![Page 1: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/1.jpg)
Oscilações e
Ondas Mecânicas
![Page 2: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/2.jpg)
exemplos
![Page 3: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/3.jpg)
Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação.
Movimento Oscilatório
![Page 4: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/4.jpg)
Movimento Harmónico Simples
Quando um movimento se repete a si mesmo em intervalos de tempo regulares é chamado Movimento Harmónico Simples (MHS)
Frequência , f – número de oscilações completadas por unidade de tempo (Hz, s-1)
Período, T – tempo necessário para completar uma oscilação (s)
Amplitude – deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio produzido pela oscilação
fT
1
![Page 5: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/5.jpg)
Movimento Harmónico Simples Um caso particular de MHS
Onde ω corresponde à frequência angular,
txtx m cos
Tf
22
![Page 6: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/6.jpg)
Movimento Harmónico Simples Velocidade de uma partícula a oscilar será dada por:
txdt
tdxtv m sin
txtx m cos
![Page 7: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/7.jpg)
Movimento Harmónico Simples A sua aceleração será dada por:
txdt
xd
dt
tdvta m cos2
2
2
txta 2
Sempre que a aceleração de um objecto é proporcional ao seu deslocamento e é oposta à sua direcção, o objecto move-se com um MHS
txdt
tdxtv m sin
![Page 8: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/8.jpg)
txta m cos2
txtv m sin
txtx m cos
Movimento Harmónico Simples
![Page 9: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/9.jpg)
Exemplo: A função
dá-nos o MHS de uma partícula. Determine para t = 2.0 s:
1. o deslocamento;2. a velocidade;3. a aceleração;4. a fase;5. a frequência;6. e o período.
33cos0.6 ttx
![Page 10: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/10.jpg)
Movimento de um corpo preso a uma mola
Movimento Harmónico Simples
eFF
kxma
kxdt
xdm
2
2
02
2
xm
k
dt
xd
2
![Page 11: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/11.jpg)
002
2
xm
k
dt
xd
Movimento Harmónico Simples
Se a oscilação fosse na vertical
ge FFF
mgkxma
mgkxdt
xdm
2
2
gxm
k
dt
xd
2
2
![Page 12: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/12.jpg)
Dependência de ω: com a massa - depende com a amplitude – não depende
Movimento Harmónico Simples
![Page 13: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/13.jpg)
Energia Energia cinética
Energia Potencial
Energia Mecânica
Movimento Harmónico Simples
2
212
21 sin tAmmvEC
tkAEC22
21 sin
2
212
21 cos tAkkxEP
tkAEP22
21 cos
221 kAEEE PCM
![Page 14: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/14.jpg)
Movimento de um Pêndulo Simples
mas e
Movimento Harmónico Simples
TFF g
sinmgmat
sin2
2
gdt
sd
2
2
2
2
dt
dL
dt
sd sin
02
2
L
g
dt
d2
![Page 15: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/15.jpg)
Movimento de um Pêndulo Composto
mas
Movimento Harmónico Simples
FgMM
sin..mghI
sin..
2
2
mghdt
dI
15 sin
0.
2
2
I
mgh
dt
d2
mgh
IT 2
![Page 16: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/16.jpg)
Sobreposição de MHSIgual direcção e período
Movimento Harmónico Simples
11 cos tas 22 cos tbs
0cos tRs
10
22
cos
sinarctan
cos2
ba
b
abbaR
Interf. Construtiva
Interf. Parc. Destrutiva
![Page 17: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/17.jpg)
Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS
Igual direção e período diferente – mov. resultante não é MHS
a) T1/T2 = p/q (p,q, inteiros, primos) - o período do movimento resultante é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos períodos componentes.
b) T1/T2 = p/q (p é múltiplo inteiro de q) - o período do movimento resultante é igual ao maior dos períodos componentes.
c) T1/T2 = p/q (p próximo de q) - batimento - o período de batimento associado ao movimento resultante é Tb = (T1 x T2)/|T1 - T2|; a frequência de batimento é fb = |f2 - f1|, o período do movimento resultante é o m.m.c. dos períodos componentes.
![Page 18: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/18.jpg)
Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS
Direções perpendiculares (ortogonais) e mesmo período
a1) Δφ = 0 rad - a = b – a ≠ b –
a2) Δφ = π/2 rad - a = b – a ≠ b –
a3) Δφ = π rad - a = b – a ≠ b –
a4) Δφ = 3 π/2 rad - a = b – a ≠ b –
![Page 19: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/19.jpg)
Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS
Direcções perpendiculares (ortogonais) e períodos diferentes
se os períodos componentes são comensuráveis, o movimento resultante é periódico e seu período é o m.m.c. dos períodos componentes. As trajetórias são figuras particulares e denominam-se figuras de Lissajous.
![Page 20: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/20.jpg)
Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados
k1 ka k2m1 m2
x1x2
-k1x1
ka(x2-x1) -ka(x2-x1)
-k2x2
121121
2
1 xxkxkdt
xdm a 12222
22
2 xxkxkdt
xdm a 2
11
1
121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
12
22
22
22
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
2121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
1222
2
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
kkkmmm 2121 e se
![Page 21: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/21.jpg)
tAx cos1 tAx cos2
Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados
k1 ka k2m1 m2
x1 x2
tAx cos1
mk
Modos normais de oscilação
tAx cos2
em fase:
k1 ka k2m1 m2
x1x2
em oposição de fase:
m
kk a
![Page 22: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/22.jpg)
Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados – exemplos
moleculares
![Page 23: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/23.jpg)
Movimento Oscilatório Amortecidosuporte rígido
const. mola, k
massa, m
disco
amortecimento, λ
kxFe
vFa
vkxmaF
02
2
xm
k
dt
dx
mdt
xd
textx tm cos
2
2
4mm
k m2
![Page 24: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/24.jpg)
Movimento Oscilatório Forçadosuporte rígido
const. mola, k
massa, m
disco
amortecimento, λ
kxFe
vFa tFF fcos0
tFkxdt
dx
dt
xdm f cos02
2
tm
Fx
m
k
dt
dx
mdt
xdf
cos02
2
tm
Fx
dt
dx
dt
xdf cos2 02
02
2
fAx cos 22220
2
0
4 ff
mFA
f
f
2
tan20
2
![Page 25: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/25.jpg)
Movimento Oscilatório Forçado
fAx cos 22220
2
0
4 ff
mFA
f
f
2
tan20
2
quando
0 fmáximoARESSONÂNCIA
Tacoma Bridge
![Page 26: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/26.jpg)
Num MHS
Movimento Não Harmónico
202
1xxkEP
FxxkdxdEP 0 kdxEd P 22
m
dxEd
m
k P22
![Page 27: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/27.jpg)
Para um mov. não harmónico
Movimento Não Harmónico
...6
1
2
1 30
200 xxkxxkxExE PP
Teorema de Taylor
...6
1
2
1 30
0
3
32
0
0
2
2
00
0
xx
dx
fdxx
dx
fdxx
dx
dfxfxf
...6
1
2
1 30
0
3
32
0
0
2
2
00
0
xx
dx
Edxx
dx
Edxx
dx
dExExE PPP
PP
0 k k
![Page 28: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/28.jpg)
Movimento Não Harmónico
Para um mov. não harmónico Potencial de Lennard-Jones
12
0
6
00, 2
r
r
r
rEE PP
121 r
61 r
V
0r
0r
![Page 29: Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc12d497959413d8d2a12/html5/thumbnails/29.jpg)
Movimento nunca se repete a si mesmo
movimento caótico ≠ movimento desordenado
Movimento caótico pode apresentar uma estrutura bem definida e caracteriza-se por
ser extremamente sensível às suas condições iniciais
Oscilações Caóticas