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Onde
si definisce onda una perturbazione che si propaga.
Non si ha propagazione di materia ma solo di energia
onde meccaniche (mezzo)
onde elettromagnetiche
(vuoto, c = 299792458 m/s)
Onde Meccaniche perturbazione attraverso un mezzo
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onde trasversali: la perturbazione è perpendicolare alla direzione di propagazione
onde longitudinali: la perturbazione è parallela alla direzione di propagazione
L’onda ha una forma periodica sia in spazio che in tempo
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Onda periodica (sinusoidale)
Ogni punto della corda oscilla verticalmente nella direzione y con un moto armonico.
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caratteristiche della onde: , T,
y = f(x,t) onda unidimensionale
: la minima distanza tra 2 punti che oscillano
concordemente rispetto alla posizione di
equilibrio
T: il tempo minimo necessario
perché la perturbazione si ripeta
T = 1/
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frequenza (), ampiezza (A) e fase () dell’onda dipendono dalla sorgente
lunghezza d’onda () e velocità di propagazione (v) dipendono anche dal mezzo
txfy
txfy
v
v
onda progressiva
onda regressiva
xfy profilo dell’onda
dt
dxv
velocità dell’onda
o velocità di fase
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Se l’onda si propaga con velocità v e la forma dell’impulso resta uguale, dopo un tempo t si ha che ciascun elemento della corda posto in x assume la stessa posizione verticale y che un elemento posto in x-v·t assumeva al tempo t=0
0,v, txytxy
In generale la funzione d’onda per un impulso in moto verso destra: txftxy v,
Se invece l’impulso si propaga verso sinistra:
txftxy v,
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Fronti d’onda e raggi
fronte d’onda: luogo geometrico dei punti che vibrano in fase
superficie d’onda
onde circolari
onde rettilinee
onde sferiche
onde piane
in un mezzo omogeneo e isotropo la direzione di
propagazione è sempre perpendicolare al fronte d’onda
raggi
s
raggi
s
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onde sinusoidali armoniche unidimensionali
xAxy
2sin0,
txAtxy v
2sin,
T
txAtxy
22sin,
fT
v
tkxAtxy sin,
2k
fT
22
numero
d’onda
pulsazione frequenza
tkxAtxy sin,
equazione d’onda
fase
kv
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Onda periodica (sinusoidale)
Legame tra le grandezze caratterizzanti l’onda periodica:
• periodo (T) e frequenza (f) sono caratteristiche dell’onda, dipendono cioè solo dalla sorgente.
• lunghezza d’onda (), velocità (v) ed ampiezza (A) dipendono non solo dalla sorgente ma anche dal mezzo nel quale l’onda si propaga T
f1
vf
T
v
Funzione d’onda:
txsenAtxy v
2),(
tfxsenAtfxsenAtxy
2
22),(
Tf
22
frequenza angolare:
2k
numero d’onda:
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energia trasmessa dxdm tkxAtxy sin,
moto armonico dell’elemento dx nella posizione x
ymmaykFel
2 ydt
yda 2
2
2
)(sin2
1
2
1
2
1 222222 tkxAdxymykdUel
)(cos2
1
2
1v
2
1 222222 tkxAdxydxmdK
22
2
1AdxdKdUdE 22
2
1Au
dx
dE v
2
1 22 APdt
dE
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In un mezzo isotropo onde sferiche
24
P
rS
PI
Intensità di un’onda
I decresce con il quadrato della distanza
rA
AP
AP
1
v2
1
2
22
A decresce con la distanza
vd
p
rS
PI
2
2 2
1
4
P
Ivdp 2
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Se l’intensità di un terremoto è1x106 W/m2 a 100 Km, quale sarà l’intensità a 50 Km?
24
P
rS
PI
P della sorgente costante
2
22
2
2
11
1
4
P
4
P
rS
PI
rS
PI
2
1
2
2
2
1
r
r
I
I
266
2
2
1002
50
2
10050 /10410)50(
)100(mWI
r
rIKm
Km
KmKm
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onde riflesse e onde trasmesse in una corda
Fv
ITR AAA
BABA vv salto di fase di 180°
senza variazione di fase BABA vv
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Principio di sovrapposizione
la perturbazione in un punto in cui si
sovrappongono due o più onde dello stesso
tipo è, istante per istante, uguale alla somma
delle perturbazioni che le singole onde
produrrebbero in quel punto separatamente
oltre la regione di sovrapposizione
le onde proseguono indisturbate
teorema di Fourier
una qualsiasi funzione periodica può essere
espressa come la somma di più funzioni
sinusoidali (espansione in serie di Fourier)
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interferenza costruttiva
interferenza distruttiva
,...2,1,02 nn
,...2,1,012 nn
tkxAtxy sin2,
0, txy
differenza di fase e differenza di cammino
:2: r
2r
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Un’onda è descritta dall’espressione: y = Asen (kx −wt )con A = 0.02 m; k = 2.11 rad/m ; w = 3.62 rad/s . Determinare la lunghezza d’onda , la frequenza e la velocità dell’onda
Scrivere l’espressione di un’onda sinusoidale y che viaggia lungo una corda nel verso negativo dell’asse x con le seguenti caratteristiche ymax = 8cm, = 80cm; f = 3Hz, y(0,0) = 0.
tkxAy sin mcmA 8.080
185.78.0
22 mk
6322
2 f
T=0
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Le onde sonore:
Le onde sonore sono onde meccaniche longitudinali che si propagano nei mezzi comprimibili o elastici.
Le particelle del mezzo subiscono spostamenti avanti e indietro rispetto alle posizioni di equilibrio creando variazioni di densità e di pressione, quindi zone di compressione seguite da zone di rarefazione.
Frequenze rivelabili dall’orecchio umano: 20-20000 Hz Infrasuoni: < 20Hz Ultrasuoni: >20000 Hz
La velocità di propagazione del suono è diversa a seconda del mezzo in cui il suono si propaga:
Aria (20°C): 344 m/s Acqua (20°C): 1482 m/s Acciaio: 5940 m/s
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onde sonore
tkxPPm
sin tkxssm
cos
mmsvP
90
onde di
pressione onde di
spostamento
Bv
VV
PB
v = 343 m/s
nell’aria (20°C)
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24
P
rS
PI
v
2
1 22APdt
dE
Da 1 W/m2 a 10-12 W/m2
0
log10I
IdB
decibel
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Se in una strada il livello del suono è di 50 dB, quale è l’intensità del suono?
0
log10I
IdB
0
log1050I
I
275125
0 /10101010 mWII
…e se mi avvicino di 10 volte alla strada, di quanto aumenta l’intensità?
22
2
10
11
4
P
rI
rS
PI
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L’effetto Doppler:
Effetto che si verifica ogniqualvolta si ha un moto relativo tra la sorgente dell’onda ed un osservatore: la frequenza percepita dall’osservatore è diversa da quella che caratterizza la sorgente. La differenza tra la frequenza percepita e quella della sorgente dipende dalla velocità relativa tra sorgente ed osservatore
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Effetto Doppler moto relativo fra
sorgente e rivelatore
v,,0v fs
v
vv'
vvv'
R
RR
ff
ff
v,,0v fR
SS
S
fTT
f
TT
vv
v
vv
v
'
v'
vv'
S
Rffvv
vv'
animazione
fT
v
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sorgenteeosservatorff Oo
v
vv
eosservatorsorgenteff o
sv-v
v
v=velocità di propagazione dell’onda vO=velocità dell’osservatore vS=velocità della sorgente
Esempi: - ecodoppler - red shift
movimentoineosservatoresorgenteff o
s
o
v-v
vv
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se S e R si allontanano f’ < f
se S e R si avvicinano f’ > f
Un’onda sonora da 5000 Hz è emessa da una sirena. L’onda si riflette su una barca che si muove a 3.5 m/s verso la sorgente. Quale è la frequenza dell’onda riflessa?
v
vv' Rff Percepita dalla barca
S
ffvv
v''' Onda riflessa percepita dalla sirena
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vd
p
rS
PI
2
2 2
1
4
P
Ivdp 2
Se f=1GHz Con v=340 m/s (aria) o v=1450 m/s (acqua)
fT
v
Si ottiene = 300 nm e 1500 nm
Direzionalità del fascio!
Applicazioni: • Diatermia • Terapia dei calcoli • Odontoiatria (rimozione tartaro o devitalizzazione • Oculistica (cataratta) • Chirurgia vascolare • Cura dei tumori
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Effetto Doppler
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Esercizi
Un’onda di lunghezza d’onda di 0.6 m percorre su una corda una distanza di 8 m in 0.05 s. Calcolare la sua velocità e la sua frequenza
sms
m
t
x/160
05.0
8v
Hzm
smf 7.266
6.0
/160v
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Esercizi
Determinare la lunghezza d’onda della luce gialla sapendo che la sua frequenza è pari a 5 1014 Hz
nms
sm
f600
10.5
/103v114
8
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Esercizi Un’auto della polizia con una sirena a 1000 Hz si muove a 90 km/h. Calcolare la frequenza del suono quando (1) la macchina si avvicina all’ascoltatore fermo e (2) quando si allontana dall’ascoltatore fermo
sm /344v
eosservatorsorgenteff o
sv-v
v
sms
mhkm /25
3600
100090/90vs
Hzf o 4.107825-344
3441000
Hzf o 2.93225344
3441000
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Esercizi Un fischietto che hai sempre usato per richiamare il tuo cane emette un suono con frequenza pari a 21 kHz. Il cane tuttavia ultimamente ignora il segnale. Per capire se il fischietto è ancora funzionante, visto che l’orecchio umano può percepire suoni con frequenze fino a 20 kHz, è necessario l’aiuto di un amico che usi il fischietto mentre tu ti muovi in motorino. In che direzione è necessario andare (verso l’amico o in senso opposto) e con quale velocità minima per capire se il fischietto è effettivamente ancora funzionate? (si consideri la velocità del suono in aria di 344 m/s)
Per percepire una frequenza di almeno 20 kHz è necessario allontanarsi dalla sorgente. La velocità minima deve essere tale da:
m/s344
v/4432120 Osm
kHzkHz
smkHzkHz
kHzsmsmo /1621
21
20/443/443v
hkm/58