SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
DUNJA POTKRAJAC
OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA
D.O.O.“
DIPLOMSKI RAD
RIJEKA, 2013.
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA
D.O.O.“
DIPLOMSKI RAD
Predmet: Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje
Voditelj: prof. dr. sc. Ljiljana Lovrić
Studentica: Dunja Potkrajac
Smjer: Poduzetništvo
Matični broj:0081111727
Rijeka, rujan, 2013.
1. UVOD ________________________________________________________________ 1
1.1. Predmet i problem istraživanja ________________________________________ 1
1.2. Radna i pomoćne hipoteze ____________________________________________ 1
1.3. Svrha i ciljevi rada __________________________________________________ 2
1.4. Znanstvene metode __________________________________________________ 2
1.5. Struktura rada _____________________________________________________ 3
2. LINEARNO PROGRAMIRANJE __________________________________________ 4
2.1. Osnove linearnog programiranja ______________________________________ 7
2.2. Standardni problemi maksimuma i minimuma __________________________ 8
2.3. Kanonski model linearnog programiranja ______________________________ 11
2.4. Metode linearnog programiranja _____________________________________ 13
2.4.1. Grafička metoda ____________________________________________________________ 14 2.4.2. Simpleks metoda ____________________________________________________________ 17
2.5. Analiza osjetljivosti _________________________________________________ 23
3. UPRAVLJANJE PROIZVODNJOM I ZALIHAMA __________________________ 25
3.1. Općenito o zalihama ________________________________________________ 26
3.2. Upravljanje zalihama _______________________________________________ 26
4. OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA D.O.O.“ __ 29
4.1. Postavljanje problema ______________________________________________ 30
4.2. Rješenje problema __________________________________________________ 37
4.2.1. Izvješće o rješenju ___________________________________________________________ 42 4.2.2. Izvješće o analizi osjetljivosti __________________________________________________ 45
5. ZAKLJUČAK _________________________________________________________ 49
LITERATURA ____________________________________________________________ 51
INTERNET IZVORI _______________________________________________________ 52
POPIS TABLICA __________________________________________________________ 53
POPIS SLIKA _____________________________________________________________ 53
POPIS GRAFIKONA _______________________________________________________ 54
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
1
1. UVOD
Dinamika promjena okoline i kompleksnost djelovanja njezinih utjecajnih čimbenika na
poslovanje poduzeća presudno diktiraju potrebu razvoja brzog, efikasnog i efektivnog
sustava odlučivanja. Suvremena turbuletna okolina prisiljava menadžment da sve češće
donosi presudne odluke za vitalnost poduzeća. Prioritetni cilj menadžmenta u takvim
uvjetima je optimizacija poslovanja poduzeća kao sustava.
Svako odlučivanje je vezano uz realizaciju ciljeva. Svakodnevni problemi s kojima se
susreće menadžment odnose se na alokaciju resursa, organizaciju transporta, upravljanje
zalihama, izbor proizvodnog asortimana, raspored rada, marketinška istraživanja itd.
Postoji čitav niz aktivnosti u kojima se resursi mogu koristiti, ali osnovna karakteristika
resursa je njihova ograničenost. Sve aktivnosti zahtijevaju više resursa nego što se ima
na raspolaganju.
1.1. Predmet i problem istraživanja
Upravo kod ograničenih resursa menadžer treba donijeti odluku o aktivnostima za koje
se treba opredijeliti, s tim da se ograničeni resursi ne smiju prekoračiti i sve to s ciljem
dobivanja najpovoljnijeg rezultata odabrane aktivnosti. Jedan od načina uspješnog
rješavanja ovog problema i donošenja ispravne odluke je linearno programiranje.
Problem istraživanja ovog diplomskog rada je određivanje optimalne količine
proizvodnje i zaliha uz primjenu linearnog programiranja.
Predmet istraživanja ovog rada je specifikacija matematičkog modela proizvodnje s
ciljem optimizacije količine proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“.
1.2. Radna i pomoćne hipoteze
Predmet istraživanja oblikuje hipotezu diplomskog rada. Razne mogućnosti koje je
donijela primjena linearnog programiranja u poduzeća omogućila je poduzetnicima
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
2
olakšano poslovanje i suradnju s poslovnim korisnicima i što je najbitnije od svega,
smanjenje troškova i veću učinkovitost poslovanja.
Radna hipoteza: Primjenom linearnog programiranja moguće je donositi optimalne
poslovne odluke kod definiranja količine proizvodnje i zaliha.
Iz radne hipoteze moguće je postaviti nekoliko pomoćnih hipoteza:
Teorijska i praktična znanja o linearnom programiranju omogućuju rješavanje
različitih praktičnih problema.
Ciljanom analizom podataka proizvodnog poduzeća moguće je definirati sve
parametre koji su značajni kod postavljanja optimizacijskog modela
minimizacije ukupnih troškova proizvodnje i zaliha.
Korištenjem linearnog programiranja menadžer može donositi optimalne odluke
s ciljem minimizacije troškova proizvodnje i zaliha.
1.3. Svrha i ciljevi rada
U ovom radu kao svrha istraživanja postavlja se primjena linearnog programiranja u
donošenju poslovnih odluka u proizvodnom pogonu jednog poduzeća.
Cilj rada jest istražiti optimalnu proizvodnju proizvoda korištenjem matematičkog
modela optimizacije. Žele se utvrditi optimalne količine šećerne paste koje se trebaju
proizvesti u razdoblju od šest mjeseci s ciljem minimizacije ukupnih troškova
proizvodnje.Optimalne količine definiraju se s obzirom na očekivanu potražnju i
potrebne zalihe.
1.4. Znanstvene metode
U ovom diplomskom radu korištene su u odgovarajućim kombinacijama slijedeće
znanstvene metode: induktivna i deduktivna metoda, metoda analize i sinteze, metoda
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
3
klasifikacije, metoda matematičkog modeliranja, metoda optimizacije, metoda analize
osjetljivosti, metoda deskripcije i komparativna metoda.
1.5. Struktura rada
Rezultati istraživanja predočeni su u četiri međusobno povezana dijela.
U Uvodu su navedeni problem i predmet istraživanja, radna hipoteza i pomoćne
hipoteze, svrha i ciljevi istraživanja, znanstvene metode i obrazložena je struktura rada.
Naslov drugog dijela rada je Linearno programiranje. U tom dijelu rada govori se o
osnovama linearnog programiranja, standardnom problemu maksimuma i minimuma,
kanonskom modelu linearnog programiranja, metodama linearnog programiranja i na
kraju kratko o analizi osjetljivosti.
Naslov Upravljanje proizvodnjom i zalihama nositelj je trećeg dijela. Treći dio je
obrađen kroz dvije cjeline: općenito o zalihama i upravljanje zalihama
U četvrtom, najopsežnijem dijelu rada, s naslovom Optimizacija proizvodnje i zaliha u
poduzeću „Bella d.o.o.“ prvo se definiraju problemi vezani uz troškove proizvodnje i
zaliha, a potom se model formulira i matematički. Rješenja modela su prikazana u
programu Excel Solver. Između ostalog prikazana su i dva najvažnija izvješća koje
donosi Excel Solver, a to su Izvješće o rješenju i Izvješće o analizi osjetljivosti.
U posljednjem dijelu Zaključku, dana je sinteza rezultata istraživanja kojima je
dokazivana postavljena radna hipoteza.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
4
2. LINEARNO PROGRAMIRANJE
Poslovno odlučivanje je proces izabiranja smjera, odnosno načina djelovanja između
više alternativa rješavanja nekog problema, a rezultira donošenjem odluka. Suštinu
odlučivanja čini uspoređivanje cilja s ishodima pripremljenih alternativa, od kojih se
izabire ona koja daje ishod najbliži cilju određenog problema. Odlučivanje je u
prosuđivanje o najboljem rješenju određenoga problema na temelju informacija o
njegovim uzrocima i efektima rješenja na ostvarivanje ciljeva poduzeća. Zato donošenje
kvalitetnih odluka zahtijeva logičan i sustavan pristup. Veliku pomoć suvremenom
menadžmentu u procesima odlučivanja, odnosno u upravljanju poslovanjem poduzeća,
pruža linearno programiranje kao optimizacijska tehnika.
Linearno programiranje jedna je od najvažnijih disciplina operacijskih istraživanja.
Operacijska istraživanja predstavljaju primjenu matematičkih metoda u modeliranju i
analizi sustava, kao pomoć u poslovnom odlučivanju (Lovrić, 2009, str.10). Proces
operacijskih istraživanja mogao bi se svesti na slijedeće korake (Barković, 1997, str. 8):
formulacija problema (postavljanje granica sustava koji se istražuje),
konstrukcija modela,
modelsko računanje
te primjena.
Zadaća operacijskih istraživanja leži u rješavanju realnih problema, pri tome uključuje
matematiku, programiranje, elektroničku obradu podataka, organizacija podataka,
pribavljanje podataka, tehnike strukturiranja i klasificiranja, kreativne tehnike, odnosno
vlastite metode i tehnike da bi se model mogao strukturirati i riješiti. (Barković, 1997,
str. 8).
U povijesti razvoja linearnog programiranja bilježe se razna postignuća poznatih
matematičara. Prve primjene linearnog programiranja uslijedile su u vojnom području, a
razvile su se u Drugom svjetskom ratu iz vojnih potreba. Ograničene resurse trebalo je u
ratu rasporediti na različite vojne aktivnosti i operacije. Pri tom je trebalo postići što
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
5
bolje efekte pa su pozvani znanstvenici da primjene znanstveni pristup u rješavanju
takvih problema. Upravo odatle i dolazi naziv operacijska istraživanja (Andrijić, 2002,
str. 134).
Znanstvenici koji su pridonijeli razvoju linearnog programiranja su: ruski matematičar
L. V. Kantorović, koji je postavio prve formulacije problema linearnog programiranja u
svojoj knjizi „O organizaciji i planiranju proizvodnje“ (1939.) te F. L. Hitchock (1941.)
koji je objavio studiju o transportnom problemu linearnog programiranja.Tvorcem
linearnog programiranja smatra se i G.B. Dantizing. Dantizing je 1947. godine razvio
metodu, tzv. simpleks proceduru za potrebe rješavanja različitih problema američkog
zrakoplovstva.Iste godine svoj doprinos je dao Newman razvojem teorije
dualnosti.Nakon toga uslijedili su pokušaji primjene linearnog programiranja u
problemima industrije.
Danas je primjena linearnog programiranja raznolika. Tipični problemi koji se najčešće
rješavaju primjenom metode linearnog programiranja su (Dalić, 1994., str. 22):
Raspored proizvodnje i politika zalihe. Radi se o utvrđivanju takve veličine i
rasporeda proizvodnje da se zadovolji potraživanja i minimiziraju troškovi
proizvodnje i zaliha;
Financijska analiza- odabir optimalnog portfolia, tj. portfolia kojim će se
maksimizirati povrat od investicija;
Alokacija fiksnog marketing budžeta na elemente marketing miksa tako da
se maksimiziraju efekti marketing napora;
Problem transporta određenih količina na određena mjesta tako da se
minimiziraju transportni troškovi;
Problem rasporeda osoblja na određene zadatke tako da se maksimizira
mjera njihove uspješnosti.
Linearno programiranje je metoda kojom se maksimizira (minimizira) neka funkcija
cilja kad postoji određen broj ograničenja.U zadacima linearnog programiranja susreću
se s tri kategorije čimbenika s kojima se koristi menadržer prilikom određivanja
optimalnog rješenja (Petrić, 1979, str.18) :
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
6
Čimbenici koji su zadani u uvjetima gospodarenja, proizvodnje, potrebama i
troškovima (ulazni čimbenici);
Čimbenici koje karakterizira rezultat djelatnosti, akcije...(izlazni čimbenici);
Čimbenici koje karakterizira proces rada, tehnologije, uzajamne veze i odnose,
strukturu i karakteristike resursa, organizacija...(strukuralni čimbenici).
Linearno programiranje predstavlja metodu određivanja takve kombinacije uzajamno
povezanih čimbenika (Grafikon 1.), koja od niza mogućih kombinacija predstavlja
najpovoljniju, odnosno, traži se takva kombinacija koja će pored toga što će zadovoljiti
dana ograničenja zadovoljiti i kriterij optimalnosti (Petrić, 1979, str.18).
Grafikon 1. Optimalno rješenje linearnog programiranja
Izvor: Izradila studentica na temelju (Petrić, 1979, str.18)
Problemi linearnog programiranja se obično rješavaju pomoću računala, umjesto
grafičkim i algebarskim tehnikama.Razvojni alat u oblikovanju kvantitativnih poslovnih
modela je Excel Solver. To je najznačajniji alat u računalnom programu Excel za
uporabu u operacijskim istraživanjima (Infosustav, 2009, str. 3).
Strukturalni čimbenici
Ulazni čimbenici
Izlazni čimbenici
OPTIMALNO
RJEŠENJE
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
7
Solver predstavlja dodatak proračunskoj tablici Excel koji automatizira rješavanje
problema koji uključuju mnoge varijabilne stanice i pomaže u nalaženju kombinacija
varijabli koje ciljnu stanicu podižu na najveću ili najmanju vrijednost. Pri rješavanju
problema Solver također omogućava određivanje jednog ili više ograničenja – uvjeta
koji moraju biti ispunjeni kako bi rješenje bilo zadovoljavajuće (Infosustav, 2009, str.
3).
2.1. Osnove linearnog programiranja
Naziv linearno programiranje sastoji se od dvije riječi, riječ linearno - odnosi se na
funkciju cilja koju opisuje svojstvo linearnosti, dok riječ programiranje podrazumijeva
planiranje. Sukladno navedenom, linearno programiranje podrazumijeva planiranje
aktivnosti koja će omogućiti najbolji, optimalan izbor unutar ograničenih resursa.
Model linearnog programiranja sastoji se od funkcije cilja i ograničenja. U ovim
matematičkim relacijama postoje parametri i varijable. U jednom konkretnom
linearnom modelu parametri su konstante, koje naravno mogu uzeti bilo koju vrijednost,
a varijable predstavljaju količine koje treba odrediti rješavanjem modela (Pavlović,
2005,str. 139).
Nadalje, prema Pavloviću (2005, str. 139) za rješavanje realnih problema potrebno je
zadovoljiti određene pretpostavke:
Mora postojati jasan cilj koji se može kvantitativno izraziti;
Moraju postojati ograničeni izvori resursa i udjela na tržištu;
Moraju postojati alternativna rješenja;
Mora postojati uzajamna međuovisnost izražena linearno.
U općenitom slučaju problem matematičkog programiranja može se definirati na
slijedeći način (Babić, 2010, str. 70):
Max(Min){∫ |
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
8
Dakle, radi se o određivanju maksimuma (ili minimuma) neke funkcije od n varijabli
( ), gdje je X vektor iz prostora kojemu se te varijable komponente, tj.
X=[
]
Pri tome je funkcija cilja ili kriterija, a vektor X pripada nekom skupu S. Skup S
definiran je ograničenjima zadanog problema. Skup S naziva se skup mogućih rješenja.
Ukoliko je S= , radi se o optimalizaciji bez ograničenja, tj. vektor X može biti bilo
koji vektor iz prostora
Ukoliko je ( ) linearna funkcija od n varijabli (dakle, u njoj se sve varijable
na prvu potenciju i nema umnožaka varijabli),a ograničenja koja definiraju skup S su
također linearna, tada se govori o linearnom programiranju (Babić, 2010, str. 70).
2.2. Standardni problemi maksimuma i minimuma
Opći je problem optimizacije, a to znači maksimizacija ili minimizacija linearne
funkcije u tome da se pronađe njezim optimum zavisno od funkcije cilja i uz uvjet
linearnih ograničenja varijabli. Opća struktura linearnog programa izražena u formi
linearnog modela ima slijedeći oblik (Babić, 2010, str.131):
Optimalizirati:
pod uvjetom da:
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
9
Kod toga predstavlja n varijabli odlučivanja i cilj je utvrditi vrijednosti tih koje
optimiziraju (maksimiziraju ili minimiziaju) funkciju cilja koja je:
kod čega je simbol c poznati koeficijent (konstanta, parametar) profita ili troškova.
Optimalizacija je pod određnim ograničenjima. Tako je i prethodni generalni problem
pod ograničenjima. Radi se o m ograničenja, a tri znaka (≤, =, ≥) se koriste kako bi se
jednim od njih označilo o kojem se ograničenju radi (Babić, 2010, str.131).
Koeficijent je poznat kao konstanta iskorištavanja resursa, budući da on
predstavljaju količinu resursa korištenu za aktivnost j. Vrijednost , ,...
predstavljaju raspoloživost svakoga od m resursa, a koji stoje menadžeru na
raspolaganju.Za bilo koji problem koeficijenti su poznati pa se koristi linearno
programiranje kako bi se pronašla najbolja vrijednost varijable (Babić, 2010, str.131).
Što se tiče standardnog problema maksimuma linearnog programiranja, to je problem u
kojem su sva ograničenja (osim uvijeta nenegativnosti) tipa “ “, odnosno, u općenitom
slučaju n varijabli on je oblika (Babić, 2010,str. 71):
Max ∑
∑
Slijedi prikaz i u matričnom obliku:
Max
AX B
X 0
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
10
Problem linearnog programiranja prema Babiću je moguć ako postoji barem jedan
vektor X koji zadovoljava uvijete. Takav vektor zove se mogući vektor ili moguće
rješenje danog problema linearnog programiranja. Skup svih takvih vektora, tj. skup S=
{ | } naziva se skup mogućih rješenja danog problema. Moguć
vektor je optimalan ako maksimizira linearnu funkciju, tj. je optimalan (optimalno
rješenje problema LP), ako vrijedi:
X S
Svakom problemu maksimuma pridružen je i određeni problem minimuma koji se zove
dual originalnog problema. Naravno, ukoliko je početni problem bio problem
minimuma, tada je njegov dual odgovarajući problem minimuma.On se javlja u
slijedećem obliku:
Min ∑
∑
Ili u matričnom obliku:
Min
Sva ograničenja imaju oblik “ “. U dualu se javlja novi vektor, i to vektor Y. Taj
vektor ima n ograničenja i m varijabli, za razliku od originala, gdje je Y (Babić,
2010,str. 73).
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
11
2.3. Kanonski model linearnog programiranja
Kanonski model može biti problem maksimuma ili problem minimuma, ali je
karakteristika da su sva ograničenja u obliku jednadžbi, odnosno oblika “ = “(osim
uvjeta nenegativnosti). Ovakav problem naročito je pogodan za primjenu različitih
metoda rješavanja problema linearnog programiranja. Oblik tog problema je (Babić,
2010, str. 88):
Max (Min)
AX=B
X
Standardni i kanonski problem ekvivalentni su u smislu da se uvijek jedan može
transformirati u drugi, što povlači da se rješavanjem jednog od tih problema može dobiti
i rješenje drugog problema. Drugim rječima to znači da je svako rješenje jednog od tih
problema takođeri i rješenje drugog problema (Babić, 2010, str. 89).
Naime, uvjet AX=B može se zamijeniti s dva ekvivalentna uvjeta u obliku nejednadžbi,
odnosno s:
AX B
-AX -B
Očito je da ta dva uvjeta ( ) daju početni uvjet AX=B, pa se umjesto
kanonskog dobio standardni problem. Matematički rečeno, negativnost varijabli i razina
ograničenja ne predstavljaju poseban problem, ali u ekonomskim primjenama i
objašnjenima to nema smisla jer raspoloživi resursi i njihova upotreba ne mogu biti
negativni (Pavlović, 2005,str. 142).
Kada se standardni oblik želi pretvoriti u kanonski, potrebno je nastupiti malo drugačije.
U tom slučaju potrebno je nejednadžbu AX B zamijeniti sa jednadžbom
AX + U = B
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
12
i dodatnim zahtjevom
U 0
Budući da se želi nejednadžbu pretvoriti u jednadžbu, mora se lijevoj strani te
nejednadžbe dodati neka nenegativna veličina, tj. vektor U 0. Vektor U je vektor
dodatnih varijabli ili oslabljenih varijabli (egl. slack variables), za razliku od
komponenata vektora X, koji se zove strukturna varijabla (Babić, 2010,str. 89).
Primjer u nastavku transformira strandardni problem maksimuma i njegov dual u
ekvivalentni kanonski problem. Dakle, maksimizira se funkcija cilja:
z = 3
uz uvjete
5
+
U nastavku slijedi prikaz tri različita rješenja:
a) Kanonski problem originalnog standardnog problema maksimuma:
Maksimizacija funkcije cilja:
z = 3 +7
Uz uvjete:
5
+ =3
b) Dualni problem glasi:
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
13
Minimizacije funkcije cilja:
w = 7
Uz uvjete:
7
c) Kanonski model duala glasi:
Minimizacije funkcije cilja:
w =7
Uz uvjete:
5
3
2.4. Metode linearnog programiranja
Problem linearnog programiranja može se riješiti na razne načine. Jedne od osnovnih
metoda linearnog programiranja su grafička metoda - za probleme s najviše dvije
strukturne varijable te algebarska odnosno simpleks metoda.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
14
2.4.1. Grafička metoda
Grafičko rješavanje problema linearnog programiranja prikazati će se na slijedećem
primjeru.
Max (2 )
Skup točaka koje zadovoljavaju dana ograničenja (nejednadžbe) je neki podskup skupa
(ravnine) (Babić, 2010, str. 79). Takav skup točaka se naziva, kao što je već
istaknuto, skupom mogućih rješenja. Očito je taj skup (skup S) neki konveksni skup u
. Naime, on je presjek 5 poluravnina, koje su konveksni skupovi, i kao takav je i sam
konveksni skup.
Uvjeti nenegativnosti definiraju dvije poluravnine ( ), odnosno presjek tih
dviju poluravnina je prvi kvandrant koordinatnog sustava, uključujući pozitivni dio
koordinatnih osi i ishodište.Ostale 3 poluravnine nalaze se ispod ili iznad odgovarajućih
pravaca (Babić, 2010, str.79) .
U nastavku se razmatra slijedeća nejednadžbu (Babić, 2010, str.79), tj.
Budući da je predznak uz varijablu pozitivan, a znak nejednakosti “ “, skup svih
točaka (vektora) u koje zadovoljavaju tu nejednadžbu nalazi se ispod i na pravcu
3 .
Analogno,
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
15
je poluravnina ispod pravca , a treća nejednadžba predstavlja skup svih
točaka ispod i na pravcu .
Skup mogućih rješenja u ovom primjeru je konveksni skup poliedar ABCDE, pri čemu
se ekstremne točke tog poliedra određuju kao sjecišta odgovarajućih pravaca
(hiperravnina). To su:
A(0,0), B(7,0), C(6,3), D(4,5) i E(0,6).
Skup mogućih rješenja prikazan je na slici 1.
Slika 1. Skup mogućih rješenja – poliedar ABCDE
Izvor: Babić, 2010, str. 80
Svaka točka iz skupa S (uključujući i rubne točke) zadovoljava 3 uvjeta zadane
nejednadžbe i uvjete nenegativnosti. Tih točaka očito ima beskonačno mnogo. Zadatak
linearnog programiranja (Babić, 2010, str. 80) je od tih beskonačno mnogo točaka
izabrati jednu (ili možda više njih) za koju zadana funkcija ima maksimalnu ili
minimalnu vrijednost.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
16
Funkcija cilja je linearna funkcija dviju varijabli z = ƒ( ) i njen grafički prikaz je
neka ravnina u prostoru Problem linearnog programiranja sastoji se u tome da se
odredi maksimalna vrijednost te funkcije cilja, odnosno (Babić, 2010, str.80)
Max z = ƒ
ali samo za one točke iz koje se nalaze u skupu mogućih rješenja S. Budući da se
treća koordinata (aplikata z) u prostoru mjeri na vertikalnoj osi, očito treba odrediti
onu točku iz skupa S kojoj je projekcija na tu ravninu maksimalno udaljena od
horizontalne ravnine .
Dakle, odrediti optimalno rješenje problema linearnog programiranja sa dvije varijable
znači odrediti onu točku (točke ) iz skupa S koja je najviše (maksimalno) udaljena
od ravnine z=ƒ ) u prostoru (Babić, 2010, str.81).
Ovisno o nagibu te ravnine vidi se da optimalno rješenje može biti samo neka (jedna ili
više njih) od rubnih točaka konveksnog poliedra S. Ukoliko je to samo jedna točka,
onda to mora biti neka od ekstremnih točaka. Ako se slučajno taj maksimum postiže u
dvije ekstremne točke tada vrijedi i za bilo koju točku na njihovoj spojnici (konveksna
kombinacija tih ekstremnih točaka) (Babić, 2010, str.81).
Taj zaključak vrijedi i u slučaju više varijabli, odnosno vrijedi tvrdnja (Babić, 2010,
str.81):
Ako je skup mogućih rješenja problema linearnog programiranja konveksni poliedar,
tada ekstrem uvijek postoji, i postiže se u jednoj od ekstremnih točaka. Ako se ekstrem
postiže u dvije ekstremne točke tada se postiže i za svaku njihovu konveksnu
kombinaciju.Ako S nije konveksni poliedar ekstrem može i ne postojati, ali ako postoji,
postiže se također u jednoj od ekstremnih točaka ili u više njih.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
17
Dakle, u primjeru, dovoljno je izračunati vrijednost funkcije cilja u svim ekstremnim
točkama i tamo gdje je vrijednost maksimalna je optimalno rješenje. Dakle:
z(A)=z(0,0)=0
z(B)=z(7,0)=14
z(C)=z(6,3)=27
z(D)=z(4,5)=33
z(E)=z(0,6)=30
Optimalna točka je točka D (4,5),tj. optimalna vrijednost funkcije cilja je 33.
Optimalno rješenje je moguće naći i grafički putem pomoću funkcije cilja.
2.4.2. Simpleks metoda
Za razliku od grafičke metode, simpleks metoda može služiti za rješavanje problema s
bilo kojim brojem varijabli i ograničenja. Primjenom simpleks metode moguće je neki
problem rješiti i ručno. Praktično je izvedivo kad problem ima vrlo malo broj varijabli
pa se uzima da problem sa 4 i više varijabli i ograničenja treba prepustiti kompjuterima.
Simpleks metoda zahtjeva definiranje ograničenja u obliku jednakosti. Svaka
nejednakost oblika “manji od“ može se pretvoriti u jednakost dodavanjem varijable čija
vrijednost odražava razliku između lijeve i desne strane i koja se naziva dodatna ili
“slack“ varijabla. U ograničenju kojemu je dodana dopunska varijabla - ta varijabla ima
koeficijent 1, dok u ostalim ograničenjima ta varijabla ima koeficijent nula (ne smije
utjecati na druga ograničenja jer je uloga te varijable da se od nejednadžbe dobije
jednadžba). U funkciji cilja ta varijabla ima koeficijant nula (ne smije utjecati na
vrijednost funkcije cilja) (Pavlović, 2005, str. 153).
Bazično rješenje koje ujedno zadovoljava uvjete nenegativnosti čini bazično moguće
rješenje. Simpleks metoda može se opisati kao „Iterativna procedura za pomicanje
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
18
jednog ka drugom bazično mogućem rješenju sve dok se ne pronađe optimalno
rješenje“(Dalić, 1994, str.24).
Dakle, to je metoda kojom se iz koraka u korak poboljšava rješenje. Može se reći da se
algoritam simpleks metode sastoji od četiri koraka:
1. Konstruira se neko inicijalno (početno) moguće rješenje;
2. Primjenjuje se test da se odredi je li to optimalno rješenje;
3. Ako rješenje nije optimalno, metoda daje uputu kako ići do boljeg rješenja;
4. Nakon mnogo koraka dolazi se do optimalnog rješenja ili se utvrđuje da ono ne
postoji.
Simpleks metoda radi samo s kanonskim problemom. Naime, prikazano je da se svaki
standardni problem može prevesti u njemu ekvivalentan kanonski problem, odnosno
rješavanjem kanonskog problema dobiva se i rješenje standardnog problema(Babić,
2010, str.121).
Dakle, prvi korak simpleks metode je utvrđivanje početnog rješenja. Način formiranja
početnog rješenja ovisi o tome je li zadani problem maksimuma ili minimuma, kao i je
li problem zadan u početnoj formi, tada ga prethodno treba na nju svesti, s time da
postoje neke posebnosti u problemu transformacije funkcije cilja u različitim tipovima
problema: maksimum ili minimum, opći ili standardni.
U slučaju da je zadan problem maksimuma, polazi se od rješenja u kojem je najmanja
dopustiva vrijednost strukturnih varijabli, a time i najmanja vrijednost funkcije cilja,
vrijednost nula. Ta se vrijednost u svakom slijedećem koraku povećava. Ako je pak
zadani problem minimuma, tada se polazi od najvećeg mogućeg rješenja i ono se
postupno smanjuje.
Nakon formiranja početnog rješenja pristupa se njegovom poboljšanju. Poboljšano
početno rješenje se podvrgava ispitivanju optimalnosti. Ukoliko nije, tada se to rješenje
također poboljšava. Svaki takav korak naziva se iteracija. Kada se utvrdi da je dobiveno
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
19
rješenje optimalno ili da optimalno rješenje ne postoji, tada je primjena metode
završena.
Ukoliko je dobiveno rješenje optimalno, tada slijedi očitavanje optimalnih vrijednosti,
kako varijabli tako i funkcije cilja, kako originalnog problema tako i njegovog duala.
Konačno dobiveno rješenje treba i protumačiti (Brajdić, 2006, str. 104).
Detaljan opis i primjena simpleks metode je moguće prikazati:
U tabelarnom obliku
Bez tabelarnog oblika
Kao praktičniji, odnosno prihvatljiviji, prikazuje se prvi način u tabelarnoj formi i to
kao početni problem maksimuma(Tablica 1.).
Tablica 1. Početna simpleks tablica za standardni problem maksimuma
... 0 0 ... 0
Baza ... ... B B/
0 ... 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... 0 0 ... 1
... ... Z=0
...
...
Izvor: Brajdić, 2006, str. 113
su jedinični – vektori s m komponentama. Svi navedeni vektori- strupci (osim B) su
zapravo elementi vektora A = [ ]i I=[ ] iz kanonskog modela,
koje se dobiva transformacijom standardnog modela na način kako je opisano u teoriji
linearnog programiranja. I je jedinična matrica reda (m,m) (Brajdić, 2006, str. 106).
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
20
U toj se notaciji transformirani standardni model u kanonski problem može pisati kao
(Brajdić, 2006, str. 107):
MaxZ = C ' X + 0 U
X , U
Ova tablica zapravo predstavlja početno rješenje za standardni problem maksimuma.
Iz tablice proizlazi (Brajdić, 2006, str. 107):
1. U bazi se nalazi m vektora- stupaca, i to svi vektori U, koji predstavljaju
jedinične vektore- stupce iz m – dimenzionalnog vektorskog prostora
2. Mogu se očitavati moguća rješenja standardnog problema maksimuma, i to
polazeći od toga da pojedinim vektorima odgovaraju istovrsne varijable i to:
a) Vektorima iz baze odgovaraju
b) Vektorima koji nisu u bazi
.
Tada se vrijednosti vektora koji su u bazi (tj. bazičnih vektora), odnosno
odgovarajućih varijabli, očitavaju na homolognom mjestu u vektor- stupcu
B. U početnom rješenju su dodatne varijable u bazi pa je:
.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
21
Kod vektora koji nisu u bazi (nebazične vektore), njihove vrijednosti su
jednake nula. U početnom rješenju nema niti jedne strukturne varijable pa je
za strukturne varijable
.
3. Ukoliko se očitane vrijednosti za strukturne i dodane varijable uvrste u funkciju
cilja
Z=
dobiva se
Z= = 0
Vrijednost nula se nalazi kao vrijednost funkcije cilja za početna bazična
rješenja u samoj tablici, i to na mjestu zadnje vrijednosti u retku , tj. u koloni
vektora-stupca B. Na istom mjestu se i u svim ostalim iteracijama također nalazi
vrijednost funkcije cilja za dobiveno moguće bazično rješenje, tj. za dobivene
bazične varijable, uključujući naravno i samo optimalno rješenje (Brajdić, 2006,
str. 107).
4. Vrijednosti dualnih varijabli se nalaze u retku ,tj. u stupcima koji se
odnose na dodatne vektore .
U tabeli se osim početnog rješenja nalazi i sve potrebno za (Brajdić, 2006, str. 108):
Testiranje je li dobiveno početno rješenje optimalno, odnosno ima li uopće
optimalnog rješenja;
Dobivanje novog mogućeg rješenja.
To se realizira primjenom simpleks algoritma, kao dijela simpleks metode. To znači da
se na dobiveno početno rješenje, kao i na sva druga rješenja, sve do dobivanja
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
22
optimalnog rješenja ili konstatacije da optimalno rješenje ne postoji, primjenjuje
simpleks algoritam. Simpleks algoritam ima niz zajedničkih elemenata za sve tipove
problema linearnog programiranje, ali i svojih posebnosti. Proces testiranja je li
dobiveno rješenje i optimalno poseban je za pojedine tipove problema, dok je proces
dobivanja novog rješenja zajednički svim tipovima problema linearnog programiranja.
Ukratko, za standardni problem maksimuma simpleks algoritam ima slijedeće korake
(Brajdić, 2006, str. 112):
1. Testira se je li dobiveno rješenje i optimalno na slijedeći način:
Izračunaju se vrijednosti u predzadnjem retku ( );
Dobivene vrijednosti su potrebne da se izračunaju vrijednosti u retku
;
Ukoliko su svi elementi u retku tada je dobiveno rješenje i
optimalno. Ukoliko je barem jedan od elemenata , tj. ako
dobiveno rješenje nije optimalno, tada se prelazi na drugi korak
nalaženja novog mogućeg rješenja.
2. Nalaženje novog rješenja, nove baze, pri čemu se dijelom primjenjuju osnovna
pravila iz Gaussovog algoritma za rješavanje sustava od m x n jednadžbi. Sam
postupak izgleda ovako:
Prvo se traži vektor – stupac koji treba ući u bazu, tj. koji treba
zamijeniti jedan od bazičnih vektor- stupca;
Zatim se traži vektor koji izlazi iz baze, odnosno vektor na čije mjesto
ulazi vektor koji je izabran u prethodnom koraku.Ukoliko se desi da su
svi koeficijenti u izabranom vektoru- stupcu koji ulazi u bazu negativni,
tada se postupak prekida, jer bi se za funkciju cilja dobilo infinitno
rješenje;
Traži se novo rješenje i to tako da se primjenjuje dio Gaussovog
algoritma na način da se na sjecištu vektora koji ulazi i vektora koji izlazi
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
23
treba dobiti jedinica, a svi ostali elementi vektora-stupca koji ulazi
moraju biti nula;
Zatim se ponovno primjenjuje prvi korak, tj. testira se je li dobiveno
rješenje optimalno;
Cjelokupni postupak se ponavlja dok se ne dođe do optimalnog rješenja,
tj. sve dok sve vrijednosti u retku nisu pozitivne ili nula.
2.5. Analiza osjetljivosti
Veliko značenje prema Barkoviću (1997.) imaju analize koje se nadovezuju na
optimalno rješenje. Nakon pronalaženja optimalog rješenja problema linearnog
programiranja, i prije nego se pristupi realizaciji, vrši se postoptimalna analiza
problema. Osim toga, može se doći do raznih promjena u matematičkom modelu, ili
neki od podataka nije bio točan pa je zgodnije izvršiti postoptimalnu analizu, nego
ponovno rješavati cijeli problem.
Dakle, kod korištenja modela linearnog programiranja donosilac odluke želi znati što se
događa s optimalnim rješenjem ako se izvrše neke promjene ulaznih parametara modela
(Babić, 2010, str. 201). Želi se ispitati koliko se mogu promijeniti početni parametri, a
da to ne utječe na promjenu optimalnog rješenja.Cilj analize osjetljivosti je proučiti
mijenjanje rješenja nekog problema ukoliko se mijenjaju parametri samog problema.
Neka od najčešćih pitanja koja se pojavljuju kod analize osjetljivosti odnoseći se na
ovaj diplomski rad su sljedeća:
1. Unutar kojeg raspona, tj. unutar kojih granica se može kretati trošak proizvodnje
pakiranja šećerne paste po mjesecima, a da pri tome količine (broj pakiranja)
šećerne paste budu optimalne?
2. Unutar kojeg raspona, tj. unutar kojih granica se može kretati trošak zaliha po
mjesecima, a da pri tome količina pakiranja šećerne paste bude optimalna?
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
24
3. Kada i za koliko dodatna količina šećerne paste dovodi do smanjenja ili
povećanja ukupnih troškova proizvodnje i zaliha?
Analizom osjetljivosti se ispituju promjene u samo jednom parametru. Ukoliko se radi o
promjenama u više parametara, problem je složeniji i potrebno je primijeniti
parametarsko programiranje.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
25
3. UPRAVLJANJE PROIZVODNJOM I ZALIHAMA
Zalihe su veoma značajan element poslovanja svake firme. U proizvodnji se govori o
repromaterijalu i zalihama poluproizvoda ili gotovih proizvoda. Kada se govori o
zalihama i o ekstremnim ponašanjima zaliha ističu se tri najčešće vrste (Pavlović, 2005,
str. 53). Može se dogoditi da zaliha uvijek ima dovoljno ili da se poduzeće nalazi na
granici nestanka zaliha ili da ih nikada nema dovoljno pa ih se stalno nastoji nabaviti.
Radi sigurosti, ali i stanja na tržištu bilo bi dobro da repromaterijala, poluproizvoda,
gotovih proizvoda ili robe u trgovini ima uvijek dovoljno tako da je sigurno da će
proizvodnja biti održana ili da će kupci uvijek biti usluženi. U tom slučaju na zalihama
se nalaze zamrznuta obrtna sredstva na koja se plaćaju kamate i tako se povećava
trošak. S druge strane, ako proizvodnja stane zbog nedostatka repromaterijala ili
sirovina tada se poduzeće opet ne ponaša racionalno i troškovi mogu biti znatno veći od
držanja većih zaliha (Pavlović, 2005, str.53).
Dakle, proizvodnja treba biti osigurana, treba imati dovoljno pakiranja na skladištu, a
troškovi trebaju biti minimalni. Drugim riječima, zalihe trebaju biti optimalne, a upravo
to je predmet istraživanja ovog diplomskog rada. Upravljanje zalihama obuhvaća ove
procese: praćenje zaliha, obnavljanje, tj. naručivanje novih zaliha i sprečavanje
ostajanja bez zaliha, koje su bitne za ublažavanje operacija, nabavu i kupovanje (Oblak i
ostali, 2008, str. 173).
Davno je uočen problem upravljanja zalihama i potreba određivanja takve razine zaliha
da su proizvedene količine pravovremene i odgovarajuće uz minimalne troškove. Za to
se koriste različite metode i modeli upravljanja zalihama. Svaki model ili metoda ima
svoje specifičnosti s prednostima i nedostacima (Pavlović, 2005, str. 54).
Matematički model zaliha kao i većinu ostalih modela karakterizira funkcija cilja i
određena ograničenja. Funkcija cilja je najčešće funkcija troškova i određuje se
minimum te funkcije pod određenim pretpostavkama. Upravljanje zalihama je složen
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
26
proces pa se kao i kod svakog kvantitativnog modela u ekonomiji, ovakav tip modela
treba pojednostaviti.
3.1. Općenito o zalihama
Pod zalihama se podrazumijevaju na određeni dan raspoložive količine sirovina,
materijala, rezervnih dijelova, autoguma i ambalaže. Osnovni smisao zaliha je
osiguranje nesmetanog odvijaja procesa proizvodnje i poslovanja. Zalihe pomažu da se
uskladi vremenska neusklađenost od trenutka njihove nabave do trenutka njihova
angažmana u proizvodnji ili stavljanja na raspolaganje kupcu. U stabilnim uvjetima
dobro opskrbljenog tržišta zalihe mogu biti minimalne, dok se u nestabilnim uvjetima u
smislu fizičkih oskudica ili čestih promjena cijena one moraju formirati na razini koja
osigurava nesmetano poslovanje (Biljan, 2008, str.1).
Osnovna je zadaća proizvođačkog društva pretvaranje sirovina i kupljenih dijelova u
gotovu robu. U svakom društvu trošak prodane robe je zbroj troška nabave i troškova
pretvaranja (ako oni postoje) proizvoda koji se prodaju. Stoga, proizvođač u trošak
prodane robe uključuje trošak materijala i upotrebljenih dijelova, trošak rada te ostale
troškove nastale pri proizvodnji robe koja se prodaje.
3.2. Upravljanje zalihama
Upravljanje zalihama jedan je od najvažnijih logističkih zadataka. Mnogi gospodarski
subjekti suočeni su s problemima koji otežavaju pronalaženje optimalne politike
upravljanja zalihama: nemogućnost predviđanja potražnje, nesiguran proces dobave,
dugo vrijeme isporuke, kratko vrijeme potražnje za određenim proizvodima. S obzirom
na to da investicije poduzeća u zalihama čine obično 30-50% (Autor nepoznat 1, 2008,
Logiko.hr) njihove ukupne imovine, odluke o zalihama znatno utječu na ostale troškove.
Drži li se premalo proizvoda na zalihama, dolazi do nedostatka proizvoda na skladištu,
što uzrokuje gubljenje ugleda poduzeća, pad prodaje te gubitak potrošača. S druge
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
27
strane, držanje suviše poizvoda ili mnogo proizvoda koji se slabo prodaju povećava
troškove skladištenja, rizik zastarijevanja, mogućnost potkradanja i oštećivanja
proizvoda. Stoga je cilj upravljanja zalihama smanjivanje troškova zaliha na najmanju
moguću mjeru uz održavanje odgovarajuće ponude robe. Optimalna razina zaliha
predstavlja istodobno i optimalne troškove poslovanja u cjelini (Biljan, 2008, str.26).
Upravljanje zalihama važno je za funkcioniranje organizacije, zbog sljedećeg (Autor
nepoznat 2, 2008, super-king.hr):
Svrha zaliha je amortiziranje neravnomjernosti u potrebama materijala – dakle,
nužne su za nesmetano odvijanje poslovnih procesa. Zbog toga, što su veće
zalihe, veća je i sigurnost za nesmetano odvijanje poslovnih procesa, te zalihe
trebaju biti što veće.
Zalihama se angažiraju značajna financijska sredstva. Zbog toga, zalihe trebaju
biti što manje.
Dakle, prisutna su dva suprotna zahtjeva i problem upravljanja zalihama svodi se na
nalaženje takve politike upravljanja zalihama, koja će na najbolji način uskladiti oba
zahtjeva. Optimalno upravljanje zalihama je ono kod kojega su najniži ukupni troškovi
zaliha.
Politika upravljanja zalihama obuhvaća niz pojedinosti (Mesarić, 2008, str. 7) :
planiranje potreba na temelju dinamičkih planova proizvodnje odnosno prodaje,
osiguranje smještaja (odgovarajućeg skladišta),
analizu ponude i potražnje, te ocjenu njihove pouzdanosti,
procjenu optimalnog nabavnog ciklusa,
politiku ugovaranja (uvjete, načine, cijene...),
transportnu politiku,
osiguranje od rizika držanja zaliha,
nomenklatura i šifriranje zaliha,
određivanje računovodstvenih evidencija i izviješća o zalihama,
politiku vrednovanja zaliha kao bilančane stavke i kao stavke troškova itd.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
28
Sustavi upravljanja zalihama su (Autor nepoznat 3, 2008, FOI):
Kontinuirani – kretanje zaliha neprestano se prati. Kada stanje zaliha padne na
određenu razinu zalihe se obnavljaju. Naručuje se tzv. ekonomična količina
naručivanja.
Periodički – stanje zaliha se utvrđuje u točno određenim intervalima, npr. tjedan
ili mjesec. U svakom se intervalu naručuje onoliko koliko je potrebno da stanje
zaliha dođe na traženu razinu. Sustav je jednostavan ali osjetljiv na iznenadne
promjene potražnje.
ABC klasifikacija – sve stavke ne sudjeluju u istom obujmu u ukupnim zalihama
Često u gospodarstvu gospodarski subjekt ima više tehnoloških procesa koje može
primjenjivati s različitim intenzitetom. Tendencija svakog gospodarskog subjekta je
maksimizirati ukupan prihod (Crnjac Milić i Crnjac, 2013, str.1).U tržišnoj ekonomiji i
slobodnoj konkurenciji uz ograničenja u tehnološkim procesima i resursima nije
jednostavno naći optimalno rješenje koje će poslužiti kao podloga pri donošenju odluka.
U ovom diplomskom radu nastoji se kroz jedan segment proizvodnje prikazati kako se
pomoću metode linearnog programiranja mogu optimizirati proizvodnja i zalihe.
Dakle, primjer pokazuje kako se uz određena ograničenja mogu postići minimalni
troškovi tog proizvodnog segmenta te kako je time vjerojatno moguće poboljšati
cjelokupno poslovanje poduzeća. Primjer ukazuje na važnost pravovremene i
odgovarajuće količine proizvedenih proizvoda kako bi se održao kontinuitet poslovanja
s postojećim kupcem.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
29
4. OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA
D.O.O.“
Kao vrlo težak i iznimno važan problem koji se susreće kod većine tvornica ističe se
određivanje količine mjesečne proizvodnje. Proizvodni menadžer razmatra niz faktora
npr. kapacitet radne snage, troškovi zaliha i skladištenja, prostorna ograničenja,
potražnja za proizvodima i slično.
U nastavku ovog rada prikazuje se na koji način proizvodni menadžer u poduzeću
„Bella“ donosi poslovne odluke. Menadžer koristi optimizacijsku tehniku, tj. linearno
programiranje. Funkciju cilja u ovom slučaju predstavlja minimiziranje ukupnih
troškova (proizvodnja plus zalihe) u provedbi danog zadatka. Količina mjesečne
proizvodnje je problem koji se može prilagoditi rješavanju pomoću linearnog
programiranja. Jednom kad su funkcija cilja i ograničenja postavljeni, inputi se mogu
lako promijeniti za svaki period vremena kako bi se odredio ažurirani raspored
proizvodnje.
Dakle, menadžer prvenstveno želi ostvariti minimalne troškove proizvodnje i zaliha, pa
tako razmatra različite faktore koje utječu na navedene troškove (Grafikon 2.)
Grafikon 2. Faktori koji utječu na troškove proizvodnje i zaliha
Izvor: Izradila studentica
Minimalni troškovi
proizvodnje i zaliha
Kapacitet radne snage
Nabavna cijena materijala
Transport
Maksimalna i minimalna
moguća količina proizvodnje
Ograničeno skladište
...
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
30
4.1. Postavljanje problema
Poduzeće „Bella d.o.o“ bavi se proizvodnjom šećerne paste za egipatsku depilaciju za
prodaju i to pod ugovorom sa poznatom drogerijom. Šećerna pasta zvana „Pasta strong“
od 120 g najprodavaniji je proizvod (Slika 2.).
Dva puta godišnje menadžer nabave drogerije kontaktira rukovodstvo poduzeća „Bella
d.o.o.“ kako bi dogovorili mjesečne narudžbe za svaki od sljedećih šest mjeseci.
Potražnja drogerije za šećernom pastom varira svaki mjesec ovisno o njihovim
prognozama prodaje, proizvodnim kapacitetima i financijskoj situaciji. Poduzeće „Bella
d.o.o“ je upravo primilo narudžbu za prvih šest mjeseci tekuće 2013. godine i temeljem
toga mora odrediti svoj šestomjesečni plan proizvodnje.
Slika 2. Šećerna pasta „Pasta strong“
Izvor: Arhiva poduzeća „Bella d.o.o.“
Prodajna cijena proizvoda bez PDV-a iznosi 39,92 kn. Mjesečna prodaja se kreće od
1500 do 2000 komada. Uprava nije pažljivo brinula o optimalnom nivou zaliha pa su se
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
31
obrtna sredstva napotrebno angažirala na zalihama. U Tablici 2. u nastavku su prikazani
podaci o jediničnim troškovima (u kunama), prodaji, maksimalnoj i minimalnoj
mogućoj proizvodnji (u komadima, tj. u pakiranjima) za period od mjeseca siječnja do
lipnja. Na zalihama je 01.01. 2013. bilo 2500 pakiranja šećerne paste1.
Tablica 2. Troškovi, prodaja i proizvodnja
Jedinični
troškovi 1.mjesec 2.mjesec 3.mjesec 4.mjesec 5.mjesec 6.mjesec
Nabava 5,62 5,65 5,60 5,65 5,70 5,65
Proizvodnja 1,43 1,40 1,50 1,52 1,55 1,40
Zalihe 0,05 0,06 0,10 0,12 0,10 0,10
Transport 0,393 0,402 0,52 0,40 0,52 0,42
Ukupni jed.
tr.bez zaliha2
7,44 7,45 7,62 7,57 7,77 7,47
Max.
Proizvodnja 3200 3200 3200 3200 3200 3200
Min.
Proizvodnja 1500 1500 1500 1500 1500 1500
Prodaja 1500 1500 1800 2000 2000 2000
Izvor: Podaci poduzeća „Bella d.o.o.“
Troškovi nabave variraju ovisno o količini koja se naručuje, proizvodnji, zalihama i
transportu i variraju iz mjeseca u mjesec, ovisno o broju efektivnih radnih dana u
odnosu na ukupan broj plaćenih dana, kao i o rasporedu mjesečnih fiksnih troškova.
Ograničenje u vezi maksimalne i minimalne moguće mjesečne proizvodnje odnosi se na
broj radnih dana u mjesecu i mogući dnevni kapacitet, ovisno o broju radnika koji rade
1 Podatak dobiven na temelju službenih dokumenata poduzeća „Bella d.o.o.“.
2 Ukupni jedinični troškovi bez zaliha dobiveni su zbrojem jediničnih troškova nabave, proizvodnje i
transporta. Zbog ograničenog pristupa službenim dokumentima nije moguće prikazati kako su dobiveni
jedinični troškovi.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
32
u proizvodnji.Maksimalna količina proizvodnje određena je s obzirom na ograničeni
prostor skladišta. Skladište je moguće proširiti samo uz visoke troškove, no to
trenutačno nikako nije moguće ostvariti.
Poduzeće „Bella d.o.o.“ razmatra dva faktora kod planiranja proizvodnje:
1. Bitno je da dođe do snižavanja troškova zaliha, tj. poželjno je da se svaki mjesec
proizvodi samo onoliko pasti koliko je potrebno za određeni mjesec.
2. Raspoloživi prostor u skladištu je ograničen, a povećati se može samo s velikim
dodatnim troškovima.
Poduzeće „Bella d.o.o.“ smatra da korištenjem linearnog programiranja može odrediti
mjesečni plan proizvodnje koji će minimizirati njegove ukupne troškove za jediničnu
proizvodnju (prosječne troškove) u svakom mjesecu. To znači da menadžment
poduzeća želi odrediti optimalnu količinu proizvodnje paste tijekom 6 mjeseci (siječanj-
lipanj) tako da troškovi budu minimalni. Jedan od ciljeva poduzeća jest i da se zalihe na
kraju razdoblja svedu na količinu od najviše 2100 komada3. Opskrba prodajnog mjesta-
centralnog skladišta obavlja se jednom tjedno pa se zalihe mogu redovito popunjavati i
održavati na nižem nivou nego su bile do sada.
3Postavljeno dodatno ograničenje vezano za zalihe želi ostvariti smanjenje zaliha budući da su zalihe na
kraju prošlog razdoblja, odnosno na dan 01.01.2013., zalihe su iznosile 2500 komada
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
33
Grafikon 3. Ciljevi poduzeća „Bella d.o.o.“
Izvor: Izradila studentica
Postavlja se sljedeće:
Na temelju proizvodnih troškova iz Tablice 2. formira se dio funkcije cilja koji se
odnosi na proizvodne troškove. Troškovi proizvodnje su:
Da bi se u ovaj model uključili i troškovi držanja zaliha uvodi se nova varijabla
prikazana u nastavku:
CILJ - optimalna količina proizvodnje paste u 6 mjeseci, uz minimalne troškove proizvodnje
PODCILJ - zalihe na kraju razdoblja najviše 2100 komada
OSTALI CILJEVI - proizvodnja pakiranja pasti mora biti upravo onoliko koliko je potrebno po pojedinom mjesecu
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
34
Svaka šećerna pasta koja ostane na zalihama mjesečno predstavlja trošak, a to je
vidljivo u Tablici 2. Računovodstvo poduzeća „Bella d.o.o.“ uzima u obzir zalihe na
kraju mjeseca kao prosječnu vrijednost nivoa zaliha tokom mjeseca. Prema tome, dio
funkcije cilja koja se odnosi na troškove zaliha je sljedeći:
Prema tome, ukupna funkcija cilja kojom se minimiziraju ukupni troškovi prikazana
je u nastavku(Grafikon 4.):
Slijedi postavljanje ograničenja, kod kojih je potrebno prepoznati veze koje postoje
između zaliha na kraju prethodnog mjeseca, tekuće mjesečne proizvodnje i mjesečne
prodaje. To prikazuje jednadžba u nastavku:
Zalihe na kraju prošlog razdoblja, tj. na dan 01.01.2013. su iznosile 2500 komada. U
nastavku se prikazuje broj komada na zalihama po pojedinim mjesecima.
ZA SIJEČANJ:
ZA VELJAČU:
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
35
Jednadžbe ostalih mjeseci prikazane su u Tablici 3.:
Tablica 3. Zalihe na kraju mjeseca – ograničenja
Mjesec Zalihe na kraju mjeseca
Siječanj
Veljača
Ožujak
Travanj
Svibanj
Lipanj
Izvor: Izradila studentica
Dodatno ograničenje vezano uz zalihe na kraju lipnja:
Postavljeno dodatno ograničenje vezano za zalihe želi ostvariti smanjenje zaliha jer
zalihe na kraju prošlog razdoblja, odnosno na dan 01.01.2013., zalihe su iznosile 2500
komada. Dosada razmatrana ograničenja odnose se na potražnju, ona međutim ne
uzimaju u obzir skladišni prostor niti zahtjeve za radnom snagom. Skladišni prostor je
ograničen, a maksimalna proizvodnja šećerne paste prikazana je u Tablici 4.
Ograničenja koja prema tome trebaju vrijediti prikazana su u Tablici 4.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
36
Tablica 4. Maksimalna i minimalna proizvodnja šećerne paste
Maksimalna proizvodnja Minimalna proizvodnja
Izvor: Izradila studentica
Potrebno je razmotriti i ograničenja vezana uz radnu snagu. Poduzeće zapošljava jednu
radnicu, a mjesečni fond radnih sati iznosi 160 sati. U periodu travanj – lipanj poduzeće
treba angažirati još jednu radnicu (prodaje se više šećerne paste jer je ljeti veća
potražnja). Kapacitet se tada može povećati na 320 sati mjesečno. Svaki komad paste
zahtijeva 0,05 h. Ograničenja radnih sati sada su navedena u Tablici 5.
Tablica 5. Raspoloživ broj radnih sati
Mjesec Raspoloživ broj radnih sati
Siječanj
Veljača
Ožujak
Travanj
Svibanj
Lipanj
Izvor: Izradila studentica
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
37
4.2. Rješenje problema
Nakon što je postavljen matematički model pristupa se oblikovanju strukturnog modela
u sučelju proračunske tablice. Stukturni model postavljenog problema, vezan uz
funkciju cilja, tj. uz minimizaciju troškova proizvodnje, prikazuje tablica u
nastavku(Tablica 6.).
Strukturni model se oblikuje u proračunskoj tablici, tj. u programu Excel Solver. Kod
izračunavanja i obavljanja kvantitativne analize danas se koriste razni tabelarni
programi, no i dalje je najpopularnija proračunska tablica Excel (Vukmirović, Čapko,
2009, str.144).
Standardne proračunske tablice, koje rješavaju probleme kvantitativne analize, dodatno
su osnažene specijaliziranim alatima kako bi se proširile njihove mogućnosti. Takav alat
sastoji se od jednog ili više programa koji se izravno mogu dodati na proračunsku
tablicu. Kada se jednom pridodaju, mogu se koristiti kao integralni dio proračunske
tablice (Infosustav, 2009, str. 2).
Kod linearnog programiranja, najčešće korišteni programski razvojni alat, pridruženi
alat ugrađen u proračunske tablice, je upravo Solver. Solver je, dakle, dodatak
proračunskoj tablici Excel i služi kao alat za postizanje optimalnog ili najboljeg rješenja
promjenom više ulaznih podataka uz postavljanje ograničenja.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
38
Tablica 6. Postavljanje problema u Excel solveru
Izvor: Izradila studentica
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
39
Na temelju navedenog pokreće se aplikacija Solver unutar programa Excel Solver.
Definira se ciljna varijabla, mijenjajuće varijable te ograničenja(Slika 3.).
Slika 3. Unos podataka u računalni okvir
Izvor: Izradila studentica
U ovom primjeru se minimiziraju ukupni troškovi pa se odabire funkcija Equal to
Min.Od potrebnih dodatnih opcija modela u okviru Solver options odabiru se opcije
Assume Linear Model (koristi se linearno programiranje) i Assume Non – Negative (za
količine šećerne paste nije dozvoljena negativna vrijednost) (Slika 4.).
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
40
Slika 4. Dodatne opcije modela
Izvor: Izradila studentica
Kako bi se došlo do rezultata modela odabiru se opcije za prikaz modela optimizacije.
Odabiru se opcije Answer i Sensitivity koje prikazuje Izvješće o rješenju i Izvješće o
analizi osjetljivosti(Slika 5.).
Slika 5. Opcije za prikaz Izvješća
Izvor: Izradila studentica
Rezultat optimizacije ovog modela prikazuje se u nastavku (Tablica 7.).
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
41
Tablica 7. Rezultat minimizacije ukupnih troškova proizvodnje i zaliha
Izvor: Izradila studentica
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
42
Rješenja modela predstavljena su u Izvješću o rješenju (Slika 6.) i Izvješću o analizi
osjetljivosti (Slika 7.).
4.2.1. Izvješće o rješenju
Ovo izvješće uključuje rješenja varijabli, optimalnu vrijednost funkcije cilja te
iskorištenost ograničenja (Slika 6.).
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
43
Slika 6. Izvješće o rješenju
Izvor: Izradila studentica
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
44
Prema ovim rezultatima vidljivo je da optimalna vrijednost funkcije cilja, tj. minimalni
ukupni troškovi proizvodnje i zaliha iznose 68.869,00 kn. Ti troškovi se ostvaruju uz
proizvodnju od (po mjesecima):
Siječanj – 1500 komada
Veljača – 1500 komada
Ožujak – 1500 komada
Travanj – 1500 komada
Svibanj – 1500 komada
Lipanj – 1500 komada
Minimalni ukupni troškovi proizvodnje i zaliha se ostvaruju uz ovo stanje šećerne paste
na zalihama na kraju svakog mjeseca:
Siječanj – 2500 komada
Veljača – 2500 komada
Ožujak – 2200 komada
Travanj – 1700 komada
Svibanj – 1200 komada
Lipanj – 700 komada
Ovakvom optimalnom proizvodnjom dolazi se do toga da:
količina zaliha na kraju svakog mjeseca jednaka je količini koja odgovara
postavljenim ograničenjima vezanim uz zalihe na kraju razdoblja;
je ostvaren cilj menadžmenta kojim je zalihe na kraju šestog mjeseca trebalo
smanjiti na najviše 2100 komada. Model je pokazao da je optimalnom
proizvodnjom moguće smanjiti zalihe na čak 700 komada na kraju šestog
mjeseca, tj. da preostalih 1400 komada nije iskorišteno;
ograničeni skladišni prostor, koji može zaprimiti maksimalno 3200 komada
šećerne pastom, prema ovim rezultatima će zaprimiti 1500 komada šećerne paste
kroz svih šest mjesecu (siječanj-lipanj).
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
45
Broj šećerne paste od 1500 komada je jednak upravo minimalnom broju komada
koje poduzeće „Bella d.o.o.“ treba proizvoditi.
Nema potrebe da se zaposli nova radnica jer je za optimalnu proizvodnju
potrebno 75 sati rada. To odgovara tek dijelu fonda radnih sati koje mjesečno
obavi jedna radnica (max. 160 h).
4.2.2. Izvješće o analizi osjetljivosti
Pomoću analize osjetljivosti utvrđuje se osjetljivost optimalnog rješenja na promjenu
jednog parametra u funkciji cilja (OFC) ili jednog parametra na desnoj strani
ograničenja.
U nastavku se najprije objašnjava osjetljivost optimalnog rješenja na promjene
parametara u funkciji cilja, a rezultati su prikazani na slici u nastavku (Slika 7).
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
46
Slika 7. Izvješće o Analizi osjetljivosti
Izradila studentica
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
47
Raspon unutar kojeg se može kretati trošak proizvodnje po mjesecima, tako da i dalje
budu optimalane količine šećerne paste kreće se u ovim granicama (pod pretpostavkom
da se ostalo ne mijenja):
Za sječanj: 0 -neograničeno velikog iznosa;
Za veljaču: 0-neograničeno velikog iznosa;
Za ožujak: 0-neograničeno velikog iznosa;
Za travanj: 0 – neograničenog velikog iznosa;
Za svibanj: 0-neograničeno velikog iznosa;
Za lipanj: 0 – neograničeno velikog iznosa.
Raspon unutar kojeg se može kretati trošak zaliha po mjesecima, tako da i dalje budu
optimalne količine šećerne paste kreće se u ovim granicama (pod pretpostavkom da se
ostalo ne mijenja):
Za sječanj: 0-neograničeno velikog iznosa;
Za veljaču: 0-neograničeno velikog iznosa;
Za ožujak: 0-neograničeno velikog iznosa;
Za travanj: 0 – neograničeno velikom iznosa;
Za svibanj: 0 -neograničeno velikog iznosa;
Za lipanj: 0 -neograničeno velikog iznosa.
U nastavku se pojašnjavaju i rezultati vezani uz osjetljivost optimalnog rješenja na
promjene vektora slobodnih članova. Shadow price ili tzv „cijena u sjeni“ označava
veličinu promjene vrijednosti funkcije cilja za povećanje desne strane jednog
ograničenja za 1 jedinicu (marginalna vrijednost resursa), uz sve ostale parametre
nepromijenjene.
Dodatna šećerna pasta na zalihama na kraju siječnju dovodi do povećanja funkcije cilja,
odnosno do povećanja ukupnih troškova proizvodnje i zaliha za 0,53 kn, uz ostale
parametre nepromijenjene.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
48
Kod svih ostalih mjeseci dodatna šećerna pasta dovodi do smanjenja ukupnih troškova
proizvodnje i zaliha.Dakle, dualna vrijednost ograničenja vezano za zalihe na kraju
veljače je - 0,48 što znači da svaka dodatna šećerna pasta smanjuje ukupne troškove
proizvodnje i zaliha za 0,48 kn.
U preostalim mjesecima dualna cijena iznosi:
Za ožujak: - 0,42
Za travanj: - 0,32
Za svibanj: - 0,2
Za lipanj: - 0,1
Dualna cijena ovih ograničenja vezana za zalihe na kraju ožujaka, travnja, svibnja i
lipanja pokazuje da svaka dodatna šećerna pasta dovodi do smanjenja fukcije cilja,
odnosno do smanjenja ukupnih troškova proizvodnje i zaliha za 0,42 kn u ožujku, za
0,32 kn u travnju, za 0,2 kn u svibnju te za 0,1 kn u mjesecu lipnju, uz ostale parametre
nepromijenjene.
Intervali vrijednosti za desnu stranu pojedinog ograničenja unutar kojih dualna cijena
ostaje nepromijenjena jesu:
Zalihe na kraju siječnja (300 komada, 2400 komada)
Zalihe na kraju veljače (100 komada, 2200 komada)
Zalihe na kraju ožujka (400 komada, 2500 komada)
Zalihe na kraju travnja (600 komada, 2700 komada)
Zalihe na kraju svibnja (600 komada, 2700 komada)
Zalihe na kraju lipnja (600 komada, 2700 komada)
Broj radnih sati po mjesecima nema utjecaja na ukupne troškove proizvodnje i zaliha.
Dualna cijena ostaje 0 prilikom povećanja 1 sata rada zaposlenika, uz ostale parametre
nepromijenjene.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
49
5. ZAKLJUČAK
Donošenje poslovnih odluka danas nije nimalo lagan zadatak za menadžere poduzeća.
Situacija je posebno specifična kod proizvodnih poduzeća. Menadžeri na takvim
mjestima trebaju vrlo pažljivo razmotriti položaj u kojemu se poduzeće trenutno nalazi,
ali i položaj na kojemu će se poduzeće najvjerovatnije naći u budućnosti.
Turbulentna i nepredvidiva okolina ne dopušta menadžerima da se obrtni kapital
nepotrebno gomila u zalihama, a od svega je ipak najbitnije da se proizvodnja odvija u
okviru očekivanih troškova. S posebnom pažnjom treba pristupiti donošenju odluka u
proizvodnji, tj. kod donošenja odluka o količini proizvoda koje treba proizvesti, te o
načinu za podmirivanje troškova. Menadžeri se tada koriste različitim optimizacijskim
tehnikama s ciljem donošenja što boljih poslovnih odluka.
Također, upravljanje zalihama jedan je od važnih zadataka menadžera. Mnoga poduzeća
suočena su s problemima koji im otežavaju pronalaženje optimalne politike upravljanja
zalihama. Neki od problema su nemogućnost predviđanja potražnje, nesiguran proces
dobave, dugo vrijeme isporuke, kratko vrijeme potražnje za određenim proizvodima,
itd.
Zalihe predstavljaju raspoložive količine sirovina, materijala, rezervnih dijelova,
autoguma i ambalaže na određeni dan. Osnovni smisao zaliha je osiguranje nesmetanog
odvijaja procesa proizvodnje i poslovanja. Zalihe pomažu da se uskladi vremenska
neusklađenost od trenutka njihove nabave do trenutka njihova angažmana u proizvodnji
ili stavljanja na raspolaganje kupcu. Dakle, za poslovanje proizvodnja je od presudne
važnosti i treba biti osigurana, treba imati dovoljno proizvoda na skladištu.
U ovom radu je primjenom modela linearnog programiranja prikazano kako se
specificira model i pripremaju ulazni podaci. Prikupljeni su podaci o dogovorenoj
prodaji s poznatom drogerijom, maksimalno i minimalno mogućoj proizvodnji,
raspoloživom skladišnom prostoru, raspoloživom broju radnih sati itd.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
50
Prilikom oblikovanja matematičkog modela definirani su ciljevi koji se trebaju ostvariti:
Odrediti optimalne količine šećerne paste kroz šest mjeseci;
Smanjiti nepotrebno gomilanje zaliha, tj. omogućiti najviše 2100 komada
šećerne paste na skladištu krajem obračunskog razdoblja;
Provedbom postavljenog modela u Excel Solveru dolazi se do zanimljivih rezultata. Ti
rezultati pokazuju da minimalni ukupni troškovi proizvodnje za šest mjeseci iznose
68.869,00 kn, a oni se ostvaruju uz proizvodnju od 1500 komada šećerne paste kroz
prvih šest mjeseci poslovanja. Ova količina proizvodnje zadovoljana upavo minimalnu
proizvodnju poduzeća „Bella d.o.o.“ Osim toga poduzeće treba na zalihama imati
između 700 komada (lipanj) do maksimalno 2500 komada(siječanj, veljača.)
Upravo se navedenom proizvodnjom ostvaruju ciljevi menadžmenta, a to znači da nema
nepotrebnog viška zaliha na kraju mjeseca. Time se ostvaruje i cilj menadžmenta prema
kojemu se smanjuju zalihe krajem šestog mjeseca. Između ostalog, rezultati pokazuju da
nema potrebe za proširivanjem skladišnog prostora, ali i da nema potrebe za
zapošljavanjem nove radnice.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
51
LITERATURA
KNJIGE
Andrijić, S., 2002, Matematički modeli i metode programiranja u gospodarskom
društvu, 3. Izdanje, Synopis, Zagreb – Sarajevo
Babić, Z., 2010, Linearno programiranje, Sveučilište u Splitu, Ekonomski fakultet,
Split
Barković, D., 1997, Operacijska istraživanja, Ekonomski fakultet Osijek, Osijek
Biljan, S., 2008, Računovodstvo zaliha, EFRI, Rijeka
Brajdić, I., 2006, Modeli odlučivanja, Sveučilište u Rijeci, Hotelijerski fakultet Opatija,
Opatija
Crnjac Milić, D., Crnjac, M., 2013, Optimizacija proizvodnje kao podloga odlučivanju,
Elektrotehnički fakultet u Osijeku
Dalić, M., 1994, Interpretacija rezultata Linearnogprogramiranja za managere,
Ekonomski analitičar
Pavlović, I., 2005, Kvantitativni modeli i metode u poslovnom odlučivanju, Sveučilište
u Mostaru, Ekonomski fakultet, Mostar
Petrić, J., 1979, Operaciona istraživanja-knjiga prva, Savremena administracija,
Beograd,
Vukmirović, S., Čapko, Z., 2009, Informacijski sustavi u menadžerskom odlučivanju,
Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
52
INTERNET IZVORI
Autor neponat 1, 2008, Upravljanje zalihama, Logiko.hr, <http://www.logiko.hr/>
(11.09.2013.)
Autor nepoznat 2, 2008, Super-efikasno upravljanje zalihama, Super-king.hr,
<http://super-king.hr/hr/opce/upravljanje.html> (11.09.2013.)
Autor nepoznat 3, 2008, Upravljanje zalihama, FOI - Fakultet organizacije i
informatike,
<http://www.foi.unizg.hr/CMS_library/kolegij/ppo/prezentacije/Upravljanje_zalihama.p
df> (11.09.2013.)
Infosustav, 2009, Proračunske tablice i računalni alat Solver u matematičkom
modeliranju u rješavaju problema odlučivanja,
EFRI, <http://infosustav1.efri.tripod.com/poglavlje6.pdf> (01.09.2013.)
Mesarić, 2008, Upravljanje zalihama,
<http://oliver.efos.hr/nastavnici/jmesaric/org_rac_p7.pdf> (11.09.2013.)
Oblak i ostali, 2008, Model upravljanja zalihama u poduzeću za preradu drva i
proizvodnju namještaja, University of Ljubljana
<http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=33206> (11.09.2013.)
OSTALI IZVORI
Lovrić, Lj., (2009), Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje, Predavanja-
diplomski studij, Ekonomski fakultet u Rijeci, Rijeka
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
53
POPIS TABLICA
Broj Naziv tablice Stranica
1.
Početna simpleks tablica za
standardni problem
maksimuma
19.
2. Troškovi, prodaja i
proizvodnja 31.
3. Zalihe na kraju mjeseca –
ograničenja 35.
4. Maksimalna i minimalna
proizvodnja šećerne paste 36.
5. Raspoloživi broj radnih
sati 36..
6. Postavljanje primjera u
Excel Solveru 38.
7.
Rezultat minimizacije
ukupnih troškova
proizvodnje i zaliha
41.
POPIS SLIKA
Broj Naziv slike Stranica
1. Skup mogućih rješenja –
poliedar ABCDE 15.
2. Šećerna pasta „Pasta
strong“ 30.
3. Unos podataka u računalni
okvir 39.
4. Dodatne opcije modela 40.
5. Opcije za prikaz Izvješća 40.
6. Izvješće o rješenju 43.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
54
7. Izvješće o analizi
osjetljivosti 46.
POPIS GRAFIKONA
Broj Naziv grafikona Stranica
1. Optimalno rješenje
Linearnog programiranja 6.
2.
Faktori koji utječu na
troškove proizvodnje i
zaliha
29.
3. Ciljevi poduzeća „Bella
d.o.o.“ 33.
Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“
55
IZJAVA
kojom izjavljujem da sam diplomski rad s naslovom OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE
ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA D.O.O.“ izradila samostalno pod voditeljstvom
prof. dr. sc. Ljiljane Lovrić. U radu sam primijenila metodologiju znanstveno-
istraživačkog rada i koristila literaturu koja je navedena na kraju diplomskog rada. Tuđe
spoznaje, stavove, zaključke, teorije i zakonitosti koje sam izravno ili parafrazirajući
navela u diplomskom radu na uobičajen, standardan način citirala sam i povezala s
korištenim bibliografskim jedinicama. Rad je pisan u duhu hrvatskog jezika.
Također, izjavljujem da sam suglasna s objavom diplomskog rada na službenim
stranicama Fakulteta.
Studentica
Dunja Potkrajac