Download - Od preferencija do funkcije korisnosti
Od preferencija do funkcije korisnosti
Individualno odlučivanje
U apstraktnom okruženju promatra se individualni donosioc odluka i njegov/njezin problem izbora
Mi ćemo početi sa analizom izbora POTROŠAČA
Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača
Glavne teme: Opis košare dobara koju potrošač bira
u određenim uvjetima. Kako će se optimalni izbor mijenjati
kada se mijenja skup mogućih izbora (ograničenja)?
Potrebna je funkcija potražnje
Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača
U analizi ponašanja potrošača dva pristupa:
1.Klasični - Polazi od preferencija (preference-based approach)
2.Polazi od ostvarenih izbora potrošača (choice-based approach)
Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača
Osnovna struktura teorije potrošačevog izbora temelji se na četiri konceptualno različita pojma:
Skup mogućih (međusobno isključivih) izbora
Skup dostupnih izbora Relacija preferencije ≿ Pretpostavka ponašanja
Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača
U teoriji ponašanja potrošača skup mogućih izbora nazivat ćemo skupom moguće ili zamislive potrošnje X
Skup dostupnih izbora nazivat ćemo skupom dostupne potrošnje ili budžetskim skupom B
Teorija ponašanja potrošača
Potrošačev problem:
izbor kombinacije proizvoda i usluga (dobara) iz skupa moguće potrošnje
U modelu pretpostavljamo da je broj dobara konačan i jednak L (l = 1, 2, ...., L)
Teorija ponašanja potrošača
Kombinaciju (košaru) dobara prikazat ćemo kao vektor dobara
1
.
.
L
x
x
x
Teorija ponašanja potrošača Vektor dobara prikazuje razinu potrošnje
individualnog potrošača Svaki element l prikazuje količinu
dobra l Zato ovaj vektor nazivamo i vektor
potrošnje Vektor potrošnje je točka u skupu
moguće potrošnje X odnosno u potprostoru dobara
Teorija ponašanja potrošača
Kako bi uvažili fizička ograničenja (npr. nemogućnost negativnih količina dobara) prostor dobara promatrat ćemo kao cijeli nenegativni ortant
(L je konačni broj!) Skup mogućih potrošnji X je
podskup prostora dobara X ⊆
L
L
Teorija ponašanja potrošača
Mi pretpostavljamo da je skup mogućih potrošnji jednak skupu svih nenegativnih košara dobara, ili
Teorija ponašanja potrošača
Njegovi elementi su vektori potrošnji (košare dobara koje potrošač može potrošiti uz data fizička ili institucionalna ograničenja)
Svojstva skupa mogućih potrošnji
(skup X nije prazan) skup X je zatvoren skup X je konveksan (skup X sadrži 0)0 X
Pojašnjenje svojstva zatvorenosti skupa
Skup je zatvoren ako sadrži sve točke ruba
Skup mogućih potrošnji je konačan (sastoji se od L dobara, L je konačni broj)
Pojašnjenje svojstva konveksnosti skupa
Ako su vektori x i x’ (dvije košare ili kombinacije dobara) elementi skupa X, tada je i njihova konveksna kombinacija
x’’ = αx + (1-α)x’
također element od X
za svaki α ∊ [0,1]
Budžetski skup
Pored fizičkih i institucionalnih ograničenja, potrošač se suočava i sa ekonomskim ograničenjima
Ekonomska ograničenja određuju koje kombinacije dobara su potrošaču dostupne
Budžetski skup
Svako od L dobara na tržištu prodaje se po određenoj cijeni
Cijene prikazuje vektor cijena
1
.
.
L
p
p
p
Budžetski skup
Za vektor cijena pretpostavljamo
Dakle,
0p
Budžetski skup Ključna pretpostavka potpune
konkurencije: potrošači nemaju utjecaja na cijene
Dostupnost određene košare dobara ovisi o:
Tržišnim cijenama p (vektor!)
Potrošačevom bogatstvu (dohotku) w
1,..., Lp pp
Budžetski skup
Košara dobara (vektor potrošnje) je dostupna ako njen ukupni trošak nije veći od razine potrošačevog bogatstva (dohotka), ili
1 1 ... L Lp x p x w p x
Budžetski skup
Skup svih košara dobara (vektora potrošnje) koje su potrošaču dostupne uz date tržišne cijene p i dohodak w naziva se konkurentski (walrasovski) budžetski skup
Potrošačev problem
Problem potrošačevog izbora svodi
se na problem odabira košare dobara x iz
Pretpostavlja se da je w > 0 jer bi inače potrošač mogao odabrati samo
x = 0
,wBp
Budžetsko ograničenje Skup
naziva se budžetska hiperravnina Kada je L = 2, tada je ograničenje
budžetski pravac Ovo ograničenje određuje gornji
rub budžetskog skupa
Budžetsko ograničenje
U slučaju L = 2, nagib budžetskog pravca definira odnos zamjenjivosti između dva dobra u slučaju promjena njihovih cijena i nepromjenjivosti dohotka
Nagib budžetskog pravca = 1
2
p
p
Budžetsko ograničenje Odnos zamjenjivosti između
dobara u slučaju budžetske hiperravnine izvodi se iz geometrijskog odnosa nje i vektora cijena
Vektor cijena ortogonalan je (okomit) na svaki vektor dobara koji počinje u
i leži u budžetskoj hiperravnini Posljedica ovoga je što
je gornji rub budžetskog skupa.
w p x0x
Budžetsko ograničenje Slika 1: Ortogonalnost
vektora cijena u L = 2
01 1 02 2,x p x p p
x
0 x1
x2
Bp,w
x0
Budžetska hiperravnina T
Budžetski skup
• Što je sa x “ispod” T?
Slika 2:
p
x0
0 x1
x2
Bp,w
x~
Budžetski skup-pojašnjenje slike Kut koji zatvaraju vektor cijena p i
0x x 090
0p
Budžetski skup-pojašnjenje slike
Skup “ispod” T je:
Budžetski skup
Kao i skup mogućih potrošnji
budžetski skup
je konveksan
Budžetski skup
Konveksnost budžetskog skupa direktna je posljedica konveksnosti skupa moguće potrošnje (dokažite!)
Problem potrošačevog izbora
Glavni objekt istraživanja: Potrošačev izbor optimalne košare dobara
Za to nam je potrebna: Funkcija potražnje
Problem potrošačevog izbora Funkcija potražnje specificira za svaki
budžetski skup koje košare dobara će potrošač izabrati za svaku od cijena i uz dati dohodak
Promjene u ponašanju nastaju uslijed promjena u ograničenjima (dohodak, cijene)
Teorija ponašanja potrošača
Izbori (x, endogene varijable) tako postaju funkcije ograničenja (p, w; parametri)
Komparativna statika: kako endogene varijable ovise o parametrima?
Problem potrošačevog izbora Pretpostavljamo da u sustavu ima L
roba čije cijene potrošač uzima kao date i na koje ne može utjecati
Potrošačev problem izbora u klasičnom pristupu svodi se na problem maksimizacije KORISNOSTI unutar ograničenja koja definiraju Walrasovski budžetski skup
Dakle, treba nam funkcija korisnosti!
Teorija ponašanja potrošača Funkcija korisnosti u (x) pridružuje broj
svakoj košari dobara tako da bolje košare dobivaju veći broj (brojevi su sasvim proizvoljni)
Da li takva funkcija postoji? Da bismo to ispitali krenut ćemo od
potrošačevih preferencija.
Preferencije potrošača Preferencije daju informacije o
ukusima potrošača i dobro su definirane i stabilne
Shvaćamo ih kao sposobnost pojedinca da po poželjnosti rangira košare dobara
Preferencije potrošača Preferencije prikazujemo kao
binarne relacije “ ≿ “koje su definirane na skupu moguće potrošnje X
Ako je ≿ odnosno ako je
≿ kažemo da je barem jednako tako dobar kao
1 2,x x
1x 2x 1x2x
Preferencije potrošača Od potrošača se, dakle, traži samo da
radi binarne usporedbe to jest da istovremeno uspoređuje i odlučuje između samo dva dobra ili košare dobara
Da bismo mogli izgraditi teoriju, to jest doći do funkcije korisnosti , preferencijama moramo dati određenu strukturu/svojstva
( )u
Preferencije potrošača
Dakle, postavlja se pitanje kakva ograničenja moramo staviti na binarne izbore da bi mogli biti sigurni da funkcija korisnosti postoji, to jest da vrijedi ≿ x y ( ) ( )u x u y
Preferencije potrošača Preferencije se karakteriziraju
aksiomatski (uzima se najmanji broj pretpostavki koje će opisati strukturu i svojstva preferencija)
Osnovno svojstvo: RACIONALNOST (potrošač može i zna birati, izbori su razumni i konzistentni).
Preferencije potrošača (Aksiomi potrošačevog izbora)
Pretpostavka 1: Potpunost (uređenost)
Za svaki u X vrijedi ili ≿
ili ≿ Dakle, potrošač MOŽE rangirati SVE
kombinacije košara dobara iz svog skupa mogućih potrošnji
1 2x x 1x 2x2x 1x
Preferencije potrošača
Pretpostavka 2: Refleksivnost Za sve , ≿ Dakle, ova pretpostavka zatijeva
samo najslabiju formu logičkog ponašanja
x X x x
Preferencije potrošača
Pretpostavka 3: Tranzitivnost Za svaka tri elementa
ako je ≿ i ≿ onda vrijedi i
≿
Dakle, ova pretpostavka zatijeva da potrošačevi izbori budu konzistentni.
1 2 3, ,x x x X1x 2x 2x 3x
1x 3x
Preferencije potrošača Najčešće se za opis racionalnosti
preferencija koriste pretpostavke 1 i 3 (potpunost i tranzitivnost)
Racionalnost znači da se preferencije mogu predstaviti relacijom preferencije ≿
Preferencije potrošača Binarna relacija " ≿ " na skupu X naziva
se relacija (blage) preferencije ako zadovoljava pretpostavke 1-3.
Definirat ćemo i dvije dodatne relacije određene relacijom blage preferencije:
Relacija stroge preferencije " " Relacija indiferencije " "
Preferencije potrošača Relacija stroge preferencije
≿ ali ne i ≿
Relacija indiferencije ≿ i ≿
Obje su tranzitivne, ni jedna nije potpuna i samo je relacija indiferencije refleksivna
1 2 1x x x 2x 2x 1x
2x 2x 1x
Preferencije potrošača Posljedica Pretpostavki 1-3:
uspostavlja se uredna hijerarhija od najpoželjnije varijante do najmanje poželjne (usput su moguće neke indiferencije)
Kažemo da je relacija blage preferencije racionalna ako su preferencije potpune i tranzitivne (racionalnost = konzistentnost).
Preferencije potrošača
Da bi se na bazi ovakvih preferencija mogla izvesti funkcija korisnosti potrebna je još jedna pretpostavka – ona o neprekidnosti preferencija.
Preferencije potrošača Pretpostavka 4: Neprekidnost
Matematički uvjet da bi preferencije mogle biti predstavljene funkcijom korisnosti
Ova pretpostavka stavlja odredjenu topološku regularnost na preferencije
Preferencije potrošača Relacija preferencije ≿ je neprekidna
ako se čuva limesom. To znači da za svaki niz parova
pri ≿ za sve n,
vrijedi da je x ≿ y.
1
,n n nx y
nx nylim limn n n nx x i y y
Preferencije potrošača
To znači da preferencije ne mogu imati skokove ili preokrete u točkama u kojima dosegnu limes.
Preferencije koje nisu neprekidne: leksikografske preferencije
Preferencije potrošača
Primjer preferencija koje nisu neprekidne: Uzmimo nizove parova
Za svaki n, ali tada y > x, dakle, dolazi do preokreta u
preferencijama (nisu neprekidne).
1 1(1 ,0); (1 ,1)n nx y
n n
n nx ylim (1,0); lim (1,1)n nx y
Preferencije potrošača
Pretpostavka neprekidnosti osigurava postojanje topološki poželjnih blago superiornih (“barem tako dobrih”) i blago inferiornih (“najmanje jednako tako dobrih”) nivo skupova
Preferencije potrošača Ako su date relacija preferencije ≿ i košara
dobara u skupu mogućih potrošnji, tada možemo definirati tri povezana skupa košara dobara:
Skup indiferencije Gornji nivo skup Donji nivo skup
Za svaki vektor x, ova tri skupa čine particiju skupa mogućih potrošnji
Preferencije potrošača Skup indiferencije koji sadrži vektor x,
skup je svih košara dobara prema kojima je potrošač indiferentan u odnosu na taj x, ili
U slučaju L = 2, to je krivulja indiferencije.
Preferencije potrošača Gornji nivo skup za x je skup svih
košara dobara koje su NAJMANJE jednako tako dobre kao x, ili
Preferencije potrošača Donji nivo skup za x je skup svih
košara dobara koje su NAJVIŠE jednako tako dobre kao x, ili
Preferencije potrošača Pretpostavke koje opisuju ukuse
potrošača reći će nam nešto više o obliku i položaju skupa indiferencije te gornjeg i donjeg nivo skupa
Preferencije potrošača Pretpostavka 5: Monotonost
Pretpostavka poželjnosti (“više je bolje”) Stroga monotonost: potrošač preferira veće
količine SVAKE robe Relacija preferencije ≿ na X je monotona
ako
znači da je
Relacija preferencije ≿ je strogo monotona ako
znači da je
X ix y x y x
i y x y x y x
Preferencije potrošača Ako je relacija preferencije ≿ monotona,
može se pojaviti odnos indiferencije u odnosu na porast količine nekog ali ne svih proizvoda.
Stroga monotonost kaže da ako je y veći od x za neke proizvode a nije manji za neke druge, y se strogo preferira u odnosu na x.
Preferencije potrošača Važna je implikacija pretpostavke
monotonosti da ona isključuje mogućnost da, za poželjna dobra, krivulja indiferencije ima pozitivni nagib (zavija unatrag)
Ako se to desi, radi se o nepoželjnom dobru kojeg potrošač želi imati manje (npr. zagađenost, duhanski dim)
Preferencije potrošača
Pretpostavka 5’: Lokalna nezasićenost
Blaže svojstvo od monotonosti Pretpostavlja da potrošač nikada ne
dosiže stanje potpune zasićenosti tako da za svaki izbor uvijek postoji alternativni izbor koji potrošač preferira
Preferencije potrošača
Relacija preferencije ≿ na X je lokalno nezasićena ako za svaki
i svaki postoji
tako da je
Xx 0 Xy
i y x y x
Preferencije potrošača
Slika 3: Lokalna nezasićenost XY
εy
x
x2
x1
y x
Preferencije potrošača Važna implikacija pretpostavke
lokalne nezasićenosti je da ona isključuje mogućnost postojanja “gustih” skupova indiferencije
Preferencije potrošača
Slika 4: (a) ”Gusti” skup indiferencije
x2
x1
x
Preferencije potrošača
Slika 5: (b) Preferencije koje zadovoljavaju
pretpostavku lokalne nezasićenosti
x2
x1
x
Preferencije potrošača Pretpostavka 6: Konveksnost
Tiče se odnosa koje je potrošač voljan uspostaviti između različitih dobara
Relacija preferencije ≿ na X je konveksna ako je za svaki gornji nivo skup
konveksan, to jest ako je y ≿ x i z ≿ x, tada je ≿
x za svaki
Xx
(1 ) y z 0,1
Preferencije potrošača Konveksnost preferencija je jaka ali
važna pretpostavka u ekonomiji Može se interpretirati kao opadajuća
granična stopa supstitucije Potrošač preferira kombinaciju dobara u
odnosu na specijalizaciju u potrošnji (tendencija ka uravnoteženoj potrošnji)
Preferencije potrošača
Relacija preferencije ≿ na X je strogo konveksna ako za svaki x,
y ≿ x, z ≿ x, i
vrijedi
za sve
y z(1 ) y z x
0,1
Preferencije potrošača
Slika 6: (a) (strogo) konveksne peferencije
x2
x1
x
z
y
(1 ) y z
Preferencije potrošača
Slika 7: (b) preferencije koje nisu konveksne
x2
x1
x
y
z
(1 ) y z
Preferencije potrošača
Dakle, pretpostavke potpunosti, refleksivnosti i tranzitivnosti osiguravaju da su preferencije racionalne; zajedno sa njima pretpostavka neprekidnosti neophodna je za kostrukciju funkcije korisnosti.
Pretpostavke o nezasićenosti (monotonosti) i težnje ka uravnoteženoj potrošnji (konveksnost) kazuju više o ukusima potrošača
Preferencije potrošača
U ekonometrijskim aplikacijama često su zanimljive situacije u kojima je na bazi jednog skupa indiferencije moguće izvesti cijelu relaciju preferencije
Homotetične preferencije Kvazilinearne preferencije
Preferencije potrošača
Monotona relacija preferencije ≿ na
je homotetična ako krivulje indiferencije ekspandiraju proporcionalno po zrakama iz ishodišta
To znači da ako je tada je i
za svaki
0.
Preferencije potrošača
Slika 8: Homotetične preferencije
x1
x2
x
2x
2y
y
Preferencije potrošača
Relacija preferencije ≿ je kvazilinearna u odnosu na dobro 1 ako su krivulje indiferencije paralelne (dobro 1 je poželjno)
Preferencije potrošača
Slika 9: Kvazilinearne preferencije
x1
x2
Funkcija korisnosti
Objedinjuje iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿
Ponekad je lakše raditi sa ≿ i sa pripadajućim skupovima
Ponekad je prikladnija funkcija korisnosti (naročito kada se želi koristiti diferencijalni račun)
Funkcija korisnosti
U suvremenoj teoriji smatra se da je ≿ fundamentalniji način karakterizacije potrošačevih preferencija
U osnovi izvođenja funkcije korisnosti pretpostavlja se da potrošač košari dobara koju preferira u odnosu na neku drugu košaru dodjeljuje veći broj
Funkcija korisnosti
Dakle, preferencije se mogu predstaviti pomoću relacije preferencije, kategorijom iz teorije skupova i
Pomoću numeričke reprezentacije (neprekidne funkcije korisnosti)
Funkcija korisnosti
Definicija: Realna funkcija se naziva funkcijom korisnosti koja
predstavlja relaciju preferencije ≿ ako za sve
Ova funkcija postoji i neprekidna je
ako su zadovoljene pretpostavke 1-3 i ≿ je neprekidna.
Funkcija korisnosti
Ove pretpostavke svode se na zahtjev da je potrošač u stanju uspoređivati dvije košare dobara i da je u tome konzistentan te da skupovi rješenja posjeduju određenu topološku strukturu
Napomena: reprezentabilnost (preferencija) ne ovisi o potrošačevim ukusima, konveksnosti pa čak ni o monotonosti
Funkcija korisnosti
Teorem o egzistenciji funkcije korisnosti tvrdi da u slučaju kada su zadovoljene navedene pretpostavke, postoji barem jedna funkcija korisnosti koja predstavlja potrošačeve preferencije (dokaz u knjizi)
Drugim riječima, svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna da se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti
Funkcija korisnosti
Funkcija korisnosti mjeri razinu zadovoljstva povezanu sa određenom košarom dobara (sasvim proizvoljni brojevi)
Ipak, ovi brojevi nisu važni Važni su: nivo skupovi (skupovi
indiferencije), njihov oblik i položaj a ne brojevi koji su im pridruženi!
Funkcija korisnosti
Svojstvo funkcije korisnosti koje je određeno oblikom i položajem njenih nivo skupova = ORDINALNO svojstvo
Svojstvo funkcije korisnosti koje ovisi o broju kojeg ona dodjeljuje određenim nivo skupovima = KARDINALNO svojstvo
Funkcija korisnosti
Kada radimo sa funkcijama korisnosti, zanimaju nas nivo skupovi
Dvije funkcije su ekvivalentne ako imaju iste nivo skupove bez obzira na različite brojeve koje im dodjeljuju
Funkcija korisnosti
Na primjer,
Neka je funkcija u(x,y) funkcija korisnosti u Neka je v(x,y) = u(x,y) + 1 Ove dvije funkcije imaju iste nivo
skupove (krivulje indiferencije) samo im u pridružuje vrijednost za 1 manju nego v
Obje funkcije predstavljaju iste preferencije, dakle, ekvivalentne su
Funkcija korisnosti
Istu bi situaciju imali kada bi na funkciju korisnosti djelovali sa nekom drugom funkcijom, npr. 3z + 2, ili
3xy + 2, bile bi vrijednosti pozitivno transformirane funkcije korisnosti u(x,y)
Numeričke vrijednosti ovih funkcija su različite ali one pridružuju košarama brojeve na isti način kao i u.
2z2( )xy
Funkcija korisnosti
Što je monotona transformacija? Neka je ≿ relacija preferencije na X i
neka je u(x) funkcija korisnosti koja ju predstavlja.
Funkcija v(x) će isto predstavljati ovu relaciju preferencije ako i samo ako
v(x) = f(u(x)) za svaki x pri čemu je funkcija f strogo rastuća na skupu
vrijednosti koje poprima u.
Funkcija korisnosti
Bitno je napomenuti da monotona transformacije treba biti pozitivna, to jest da je funkcija korisnosti jedinstvena ili invarijantna do na pozitivnu monotonu transformaciju
Ovakve transformacije čuvaju isto rangiranje preferencija iako daju različite numeričke vrijednosti
Funkcija korisnosti
Dakle, ordinalna su ona svojstva funkcije koja ima i njena pozitivna monotona transformacija
Kardinalna svojstva se ne čuvaju pri monotonim transformacijama
Ova razlika bitna je kod funkcija korisnosti
Kod proizvodnih funkcija važna je i apsolutna razina proizvodnje
Funkcija korisnosti
Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti
Monotonost preferencija znači da je funkcija korisnosti rastuća
Konveksnost preferencija znači da je funkcija korisnosti kvazikonkavna
Funkcija korisnosti
Svojstva da je funkcija korisnosti rastuća i kvazikonkavna su ordinalna svojstva koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija
Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija
Funkcija korisnosti
Zaključak: Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿
Ona je praktičan način da se prikažu potrošačeve preferencije
Funkcija korisnosti
Ako se ukusi potrošača opisuju direktno putem preferencija primjerena analitička metoda: teorija skupova
Ako putem funkcije korisnosti: diferencijalni račun
Funkcija korisnosti
Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje