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Refração Óptica
13-03-2008Departamento de Física
Professor:
Alejandro Pedro Ayala
Óptica Refração
Tópicos
ReflexãoÍndice de Tópicos
Índice de Tópicos:
Leis da reflexão e da refração
Princípio de Fermat
Princípio de Huygens
Exemplos
Reflexão interna total
Equações de Fresnel
Pág. 2
Óptica Refração
Tópicos
Refração numa interface
Pág. 3
Leis da reflexão e da refração
Óptica Refração
Tópicos
Freqüência entre meios Quando a luz que viaja de um meio a outro a freqüência se mantém constante:
– Os frentes de onda não podem ser empilhados, nem criados ou destruídos, então f deve ser a mesma.
– A velocidade e o comprimento de onda devem mudar.
1
2
2
1
2
1
2
1
//
nn
ncnc
vv
===λλ
21 ff =2
2
1
1
λλvv
=
Pág. 4
Leis da reflexão e da refração
Óptica Refração
Tópicos
Alguns índices de refração
Pág. 5
Leis da reflexão e da refração
Óptica Refração
Tópicos
Raios refletidos e refratados
1 Raio incidente2 Raio refletido3 Raio refratado do ar para
o vidro4 Raio refletido
internamente5 Raio refratado do vidro
para o ar.
Pág. 6
Leis da reflexão e da refração
Óptica Refração
Tópicos
Leis da reflexão e da refração
Pág. 7
Leis da reflexão 1ª lei - os raios incidente e refletido e a normal à
superfície, estão no mesmo plano (plano de incidência) 2ª lei - os ângulos de incidência e reflexão são iguais
Leis da refração1ª lei - os raios incidente, refratado e a normal à
superfície de separação dos meios, estão no mesmo plano (plano de incidência)
2ª lei - os ângulos de incidência e de refração estão relacionados por:
2211 θθ sennsenn ⋅=⋅
As leis da reflexão e refração foram estabelecidas empiricamente:
(Em que n1 e n2 são os índices de refração dos meios de incidência e transmissão respectivamente)
Leis da reflexão e da refração
Óptica Refração
Tópicos Pág. 8
Leis da reflexão e da refração
Óptica Refração
Tópicos
Refração e o princípio de Fermat
Pág. 9
No caso da refração a velocidade, não é a mesma antes e depois da interface... o “princípio de tempo mínimo” não leva ao “princípio de caminho geométrico mínimo”
Princípio de Fermat
Óptica Refração
Tópicos
Refração e o princípio de Fermat
Pág. 10
O tempo de trânsito da luz de A para B é dado por :
( )222 2
AB AP PBi r
d b xd xt t tv v
+ −+= + = + =
( )222 2
i r
d b xd xv v
+ −+= +
pelo princípio de Fermat a distância x deverá ser tal que o tempo entre A e B seja mínimo, ou seja :
0=∂∂
xtAB
Princípio de Fermat
Óptica Refração
Tópicos Pág. 11
( )( )2 2 22
1 1 0AB
i r
b xt xx v vd x d b x
− −∂= ⋅ + ⋅ =
∂ + + −
O termo entre parêntesis tem de ser nulo…… e pela definição de seno:
1 1i r
i r
sen senv v
θ θ⋅ = ⋅
Princípio de Fermat
… multiplicando ambos lados por c obtemos a lei de Snell-Descartes
Assim:
Princípio de Fermat
UA 3
i i r rn sen n senθ θ⋅ = ⋅
Óptica Refração
Tópicos
Caminho óptico
Pág. 12
O conceito de caminho óptico, CO, é consequência do princípio de Fermat:
O tempo total t, é o que a luz leva de O a I, ... atravessando os meios de índices de refracção ni, ... às velocidade vi
... percorrendo em cada meio no tempo ti
... e os espaços si
∑=
=+++=m
i i
i
m
m
vs
vs
vs
vst
12
2
1
1 .....
1 1
1 m m
i i i ii i
t n s CO n s t cc = =
= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅∑ ∑
t, é
Princípio de Fermat
Óptica Refração
Tópicos Pág. 13
CO – Caminho Óptico, é o espaço que a luz percorreria no vácuo, no tempo t, em que vai de O a I através
dos meios envolvidos
O princípio de Fermat pode enunciar-se agora, dizendo que a luz no percurso entre dois pontos descreve o caminho que minimiza o percurso óptico.
Se vários caminhos são possíveis no percurso entre dois pontos então, eles têm o mesmo caminho óptico e levam no percurso todos o mesmo tempo.
( na última expressão, tempo mínimo equivale a CO mínimo)
Princípio de Fermat
Óptica Refração
Tópicos
Princípio de Huygens
Pág. 14
Princípio de Huygens
Óptica Refração
Tópicos
Princípio de Huygens
b
a
AB v tQO v t
=
=a
b
vQOAB v
=
Pela figura vemos que:
a
b
QOsenAOABsenAO
θ
θ
=
=
a a
b b
sen vQOsen AB v
θθ
= =
Como n1 = c / v1 e n2 = c / v2
1 1 2 2sen n sen nθ θ=
Num certo intervalo de tempo t, a onda se desloca de AQ até BO
O trecho AB é percorrido no meio b, com velocidade vb e o trecho QO é percorrido no meio
a, com velocidade va. Então:
Princípio de Huygens
Pág. 15
Óptica Refração
Tópicos
Exemplos
Pág. 16
Óptica Refração
Tópicos
Quando um feixe de brilha na superfície do rio a 2.4 m do píer, ele está incidindo numa moeda que está a 5.5 m de profundidade. Sabendo que o laser está a 1.8 m sob a superfície, ache a distância horizontal x. .
1 1
Do triângulo superior temos:2,4tan 53,11,8
θ θ= ⇒ =
1 2 2
A partir da lei de Snell:1 sin 1,33 sin 37,0θ θ θ⋅ = ⋅ ⇒ =
2
Finalmente, considerando o triângulo inferior temos que:
tan 4,145,5x x mθ = ⇒ =
Exemplos
Pág. 17
Óptica Refração
Tópicos
Superfície refratora planaA imagem formada por uma superfície refratora plana está do mesmo lado da superfície que o objeto
– A imagem é virtual– A imagem se forma entre o objeto e a
superfície
11 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
| | tantan tan
| | tan
Na aproximação paraxial:tan sin for 1
sin sintan tan
p Lp q
q L
n n n np q p q
n np q
θθ θ
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θθ θ θ θ
= ⎫⇒ =⎬= ⎭
≈ ≈ <<
= ⇒ =
= ⇒ =
∴ =
n1
p= −
n2
q⇒ q = − n2
n1
p
θ1θ2 L
Exemplos
Pág. 18
Óptica Refração
Tópicos
Quando a luz passa através de uma placa de faces paralelas é refratado duas vezes:
– Na direção da normal na primeira interface
– Afastando‐se da normal na segunda interface
De acordo com a lei de Snell:
Como conseqüência:
Placa de faces paralelas
1 1 2 2 2 2 1 3sin sin e sin sinn n n nθ θ θ θ= =
1 3θ θ=
t
d
L
O deslocamento do feixe pode ser calculado considerando que:
1 22
sin( ) e cos
td L Lθ θθ
= − = ⇒ 1 2
2
sin( )cos
td θ θθ−
=
Exemplos
Pág. 19
Óptica Refração
Tópicos
m
n
α
α
O prisma da figura possui um índice de refração de 1,66, e os ângulos A são de 25,0o . Dois feixes paralelos de luz m e n entram no prisma. Ache o ângulo entre os raios que emergem do prisma.
( )12sin 1.66sin 25.0 50 39.2δ −= − =
δ
Pela a lei de Snell: sin sin rn α θ=θi
θr
Comparando os triângulos: iθ α=
( )2 2 2rπ δ π θ α= + − +
( ) ( )( )12 2 sin sinr nδ θ α α α−= − = −
Usando os dados do problema:
Exemplos
Pág. 20
Óptica Refração
Tópicos Pág. 21
Reflexão interna total
Óptica Refração
Tópicos
Divisão da energia nas interfaces
Reflexão e refracção parciais da luz, numa reflexão externa, em que n2> n1 e o raio transmitido se aproxima da normal, pela aplicação da lei de Snell
... a fracção de energia transportada em cada uma das ondas reflectida e refractada... é determinada pelas equações de Fresnel
Na superfície de separação entre dois meios a radiação pode ser reflectida, refractada ou sofrer ambos os processos
UA 3
Pág. 22
Reflexão interna total
Óptica Refração
Tópicos
Divisão da energia nas interfaces
Reflexão interna em que n1< n2... Observa-se refracção parcial em que o raio
transmitido se afasta da normal
º902 sensenn c =⋅ θ
csenn
θ1
2 =
... este fenómeno é importante em aplicações como, guias de onda e fibras ópticas
... o ângulo de incidência correspondente à refracção de 90º , a partir do qual se extingue o raio refractado, chama-se ângulo crítico, θc
…quando o meio 1 é o ar:
A relação entre o índice de refracção do meio mais denso e o ângulo crítico é:
Pág. 23
Reflexão interna total
Óptica Refração
Tópicos
Retrovisor de carro dia/noite
• Com a orientação para o dia, o raio mais intenso é refletido para os olhos do motorista.
• Na configuração da noite, o raio tênue (D) é refletido para os olhos do motorista, entanto que o raio intenso é refratado numa outra direção.
Pág. 24
Equações de Fresnel
Óptica Refração
Tópicos
As equações de Fresnel são deduzidas para os dois casos de polarizações normal e paralela independentemente.
Pág. 25
Equações de Fresnel
Óptica Refração
Tópicos
Refletância e Transmitância para uma interface Ar‐Vidro
Note that R + T = 1
Perpendicular polarization
Incidence angle, θi
1.0
.5
00° 30° 60° 90°
R
T
Parallel polarization
Incidence angle, θi
1.0
.5
00° 30° 60° 90°
R
T
Pág. 26
Equações de Fresnel
Óptica Refração
Tópicos
Refletância e Transmitância para uma interface Vidro‐Ar
Note that R + T = 1
Perpendicular polarization
Incidence angle, θi
1.0
.5
00° 30° 60° 90°
R
T
Parallel polarization
Incidence angle, θi
1.0
.5
00° 30° 60° 90°
R
T
Pág. 27
Equações de Fresnel
Óptica Refração
Tópicos
Incidência normal à superfíciePara incidência normal (θi = 0),
No caso da interface ar‐vidro (ni = 1 e nt = 1.5),
R = 4% e T = 96%
Os valores são os mesmos independentemente da direção na que a luz viaje , isto é, ar‐vidro ou vidro‐ar.
2
t i
t i
n nRn n
⎛ ⎞−=⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( )2
4 t i
t i
n nT
n n=
+
Pág. 28
Equações de Fresnel
Óptica Refração
Tópicos
Ângulo de Brewster
A luz refletida está completamente polarizada quando o feixe refletido e o refratado são perpendiculares. A direção de polarização é paralela à superfície refletora.
Ar/Vidro: θB= 56,3o
( )1 2
2
1
sin sin 2
tan
B B
B
n nnn
θ π θ
θ
= −
=
Pág. 29
Equações de Fresnel
Óptica Refração
Tópicos
Ângulo de Brewster
Ângulo de Brewster para a interface ar‐vidro: 56oSem polarizador Com polarizador
Pág. 30
Equações de Fresnel
Óptica Refração
Tópicos
A transmissão na primeira interface é( )2
4 t i
t i
n nT
n n=
+
Pág. 31
Equações de Fresnel
Um feixe de luz incide perpendicularmente num placa de diamante de faces paralelas rodeada de ar. Ache a fração de luz transmitida considerando a luz refletida nas paredes da placa para o interior da mesma.
Considerando as sucessivas reflexões‐refrações:
( ) ( ) ( )2 4 62 2 2 21 1 1tT T T T T T T T= + − + − + − +
Como T < 1: ( )
2
21 1tTT
T=
− −
No caso da placa de diamante, n= 2,419 → T=0,828 e Tt = 0,706
Óptica Refração
Tópicos
Fibras ópticas
Pág. 32
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
Prismas refletores
Pág. 33
Aplicações
Na interface vidro‐ar : θc = 41.1o
Óptica Refração
Tópicos
Prismas refletores
Pág. 34
Aplicações
Prisma de Abbe‐KoenigPrisma de Porro‐Abbe
Prisma de Topo Prisma de Amici
Prisma de Schmidt‐Pechan
Prisma de Dove
Óptica Refração
Tópicos
Prismas dispersivos
Pág. 35
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
Halita ‐ NaCl(opticamente isotrópico)
Calcita(opticamenteanisotrópico)
Calcita entre dos polarizadores perpendiculares.
Birrefringência
Pág. 36
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
Prismas dispersivos
( ) 2 4 6
B C Dn Aλλ λ λ
= + + + +
Óptica Refração
Tópicos
Prismas de desviação constante
Pág. 38
Aplicações
Prisma de AbbePrisma de Pellin‐Broca
Óptica Refração
Tópicos
Ângulo de desvio mínima
• O ângulo de desvio está dado por:
• Note que:
• Como conseqüência:
Pág. 39
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
Ângulo de desvio mínima
• O ângulo de desvio está dado por:
• A condição para desvio mínimo é:
• Aplicando a lei de Snell:
Pág. 40
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
Ângulo de desvio mínima
• A condição de desvio mínimo é:
• Devido a isto:
• Finalmente:
Pág. 41
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
O
d
S
P
Q
Um raio luminoso incide sobre o plano equatorial de uma esfera transparente de raio R e índice de refração n com um ângulo de incidência i. Calcular a distancia d medida desde o centro da esfera até o ponto S onde o raio refratado corta ao eixo do sistema.
i
R
Pág. 42
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
i
rir
P
Q
O
180‐ii α β
r21800 −=θ
iri −=−−= 2180 0θα
d
S
)(2)180(180 rii −=−−−= αβ
βsen)180sen(R
id
=−
Teorema do seno:
R
O triângulo OPQ é isósceles porque as distâncias OP y OQ são iguais ao raio R da esfera
θ0
)(2sensen)180sen(
sen riiRiRd−
⋅=−⋅=
β
Dado o índice de refração n, o ângulo r se calcula pela lei de Snell:
rni sensen ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
nir sensen 1
Óptica Refração
Tópicos Pág. 44
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
Características de um diamante
Brilho
Clivagem
Fogo
Pág. 45
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
Clivagem
Pág. 46
Aplicações
Óptica Refração
Tópicos
O brilho dos diamantes
Para um raio que incide perpendicular a uma interface:
21 2
21 2
(n n )Intensity of reflected beamIntensity of incident beam (n n )
R −= =
+
Vidro – n2 = 1.5, 0.04R =
Diamante – n2 = 2.4, 0.17R =
Se o meio de incidência for ar (n1=1) :
Pág. 47
Aplicações
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Tópicos Pág. 48
Aplicações