problemas na
leitura e interpretação textual, etc.
No decorrer do nosso trabalho tentamos, dentro das nossas possiblidades,
amenizar ou superar algumas dessas dificuldades. Porém, acreditamos que seja
necessário uma trabalho maior e de toda equipe escolar para avançarmos e
melhorarmos o desempenho destes estudantes.
A seguir apresentaremos a Seção referente à nossa Análise a posteriori e
Validação, trazendo as devidas análises dos dados obtidos a partir desta pesquisa,
os resultados dos testes, o confronto das Análises a priori e a posteriori.
Para a realização das Análises, faremos uso de análise comparativa
percentual, emprego de correlações e testes de hipóteses com o objetivo de gerar
conclusões acerca do nosso experimento.
264
4. ANÁLISES A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Esta seção tem por objetivo a apresentar os resultados obtidos na fase de
Experimentação, considerando o desempenho de cada participante do
desenvolvimento da Sequência de Atividades descrita na Seção anterior, além de
exibir os resultados das Análises a posteriori das atividades propostas.
O confronto entre a Análise a priori e a Análise a posteriori nos permitirão
realizar a Validação de nossa sequência, baseados nos resultados obtidos e nas
nossas hipóteses apresentadas anteriormente. As análises a posteriori, se apoiam
na produção dos alunos, com base no desempenho em sala de aula, no pré e no
pós-teste, que foram aplicados antes e depois da Experimentação.
Os registros dos alunos nos roteiros de atividade serão avaliados no que diz
respeito à superação de dificuldades, habilidade de criar estratégias de resolução de
problemas, de realizar cálculos matemáticos, de elaborar conclusões e regras com
uma linguagem matemática adequada, além de seus erros, bem como os
comentários feitos pelo observador em diário de campo, apoiarão nossas análises.
A participação dos estudantes foi estimada a partir das frequências
registradas em cada encontro, como ente importante para avaliação do desempenho
nos testes e nas atividades. A organização destas informações foi feita em forma de
quadros e gráficos, as quais facilitam a visualização e o tratamento estatístico destes
resultados.
Desta maneira, exibiremos os resultados dos testes com o intuito de ponderar
considerações acerca de nossa Sequência de Atividades e do desempenho dos
alunos em momentos avaliativos.
As análises prévias também foram retomadas, pois basearam nossas
Análises a priori e constituíram parte importante na construção de nossas
Atividades. Dessa forma, poderemos inferir sobre a evolução em relação ao estado
atual do ensino de Fração.
A validade e confiabilidade dos resultados expostos serão viabilizadas a partir
do uso de testes estatísticos, para verificarmos o alcance do objetivo do nosso
estudo, avaliando quais os efeitos da aplicação de uma sequência didática, diferente
da tradicional, para o Ensino de Frações, sobre alunos de uma turma de 6º ano do
265
Ensino Fundamental de uma Escola Pública de Belém, nas aulas de matemática e
sobre o desempenho de resolução de questões envolvendo este conteúdo.
4.1 Análises A Posteriori
A Análise a Posteriori e Validação, conforme Machado (2016, p. 246), “se
apóia sobre todos os dados colhidos durante a Experimentação constante das
observações realizadas durante cada sessão de ensino, bem como das produções
dos alunos em classe ou fora dela”. Dessa maneira, com o intuito de exibir os
resultados obtidos após a aplicação da nossa Sequência de Atividades, tomamos
mão das observações realizadas durantes os encontros, conforme descrito na seção
anterior, bem como dos registros dos alunos nos roteiros.
Inicialmente, faremos o confronto das nossas análises antes da aplicação de
nossa sequência, que chamamos de Análise a priori, e das que obtivemos após o
desenvolvimento das sessões de ensino, as Análises a posterior, pois “é da
confrontação das análises a priori e a posteriori que se validam ou se refutam as
hipóteses levantadas no início da engenharia”, de acordo com Machado (2016, p.
246).
Nossa intenção em realizar este confronto é de validar de nossa proposta ao
comparar o que estava previsto com o que, de fato, se efetivou durante nossa
experimentação.
Para isso, dispomos no Quadro a seguir, para cada uma das Atividades, sua
respectiva análise a priori, a análise a posteriori e se sua Validação.
O quadro 103 expõe este confronto em cada uma das atividades:
QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES (Continua)
ATIVIDADE EXCERTOS VALIDAÇÃO
Sessão de Ensino I – Conceito de
Fração Análise a priori
Esta atividade abordou o conceito de Fração, dando enfoque no significado parte-todo, utilizando material para que os alunos manipulassem e construíssem significado nas descobertas. Nossa expectativa era de que os alunos descobrissem o conceito a partir da manipulação de um inteiro, obtendo, a partir das orientações, diferentes frações deste inteiro. Com 20 tarefas, o tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.
POSITIVA
266
A manipulação do material representando um inteiro nas diversas situações mostrava-se um facilitador na visualização das mesmas e ofereciam direcionamentos para a formalização do Conceito de Frações.
QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES
(Continua)
Sessão de Ensino I – Conceito de
Fração
Análise a posteriori
Os estudantes não mostraram dificuldade na descoberta do conceito de Fração, apresentando 82,35% da conclusão do Conceito realizada de maneira Válida, com tempo estimado adequado, material utilizado favoreceu o desenvolvimento da Atividade.
POSITIVA
Sessão de Ensino II – Representação
de frações
Análise a priori
Esta atividade abordou o conteúdo de Representação de Fração, utilizando questões icônicas, questões com variáveis quantidades contínuas e discretas, assim como também traz aspectos históricos da evolução da notação de Fração. Acreditávamos que os alunos perceberiam e identificassem os termos da Fração a partir do desenvolvimento da atividade, ao relacionar a parte com o todo. Com 10 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos que esta atividade seria de nível fácil e que os alunos conseguiriam alcançar o objetivo de descobrir como se representa Fração.
POSITIVA
Análise a posteriori
Os estudantes desenvolveram com facilidade as tarefas sobre representação de Fração, registrando de maneira correta seus termos, apresentando 72,73% de respostas válidas na conclusão da Atividade. Entretanto, o tempo utilizado para a realização desta sessão de ensino foi por volta de três horas/aula, extrapolando o tempo previsto na Análise a Priori.
Atividade de Aprofundamento
Análise a priori
Esta Atividade abordou o conceito e a representação de Fração e tinha o intuito de aprofundar os conhecimentos já estudados nas duas primeiras sessões de ensino, a partir da metodologia utilizada na “Prova Brasil”, para dar subsídios para a abordagem dos demais conteúdos referentes à Fração nas Sessões posteriores. Acreditávamos que os estudantes iriam desenvolver as tarefas com facilidade. Com 5 questões de múltipla escolha, estimamos 1 hora/aula para a sua realização.
POSITIVA
Análise a posteriori
A atividade foi desenvolvida sem grandes dificuldades, alcançando um percentual de 72,5% de acerto nas tarefas,
267
com a argumentação verbal realizada de maneira coerente pelos estudantes no tempo adequado ao estimado a priori.
QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES
(Continua)
Sessão de Ensino III – Equivalência
de Frações
Análise a priori
Esta atividade abordou o tópico de Equivalência de Frações, nossa expectativa era de que os alunos descobrissem uma maneira de identificar e obter Frações equivalentes. Acreditamos que a utilização do kit de Fração e a sequencia com que as tarefas lhe eram apresentadas poderiam facilitar no momento da construção do conhecimento. Com 22 tarefas, estimamos um tempo de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos esta atividade de nível médio e que os alunos conseguiriam alcançar os objetivos esperados.
POSITIVA
Análise a posteriori
Os estudantes, no geral, conseguiram desenvolver as tarefas desta atividade com facilidade, acompanhando o desenvolvimento do raciocínio das operações de multiplicação e divisão para obtenção de Frações equivalentes, finalizando com 57,14% dos registros das conclusões válidos e 42,86% sem registro no roteiro da Atividade, porém a totalidade da turma verbalizou o conceito e como se obtém uma Fração Equivalente. O tempo estimado não foi suficiente, sendo necessárias 5 horas/aula, porém o tempo real para o desenvolvimento desta sessão de ensino foi estimado em 3 horas/aulas, pois houveram várias interrupções causadas por motivos externos ao nosso trabalho, o que causou cansaço nos estudantes que, apesar de verbalizarem corretamente os conceitos, não estavam mais realizando os devidos registros.
Sessão de Ensino IV – Simplificação
de Frações Análise a priori
Esta atividade abordou o tópico Simplificação do conteúdo de Fração, utilizou material para que os alunos manipulassem e construíssem significado nas descobertas realizadas. Nossa expectativa era de que os alunos descobrissem o modo como se simplifica uma Fração através do manejo das Frações Equivalentes, que foram estudadas na atividade anterior. Com 14 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos ser esta uma atividade de nível de dificuldade médio, pois os alunos deveriam apresentar conhecimentos prévios das operações de produto e divisão para realizar os cálculos necessários para o desenvolvimento da atividade. A disposição das
POSITIVA
268
tarefas mostrava-se como ponto facilitador, assim, acreditamos que os alunos alcançariam os objetivos esperados.
QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES
(Continua)
Sessão de Ensino IV – Simplificação
de Frações
Análise a posteriori
Os estudantes, de maneira geral, conseguiram desenvolver as tarefas desta atividade, sentiram dificuldade no procedimento de cálculo a divisão para obter frações equivalente, alcançando 95% de validade na conclusão de como se simplifica Frações. O tempo estimado não foi suficiente, sendo necessárias 5 horas/aula, porém acreditamos que tempo real para o desenvolvimento desta sessão de ensino foi estimado em 3 horas/aula, pois houveram várias interrupções causadas por motivos externos ao nosso trabalho.
POSITIVA
Sessão de Ensino V – Comparação de
Frações
Análise a priori
Nesta atividade contemplamos o tópico de comparação de Frações, com o intuito de conduzir os estudantes a descobrir uma maneira de comparar frações quando: os denominadores são iguais e quando os denominadores são diferentes. Acreditamos que esta seria uma atividade de nível regular, pois os alunos poderiam encontrar dificuldade na compreensão de que a comparação frações é diferente da comparação de números naturais, mas a manipulação do kit de Frações mostra-se como facilitador. Apresentou 19 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.
POSITIVA
Análise a posteriori
O desenvolvimento desta atividade se deu de maneira tranquila, com os estudantes demonstrando facilidade e entusiasmo ao resolver as tarefas. O uso do material foi apenas inicial, pois os participantes abandonaram ao perceber um padrão regular na comparação de Frações. O horário de desenvolvimento extrapolou o tempo previsto inicialmente, necessitando de 5 horas/aula, porém, acreditamos que as interferências externas à nossa sequência podem reduzir a um tempo real de desenvolvimento de 3horas/aula. Como resultados, alcançando 89% de Validade nas conclusões a respeito da comparação de Frações com o mesmo denominador e 84% de validade nas conclusões sobre comparação de Frações com denominadores diferentes.
269
Sessão de Ensino VI – Adição e Subtração de Frações com
denominadores iguais
Análise a priori
Esta atividade abordou as operações de Adição e Subtração de Frações com o mesmo denominador, nossa expectativa era de que os alunos descobrissem uma maneira de somar e subtrair Frações com denominadores iguais, e assim, percebesse uma regra para efetuar estas operações. a operação de Adição neste caso.
POSITIVA
QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES
(Continua)
Sessão de Ensino VI – Adição e Subtração de Frações com
denominadores iguais
Análise a priori
Com 8 problemas, divididos em duas questões iniciais, a serem desenvolvidos om o uso do Kit de Frações estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Acreditamos que os alunos encontrariam os resultados esperados, pois a utilização do kit de Fração poderia facilitar no momento da soma, juntamente com o quadro que proporcionaria uma visão do padrão existente nos cálculos realizados e dos resultados obtidos, alcançando uma conclusão e uma regra para estas operações com frações.
POSITIVA
Análise a posteriori
Os estudantes demonstraram facilidade e entusiasmo ao desenvolver esta Atividade, alcançando sem dificuldade a conclusão e uma regra para as operações de adição e subtração de Frações com mesmo denominador. O uso do material foi apenas inicial, pois os participantes abandonaram ao perceber a regularidade nos cálculos, facilitada no preenchimento dos quadros. Com o horário de desenvolvimento compatível com o estimado, alcançando 95,65% das conclusões válidas e elaboração da regra para tais operações de maneira válida.
POSITIVA
Sessão de Ensino VII – Adição e Subtração de Frações com
denominadores diferentes
Análise a priori
Nesta atividade abordamos as operações de Adição e Subtração de Frações com diferentes denominadores, nosso desejo era de que os alunos descobrissem uma maneira de realizar estas operações, percebendo que há uma regra para efetuá-las. Acreditamos que esta era uma atividade de nível regular, pois os alunos poderiam encontrar dificuldades, mesmo com a utilização do kit de Fração, na presença de denominadores diferentes poderiam gerar conflitos por não seguir a mesma regra de adição e subtração de Frações com denominadores iguais. Esta Sessão possuía 10 tarefas, divididas em duas questões iniciais e 8 propostas, para serem resolvidas com o auxilio do Kit de Frações. Com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.
POSITIVA
Análise a posteriori
Os participantes conseguiram desenvolver esta Atividade com sucesso, alcançando sem dificuldade a conclusão e uma regra para as operações de adição e subtração de Frações com denominadores diferentes. O uso do material auxiliou a resolução das primeiras questões e abandonado no andamento das tarefas, pois os estudantes logo perceberam a regularidade nos cálculos e observações dos quadros. Com o tempo de desenvolvimento ajustado com o estimado, alcançando 86,67% das
270
conclusões válidas ou parcialmente válidas para elaboração da regra para a operação de Adição e, 46,67% das conclusões parcialmente válidas para elaboração da regra para a operação de Subtração. Apesar de, os estudantes não conseguirem realizar a escrita da conclusão, conseguiam verbalizar os procedimentos que faziam para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes.
QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES
(Continua)
Sessão de Ensino VIII - Multiplicação
de Frações
Análise a priori
Nesta atividade contemplamos a operação de Multiplicação de Frações com o intuito de conduzir os alunos a descobrirem uma maneira de realizar esta soma, percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a operação de Produto neste caso. Acreditávamos que esta seria uma atividade de nível regular, pois os alunos poderiam encontrar dificuldade na compreensão de que a ideia de multiplicação com frações é diferente da multiplicação com números naturais, ou seja, agora o resultado não significa, necessariamente, um aumento. Com 8 tarefas, correspondente a um quadro para preenchimento e 7 problemas divididos em uma questão inicial e 6 propostas, a serem desenvolvidas com o uso do Kit de Frações, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.
POSITIVA
Análise a posteriori
Os estudantes não mostraram dificuldade na descoberta da regra e elaboração de uma conclusão para a operação de multiplicação de Frações, descobrindo uma maneira de realizar esta operação com o auxilio do kit de Frações, como era nossa pretensão. Observamos o registro de 82,61% das conclusões e construção da regra para esta operação de maneira válida ou parcialmente válida. O tempo estimado excedeu o tempo utilizado para o desenvolvimento desta Sessão, que foi de 50 minutos. O material utilizado favoreceu o desenvolvimento da Atividade.
Sessão de Ensino IX – Divisão de
Frações
Análise a priori
Nesta atividade trabalhamos a operação de Divisão de Frações com a intenção de que os alunos descubram uma maneira de realizar esta operação, percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a Divisão neste caso. Acreditamos que esta seja uma atividade de nível difícil, pois os alunos poderão encontrar dificuldade mesmo com a utilização do kit de Fração, utilizando erroneamente, a mesma ideia de divisão de naturais, ou seja, de partição, chocando-se ao encontrar como resultado um número menor (ou maior) que aquele que ele dividiu. Com 10 tarefas, divididas em uma questão inicial e 9 questões propostas, a serem desenvolvidas com o auxilio do Kit de Frações, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.
POSITIVA
Análise a posteriori
Os participantes descobriram a regra e elaboraram uma conclusão para a operação de divisão de Frações,
271
descobrindo uma maneira de realizar esta operação com o auxilio do kit de Frações, como era nossa pretensão. Observamos o registro de 75% das conclusões e construção da regra para esta operação de maneira válida e 25% parcialmente válidas. O tempo de desenvolvimento foi compatível com o estimado para essa Sessão.
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
O Quadro 103 nos permite inferir que ocorreram semelhanças de nossas
Análises a priori e de nossas Análises a posteriori, visto que as previsões que
fizemos com base em nossas análises prévias, se realizaram no desenvolvimento de
nossa Experimentação.
4.2 Análises A Posteriori dos Testes Avaliativos
Neste momento, iremos expor os resultados dos testes com o objetivo de
fazer inferências sobre nossa Sequência de Atividades e do rendimento que esta
desenvolveu nos estudantes em momentos de avaliação.
A análise dos rendimentos será feita, primeiramente por questão e após por
aluno. O quadro 104 mostra, de forma percentual, os valores referentes ao
desempenho dos alunos em cada questão no pré-teste.
O pré-teste era composto por 12 questões, das quais as questões Q01 e Q02
referiam-se ao conceito e representação de Fração, levando em consideração o
significado parte-todo por meio da resolução de problemas; as questões Q03 e Q04
trabalhavam a comparação e equivalência de Frações; as Q05 e Q06 as operações
de Adição e Subtração de Frações de mesmo denominador; as questões Q07 e Q08
tratavam das operações de Adição e Subtração de Frações com denominadores
diferentes; as Q09 e Q10, da Multiplicação de Frações e, Q11 e Q12, da operação
de Divisão de Frações.
O quadro 104 a seguir, nos mostra a distribuição do desempenho dos
estudantes por questão no pré-teste:
Quadro 104 - Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste
QUESTÃO ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%) TOTAL
QUESTÃO 1 4,2% 95,8% 0,0% 100,0%
QUESTÃO 2 0,0% 100,0% 0,0% 100,0%
QUESTÃO 3 58,3% 41,7% 0,0% 100,0%
272
QUESTÃO 4 0,0% 95,8% 4,2% 100,0%
QUESTÃO 5 16,7% 79,2% 4,2% 100,0%
QUESTÃO 6 0,0% 95,8% 4,2% 100,0%
QUESTÃO 7 0,0% 100,0% 0,0% 100,0%
QUESTÃO 8 0,0% 100,0% 0,0% 100,0%
QUESTÃO 9 0,0% 91,7% 8,3% 100,0%
QUESTÃO 10 0,0% 87,5% 12,5% 100,0%
QUESTÃO 11 0,0% 87,5% 12,5% 100,0%
QUESTÃO 12 0,0% 95,8% 4,2% 100,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 57 - Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00%
QUESTÃO 1
QUESTÃO 2
QUESTÃO 3
QUESTÃO 4
QUESTÃO 5
QUESTÃO 6
QUESTÃO 7
QUESTÃO 8
QUESTÃO 9
QUESTÃO 10
QUESTÃO 11
QUESTÃO 12
ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%)
273
As informações do Quadro 104 e do gráfico 58 nos apontam que na
realização do pré-teste houve alto índice de erro na resolução das questões por
partes dos estudantes, com exceção da questão 03, cujo índice de acerto foi de
58,3%. Assim, acreditamos que os estudantes possuem receio nas resoluções de
problemas matemáticos envolvendo os mais diversos conteúdos de Fração, com o
índice de erro acima de 75% para 11 de 12 questões.
A seguir, observamos os resultados do pós-teste realizado após aplicação de
nossa sequência didática, no quadro 105 e gráfico 58, que expõe estas informações.
Quadro 105: Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste
QUESTÃO ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%)
QUESTÃO 1 66,7% 33,3% 0,0%
QUESTÃO 2 73,3% 26,7% 0,0%
QUESTÃO 3 86,7% 13,3% 0,0%
QUESTÃO 4 100,0% 0,0% 0,0%
QUESTÃO 5 73,3% 26,7% 0,0%
QUESTÃO 6 73,3% 26,7% 0,0%
QUESTÃO 7 80,0% 20,0% 0,0%
QUESTÃO 8 80,0% 20,0% 0,0%
QUESTÃO 9 73,3% 26,7% 0,0%
QUESTÃO 10 73,3% 26,7% 0,0%
QUESTÃO 11 20,0% 80,0% 0,0%
QUESTÃO 12 40,0% 60,0% 0,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
274
Gráfico 58 - Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
As questões que compunham o pós-teste eram as mesmas usadas no pré-
teste, das quais os conteúdos haviam sido trabalhados durante o desenvolvimento
das Sessões de Ensino e Atividade de Aprofundamento.
Os dados expostos pelo Quadro 59 e pelo gráfico 58 nos permitem observar
claramente os avanços no que diz respeito aos rendimentos dos alunos no pós-teste
em relação ao pré-teste, os índices de acertos pouco visualizados no gráfico 58,
referente ao rendimento do pré-teste, neste momento se destacam por aparecerem
com frequência nas questões, é possível também observar que em todas, houve
aumento percentual de acerto quando comparados pré- e pós-testes.
Os elevados índices de acertos das questões Q01 e Q02 demonstram o
desenvolvimento da habilidade que os alunos já possuem em resolver problemas
que envolvem assuntos relacionados ao conceito e representação de Frações.
As questões Q03 e Q04 exibiram rendimento de mais de 85% e 100%,
respectivamente, implicando no domínio dos conteúdos de comparação e
equivalência de Frações pelos estudantes.
66,7
% 73,3
%
86,7
%
100,0
%
73,3
%
73,3
% 80,0
%
80,0
%
73,3
%
73,3
%
20,0
%
40,0
%
33,3
%
26,7
%
13,3
%
0,0
%
26,7
% 26,7
%
20,0
%
20,0
%
26,7
%
26,7
%
80,0
%
60,0
%
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%)
275
Os problemas que envolviam as operações de Adição e subtração de Frações
com mesmo denominador (Q05 e Q06) alcançaram desempenho positivo acima de
70% e, para Frações com diferentes denominadores, o índice de acerto foi de 80%.
As questões que envolviam a operação de Multiplicação de Frações (Q09 e
Q10) atingiram mais de 70% de acertos e, as questões sobre divisão de Frações
(Q11 e Q12), nos surpreendendo, obtiveram índice de acerto de 20% e 40%,
respectivamente.
Para os problemas que envolvem as operações acreditamos que
precisávamos exercitar mais com os estudantes, porém o fator tempo disponível
com a turma nos impossibilitou de realizarmos mais tarefas nesse sentido.
Pensamos que, se os estudantes fossem oportunizados, a exercícios destes
conteúdos além da própria Sessão de Aprendizagem, como forma de
aprofundamento destes conhecimentos, seus respectivos desempenhos seriam
consideravelmente elevados.
A seguir o Quadro 106 e o Gráfico 59 trazem comparativos dos dados de
ambos os testes com o intuito de gerarmos uma melhor visualização dos avanços no
desempenho dos estudantes que relatamos até este momento.
Quadro 106 - Desempenho dos estudantes nos testes por questão
ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%)
QUESTÃO PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS
QUESTÃO 1 4,2% 66,7% 95,8% 33,3% 0,0% 0,0%
QUESTÃO 2 0,0% 73,3% 100,0% 26,7% 0,0% 0,0%
QUESTÃO 3 58,3% 86,7% 41,7% 13,3% 0,0% 0,0%
QUESTÃO 4 0,0% 100,0% 95,8% 0,0% 4,2% 0,0%
QUESTÃO 5 16,7% 73,3% 79,2% 26,7% 4,2% 0,0%
QUESTÃO 6 0,0% 73,3% 95,8% 26,7% 4,2% 0,0%
QUESTÃO 7 0,0% 80,0% 100,0% 20,0% 0,0% 0,0%
QUESTÃO 8 0,0% 80,0% 100,0% 20,0% 0,0% 0,0%
QUESTÃO 9 0,0% 73,3% 91,7% 26,7% 8,3% 0,0%
QUESTÃO 10 0,0% 73,3% 87,5% 26,7% 12,5% 0,0%
QUESTÃO 11 0,0% 20,0% 87,5% 80,0% 12,5% 0,0%
QUESTÃO 12 0,0% 40,0% 95,8% 60,0% 4,2% 0,0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
276
Gráfico 59 - Desempenho dos estudantes nos testes por questão
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O gráfico 60 expõe, de forma mais clara, as mudanças nos rendimentos dos
estudantes por questão nos pré- e pós-testes, sobretudo, observamos o brusco
aumento dos percentuais de acerto nas questões, chegando a 100% na questão
Q04, e a supressão das deixadas em branco.
Para que possamos realizar um foco no desenvolvimento de cada
participante, de maneira individual, a seguir faremos a exposição dos rendimentos
nos pré- e pós-testes de cada um dos estudantes.
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0%
Q01 PRÉ
Q01 PÓS
Q02 PRÉ
Q02 PÓS
Q03 PRÉ
Q03 PÓS
Q04 PRÉ
Q04 PÓS
Q05 PRÉ
Q05 PÓS
Q06 PRÉ
Q06 PÓS
Q07 PRÉ
Q07 PÓS
Q08 PRÉ
Q08 PÓS
Q09 PRÉ
Q09 PÓS
Q10 PRÉ
Q10 PÓS
Q11 PRÉ
Q11 PÓS
Q12 PRÉ
Q12 PÓS
ACERTO ERRO EM BRANCO
277
Quadro 107 - Desempenho por Estudante no Pré-teste
Estudantes Em Branco (%) Erro (%) Acerto (%)
E1 0,00% 91,67% 8,33%
E2 0,00% 100,00% 0,00%
E3 0,00% 83,33% 16,67%
E4 50,00% 41,67% 8,33%
E5 8,33% 83,33% 8,33%
E6 0,00% 100,00% 0,00%
E7 0,00% 100,00% 0,00%
E9 0,00% 91,67% 8,33%
E10 8,33% 83,33% 8,33%
E11 0,00% 100,00% 0,00%
E12 0,00% 91,67% 8,33%
E13 0,00% 91,67% 8,33%
E14 0,00% 100,00% 0,00%
E15 0,00% 100,00% 0,00%
E16 0,00% 91,67% 8,33%
E17 0,00% 91,67% 8,33%
E18 25,00% 75,00% 0,00%
E19 0,00% 91,67% 8,33%
E20 0,00% 91,67% 8,33%
E21 0,00% 83,33% 16,67%
E22 0,00% 100,00% 0,00%
E23 8,33% 83,33% 8,33%
E24 0,00% 91,67% 8,33%
E25 0,00% 91,67% 8,33%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
278
Gráfico 60 - Desempenho por Estudante no Pré-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os altos percentuais erros nas questões são destaque ao examinarmos o
gráfico 60, os índices que mostram o percentual de acertos para a maioria dos
estudantes representam menos de 20% de acerto no pré-teste. Estes dados
retratam como foi o rendimento percentual antes da nossa intervenção em sala de
aula. Vejamos a seguir, no Quadro 108, os dados referentes ao aproveitamento dos
alunos após a aplicação nossa sequência didática.
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
E21
E22
E23
E24
E25
Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)
279
Quadro 108 - Desempenho por Estudante no Pós-teste
Estudantes Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)
E1 83,33% 16,67% 0,00%
E3 41,67% 58,33% 0,00%
E4 50,00% 50,00% 0,00%
E5 83,33% 16,67% 0,00%
E6 50,00% 50,00% 0,00%
E7 83,33% 16,67% 0,00%
E8 75,00% 25,00% 0,00%
E9 83,33% 16,67% 0,00%
E10 66,67% 33,33% 0,00%
E11 50,00% 50,00% 0,00%
E12 41,67% 58,33% 0,00%
E14 50,00% 50,00% 0,00%
E15 75,00% 25,00% 0,00%
E16 25,00% 75,00% 0,00%
E19 75,00% 25,00% 0,00%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 61: Desempenho por Estudante no Pós-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
E1
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E14
E15
E16
E19
Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)
280
Diante da diminuição na frequência dos estudantes no decorrer da
Experimentação por conta da finalização das Atividades do ano letivo da escola em
que aplicamos nossas atividades, se faz necessário destacar que nem todos os
estudantes que participaram do pré-teste, realizaram o pós-teste, pois o calendário
escolar estava finalizando e alguns participantes estavam frequentando a escola
apenas para a realização da nossa pesquisa.
Podemos ressaltar os índices que representam os acertos, todos os alunos,
alcançaram aproveitamento superior ao pré-teste, pontuamos também os índices de
questões deixadas em branco serem nulos neste momento. Estes dados
representam o grau de confiança que os alunos foram desenvolvendo ao longo da
fase de experimentação.
O quadro 109 a seguir nos destaca o confronto destes resultados do
desempenho dos estudantes no pré-teste e no pós-teste.
Quadro 109 - Desempenho dos Estudantes nos testes
Estudantes Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-
E1 8,33% 83,33% 91,67% 16,67% 0,00% 0,00%
E2 0,00% Não fez 100,00% Não fez 0,00% 0,00%
E3 16,67% 41,67% 83,33% 58,33% 0,00% 0,00%
E4 8,33% 50,00% 41,67% 50,00% 50,00% 0,00%
E5 8,33% 83,33% 83,33% 16,67% 8,33% 0,00%
E6 0,00% 50,00% 100,00% 50,00% 0,00% 0,00%
E7 0,00% 83,33% 100,00% 16,67% 0,00% 0,00%
E8 Não fez 75,00% Não fez 25,00% Não fez 0,00%
E9 8,33% 83,33% 91,67% 16,67% 0,00% 0,00%
E10 8,33% 66,67% 83,33% 33,33% 8,33% 0,00%
E11 0,00% 50,00% 100,00% 50,00% 0,00% 0,00%
E12 8,33% 41,67% 91,67% 58,33% 0,00% 0,00%
E13 8,33% Não fez 91,67% Não fez 0,00% Não fez
E14 0,00% 50,00% 100,00% 50,00% 0,00% 0,00%
E15 0,00% 75,00% 100,00% 25,00% 0,00% 0,00%
E16 8,33% 25,00% 91,67% 75,00% 0,00% 0,00%
E17 8,33% Não fez 91,67% Não fez 0,00% Não fez
E18 0,00% Não fez 75,00% Não fez 25,00% Não fez
E19 8,33% 75,00% 91,67% 25,00% 0,00% 0,00%
E20 8,33% Não fez 91,67% Não fez 0,00% Não fez
E21 16,67% Não fez 83,33% Não fez 0,00% Não fez
E22 0,00% Não fez 100,00% Não fez 0,00% Não fez
E23 8,33% Não fez 83,33% Não fez 8,33% Não fez
E24 8,33% Não fez 91,67% Não fez 0,00% Não fez
E25 8,33% Não fez 91,67% Não fez 0,00% Não fez
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
281
Gráfico 61: Comparativo do Desempenho dos Estudantes nos testes
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Por meio do gráfico é notório a evolução do desempenho dos estudantes em
relação a aprendizagem e resolução de questões que envolvem frações, na maioria
dos casos, os alunos tiveram um aproveitamento muito baixo no pré-teste oscilando
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
E1 PRÉ
E1 PÓS
E3 PRÉ
E3 PÓS
E4 PRÉ
E4 PÓS
E5 PRÉ
E5 PÓS
E6 PRÉ
E6 PÓS
E7 PRÉ
E7 PÓS
E9 PRÉ
E9 PÓS
E10 PRÉ
E10 PÓS
E11 PRÉ
E11 PÓS
E12 PRÉ
E12 PÓS
E14 PRÉ
E14 PÓS
E15 PRÉ
E15 PÓS
E16 PRÉ
E16 PÓS
E19 PRÉ
E19 PÓS
Comparativo do Desempenho dos Estudantes nos testes
ACERTO ERRO EM BRANCO
282
entre erros e questões deixadas em branco, já no pós-teste, os alunos tiveram um
aproveitamento acima da média, acertando a maioria das questões do teste.
Dessa forma revelamos, através dessa comparativa, que a aplicação da
sequência de aulas propostas por nós surtiu um efeito positivo, aumentando o
desempenho dos estudantes em relação ao referido conteúdo matemático abordado.
Agora, no Quadro 110 dispomos a Frequência dos estudantes durante a
realização do Experimento.
Quadro 110 - Frequência dos Estudantes durante o Experimento
Estu
da
nte
Frequência dos Estudantes durante o Experimento
Novembro Dezembro Janeiro
Freq. (%)
14 27 29 30 1 6 7 11 13 14 15 18 20 22 26 28 4
Pré At.1 At. 2 Aprof. At. 3 At. 4 At. 5 At. 6 At. 8 At. 9 Revisão At. 7
e Pós-
E1 P P P F F P P P P P P P P P P P P 88
E2 P P P P P P P F P P P P F P P P F 82
E3 P P P P P P P P P P P P F P P P P 94
E4 P F F P F P P P P P F P P P P P P 76
E5 P F P P P P P F P P P P F P P P P 82
E6 P P P P P P P P P P F F P P P P P 88
E7 P F P P P P P P P P P P P P F P P 88
E8 F P F P F F F P F F F P F P P F P 41
E9 P F P P P P P P P P P F P P P F P 82
E10 P P P P P P P P P P P F F P F F P 76
E11 P F P F F P P F P P P P P P F P P 64
E12 P F P P P P P P F P P P P P P P P 88
E13 P P P P P P P F F P P P P P P P F 82
E14 P P P F P P P F P P P P P F P P P 82
E15 P P P P F F F P F F P F F F P P P 52
E16 P P P P F P F P P P F P P P P P P 82
E17 P P P P P P F P P P P F P P F F F 70
E18 P P P F F F F F F P P P P F F F F 41
E19 P P P P P P P P P P P P P P P P P 100
E20 P P P F F P F P P F P P P P F P F 64
E21 P P P P P P P P F P P F F P P P F 76
E22 P P P P P P P P P P P P P P F P F 88
E23 P F P P P F P P P P P P P P P P F 82
E24 P F P P P P P F P P F P F F P P F 64
E25 P P P P F F F P F F F F P P F F F 41
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
283
Notamos que há um índice de falta bastante considerável na turma, com
apenas o E19 com a totalidade de presença. Estudantes como E8, E18 e E25
possuem frequência abaixo de 50% nos encontros, dado que poderiam ser cruzados
com a medida de seus desempenhos no pós teste. Para os E18 e E25 que, no pré-
teste acertaram, respectivamente, 0% e 8,33% das questões, não há como balizar,
pois não realizaram o pós-teste. Entretanto, o E8, apesar do baixo índice de
frequência, alcançou 75% das questões do pós-teste.
Este resultado pode ser justificado na participação destes estudantes durante
as aulas, o qual sempre argumentava seus resultados e tirava suas dúvidas.
A seguir mostraremos algumas análises estatísticas, que fizemos no intuito de
uma verificação mais consistente das nossas conclusões em relação aos dados que
analisamos de forma percentual apenas até este momento. Para tanto, realizamos
alguns testes de hipóteses e análises da existência de correlações que indicam
estatisticamente que nossa sequência de aulas foi determinante para o aprendizado
de Frações.
4.3 Teste de Hipóteses
Na subseção anterior fizemos as comparações percentuais das notas dos
estudantes nos pré-teste e pós-teste, porém se faz necessário o uso de testes
estatísticos, para que possamos descartar a hipótese de melhorias ocorridas
casualmente.
Dessa forma, faremos uso do teste de hipótese para tecer comparações de
duas médias de uma mesma amostra em diferentes pontos do tempo, em nosso
caso iremos comparar as médias dos 14 estudantes que fizeram pré e pós-testes,
que foram realizados respectivamente antes da aplicação de nossa sequência
didática e depois dela.
Conforme Levin e Fox (2004, p. 241), “o teste t da diferença entre médias
para a mesma amostra medida duas vezes supõe, em geral, que os mesmos
indivíduos sejam examinados repetidamente”, em outras palavras, cada entrevistado
é comparado consigo mesmo em outro instante de tempo.
O autor denomina este caso de planejamento antes-depois, e é o que
queremos analisar com os resultados dos pré e pós-testes dos alunos. Dessa forma,
284
é justificável a aplicação do teste para verificar estatisticamente a diferença entre as
médias.
Assim, formulamos duas hipóteses, com o intuito de, por meio do teste t,
rejeitarmos uma delas. Em nosso caso queremos mostrar que o desempenho dos
alunos foi maior depois da aplicação da sequência didática, se faz necessário a
utilização do teste unilateral para duas medições da mesma amostra.
Dessa maneira, denominando 1 a média obtida pelos alunos no pré-teste e
2 a média do pós-teste, e nossa hipótese de pesquisa é que 1 < 2.
Tomemos então que: Hipótese nula (1 2), ou seja, o desempenho em
matemática não melhora após a aplicação da sequência didática e, Hipótese de
pesquisa (1 < 2 ), ou seja, o desempenho em matemática melhora após a
aplicação da sequência didática.
No quadro a seguir observamos a regra para nossa tomada de decisão diante
da situação.
Quadro 111 - Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral
Hipóteses Regiões de rejeição Regra de decisão
1 2 X 1 < 2
Rejeitar a hipótese nula se
tcalculado < -ttabelado
1 ≤ 2 X 1 > 2
Rejeitar a hipótese nula se
tcalculado > -ttabelado
Fonte: Adaptado de Levin e Fox (2004, p. 248)
Dessa forma, no cálculo do teste de hipótese (t), para obtermos o valor de
tcalculado, consideramos os valores absolutos correspondentes ao desempenho dos
estudantes nos testes aplicados, no caso, as notas de 0 a 12. Para isso, utilizaremos
o Programa Mocrosoft Excel para realizarmos os devidos cálculos.
Nossa amostra é de 14 estudantes, que participaram do pré e do pós-testes,
temos n = 14. Chamamos de X1 (desempenho no pré-teste) e X2 (desempenho no
pós-teste), e logo após, calculamos a diferença entre os desempenhos (D), portanto,
D = X2 – X1 e calculamos D2.
285
Após obter os resultados, somamos as notas dos estudantes no pré-teste e
obtemos ∑ X1 = 8,4, bem como as do pós-teste ∑ X2 = 86,52 e, finalmente também
fazemos a soma dos resultados D2 , em que encontramos ∑ D2 = 493,2144. Os
valores obtidos estão dispostos no Quadro 112 a seguir:
Quadro112 - Resultado dos desempenhos nos testes e diferença entre as médias
Estudantes DESEMPENHO NO
PRÉ-TESTE (X1)
DESEMPENHO NO PÓS-TESTE
(X2)
DIFERENÇA D
D2
E1 0,84 8,4 7,56 57,1536
E3 1,68 4,2 2,52 6,3504
E4 0,84 5,04 4,2 17,64
E5 0,84 8,4 7,56 57,1536
E6 0 5,04 5,04 25,4016
E7 0 8,4 8,4 70,56
E9 0,84 8,4 7,56 57,1536
E10 0,84 6,72 5,88 34,5744
E11 0 5,04 5,04 25,4016
E12 0,84 4,2 3,36 11,2896
E14 0 5,04 5,04 25,4016
E15 0 7,56 7,56 57,1536
E16 0,84 2,52 1,68 2,8224
E19 0,84 7,56 6,72 45,1584
n = 14 ∑ X1 = 8,4 ∑ X2 = 86,52 - ∑ D2 = 493,2144
Fonte: Adaptado de Levin e Fox (2004)
Dando prosseguimento, realizamos o cálculo das médias do desempenho no
pré e no pós-teste, e a média das diferenças dos testes. Assim:
Média do desempenho no pré-teste: 1 = 0,60
Média do desempenho no pós-teste: 2 = 6,18
Média das diferenças dos testes: D = 5,58
Também encontramos o desvio padrão das diferenças, que resultou em 𝜎 =
2,03 e o erro padrão das diferenças 𝜎 = 0,58 .
Para calcularmos então, o valor do teste de hipótese t = -9,582571109,
aproximadamente, tcalculado = -9,583, que também pode ser calculado pela fórmula
286
𝑡 = 𝜇1− 𝜇2
𝜎
√𝑛−1
.
Em pesquisas das áreas sociais e humanas adota-se, geralmente, o nível de
significância igual a 0,05, segundo Levin e Fox (2004). Dessa maneira, verificamos
na tabela de Nível de Significância para o teste unilateral (𝛼), de acordo com o grau
de liberdade (𝑔𝑙), o valor de t tabelado.
Assim, para calcularmos o grau de liberdade (𝑔𝑙) adotamos a fórmula 𝑔𝑙 =
𝑁 − 1 , em nosso caso, 𝑔𝑙 = 14 − 1
→ 𝑔𝑙 = 13. Com 13 graus de liberdade,
encontramos ttabelado = 1,771.
Conforme as regras de rejeição de hipótese nula, ao ser validado tcalculado < -
ttabelado, deve-se rejeitar a hipótese nula e aceitar a hipótese de pesquisa. Dessa
forma, com
tcalculado = -9,583
ttabelado = 1,771,
temos que -9,583 < - (1,771).
Portanto, rejeitamos a hipótese nula e afirmamos, estatisticamente, que o
experimento didático elaborado e aplicado ao ensino de Frações proporcionou
aos estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental um maior desempenho em
Matemática.
4.4 Cálculos da Correlação Linear nos Testes
Neste momento faremos análises estatísticas em relações às variáveis
socioeconômicas dos estudantes, com o objetivo de verificar o quanto as mesmas
influenciam nos resultados das médias dos testes.
Dessa forma, utilizamos o cálculo do coeficiente de correlação linear de
Pearson (𝑟) (calculado através do Programa Microsoft Excel), para compararmos
duas variáveis entre si, para analisarmos o que acontece com uma delas quando a
outra sofre alteração.
Levin e Fox (2004) nos apresentam que o coeficiente de correlação linear (𝑟)
possui nível de intensidade que pode variar de – 1 a 1, ou seja, a correlação
classifica-se de acordo com o valor de 𝑟 , como mostra o quadro a seguir.
287
Quadro 113 - Classificação da Correlação conforme o coeficiente 𝑟
(Continua)
CLASSIFICAÇÃO DA CORRELAÇÃO COEFICIENTE DA CORRELAÇÃO
Perfeita Positiva 𝑟 = 1
Forte Positiva 0,8 ≤ 𝑟 < 1
Moderada Positiva 0,5 ≤ 𝑟 < 0,8
Fraca Positiva 0,1 ≤ 𝑟 < 0,5
Ínfima Positiva 0 < 𝑟 < 0,1
Quadro 113 - Classificação da Correlação conforme o coeficiente 𝑟
(Conclusão)
Nula 0
Ínfima Negativa −0,1 < 𝑟 < 0
Fraca Negativa −0,5 < 𝑟 ≤ −0,1
Moderada Negativa −0,8 < 𝑟 ≤ −0,5
Forte negativa −1 < 𝑟 ≤ −0,8
Perfeita Negativa 𝑟 = −1
Fonte: Adaptado de Levin e Fox (2004)
Para realizarmos os cálculos de correlação linear de Pearson (𝑟) utilizamos o
programa Microsoft Office Excel e os dados parametrizados oriundos das respostas
dos estudantes às perguntas do questionário socioeconômico, em que realizamos as
correlações entre a diferença das notas dos testes e variáveis socioeconômicas no
que diz respeito à escolaridade do responsável masculino, escolaridade do
responsável feminino, ajuda nas tarefas de casa, afinidade dos estudantes com a
Matemática, hábito de estudo em Matemática fora da escola, notas em matemática e
Dificuldade em Matemática, bem como com a frequência dos estudantes.
Os primeiros dados a serem correlacionados com a diferença das notas nos
testes são os referentes à escolaridade do responsável masculino. Apresentamos
primeiramente, a parametrização das variáveis qualitativas.
Quadro 114- Parametrização das variáveis referentes à escolaridade do responsável
masculino
ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL
MASCULINO PARAMETRIZAÇÃO
Nunca Estudou / Não sei responder 1
Ensino Fundamental Incompleto 2
Ensino Fundamental Completo 3
288
Ensino Médio Incompleto 4
Ensino Médio Completo 5
Ensino Superior Completo 6
Pós-Graduação 7
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Em seguida apresentamos a correlação entre a diferença dos desempenhos
nos testes e escolaridade do responsável masculino dos estudantes.
Quadro 115 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e escolaridade do
responsável masculino
Estudante DESEMPENHO NO PRÉ-TESTE
DESEMPENHO NO PÓS-TESTE
DIFERENÇA ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL
MASCULINO
E1 0,84 8,4 7,56 3
E3 1,68 4,2 2,52 2
E4 0,84 5,04 4,2 1
E5 0,84 8,4 7,56 1
E6 0 5,04 5,04 3
E7 0 8,4 8,4 3
E9 0,84 8,4 7,56 2
E10 0,84 6,72 5,88 1
E11 0 5,04 5,04 5
E12 0,84 4,2 3,36 2
E14 0 5,04 5,04 1
E15 0 7,56 7,56 3
E16 0,84 2,52 1,68 1
E19 0,84 7,56 6,72 2
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Diante dos dados, ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de
Pearson (𝑟), encontramos 𝑟 = 0,25, classificando-se como “Fraca positiva”, o que
nos leva a afirmar que a escolaridade do responsável masculino exerce pouca
influência nos resultados encontrados nos testes aplicados.
No que diz respeito à Escolaridade do responsável feminino, temos o Quadro
116:
289
Quadro 116- Parametrização das variáveis referentes à escolaridade do responsável
feminino
ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL FEMININO PARAMETRIZAÇÃO
Nunca Estudou / Não sei responder 1
Ensino Fundamental Incompleto 2
Ensino Fundamental Completo 3
Ensino Médio Incompleto 4
Ensino Médio Completo 5
Ensino Superior Completo 6
Pós-Graduação 7
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Quadro 117 - correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e escolaridade do
responsável feminino
Estudante DESEMPENHO NO PRÉ-TESTE
DESEMPENHO NO PÓS-TESTE
DIFERENÇA ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL
FEMININO
E1 0,84 8,4 7,56 5
E3 1,68 4,2 2,52 2
E4 0,84 5,04 4,2 3
E5 0,84 8,4 7,56 2
E6 0 5,04 5,04 5
E7 0 8,4 8,4 2
E9 0,84 8,4 7,56 6
E10 0,84 6,72 5,88 1
E11 0 5,04 5,04 3
E12 0,84 4,2 3,36 5
E14 0 5,04 5,04 1
E15 0 7,56 7,56 3
E16 0,84 2,52 1,68 5
E19 0,84 7,56 6,72 1
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟),
encontramos 𝑟 = −0,1459, classificando-se como “Ínfima Negativa”, o que nos indica
que a escolaridade do responsável feminino não é determinante nos resultados dos
testes aplicados.
290
Agora, analisaremos os dados sobre quem ajuda os estudantes nas tarefas
de matemática. Os resultados estão dispostos a seguir.
Quadro 118- Parametrização das variáveis referentes a quem ajuda os estudantes nas
tarefas de Matemática
Quem lhe ajuda nas tarefas de Matemática PARAMETRIZAÇÃO
Ninguém/Outros 1
Parentes ou amigos 2
Professor Particular 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
A Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e quem ajuda os
estudantes nas tarefas de Matemática está disposta no Quadro 119 a seguir:
Quadro 119 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e quem ajuda os estudantes
nas tarefas de Matemática
Estudante DESEMPENHO NO PRÉ-TESTE
DESEMPENHO NO PÓS-TESTE
DIFERENÇA QUEM AJUDA NAS TAREFAS DE MATEMÁTICA
E1 0,84 8,4 7,56 2
E3 1,68 4,2 2,52 2
E4 0,84 5,04 4,2 2
E5 0,84 8,4 7,56 2
E6 0 5,04 5,04 1
E7 0 8,4 8,4 2
E9 0,84 8,4 7,56 1
E10 0,84 6,72 5,88 1
E11 0 5,04 5,04 2
E12 0,84 4,2 3,36 1
E14 0 5,04 5,04 1
E15 0 7,56 7,56 2
E16 0,84 2,52 1,68 2
E19 0,84 7,56 6,72 1
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Como resultado do Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟),
encontramos 𝑟 = −0,0085, classificando-se como “Ínfima Negativa”, o que nos
sugere que a ajuda nas tarefas em Matemática não influencia no desempenho dos
testes aplicados.
A seguir analisaremos os dados sobre a afinidade dos estudantes por
Matemática. Os resultados estão dispostos a seguir.
291
Quadro 120- Parametrização das variáveis referentes à afinidade dos estudantes por
Matemática
Você gosta de matemática? PARAMETRIZAÇÃO
Nenhum pouco 1
Pouco 2
Muito 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Após parametrizarmos e distribuirmos no quadro 121 a correlação entre a
diferença dos desempenhos e a afinidade dos estudantes em Matemática,
calculamos o resultado do Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), que foi
𝑟 = 0,4673, qualificado como “Fraca positiva”, o que nos indica que a afinidade do
estudante por Matemática exerce pouca influência nos resultados encontrados nos
testes aplicados.
Quadro 121 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e afinidade dos
estudantes por Matemática
Estudante DESEMPENHO NO
PRÉ-TESTE DESEMPENHO NO
PÓS-TESTE DIFERENÇA
AFINIDADE POR MATEMÁTICA
E1 0,84 8,4 7,56 3
E3 1,68 4,2 2,52 2
E4 0,84 5,04 4,2 1
E5 0,84 8,4 7,56 3
E6 0 5,04 5,04 2
E7 0 8,4 8,4 3
E9 0,84 8,4 7,56 3
E10 0,84 6,72 5,88 1
E11 0 5,04 5,04 2
E12 0,84 4,2 3,36 1
E14 0 5,04 5,04 3
E15 0 7,56 7,56 3
E16 0,84 2,52 1,68 3
E19 0,84 7,56 6,72 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Os próximos dados a serem correlacionados com a diferença das notas nos
testes são os referentes ao hábito de estudo dos estudantes. Apresentamos
primeiramente, a parametrização das variáveis qualitativas.
292
Quadro 122 - Parametrização das variáveis referentes ao hábito de estudo dos estudantes
ESTUDA MATEMÁTICA PARAMETRIZAÇÃO
Nunca estuda/Só na véspera 1
Só no período da prova 2
Só aos fins de semana 3
Alguns dias na semana 4
Todos os dias 5
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
Em seguida apresentamos a correlação entre a diferença dos desempenhos
nos testes e o hábito de estudo dos estudantes.
Quadro 123 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e hábito de estudo dos
estudantes
Estudante DESEMPENHO NO
PRÉ-TESTE DESEMPENHO NO
PÓS-TESTE DIFERENÇA HÁBITO DE ESTUDO
E1 0,84 8,4 7,56 5
E3 1,68 4,2 2,52 5
E4 0,84 5,04 4,2 1
E5 0,84 8,4 7,56 4
E6 0 5,04 5,04 3
E7 0 8,4 8,4 4
E9 0,84 8,4 7,56 1
E10 0,84 6,72 5,88 1
E11 0 5,04 5,04 4
E12 0,84 4,2 3,36 4
E14 0 5,04 5,04 1
E15 0 7,56 7,56 4
E16 0,84 2,52 1,68 1
E19 0,84 7,56 6,72 2
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Diante dos dados, ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de
Pearson (𝑟), encontramos 𝑟 = 0,177, classificando-se como “Fraca positiva”, o que
nos leva a afirmar que o hábito de estudo dos estudantes exerce pouca influência
nos resultados encontrados nos testes aplicados.
293
No que diz respeito ao fator notas de Matemática dos estudantes, temos o
Quadro 124:
Quadro 124 - Parametrização das variáveis referentes as notas em Matemática dos
estudantes
NOTAS EM MATEMÁTICA PARAMETRIZAÇÃO
Abaixo de 5 1
Iguais a 5 2
Acima de 5 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
A correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e as notas em
Matemática dos estudantes e descrita no quadro 125, a seguir.
Quadro 125 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e as notas em Matemática
dos estudantes
Estudante DESEMPENHO NO
PRÉ-TESTE DESEMPENHO NO
PÓS-TESTE DIFERENÇA NOTAS EM MATEMÁTICA
E1 0,84 8,4 7,56 3
E3 1,68 4,2 2,52 3
E4 0,84 5,04 4,2 3
E5 0,84 8,4 7,56 3
E6 0 5,04 5,04 3
E7 0 8,4 8,4 3
E9 0,84 8,4 7,56 3
E10 0,84 6,72 5,88 1
E11 0 5,04 5,04 3
E12 0,84 4,2 3,36 3
E14 0 5,04 5,04 2
E15 0 7,56 7,56 3
E16 0,84 2,52 1,68 3
E19 0,84 7,56 6,72 3
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Diante dos dados, ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de
Pearson (𝑟), encontramos 𝑟 = −0,003, classificando-se como “Ínfima Negativa”, o
que nos leva a afirmar que a variação de notas em Matemática não exerce influência
nos resultados encontrados nos testes aplicados.
294
Em relação à dificuldade dos estudantes em aprender Matemática, temos:
Quadro 126- Parametrização das variáveis referentes à dificuldade dos estudantes em
aprender Matemática
DIFICULDADE EM MATEMÁTICA PARAMETRIZAÇÃO
MUITA 1
UM POUCO 2
NÃO 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
A correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a dificuldade
dos estudantes em Matemática está disposta no quadro 127, a seguir.
Quadro 127 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a dificuldade em
Matemática dos estudantes
Estudante DESEMPENHO NO
PRÉ-TESTE DESEMPENHO NO
PÓS-TESTE DIFERENÇA
DIFICULDADE EM MATEMÁTICA
E1 0,84 8,4 7,56 2
E3 1,68 4,2 2,52 2
E4 0,84 5,04 4,2 2
E5 0,84 8,4 7,56 2
E6 0 5,04 5,04 2
E7 0 8,4 8,4 2
E9 0,84 8,4 7,56 3
E10 0,84 6,72 5,88 1
E11 0 5,04 5,04 2
E12 0,84 4,2 3,36 2
E14 0 5,04 5,04 2
E15 0 7,56 7,56 2
E16 0,84 2,52 1,68 2
E19 0,84 7,56 6,72 2
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Com Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), 𝑟 = 0,1569,
classificando-se como “Fraca Positiva”, o que nos indica que a dificuldade em
Matemática dos estudantes, teve pouca interferência nos resultados encontrados
nos testes aplicados.
295
Para finalizar, calculamos Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟) em
relação à frequência estudantes, parametrizado no Quadro 128:
Quadro 128- Parametrização das variáveis referentes à frequência dos estudantes
FREQUÊNCIA DOS ESTUDANTES PARAMETRIZAÇÃO
DE 0% A 25% 1
DE 26% A 50% 2
DE 51% A 75% 3
DE 76% A 100% 4
Fonte: Pesquisa de Campo (2018)
A correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a frequência
dos estudantes em nossa Experimentação está disposta no quadro 129, a seguir.
Quadro 129 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a frequência dos
estudantes
Estudante DESEMPENHO NO
PRÉ-TESTE DESEMPENHO NO
PÓS-TESTE DIFERENÇA
FREQUÊNCIA DOS ESTUDANTES
E1 0,84 8,4 7,56 4
E3 1,68 4,2 2,52 4
E4 0,84 5,04 4,2 4
E5 0,84 8,4 7,56 4
E6 0 5,04 5,04 4
E7 0 8,4 8,4 4
E9 0,84 8,4 7,56 4
E10 0,84 6,72 5,88 4
E11 0 5,04 5,04 3
E12 0,84 4,2 3,36 4
E14 0 5,04 5,04 4
E15 0 7,56 7,56 3
E16 0,84 2,52 1,68 4
E19 0,84 7,56 6,72 4
Fonte: Pesquisa de campo (2018)
Ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), 𝑟 = 0,1569,
classificando-se como “Fraca Positiva”, o que nos indica que a frequência dos
estudantes em Matemática dos estudantes, apesar de ter pouca interferência nos
296
resultados encontrados nos testes aplicados, mostra que é importante para estes
resultados.
Portanto, a partir de todas essas constatações de correlações muito fracas
entre os fatores socioeconômicos e os resultados encontrados nos testes aplicados,
podemos concluir que o bom desempenho dos estudantes nos resultados
comparativos entre pré e pós-testes, possui como fator determinante a maneira
como o professor conduz seu trabalho em sala de aula, as escolhas das
metodologias de ensino escolhidas para desenvolver os conteúdos matemáticos.
Em nosso caso, podemos inferir que, para o conteúdo de Frações, o bom
rendimento dos estudantes levados em consideração em nosso experimento, se
deve ao trabalho realizado para ensino de Frações, desenvolvido a partir da
metodologia do Ensino por Atividades.
297
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve por objetivo avaliar quais os efeitos da aplicação de uma
sequência didática, baseada no Ensino por Atividades, para o Ensino de Frações, a
alunos de uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental de uma Escola Pública de
Belém, nas aulas de matemática e sobre o desempenho de resolução de questões
envolvendo este conteúdo. Dessa forma, nossa pretensão foi de analisar que efeitos
a metodologia de ensino baseada no Ensino por Atividades proporciona ao
aprendizado matemático do aluno sobre Fração.
Como mencionamos, nossa escolha metodológica de pesquisa foi a
Engenharia Didática, então, para contemplar uma de suas fases, realizamos
análises prévias do ensino, destacamos os aspectos gerais do objeto ensino de
Frações, como a localização no currículo deste conteúdo, os aspectos históricos
deste objeto matemático, realizamos uma revisão de estudos presentes na literatura
atual referente a este conteúdo, consultamos docentes e estudantes egressos do 6º
ano do ensino fundamental, para elaboração e experimentação da nossa sequencia
didática.
Das informações obtidas nas análises prévias, os estudos levantados, no que
concerne ao ensino de Fração, suas considerações apontam para um predomínio de
procedimentos realizados automaticamente sem uma reflexão sobre a natureza da
tarefa proposta, ser de suma importância que as atividades ou situações-problemas,
que expressam os mais diferentes contextos onde os números racionais estejam
presentes, possam ser trabalhadas, como grandezas contínuas e grandezas
discretas, e que isso tem implicações conceituais, e uma abordagem às frações em
contextos significativos para os alunos, proporciona, às crianças, um trabalho em
diversificadas situações, onde as frações surgem com diferentes significados.
A consulta aos estudantes também revelaram que o ensino tradicional,
pautado no modelo definição, seguido de exemplos e exercícios ainda é
predominante, também houve indicação que o experimento didático é um
procedimento metodológico ainda pouco explorado em sala de aula, o que nos
indica a importância da elaboração de atividades que possam ser acessíveis às
condições das escolas e dos professores para serem possíveis de serem aplicadas
em sala de aula.
298
Com relação aspectos da formação inicial e continuada dos docentes
consultados, observamos apontamentos a respeito de lacunas deixadas nessa
formação que podem influenciar no ensino de conceitos matemáticos, bem como
nas escolhas metodológicas para abordar tais conhecimentos. Observamos
também, um esforço em novas possibilidades de abordagem deste conteúdo
matemático. Porém, ainda muito perseverante o modelo: definição-exemplo-
exercício, que, confrontados com pesquisas anteriores a respeito desta temática,
pode ser prejudicial ao aprendizado destes alunos, apontado ser salutar que o
professor pondere sobre sua prática docente.
A respeito de metodologias para ensino de Fração entendemos a importância
dos saberes oriundos da academia, dos saberes científicos, curriculares, entre
outros, que apoiarão as escolhas e a atuação profissional deste docente.
Em relação aos nossos resultados, num primeiro plano, pudemos perceber e
verificar estatisticamente um avanço dos alunos no desempenho em relação ao
conteúdo de Frações, conhecendo as variadas operações e significados pertinentes
a este conteúdo. O nível aproveitamento nos testes dos alunos que participaram da
fase de Experimentação de nosso estudo destaca o quão proveitosa no que diz
respeito a conhecimento adquirido do conteúdo, nossa sequência didática se mostra
no âmbito escolar.
Assim, podemos afirmar que, baseados em nossas análises, o experimento
didático elaborado e aplicado ao ensino de Frações proporcionou aos estudantes do
6º ano do Ensino Fundamental um maior desempenho em Matemática.
No desenvolvimento de nosso Experimento observamos que as discussões e
socializações das informações, realizadas a partir das dificuldades dos estudantes
nos procedimentos de cada Atividade, a comparação dos resultados encontrados
pelos mesmos, possibilitaram um ambiente rico para o pensamento, reflexão, auto
avaliação e evolução da linguagem matemática, potencializando a capacidade de
observar, de escrever, o poder de síntese e conclusão destes estudantes, levando-
os a construir conceitos a partir de suas inferências, com uma representação
simbólica matemática.
Nesta trajetória, vivemos algumas dificuldades que forçaram uma
reorganização de nosso planejamento inicial em alguns momentos. A adequação de
nossa Sequência ao período disponibilizado pela Escola para o seu
desenvolvimento em virtude das atividades pré-agendadas (jogos, reuniões, troca de
299
horários, etc.) no calendário da mesma, que escapavam de nosso domínio, mas que
eram completamente importantes para o desenvolvimento de nosso experimento.
Na realização das aulas, observamos que as interferências externas como:
interrupções para avisos, para entrega de documentos como provas, bem como
estruturais, como: o estado da sala de aula, a poluição sonora e o calor, foram
fatores que distraiam os estudantes e dificultavam sua concentração, tão necessária
para o bom aproveitamento de nossos encontros.
Estes limitantes nos mostram que, apesar de haver um planejamento inicial
bem organizado, há situações na sala de aula, no dia-a-dia, que fogem de nosso
controle e que também constroem nossa habilidade em contornar estes obstáculos e
construir nossos saberes da experiência, sendo assim, também relevantes para a
nossa formação docente.
A partir deste estudo, consideramos a necessidade de prosseguir com
pesquisas sobre este objeto, que aprofundem o entendimento sobre o processo de
ensino-aprendizagem de Frações numa perspectiva experimental, principalmente a
fim de superar as dificuldades no assunto que advém dos obstáculos de
aprendizagem em outros conteúdos matemáticos, apontados pelos erros
procedimentais no pós-teste.
As conclusões deste estudo nos direcionam a necessidade da reflexão acerca
das escolhas metodológicas para abordagem e desenvolvimento deste conteúdo
matemático, bem como dos diferentes saberes que ficam fragilizados por lacunas
deixadas tanto na formação inicial quanto continuada dos professores de
Matemática do Ensino Fundamental sobre o conteúdo de Frações. Ponderamos,
então, a importância de uma formação docente com qualidade, tanto inicial como
continuada, trazendo os saberes necessários para sua atuação docente, além de
estudos que apontem possibilidades para a sala de aula.
300
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, A. S. Fundamentos da Didática da Matemática. São Paulo: Editora UFPR, 2007.
ARTIGUE, M. Engenharia Didática. IN: BRUN, J. Didáctica da Matemática. Tradução Maria José Figueiredo. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996. 193-217p.
BEZERRA, J. B. Introdução do Conceito dos Números Fracionários e de suas Representações: uma abordagem criativa para a sala de aula. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC: São Paulo, 2001.
BOYER, C. B., História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. 2ª Ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1996.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto: Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC, 2008, 148 p.
BROUSSEAU. G. Fundamentos e métodos da didática da matemática. IN: BRUN, J. Didáctica da Matemática. Tradução Maria José Figueiredo. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996. 35 -111p.
BUNT, L. N. H.; JONES, P. S.; BEDIENT, J. D. The Historical roots of elementary mathematics. New York: Dover Publications Inc., 1988.
CAJORI, F. A History of Mathematical Notations. Two volumes bound as one. New York: Dover, 1993.
CANOVA, R. F. Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental com relação à Fração. 2006, 220 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC: São Paulo, 2006.
CAVALCANTI, J. D. B.; SANTOS, M. C.; JÓFOLI, Z. M. S. Um olhar sobre os obstáculos que permeiam a aula de matemática: um exemplo com frações. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 9, 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte – MG: UNIBH, 2007.
COSTA, A. C.; SÁ, P. F. Operações com frações x dificuldade na resolução de problemas. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 9, 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte – MG: UNIBH, 2007.
CUNHA, E. R. Os saberes docentes ou saberes dos professores. In: Revista Cocar. Programa de Pós-Graduação em educação. V. 1, n° 2, Jul-Dez. 2007. UEPA: Belém, p.31–39.
DAMICO, A. Uma investigação sobre a formação inicial de professores de Matemática para o Ensino de Números Racionais no Ensino Fundamental. 2007, 313 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - São Paulo: PUC, 2007.
301
DRUZIAN, M. E. B. Jogos como recurso didático no Ensino Aprendizagem de Frações. Vidya, v. 27, nº 1: p. 67 a 78. Jan/Jun, 2007. Santa Maria, 2009. ISSN 0104-270X
FONSECA, F. L. A divisão de números racionais decimais: um estudo diagnóstico junto a alunos de 6ª série. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.
FOSSA, J. A. Características de atividades para o ensino de matemática. In: Ferreira G. P. (Org.). Educação Básica. Ceará, CE: URCA. 2000.
GUERRA, R. B. SILVA, F. H. S. As operações com frações e o princípio da contagem. Bolema, ano 21, nº 31: p. 41 a 54. Rio Claro-SP, 2008.
IFRAH, G. História Universal dos Algarismos: A inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução Muñoz, Alberto e Katinky, Ana Beatriz. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
_______. Os números: A História de uma grande invenção. Tradução Senso, Stella M. de Freitas. 9ª edição: Editora Globo, 1997.
JESUS, A. B. M. de. Uma proposta de ensino de Frações voltada para a construção do conhecimento. 2013, 71 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática). Lavras - MG: UFLA, 2013.
JUSTULIN, A.; PIROLA, N. A. Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à matemática e a resolução de problemas envolvendo frações. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS- GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 12, 2008, Rio Claro. Anais... Rio Claro – São Paulo: UNESP, 2008.
LESSA, V. I. A compreensão do conceito de número fracionário: Uma sequencia didática para o significado de medida. 2011, 167 f. Dissertação (Mestrado profissional em Ensino de Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2011.
LEVIN, J.; FOX, J. Estatística para as ciências humanas. 9. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004
LINS, A. F.; SILVA, E. J. Intervenção docente na construção do conhecimento de Frações de alunos do EJA: um estudo de caso. 2007. Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Html/posteres.html>. Acesso em: 29 out. 2016.
LOPES, A. J. O que Nossos Alunos Podem Estar Deixando de Aprender sobre Frações, quando Tentamos lhes Ensinar Frações. Bolema, ano 21, nº 31, p. 1 a 22. Rio Claro – SP, 2008.
LOPES, A.; PATRICIO, T. R. S. O uso de jogos no ensino de fração. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.11, 2013. Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.
302
MACIEL, A.; CÂMARA, M. Analisando o Rendimento de Alunos das Séries Finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio em Atividades Envolvendo Frações e Idéias Associadas. Bolema, ano 20, nº28: p. 163 a 177. Rio Claro - SP, 2007.
MAGINA, S.; BEZERRA, F. B.; SPINILLO, A. Como desenvolver a compreensão de crianças sobre Fração? Uma experiência de ensino. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, v. 90, nº 225: p. 411 a 432. Maio/ Ago, 2009.
MAGINA, S; CAMPOS, T. A fração nas perspectivas do professor e do aluno dos dois primeiros ciclos do Ensino Fundamental. Bolema, ano 21, nº 31: p. 23 a 40. Rio Claro-SP, 2008.
MALASPINA, M. da C. O. O Início do Ensino de Fração: uma investigação com alunos de segunda série do Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2007.
MENDES, I. A; SÁ, P. F.; Matemática por atividades: sugestões para sala de aula. Natal: Flecha do Tempo, 2006.
MERLINI, V. L. O conceito de frações em seus diferentes significados; um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do Ensino Fundamental. 2005, 238 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.
MONTEIRO, C.; PINTO, H.; FIGUEIREDO, N. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. 2005. Disponível em: <http://arquivo.ese.ips.pt/ese/projectos/sentidonumero/Fraccoes_EM.pdf>. Acesso em: 01 nov. 2016.
MOREIRA, I. M. B. O Ensino das operações envolvendo frações com calculadora. Dissertação (Mestrado em Educação) 137 f. Universidade do Estado do Pará, Belém, 2010.
MOREIRA, I. M. B.; SÁ, P. F.; ALVES, F. J. C.; BARROS NETO, A. J. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes a partir de situações-problemas. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.10, 2010. Salvador. Anais... Salvador – Bahia: Via Litterarum, 2010.
MOUTINHO, L. V. Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos da 4ª e 8ª séries do ensino fundamental. 2005, 218 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.
NASCIMENTO, J. Perspectiva para aprendizagem e ensino dos números racionais. Revista de Iniciação Científica da FFC, v. 8, n. 2, p. 196 – 208, 2008.
NOTARI, A. M.. Simplificação de frações aritméticas e algébricas: um diagnóstico comparativo dos procedimentos. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2002.
NUNES, T.; CAMPOS, T. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Educação Matemática 1: números e operações numéricas. 2ª ed. São Paulo: Cortez, 2009.
303
OKUMA, E. K. Ensino e aprendizagem de fração: um estudo comparativo e uma intervenção didática. 2010, 88 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Pedagogia). Lins: Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, 2010.
OLIVEIRA, M.M. Sequência Didática Interativa no processo de Formação de Professores. Petrópolis: Vozes: 2013.
OLIVEIRA, M. S. S.; AGUILA, M. J. S. D. Dificuldade no processo de ensino - aprendizagem na resolução de problemas envolvendo fração na 5ª série do Ensino Fundamental. Monografia (Licenciatura Plena em Matemática). Belém: UEPA, 2005.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. As diferentes “Personalidades” do número racional trabalhadas através da resolução de problemas. Bolema, ano 21, nº 31: p. 79 a102. Rio Claro-SP, 2008.
PAIS, L. C. Didática da Matemática: Uma análise da influência francesa. 3 ed. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora: 2015.
PASUCH, A.; BARBOZA, J. V.; BASSANI, L. T. A utilização do lúdico no processo de ensino-aprendizagem de Frações. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 25, 2013, Curitiba. Anais... Curitiba – PR: PUC, 2013.
PINTO, H.; RIBEIRO, C. M. Conhecimento e formação de futuros professores dos primeiros anos – o sentido de número racional. Rev. Da Investigação às Práticas, v. 3, nº 1, p. 80-98, 2013.
RODRIGUES, W. R. Números racionais: um estudo das concepções de alunos após o estudo formal. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.
ROSA, R. R. Dificuldades na compreensão e na formação de conceitos de números racionais: uma proposta de solução. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Faculdade de Física, Rio Grande do Sul: PUC, 2007.
SÁ, P. F. Atividades para o ensino de matemática no nível fundamental. Belém: EDUEPA, 2009.
SÁ, P. F.; JESUS, A. C. N.; BARROS NETO, A. J.; ALVES, F. J. C.; RODRIGUES, I. F. Adição e subtração de frações com calculadora virtual. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.10, 2010. Salvador. Anais... Salvador – Bahia: Via Litterarum, 2010.
SÁNCHEZ-AMAYA, T. y GONZÁLEZ-MELO, H. S. (2016). Saber Pedagógico: fundamento del ejercicio docente. Educación y educadores, v. 19, n. 2, p. 241-253, ago. 2016. ISSN 2027-5358. Disponível em: http://educacionyeducadores.unisabana.edu.co/index.php/eye/article/view/5905. Acesso em 05.08.2017.
SANTANA, L. E. L.; LIMA, L. H. M.; SILVA, S. H.; OLIVEIRA, B. P. Fração e seus diferentes registros de representação semiótica: uma análise da percepção de
304
futuros pedagogos. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 11, 2013, Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.
SANTOS, A. O conceito de Fração em seus diferentes significados: Um estudo diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental. 2005, 196 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.
SANTOS, P. L.; GRAMINHA, S. S. V. Estudo comparativo das características do ambiente familiar de crianças com alto e baixo desempenho acadêmico. Revista Paidéia, ano IV, nº 3: p. 217 a 226. Belo Horizonte-MG, 2005.
SCHIMITT, F. E.; QUARTIERI, M. T.; OLIVEIRA, E. C. O estudo de Frações através de investigações matemáticas com uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental. Signos, ano 35, nº 1, p. 53 a 62, 2014. ISSN 1983-0378
SECCO, R. L. Um ambiente interativo de aprendizagem em fração. 2007, 111 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional de Conhecimento) – Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2007.
SILVA, A. F. G. O desafio do desenvolvimento profissional: análise da formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais do ensino fundamental, tendo como objeto de discussão o processo de ensino e aprendizagem das frações. Tese (Doutorado em Educação Matemática), 308f. São Paulo: PUC, 2007.
SILVA, A. F. G.; ITO, V. C. C. Conhecimento de estudantes de licenciatura em matemática a respeito de situações para o ensino da divisão com frações. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.11, 2013. Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.
SILVA, M. J. F; AMOULOUD, S. A. As operações com números racionais e seus significados a partir da concepção parte-todo. Bolema, ano 21, nº 31: p. 55 a 78. Rio Claro-SP, 2008.
SILVA, N. S. M.; PIRES, E. C. P.; SÁ, P. F. O ensino de frações segundo a opinião docente. . In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.10, 2010. Salvador. Anais... Salvador – Bahia: Via Litterarum, 2010.
SILVA, T. V. da. A compreensão da idéia do número racional e suas operações na EJA: uma forma de inclusão em sala de aula. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) 132f. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Centro de Ciências Exatas e da Terra, 2007.
SMITH, D. E. History of Mathematics. Vol. 1. New York: Dover Publications Inc., 1958.
SOUSA, J. P. A importância da família no processo de desenvolvimento da aprendizagem da criança. Monografia. Ceará: Universidade Estadual Vale do Acaraú, 2012.
305
SOUZA, A. T. S.. Abordagem do conceito de fração: uma análise de livros didáticos. ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.11, 2013. Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.
TARDIF, M. Os professores diante do saber: esboço de uma problemática do saber docente. In: __________. Saberes docentes e Formação Profissional. Petrópolis: Vozes, 2002, p. 31-35.
TEIXEIRA, A. M. O professor, o ensino de fração e o livro didático: um estudo investigativo. 2008, 194 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). São Paulo: PUC, 2008.
VASCONCELOS, I. C. P. Números Fracionários: a construção dos diferentes significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do ensino fundamental. 2007, 103 f. Dissertação (Mestrado em Educação). Porto alegre: UFRS, 2007.
306
APÊNDICE A – Questionário para Docentes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO
Caro Professor (a),
Este instrumento faz parte de uma pesquisa e tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para a superação de obstáculos de ensino e aprendizagem de Matemática, encontrados por professores e alunos durante atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada.
Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho.
1 – Sexo: ( ) Feminino ( ) Masculino Data: ___/___/___ 2 – Faixa Etária: ( ) 15-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos
( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos
( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) 66-70 anos.
3 – Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações): ( )Ensino Superior.-_____________________________Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Especialização1. ____________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Especialização2. _________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Mestrado.__________________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Doutorado.________________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ 4 – Tempo de serviço como professor de Matemática: ( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos
( )11-15 anos ( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos
( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( ) Mais de 35 anos
5 – Série(s) em que está lecionando atualmente: No ensino fundamental: _____________________No ensino Médio:____________ 6 – Quais as séries que você já lecionou matemática: No ensino fundamental: ________________No ensino Médio:_______________ 7 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( )Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( )Pública Federal
( )Privada ( )Outra. Qual?_______
307
8 – Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre metodologias de ensino de Fração? ( ) Não ( ) Sim. Qual? 9 – Durante sua atuação como professor de matemática você já fez algum curso ou participou de evento que abordou o ensino de Fração? ( ) Não ( ) Sim. Qual?_____ 10 – Quando você ensina Fração, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito
( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos ( ) nunca ensinei este assunto.
11 – Para fixar o conteúdo de Fração, você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático
( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver
12 – Quantas horas-aula você costuma dedicar ao ensino de Fração? __________ 13 – Preencha o quadro abaixo com base na sua experiência de professor(a).
ASSUNTO
COSTUMA ENSINAR
GRAU DE DIFICULDADE DOS ALUNOS
SIM NÃO MUITO FÁCIL
FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO DIFÍCIL
CONCEITO DE FRAÇÃO
TIPOS DE FRAÇÃO
REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÕES
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR
ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES
308
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÃO
DIVISÃO DE FRAÇÃO
PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE O TODO E DESEJA SABER A PARTE
PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA CONHECER O TODO
PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA ENCONTRAR OUTRA PARTE
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
309
APÊNDICE B – Questionário para Discentes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO
Caro aluno (a),
Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino- aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato. Muito obrigado!
1 – Idade: ______anos 2 – Sexo: ( ) Feminino ( ) Masculino Data:__/___/_____ 3 – Escola:___________________________________ Ano: ___ 4 – A escola que você estuda fica no bairro que você mora? ( ) Sim ( ) Não 5 – Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( )Não ( ) As vezes 6 – Você costuma fazer compras (comércio, mercearia, supermercado, açougue, etc.)? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes 7 – Quem é o seu responsável masculino? ( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( ) Não tenho ( ) Outro. Quem?_________ 8 – Quem é a sua responsável feminina? ( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( ) Não tenho ( ) Outra. Quem?____________ 9 – Escolaridade do seu responsável masculino? ( ) Nunca estudou ( ) Ensino fundamental completo ( ) Ensino fundamental incompleto ( ) Ensino médio completo
( ) Ensino médio incompleto ( ) Ensino superior completo ( ) Pós-graduado ( ) Não sei responder
10 – Escolaridade do seu responsável feminino? ( ) Nunca estudou ( ) Ensino fundamental completo ( ) Ensino fundamental incompleto ( ) Ensino médio completo
( ) Ensino médio incompleto ( ) Ensino superior completo ( ) Pós-graduado ( ) Não sei responder
11 – Seu responsável masculino trabalha? _____ trabalha com que? 12 – Sua responsável feminina trabalha? _____ trabalha com que? 13 – Com quantos anos você começou a frequentar a escola? ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 () 7 14 – Você fez educação infantil? ( ) Não ( ) Sim 15 – Você já repetiu algum ano? ( ) Não ( ) Sim, qual? _______________. Qual a disciplina?_________________________. Quantas vezes? ______________. 16 – Quem lhe ajuda nas tarefas de Matemática? ( ) Ninguém ( ) Professor particular
( ) Responsável masculino ( ) Responsável feminino
310
( ) Irmão/Irmã ( ) Responsável masculino e feminino ( ) Outras pessoas da família ( tios, primos, .....)
( ) Colega de escola ( ) Outros, quem? _________________
17 – Você faz algum curso? ( )Informática ( )Língua estrangeira ( )Outro. Qual? _________________ 18 – Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito 19 – Você tem dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muita 20 – Você se distrai nas aulas de matemática? ( )Não, eu sempre presto atenção ( )Sim, eu não consigo prestar atenção ( )Às vezes, quando a aula está chata 21 – Suas notas em matemática são: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5 22 – Você costuma estudar matemática, fora da escola: ( ) Nunca estudo Matemática ( ) Uma vez por semana ( ) Duas vezes por semana ( ) Três vezes por semana ( ) Quatro vezes por semana
( ) Só na véspera da prova ( ) Só no período de prova ( ) Só nos finais de semana ( ) De segunda a sexta-feira ( ) Todo dia
23 – Você estudou o 6º ano em que tipo de escola: ( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal
( ) Particular ( ) Outro. Qual? ________________
24 – Você pratica esportes? ( )Não ( )Sim, qual?______________________ 25 – Você repetiu ou ficou em dependência em Matemática no 6º ano? ( ) Não ( ) Sim 26 – Quando você estudou o assunto Fração, a maioria das aulas era desenvolvida como? ( ) Pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) Com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) Com um experimento para chegar ao conceito ( ) Com jogos para depois sistematizar os conceitos
27 – Para fixar o conteúdo de Fração, o seu professor na maioria das aulas: ( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto ( ) Mandava resolver os exercícios do livro didático
( ) Não fazia proposta de questões de fixação ( ) Pedia que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes (exemplo: internet, outros livros)
28 – As explicações do professor de Matemática são suficientes para você entender o que está sendo explicado? ( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) Quase nunca ( ) Nunca 29 – Quando você estudou Fração, alguma vez, o seu professor usou algum tipo de material além da explanação no quadro para ensinar o assunto? ( ) Não ( ) Sim. Qual (is)?_________________________ 30 – Preencha o quadro abaixo com base em seus conhecimentos sobre Fração:
311
ASSUNTO
GRAU DE DIFICULDADE
MUITO FÁCIL
FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO DIFÍCIL
CONCEITO DE FRAÇÃO
TIPOS DE FRAÇÃO
REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÕES
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR
ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÃO
DIVISÃO DE FRAÇÃO
PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE O TODO E DESEJA SABER A PARTE
PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA CONHECER O TODO
PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA ENCONTRAR OUTRA PARTE
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
312
APÊNDICE C Pré e Pós teste
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO
Caro aluno (a),
Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino- aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato. Muito obrigada!
Responda às questões a seguir: 1) Uma escola possui 100 livros didáticos para distribuir entre as turmas de 6º ano. Sabendo que cada turma receberá a quarta parte do total de livros, quantos livros cada turma receberá?
2) Joana fez um bolo e dividiu em 8 fatias para vendê-las. Após a venda, sobraram 3 fatias. Que fração representa o número de fatias que foram vendidas?
3) Miguel dividiu seus carrinhos entre seus dois irmãos menores. João, ficou com 2
5 dos
carrinhos e Felipe com 3
5. Qual irmão ficou com a maior quantidade de carrinhos? Por que?
4) Um terreno foi loteado para o cultivo de arroz, feijão e trigo. Para a plantação de
arroz ficou reservado 4
12 do terreno, para feijão separou-se
6
18 e para trigo sobrou
5
15. Para qual plantação ficou reservada a maior parte do terreno? Porquê?
5) Jade e Lúcio foram comer pizza. Jade comeu 1
4 e Lúcio
2
4 de uma pizza de calabresa.
Que fração da pizza eles comeram juntos?
6) Rodrigo toma 3
7 de litro de suco de laranja pela manhã, e
1
7 de litro durante o almoço.
Que fração de litro de suco ele consome a mais pela manhã?
313
7) Uma escola oferece aos seus alunos duas atividades em educação Física: Futebol e
vôlei. Entre os alunos da escola, 2
4 se inscreveram em Futebol e
1
8 em vôlei. Que fração
corresponde aos alunos inscritos?
8) 3
4 da população de uma cidade votou na eleição para prefeito.
1
2 das pessoas que
votaram são homens. Que fração representa os votos das mulheres?
9) Em uma prova de Matemática, 1
2 das questões eram sobre Aritmética. Destas
questões, 2
8 eram sobre adição. Que fração das questões da prova era sobre adição?
10) João comprou 2 kg de queijo prato e pediu para que fosse embalado em porções de 1
4 de kg. Quantas porções foram necessárias para embalar o queijo?
11) Um tanque cheio pode conter até 1
2 de metro cúbico de água. Para encher o tanque,
João utiliza porções de 2
10 de metros cúbicos de água. Quantas porções serão necessárias
para encher completamente o tanque?
12) O cachorro de Helena come 2
6 de um saco de ração por dia. Essa quantidade
preenche exatamente 2
3 do seu recipiente de alimentação. Quanto de ração seria necessário
para encher o recipiente inteiro?
314
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Pós-Graduação em Educação
Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo 66113-200 Belém-PA
www.uepa.br/mestradoeducacao