Opfriscursus Wiskunde voor het Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs
FEB Campus Brussel
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN
Inleiding 1
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Schakelprogramma
Handelswetenschappen
in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Inleiding
Inleiding 2
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
docent : Theo Moons
bureel : T’Serclaes – gebouw, lokaal A.06 –01
email : [email protected]
Skype : theomoonshub
Opfriscursus Wiskunde
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
doel: de nodige voorkennis van wiskunde opfrissen om het
Schakelprogramma Handelswetenschappen succesvol
te kunnen aanvatten
praktisch:
■ 5 lessen telkens van 17u30 tot 21u30 (met pauze )
■ gevolgd door een zelftest
■ per les ongeveer 3 uur om extra oefeningen te maken
■ en, een ruime herhaling als voorbereiding op de zelftest
voorkennis: elementair algebraïsch rekenen
[ indien nodig , zelf op te frissen ! ]
Opfriscursus Wiskunde
Inleiding 3
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Didactisch materiaal
■ map met handouts van de presentaties en oefeningen
■ website feb.kuleuven.be/toekomstigestudenten/opfriscursussen/
brussel/cursusmateriaal-schakel-hw-avondonderwijs/
met daarop
tekst “ Elementair algebraïsch rekenen” ( voor zelfstudie )
de verwachte voorkennis voor het Schakelprogramma
per lesdag een printout van de volledige powerpoint
herhalingsoefeningen ter voorbereiding van de zelftest
■ software: VisuMath 3.0 (download van www.visumath.be )
voor Apple & Mac : Grapher
■ eventueel een rekenmachine (als je er één hebt )
Voor bijkomende informatie en oefeningen
■ J. van de Craats en R. Bosch,
Basisboek wiskunde , 2de editie ,
Pearson Education Benelux, Amsterdam, 2009,
ISBN 978-90-430-1673-5
gedeeltelijk beschikbaar via
http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/BasisboekWiskunde2HP.pdf
[ zie website opfriscursus voor wat je hiervan moet kennen ]
■ websites met instructiefilmpjes en/of interactieve oefeningen : www.khanacademy.org
www.zweigmedia.com/tuts/index.php?lang=en
www.purplemath.com/modules/index.htm
www.onlinemathlearning.com/
www.mathispower4u.com/
www.mathcentre.ac.uk/
Voorkennis wiskunde
In de cursussen “Wiskunde voor Bedrijfswetenschappen” wordt er verondersteld dat u eenaantal elementaire begrippen en rekentechnieken uit de wiskunde kent en kunt gebruiken.Een goed boek waarin de basiskennis van wiskunde overzichtelijk weergegeven wordt en dateveneens voldoende oefenmateriaal bevat om die kennis opnieuw in de vingers te krijgen is:
J. van de Craats & R. Bosch, Basisboek Wiskunde (2de editie),Pearson Education Benelux, Amsterdam, 2009, ISBN 978-90-430-1673-5.
Grote delen van dit boek kan u ook online raadplegen via de link
https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/BasisboekWiskunde2HP.pdf
De volgende hoofdstukken uit dit boek worden in de cursussen “Wiskunde voor Bedrijfs-wetenschappen” verondersteld gekend te zijn. De onderwerpen aangeduid met een asterix(d.i. ∗ ) komen aan bod in de Opfriscursus Wiskunde voor het avondprogramma.
• Hoofdstuk 1. Getallen
• Hoofdstuk 2. Algebra
• Hoofdstuk 3. Getallenrijen∗ : § 8. Rijen en limieten (alleen “Rekenkundige rijen” en“Meetkundige rijen”, maar niet “Limieten van rijen” en “Snelle stijgers”.)
• Hoofdstuk 4. Vergelijkingen
• Hoofdstuk 5. Meetkunde∗ : § 12. Lijnen in het vlak en § 14. Cirkels (maar niet“Raaklijnen aan een cirkel”)
• Hoofdstuk 6. Functies∗ : § 16. Functies en grafieken
• Hoofdstuk 6. Functies∗ : § 18. Exponentiele functies en logaritmen
Verder wordt er ook verondersteld dat je elementaire berekeningen met matrices kan uit-voeren. Een goede referentie hiervoor is
• Hoofdstuk 5. Matrixrekening∗
uit het boek
J. van de Craats, Vervolgboek Wiskunde,Pearson Education Benelux, Amsterdam, 2009, ISBN 978-90-430-1619-3.
waarvan u eveneens grote delen online kan raadplegen raadplegen via de link
https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/VervolgboekWiskundeHP.pdf
Eerste-graadsfuncties 1
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Eerste ‒ graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eerste-graadsfuncties 2
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten:
■ een vaste vertrekprijs van 5 €
■ een kilometerprijs van 2 €
Dan
een rit van 7 km kost
een rit van 12 km kost
een rit van 23 km kost
Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld
.
.
.
Algemeen: een rit van x km kost
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld
Besluit: de kostprijs y ( in euro) van een taxirit van x km
wordt gegeven door y = 5 + 2x
wiskundige terminologie:
■ x en y zijn
■ de vergelijking y = 5 + 2x definieert een tussen
de veranderlijken x en y
Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie
nl. je kiest x , en dan ligt y vast
dit soort relatie noemt men een
Eerste-graadsfuncties 3
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Begripsomschrijving: (voorlopige versie )
een functie van één veranderlijke is een regel die moet
toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y
functieyx
( … ) 2 + 5= 5 + 2x
Terminologie: x is de veranderlijke
y is de veranderlijke
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eerste-graadsfuncties 4
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties
Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en km–prijzen
bv. y = 4.50 + 2.10x resp. y = 5.20 + 1.90x enzovoort
Algemeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per km) x
formeel: met q , m IR constanten
terminologie: m en q noemt men
Merk op: y is een van de eerste graad in x
y is een eerste – graadsfunctie van x
Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties
Voorbeeld 2
Het maandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag
van 1500 € aangevuld met 5% van de totale waarde van de
omzet die hij vorige maand gerealiseerd heeft .
Als de verkoper vorige maand voor een totaal van x = 10 000 €
verkocht heeft , dan bedraagt zijn loon deze maand
y =
Algemeen: als de verkoper ’s omzet vorige maand x € bedroeg ,
dan krijgt hij deze maand y = € loon .
Merk op: y = q + mx met q = en m =
een eerste – graadsfunctie
Eerste-graadsfuncties 5
Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties
Voorbeeld 3
Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor 20000 €
maar verliest elk jaar 1000 € van zijn waarde .
De waarde y van de bedrijfswagen
1 jaar na aankoop is y = €
2 jaar na aankoop is y = €
3 jaar na aankoop is y = €
Algemeen: x jaar na aankoop is y = €
Merk op: y = q + mx met q = en m =
een eerste – graadsfunctie
.
.
....
Andere voorbeelden van functies
De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het
product: hoe hoger de prijs , hoe minder er van verkocht wordt
en hoe lager de prijs , hoe meer er van verkocht wordt
bv. v = 1200 – 30x een eerste – graadsfunctie
MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is
TO =
Merk op: dit is van de vorm y = q + mx met q ,m const.
y is eerste – graadsfunctie van x
Eerste-graadsfuncties 6
Functies en hun voorstellingswijzen
Voorbeelden
■ een taxirit van x km kost y = 5 + 2x euro
■ een omzet van x euro , geeft y = 1500 + 0.05 x euro loon
■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €
nog y = 20000 – 1000 x euro waard
■ bij een prijs van x € is de vraag v = 1200 – 30x eenheden
■ bij een prijs van x € is de opbrengst TO = 1200 x – 30 x2 €
Begripsomschrijving: (voorlopige versie )
een functie van één veranderlijke is een regel die moet
toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y
Voorstellingswijze 1: met een
Voorbeelden
■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro
■ een omzet van x euro geeft f (x) = 1500 + 0.05 x euro loon
■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €
nog f (x) = 20000 – 1000x euro waard
■ bij een prijs van x € is de vraag f (x) = 1200 – 30x eenheden
■ bij een prijs van x € is de opbrengst f (x) = 1200 x – 30 x2 €
Begripsomschrijving: (voorlopige versie )
een functie f van één veranderlijke is een regel die moet
toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x)
formeel: f : IR IR : x f (x)
Voorstellingswijze 2: met een
Eerste-graadsfuncties 7
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Voorstellingswijze 3:
Voorbeelden
■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro
0 20 25
55
45
x
y
5
10 155
15
25
35
met een
Dan
f (0) =
f (5) =
f (10) =
f (15) =
f (20) =
f (25) =
Begripsomschrijving: (voorlopige versie )
een functie f van één veranderlijke is een regel die moet
toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x)
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Dan
f (0) = 20 – 1(0) =
f (2) = 20 – 1(2) =
f (4) = 20 – 1(4) =
f (6) = 20 – 1(6) =
f (8) = 20 – 1(8) =
f (10) = 20 – 1(10) =
0 4 5
12
10
x
y k €
2
2 31
4
6
8
9 107 86
20
14
16
18
■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €
nog f (x) = 20 000 – 1000 x k EUR waard
.
.
....
Eerste-graadsfuncties 8
Meetkundige interpretatie van de parameters
■ de grafiek van een eerste – graadsfunctie f (x) = mx + q
is de met vergelijking y = mx + q
■ q = is de
en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt
■ m is de [ of kortweg ]
en geeft de van de rechte weer
[ Engels : slope ]
en , de grootte van m bepaalt hoe de rechte is
Meer nog ,m > 0 een rechte
m = 0 een rechte
m < 0 een rechte
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
of nog: als x toeneemt met 1 eenheid ,
dan neemt y toe met eenheden
Anders gezegd ,
als er 1 km méér gereden wordt ,
dan neemt de prijs toe met
Bijgevolg ,
als er x km gereden worden , dan kost de rit y = 2 x + 5 €
Merk op: m = 2
Voorbeeld
Taxibedrijf : vertrekprijs 5 €
prijs per km 2 €
Eerste-graadsfuncties 9
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m richtingscoëfficiëntvan de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
vertrekprijs 5 € vaste kost
prijs per km 2 € marginale kost
Y
X
>
>y = 5 + 2 x
d.w.z.
als x toeneemt met 1 eenheid ,
dan neemt y toe met m = 2 eenheden
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m richtingscoëfficiëntvan de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
vertrekprijs 5 € vaste kost
prijs per km 2 € marginale kost
Y
X
>
>
y = 5 + 2 x
d.w.z.
als x toeneemt met 1 eenheid ,
dan neemt y toe met m = 2 eenheden
Merk op: dit hangt niet af van
de plaats op de grafiek
Eerste-graadsfuncties 10
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Samengevat : prijs per km 2 € = marginale kost
= rico m van de grafiek
Concreet ,
■ als er 1 km méér gereden wordt ,
dan neemt de prijs toe met m = 2 €
Formeel: y = m
Maar ook ,
■ 3 km meer rijden meer betalen
■ 5 km meer rijden meer betalen
■ x km meer rijden y = € meer betalen
of nog
.
.
....
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m rico van de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
prijs per km 2 € marginale kostY
X
>
>
y = 5 + 2 x
yx
mFormeel:
yx
mWelnu,
Eerste-graadsfuncties 11
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m rico van de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
prijs per km 2 € marginale kostY
X
>
>y = 5 + 2 x
yx
mFormeel:
21
2yx
mWelnu,
yx
malsook
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m rico van de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
prijs per km 2 € marginale kostY
X
>
>
y = 5 + 2 x
yx
mFormeel:
21
2yx
mWelnu,
42
2yx
malsook
yx
mof nog
Eerste-graadsfuncties 12
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Y
X
Oefening
Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten
(a)
rico m = =yx
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Y
X
Oefening
Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten
(b)
rico m = =yx
Eerste-graadsfuncties 13
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 1
(a) Stel de rechte met vergelijking y = – 2x – 1 voor op
een figuur . Maak hiervoor gebruik van de meetkundige
betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt.
(b) Welke y -waarde hoort er bij x = 2 ?
[ Controleer je antwoord op de figuur . ]
(c) Welke x -waarde hoort er bij y = 2 ?
[ Controleer je antwoord op de figuur . ]
Oefening 2
Bepaal de vergelijking van de vorm y = m x + q voor elk van de
rechten A , B , C , D , E en F uit de onderstaande figuur door
gebruik te maken van de meetkundige betekenis van m en q .
Y
X
D
FE B
>
>
(6,6)
C
A
(3,9)
Eerste-graadsfuncties 14
Oefening 5Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van
Manneken Pis . Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt ,
dan worden er dagelijks 24 stuks van verkocht . Als men echter
10 euro per beeldje vraagt , dan worden er slechts 16 stuks per
dag van verkocht . Wat is het functievoorschrift van de eerste –
graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes
modelleert ?
Oplossing
Stel x =
f (x) =
Dan f is de gezochte
Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie
f (x) = m x + q met m , q IR constanten
en de grafiek van f is de
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Verder is er gegeven dat
■ als de prijs 8 euro is , dan is de vraag stuks
■ als de prijs 10 euro is , dan is de vraag stuks
vraag y
prijs x
Gevraagd: zoek de vergelijking van de die
door gaat
Eerste-graadsfuncties 15
De vergelijking van een rechte
■ alle punten op de rechte voldoen aan y = m x + q
■ (x0 ,y0 ) ligt op de rechte
■ maar dan
of equivalent,
x0
y0
y
x
y = m x + q
‒
punt ‒ ricoformule
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
De vergelijking van een rechte
■ alle punten op de rechte voldoen aan y – y0 = m ( x – x0 )
■ (x1 ,y1 ) ligt op de rechte
■ als x1 ≠ x0 danpunt ‒ punt
formule
x1
y1
x0
y0
y
x
y = m x + q
Eerste-graadsfuncties 16
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eigenschap
Zij (x0 , y0 ) een punt in IR2
(1) Elke niet – verticale rechte door het punt (x0 , y0 )
heeft vergelijking
y – y0 = m ( x – x0 ) met m IR de rico
(3) De verticale rechte door het punt (x0 , y0 ) heeft
vergelijking x = x0
en ( x1 , y1 ) punten in IR2 met x0 = x1/
(2) De rechte door de punten (x0 , y0 ) en ( x1 , y1 ) heeft
vergelijking
y – y0 = m ( x – x0 ) met rico m =y1 – y0
x1 – x0
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eerste-graadsfuncties 17
Oplossing 5 (vervolg )
Stel x = de prijs ( in euro) voor een Manneken Pis beeldje
f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes
Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie zodat
Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie
waarvan de grafiek de rechte is die door de punten
(8 , 24) en (10 ,16) gaat
vraag y
prijs x
y = m x + q
24
16
108
Welnu,
■ een rechte door het punt ( 8 , 24) heeft vergelijking
met m IR de rico
■ de richtingscoëfficiënt van de rechte is m =
■ de vergelijking van de rechte is
het functievoorschrift van f is f (x) =
■ deze rechte met vergelijking y = is de grafiek van
de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes
van Manneken Pis beschrijft in functie van de prijs x
Eerste-graadsfuncties 18
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3
(a) Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)
en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?
(b) Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4
die evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking
4x – 3y – 4 = 0 .
(c) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt
(2 , ‒3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door
de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .
(d) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt
(‒2 ,3) en loodrecht staat op de rechte met vergelijking
2x – 3y + 6 = 0 .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3(a)
Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)
en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?
Oplossing
■ een rechte door het punt (1 , 2) heeft vergelijking
met m IR de rico
■ gegeven : rico m = 3 vergelijking
of uitgewerkt :
■ de intercept van deze rechte is q =
Eerste-graadsfuncties 19
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3(b)
Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4 die
evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking 4x – 3y – 4 = 0 .
□
Oplossing
■ een rechte met intercept 4 heeft vergelijking
met m IR de rico
■ gegeven: evenwijdig met de rechte met vgl. 4x – 3y – 4 = 0
rico m =
■ de vergelijking van de gezochte rechte is
Oefening 3 (c)
Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (6 , ‒3) gaat
en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .
Oplossing
■ een rechte door het punt (6 , –3 ) heeft vergelijking
met m IR de rico
■ gegeven: evenwijdig met de rechte door (4 ,1) en (–2 ,2)
rico m =
■ de vergelijking van de gezochte rechte is
of uitgewerkt :
Eerste-graadsfuncties 20
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Herinner u: een rechte die loodrecht staat op de rechte
met vergelijking y = mx + q heeft
richtingscoefficient
Oefening 3(d)
Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (‒2 ,3)
en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 2x – 3y + 6 = 0 .
Oefening 7
Ga door berekening na of de grafieken van de functies
f (x) = x – 3 en g(x) = 2x – 2 en h(x) = – 3x + 1
door één punt gaan .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 11
Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve - dag – reis
200 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km . Een
tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en
daarbij 0.95 EUR per km . Hoeveel km moet een halve - dag -
reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper
zou zijn dan de eerste ?
Eerste-graadsfuncties 21
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 12
De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren
van een tijdschrift wordt gegeven door TO = 2.5q . De vaste
productiekosten bedragen 1485 EUR . De variabele productie -
kosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor
0.25 . Zoek het break even point (d.w.z. de hoeveelheid q
waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt ) .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 13
Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze
tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig
tarief . Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse
vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per
verbruikte kWh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere
prijs voor het gebruik tijdens de 9 ‘nachturen’ . Bij dit tarief
wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR
aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kWh
overdag en 0.06 EUR per verbruikte kWh 's nachts. Bepaal
vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper
wordt .
Eerste-graadsfuncties 22
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 14
Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het
gedeelte van het inkomen tot 750000 EUR betaalt men
20 % belastingen en op het gedeelte boven 750000 EUR
betaalt men 60% belastingen .
(a) Bepaal het functievoorschrift van de functie die het verband
geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en
maak een grafiek van deze functie.
[ Hint : stel de bedragen voor in veelvouden van 1000000 EUR]
Men overweegt in Lovania een belastinghervorming . Het
voorstel bepaalt dat men 10 % belastingen zou moeten betalen
op het gedeelte van het inkomen tot 300 000 EUR en 40% op
het gedeelte boven 300000 EUR .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
(b) Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het
verband geeft tussen de belasting en het inkomen .
Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit
opgave (a).
(c) Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door
berekeningen te maken , voor welke inkomens het voorstel
minder voordelig zou zijn.
Eerste-graadsfuncties 23
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Impliciet gedefinieerde functies
Voorbeeld
Iemand wil 100 000 euro beleggen in aandelen en obligaties .
Een aandeel kost 100 euro per stuk
en een obligatie kost 250 euro per stuk .
Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen?
Antwoord
Stel zij koopt qA aandelen en qO obligaties
Dan 100 qA + 250 qO = 100000
Er zijn dus oneindig veel combinaties mogelijk . . .
bv. qA = en qO =
of qA = en qO =
of qA = en qO =
of . . .
. . . maar niet alle combinaties zijn mogelijk !!!!!
want er moet altijd voldaan zijn aan de vergelijking
Deze vergelijking definieert een tussen de veranderlijken
qA en qO
Eerste-graadsfuncties 24
2 mogelijke scenario’s
ofwel kiest zij het aantal aandelen qA
dan 100 qA + 250 qO = 100 000
qO
qA0
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Terminologie
■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert
qO impliciet als functie van qA , namelijk
qO : IR IR : qA 400 – 0.4 qA
■ qA is de veranderlijke
■ qO is de veranderlijke
Eerste-graadsfuncties 25
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
ofwel kiest zij het aantal obligaties qO
dan 100 qA + 250 qO = 100 000
qO
qA0
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Terminologie
■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert
qA impliciet als functie van qO , namelijk
qA : IR IR : qO 1000 – 2.5 qO
■ qO is de veranderlijke
■ qA is de veranderlijke
Eerste-graadsfuncties 26
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Wiskunde leren
= heel veel oefeningen maken;
en … soms ook fouten maken,
begrijpen waarom het verkeerd
is en de oefeningen correct
opnieuw maken !
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
1
Opfriscursus wiskunde – dag 1
1. a. Stel de rechte met vergelijking 2 1y x voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik
van de betekenis van y-intercept en richtingscoëfficiënt.
b. Welke y-waarde hoort er bij 2x ? (Controleer je antwoord op de figuur.)
c. Welke x-waarde hoort er bij 2y ? (Controleer je antwoord op de figuur.)
2. Bepaal de vergelijking van de vorm y mx q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F
uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de betekenis van m en q.
3. a. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1,2) en met rico 3.
Wat is de y-intercept van deze rechte?
b. Bepaal de vergelijking van de rechte met y-intercept 4 die evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking 4 x – 3 y – 4 = 0.
c. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (6,‒3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,1) en (–2,2).
d. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (-2,3) gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 2 x – 3 y + 6 = 0.
4. Welke figuur wordt voorgesteld door de vergelijking
a. 2 3 1 0x y ?
b. (0 ) 3 1 0x y ?
c. 2 ( 0 ) 1 0x y ?
d. (0 0 ) 1 0x y ?
5. Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van Manneken Pis. Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt, dan worden er dagelijks 24 stuks van verkocht. Als men echter 10 euro per beeldje vraagt, dan worden er slechts 16 stuks per dag van verkocht. Wat is het functievoorschrift van de eerstegraadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes modelleert?
(3,9)
y
x
(0,7)
(0,3)
(6,6)
(2,0)
A
B
C
D E
F
2
6. De hoeveelheid q die van een zeker product verkocht kan worden, hangt af van de prijs p die ervoor gevraagd wordt. Veronderstel dat het verband tussen beide grootheden gegeven wordt door 24 0.8q p . Deze functie wordt de vraagfunctie genoemd.
a. Maak een grafiek van deze vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af.
Deze vraagfunctie is in eerste instantie bruikbaar om de waarde van q te bepalen als er een waarde voor p gegeven is. Deze formule kan echter ook gebruikt worden 'in de omgekeerde zin'.
b. Veronderstel dat je zou willen dat er 16 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen?
c. Veronderstel dat je zou willen dat er 20 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen?
d. Als je de waarde van p moeten bepalen voor heel veel verschillende waarden van q, dan kan je de bovenstaande vergelijking beter in een andere vorm schrijven, namelijk de vorm waarbij p uitgedrukt wordt in functie van q. Doe dit.
e. Controleer het antwoord op de vragen b. en c. met behulp van deze formule.
De formule uit oefening d. Kan geinterpreteerd worden als de vergelijking van een functie die p uitdrukt in functie van q. Deze nieuwe functie wordt de inverse vraagfunctie genoemd.
f. Maak een grafiek van deze inverse vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af.
g. Welk verband bestaat er tussen de richtingscoëfficiënt van de grafieken van de vraagfunctie en de inverse vraagfunctie?
7. Ga door berekening na of de grafieken van de functies f(x) = x – 3 , g(x) = 2 x – 2 , en h(x) = –3 x + 1 door één punt gaan.
8. a. Bepaal x en y zó dat 8 25
11 29 4
x y
x y
b. Bepaal p en q zó dat 5 9 8
3 1 13
p q
q p
c. Bepaal a en b zó dat 4 5
3 8 2
a b
a b
9. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op:
a. 3 2 9
2 5
x x ;
b. 3 7 ( 9) ( 30)x x x ;
c. 2 22 4x x ;
d. 2 2 2( 2) ( 2) 2x x x ;
e. 12 1 13 4 4 7
2 6 5
x x x ;
f. 3 7 2 1 2 1
57 3 7 3
x x x
;
g. 2( 1)( 1) ( 2)x x x ;
h. 2 3 4
36 5 2
x x xx
;
i. 2 3 3 6x x .
3
10. Hoeveel kg koffie van 4.12 EUR per kg moet men mengen met 45 kg koffie van 3.02 EUR per kg om een mengsel te verkrijgen van 3.79 EUR per kg ?
11. Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve-dag-reis 200 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve-dag-reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste?
12. De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door 2.5TO q . De vaste productiekosten bedragen 1485 EUR. De variabele
productiekosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.25. Zoek het break-even-point (d.w.z. de hoeveelheid q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt).
13. Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per verbruikte kWh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 'nachturen'. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kWh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kWh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt.
14. Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot 750 000 EUR betaalt men 20 % belastingen en op het gedeelte boven 750 000 EUR betaalt men 60% belastingen.
a. Bepaal het functievoorschrift van de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en maak een grafiek van deze functie. (Hint: stel de bedragen voor in veelvouden van 1 000 000 EUR).
Men overweegt in Lovania een hervorming van het belastingstelsel. Het voorstel bepaalt dat men 10% belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot 300
000 EUR en 40% op het gedeelte boven 300 000 EUR.
b. Stel een vergelijking op voor de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen volgens het voorstel. Maak een grafiek van deze functie op de figuur uit vraag a.
c. Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn.
4
Oplossingen
1. a. Daar de y-intercept –1 is, volgt dat de rechte door het punt 0, 1 gaat. Omdat de
richtingscoëfficiënt –2 bedraagt, moet met een toename van één eenheid in de x-richting een toename van –2 eenheden in de y-richting corresponderen. Omdat het
punt 0, 1 tot de rechte behoort, ligt dus ook het punt 1, 3 erop. De gevraagde
rechte is dus de rechte door de punten 0, 1 en 1, 3 .
b. –5
c. –1.5
2. 1
: 32
A y x , : 2 3B y x , : 3C y , 3
: 32
D y x , 3
: 72
E y x , 2
: 73
F y x
3. a. y = 3 x – 1 ; de y-intercept is -1.
b. � =�
�� + 4
c. � = −�
�� − 2
d. 3
2y x
4. a. (schuine) rechte door de punten 1
0,3
en
1,0
2
;
b. horizontale rechte door het punt 1
0,3
;
c. verticale rechte door het punt 1
,02
;
d. lege verzameling.
5. Als x de prijs (in euro) voor een beeldje van manneken Pis voorstelt, dan wordt de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes gegeven door f (x) = 56 – 4 x .
6. a. rechte door de punten 24,0 en 0,30 ; richtingscoëfficiënt is -0.8.
b. 10
c. 5
d. 1.25 30p q
e. OK
f. rechte door de punten 30,0 en 0,24 ; richtingscoëfficiënt is –1.25.
g. de richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde (d.w.z. richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie
=tie vraagfuncinverse den grafiek va de van oëfficiëntrichtingsc
1
of nog:
richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie
=tie vraagfuncden grafiek va de van oëfficiëntrichtingsc
1. )
5
7. Neen. De grafieken van de functies f en g snijden elkaar in het punt met coördinaten
4,1 . De grafiek van de functie h gaat niet door dit punt.
8. a. 3 en 1x y
b. 1 3
en 4 4
p q
c. 10 8
en b17 17
a
9. a. 8
13x
b. 32
3x
c. 2x
d. x is een willekeurig reëel getal
e. 47
139x
f. 9
10x
g. 5
4x
h. 6
13x
i. 3x
10. 105 kg
11. meer dan 500 km
Om het resultaat grafisch te controleren, teken je in dezelfde figuur de grafiek van de kostprijs K1 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de eerste uitbater en de grafiek van de kostprijs K2 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de tweede uitbater. De
vergelijkingen van deze functies zijn 1
200 1.15K x respectievelijk 2
300 0.95K x .
12. 660 exemplaren
13. Noem x het verbruik in kWh overdag en y het verbruik in kWh 's nachts. De kostprijs in
EUR volgens het normale tarief is dan 66.98 0.13( )n
K x y . En de kostprijs in EUR
volgens het tweevoudig tarief is 99.93 0.13 0.06t
K x y . We zoeken de waarden van
y waarvoor n t
K K . Aan deze ongelijkheid voldaan is als en slechts als 470.71...y .
Bijgevol zal het tweevoudig tarief voordeliger zijn vanaf 470.71 kWh nachtverbruik.
200
400
600
800
1000
0 250 500 750
K
x
uitbater
uitbater 2
6
14. a. 0.2 als 0 0.75
0.6 0.3 als 0.75
x xb
x x
b. 0.1 als 0 0.3
0.4 0.09 als 0.3
x xb
x x
c. De grafieken snijden elkaar in twee punten. Het inkomen dat overeenkomt met het meest linkse snijpunt noemen we a en het inkomen dat overeenkomt met het meest rechtse snijpunt noemen we c. Voor de inkomens die gelegen zijn tussen a en c is de huidige berekening van de belasting voordeliger dan het voorstel. Het meest linkse snijpunt onstaat door het linkse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om a te vinden moeten we dus de vergelijking 0.2 0.4 0.09x x oplossen. Zo vinden we dat 0.45a . Het meest rechtse snijpunt
onstaat door het rechtse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om c te vinden moeten we dus de vergelijking 0.6 0.3 0.4 0.09x x oplossen. Zo vinden we dat 1.05c . We bsluiten dat het
voorstel minder voordelig is dan het huidige systeem voor de inkomens gelegen (strikt) tussen 450 000 EUR en 1 050 000 EUR.
0
0.2
0.4
0.6
0 0.5 1 1.5
b
x
0
0.2
0.4
0.6
0 0.5 1 1.5
b
x
Tweede-graadsfuncties 1
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Tweede ‒ graadsfunctiesDeel 1: kwadratische vergelijkingen
en ongelijkheden
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Tweede-graadsfuncties 2
Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er 20 deelnemers zijn?
Oplossing
⇒ totaal te betalen is €
� kosten voor de gids : euro
� 20 deelnemersprijs per persoon is euro
⇒ samen = €
� minimum 20 deelnemers
� kosten voor de gids : 122 euro
� prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon
� bij méér dan 20 deelnemers:voor iedereen 2 euro korting per persoon
voor elke extra deelnemer
Toepassing: organisatie van een daguitstap
Oplossing
26 deelnemers
Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er deelnemers zijn?
� minimum 20 deelnemers
� kosten voor de gids : 122 euro
� prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon
� bij méér dan 20 deelnemers:voor iedereen 2 euro korting per persoon
voor elke extra deelnemer
⇒
26
Toepassing: organisatie van een daguitstap
Tweede-graadsfuncties 3
Oplossing
32 deelnemers
Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er deelnemers zijn?
� minimum 20 deelnemers
� kosten voor de gids : 122 euro
� prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon
� bij méér dan 20 deelnemers:voor iedereen 2 euro korting per persoon
voor elke extra deelnemer
Toepassing: organisatie van een daguitstap
⇒
32
� minimum 20 deelnemers
� kosten voor de gids : 122 euro
� prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon
� bij méér dan 20 deelnemers:voor iedereen 2 euro korting per persoon
voor elke extra deelnemer
Algemeen: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er deelnemers zijn?
Oplossingx deelnemers ⇒ méér dan het minimaal aantal 20
⇒ euro vermindering per persoon
⇒ prijs per persoon is
⇒ totaal te betalen is €
x
Toepassing: organisatie van een daguitstap
Tweede-graadsfuncties 4
Besluit : als er x mensen aan de uitstap deelnemen,dan moet je aan het reisagentschap
x (120 – 2x ) + 122 euro
betalen.
Anders gezegd,als er x deelnemers zijn,
dan moet je f (x) = –2 x2 + 120 x + 122 euro betalen.
Dit definieert een functie ,namelijk
input x output f (x) = –2 x2 + 120 x + 122
Formeel,f : IR IR : x f (x) = –2 x2 + 120 x + 122
een tweede – graads functie
= –2 x2 + 120 x + 122
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
y = –2 x 2 + 120x + 122
Y
X>
>
aantal deelnemers
totaalbedrag
10 20 30 40 50 60
2000
1500
1000
500
0
(1) functievoorschrift : f (x) = –2 x2 + 120 x + 122
(2) vergelijking : y = –2 x2 + 120 x + 122
(3) grafiek
Drie manieren om de functie voor te stellen
Tweede-graadsfuncties 5
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
(3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen.Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen?
Vragen(1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen.
Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel?
Oplossing
Methode 1: aflezen van de grafiek
Methode 2: berekenen
(2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschaphet hoogste bedrag?
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
f : IR IR : x a x2 + b x + c met a ,b ,c ∈ IR en a ≠ 0
De grafiek van een tweede – graadsfunctie
IR
IR
0 IR
IR
0
IR
IR0
IR
IR
0
IR
IR
0
IR
IR0
Te onthoudende grafiek van een tweede – graadsfunctie
f : IR IR : x a x2 + bx + c
is de met vergelijking y = a x2 + bx + c
Tweede-graadsfuncties 6
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
f : IR IR : x a x2 + b x + c met a ,b ,c ∈ IR en a ≠ 0
De grafiek van een tweede – graadsfunctie
IR
IR
0
IR
IR
0
IR
IR0
IR
IR0
IR
IR0IR
IR
0
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
f : IR IR : x a x2 + b x + c met a ,b ,c ∈ IR en a ≠ 0
De grafiek van een tweede – graadsfunctie
IR
IR
0
IR
IR
0
IR
IR0
IR
IR0
IR
IR0IR
IR
0
Tweede-graadsfuncties 7
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Te onthouden
■ de grafiek van een tweede – graadsfunctie f (x) = a x2 + b x + c
is een
■ als a > 0 , dan is het een parabool ( parabool )
als a < 0 , dan is het een parabool ( parabool )
■ de parabool heeft haar top in xtop =
■ de oplossingen van de vergelijking ax2 + b x + c = 0
geven de van de functie f (x) = a x2 + b x + c
d.i. de snijpunten van de parabool met de – as
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Te onthoudenDe oplossingen van een kwadratische vergelijking
a x2 + b x + c = 0 met a , b , c ∈ IR en a ≠ 0
worden gevonden door eerst de discriminant
discr = b2 – 4 a c
te bereken en vervolgens
– b + √ discr2a
– b – √ discr2a
en
(1) als discr > 0 dan zijn er twee verschillende oplossingen,namelijk
(2) als discr = 0 dan is er slechts één oplossing,
namelijk b2a
–
(3) als discr < 0 dan zijn er geen oplossingen
Tweede-graadsfuncties 8
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 1
Hieronder vind je zes tweede-graadsfuncties van één veranderlijke.Schets de grafiek van elk van deze functies.
f1 : y = x2 – 5x + 6 f2 : y = x2 – 4x + 4 f3 : y = x2 – 4x + 6
f4 : y = –x2 + 5x – 6 f5 : y = –x2 + 4x – 4 f6 : y = –x2 + 4x – 6
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Tweede-graadsfuncties 9
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oplossingf1(x) = x2 – 5x + 6
⇒ de grafiek is een
■ a = ⇒ een
en ytop =
■ met top in xtop =
■ de nulpunten van f1 voldoen aan f1(x) = 0
⇔ = 0
⇒ de nulpunten zijn
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Verderf1(0) =
f1(1) =
De grafiek van de functie f1 is
Y
X−1 0 1 2 3 4 5 6
7
6
5
4
3
2
1
−1
>
>IR
IR
Tweede-graadsfuncties 10
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oplossingf6(x) = –x2 + 4x – 6
⇒ de grafiek is een
■ a = ⇒ een
en ytop =
■ met top in xtop =
■ de nulpunten van f6 voldoen aan f1(x) = 0
⇔ = 0
een kwadratische vergelijking
discr =
⇒ de functie f6 heeft nulpunten
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Verderf6(1) =
f6(0) =
De grafiek van de functie f6 is
Y X−1 0 1 2 3 4 5 6
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
IR>
>IR
Tweede-graadsfuncties 11
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3Gegeven zijn de functies f (x) = 2x + 4 en g(x) = x2 + 4x + 5 .
(a) Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies.
(b) Teken de grafieken van beide functies in één figuur en
controleer hiermee het resultaat van je berekeningen.
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Voorbeeld: organisatie van een daguitstap (vervolg )
Herinner u : als er als er x mensen aan de uitstap deelnemen,dan moet men aan het reisagentschap
f (x) = –2 x2 + 120x + 122 euro betalen.
(3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen.Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen?
Vragen
(2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschaphet hoogste bedrag?
(1) Men moet het reisagentschap 1872 euro betalen.Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel?
Oplossingsmethoden: 1. aflezen van de grafiek
2. berekenen
Tweede-graadsfuncties 12
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Vragen(1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen.
Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel?
OplossingMethode 1: aflezen van de grafiek
y = –2 x 2 + 120x + 122
Y
X>
>
aantal deelnemers
totaalbedrag
10 20 30 40 50 60
2000
1500
1000
500
0
Methode 2: berekenengevraagd: zoek alle x waarvoor f (x) =
Welnu,
f (x) = ⇔ –2 x2 + 120 x + 122 =
⇔ –2 x2 + 120 x –
een kwadratische vergelijking
discr =
⇒ de nulpunten zijn
Besluit: er zijn mogelijkheden voor het aantal deelnemers,namelijk
Tweede-graadsfuncties 13
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Vragen(2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap
het hoogste bedrag?
Oplossing
y = –2 x 2 + 120x + 122
Y
X>
>
aantal deelnemers
totaalbedrag
10 20 30 40 50 60
2000
1500
1000
500
0 30
Methode 1: aflezen van de grafiek
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Methode 2: berekenen
Besluit: bij deelnemers zal men aan het reisagentschap
het hoogste bedrag moeten betalen,
namelijk f ( ) = €
f (x ) = –2 x2 + 120 x + 122 een tweede – graadsfunctie
⇒ de grafiek is een
■ a = ⇒ een
⇒ de functie bereikt haar in de top
■ Nu is xtop =
Tweede-graadsfuncties 14
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 4
Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x2 + bx + c van
de functie f zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4 .
Oefening 5
De functie f(x) = 2x2 + 2x + p – 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Vragen(3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen.
Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen?
y = –2 x 2 + 120x + 122
Y
X>
>
aantal deelnemers
totaalbedrag
10 20 30 40 50 60
2000
1500
1000
500
0
Methode 1: aflezen van de grafiekOplossing
Tweede-graadsfuncties 15
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Methode 2: berekenengevraagd: zoek alle x waarvoor f (x)
Welnu,
f (x) ⇔ –2 x2 + 120x + 122
⇔ –2 x2 + 120 x
Nu is
■ h (x ) = –2x2 + 120x een tweede – graadsfunctie
⇒ de grafiek is een
■ a = ⇒ een
⇒ de functie bereikt waardenhaar nulpunten
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Besluit: het aantal deelnemers moet minstens bedragen
en mag niet hoger zijn dan
■ de nulpunten van h voldoen aan h(x) = 0
⇔ –2 x2 + 120x = 0
een kwadratische vergelijking
discr =
⇒ de nulpunten zijn
Tweede-graadsfuncties 16
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 2
Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op:
(a) 11x2 + 2 (19x – 12) = 0
(b) x2 – x = –
(c) 4x2 + 3x + 1 > 7x2 + x + 3
(d) (6 – 3x)(2 + 9x) ≥ 0
(e) x2 ≤ 100
(f) 3x(x – 3) < 5(x – 3 )
(g) (2x + 3)2 > 9x + 54
12
176
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 8
Een firma van elektronische onderdelen verkoop maandelijks
5000 stuks van een bepaalde component tegen 15 euro per
stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens
met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 euro
verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen
om een zo hoog mogelijke omzet te realiseren?
Tweede-graadsfuncties 17
Oefening 6
Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 euro per liter. Om grotebestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om eenreductie toe te kennen voor bestellingen van méér dan 100 liter.Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voorde hele bestelling met 0.01 euro verlaagd.
(a) Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TOvan de handelaar bij een bestelling van x liter wijn.
(b) Maak een grafiek van de functie TO(x) .
(c) Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale ontvangstenTO(x) van de wijnhandelaar maximaal?
(d) Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van de bestelling opdat de totaleontvangsten positief zouden blijven?
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 7
Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen
een prijs van 300 euro per persoon. Om meer mensen aan te
trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt
voor elke deelnemer verlaagd met 5 euro telkens er zich een
persoon extra (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn )
aanmeldt.
(a) Bij welk aantal deelnemers zijn de totale ontvangsten van
het reisbureau maximaal?
(b) Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het
toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten
positief zouden blijven?
Tweede-graadsfuncties 1
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Tweede ‒ graadsfuncties
Deel 2 : de cirkel
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Tweede-graadsfuncties 2
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
5
12ℓ = ?
De stelling van Pythagoras
In een rechthoekige driehoekgeldt :
a b
c
a2 = b2 + c2
Voorbeeld
⇒ ℓ =
Pythagoras : ℓ =2
de afstand tussen twee punten
Y
X−1 0 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
−1
de afstand d tussen de punten(2 ,1) en (5 ,5)
d d 2 =
en dus d =
of kortweg,
de stelling van Pythagoras
d =
voldoet aan
Tweede-graadsfuncties 3
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
de afstand tussen twee punten
te onthouden :
de afstand d tussen 2 punten
(x1 ,y1) en (x2 ,y2) wordt
gegeven door
Y
X−1 0 1 2 3 4 5
6
5
4
3
2
1
−1
d
∆x
∆y
d = √ ∆x 2 + ∆y 2
= √ ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 ) 2
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
de vergelijking van een cirkel
Definitieeen cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r is de
verzameling van alle punten die op afstand r van het
middelpunt verwijderd liggen
cirkel
rmpt
Tweede-graadsfuncties 4
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Y
X−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
2
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
Voorbeeldde cirkel met middelpunt ( 3 , – 2 ) en straal 5
de vergelijking van een cirkel
of equivalent
of nog
(3 , – 2 )
(x , y )
5
heeft vergelijking
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Y
X−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
4
3
2
1
−1
−2
−3
−4
(x , y )
r
(0 ,0)
Algemeen :een cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r heeft
als vergelijking : [ x – x0 ] 2 + [ y – y0 ] 2 = r 2
de vergelijking van een cirkel
In het bijzonder,
een cirkel met middelpunt (0,0)
en straal r heeft als vergelijking
Tweede-graadsfuncties 5
een cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r heeft
als vergelijking : [ x – x0 ] 2 + [ y – y0 ] 2 = r 2
Besluit
De algemene vergelijking van een cirkel in IR2 is dus van
de vorm x2 + y 2 + a x + b y + c = 0
de vergelijking van een cirkel
standaardvormvan de
vergelijking
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Vraag : stelt de vergelijking
4 x 2 + 4 y 2 – 16 x – 24 y – 12 = 0
een cirkel voor ?
Zo ja, wat zijn dan het middelpunt en de straal
van die cirkel ?
de vergelijking van een cirkel
Tweede-graadsfuncties 6
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
een cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r heeft
als vergelijking : [ x – x0 ] 2 + [ y – y0 ] 2 = r 2
⇔ [ x2 – 2 x0 x + x02 ] + [ y 2 – 2 y0 y + y0
2 ] = r 2
⇔ x2 + y 2 – 2 x0 x – 2 y0 y + x02 + y0
2 – r 2 = 0
een vergelijking van de 2 de graad in x en y
de vergelijking van een cirkel
standaardvormvan de
vergelijking
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Te onthouden :een vergelijking in 2 veranderlijken stelt een cirkel voor
als en slechts als
� een vergelijking van de 2de graad in x en y
� geen term in x y
� de coëfficiënt van x2 = de coëfficiënt van y2
� na herwerking tot de vorm [ x – x0 ]2 + [ y – y0 ]2 = cmoet c ≥ 0
In dat geval,
een cirkel met middelpunt (x0 , y0 ) en straal √ c
Tweede-graadsfuncties 7
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 9Stellen de volgende vergelijkingen een cirkel voor?Zo ja, geef dan het middelpunt en de straal.
(a) x 2 + y 2 = –9 (f) x 2 + y 2 + 2x = 0
(b) x 2 + y 2 = 0 (g) x 2 + y 2 + 2x – 4y = 4
(c) x 2 + y = 5 (h) – x 2 – y 2 + 4x – 6y = 4
(d) (x – 1)2 + y 2 = 4 (i) 3x 2 + 3y 2 + 24x – 6y – 15 = 0
(e) (x + 1)2 + ( y – 2)2 = 3 (j) – 2x 2 – 2y 2 – 8x + 6y – 100 = 0
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 10
Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt
van de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 – 2 x – 2 y – 2 = 0 gaat
en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + 2 y = 0 .
1
Opfriscursus wiskunde – dag 2.
1. Hieronder vind je het functievoorschrift van zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies.
��(�)= �� − 5� + 6 ; ��(�)= �� − 4� + 4 ; ��(�)= �� − 4� + 6 ;
��(�)= −�� + 5� − 6 ; ��(�)= −�� + 4� − 4 ; ��(�)= −�� + 4� − 6 .
2. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op:
a. 0)1219(211 2 xx ;
b. 2
1
6
172 xx ;
c. 37134 22 xxxx ;
d. 0)92)(36( xx ;
e. �� ≤ 100 ;
f. )3(5)3(3 xxx ;
g. (2� + 3)� > 9� + 54 .
3. Gegeven zijn de functies �(�)= 2� + 4 en �(�)= �� + 4� + 5 .
a. Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies.
b. Teken de grafiek van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen.
4. Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x2 + b x + c van de functie f zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4.
5. De functie �(�)= �� + 2� + � − 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p.
6. Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 € per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van meer dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling (dus niet alleen voor de extra liters) met 0.01 € verlaagd.
a. Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO (in euro) van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn.
b. Maak een grafiek van de functie TO(x).
c. Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale inkomsten TO van de wijnhandelaar maximaal?
d. Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van een bestelling opdat zijn totale ontvangsten positief zouden blijven?
2
7. Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 € per persoon. Om meer mensen te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer (dus niet alleen voor de nieuwe deelnemers) verlaagd met 5 € telkens als zich één persoon extra aanmeldt (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn).
a. Bij welk aantal deelnemers zijn de totale onvangsten van het reisbureau maximaal?
b. Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven?
8. Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen 15 € per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 € verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te realiseren?
9. Stellen de volgende vergelijkingen een cirkel voor? Indien ja, geef het middelpunt en de straal.
a. 2 2 9 x y
b. 2 2 0 x y
c. 2 5 x y
d. 2 21 4 x y
e. 2 2
1 2 3 x y
f. 2 2 2 0 x y x
g. 2 2 2 4 4 x y x y
h. 2 2 4 6 4 x y x y
i. 2 23 3 24 6 15 0 x y x y
j. 2 22 2 8 6 100 0 x y x y
10. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking
022222 yxyx gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 02 yx .
3
Oplossingen
1.
2. a. 11
6,4 21 xx ;
b. 3,6
121 xx ;
c. geen oplossingen;
d.
2,
9
2x ;
e. 10,10x ;
f.
3,
3
5x ;
g. � ∈ �−∞, −��
�� ∪ ]3, +∞[ .
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5
y
x
f1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5
y
x
f4
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5
y
x
f2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5
y
x
f5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 1 2 3 4 5
y
x
f3
-4
-3
-2
-1
00 1 2 3 4 5
yx
f6
2
3. a. 2,1
b.
4. 19,8 cb
5. 2
3p
6. a. 2
7.5 als 0 100
0.01 8.5 als 100
x xTO
x x x
b.
c. 425x , de totale ontvangsten van de handelaar zijn maximaal bij een bestelling van 425 liter.
d. 850x , bestellingen van 850 liter of meer zijn dus niet toegelaten.
-4
0
4
8
-4 -2 0
y
x
g
f
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
0 200 400 600 800 1000
TO
x
3
7. a. De totale ontvangsten van het reisbureau zijn maximaal bij 50 deelnemers.
b. Het aantal deelnemers moet kleiner zijn dan 100.
8. 12.5 €
9. a. geen cirkel
b. cirkel met middelpunt (0,0) en straal 0, d.i. het punt 0,0
c. geen cirkel
d. cirkel met middelpunt (1,0) en straal 2
e. cirkel met middelpunt (− 1,2) en straal √3
f. cirkel met middelpunt (− 1,0) en straal 1
g. cirkel met middelpunt (− 1,2) en straal 3
h. cirkel met middelpunt (2, − 3) en straal 3
i. cirkel met middelpunt (−4,1) en straal √22
j. geen cirkel
10. 12 xy
1Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
exponentiële en
logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
breng een rekenmachine
mee naar de les
( om logaritmen te berekenen )
2Exponentiële en logaritmische functies
Merk op: “+ 3% van” wordt wiskundig “ ”
Voorbeeld
1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van
3% per jaar
■ over 1 jaar zal men beschikken over
1000 + ( 3% van 1000 ) =
Machten van getallen
Merk op: “+ 3% van” wordt wiskundig “ ”
Voorbeeld
1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van
3% per jaar
1030 + ( 3 % van 1030 ) =
■ over 2 jaar zal men beschikken over
Machten van getallen
■ over 1 jaar zal men beschikken over euro
3Exponentiële en logaritmische functies
Merk op: “+ 3% van” wordt wiskundig “ ”
Voorbeeld
1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van
3% per jaar
■ over 1 jaar zal men beschikken over euro
■ over 2 jaar zal men beschikken over
■ over 3 jaar zal men beschikken over
1060.90 + ( 3 % van 1060.90 ) =
Machten van getallen
■ over 3 jaar zal men beschikken over 1000 (1.03 )3 euro
Voorbeeld
1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van
3% per jaar
■ over 1 jaar zal men beschikken over 1000 (1.03 )1 euro
■ over 2 jaar zal men beschikken over 1000 (1.03 )2 euro
■ over 10 jaar zal men beschikken over
1000 (1.03 ) ( 1.03) ( 1.03 ) . . . ( 1.03 )
Machten van getallen
Merk op: “+ 3% van” wordt wiskundig “maal 1.03”
4Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Terminologie
ar leest men als “de r -de macht van a”
a heet het grondtal
r heet de exponent
a–n =
a = 1n a =
mnen
Definitie
Als a een positief reëel getal en n en m natuurlijke getallenzijn,
an = a a a . . . an keer
en a0 =
Machten van getallen
dan
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 1
Schrijf zonder exponenten
5–2 27
7–1 150
3 1000.132
– –
– –13
5Exponentiële en logaritmische functies
Rekenregels voor machten
Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0
en voor alle exponenten r en s geldt :
ar as =
=ar
as
ar =s
a b =r a
b
r
=en
MAAR . . . (a + b )r ≠ ar + br !!!!!
en (a – b )r ≠ ar – br !!!!!
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 5
Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x
x0.53
x2 √ x3 1
x0.25
6 x3 √ x
√ x34
Oefening 6
Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen
x2 y3 4 x y x y23
12
34
13
xy z
2 yx z
2 zx y
2 2
x – y12
12
6Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Voorbeeld
Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13 .
Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet . Op een
bepaald ogenblik zien wij hem 1024 euro inzetten . Hoeveel keer
is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen ?
Antwoord
■ de eerste inzet bedraagt 1 euro
■ 1 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro
■ 2 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro
■ 3 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro
■ m keer niet uitgekomen de inzet wordt euro
.
.
.
Logaritmen
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Antwoord
er wordt dus gevraagd : bepaal m zodat 2m = 1024
welnu ,
1024 = m =
Besluit : nummer 13 is reeds keer niet uitgekomen !
nieuwe bewerking: “de exponent plukken bij grondtal 2 ”
LogaritmenVoorbeeld
Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13 .
Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet . Op een
bepaald ogenblik zien wij hem 1024 euro inzetten . Hoeveel keer
is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen ?
7Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
lees : de logaritme van x bij grondtal g is m
of kortweg : de g – logaritme van x is m
Logaritmen
Definitie
Als g en x positieve getallen zijn en g ≠ 1 ,
dande logaritme van het getal x bij grondtal g
= de macht waartoe men g moet verheffen
om x te vinden
Formeel : g log x = m gm = x
Voorbeeld : 2 log 1024 = want
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
praktisch: schrijf x = g??
zeg x = gm
dan g log x = m
gevraagd: g log x = ??
Te onthouden !!!!!
Definitie
Als g en x positieve getallen zijn en g ≠ 1 ,
dande logaritme van het getal x bij grondtal g
= de macht waartoe men g moet verheffen
om x te vinden
Formeel : g log x = m gm = x
Logaritmen
8Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 2
Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd
2 log 8
2 log 32
2 log 1
2 log (–2)
5 log 1
2 log 0
3 log 10
2 log 18
2 log √ 2 54
2 log 1
√ 23
log 913
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
9Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Bijzondere grondtallen
■ grondtal g = 10
dan spreekt men van de decimale of de Briggse logaritme
Notatie : 10 log = log
Voorbeeld: log 10000 = 10 log 10000
=
Voorbeeld:
■ grondtal g = e = 2.71828 . . . het getal van Euler
dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log.
Notatie : e log = ln
1
e3ln
1
e3e log= =
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3
Bereken met behulp van een rekenmachine
log 1000 ln 3 ln e
log 2 ln 0.25 log e
Oefening 4
Bereken uit het hoofd
log 0.001 log 1012 ln √e
log 1 000000 ln 1 ln –1e
10Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Rekenregels voor logaritmen
Voor elk grondtal g > 0 en g ≠ 1
en voor alle positieve getallen x en y
en voor elke exponent r geldt :
g log (x y ) =
g log (x r ) =
g log = xy
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eigenschap
Voor elk grondtal g IR0 en g ≠ 1
geldt dat
+
g log x =
Bewijs
noem g log x = m
d.w.z. x =
en dus ln x = ln ( )
of nog ln x =
of m.a.w. g log x =
zodat =ln xln g
11Exponentiële en logaritmische functies
Exponentiële vergelijkingen
Voorbeeld
Een kapitaal van 10000 euro staat uit aan een samengestelde
interest van 10% per jaar . Hoe lang duurt het vooraleer het
kapitaal verdubbeld is?
■ over 1 jaar zal men beschikken over
10000 + ( 10 % van 10000 ) = 10000 + (0.10) 10000
= 10000 (1) + 10000 (0.10)
= 10000 (1 + 0.10 )
= 10000 (1.10 )
= 11000 euro
Herinner u: “+ 10% van” wordt wiskundig “maal 1.10”
Antwoord
Exponentiële vergelijkingen
Voorbeeld
Een kapitaal van 10000 euro staat uit aan een samengestelde
interest van 10% per jaar . Hoe lang duurt het vooraleer het
kapitaal verdubbeld is?
Antwoord
■ over m jaar zal men beschikken over 10000 (1.10 )m euro
.
.
.
10000 ( 1.10 )1 euro
■ over 2 jaar zal men beschikken over 10000 ( 1.10)2 euro
■ over 3 jaar zal men beschikken over 10000 ( 1.10)3 euro
■ over 1 jaar zal men beschikken over
gevraagd : bepaal m zodat 10000 (1.10 )m =
12Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 7
Los de volgende vergelijkingen op .
Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen ?
20 (1.03) t = 30
12 (0.97)x – 8 (1.01)x = 0
10 g17 = 50
5 (1.005)12 t – 6 = 3 (1.07) t + 2
15 e3t = 47
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
13Exponentiële en logaritmische functies
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 8
(a) Hoe lang moet een bedrag van 10000 euro belegd worden
aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot 15000 euro ?
(b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat
het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot 15 000 euro ?
(c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van 10 000 euro
beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot
15 000 euro ?
(d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële
vergelijkingen ?
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 9
In 2018 bedroeg het BBP (Bruto Binnenlands Product ) van
de Verenigde Staten van Amerika 20494 miljard USD met
een jaarlijkse groei van 2.9%. Het BBP van China daarentegen
bedroeg toen 13608 miljard USD, maar de jaarlijkse groei
was 6.6%. In de veronderstelling dat de jaarlijkse groei van
het BBP in beide landen constant blijft, wanneer zal het BBP
van China dan gelijk zijn aan dat van de Verenigde Staten?
1
Opfriscursus wiskunde – dag 3
1. Schrijf zonder exponenten (eventueel wel met wortels) en bereken (uit het hoofd of met je rekenmachine)
a. 25
b. 17
c. 3
23
d. 1
327
e. 015
f. 0.1100
2. Bereken (zo mogelijk) uit het hoofd
a. 2 log8
b. 2 log32
c. 2 1log
8
d. 2 log1
e. 5 log1
f. 2 log( 2)
g. 2 log0
h. 42 5log 2
i. 2
3
1log
2
j. 1
3 log9
k. 3 log10
3. Bereken met behulp van je rekenmachine
a. log1000 b. log 2
c. ln3
d. ln 0.25
e. ln e
4. Bereken uit het hoofd:
a. log0.001
b. log1000 000
c. 12log10
d. ln1
e. ln e
f. 1
lne
5. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x.
a. 3
0.5x
b. 2 3x x
c. 6
0.25
1
x
d. 3
4 3
x x
x
6. Vereenvoudig:
a. 4
2 3x y
b. 2 11 3
3 32 4x y x y
c.
2 22x y z
yz xz xy
d.
2
2
1
2
1
yx
2
7. Los de volgende vergelijkingen op en controleer de oplossing door ze in de vergelijking in te vullen. Welke van deze vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen?
a. 20 1.03 30t
b. 12 0.97 8 1.01 0x x
c. 1710 50g
d. 12 6 25 1.005 3 1.07t t
e. 315 47te
8. Als een bedrag 0B belegd wordt op samengestelde intrest tegen een rente van p% per jaar, dan is dat
bedrag na t jaar aangegroeid tot 0 1100
tp
B B
.
a. Hoe lang moet een bedrag van € 10 000 belegd worden aan 5% per jaar opdat het zou aangroeien tot € 15 000?
b. Welk bedrag moet men beleggen aan 5% per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot € 15 000?
c. Aan welke rentevoet moet men een bedrag van € 10 000 beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot € 15 000?
d. Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen?
9. In 2018 bedroeg het BBP ( Bruto Binnenlands Product ) van de Verenigde Staten van Amerika 20 494 miljard USD met een jaarlijkse groei van 2.9 %. Het BBP van China daarentegen bedroeg toen 13 608 miljard USD, maar Chinese economie groeide jaarlijks wel met 6.6 %. In de veronderstelling dat de jaarlijkse groei van het BBP in beide landen sinds 2018 constant zou blijven, wanneer zal het BBP van China dan gelijk zijn aan dat van de Verenigde Staten?
3
Oplossingen
1. a. 1
0.0425
b. 1
0.1428...7
c. 1
0.1924...27
d. 1
0.3333...3
e. 1
f. 10 100 1.5848...
2. a. 3
b. 5
c. 3
d. 0
e. 0
f. niet bepaald
g. niet bepaald
h. 5
4
i. 1
3
j. 2
k. kan niet uit het hoofd uitgerekend worden
3. a. 3
b. 0.3010…
c. 1.0986…
d. 1.3862...
e. 1
4. a. 3
b. 6
c. 12
d. 0
e. 1
2
f. 1
5. a. 1.5x
b. 7
3x
c. 1.5x
d. 2.75x
6. a. 8 12x y
b. 517
612x y
c. 2 2 2
1
x y z
d. yyxx 2
1
2
1
2
7. a. 13.7172...t , exponentiële vergelijking
b. 10.0338...x , exponentiële vergelijking
c. 1.0992...g , geen exponentiële
vergelijking
d. 44.2592...t , exponentiële vergelijking
e. 0.3806...t , exponentiële vergelijking
8. a. 8.31 jaar
b. € 9 208.70
c. 4.14%
d. alleen de eerste
9. 11.6 jaar later, dus midden 2030
Rekenkundige en meetkundige rijen 1
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Rijen en partieelsommen
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Rekenkundige en meetkundige rijen 2
■ bij storting
■ over 1 jaar geeft dit
Besluit : dit genereert een rij getallen
10000 , 10200 , 10404 , 10612.08 , . . . , 10000 (1.02)n , . . .
Kapitaal op samengestelde interest
......
■ over n jaar geeft dit Kn = 10000 (1.02 )n €
VoorbeeldEen kapitaal van 10000 euro staat uit aan een samengestelde
interest van 2% per jaar .
K1 = 10000 ( 1.02) = 10200 €
■ over 2 jaar geeft dit K2 = 10000 (1.02 )2 = 10404 €
■ over 3 jaar geeft dit K3 = 10000 (1.02 )3 = 10612.08 €
heeft men K0 = 10000 (1.02 )0 = 10000 €
1
rij
DefinitieEen meetkundige rij met reden q is een rij getallen
t0 , t1 , t2 , t3 , . . . , tn , tn +1 , . . .
waarbij t0
t1 = t0 q
t2 = t1 q
t3 = t2 q...
tn = tn –1 q
Meetkundige rij
Terminologietn = t0 qn noemt men de algemene term van de rij
t0 noemt men de beginterm
Rekenkundige en meetkundige rijen 3
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 1
Een wagen kost bij aankoop 20000 EUR . Elk jaar verliest de
wagen 20% van zijn waarde . Noteer de waarde van de wagen
na n jaar met Wn .
(a) Druk Wn uit in functie van n .
(b) Welk soort rij vormen de getallen W1 , W2 , W3 , . . . ?
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 4
Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm . We vouwen het
blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel . Stel de
dikte van het blad na n keer vouwen voor door dn .
(a) Druk dn uit in functie van n .
(b) Welk soort rij vormen de getallen d1 , d2 , d3 , . . . ?
Oefening 5
De rij t0 , t1 , t2 , . . . is een meetkundige rij met reden 3 .
Wat kan je dan zeggen over de rij t0 , t2 , t4 , . . . ?
Rekenkundige en meetkundige rijen 4
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3
Het BBP (Bruto Binnenlands Product ) van een land neemt
elk jaar met 2.5% toe . In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard
EUR . Noteer het BBP ( in eenheden van 1 miljard EUR ) in
jaar n met Bn .
(a) Druk Bn uit in functie van n .
(b) Welk soort rij vormen de getallen B1 , B2 , B3 , . . . ?
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Rekenkundige en meetkundige rijen 5
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Kapitaal op enkelvoudige interest
■ bij afsluiting is men de bank 10000 euro verschuldigd
■ over 1 jaar is men de bank
VoorbeeldEen lening van 10000 euro staat open aan een enkelvoudige
interest van 2% per jaar .
verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft .
K1 = 10000 + ( 2% van 10000 )
=
enkelvoudigeinterest
Kapitaal op enkelvoudige interest
■ bij afsluiting is men de bank 10000 euro verschuldigd
■ over 1 jaar geeft dit
VoorbeeldEen lening van 10000 euro staat open aan een enkelvoudige
interest van 2% per jaar .
K2 = 10200 + ( 2% van 10000 )■ over 2 jaar is men de bank
K1 = 10000 + 200 = 10200 €
verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft .
Rekenkundige en meetkundige rijen 6
■ bij afsluiting is men de bank 10000 euro verschuldigd
■ over 1 jaar geeft dit K1 = 10000 + 200 = 10200 €
■ over 2 jaar
Kapitaal op enkelvoudige interestVoorbeeldEen lening van 10000 euro staat open aan een enkelvoudige
interest van 2% per jaar .
■ over 3 jaar is men de bank
K3 = 10400 + ( 2% van 10000 )
verschuldigd.
geeft dit K2 = 10000 + 2 (200) = 10400 €
Kapitaal op enkelvoudige interest
■ bij afsluiting is men de bank 10000 euro verschuldigd
■ over 1 jaar geeft dit K1 = 10000 + 200 = 10200 €
■ over 2 jaar geeft dit K2 = 10000 + 2 (200) = 10400 €
■ over 3 jaar geeft dit
VoorbeeldEen lening van 10000 euro staat open aan een enkelvoudige
interest van 2% per jaar .
K3 = 10000 + 3 (200) = 10600 €
K1 = 10000 + 1 (200) = 10200 €
heeft men K0 = 10000 + 0 (200) = 10000 €
......
■ over n jaar geeft dit Kn = 10000 + n (200) €
Besluit : dit genereert een rij getallen
10000 , 10200 , 10400 , 10600 , . . . , 10000 + n (200) , . . .
rij
Rekenkundige en meetkundige rijen 7
DefinitieEen rekenkundige rij met verschil v is een rij getallen
t0 , t1 , t2 , t3 , . . . , tn , tn +1 , . . .
waarbij t0
t1 = t0 + v
t2 = t1 + v
t3 = t2 + v...
tn = tn –1 + v
Rekenkundige rij
Terminologietn = t0 + nv noemt men de algemene term van de rij
t0 noemt men de beginterm
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Rekenkundige en meetkundige rijen 8
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 2
Een machine in een firma kost bij aankoop 20000 EUR .
Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar .
Elk jaar wordt hetzelfde bedrag afgeschreven . Noteer
de waarde van de machine na n jaar met Wn .
(a) Druk Wn uit in functie van n .
(b) Welk soort rij vormen de getallen W1 , W2 , W3 , . . . ?
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 7
Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke
maand eenzelfde bedrag betaald . Soms is het echter
interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de
maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij
vormen . Veronderstel dat de betalingen voor een zekere
lening gespreid worden over 240 maanden . De eerste
maand betaalt men 855 EUR . Elke maand daalt het te
betalen bedrag met 2 EUR .
(a) Bereken hoeveel men in de 61ste maand moet betalen .
(b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen .
Rekenkundige en meetkundige rijen 9
Partieelsom van een rekenkundige rij
VoorbeeldOm een lening af te betalen moet iemand aan het eind van elke maand
een bedrag aan de bank storten . Deze maand is dit bedrag 1000 € en
voor elke volgende maand wordt het bedrag verminderd met 20 € .Wat is het totaal bedrag dat die persoon na 2 jaar zal betaald hebben?
Antwoord■ deze maand is het bedrag t0 = 1000 €
■ volgende maand is het bedrag t1 = 1000 – 1 (20 ) = 980 €
■ over 2 maanden is het bedrag t2 = 1000 – 2 (20 ) = 960 €
■ over 3 maanden is het bedrag t3 = 1000 – 3 (20 ) = 940 €
■ over 23 maanden is het bedrag t23 = 1000 – 23 (20) = 540 €
......
...
Te onthouden
de som van n opeenvolgende termen in een rekenkundige rij
wordt gegeven door de formule
Sn = t1 + t2 + t3 + . . . + tn – 1 + tn =
d.i. de som van de eerste en de laatste term
maal het aantal termen gedeeld door 2
( t1 + tn ) n2
Voorbeeld
1000 + 980 + 960 + . . . + 560 + 540 =
Rekenkundige en meetkundige rijen 10
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 7
Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke
maand eenzelfde bedrag betaald . Soms is het echter
interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de
maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij
vormen . Veronderstel dat de betalingen voor een zekere
lening gespreid worden over 240 maanden . De eerste
maand betaalt men 855 EUR . Elke maand daalt het te
betalen bedrag bedrag met 2 EUR .
(a) Bereken hoeveel men in de 61ste maand moet betalen .
(b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
OplossingHet bedrag van de maandelijkse betaling voor de lening
■ in maand 1 is t1 = 855 = 855 €
■ in maand 2 is t2 = 855 – 2 = 853 €
■ in maand 3 is t3 = 855 – (2) 2 = 851 €
■ in maand 4 is t4 = 855 – (3) 2 = 849 €
■ in maand n is tn = 855 – (n – 1) 2
■ in maand 240 is t240 =
De gevraagde partieelsom is
855 + 853 + 851 + . . . + =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Rekenkundige en meetkundige rijen 11
Partieelsom van een meetkundige rijVoorbeeldEen persoon beslist op zijn 20 ste verjaardag om aan pensioensparente doen . Van zijn 20 ste tot en met zijn 65 ste verjaardag zal hij 1000 €storten op een rekening die 10 % samengestelde interest opbrengt .Welk bedrag zal er net na zijn 65 ste verjaardag op die rekening staan?
Antwoord■ de storting op 20 ste verjaardag brengt 1000 (1.10 ) 45 € op
■ de storting op 21 ste verjaardag brengt 1000 (1.10 ) 44 € op
■ de storting op 22 ste verjaardag brengt 1000 (1.10 ) 43 € op
■ de storting op 64 ste verjaardag brengt 1000 (1.10 ) 1 € op
■ de storting op 65 ste verjaardag brengt 1000 € op
......
EigenschapAls q ≠ 1, dan
1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn = 1 – qn + 1
1 – q
Bewijs
1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn
= 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn– 1 + qn
Rekenkundige en meetkundige rijen 12
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Voorbeeld
1000 ( 1 + 1.10 + 1.102 + 1.103 + . . . + 1.1044 + 1.1045 )
Te onthouden
de som van de n+1 eerste termen van de meetkundige rij
1 , q , q2 , q3 , q4 , . . . , qn–1 , qn
wordt gegeven door de formule
Sn = 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn = 1 – qn + 1
1 – q
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 6Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de
formule voor de partieelsommen van een rekenkundige of een
meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule .
(a) 1 + 2 + 3 + . . . + 100
(b) de som van de eerste 20 termen van de rij 3 , 9 , 15 , 21 , . . .
(c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5 , 2.5 , 1.25 , . . .
(d) 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + . . . + 0.56
(e) 1 – 0.5 + 0.25 – 0.125 + . . . + 0.56
(f) 1 + 1.1 + 1.11 + 1.111 + . . . + 1.111111111
(g) 1000 + 995 + 990 + . . . + 100
(h) 4 + 12 + 36 + . . . + 236196
Rekenkundige en meetkundige rijen 13
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Het sommatieteken
Alle termen in de som
S = 1 + 1.10 + 1.102 + 1.103 + . . . + 1.1044 + 1.1045
zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ) ,
namelijk
1.10k waarbij k = 0, 1, 2, . . . , 45
Dit wordt verkort genoteerd als
Terminologie: ∑ noemt men het sommatieteken
∑ 1.10k
k = 0
45
S =
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Het sommatieteken
Alle termen in de som
S = 1 + 1.10 + 1.102 + 1.103 + . . . + 1.1044 + 1.1045
zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ) ,
namelijk
1.10k waarbij k = 0, 1, 2, . . . , 45
Dit wordt verkort genoteerd als
Terminologie: ∑ noemt men het sommatieteken
∑ 1.10k
k =
45
S =
Rekenkundige en meetkundige rijen 14
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 8Schrijf de volgende sommen uit oefening 6 met het sommatieteken .
(a) 1 + 2 + 3 + . . . + 100
(b) de som van de eerste 20 termen van de rij 3 , 9 , 15 , 21 , . . .
(c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5 , 2.5 , 1.25 , . . .
(d) 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + . . . + 0.56
(e) 1 – 0.5 + 0.25 – 0.125 + . . . + 0.56
(f) 1 + 1.1 + 1.11 + 1.111 + . . . + 1.111111111
(g) 1000 + 995 + 990 + . . . + 100
(h) 4 + 12 + 36 + . . . + 236196
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 9Bereken ( indien mogelijk ) de volgende sommen :
k = 1
2075k∑
l = 3
192l – 1∑ 6
j = 0
405 – j
3∑
i = 1
100
∑ (2 i + 1)
m = 1∑ ( –1)mn
Opfriscursus wiskunde – dag 4
1. Een wagen kost bij aankoop 20 000 EUR. Elk jaar verliest de wagen 20% van zijn waarde. Noteer de waarde van de wagen na n jaar met nW .
a. Druk nW uit in functie van n.
b. Welk soort rij vormen de getallen 0W , 1W , 2W , …?
2. Een machine in een firma kost bij aankoop 20 000 EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt een zelfde bedrag afgeschreven. Noteer de waarde van de machine na n jaar met
nW .
a. Druk nW uit in functie van n.
b. Welk soort rij vormen de getallen 0W , 1W , 2W , …?
3. Het BBP van een zeker land neemt elk jaar met 2.5% toe. In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Noteer het BBP (in eenheden van 1 miljard EUR) in jaar n met nB .
a. Druk nB uit in functie van n.
b. Welk soort rij vormen de getallen 1B , 2B , 3B , …?
4. Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. Stel de dikte van het blad na n keer vouwen voor door nd .
a. Druk nd uit in functie van n.
b. Welk soort rij vormen de getallen 0d , 1d , 2d , …?
5. De rij 0t , 1t , 2t , … is een meetkundige rij met reden 3. Wat kan je dan zeggen over de rij 0t , 2t , 4t ,
…?
6. Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule.
a. 1 2 3 ... 100
b. de som van de eerste 20 termen van de rij 3, 9, 15, 21, …
c. de som van de eerste 10 termen van de rij 5, 2.5, 1.25, …
d. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5
e. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5
f. 1 1.1 1.11 1.111 ... 1.111111111
g. 1000 995 990 ... 100
h. 4 12 36 ... 236196
7. Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 240 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met 2 EUR.
a. Bereken hoeveel men in de 61ste maand moet betalen.
b. Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen.
8. Schrijf de sommen uit oefening 6 met het sommatieteken:
a. 1 2 3 ... 100
b. de som van de eerste 20 termen van de rij 3, 9, 15, 21, …
c. de som van de eerste 10 termen van de rij 5, 2.5, 1.25, …
d. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5
e. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5
f. 1 1.1 1.11 1.111 ... 1.111111111
g. 1000 995 990 ... 100
h. 4 12 36 ... 236196
9. Bereken (indien mogelijk) de volgende sommen:
a.
100
1
)12(i
i
b.
20
1 5
7
kk
c.
40
0 3
5
j
j
d.
19
3
126l
l
e.
n
m
m
1
)1(
Oplossingen
1. a. nnW 8.000020
b. meetkundige rij
2. a. nWn 50000020
b. rekenkundige rij
3. a. 1025.1600 nnB (let op: 600 is de term met rangnummer 1)
b. meetkundige rij
4. a. nnd 21.0
b. meetkundige rij
5. Deze rij is ook een meetkundige rij en heeft reden 9.
6. a. 5050
b. 1200
c. 9.990 234 375
d. 1.984 375
e. 0.671 875
f. geen partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij
g. 99 550
h. 354 292
7. a. 735 EUR b. 147 840 EUR
8. a.
100
1k
k
b.
20
1
36k
n
c.
10
1
15.05
k
k
d.
6
0
5.0k
k
e.
6
0
5.0k
k
f. gaat niet zo gemakkelijk
g.
180
0
51000k
k
h.
10
0
34k
k
9. a. 12 200
b.
20
5
11
4
7
c. -205
d. 35
66 539
e.
0 als n oneven is
1 als n even is
Matrices en hun bewerkingen 1
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Matrices en
hun bewerkingen
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Matrices en hun bewerkingen 2
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Tabellen en matrices
Voorbeeld 1
Een boekhandel heeft filialen in verschillende steden .
De verkoop van vorige maand in de respectievelijke filialen
wordt samengevat in de volgende tabel:
strips literatuur reisgidsen wetenschap hobby
Antwerpen 45 243 32 23 68
Brussel 76 216 54 18 65
Gent 37 197 45 31 59
Hasselt 51 201 25 21 77
Leuven 63 183 48 37 48
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Tabellen en matrices
Voorbeeld 2
Een bank biedt beleggingsproducten aan met verschillende
risicoprofielen . Het aantal producten in elke risicocategorie
wordt samengevat in de volgende tabel:
aandelen obligaties fondsen
hoog risico 6 1 3
gematigd risico 3 2 3
laag risico 1 5 3
Matrices en hun bewerkingen 3
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Tabellen en matrices
Voorbeeld 3
Een meubelbedrijf heeft twee distributiecentra van waaruit
vijf winkels worden bevoorraad . De volgende tabel geeft
de transportkosten ( in euro ) weer :
winkel A winkel B winkel C winkel D winkel E
DC 1 123 142 175 93 78
DC 2 234 86 150 102 111
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Tabellen en matrices
Voorbeeld 4
De jaarlijkse productie van de respectievelijke continenten
vind een afzetmarkt op de volgende manier:
naarEuropa Amerika Azië
van Europa 50 % 30 % 20 %
Amerika 20 % 60 % 20 %
Azië 10 % 20 % 70 %
Matrices en hun bewerkingen 4
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Het wiskundig concept “matrix”
Terminologie
Een m x n – matrix A is een ordening van mn getallen aijin de vorm
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
am1 am2 . . . amj . . . amn
. . .
. . .
. . .
. . .. . .
. . .
. . .
. . .
A =
De getallen aij noemt men de van de matrix A
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Voorbeelden
1 2 3
4 5 6
5 8
7 – 3
2 9
6 4
8 2
1 2 3 4
1
2
3
4
Matrices en hun bewerkingen 5
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 1
Beschouw de matrix A =
Wat zijn de dimensies van deze matrix ?
Bepaal de componenten a13 , a21 en a44 van A .
5 –3 8 6
–2 7 –1 9
Oefening 2
Construeer de 4 x 3 – matrix A met componenten a12 = 0 ,
a23 = 1 , a33 = 3 , a41 = 7 , en waarbij de overige componenten
voldoen aan aij = 2 i – j .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Matrices en hun bewerkingen 6
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
1 2
3 4
1 2
3 4
Definitie: gelijke matrices
A = B dezelfde afmetingen en " i , j aij = bij
Bijvoorbeeld,
1 2
3 4
1 3
2 4
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2
3 4
e0 2.00
– 3 log 819
3
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3
Voor welke waarden van de parameters u , v , w en t is
3 t – 1 t 2v
2 t u u + 1 t + w=
Oefening 4
Voor welke waarden van de parameters u , v en w is
u2 4 u + 6 2 log v
9w √u2 8(3w) + 9 –u=
Matrices en hun bewerkingen 7
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening
De studentenpopulatie in een bacheloropleiding ziet er als
volgt uit: in het eerste jaar zijn er 522 studenten ingeschreven ,
436 in het tweede jaar studenten, en 385 in het derde jaar .
Het aantal generatiestudenten in deze jaren zijn respectievelijk
475 , 283 en 194 . Stel deze gegevens voor in matrixvom .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Definitie: de getransponeerde matrix
C =
1 3 5
3 7 9
5 9 11
CT =
Notatie: AT
1 2 3
4 5 6B = BT =
3
A = 6
9
AT =
Matrices en hun bewerkingen 8
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Bewerkingen met matrices
Voorbeeld
Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen:
Voor volgend jaar stelt men een groei van deze cijfers met 15%
voorop . Hoe zullen de kwartaalcijfers er dan moeten uitzien?
kwartaal 1 kwartaal 2 kwartaal 3 kwartaal 4
Amerika 463 438 467 452
Azië 376 342 375 385
Europa 521 493 509 547
Oceanië 145 139 152 113
in kEUR
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
1 2 3
4 5 6A =
1 2 3
4 5 6 5A = 5 =
1. scalair veelvoud
Bewerkingen met matrices
In het bijzonder,
0A =
1A =
( –1)A =
Matrices en hun bewerkingen 9
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
2 jaargeleden:
vorig jaar:
Voorbeeld (vervolg )
Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen :
(b) Wat zijn de gedetailleerde resultaten van deze multinational
over de twee jaren samen?
(c) Hoe zijn de kwartaalcijfers geëvolueerd over deze twee jaren ?
kwartaal 1 kwartaal 2 kwartaal 3 kwartaal 4
Amerika 458 449 462 454
Azië 343 339 368 395
Europa 502 487 510 523
Oceanië 123 119 133 142
in kEUR
kwartaal 1 kwartaal 2 kwartaal 3 kwartaal 4
Amerika 463 438 467 452
Azië 376 342 375 385
Europa 521 493 509 547
Oceanië 145 139 152 113
in kEUR
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
semester 1 semester 2
Europa 550 560
Amerika 480 460
Azië 370 380
2 jaar geleden vorig jaar
over de vorige 2 jaren samen: evolutie over de vorige 2 jaar:
Voorbeeld (vereenvoudigde opgave )
Een multinational laat de volgende resultaten ( in kEUR) optekenen:
semester 1 semester 2
Europa 570 530
Amerika 470 480
Azië 400 390
semester 1 semester 2
Europa
Amerika
Azië
semester 1 semester 2
Europa
Amerika
Azië
Matrices en hun bewerkingen 10
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
1. scalair veelvoud
Bewerkingen met matrices
aftrekking
2. optelling
1 2 3
4 5 6
5 – 8 7
– 2 3 – 9=+
1 2 3
4 5 6
5 – 8 7
– 2 3 – 9=–
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
A =
2 – 7
– 3 8
0 1
Oefening 5
Beschouw de matrices
en
Bereken 6 A , – 9 B , A + B , 2 A – 3 B , A + C en B – CT .
B =
– 4 9
6 0
5 – 1
en1 – 2 3
– 4 5 – 6C =
Matrices en hun bewerkingen 11
Oefening 6
De volgende twee tabellen geven de verkoopscijfers ( in duizend-
tallen ) weer die ACCO in 2010 en in 2015 gerealiseerd heeft in
haar respectievelijke vestigingen :
In 2011 zag ACCO de verkoopscijfers in al haar vestigingen dalen
met 10% , maar door exclusiviteitscontracten af te sluiten met de
universiteiten in haar vestigingsplaatsen kan zij in 2016 de verkoop
met de helft doen toenemen ten opzichte van 2015 . Beschijf de
evolutie van de verkoop tussen 2011 en 2016 .
2010 Leuven Gent Antwerpen
cursussen 70 50 30
kantoorben. 400 150 100
2015 Leuven Gent Antwerpen
cursussen 100 80 40
kantoorben. 500 250 150
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 7
Een speelgoedfabricant maakt puzzels , bord- en kaartspellen .
De winst ( in kEUR ) die zij op elk van deze spellen maakt wordt
weergegeven door de kolommatrix W = ( 100 200 60 )T
en de productie kosten (ook in kEUR ) door de kolommatrix
K = ( 60 80 40 )T . Na een grondig marktonderzoek becijfert
zij dat , indien de productiekosten ongewijzigd blijven , zij haar
winst kan verdubbelen door via een andere prijsstrategie haar
opbrengst op te krikken tot 80 % van de omzet van haar
grootste concurrent. Wat is dan de omzet van die concurrent ?
Matrices en hun bewerkingen 12
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Voorbeeld
Het wekelijkse boodschappenlijstje van de familie Kiekeboe en
dat van de familie Van Der Neffe ziet er als volgt uit :
familie Kiekeboe
droge voeding 4 stuks
vlees & vis 7 stuks
groenten & fruit 9 stuks
drank 5 stuks
was - & poetsproducten 4 stuks
huishoudmateriaal 1 stuks
familie Van Der Neffe
droge voeding 7 stuks
vlees & vis 5 stuks
groenten & fruit 6 stuks
drank 9 stuks
was - & poetsproducten 5 stuks
huishoudmateriaal 2 stuks
(a) Construeer een 6 x 2 – matrix die de kwantitatieve informatie
in de boodschappenlijstjes van beide families samenvat .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
drogevoeding
vlees & vis groeten& fruit
drank was - & poets -
producten
huishoud -materiaal
Aldi 3.73 13.84 4.28 5.45 3.38 5.19
Carrefour 5.23 12.54 3.36 7.12 2.87 4.32
Delhaize 4.14 10.07 2.94 4.68 5.34 3.48
Match 6.33 9.94 5.18 6.25 4.73 2.88
(b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour.
Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten?
(c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match .
Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten?
(d) Bij welke winkelketen zou de familie Kiekeboe het goedkoopst
gediend zijn? En , de familie Van Der Neffe?
De gemiddelde prijzen (in € ) van basisproducten bij verschillende
supermarketketens wordt samengevat in de volgende tabel :
Matrices en hun bewerkingen 13
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oplossing
Aldi
Carrefour
Delhaize
Match
3.73 13.84 4.28 5.45 3.38 5.19
5.23 12.54 3.36 7.12 2.87 4.32
4.14 10.07 2.94 4.68 5.34 3.48
6.33 9.94 5.18 6.25 4.73 2.88
4 7
7 5
9 6
5 9
4 5
1 2
Kiekeboe V.D. Neffe
(b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour.
Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten?
antwoord: de familie Kiekeboe zal bij Carrefour
euro moeten betalen .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oplossing
Aldi
Carrefour
Delhaize
Match
3.73 13.84 4.28 5.45 3.38 5.19
5.23 12.54 3.36 7.12 2.87 4.32
4.14 10.07 2.94 4.68 5.34 3.48
6.33 9.94 5.18 6.25 4.73 2.88
4 7
7 5
9 6
5 9
4 5
1 2
Kiekeboe V.D. Neffe
(c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match.
Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten?
antwoord: de familie Van Der Neffe zal bij Match
euro moeten betalen .
Matrices en hun bewerkingen 14
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
1 3
1 – 2
1 – 1
1 2 3
4 5 6=
Algemeen: de ( i , j ) – de component van A B is
(AB )ij
=
Bewerkingen met matrices
3. vermenigvuldiging
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Te onthouden
Als A een m x n – matrix is en B is een p x q – matrix ,
dan bestaat AB enkel en alleen indien
In dat geval
A B is dan een – matrix
Merk op: 1 3
1 – 2
1 – 1
1 2 3
4 5 6
6 – 4
15 – 4=
Matrices en hun bewerkingen 15
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 8
Bereken alle mogelijke producten van de matrices met de hand
1 2
3 4
5 6
A =1 0 – 1
– 2 1 0B =, en
1 1
1 –1C =
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 9
Bereken , indien mogelijk , de volgende matrixvermenigvuldigingen:
– 1 2
5 3
0 – 4
x
y 1 3 5
2
4
6
1 3 5
2
4
6
1 2
3 4
5 6
0 0
0 0
1 2
3 4
5 6
1 1
1 1
1 2
3 4
5 6
1 0
0 1
, ,
,,
Matrices en hun bewerkingen 16
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
–1 2
5 3
0 –4
x
y =
1 3 5
2
4
6
=
1 3 5
2
4
6
=
Oplossing
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
1 2
3 4
5 6
0 0
0 0=
1 2
3 4
5 6
1 1
1 1=
1 2
3 4
5 6
1 0
0 1=
Oplossing (vervolg )
Matrices en hun bewerkingen 17
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Bijzondere matrices
0pxq =
0 0 . . . 00 0 . . . 0
0 0 . . . 0
.
.
....
.
.
.een p x q - nulmatrix
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0
0 0 . . . 1
.
.
....
.
.
..
..
een n x n - eenheidsmatrix
Eigenschap : 0pxq + A = A en A + 0pxq = A
0pxq A = 0pxq en A 0pxq = 0pxq
In A = A en A In = A
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Rekenregels voor matrices
Voor alle getallen r , s IR en alle matrices A , B , C waarvoor
de bewerkingen gedefinieerd zijn, gelden de volgende rekenregels :
( r + s ) A = r A + s A r ( A + B ) = r A + r B
( r s ) A = r ( s A ) ( AT )T = A
( r A )T = r AT ( A + B )T = AT + BT
A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C )
( A B ) C = A ( B C ) ( r A ) B = r ( A B ) = A ( r B )
A ( B + C ) = A B + A C A ( r B + s C ) = r A B + s A C
( B + C ) A = B A + C A ( r B + s C ) A = r B A + s C A
Matrices en hun bewerkingen 18
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Belangrijke opmerkingen
(a) AB ≠ BA in het algemeen
bv.1 2
3 4A =
0 1
1 0B =en
(b) AB = 0pxq A = 0pxr of B = 0rxq
bv.1 1
1 1A =
1 –1
–1 1B =en
X
(c) A2 = 0nxn A = 0nxn
bv.1 1
–1 –1 A =
X
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
(d) AB = AC en A ≠ 0pxq B = C
– 5 3
4 –1C =enbv.
1 2
2 4A =
1 –1
1 1B =en
BA = CA en A ≠ 0pxq B = C
dan A ≠ 02x2 en B ≠ C
maar1 2
2 4A B =
1 –1
1 1=
– 5 3
4 –1en
1 2
2 4A C = =
X
X
Matrices en hun bewerkingen 19
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 10
A , B en C zijn vierkante matrices .
Is de volgende uitspraak juist of fout ?
Corrigeer de foute uitspraken .
( A + B )2 = A2 + 2 A B + B2
( A – B )2 = A2 – 2 A B + B2
A (B – C ) = A B – A C
( A + B ) ( A – B ) = A2 – B2
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 11
Werkstudenten hebben de volgende studiegewoonten. Als hij /zij
vanavond studeert , dan is er 80% kans dat hij /zij morgenavond
ook zal studeren . Maar als hij /zij vanavond niet studeert , dan
geraakt hij /zij moeilijk terug in het studeerritme en is er 60%
kans dat hij /zij morgenavond ook niet zal studeren .
(a) Stel een matrixmodel op dat het studeergedrag van deze
studenten modelleert.
(b) In een schakeljaar zijn er 100 studenten ingeschreven .
Als er vanavond 70 studenten studeren , hoeveel studenten
zullen er dan morgenavond studeren? En hoeveel niet ?
(c) Hoeveel van deze 100 studenten hebben er gisterenavond
gestudeerd ?
Matrices en hun bewerkingen 20
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 12
De demografische verdeling van een land is als volgt : 3 miljoen
inwoners zijn jonger dan 30 jaar , 5 miljoen hebben er een leeftijd
tussen 30 en 60 jaar , en 2 miljoen inwoners zijn ouder dan 60 jaar .
Door natuurlijke evolutie zijn deze aantallen continu in beweging .
Noteer met L1 de leeftijdscategorie van inwoners die jonger zijn
dan 30 jaar , met L2 de leeftijdsklasse van mensen tussen 30 en
60 jaar oud , en met L3 de leeftijdsgroep van burgers ouder dan
60 jaar . Over een periode van 30 jaar verandert de leeftijds -
structuur van dat land als volgt : door geboortes groeit de bevolking
aan met 0.8 eenheden per persoon uit L1 en met 0.1 eenheden
per persoon uit L2 , maar er zijn geen geboortes uit L3 . Anderzijds
vermindert het bevolkingsaantal over eenzelfde periode van 30 jaar
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
door sterftes en emigratie met 10 % in L1, met 30 % in L2 , en
met 100 % in L3 . Bovenop deze natuurlijke processen groeit de
bevolking van het land ook aan door immigratie . Over dezelfde
periode van 30 jaar komen er 198 000 personen bij in leeftijds -
categorie L1 , 66 000 in leeftijdsklasse L2 en 22 000 in L3 .
(a) Construeer een matrixmodel dat de evolutie van de bevolkings-
aantallen in elke leeftijdscategorie over een periode van 30 jaar
beschrijft .
(b) Hoe zal de leeftijdsverdeling van de bevolking er over 30 jaar
uitzien? En hoe over 60 jaar?
Matrices en hun bewerkingen 21
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Nog veel moed bij het studeren,
succes bij de test , en vooral
heel veel succes bij de studies !!!!!
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs — dag 5
1. Beschouw de matrix A =
(5 −3 8 6
−2 7 −1 9
).
Wat zijn de dimensies van deze matrix ?Bepaal de componenten a13 , a21 en a44 van A.
2. Construeer de 4 × 3 – matrix A met componenten a12 = 0 , a23 = 1 , a33 = 3 ,a41 = 7 , en waarbij de overige componenten voldoen aan aij = 2 i− j .
3. Voor welke waarden van de parameters u, v, w en t is(3 t− 1
2 t u
)=
(t 2 v
u + 1 t + w
).
4. Voor welke waarden van de parameters u, v en w is(u2 4
9w√u2
)=
(u + 6 2 log v
8 ( 3w ) + 9 −u
).
5. Beschouw de matrices
A =
2 −7
−3 8
0 1
en B =
−4 9
6 0
5 −1
en C =
(1 −2 3
−4 5 −6
).
Bereken 6A , −9B , A + B , 2A− 3B , A + C , en B − C T .
6. De volgende twee tabellen geven de verkoopscijfers ( in duizendtallen ) weer die ACCOin 2010 en in 2015 gerealiseerd heeft in haar respectievelijke vestigingen :
2010 Leuven Gent Antwerpen
cursussen 70 50 30
kantoorbenodigdheden 400 150 100
2015 Leuven Gent Antwerpen
cursussen 100 80 40
kantoorbenodigdheden 500 250 150
1
In 2011 zag ACCO de verkoopscijfers in al haar vestigingen dalen met 10% , maardoor exclusiviteitscontracten af te sluiten met de universiteiten in haar vestigings-plaatsen kan zij in 2016 de verkoop met de helft doen toenemen ten opzichte van2015. Beschijf de evolutie van de verkoop tussen 2011 en 2016.
7. Een speelgoedfabricant maakt puzzels, bord- en kaartspellen. De winst ( in kEUR )die zij op elk van deze spellen maakt, wordt weergegeven door de kolommatrix
W =(
100 200 60)T
en de productiekosten ( ook in kEUR ) door de kolommatrix
K =(
60 80 40)T
. Na een grondig marktonderzoek becijfert zij dat, indien deproductiekosten ongewijzigd blijven, zij haar winst kan verdubbelen door via eenandere prijsstrategie haar opbrengst op te krikken tot 80% van de omzet van haargrootste concurrent. Wat is dan de omzet van die concurrent ?
8. Bereken met de hand alle mogelijke producnten van de matrices
A =
1 2
3 4
5 6
, B =
(1 0 −1
−2 1 0
)en C =
(1 1
1 −1
).
9. Bereken, indien mogelijk, de volgende matrixvermenigvuldigingen : −1 2
5 3
0 −4
( x
y
),
(1 3 5
) 2
4
6
,
2
4
6
( 1 3 5)
,
1 2
3 4
5 6
( 0 0
0 0
),
1 2
3 4
5 6
( 1 1
1 1
),
1 2
3 4
5 6
( 1 0
0 1
).
10. A, B en C zijn vierkante matrices.Is de volgende uitspraak juist of fout ?Corrigeer de foute uitspraken.
(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(b) (A−B)2 = A2 − 2AB + B2
(c) A (B − C) = AB − AC
(d) (A + B) (A−B) = A2 −B2
2
11. Werkstudenten hebben de volgende studiegewoonten. Als hij / zij vanavond studeert,dan is er 80% kans dat hij / zij morgenavond ook zal studeren. Maar als hij / zijvanavond niet studeert, dan geraakt hij / zij moeilijk terug in het studeerritme en iser 60% kans dat hij / zij morgenavond ook niet zal studeren.
(a) Stel een matrixmodel op dat het studeergedrag van deze studenten modelleert.
(b) In een schakeljaar zijn er 100 studenten ingeschreven. Als er vanavond 70studenten studeren, hoeveel studenten zullen er dan morgenavond studeren ?En hoeveel niet ?
(c) Hoeveel van deze 100 studenten hebben er gisterenavond gestudeerd ?
12. De demografische verdeling van een land is als volgt : 3 miljoen inwoners zijn jongerdan 30 jaar, 5 miljoen hebben er een leeftijd tussen 30 en 60 jaar, en 2 miljoeninwoners zijn ouder dan 60 jaar. Door natuurlijke evolutie zijn deze aantallen continuin beweging. Noteer met L1 de leeftijdscategorie van inwoners die jonger zijn dan30 jaar, met L2 de leeftijdsklasse van mensen tussen 30 en 60 jaar oud, en met L3 deleeftijdsgroep van burgers ouder dan 60 jaar. Over een periode van 30 jaar verandertde leeftijdsstructuur van dat land als volgt : door geboortes groeit de bevolking aanmet 0.8 eenheden per persoon uit L1 en met 0.1 eenheden per persoon uit L2, maar erzijn geen geboortes uit L3. Anderzijds vermindert het bevolkingsaantal over eenzelfdeperiode van 30 jaar door sterftes en emigratie met 10% in L1, met 30% in L2, enmet 100% in L3. Bovenop deze natuurlijke processen groeit de bevolking van hetland ook aan door immigratie. Over dezelfde periode van 30 jaar komen er 198 000personen bij in leeftijdscategorie L1, 66 000 in leeftijdsklasse L2 en 22 000 in L 3.
(a) Construeer een matrixmodel dat de evolutie van de bevolkingsaantallen in elkeleeftijdscategorie over een periode van 30 jaar beschrijft.
(b) Hoe zal de leeftijdsverdeling van de bevolking er over 30 jaar uitzien ? En hoeover 60 jaar ?
3
Oplossingen
1. A is een 2× 4–matrix met a13 = 8 en a21 = −2 ; maar a44 bestaat niet.
2. A =
1 0 −1
3 2 1
5 4 3
7 6 5
3. u = 5 , v = 1 , w = 2 , en t = 3 .
4. u = −2 , v = 16 , en w = 2 .
5.
6A =
12 −42
−18 48
0 6
, −9B =
36 −81
−54 0
−45 9
, A + B =
−2 2
3 8
5 0
,
2A− 3B =
16 −41
−24 16
−15 5
, A + C is onmogelijk , B − C T =
−5 13
8 −5
2 5
.
6. De evolutie van de verkoopscijfers ( in duizendtallen ) tussen 2011 en 2016 is
Leuven Gent Antwerpen
cursussen + 87 + 75 + 33
kantoorbenodigdheden + 390 + 240 + 135
7. De omzet van de concurrent bedraagt 400 kEUR op puzzels, 600 kEUR op bord-spellen en 200 kEUR op kaartspellen.
8.
AB =
−3 2 −1
−5 4 −3
−7 6 −5
, BA =
(−4 −4
1 0
), AC =
3 −1
7 −1
11 −1
,
CB =
(−1 1 −1
3 −1 −1
), en C 2 = CC =
(2 0
0 2
).
4
9. −x + 2 y
5x + 3 y
−4 y
, ( 44 ) ,
2 6 10
4 12 20
6 18 30
)
,
0 0
0 0
0 0
,
3 3
7 7
11 11
,
1 2
3 4
5 6
.
10. (a) Fout, (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2
(b) Fout, (A−B)2 = A2 − AB −BA + B2
(c) Juist
(d) Fout, (A + B) (A−B) = A2 − AB + BA−B2
11. (a) Noteer met sk het aantal studenten dat studeert en met nk het aantal studen-ten dat niet studeert op avond k. Dan wordt het beschreven studeergedraggemodelleerd als (
sk+1
nk+1
)=
(0.80 0.40
0.20 0.60
)(sk
nk
).
(b) Morgenavond zullen er 68 studenten studeren, maar 32 zullen niet studeren.
(c) Gisterenavond hebben er 75 studenten gestudeerd.
12. (a) Noteer met n = de tijd in perioden van 30 jaren verstreken sinds ‘nu’[ d.w.z. n = 0 correspondeert met ‘de huidige situatie’ ]
xn = het aantal personen in leeftijdscategorie L1 op tijdstip nyn = het aantal personen in leeftijdscategorie L2 op tijdstip nzn = het aantal personen in leeftijdscategorie L3 op tijdstip n
Dan wordt de evolutie van de leeftijdsstructuur in dat land beschreven door xn+1
yn+1
zn+1
=
0.80 0.10 00.90 0 00 0.70 0
xn
ynzn
+
250 000175 00075 000
.
(b) Over 30 jaar zullen er 3 150 000 inwoners jonger dan 30 jaar zijn, 2 875 000 in-wonders tussen 30 en 60 jaar, en 3 575 000 ouder dan 60 jaar. En, over 60 jaarzullen er 3 057 500 inwoners jonger dan 30 jaar zijn, 3 010 000 inwonders tussen30 en 60 jaar, en 2 087 500 ouder dan 60 jaar.
5
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN CAMPUS BRUSSEL
Warmoesberg 26 1000 Brussel, België tel. + 32 2 210 12 11
[email protected] feb.kuleuven.be/brussel
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN
HANDELSWETENSCHAPPEN
ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN
Een zelfhulpgids voor letterrekenen
Rekenregels
Uitgewerkte voorbeelden
Oefeningen met oplossingen
September 2013
C. Biront
met medewerking van D. De Bock, A. Gheysen, A. Laeremans en T. Moons
1
Verantwoording
Als je handelswetenschappen studeert, zal je vaak geconfronteerd worden met cijfermateriaal. De geproduceerde hoeveelheid van een goed, de prijs
van dat goed, de totale, gemiddelde en marginale kosten, … zijn allemaal grootheden die met getallen uitgedrukt worden en waarmee gerekend kan
worden, m.a.w. kwantitatieve grootheden. In heel wat situaties zijn de concrete getalwaarden van die grootheden niet
gegeven omdat het veranderlijken (variabelen) of parameters zijn. In dat geval worden die grootheden voorgesteld door letters (hoeveelheid: q, prijs:
p, …). Om de verbanden tussen die grootheden weer te geven, ontstaan
uitdrukkingen met letters (die getallen voorstellen). We spreken van algebraïsche uitdrukkingen. Om die verbanden verder te analyseren moet met
die algebraïsche uitdrukkingen gerekend worden. Om dat te kunnen, moet je over algebraïsche vaardigheden beschikken.
In deze tekst herhalen we een aantal basisregels van de elementaire algebra1. Daarna illustreren we het gebruik van die regels met een aantal voorbeelden.
Tot slot geven we opgaven (met de eindoplossingen) zodat je zelf kan oefenen. Door die oefeningen te maken leer je de juiste regels van de algebra
toepassen en verwerf je de algebraïsche vaardigheden die als voorkennis voor je studie handelswetenschappen vereist zijn.
We willen beklemtonen dat de algebraïsche vaardigheden geen doel op zich zijn maar een middel om o.a. (bedrijfs)economische en statistische
problemen te analyseren. De cursussen wiskunde in de opleiding handelswetenschappen zijn dan ook helemaal niet te vergelijken met deze tekst. Ze zijn veel meer op toepassingen gericht. Deze tekst bevat (een deel
van) de noodzakelijke voorkennis.
1 Het woord Algebra is afgeleid van het Arabisch woord Al-Jabr uit het rond 820
geschreven werk Hisab al-jabr w'al-muqabala van Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-
Khwarizmi. Met elementaire algebra bedoelen we het rekenen met letters en het
manipuleren en oplossen van vergelijkingen. In de hedendaagse wiskunde heeft het
woord Algebra een ruimere en abstractere betekenis gekregen.
2
1. Uitwerken van haakjes en buiten haakjes brengen VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING EN HAAKJES
Het TEGENGESTELDE van een getal verkrijg je door DAT GETAL TE
VERMENIGVULDIGEN MET −1.
1a a
Een AFTREKKING kan je herleiden tot een OPTELLING, een DELING tot
een VERMENIGVULDIGING.
1
1:
a b a b a b
aa b a
b b
VERMENIGVULDIGINGEN moet je VÓÓR OPTELLINGEN uitvoeren. HAAKJES kunnen die volgorde veranderen. Je moet ze EERST uitwerken
waarbij je weer VERMENIGVULDIGINGEN VÓÓR OPTELLINGEN moet
uitvoeren.
Voorbeelden
1. 2 3 6 2 4 2 18 8 2 18 8 12
2. 2 3 6 2 4 5 6 8 30 8 22
3. 2 3 6 2 4 2 18 2 4 2 16 4 66
REKENREGELS
Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt:
... ...a b c d a b c d a b c d a b c d
In een som van meerdere termen (gedurige som)
mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.
... ...a b c d c a d b b c d a
In een som van meerdere termen (gedurige som)
mag je de volgorde van de termen om het even hoe
wijzigen.
3
Uiteindelijk betekent dit dus:
... ...a b c d a b c d d c a b c a d b
In een som van meerdere termen (gedurige som)
mag je de volgorde van de termen om het even hoe
wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.
Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt:
... ...a b c d a b c d a b c d a b c d
In een product van meerdere factoren (gedurig product)
mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.
... ...a b c d c a d b b c d a
In een product van meerdere factoren (gedurig product)
mag je de volgorde van de factoren om het even hoe
wijzigen.
Uiteindelijk betekent dit dus:
... ...a b c d a b c d d c a b c a d b
In een product van meerdere factoren (gedurig product)
mag je de volgorde van de factoren om het even hoe
wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.
Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt ook:
1 1 1
a b c ab ac
a b c ac bc
a b c d a c d b c d ac ad bc bd
a b a b a b a b a b
Voorbeelden
1.
7 3 2 7 3 2 7 3 2
7 3 2 12
a b c d a b c d a b c d
a b c d a b c d
2.
3 2 5 3 2 5 3 2 5
3 2 5 30
b a b a a b
a b ab
4
3. 1 1 1 1 1a b a b a b a b
1 1 1 1 1 1a b a b a b a b a b
Praktische regel: als er een minteken voor een haakje staat mag je de haakjes en dat minteken weglaten op voorwaarde dat je alle tekens
binnen de haakjes verandert.
4.
6 2 5 3 6 2 5 3
6 3 3
6 3 3
a c b d a c b d
a c b d
a c b d
12 a b c d
5.
1 2 3 5 2 1 2 3 5 2
1 2 15 3 3 3 2
1 30 6 6 6 4
1 30
a b x y a b x y
a b x y
a b x y
6 6 6 4
29 6 6 6 4
a b x y
a b x y
Bij meerdere paren haakjes begin je best met het uitwerken van de
binnenste haakjes.
6.
3 5 4 5 2 3 5 5 2 4
3 5 5 2 4
8 7 4
a b c a b a a b b c
a b c
a b c
7. 3 2 3 6 5 8 5 7 6 9 18 40 25 35
6 40 9 25 18 35
46 34 17
x y x y x y x y
x x y y
x y
8. 2 3 2 2 3 3 3
2 6 3 3
p s a b a b ap bp as bs
a b ap bp as bs
9. In de vorige voorbeelden hebben we telkens haakjes weggewerkt. In veel
toepassingen is het net nuttig om zoveel mogelijk factoren buiten haakjes te plaatsen:
3 6 30 3 3 2 3 10 3 2 10abc ac bc c ab c a c b c ab a b
5
Oefeningen
1. Werk de haakjes uit en vereenvoudig.
(a) 3 2x y z
(b) 3 2r s s r
(c) 2 3 4 5 3 2 6 3 1r s r r s
(d) 2 5 7 3 5 2 3b a a a b a
(e) 2 3 1a b c a b c
2. Plaats zoveel mogelijk factoren buiten haakjes.
(a) 5 25 50xyz xz z
(b) 3 12 24 33pr prst prt prs
3. Vul aan door de aangeduide factor buiten haakjes te brengen,
vereenvoudig die factor en plaats indien mogelijk nog meer factoren buiten haakjes.
(a) 2 4 ( 2 ) 4 8 3 2 ...a b x y a b x y z a b
(b) 2 6 2 6 4 12 3 ...a y z b c y z b y z y z
(c) 2 2 2 ...p r s t pq r s t r s t r s t
Oplossingen
1. (a) 5x y z
(b) 5
(c) 18 116 68r s
(d) 43 13 80a b
(e) 3 3 3 2 2 3a b c ac bc
2. (a) 5 5 10z xy x
(b) 3 1 4 8 11pr st t s
3. (a) 2 2 8 2a b x y z
(b) 2 3y z a b c
(c) 2 1r s t p pq
6
2. Rekenen met breuken
REKENREGELS Als a, b, c en d reële getallen zijn (en de getallen in de noemer verschillend van nul zijn), dan geldt:
1
1
a a c
b b c
aa a
b b b
Teller en noemer mag je met eenzelfde getal
vermenigvuldigen of door eenzelfde getal delen.
1 1
a b a b
c c c
a c a d c b ad bc
b d b d d b bd
b a b a c b ac ba
c c c c c
Breuken optellen:
gelijknamig maken (gelijke noemers) en de tellers optellen.
1
11
1
11
1
a c a c ac
b d b d bd
b a b aba
c c c
b b b b
c c c c
b b b b
c c c c
Breuken vermenigvuldigen:
tellers vermenigvuldigen met elkaar
én noemers vermenigvuldigen met elkaar.
7
1
1
11
aa d adb
c b c bc
d
a aa ab b
cc b c bc
aa a c ac
b b b b
c c
Delen door een breuk:
vermenigvuldig met de omgekeerde breuk
Voorbeelden
1.
2 2 22 2 1 2 4 23 3 13 4 34 3 4 1 3
4 1 4
1
3 4
2
2 4 1 8
1 3 6 3
1 8 2 1 16
6 3 2 6 6
1 16 15 15 5 3
6 6 6
2 3
5
2
2.
3 5 3 2
2 5 10 2 5 5 2 10
5 6
10
a b a x z y z b x y
y x z y x z x y z z x y
axz yz bxy
xyz
3. 2 22 4
2
s r prs ps p s
r p r
2r p
1
2 2
1 1
2 2
p s s p s s r p s
r r r r
rs p s rs p s
r r
4. 1
1
x x x y x y xyx
a y a y a y a y a y a
y y y y
5. De breuk uit vorig voorbeeld kan eenvoudiger als volgt berekend worden:
1 1
x x y xy
a aa yyy yy
1
y
xy
y a
8
Oefeningen
Herleid tot één breuk (met één enkele breukstreep). Vereenvoudig indien mogelijk. Werk de tellers en de noemers uit.
1. 2
2
x y x y
z z
2. 2
2 3
x y a b
z
3.
2
2
2
x y
za b
c
4. 2
4
2 3
p
p
x y
5.
3
5
x y
a b
6. 1
2
a
bc
d
Oplossingen
1. 2 2
x x
z z
2. 2 2
6
ax bx ay by
z
3. 2cx cy
az bz
4. 2 3
2
x y
5. 3
5 5
x y
a b
6. 2
bd ad
bc bd
9
3. Machten met gehele exponenten DEFINITIES
Als a een reëel getal is en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 geldt:
factoren
1
0
1 ( 0)
1 ( 0)
n
n
n
n
a a a a a
a aa
a a
a a
VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING, MACHTSVERHEFFING EN HAAKJES
MACHTEN hebben VOORRANG op VERMENIGVULDIGINGEN. VERMENIGVULDIGINGEN hebben VOORRANG op OPTELLINGEN.
Als er HAAKJES voorkomen, moet je die EERST uitwerken.
Voorbeelden
1. 22 22 3 3 2 2 9 6 18 36 54
2.
22 02
22 0
32 2 4 2
2
1
31 2 4 82
11 4 4 1
18
1 18 1 19 194 4 1
18 18 18 18 18
3. 23 22 3 2a a a
is voor 1a gelijk aan:
23 2 2
2
12 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 3
2
1 12 1 11 12 11 23 232 1 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
10
REKENREGELS Als a en b reële getallen zijn en r en s gehele getallen dan geldt (indien nodig
wordt verondersteld dat a en/of b verschillend zijn van 0):
r s r s
rr s
s
sr r s
r r r
r r
r
a a a
aa
a
a a
a b a b
a a
b b
Voorbeelden
1. 2
2 4
4
1 15 5
6255
2.
2
22 2 1 2 2
2
22 4 8 8 3 3 93
1 3 1 3 3 8 648
4
3. 33 22 8
8
1 12 2 2
2562
4.
2 3 5 3 2 2
2 5 3 1 2 3 2
3 2 2 5
5 5 2 7
3 2 2 3 2 2 2 3 2
2 2 3
2 2 3
2 6
2 6 2 6 2 6
x y x y y x y
x x y y x y y
x y x y
y y x y xy
x y x x y x x y x y
5.
2 2 1 2
2 2 1 2
2 2 1 2
2 2 0 3
2 2 3
3 2 2
5 2 8 3 5 2 3
5 5 2 8 2 3 5 2 5 3
5 5 2 8 2 3 5 2 5 3
5 5 16 6 10 15
5 5 16 6 10 15
15 5 5 4 16
x y x x y y x y
x y x x x y y x y y
x y x x x y y x y y
x y x xy xy y
x y xy xy y
y x y xy
11
Oefeningen Vereenvoudig zover mogelijk. Schrijf het resultaat als één breuk en zonder
negatieve exponenten.
1.
32 3
4
2
x yx y
x
2.
2 1
2 4
2
3
a a b
b
3. 2
3 1
1
2 3
x
x y
4.
31
2 2
4 1 1
2x x y
y xy
5.
2 12 1
2
2
( 2 )
2
3
x y
y
x
(Bij meerdere paren haakjes gebruiken we soms
verschillende soorten haakjes.)
Oplossingen
1. 7 10
7 101
8 8
x yx y
2. 3 3
2 3 2 3
18 18
9 9
a b a b
a b a b
3. 5
3
3 2
6
x y
x
4. 3 10
6 12
8x y
x y
5. 3
36
y
12
4. Merkwaardige producten en ontbinden in factoren REKENREGELS
Als a, b, en c reële getallen zijn dan geldt:
a b c ab ac
a b c ac bc
Als a en b reële getallen zijn, dan gelden de volgende MERKWAARDIGE PRODUCTEN:
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
a b a b a b a ab b
a b a b a b a ab b
a b a b a b
Een uitdrukking UITWERKEN betekent dat je ze als een SOM schrijft. Bovenstaande formules toepassen van links naar rechts is dus
uitwerken. Een uitdrukking ONTBINDEN betekent dat je ze als een PRODUCT schrijft. Bovenstaande formules toepassen van rechts naar links is dus
ontbinden.
Voorbeelden van uitwerken
1.
22
22 3 2 2 2
2 3 2 2 2
3 2 2
2 3 2 4 5
6 4 4 2 4 5 5
6 4 16 40 25
4 9 40 25
x x x x x y x y
x x x x x y
x x x x x y
x x y x
2. 3 1 2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
( ) 2
2 2
2 2
3 3
a b a b a b a b a ab b
a a a ab a b b a b ab b b
a a b ab a b ab b
a a b ab b
3.
2 2 2 2
2 2 2 2
3 5 5 3 5 3 5 3
2 4
5 3 25 9
x y y x y x y x
y x y x
13
4.
22
22
2
22 22
2 22
2 22 2
2 2
2 12
3 2 3 4
22 1 2
3 2 2 3 12
21 2
3 4 3 12
2 22
6 3 3 3 12
2 24 4
6 3 3 3 12
2 24
6 3 3
a bb a b a
a a a bb b a b
a a bab b a b
a ab b a ba b
a ab b a ba ab b
a ab b
2 2
2 2
43 12
23 14
6 3 3 3 12
a ba ab b
a ab b a b
Voorbeelden van ontbinden
1. 22 2 2 22 12 18 2 6 9 2 2 3 3 2 3x x x x x x x
2. 2 22
22 44 2 2 2 2
3 9 3 3 3
b b b ba ab a a a
3.
2 2 2 2
2
4 4 2 4 4 2
2 2 2 2 1 2 1 2
a ab b a b a ab b a b
a b a b a b a b a b a b
4.
2 2
2
1 12 1 2 1
2 2
1 1 31 1 1 1
2 2 2
x xx x x x
xx x x x x
5.
2 222 2 2
4 2 2 2 2 2
12 2 2 2 2
x x x x x xy y y y y y
x x x x xy y y y y
14
5. Herhalingsoefeningen Van de oplossingen worden soms twee vormen gegeven die aan elkaar gelijk zijn. Het volstaat in eerste instantie minstens één van die vormen
te vinden (of nog een andere die er ook aan gelijk is). Bij het vergelijken van je antwoord met de opgegeven oplossing, moet je dan kunnen
verklaren waarom de andere vorm(en) ook correct is (zijn). 1. Elk van de uitdrukkingen in de linkerkolom is gelijk aan precies één
uitdrukking in de rechterkolom. Plaats de gelijke uitdrukkingen bij elkaar.
a. a b
a b
A. a b a b
b. 2
b a B. b a b a
c. b a
a b
C.
b a
a b
d. a b
a b
D.
2b a
e. 2 2b a E. 2
a b
f. a b
a b
F.
2
b
a
g. 2
a b
a a
G.
b a
b a
h. 2
b a H. b a
a b
i. 2
a b I. a b
b a
j. 2
3 2
ab b
a a b
J.
1
1 1
b
aa a
2. Werk uit. Gebruik indien mogelijk merkwaardige producten.
(a) 2 2
5 1 2x y x x y x y
(b) 1 2 3 8a a b
(c) 3 2 23 2 3 4x x x x
(d) 2
2 3xy
(e) 2 22 2p q p q
(f) 22 2 4a a a
(g) 2
y x y x
15
3. Ontbind in factoren.
(a) 3 2 2 320 30 25xy xy z xy z
(b) 2 3 2
16 4
a b abab
(c) 2
3
3
x yx y
(d) 22 3 3 32 2 4 2x y x y x y x y
(e) 2 54 16r s rs
(f) 3 12 4 5 8 4 2 425 15 40x y z x z x y z
(g) 2 3
5 20a b a b
(h) 4 3 25 40 80x x x
(i) 236 25A
(j) 3 22 2 1p p p
(k) 2 2 2 2ax ay bx by
4. Vul de juiste factor op de puntjes in.
(a) 29
5 92
aa a
(b)
3
2 21
3 3
a ba b a b
(c) 4 4
3 2 4 13 3
xx x x x
5. Schrijf als één enkele breuk en ontbind teller en noemer van deze breuk zoveel mogelijk in factoren.
(a) 1
11
a
a
(b) 2
2
y xy
x y
y
x
16
(c) ab c a b
b a ab c
(d)
22 3
2
5
2 25
x y z
yz x
(e) 2 3
3
4 4
1
x
x y
x
x y
(f) 3 2
5 2 1x x
(g) 25
55x
(h) 1 1
1 1
a a
a a
(i) 2
5 1 1
3
s s
s s s
(j) a b b
b a a b
(k) 2
1 1 2 2
1
ab
a b ab aa
(l)
2
23 5
xx
x x
(m)
1 1y x
y x
x y
y
17
6. De uitdrukking 2
1 2x y is gelijk aan één van de onderstaande
uitdrukkingen. Aan welke? Verklaar uw antwoord.
(a) 2 21 2x y
(b) 2 21 4x y
(c) 2 21 2x y
(d) 2 21 4x y
(e) 2 24 4 2 4 1x y xy x y
Oplossingen 1. a en H; b en E; c en C; d en G; e en B; f en I; g en J; h en A; i en D;
j en F
2. (a) 2 22 10 24 4 1x xy y x
(b) 22 3 10 3 8a ab a b
(c) 5 4 3 26 15 21 12x x x x
(d) 2 4 26 9x y xy
(e) 4 24p q
(f) 416 a
(g) 4 2 2 42x x y y
3. (a) 2 35 4 6 5xy y z z
(b) 2
211 4 16
16 4 16
ab bab ab ab b
(c) 2 21 1
9 9 19 9
x y x y x y x y
(d) 2 3 2 32 2 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y
(e) 44 4rs r s
(f) 3 4 12 2 4 25 5 3 8x z y x z xy
(g) 2
5 1 4 4a b a b
(h) 225 4x x
(i) 6 5 6 5A A
(j) 2 1 2 1p p
(k) x y x y a b
18
4. (a) 5
92 9
aa
(b) 21
33
a b a b
(c) 4 20 20
53 3 3
xx x
5. (a) a
(b) 2
1 x
xy
(c) c ab
ab c
(d)
25
2 5
x yz
x
(e) 2
4x
y
(f)
8 13
5 2 1
x
x x
(g) 5
5
x
x
(h)
4
1 1
a
a a
(i)
3 2
2
4 2 4 3
3
s s s
s s
(j) a b
a
(k) 2a b
a
(l) 3
6 10
x
x
(m) 1
x
6. De uitdrukking onder (e). Verklaring:
22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2x y x y x x y y