Download - OdredjeniIntegral - Primene
Visoka škola: R&B college
Profesor: Nevenka Tomanović
SEMINARKSI RAD
ODREĐENI INTEGRAL
I NJEGOVA PRIMENA
Jelena Kordić
1
S A D R Ž A J
POJAM ODREĐENOG INTEGRALA ....................................................... 2
DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA U RIMANOVOM SMISLU .... 3
OSNOVNE OSOBINE ODREĐENIH INTEGRALA ................................... 5
NjUTN – LAJBNICOVA FORMULA ......................................................... 6
PRIMENE ODREĐENOG INTEGRALA ..................................................... 7
Površina ravnih likova ....................................................................... 7
Zapremina obrtnih tela ....................................................................... 10
Površina omotača rotacionog tela ...................................................... 11
Dužina luka krive ................................................................................ 12
2
POJAM ODREĐENOG INTEGRALA
Neka je data funkcija y = f (x) koja je neprekidna na segmentu [a,b] .
Oblast ravni ograničen delom grafika funkcije y = f (x) nad intervalom [a,b],
pravama x=a i x=b i intervalom [a,b] ose Ox, predstavlja krivolinijski trapez
ABCD. Postavlja se zadatak određivanja površine tog krivolinijskog trapeza.
Ako se podeli interval [a,b] proizvoljno na n podintervala tačkama podele
takvih da važi a = < < ...< = b, dobijaju se podintervali
različitih dužina. Dužine tih intervala se označavaju redom sa = - , =
- , ... , = - . Neka su najmanje vrednosti, a
najveće vrednosti funkcije f(x) u podintervalima
Neka se posmatraju sledeće sume:
Suma P naziva se donja integralna suma, a gornja integralna suma. P predstavlja
površinu stepensato upisanog poligona u krivolinijski trapez ABCD, a površinu
1 1 2 2
1
1 1 2 2
1
... ...
...
n
k k n n i i
i
n
k k n n i i
i
P m x m x m x m x m x
P M x M x M x M x M x
3
stepensato opisanog poligona oko krivolinijskog trapeza ABCD. Ako sa P
označimo površinu krivolinijskog trapeza ABCD, tada važi nejednakost:
tj. površina traženog krivolinijskog trapeza nalazi se između površine stepensto
upisanog i stepenasto opisanog poligona za svaku podelu intervala [a,b]. Kada
interval delimo na sve manje podintervale, tj. kada , očekujemo da je
. Ovo tvrđenje je tačno za integrabilne funkcije. Tada se
vrednost P naziva određeni integral na intervalu [a,b] i obeležava sa
.
DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA
U RIMANOVOM SMISLU
Skup tačaka P = { } takvih da važi a = < < ...< = b
zove se podela segmenata [ a,b].
a = = b
Definicija: Zbir
gde su tačke [ , ], zove se integralna suma Rimana funkcije f za
podelu P.
4
Definicija: Neka je f : [a,b] R ograničena funkcija. Ako za svaku podelu P
intervala [a,b] i za bilo koji izbor tačaka [ , ] ( k = 1,...,n ) postoji uvek
ista granična vrednost
tada za funkciju f kažemo da je intergrabilna u Rimanovom smislu na segmentu
[ a,b] a broj I zove se određeni integral funkcije f na [ a,b].
Pišemo:
I=
a - donja granica integrala
b - gornja granica integrala
f (x) - podintegralna funkcija (integrand)
x - integraciona promenljiva
[a,b] - interval integracije
Sledeće tvrdnje su tačne:
- Integrabilna funkcija je ograničena (obrnuto ne mora da važi).
- Svaka neprekidna funkcija f :[a,b] R je integrabilna na [a,b].
- Ograničena funkcija je integrabilna na [a,b] ukoliko ima konačan broj
prekida.
Poznavanje pojma određenog integrala i tehnika njegovog izračunavanja je vrlo
korisna pri rešavanju površina i zapremina i slično.
5
OSNOVNE OSOBINE ODREĐENIH INTEGRALA
Neka su f i g integrabilne funkcije na [ a,b]. Tada važi:
1)
-
2)
3)
c
,
Ova osobina zove se homogenost.
4)
(x)± dx =
x)dx ±
(x)dx.
Ova osobina zove se aditivnost
5)
(x)dx =
x)dx+
(x)dx, ako je c [a,b].
Ova osobina zove se aditivnost u osnosu na interval integracije.
6)
(x)dx 0 ako je f (x) 0, i funkcija f integrabilna na [a,b].
To je očigledno jer za svaku podelu intervala [a,b] važi
7) Ako je , tada je
8)
6
NjUTN – LAJBNICOVA FORMULA
Primitivna funkcija funkcije f definsane na intervalu (a,b) je funkcija F
definirana na istom intervalu sa svojstvom : F' (x) = f(x).
Ako su F i G primitivne funkcije iste funkcije f onda se one razlikuju za konstantu.
F(x) = G(x) + C.
Neka je f neprekidna na segmentu [a,b] i neka je F jedna njena primitivna
funkcija, tada je :
7
PRIMENE ODREĐENOG INTEGRALA
Površina ravnih likova
Teorema: Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a,b] i neka je
f(x)≥0 za . Tada je površina P krivolinijskog trapeza ispod krive
, nad segmentom [a,b], jednaka određenom integralu funkcije f na segmentu
[a,b], tj
Ako u okviru intervala [a,b] funkcija f menja znak u tački c, tada formula postaje
Ukoliko je figura ograničena sa dve krive f i g , tada formula postaje
8
Primer 1: Izračunati površinu figure ograničene grafikom funkcije
i Ox osom.
Rešenje: Grafik funkcije seče x osu u tačkama gde je
0
Tražimo površinu osenčenog dela i vidimo da nam granice idu od 0 do 2. Dakle,
Primer 2: Izračunati površinu figure ograničene grafikom funkcije , x
osom i pravama
Rešenje:Grafik funkcije seče x osu u tačkama gde je
Kako funkcija menja znak za to površinu osenčene oblasti računamo
9
Primer 3: Izračunati površinu figure omeđene pravom i parabolom
Rešenje: Pronađimo prvo presečne tačke grafika ovih funkcija
Sa slike vidimo da nam je oblast ograničena odozgo parabolom a
odozdo pravom za x od -2 do 1.
10
Zapremina obrtnih tela
Teorema: Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a,b] i neka je
f(x)≥0 za . Zapreminu tela koje nastaje rotacijom krive oko x-
ose na intervalu računamo
.
Ako su nenegativne funkcije f i g definisane na intervalu [a,b], tada je zapremina
tela koje nastaje rotacijom oblasti ograničene graficima tih funkcija i pravama x=a
i x=b data obrascem
11
Primer 4: Odredi zapreminu koje nastaje rotacijom parabole oko x
ose.
Rešenje: Pronađimo prvo presek parabole i x ose.
Površina omotača rotacionog tela
Teorema: Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a,b] i neka je
f(x)≥0 za . Površinu omotača tela koje nastaje rotacijom krive
oko x-ose na intervalu računamo
Primer 5: Izračunati površinu omotača tela nastalog rotacijom krive
na intervalu
oko x ose.
12
Rešenje: Luk koji rotiramo je deo gornje polukružnice i na slici je obeležen
tačkama A i B.
Da bismo mogli primeniti formulu moramo izračunati prvi izvod y' .
Dužina luka krive
Teorema: Neka je funkcija f neprekidna i ima neprekidan izvod na segmentu
. Tada dužina luka l date krive od tačke do tačke
iznosi
13
Primer 6: Izračunati dužinu luka krive
za .
Rešenje: Da bismo mogli primeniti formulu moramo izračunati prvi izvod y'