Pogonski elementi pokretnih sklopova
Opruge kao pogonski elementi Uvod
Neophodna pretpostavka svakog kretanja elemenata i sklopova mašina je dejstvo odgovarajućeg pogonskog elementa koji energiju receptora transformiše u mehanički rad.
U aparatima i uredjajima najčešće se koriste:- elektromotorni (za kontinualno i koračno kretanje),- elektromagnetni i- mehanički pogonski elementi (za oscilatorno kretanje),
a nešto manje i:hidraulični, pneumatski, elektrostriktivni, magnetostriktivni, termički i biomehanički pogonski elementi.
Opruge kao pogonski elementiOpruge kao pogonski elementi Uvod
Opruge spadaju u mehaničke pogonske elemente koji akumuliraju potencijalnu energiju i transformišu je u kinetičku. U poredjenju s ostalim pogon. elementima, troškovi izrade opruga su znatno niži.
Mada se koriste i u ostalim oblastima mašinstva, posebno su u aparatima funkcionalno nezamenljive a i konstruktivno pogodne kao pogonski elementi.
Stručna literatura i standardi (JUS C.B6.018) nude konstruktorima uputstva za statički proračun opruga, najčešće sa aspekta:- dinamičke čvrstoće, - sile opruge, - dozvoljenog naprezanja i - hoda opruge.
Opruge kao pogonski elementiOpruge kao pogonski elementi Uvod
Nedostaju, medjutim, instrukcije za dimenzionisanje opruga kao pogonskih elemenata koji treba da:
- savladaju sile korisnog i nekorisnog otpora i
- pomere pokretne delove mašina zahtevanom brzinom.
U praksi se ovaj zadatak rešava uglavnom empirijski ili eksperimentalno, proverom više različitih uzoraka opruge odn. variranjem njihovih parametara sve dok ne budu zadovoljeni postavljeni kinematski zahtevi. Ovakav pristup zahteva dosta vremena i uvećane troškove zbog često neophodnih, naknadnih izmena u konstrukciji i tehnologiji izrade.
Pogon diskontinualnih procesaOpruge kao pogonski elementi Uvod
Mada služe i kao pogonski elementi kontinualnih procesa, opruge se znatno češće koriste kao pogonski elementi diskontinualnih procesa.
Osnovne pogodnosti oprugaOpruge kao pogonski elementi Uvod
Za ovu oblast primene je posebno značajna sposobnost opruge da:
- akumulira relativno veliku količinu energije po jedinici zapremine
i realizuje 2 osnovna zahteva kod pogonskih procesa u aparatima:
- mogućnost startovanja u bilo kom odabranom trenutku i
- što je moguće kraći vremenski interval, potreban da seakumulirana energija preda mehanizmu aparata.
Sopstvena masa oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod
Dinamička analiza pogonskog procesa znatno bi se pojednostavila da je moguće zanemariti sopstvenu masu opruge, kao veličinu nižeg reda u odnosu na masu dela koji opruga treba da pomeri, ili je zameniti odgovarajućom konstantnom ekvivalent-masom.
Cilindrične zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod
Cilindrične zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod
Cilindrične zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod
Zatezne opruge prekidača od 35 kV
Opruge kao pogonski elementi Uvod
Uvrtne zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod
Uvrtne zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod
Lisnate opruge kao pogonski elementi
Opruge kao pogonski elementi Uvod
Opruge kao pogonski elementiPogonske opruge Osnove proračuna
Detaljan opis opruge kao pogonskog elementa zahteva poznavanje niza parametara koje odredjuje njena:
- funkcija: vreme za koje opruga izvrši pomeranje, aktivni hod,početni otklon, veličine sila korisnog i nekorisnog otpora i njihovapromena u toku pogonskog procesa, vek trajanja, pouzdanost,...
- struktura: karakteristike materijala od koga je opruga izradjena,prečnik žice, prečnik opruge, broj zavojaka, korak opruge,...
- okolina: ugradni prostor, položaj opruge i njegova promenatokom pogonskog procesa, vrsta veze završetaka opruge sasusednim elementima sklopa, vrsta kretanja elemenata sklopa,...
Cilindrične i uvrtne oprugePogonske opruge Osnove proračuna
Cilindrične i uvrtne zavojne opruge bitno se razlikuju samo u:
kraci u tangentnom, kraci u tangentnom, radijalnom i radijalnom i aksijalnom pravcuaksijalnom pravcu
uuššice (zatezne)ice (zatezne)
stopala (pritisne)stopala (pritisne)oblici zavroblici završšetaka etaka oprugeopruge
pretepretežžno rotacijano rotacijapretepretežžno translacija no translacija ((krukružžni lukovi su delom ni lukovi su delom aproksimirani pravamaaproksimirani pravama))
vrsta kretanja dela koji vrsta kretanja dela koji opruga treba da pomeriopruga treba da pomeri
pretepretežžno na savijanjeno na savijanjepretepretežžno na uvijanjeno na uvijanjenaprezanje naprezanje žžice oprugeice opruge
uvrtne oprugeuvrtne oprugecilindricilindriččne oprugene opruge
Zakon puta realizovanog cilindričnom oprugom
Pogonske opruge Osnove proračuna
0ycym oso =⋅+⋅ &&
mcs=ω
( ) ( )t cos1fts p ω−⋅=
Zakon puta realizovanog uvrtnomoprugom
Pogonske opruge Osnove proračuna
0cJ oo =ϕ+ϕ⋅ ϕ&&J
cϕ=ω ( ) ( )t cos1t p ω−⋅ϕ=ϕ
Cilindrična i uvrtna oprugaPogonske opruge Osnove proračuna
0cJ oo =ϕ+ϕ⋅ ϕ&&J
cϕ=ω ( ) ( )t cos1t p ω−⋅ϕ=ϕ
0ycym oso =⋅+⋅ &&mcs=ω ( ) ( )t cos1fts p ω−⋅=
Talasna jednačina oscilacijaPogonske opruge Osnove proračuna
o
o
s
o
xy
LcF
∂∂
=⋅
o2o
o2
so dxxyLcdF ⋅
∂∂⋅⋅=
o2o
2
ooi dxty
AydmdF ⋅∂∂⋅⋅ρ=⋅= &&
2o
o2
22
o2
xy
cty
∂
∂⋅=
∂
∂
o
s
mcLc ⋅=
Partikularno rešenje jednačinePogonske opruge Osnove proračuna
2o
o2
22
o2
xy
cty
∂
∂⋅=
∂
∂( ) ( ) ( )tTxXt,xy ooo ⋅=
0XTcTX 2 =⋅′′⋅−⋅′′ − 0XCX =⋅+′′ 0TCcT 2 =⋅⋅+′′
( ) [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ω
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ω
⋅⋅ω⋅+ω⋅= oooo xc
sinDxc
cosCt sinBt cosAt,xy
opšti integral:
Partikularno rešenje jednačinePogonske opruge Osnove proračuna
( ) 0t,0yo =
L2
o2
Lo
os t
ymxyLc ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ω
⋅ω⋅+ω⋅= ooo xc
sint sinBt cosAt,xy
Granični uslovi:
- na nepokretnom kraju opruge:
partikularno rešenje jednačine:
- na pokretnom kraju opruge:
( ) [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ω
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ω
⋅⋅ω⋅+ω⋅= oooo xc
sinDxc
cosCt sinBt cosAt,xy
Frekventna jednačinaPogonske opruge Osnove proračuna
i frekventna jednačina:Lc
cmLc
ctg1
s ⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ω
⋅ω
kk ctg ⋅χ=
omm
=χ
Beskonačno mnogo rešenja ove jednačine kn definišu beskonačno mnogo sopstvenih kružnih frekvenci:
n=1,2,3,…∞o
snn m
ck ⋅=ω
odnosno:
gde je:
Partikularno rešenje jednačinePogonske opruge Osnove proračuna
Pošto je zbir rešenja homogene jednačine takodje njeno rešenje to se sva partikularna rešenja mogu napisati u obliku zbira:
( ) ( )∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅ω⋅+ω⋅=
1no
nnnnnoo x
Lksint sinBt cosAt,xy
( )Lxf0,xy o
poo ⋅=( ) 00,xy oo =&
Pored graničnih moraju biti zadovoljeni i početni uslovi kretanja:
Zakon putaPogonske opruge Osnove proračuna
Zakon slobodnih longitudinalnih oscilacija horizontalnog oscilatora:
( ) ( ) t cosk2 sink 2kLxksink sin
f 4t,xy n1n nnn
onn
poo ω⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⋅= ∑∞
=
( ) ( ) t cosk2 sink 2k
ksinf 4t,Ly n
1n nnn
n2
po ω⋅+
⋅= ∑∞
=
( ) t cosft,Ly 1po ω⋅= ( ) ( ) ( )t cos1ft,Lyfts 1pop ω−=−=11 kksin ≈
Zakon puta pokretnog kraja opruge (xo=L):
Karakteristične vrednostiPogonske opruge Osnove proračuna
kk ctg ⋅χ=
o
snn m
ck ⋅=ω
omm
=χ
Karakteristična vrednost osnovnog harmonika
Pogonske opruge Osnove proračuna
kk ctg ⋅χ=
Karakteristična vrednost osnovnog harmonika
Pogonske opruge Osnove proračuna
kk ctg ⋅χ= ......945
k245k
3k
k1k ctg
51
311
11 −−−−=
31
k1
21−=χ
133k1 +χ
= ( ) o
s1 m13
c 3⋅+χ
=ω
o
s10 m
c 3=ω
3m
m
co
s1
+≈ω
mcs=ω
mo= 0 (χ→∞) m = 0 (χ = 0)
o
snn m
ck ⋅=ω
χ > 5
m∗ = m + mo/3 – redukovana masa
Jednačina kretanja uvrtne oprugePogonske opruge Osnove proračuna
Uvrtna opruga sa mnogo zavojaka može približno da se opišemodelom torziono elastičnog šupljeg cilindra izloženog uvijanju:
2o
o2
22
o2
zc
t ∂
ϕ∂⋅=
∂
ϕ∂
oo J
cLc ϕ⋅=
Znatno širu primenu ima model prostorno zakrivljenog štapaizloženog savijanju za koji se dobija parcijalna diferencijalnajednačina kretanja najmanje četvrtog reda.
Veličina otpora se ne menja s vremenomPogonske opruge Osnove proračuna
Ako se zanemari sopstvena masa opruge, diferencijalna jednačinakretanja sa statičkim otporom biće:
-za pogon cilindričnom zavojnom oprugom: ( ) 0sFycym stoso =−⋅+⋅ &&
( ) 0McJ stoo =ϕ−ϕ⋅+ϕ⋅ ϕ&&-za pogon uvrtnom zavojnom oprugom:
Veličina otpora se menja s vremenomPogonske opruge Osnove proračuna
Ako se zanemari sopstvena masa opruge, a kretanje je prigušeno
otpornom silom: diferencijalna
jednačina kretanja biće : 0ybybycym 2o2o1oso =⋅+⋅+⋅+⋅ &&&&
( )221
2o2o1w sbsbybybF &&&& ⋅+⋅−=⋅+⋅=
Opruga pomera sklop promenljive masePogonske opruge Osnove proračuna
Ako opruga pomera neki mehanizam, masa m (moment inercije J) menja svoju vrednost i može se izraziti kao promenljiva odpomeranja. U tom slučaju se i za najjednostavniji model (nema prigušenja ni statičkih otpornih sila, zanemarena sopstvena masa opruge) dobija nelinearna diferencijalna jednačina kretanja:
0ycydydm
21ym os
2o
oo =⋅+⋅+⋅ &&&
0cddJ
21J o
2o
oo =ϕ⋅+ϕ⋅
ϕ+ϕ⋅ ϕ&&&
Opruga ne menja položaj svoje osePogonske opruge Osnove proračuna
Osa opruge menja položajPogonske opruge Osnove proračuna
Proračun opruge čija osamenja položaj tokompogonskog procesa moguć jesamo ako se zanemari masaopruge pošto bi se u suprotnom dobila nelinearnaparcijalna diferencijalnajednačina kretanja.
Osa opruge menja položajPogonske opruge Osnove proračuna
Ako se zanemari sopstvena masa opruge,
- masa sklopa nijekonstantna: m(s),
- otporna sila nije konstantna: Fst(s),
- kretanje je prugušeno otpornom silom,
dobija se diferencijalna jednačina kretanja u pravcu x-koordinate: ( ) ( ) ( )
+⋅′+⋅+⋅+⋅+⋅′+′′⋅′
⋅+⋅ 2221
222 xy1bxbx
dxxdm
21x
y1yyxmxxm &&&&&&
( ) ( ) ( ) 0y1
1xFy1yx
yyxllc 2st2220s =′+
⋅−′+⋅+
′⋅+⋅−⋅+
Osa opruge menja položajPogonske opruge Osnove proračuna
Ukoliko su zavisnosti y(x), m(x) i Fst(x) zadate tabelarno ili grafički, neophodno je aproksimirati ih polinomima (npr. 5. reda).
Za model s konstantnom ekvivalent-masom opruge, zamena m(x) redukovanom masom m∗(x) = m(x) +mo/3.
( ) ( ) ( )+⋅′+⋅+⋅+⋅+⋅
′+′′⋅′
⋅+⋅ 2221
222 xy1bxbx
dxxdm
21x
y1yyxmxxm &&&&&&
( ) ( ) ( ) 0y1
1xFy1yx
yyxllc 2st2220s =′+
⋅−′+⋅+
′⋅+⋅−⋅+
Putanja tačke K je paralelna x-osiPogonske opruge Osnove proračuna
Uvodjenjem smena:
Kyy =
lyl o0 =+
22K
2 lyx =+
0xll1cxm 0
s =⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+⋅ &&
Putanja tačke K je kružni lukPogonske opruge Osnove proračuna
Uvodjenjem smene:
( ) M2
M2 yxxry +−−=
( )2
M2
M22 yxxrxl ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−+=
( ) ( )[ ] ( ) ( )2M2
MM2
M2
M20s xxryxxxxrx
lrllc
−−⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−⋅
( )0x
xxrxxmxm 2
2M
2M =⋅
−−−
⋅+⋅+ &&&