Download - O Triângulo de Pascal
Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em
1303 Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013
Blaise Pascal (1623 - 1662)
Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas.
O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano 1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse dado o seu nome.
Versão de Pascal do triângulo
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15
20
15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56
70
56
28
8 1
1 9 36 84
126 84 36
9 1
1 10 45 120 210 210 120
45 10
1
126
252
... ... ... ... ... ... ... ... ......
“O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no entanto, contém tantas ligações com tantos aspectos aparentemente não relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes construções Matemáticas.”
Martin Gardner
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10
10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
00C
10C
20C 2
2C21C
30C
11C
31C 3
2C 33C
40C 4
1C 42C 4
3C
50C
70C
60C
51C 5
2C 53C
44C
61C 6
2C 63C
55C5
4C
73C
65C
71C 7
2C
64C
74C 7
5C 76C 7
7C
66C
Linha
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
n = 7
0nC 1
nC npC
nn pC 1
nnC n
nC………
…
n
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10
10 5 1
1 6 15
20
15
6 1
1 7 21
35 35 21 7 1
1 8 28
56 70 56 28 8 1
00C
10C
20C 2
2C21C
30C
11C
31C 3
2C 33C
40C 4
1C 42C 4
3C
50C
70C
60C
51C 5
2C 53C
44C
61C 6
2C 63C
55C5
4C
73C
65C
71C 7
2C
64C
74C 7
5C 76C 7
7C
80C 8
1C 82C 8
3C 84C 8
5C 86C 8
7C 88C
66C
1. Todas as linhas começam e acabam em 1.Efetivamente,
2. O triângulo é simétrico, uma vez que , em cada linha, valores equidistantes dos extremos são iguais.
0 1n nnC C 0 1n nnC C
0, 0
n np n pC C
com n p IN e p n
0, 0
n np n pC C
com n p IN e p n
3. A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte:
0 1 ... 2n n n nnC C C 0 1 ... 2n n n nnC C C
0n IN 0n IN 2n2n4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com é
5. O número de elementos de uma linha n, com , é n+1.0n IN 0n IN
11 1
0, 0
n n np p pC C C
com n p IN e p n
11 1
0, 0
n n np p pC C C
com n p IN e p n
E
S
CASA DA ANA
ESCOLA
CB
A
Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar sempre se andar sempre apenaapenas para Este (E) ou para Sul (S)?s para Este (E) ou para Sul (S)?
Comecemos por contar o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à
esquina A! (clica em A)
E para chegar à
esquina B?...(clica em B)
E até à esquina
C?...(clica em C)
E se fosse para chegar à esquina
B'?...
B’
E, finalmente, até à
Escola?...(clica na “Escola”)
Contemos, então, o número de caminhos diferentes Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A!que ela tem para chegar à esquina A!
21C21C
1 1
21
(S , E)
(E , S)
E
SA
Número de maneiras diferentes de: Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o outro para Sul!
(clica aqui)
Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B...esquina B...
31C31C 3
2C32C
1 1
21
31
(S , S , E)(E , S , S)(S , E , S)
B
E
S
Número de maneiras diferentes de: Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2 restantes para Sul)!
ou(clica aqui)
E
S
C
E até à esquina E até à esquina C!...C!...
42C42C
1 1
21
31
(E , E , S , S)
1
3
6
(E , S , E , S)(E , S , S , E)
(S , E , E , S)(S , E , S , E)
(S , S , E , E)
Número de maneiras diferentes de: Dos Dos 4 troços4 troços a percorrer, escolher a percorrer, escolher 22 desvios para desvios para EsteEste (e os 2 (e os 2 restantes para restantes para SulSul)!)!
(clica aqui)
Sintetizando, sabemos que:Sintetizando, sabemos que:
21C
1
11
21 1
6
3331C
42C
11C1
0C
00C
20C 2
2C
32C
A
B
C
E… retomando o esquema inicial com E… retomando o esquema inicial com uma outra inclinação, podemos uma outra inclinação, podemos
conjeturar:conjeturar:
1
20
1
2
11
11
6
3 3
55
44
1
1515
10 10
35 35
7070
2121
1
1
66
1
1
56562828
1
1
7
71
1
8
81
1
CASA DA CASA DA ANAANA
ESCOLAESCOLA
00
C
10
C 11
C
20
C 21
C 22
C
30
C 31
C 32
C 33
C4
0C 4
1C 4
2C 4
3C 4
4C
50
C 51
C 52
C 53
C 54
C 55
C6
0C
61
C 62
C 63
C 64
C 65
C 66
C
70
C 71
C 72
C 73
C 74
C 75
C 76
C 77
C
80
C 81
C 82
C 83
C 8844
CC 85
C 86
C 87
C 88
C
A Ana tem caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para Sul).
8470 C
N
S
W E
AA
RR
GGO Rui e a Ana, quando vão de casa para o ginásio, utilizam as ruas só nos sentidos WE e SN.
R – R – Casa do RuiCasa do RuiA – A – Casa da AnaCasa da AnaG – G – GinásioGinásio
O Rui, numa deslocação de casa para o ginásio, escolhe o percurso totalmente ao acaso. A probabilidade de o Rui passar no cruzamento onde se situa a casa da Ana é:
13(A)
703
(B)7
8(C)
7018
(D)70
E se a situação fosse esta:E se a situação fosse esta:
5 32 18
4
C CC
A figura representa parte da planta das ruas de uma cidade.
5 33 28
4
C CC
ou
...1 3 6 10 15
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
.
1
3
6
15
10
21
28
45
55
36
.
1
1
1 1
1 4
1051
1
20
15 6 1
1
35 21
71
1
135
1 567056288
84 126126
843691
210
252
210
120
4510 120
1
1
462
462
330
165
5511 165
330
1
...... ....
Números Naturais
1 1 1+1=2
1+2=3 2+3=5
3+5=8 5+8=13 8+13=21Números
Triangulares
Sucessão de
Fibonacci
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
1
70
Somas “rastejantes”!Somas “rastejantes”!
8
1
1
1
3
21
28
36
1
1 1
21
71 1
1 5656288
126
843691
2521
1
1 1
1
3
7
9
1
10
45
35 35
210
210
120
4510 120
5 10 5
330
165
55 165
330
10
1
126
462 462
1155
84
11
Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último elemento adicionado.
....... .... ..
1 1 2
61 4 4 1
6 1 1 6
15
20 15
6
828
4
20 6
567056288
210 25221012010 120
2
4
6
10
924792 220792 12 6612 66 220
171628678 286 781716
3432200
2364 364200214
462462330 330
3684 1261268436
1010
14
1
1
1
3
15
45
1
1
1
1
451
1
15
1
1
1
1
3
1
1
495 495 11
1287715 715128713 1131
NúmeroNúmeros s
ímpares ímpares && Números Números
pares pares
500564356435500530031365 45513653003455 1151051051 15
30033003100
1100
191 1911
11 11551655511 165
11 9 9
2135 21 71 135 7
1 15 5
Todos diferentes, todos iguaisTodos diferentes, todos iguais
Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objeto, mesmo
que os caminhos tomados sejam consideravelmente
diferentes.
1º caminho 1º caminho diferentediferente
Considera um
triângulo equilátero
qualquer e une os
pontos médios dos
lados. Obténs
quatro triângulos
mais pequenos.
Em cada um dos
triângulos exteriores
repete o
procedimento (isto
é, só não fazes mais
nada no triângulo
que está no meio).
Em cada grupo de
quatro triângulos
que obtiveres,
repete o
procedimento nos
três triângulos
exteriores.
Todos diferentes, todos iguaisTodos diferentes, todos iguais
2º caminho 2º caminho diferentediferente
Que padrão Que padrão
observas?observas?
Todos diferentes, todos iguaisTodos diferentes, todos iguais
Retoma o processo a partir
de X2.
Vai assinalando sempre os
pontos médios obtidos X3, X4,
etc.
Repete o procedimento uma
boa vintena de vezes.
Se tiveres um computador ou
uma calculadora gráfica
podes programá-los para eles
te traçarem os pontos médios
sucessivos.
Todos diferentes, todos iguaisTodos diferentes, todos iguais
Considera três quaisquer
pontos do plano A, B e C.
Marca numa folha de papel
esses três pontos assim como
um quarto ponto X1.
Pega num dado normal e
lança o dado.
Se obtiveres 1 ou 4, une X1
com A e toma X2 como o
ponto médio desse segmento.
Se obtiveres 2 ou 5, une X1
com B e toma X2 como o
ponto médio desse segmento.
Se obtiveres 3 ou 6, une X1
com C e toma X2 como o
ponto médio desse segmento.
3º caminho 3º caminho diferentediferente
http://demonstrations.wolfram.com/ChaoticItineraryButRegularPattern/
O jogo do CaosO jogo do Caos
A B
C
X1
X2
A B
C
A B
C
Que padrão observas?Que padrão observas?
Todos iguaisTodos iguais
O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser autossemelhante (isto é, uma pequena porção do triângulo é
idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada).
Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos.
Assim se vê a beleza e poder da Matemática.
Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/
1. a b c d e g representa uma linha completa do Triângulo de
Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras.
Qual das seguinte igualdades é verdadeira?
(A) (B) (C) (D)
2. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos.
Qual é o sexto elemento dessa linha?
(A) (B) (C) (D)
3. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo
de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior?
(A) 23 751 (B) 28 416 (C) 31 465 (D) 36
534
63c C 6
2c C 73c C 7
2c C
145C 15
6C146C15
5C
AplicaçõesAplicaçõesALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS
AplicaçõesAplicaçõesALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS
4. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos
da forma
Quantos elementos dessa linha são menores do que ?
(A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3
5. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19
600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876.
Qual é o terceiro número da linha seguinte?
(A) 1275 (B) 1581 (C) 2193 (D) 2634
6. Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é 2009.
Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão?
(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 2007
2006kC
20064C
O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó
(O vento lá fora.)
Álvaro de Campos
a b2 22a ab b
3 2 2 33 3a a b ab b
4 3 2 2 3 44 6 4a a b a b ab b
Caso notável da multiplicação de
polinómios
1a b
2a b
3a b
4a b
Calculemos:
..….
na b
a b a b
2a b a b
2 2a b a b
2 22a ab b a b
2 2 2 22 2a ab b a ab b
......n fatores
a b a b a b ?
0a b 1
Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de
são os números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal.
na b
A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n.
1a b
2a b
3a b
4a b
Podemos escrever
0 1 21 1
12 2 1 1 0..................n n n n n
nn o n n n n
na b a b a b a b aC C C bC C
..….e observar que:
na b
1 0 0 11 1a b a b
2 0 1 1 0 21 2 1a b a b a b
3 0 2 1 1 2 0 31 3 3 1a b a b a b a b
4 0 3 1 2 2 1 3 0 41 4 6 4 1a b a b a b a b a b
a b
2 22a ab b
3 2 2 33 3a a b ab b
4 3 2 2 3 44 6 4a a b a b ab b
concluindo que (pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução
Matemática):
0a b 10 01a b
Repara:
O termo de ordem p+1, designado por com
do desenvolvimento de , é dado pela
expressão
1 0pT p n
na b
1n n p p
p pT C a b
0 1 21 1
12 2 1 1 0..................n n n n n
nn o n n n n
na b a b a b a b aC C C bC C na b
0
nn k k
k
nka bC
1 1
11
2 2
11
11
11
11
3 3
3 3
11
11
44
1010
55
11
1 1
4 4
6 6
1515
2020
1515
6 6
1 1
1 1
55
1010
3535
2121
7 7
11
11
6 6
11
11
77
2121
3535
88
2828
5656
7070
5656
2828
88
••
••
••
••
••
••
••
11
••
••
••
0a b
1a b
2a b
3a b
4a b
5a b
1 1 2 2 1 1 00 1 2 1..................n n n o n n n n n n n n
n na b C a b Ca b C a b C a b C a b
••
•
•
..........................
.......................
.................
..............
.....................
...................
AplicaçõesAplicaçõesALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS
1. Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação
(A) (B)
(C) (D)
2. Quantas são as soluções da equação ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
3. Um dos termos do desenvolvimento de é
Indique o valor de n?
(A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 21
4 3 21 4 6x x x
4 3 24 6 1 0x x x 4 1 0x 4 3 24 4 1 0x x x
4 4 1 0x x
4 4 31 4 1x x x x
ne 7 3120 e
Maria José Guimarães Vaz da Costa
Bibliografia:
Infinito 12
Matemática A -12º ano
Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina
Cruchinho
Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões
Novo Espaço
Matemática A -12º ano
Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues
Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e
docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra)
Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/
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