Download - Operátorok a Quantummechanikában
Operátorok a Quantummechanikában
Csány Gergely(Molekuláris Bionika BSc, III. évf.)
A Kvantummechanika Posztulátumai
1. PosztulátumInformáció, amit egy adott állapotról tudhatunk:Egy adott állapotot aállapotfüggvénnyel (hullámfüggvénnyel) írhatunk le, amely függvény
KorlátosEgyértékűFolytonosFolytonosan differenciálható
függvénye a konfigurációs térkoordinátáinak, valamint a időnek.
A Kvantummechanika Posztulátumai 2
2. PosztulátumA hullámfüggvény értelmezése:
Annak a valószínűsége, hogy a állapotú rendszerEgy adott térfogatelemben található: Ennek következtében:
( négyzetesen integrálható)
3. PosztulátumKísérletek kimenetele:
A Kvantummechanika Posztulátumai 3
Minden megfigyelhető mennyiséghezhozzárendelünk egy operátort.
Ennek az operátornak a sajátértékei és sajátfüggvényei határozzák meg a mérési eredményünket.
4. PosztulátumMérések várható értéke:
A Kvantummechanika Posztulátumai 4
Egy állapotú fizikai rendszerben
az operátorúmennyiségre vonatkozó mérés várható
értéke:
és szórása:
5. PosztulátumA hullámfüggvény időbeli fejlődése:
A Kvantummechanika Posztulátumai 5
Zárt rendszerben a hullámfüggvény időbeli fejlődését az időfüggő Schrödinger-egyenlettel írhatjuk le:
Néhány fizikai mennyiség operátrora (3. posztulátum):
Operátorok tulajdonságai a kvantumfizikában
A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk.
A kvantumfizikában használt operátorok lineárisak és önadjungáltak (hermitikusak)
Önadjungált operátorsajátértékei valósaksajátfüggvényei ortogonálisak
Sajátfüggvények ortonormálható, teljes rendszert alkotnak.
Legfontosabb képletek még egyszer (másfajta jelöléssel)
A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk.
Annak a valószínűsége, hogy egy részecskét adott t időpillanatban az [a,b] intervallumban találunk:
Természetesen:
Annak a valószínűségét, hogy a részecskét adott t időpillanatban az [a,b] frekvenciaintervallumban találjuk, a Fourier-transzformáció segítségével kaphatjuk (f(x,t) ismeretében):
Heisenberg-féle határozatlansági elv
( )
Levezetés (egy lehetőség)
Tfh.:Def.:
Levezetés (egy lehetőség) - folyt.
Tétel (6.15)
Nem léteznek olyan korlátos S és T lineáris operátorok, (semmilyen Hilbert térben), amelyek kielégítenék az
egyenletet.
ST – TS = I csak nem korlátos S és T operátorok esetén igaz. (A kvantummechanikában ilyeneket használunk)
Egy példaAdott és esetén tekintsük a következő
függvényt:
Példa (folyt.)
Mely (α, β) rendezett párokra teljesülhet a két állítás ( , ill. ) egyidejűleg?
λ1=?a, b (→λ1) adott; miért kell α-nak és β-nak
kielégítenie a (*) egyenlőtlenséget?Felrajzolhatjuk-e az (α,β) párok érvényességi
halmazát az egységnégyzetben?
(*)
Def.:
Példa (folyt.) – válaszok
Def.:
Def.:
λ1 a T operátor legnagyobb sajátértéke:
esetén biztosan érvényes (α,β) párokat kapunk.
Példa (folyt.) – válaszok 2Miért kell a (*) egyenletnek teljesülnie?
adott a, b (→λ1), α,β-ra igaz (*) :
ezen kívül is lehet
Köszönöm a figyelmet!
Felhasznált irodalom:
K. Saxe: Beginning Functional AnalysisCsurgay Árpád – Simonyi Károly: Az Információtechnika Fizikai
Alapjai