동차적 생산함수
Q = F(K, L)
λr Q = F(λK, λL)
r차 동차함수
동차생산함수의 MRTS
λr F(K, L) = F(λK, λL)
양변을 K로 편미분 →λr F1(K, L) = F1 λ(λK, λL)
λr-1 F1(K, L) = F1(λK, λL) ------------------------ (1a)
MPK(=F1(K,L))은 (r-1)차 동차
양변을 L로 편미분 → λr F2(K, L) = F2 λ(λK, λL)
λr-1 F2(K, L) = F2 (λK, λL) ----------------------- (1b)
MPL(=F2(K,L))도 (r-1)차 동차
동차적 생산함수
K=K0, L=L0을 대입후 (1b)÷(1a)
( = ) 가 일정한 한 MRTS는 불변
MRTSa = MRTSb, 확장선은 직선
K
L
K0
L0
= = = MRTS F2 (Ko,Lo)
F1 (Ko,Lo)
MPL
MPK
F2 (λK0, λL0)
F1 (λK0, λL0)
동차적 생산함수
(α+β)차 동차함수
(λK)α (λL)β = λ(α+β)KαLβ = λ(α+β)Q
Q=KαLβ
MPK = = αKα-1Lβ ∂Q
∂K
MPL = = βKαLβ-1 ∂Q
∂L
MPK와 MPL은 (α+β-1)차 동차함수
MRTS = = · MPL
MPK
β
α
K
L
( )가 변하지 않으면 MRTS도 불변
요소사용비율 ( )이 중요
K
L K
L
동차적 생산함수
r > 1 : IRTS, Economies of scale
r = 1 : CRTS, 선형동차
r < 1 : DRTS, Diseconomies of scale
규모의 경제와 규모의 비경제
동차적 생산함수
Q =F(K, L)이 t차 동차함수이면 K·F1 + L·F2 = t·Q
오일러정리
F(λK, λL) = λt F(K, L), 양변을 λ로 편미분
K·F1 (λK, λL) + L·F2 (λK, λL) = tλt-1F(K, L)
λ =1이면 K·F1 (K, L) + L·F2 (K, L) = t·F(K, L) = t · Q
< 증명 >
동차적 생산함수
K·F1 + L·F2 = Q ( F1 = MPK, F2 = MPL)
K·MPK + L·MPL = Q
P·MPK·K + P·MPL·L = PQ ( r = P·MPK , w = P·MPL )
r·K + w·L = PQ
r = P·MPK = VMPK
w = P·MPL = VMPL
1차 동차생산함수와 분배
요소간의 대체와 요소사용비율
대체탄력성 (elasticity of substitution)
σ = = ·
MRTS
∆MRTS
∆(K/L)
K/L ∆(K/L)
∆MRTS
MRTS
K/L
∆(K/L)
∆(w/r)
∆(K/L)
K/L
∆(w/r)
w/r
= = · w/r
K/L
콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수
Cobb-Douglas 생산함수
Q = AKαLβ ( A, α, β > 0)
( α + β )차 동차생산함수
A(λK)α(λL)β = AKαLβλ(α+β) = λ (α+β)Q
α+β > 1 : IRTS, Economies of scale
α+β = 1 : CRTS
α+β < 1 : DRTS, Diseconomies of scale
콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수
σ= 1
p. 200 footnote 1.
분배몫
α는 자본의 분배몫
β는 노동의 분배몫
α=0.4, β=0.6이면 자본가는 40% 노동자는 60%
= = = w · L
r · K
MPL · L
MPK · K
βAKαLβ-1 · L
αAKα-1Lβ · K
β
α
콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수
CES 생산함수
Q = A[αK-ρ+(1-α)L-ρ]-1/ρ
( -1<ρ< ∞, ρ≠0, 0<α<1, A>0)
A : 효율성상수
ρ : 대체성상수
α : 분배상수
1차 동차생산함수
A[α(λK)-ρ+(1-α)(λL)-ρ]-1/ρ
= A[αK-ρ+(1-α)L-ρ]-1/ρ · λ= λQ