Sistemas estrati�cantes sobre álgebras
hereditárias
Paula Andrea Cadavid Salazar
TESE APRESENTADA
AO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
PARA
OBTENÇÃO DO TÍTULO
DE
DOUTOR EM CIÊNCIAS
Programa: Matemática
Orientador: Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio �nanceiro da
CAPES e do CNPq
São Paulo, 5 de agosto de 2013
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras
hereditárias
Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas
pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do
trabalho, realizada em 14/11/2012. Uma cópia da versão original
está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da
Universidade de São Paulo.
Comissão Julgadora:
• Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos (orientador) - IME-USP
• Profa. Dra. Maria Izabel Ramalho Martins - IME-USP
• Prof. Dr. Edson Ribeiro Alvares - UFPR
• Prof. Dr. Marcelo Americo Lanzilotta Mernies - Universidad de la República
• Prof. Dr. Viktor Vekkert - UFMG
A Luisa y a Pablo
Agradecimentos
Ao meu orientador Eduardo do Nascimento Marcos pela con�ança e apoio durante esses
anos. Sem ele este trabalho não teria sido possível.
À professora Maria Izabel Ramalho Martins por todo o tempo dedicado a me escutar, ler e
corregir este trabalho.
Muito especialmente ao professor Marcelo Lanzilotta pela hospitalidade e atenção dispensada
durante minhas visitas à Universidad de la República.
Ao professor Flavio Ulhoa Coelho pelas suas sugestões que ajudaram a melhorar este traba-
lho.
Ao meu colega Franciso Medeiros pelas discussões que esclareceram algumas das minhas
dúvidas.
A minha família: Pablo e Luisa.
A meus queridos amigos Natalia, Sandro, Sandra, Cristian, Luana, Alejandra R., Javier e
Alejanndra A.
Ao CNPq e a Capes, pelo apoio �nanceiro.
i
Resumo
O principal tema deste trabalho é o estudo dos sistemas estrati�cantes sobre álgebras he-
reditárias. Um dos principais problemas é a construção de sistemas estrati�cantes completos
cujos elementos sejam todos módulos regulares, sendo este problema resolvido para álgebras
hereditárias do tipo mansa e as álgebras de Kronecker generalizadas.
Para as álgebras hereditárias de tipo mansa exibimos um limitante para o tamanho dos
sistemas estrati�cantes formados só de módulos regulares e, usando tal limitante, concluímos que
não é possível que tais sistemas estrati�cantes sejam completos. Para as álgebras de Kronecker e
as álgebras de Kronecker generalizadas concluimos que nenhum sistema estrati�cante sobre esta
álgebra pode ter elementos regulares e construímos todos os possíveis sistemas estrati�cantes
completos sobre esta álgebra.
De�nimos o conceito de sequência especial de um módulo inclinante, estabelecemos que todo
módulo inclinante tem uma sequência especial e estudamos quando uma sequência, de dois e
três somandos diretos de um módulo inclinante, é uma sequência especial.
Palavras-chave: Sistema estrati�cante, álgebra hereditária, módulo inclinante, sequência
excepcional.
iii
Abstract
The main topic of this work is the study of stratifying systems over hereditary algebras. One
of the main questions to be considered is the construction of complete stratifying systems whose
elements are regular modules. We solve this problem for tame hereditary algebras and for the
Kronecker generalized algebras.
In the case of tame hereditary algebras, we obtain a bound for the size of the stratifying
systems composed only by regular modules and, by using this bound, we conclude that such
stratifying systems can not be complete. For the Kronecker and for Kronecker the generalized
algebras we conclude that no strati�ng system over this algebra can have regular elements. Next
we construct all possible complete stratifying systems over this algebra.
Furthermore, we de�ne the notion of special sequence of a tilting module and we establish
that all tilting modules have an special ordenation. Also we study when an sequence of two and
three direct summands of an tilting module, is a special ordenation.
Keywords: stratifying systems, hereditary algebra, tilting module, exceptional sequence.
v
Sumário
1 Preliminares 1
1.1 Carcases e álgebras de caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Representações e módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Sequências de Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Os funtores de translação τ e τ−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Sobre o grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Sobre álgebras hereditárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Sobre tubos estáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias 23
2.1 Sistemas estrati�cantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Módulos estândares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Sequências excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias eu-
clidianas 43
3.1 Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas 43
3.2 Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q) . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias 75
Referências Bibliográ�cas 89
Referências Bibliográ�cas 89
Índice Remissivo 91
vii
Introdução
Os sistemas estrati�cantes foram introduzidos, em [7], por K. Erdmann e C. Sáenz, como
uma generalização dos módulos estândares. Em [7], os autores mostram que para um sistema es-
trati�cante θ a categoria F(θ), dos módulos �ltrados por θ, é equivalente à categoria dos módulos
�ltrados pelos módulos estândares sobre uma álgebra estandarmente estrati�cada apropriada.
Além disso, mostram que a categoria F(θ) gera um módulo tal que seu anel de endomor�smos
é uma álgebra estandarmente estrati�cada.
Em [10, 11], E. Marcos, O. Mendoza e C. Sáenz, introduzem os sistemas estrati�cantes via
módulos relativamente projetivos e os sistemas estrati�cantes via módulos relativamente simples,
respectivamente, e mostram que as três noções de sistema estrati�cante são equivalentes. Em
[12], os mesmos autores, encontraram um limitante para a dimensão �nitística de uma álgebra
estandarmente estrati�cada usando a teoria dos sistemas estrati�cantes.
Por outro lado, em [13], E. Marcos, O. Mendoza, C. Sáenz e R. Zuazua, introduzem a
forma quadrática qθ, que depende de um sistema estrati�cante θ, usando-a para estabelecer uma
condição, su�ciente e necessária, para que a categoria F(θ) seja �nita.
Nosso objetivo é estudar sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias. Neste traba-
lho, mostramos que existe uma relação estreita entre os sistemas estrati�cantes e os módulos
inclinantes. Usando esta relação obtemos um limitante para o tamanho destes, e deste modo
introduzimos a noção de sistemas estrati�cantes completos.
Uma questão de interesse é a existência de um sistema estrati�cante completo formado
somente de módulos regulares. Se A = KQ, onde Q é um carcás acíclico e conexo, então se Q
for um diagrama de Dynkin ou um diagrama euclidiano, a resposta é não. Mesma resposta vale
se A for uma álgebra de Kronecker ou uma álgebra de Kronecker generalizada.
Por outro lado, o conceito de sequência exepcional foi introduzido por Gordentsev e Rudakov,
em [9], com o intuito de estudar �brados vetoriais sobre P2. Tais sequências tem sido usadas por
vários autores no estudo das categorias derivadas de variedades algebraicas (ver por exemplo
[4, 16]). Crawely-Boevey considerou a noção correspondente no contexto das representações de
um carcás e, em [6], demonstrou que se K é um corpo algebricamente fechado e A é uma K-
álgebra hereditária, existe uma ação transitiva do grupo de tranças gerado por s− 1 elementos
sobre o conjunto de sequências excepcionais completas de tamanho s. Depois Ringel, em [14],
mostrou que o mesmo resultado vale se A for uma álgebra de Artin qualquer.
Usando o fato de que, sobre uma álgebra hereditária, as noções de sistema estrati�cante e
sequência excepcional são equivalentes e os resultados de [6], calculamos explicitamente todos os
sistemas estrati�cantes completos sobre uma álgebra de Kronecker (ou Kronecker generalizada)
e construímos uma família de sistemas estrati�cantes completos com um número maximal de
ix
elementos regulares sobre a álgebra canônica 4(Ap,q).A tese está organizada da seguinte forma: o Capítulo 1, destina-se à revisão de conceitos,
de�nições, teoremas e notações usadas na teoria de representações de álgebras. Também tratamos
das álgebras hereditárias e algumas das suas propriedades. Finalmente, de�nimos alguns tipos
de componentes no carcás de Auslander-Reiten que serão usadas no Capítulo 3.
No Capítulo 2, de�nimos os sistemas estrati�cantes e descrevemos algumas das suas pro-
priedades. De�nimos também o conjunto dos módulos estândares, as álgebras estandarmente
estrati�cadas e uma classe particular delas: as álgebras quase-hereditárias. Além disso, usando
o grupo de Grothendieck para um sistema estrati�cante, fazemos uma demonstração simples de
que uma álgebra estandarmente estrati�cada é quase-hereditária se, e somente se, tem dimensão
global �nita. Estabelecemos uma relação entre os sistemas estrati�cantes sobre álgebras heredi-
tárias e os módulos inclinantes e, usando tal relação, encontramos um limitante para o tamanho
destes. Introduzimos o conceito de sequência especial para um módulo. Também, usamos resul-
tados em [6], para calcular especi�camente todos os sistemas estrati�cantes completos sobre a
álgebra de Kronecker e sobre as álgebras de Kronecker generalizadas.
No Capítulo 3, demonstramos que não é possível construir um sistema estrati�cante com-
pleto cujos elementos sejam módulos regulares e encontramos um limitante para o tamanho de
um sistema estrati�cante com tais características. Mais ainda, mostramos que não é possível
construir tal sistema estrati�cante em um tipo mais geral de álgebras: as álgebras disfarçadas de
tipo euclideano. Construímos uma família de sistemas estrati�cantes completos com um número
maximal de elementos regulares sobre a álgebra canônica 4(Ap,q).Finalmente, no Capítulo 4, mostramos que dado um módulo inclinante parcial básico sobre
uma álgebra hereditária existe uma sequência especial de seus somandos diretos. Depois, encon-
tramos condições su�cientes e necessárias para que uma sequência de dois módulos seja uma
sequência especial. Por último, tratamos o caso de uma sequência de três módulos.
x
Capítulo 1
Preliminares
Vale enfatizar que ao longo deste texto a palavra álgebra signi�ca álgebra associativa, com 1
e de dimensão �nita sobre um corpo algebricamente fechado. Alguns dos resultados mencionados
neste trabalho valem num contexto mais geral, mas por simplicidade vamos nos restringir a este.
Faremos aqui uma breve descrição das noções de álgebras associativas de dimensão �nita que
utilizaremos ao longo desta tese. Para consultar detalhes citamos aos Capítulos I, II, III, VII,
VIII e o Apêndice A de [2] assim como o Cap. XIII em [17].
Se A é uma K-álgebra de dimensão �nita, então o módulo AA admite uma decomposição da
forma
A = P1 ⊕ P2 ⊕ . . .⊕ Pn,
onde cada Pi = eiA é um A-módulo projetivo indecomponível e e1, e2, . . . , en são idempotentes
primitivos, dois a dois ortogonais, e tais que 1 = e1 + e2 + · · ·+ en. O conjunto {e1, e2, · · · , en}é chamado de um conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonais.
Dizemos que A é uma álgebra básica se eiA � ejA, quando i 6= j, para todo i, j = 1, . . . , n.
Além disso dizemos que A é conexa (ou indecomponível) se não pode ser decomposta como
soma direta de duas álgebras, ou equivalentemente, se 0 e 1 são seus únicos idempotentes centrais.
Denotamos por Mod A a categoria cujos objetos são os A-módulos à direita e cujos mor�smos
são os homomor�smos de A-módulos e por modA a subcategoria plena de ModA cujos objetos
são os A-módulos �nitamente gerados.
O principal objetivo na teoria de representações de álgebras é o estudo das categorias de
módulos. Mas, sem perda de generalidade, podemos estudar as categorias de módulos sobre
álgebras básicas. Isto devido a que, como consequência dos Teoremas de Morita, se uma K-
álgebra A é de dimensão �nita então existe uma K-álgebra B básica tal que mod A e mod B
são equivalentes.
1
Preliminares
1.1 Carcases e álgebras de caminho
Seja A uma álgebra de dimensão �nita e básica sobre um corpo algebricamente fechado.
Nesta seção daremos uma caracterização de A em termos de estruturas chamadas carcases.
Para isto, começaremos de�nindo carcases, veremos como se podem construir álgebras a par-
tir deles e para �nalizar enunciaremos o Teorema de Gabriel, que proporciona a caracterização
mencionada acima. A prova de tal teorema pode ser vista no Capítulo II de [2].
Um carcás é uma quádruplaQ = (Q0, Q1, c, f) formada de dois conjuntosQ0 (cujos elementos
chamamos vértices) e Q1 (cujos elementos chamamos �echas), e duas funções c : Q1 → Q0 e
f : Q1 → Q0.
Dada uma �echa α ∈ Q1, se c(α) = a e f(α) = b dizemos que o começo de α é a e que o
�nal de α é b. Denotamos esta situação por α : a → b. O carcás Q = (Q0, Q1, c, f) pode ser
denotado por Q = (Q0, Q1) ou simplesmente por Q.
Dizemos que Q = (Q0, Q1) é �nito se os conjuntos Q0 e Q1 são �nitos. Todos os carcases
que consideraremos aqui serão �nitos, exceto o carcás de Auslander-Reiten que de�niremos na
seção 1.4.
O grafo subjacente Q do carcás Q é um grafo obtido de Q sem considerar a orientação
das �echas, isto é, Q é um grafo com os mesmos vértices de Q e tal que existe uma aresta entre
os vértices a e b em Q se existe uma �echa α : a → b ou uma �echa β : b → a. Dizemos que o
carcás Q é conexo se o grafo subjacente Q é conexo. Sejam Q = (Q0, Q1, c, f) e a, b ∈ Q0. Um
caminho de comprimento ` ≥ 1 com começo em a e �nal em b (ou simplesmente de a para b)
é uma sequência
(a|α1, α2, . . . , α`|b)
onde αk ∈ Q1, para 1 ≤ k ≤ `, c(α1) = a, f(αk) = c(αk+1), para cada 1 ≤ k ≤ ` − 1, e
f(α`) = b. Denotamos tal caminho por α1α2 . . . α`. Além disso, a cada vértice a ∈ Q0 associamos
um caminho de comprimento ` = 0 que chamamos caminho trivial e que denotamos por εa ou
por (a||a).
Um caminho de comprimento ` ≥ 1 é chamado ciclo quando seu começo e seu �nal coincidem.
Um carcás que não contém ciclos é chamado de acíclico.
Dados um carcás Q e um corpo K uma álgebra de caminhos KQ é uma K-álgebra cujo
K-espaço vetorial subjacente tem como base o conjunto de todos os caminhos de comprimento
` ≥ 0 em Q.
A seguir de�nimos o produto em KQ nos elementos da sua base. Se γ1 = (a|α1, α2, . . . , α`|b)e γ2 = (c|β1, β2, . . . , βk|d), então
γ1γ2 =
{(a|α1, α2, . . . , α`, β1, β2, . . . , βk|d), se b = c
0, caso contrário.
2
Representações e módulos
Tal produto é estendido por linearidade para qualquer elemento de KQ.
Uma relação em Q é uma combinação K-linear de caminhos, de comprimento maior do que
um, que tem o mesmo início e o mesmo �nal. Isto é, uma relação ρ é um elemento de KQ da
forma
ρ =m∑i=1
λiωi,
onde λi ∈ K (não todos nulos), `(ωi) > 1 para i = 1, . . . ,m, e existem a, b ∈ Q0 tais que
c(ωi) = a e f(ωi) = b para i = 1, . . . ,m.
Sejam Q um carcás �nito e R o ideal de KQ gerado pelas �echas de Q. Dizemos que um
ideal bilateral I de KQ é admissível se existe um inteiro m ≥ 2, tal que
Rm ⊆ I ⊆ R2.
É conhecido que se Q é �nito e I é um ideal admissível de KQ, então existe um conjunto �nito
de relações {ρ1, ρ2, . . . , ρs} tais que I = 〈ρ1, ρ2, . . . , ρs〉. O par (Q, I) é chamado carcás com
relações ou carcás limitado e a álgebra quociente KQ/I associada ao par (Q, I) é chamada de
álgebra de caminhos do carcás com relações (Q, I).
Até aqui dado um carcás Q de�nimos a álgebra KQ a partir de Q. Agora, assumindo que
A é uma K-álgebra de dimensão �nita, básica e K um corpo algebricamente fechado vamos
construir o carcás QA a partir de A e veremos de que forma A e KQA estão relacionadas.
Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra básica com dimK A < ∞, e
{e1, e2, . . . , en} um conjunto completo de idempotentes ortogonais primitivos. O carcás ordi-
nário de A, que denotaremos por QA, é de�nido da seguinte forma:
1. Os vértices de QA são v1, v2, . . . , vn que estão em correspondência bijetora com os idem-
potentes e1, e2, . . . , en.
2. Dados dois vértices vi e vj em (QA)0, �xamos uma base para o K-espaço vetorial
ei(radA/rad2A)ej .
As �echas α : vi → vj estão em correspondência bijetora com os vetores de tal base.
A seguir enunciamos o Teorema de Gabriel que estabelece uma relação entre álgebras e seus
carcases.
Teorema de Gabriel I 1.1.1. Seja A uma K-álgebra básica e conexa de dimensão �nita,
onde K é um corpo algebricamente fechado. Então existe um ideal admissível I de KQA tal que
A ∼= KQA/I. Além disso, se ψ : KQ→ A é um epimor�smo de K-álgebras tal que Nucψ é um
ideal admissível de KQA então Q = QA. �
Um epimor�smo como no teorema acima se chama uma apresentação de A.
3
Preliminares
1.2 Representações e módulos
Na seção anterior, vimos como algumas álgebras podem ser descritas em termos de carcases
com relações. Agora vamos visualizar as representações de uma álgebra, isto é, os seus módulos,
através do correspondente carcás com relações. Todos os conceitos aqui apresentados podem ser
encontrados no Capítulo III de [2].
Ao longo desta seção assumimos que A é uma K-álgebra de dimensão �nita, básica e K um
corpo algebricamente fechado e consideraremos em todos os casos carcases �nitos.
Seja Q um carcás �nito. De�nimos uma representação K-linear ou, simplesmente, uma
representação M do carcás Q da seguinte forma:
1. Para cada vértice a ∈ Q0 associamos um K-espaço vetorial Ma.
2. Para cada �echa α : a→ b em Q1 associamos uma aplicação K-linear ϕα : Ma→Mb.
Denotamos tal representação como M = (Ma, ϕα)a∈Q0,α∈Q1 , ou simplesmente como M =
(Ma, ϕα); e dizemos que é de dimensão �nita se cada espaço vetorial Ma é de dimensão �nita.
Sejam M = (Ma, ϕα) e M ′ = (M ′a, ϕ′α) duas representações K-lineares de Q. Um mor�smo
(de representações) f : M→M ′ é uma família f = (fa)a∈Q0 de K-aplicações lineares fa :
Ma→M ′a, as quais são compatíveis com as aplicações ϕα. Isto é, para cada �echa α : a→ b, vale
que
ϕ′αfa = fbϕα
ou, equivalentemente, cada um dos seguintes quadrados comutam:
Maϕα //
fa��
Mb
fb��
M ′aϕ′α //M ′b.
Sejam f : M→M ′ e g : M ′→M ′′ dois mor�smos de representações de Q, onde f = (fa)a∈Q0
e g = (ga)a∈Q0 . De�nimos a composição gf : M −→M ′′ como sendo a família gf = (gafa)a∈Q0 .
Desse modo, temos de�nido a categoria Rep(Q) de representações K-lineares de Q. Denota-
mos por rep(Q) a subcategoria plena de Rep(Q), que consiste das representações de dimensão
�nita.
Seja M = (Ma, ϕα) uma representação de Q. Para um caminho não trivial
ω = (a|α1, α2, . . . , α`|b)
4
Representações e módulos
em Q, a avaliação de M em ω é a função K-linear ϕω : Ma →Mb de�nida por
ϕω = ϕα1ϕα2 . . . ϕα` .
Estendemos esta de�nição para combinações lineares de caminhos. Isto é, se ρ =∑m
i=1 λiωi é
uma relação, então a avaliação de M em ρ é ϕρ =∑m
i=1 λiϕωi .
Exemplo 1.2.1. Seja A = KQ, onde Q é o carcás
2
α1
%%
α2
99 1.
A é conhecida como a álgebra de Kronecker. Uma representação M de Q é dada por
K
(1
0
)''
(0
1
) 88K2.
Outra representação M ′ esta dada por
K2
(1 0
0 1
)''
(0 0
1 0
) 88K2.
Temos um mor�smo M −→M ′ de�nido por
K
(1
0
)��
(1
0
)//(
0
1
) 33 K2
(1 0
0 1
)��
K2
(1 0
0 1
)//(
0 0
1 0
) 33 K2
Pois temos que (1 0
0 1
)(1
0
)=
(1 0
0 1
)(1
0
)e
(1 0
0 1
)(0
1
)=
(0 0
1 0
)(1
0
)Seja I um ideal admissível deKQ. Dizemos que a representaçãoM = (Ma, ϕα) de Q satisfaz
5
Preliminares
as relações em I quando ϕρ = 0, para todo elemento ρ ∈ I. Notemos que se I é gerado pelo
conjunto de relações {ρ1, ρ2, . . . , ρs}, a representação M satisfaz as relações de I se, e somente
se, ϕρi = 0, para todo 1 ≤ i ≤ s.Uma representação de (Q, I) é uma representação de Q que satisfaz as relações de I. Deno-
tamos por RepK(Q, I) a subcategoria de RepK(Q) cujos objetos são as representações de (Q, I)
e por repK(Q, I) a subcategoria de repK(Q) cujos objetos são as representações de dimensão
�nita de (Q, I).
Se A é uma K-álgebra básica de dimensão �nita sobre o corpo K algebricamente fechado
então, pelo Teorema de Gabriel, A é isomorfa a uma álgebra de caminhos dada por um carcás
com relações (Q, I), isto é, A ∼= KQ/I. A seguinte proposição diz que o estudo da categoria
Mod A é equivalente ao da categoria Rep(Q, I).
Teorema 1.2.2. Seja A = KQ/I, onde Q é um carcás �nito e conexo e I é um ideal admissível
de KQ. Então existe uma equivalência F de categorias
F : Mod A'−→ RepK(Q, I)
cuja restrição é uma equivalência entre as categorias
F : mod A'−→ repK(Q, I).
Demonstração. Descreveremos o funtor F : Mod A−→ RepK(Q, I). Para isto diremos como
age nos objetos e nos mor�smos de Mod A.
Sejam a ∈ Q0 e α ∈ Q1. Denotaremos por ea e por α as classes de εa e de α em KQ/I,
respectivamente.
Se M é um A-módulo, de�nimos F (M) = (Ma, ϕα), onde Ma = Mea e para α : a−→ b, seja
ϕα : Ma−→Mb dada por ϕα(x) = xα, para todo x ∈Ma.
Se f : M→M ′ é um homomor�smo de A-módulos, então de�nimos F (f) = (fa)a∈Q0 , onde
fa é a restrição de f a Ma = Mea. É fácil veri�car que F é uma equivalência de categorias.
�
Notemos que na demonstração do teorema anterior é construido o funtor que faz com que
as duas categorias sejam equivalentes. Tal teorema permite a identi�cação os A-módulos com
as representações K-lineares de (Q, I) e vice-versa. Diante disto, abusaremos da linguagem não
distinguindo, muitas vezes, os KQ/I- módulos das representações de (Q, I).
O último teorema tem muitas consequências interessantes; em particular permite conhecer
de forma explícita os módulos simples, os módulos projetivos indecomponíveis e os módulos
injetivos indecomponíveis.
6
Sequências de Auslander-Reiten
1.3 Sequências de Auslander-Reiten
Nesta seção vamos enunciar um resultado que surgiu na década dos 70 e que in�uenciou
de�nitivamente o desenvolvimento da teoria de representações de álgebras. Trabalhando basica-
mente com álgebras de Artin (uma generalização das álgebras de dimensão �nita) M. Auslander
e I. Reiten introduziram a noção de sequências quase-cindidas (também chamadas sequências
de Auslander-Reiten).
Posteriormente os mor�smos que aparecem nas mencionadas sequências foram usados por C.
M. Ringel para de�nir um carcás, conhecido como o carcás de Auslander-Reiten, que proporciona
muita informação sobre a categoria mod A.
Detalhes dos conceitos e resultados aqui mencionados podem ser achados no Capítulo IV de
[2].
Começaremos de�nindo os conceitos relacionados tais como mor�smo irredutível, sequência
quase-cindida, entre outros.
Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão �nita sobre K e
M,N,L A-módulos em modA. Então:
1. Seja h : M → N um homomor�smo de A-módulos. Dizemos que h é uma seção (ou um
monomor�smo que cinde) se existe um homomor�smo de A-módulos s : N −→M tal
que sh = 1M . De outro lado, dizemos que h é uma retração (ou um epimor�smo que
cinde) se existe um homomor�smo de A-módulos r : N −→M tal que hr = 1N .
2. Um homomor�smo h : M −→N de A-módulos é irredutível se h não é seção, nem retração
e se h = h1h2 implica que h1 é retração ou que h2 é seção.
Notemos que um mor�smo irredutível em modA é um monomor�smo próprio ou um epimor�smo
próprio. Isto é, um mor�smo irredutível é um monomor�smo não isomor�smo ou um epimor�smo
não isomor�smo. De fato, suponhamos que f : X −→Y é irredutível, não é um epimor�smo
próprio e que f = jp é a sua fatoração canônica. Então j não é um epimor�smo que cinde e
portanto p é um monomor�smo que cinde. Logo f é um monomor�smo próprio.
Dizemos que uma sequência exata curta
0−→Lf−→M
g−→N −→ 0, em mod A
é uma sequência quase-cindida ou uma sequência de Auslander-Reiten se L e N são
A-módulos indecomponíveis e f e g são mor�smos irredutíveis.
Terorema de Auslander-Reiten 1.3.1. 1. SejaM um A-módulo indecomponível não pro-
jetivo. Então existe uma sequência quase-cindida, única a menos de equivalências de sequên-
cias exatas, da forma
0−→M ′−→E−→M −→ 0, em mod A.
7
Preliminares
2. Seja L um A-módulo indecomponível não injetivo. Então existe uma sequência quase-
cindida, única a menos de equivalências de sequências exatas, da forma
0−→L−→F −→L′−→ 0, em mod A.
�
Sejam X e Y A-módulos indecomponíveis. O K-espaço vetorial
Irr(X,Y ) = radA(X,Y )/rad2A(X,Y )
onde radA(X,Y ) é o K-espaço vetorial dos homomor�smos não invertíveis de X em Y e
rad2A(X,Y ) é o K-espaço vetorial dos homomor�smos da forma gf com f ∈ radA(X,Z) e
g ∈ radA(Z, Y ), para algum A-módulo Z, é denominado espaço dos mor�smos irredutíveis
de X em Y . Como X e Y são A-módulos indecomponíveis, então a dimensão de Irr(X,Y ) é
igual ao número máximo de homomor�smos irredutíveis de X em Y , que são linearmente inde-
pendentes. O carcás de Auslander-Reiten da categoria mod A, denotado por Γ(modA), é
de�nido da seguinte forma:
1. Os vértices de Γ(modA) são as classes de isomor�smos [M ] de A-módulos indecomponíveis
M .
2. Se [M ] e [N ] são dois vértices de Γ(modA), correspondentes aos A-módulos indecompo-
níveis M e N , o número de �echas de [M ] para [N ] é igual à dimensão do espaço vetorial
Irr(M,N).
Exemplo 1.3.2. Seja A = KQ, onde Q é o carcás
Q : 1 2 //oo 3.
A seguinte é uma lista completa dos A-módulos indecomponíveis:
S1 = (K←− 0−→ 0) = P1
S2 = (0←−K −→ 0) = I2
S3 = (0←− 0−→K) = P3
P2 = (KIdK←−K IdK−→K)
I1 = (KIdK←−K −→ 0)
I3 = (0←−K IdK−→K).
Onde Si, Pi e Ii para i = 1, 2, 3, denotam os A-módulos simples indecomponíveis, os A-
módulos projetivos indecomponíveis e os A-módulos injetivos indecomponíveis, respectivamente.
As sequências de Auslander-Reiten sobre A são as sequências abaixo
8
Os funtores de translação τ e τ−1
0 // S3// P2
// I1// 0
0 // P2// I1 ⊕ I3
// S2// 0
0 // S1// P2
// I3// 0 .
E, �nalmente, o carcás de Auslander-Reiten de A é o carcás
[S3]
!!
[I1]oo
!![P2]
==
!!
[S2]oo
[S1]
==
[I3]
==
oo
�
1.4 Os funtores de translação τ e τ−1
Nesta seção vamos de�nir a translação de Auslander-Reiten. Os detalhes da construção e
resultados aqui mencionados podem ser encontrados no Capítulo IV em [2].
Sejam K um corpo e A uma K-álgebra de dimensão �nita sobre K. Consideremos as ca-
tegorias modA e modAop e indicamos resumidamente a construção das suas categorias pro-
jetivamente e injetivamente estáveis. Para cada par (M,N) de objetos em modA denotamos
por P(M,N) (respectivamente por I(M,N)) o subconjunto de HomA(M,N) formado pelos
mor�smos que se fatoram através de algum A-módulo projetivo (respectivamente, injetivo). É
conhecido que a classe P = {P(M,N)/M,N ∈ modA} é um ideal da categoria modA. Analo-
gamente para a classe I = {I(M,N)/M,N ∈ modA}.Com o ideal P é construída a categoria quociente modA = modA/P, denominada categoria
projetivamente estável.
Para recordar, os objetos em modA são os objetos de modA e dados dois A-módulos M e
N os mor�smos de M para N em modA são os elementos do quociente de K-espaços vetoriais
HomA(M,N) = HomA(M,N)/P(M,N).
Analogamente, através do ideal I, é de�nida a categoria quociente modA = modA/I, de-nominada categoria injetivamente estável. É conhecido que o funtor D = HomK( ,K) é
uma dualidade entre as categorias modA e modAop. Porém, D induz uma dualidade, também
denotada por D, de modA−→modAop.
O objetivo agora é de�nir uma outra dualidade entre as categorias modA e modAop. Para
tal, consideremos M em modA e seja
P1d1 // P0
d0 //M // 0
9
Preliminares
uma apresentação projetiva minimal de M . Isto é, uma sequência exata tal que d0 : P0−→M e
d1 : P1−→ Nuc d0 são coberturas projetivas de M e de Nuc d0, respectivamente.
O funtor HomA( , A), permite construir o Aop-módulo à direita HomA(Conuc d1, A),
que é de�nido como o transposto de M que é denotado por TrM (que é único a menos de
isomor�smo). Com essa construção pode-se de�nir um funtor dualidade, denotado por Tr,
Tr : modA−→modAop, que a cada M em modA associa TrM ∈ modAop.
Com os funtores D : modAop−→mod(Aop)op = modA e Tr : modA−→modAop, são de�ni-
dos, por composição, os funtores de translação de Auslander-Reiten
τ : modA−→modA e seu inverso τ−1 : modA−→modA
da seguinte forma
τ = DTr e τ−1 = TrD.
Por último observamos que o Teorema 1.3.1 garante a existência de uma sequência exata quase-
cindida 0−→M ′−→E−→M −→ 0, sendo M um A-módulo indecomponível não projetivo. O
módulo M ′ é construído de forma que M ′ = τM = DTrM . No caso da existência da sequência
quase-cindida 0−→L−→F −→L′−→ 0, com L indecomponível não injetivo, o módulo L′ =
τ−1L = TrDL.
Para �nalizar esta seção vamos enunciar um teorema muito conhecido, e que usaremos ao
longo deste trabalho: as Fórmulas de Auslander.
Teorema 1.4.1. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão
�nita e M e N objetos em modA. Então, temos os seguintes isomor�smos
Ext1A(M,N) ∼= DHomA(τ−1N,M) ∼= DHomA(N, τM),
que são funtoriais nas duas variáveis.
�
Corolário 1.4.2. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão
�nita e M e N objetos em modA. Então:
1. Se pdM ≤ 1, então existe um isomor�smo K-linear
Ext1A(M,N) ∼= DHomA(τ−1N,M).
2. Se pdN ≤ 1, então existe um isomor�smo K-linear
Ext1A(M,N) ∼= DHomA(N, τM).
�
10
Sobre o grupo de Grothendieck
1.5 Sobre o grupo de Grothendieck
Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão �nita sobre K
e {e1, e2, ..., en} um conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonais de A. Se A =
⊕ni=1eiA, então os A-módulos Pi = eiA e Ii = D(Aei), i = 1, . . . , n, são respectivamente os A-
módulos projetivos indecomponíveis e os A-módulos injetivos indecomponíveis que, além disso
são, respectivamente, a cobertura projetiva e a envolvente injetiva do simples Si ∼= top Pi ∼=Soc Ii.
Lembramos que, dado M ∈ mod A e um elemento idempotente e ∈ A, vale que
HomA(eA,M) ∼= Me.
Em particular, EndA(Si) ∼= ei(topA)ei.
Seja e = (e1, e2, ..., en) um conjunto completo e ordenado de idempotentes primitivos orto-
gonais de A. A ordem �xada e determina uma ordenação no conjunto dos A-módulos simples
Si, bem como dos A-módulos projetivos indecomponíveis Pi e dos A-módulos injetivos indecom-
poníveis Ii. Com tal ordem podemos de�nir o vector dimensão de um A-módulo como segue.
De�nição 1.5.1. Sejam e = (e1, e2, ..., en) um conjunto completo e ordenado de idempotentes
primitivos ortogonais de A e M ∈ modA. De�nimos o vetor dimensão de M como o vetor de
Zn, denotado por dimM , dado por
dimM =
dimKMe1
...
dimKMen
.Assim o vetor dimSi, de cada simples Si, é o i-ésimo vetor da base canônica de Zn. De outro
lado, como temos que HomA(Pi,M) ∼= Mei e que
DHomA(M, Ii) ∼= DHomAop(Aei,M) ∼= D(eiDM) ∼= D(DM)ei ∼= Mei,
podemos reescrever o vetor dimM das seguintes formas:
dimM =
dimK HomA(P1,M)
...
dimK HomA(Pn,M)
=
dimK HomA(M, I1)
...
dimK HomA(M, In)
.Observação 1.5.2. Se 0−→L−→M −→N −→ 0 é uma sequência exata em modA, então
dimM = dimL+ dimN.
�
11
Preliminares
De�nição 1.5.3. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra, básica e
de dimensão �nita sobre K. Chama-se grupo de Grothendieck de mod A o grupo abeliano
K0(A) = F/F ′, onde F é o grupo abeliano livre cuja base é o conjunto de classes de isomor�smos
M dos módulos M em modA e F ′ é o subgrupo de F gerado pelos elementos M − L − N
correspondentes às sequências exatas 0−→L−→M −→N −→ 0 em modA.
Denotaremos por [M ] a imagem da classe de isomor�smo M do móduloM pelo epimor�smo
canônico de grupos F −→F/F ′ e por [M : Si] o número de fatores de composição deM isomorfos
a Si.
A proposição abaixo fornece uma caracterização do grupo K0(A), cuja demonstração pode
ser encontrada em [17].
Proposição 1.5.4. Sejam A uma K-álgebra, básica, de dimensão �nita sobre K, e = (e1, ..., en)
um conjunto completo e ordenado de idempotentes primitivos ortogonais de A e {S1, . . . , Sn} umconjunto completo de classes de isomor�smo de A-módulos simples à direita. Então, o grupo de
Grothendieck K0(A) de modA é um grupo abeliano livre com uma base dada por {[S1], . . . , [Sn]}e existe um único isomor�smo de grupos dado por
dim : K0(A) −→ Zn
tal que, dim([M ]) = dimM para todo A-módulo M .
�
Usando esta base para K0(A) obtemos o seguinte corolário que usaremos com frequência.
Corolário 1.5.5. Seja M um A-módulo. Então, para cada j = 1, . . . , n, vale que
[M : Sj ] = dimK HomA(Pj ,M) = dimK HomA(M, Ij).
�
Em particular, usando os vetores dimensão dos A-módulos projetivos (ou injetivos) indecom-
poníveis obtemos uma matriz de coe�cientes inteiros, que é conhecida como matriz de Cartan
de A.
De�nição 1.5.6. Sejam A uma K-álgebra, básica de dimensão �nita sobre K e e = (e1, ..., en)
um conjunto completo e ordenado de idempotentes primitivos ortogonais de A. A matriz de
Cartan de A é a matriz n× n
CA =
c11 · · · c1n
.... . .
...
c1n · · · cnn
,
12
Sobre álgebras hereditárias
onde cij = dimK ejAei para i, j = 1, . . . , n.
Observemos que, como ejAei ∼= HomA(Pi, Pj) ∼= HomA(Ii, Ij), cada entrada cji de CAcorresponde ao número de homomor�smos linearmente independentes de Pi a Pj e ao número
de homomor�smos linearmente independentes de Ii a Ij .
1.6 Sobre álgebras hereditárias
Nesta seção vamos mencionar várias caracterizações das álgebras hereditárias e algumas
das suas propriedades. Mais detalhes dos assuntos aqui abordados podem ser encontrados nos
Capítulos VII e VIII de [2].
Proposição 1.6.1. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão
�nita sobre K. Então são equivalentes as seguintes condições:
1. A é uma álgebra hereditária.
2. Todo A-módulo tem dimensão projetiva menor ou igual a 1.
3. Para cada par de A-módulos M e N ,
ExtiA(M,N) = 0, para todo i ≥ 2.
4. Todo submódulo de um A-módulo projetivo é projetivo.
5. Todo quociente de um A-módulo injetivo é injetivo.
6. Para cada par de A-módulos M e N , Ext2A(M,N) = 0.
�
Vamos observar agora que uma álgebra hereditária também pode ser caracterizada em termos
do seu carcás ordinário. É o que conta o teorema abaixo.
Teorema 1.6.2. (1.7 Cap.VII em [2]) Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma
K-álgebra de dimensão �nita sobre K. Então A é hereditária se, e somente se, A ∼= KQ, onde
Q é um carcás �nito e acíclico.
�
Vamos adotar para o carcás de Auslander-Reiten a seguinte convenção: os vértices corres-
pondentes a os A-módulos projetivos indecomponíveis serão chamados vértices projetivos e a os
vértices correspondentes a os A-módulos injetivos indecomponíveis vértices injetivos.
Usamos esta convenção para descrever como as álgebras hereditárias podem ser caracteriza-
das em termos de seu carcás de Auslander-Reiten na proposição abaixo.
13
Preliminares
Proposição 1.6.3. (1.10 Cap. VII em [2]) Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma
K-álgebra de dimensão �nita sobre K. Então as seguintes condições são equivalentes:
1. A é hereditária.
2. Em Γ(mod A) os predecessores dos vértices projetivos são vértices projetivos.
3. Em Γ(mod A) os sucessores dos vértices injetivos são vértices injetivos.
�
Um A módulo indecomponível M (com A uma álgebra não necessariamente hereditária) é
dito pós-projetivo se é da forma τ−kPi, onde Pi é um projetivo indecomponível e k ≥ 0. Por
outro lado, M é dito pré-injetivo se é da forma τ lIj , onde Ij é um injetivo indecomponível e
l ≥ 0. O móduloM é dito regular se não for pós-projetivo ou pré-injetivo. É importante ressaltar
que, se M é um módulo pós-projetivo ou pré-injetivo, então EndA(M) ∼= K e Ext1A(M,M) = 0.
Se A é uma álgebra hereditária de tipo de representação in�nito então o seu carcás de
Auslander-Reinten é a união disjunta
Γ(modA) = P(A) ∪R(A) ∪ I(A),
onde P(A) é uma componente conexa formada pelos módulos pós-projetivos (conhecida como a
componente pós-projetiva), R(A) é uma família de componentes conexas formadas por módulos
regulares (conhecidas como componentes regulares) e I(A) é uma componente conexa formada
por módulos pré-injetivos (conhecida como componente pré-injetiva). Além disso, valem as se-
guintes igualdades:
HomA(R(A),P(A)) = 0, HomA(Q(A),P(A)) = 0, HomA(Q(A),R(A)) = 0.
Se A for uma álgebra hereditária conexa de tipo de representação �nito Γ(modA) contém
só uma componente conexa e não existem A-módulos regulares.
Uma classi�cação completa de todas as álgebras que são de tipo de representação �nito
(isto é, as que têm um número �nito de classes de isomor�smo de módulos indecomponíveis) é
conhecida e é tratada no importante Teorema de Gabriel II que está estreitamente relacionado
com os diagramas de Dynkin que listaremos a seguir.
Diagramas de Dynkin
An : • • · · · • • , n ≥ 1
14
Sobre álgebras hereditárias
•
Dn : • • • · · · • • , n ≥ 4
•
E6 : • • • • •
•
E7 : • • • • • •
•
E8 : • • • • • • •
Conhecendo a lista de tais diagramas enunciamos o Teorema de Gabriel.
Teorema de Gabriel II 1.6.4. (5.10 Cap. VII em [2]) Sejam K um corpo algebricamente
fechado e A ∼= KQ uma K-álgebra básica e conexa. Então A é de tipo de representação �nita
se, e somente se, Q é um diagrama de Dynkin.
�
Na teoria de representações de álgebras joga um papel muito importante a classe das álgebras
hereditárias que são de tipo de representação in�nito e minimais com respeito a esta propriedade.
Estas são justamente as álgebras de tipo euclidiano, isto é as álgebras de caminho KQ, onde
Q é um carcás conexo e acíclico cujo grafo subjacente Q é um dos grafos na seguinte lista:
Diagramas euclidianos
•
An : • • · · · • • (n+ 1 vértices, n ≥ 1).
• •
Dn : • • • · · · • • • (n+ 1 vértices, n ≥ 4).
15
Preliminares
•
E6 : •
• • • • •
•
E7 : • • • • • • •
•
E8 : • • • • • • • •
A seguinte lista de carcases é particularmente importante no estudo das álgebras euclidianas.
Diagramas euclidianos canonicamente orientados
•1
yy
•2oo · · ·oo •p−1oo
4(Ap,q) : 0• •p+q−1
ee
yy•p
ee
•p+1oo · · ·oo •p+q−2
oo
•1 •m
{{4(Dn) : •3
__
��
•4oo · · ·oo •m−1oo m ≥ 4
•2 •m+1
dd
•5
��4(E6) : •4
��•3 // •2 // •1 •6oo •7oo
16
Sobre álgebras hereditárias
•5
��4(E7) : •4 // •3 // •2 // •1 •6oo oo •7oo •8oo
•4
��4(E8) : •3 // •2 // •1 •5oo •6oo
A importância de tais carcases esta dada pelo seguinte teorema.
Teorema 1.6.5. (2.1 (a) Cap. XIII em [2]) Sejam Q um carcás cujo grafo subjacente é euclidi-
ano e A = KQ a álgebra de caminhos de Q. Então existe um carcás euclidiano canonicamente
orientado ∆ tal que Q é obtido de ∆ por sequência �nita de re�exões e A é uma álgebra inclinada
de tipo ∆.
�
De�nição 1.6.6. Sejam A uma K-álgebra de dimensão global �nita e CA a matriz de Cartan
de A com respeito ao conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos {e1, . . . , en} deA. A a matriz de Coxeter de A é a matriz
ΦA = −CAC−1A ∈Mn(Z).
O homomor�smo de grupos ΦA : Zn−→Zn, de�nido pela fórmula ΦA(x) = ΦA · x, para todo
x = (x1, . . . , xn)t ∈ Zn, é chamada a transformação de Coxeter de A.
Proposição 1.6.7. Sejam Q um carcás acíclico, A = KQ sua álgebra de caminhos e ΦA :
Zn−→Zn a transformação de Coxeter de A. Então:
dim τmM = ΦmA (dimM), para m ≥ 0.
�
17
Preliminares
1.7 Sobre tubos estáveis
No Capítulo 3 estudaremos acerca de sistemas estrati�cantes em componentes do carcás
de Auslander-Reiten conhecidas como tubos estáveis, por isso, nesta seção, de�niremos tais
componentes e enunciamos propriedades que iremos usar.
Mais detalhes sobre os tópicos desta seção podem ser encontrados no Cap. VIII de [2] e no
Cap. X de [17].
Sejam Q = (Q0, Q1) um carcás e x ∈ Q0. Denotaremos por x+ o conjunto dos sucessores
imediatos de x, ou seja, x+ = {y ∈ Q0/∃α ∈ Q1, α : x−→ y}. Por outro lado, denotaremos por
x− o conjunto dos predecessores imediatos de x, ou seja, x− = {y ∈ Q0/∃α ∈ Q1, α : y−→x}.Diremos que Q é localmente �nito quando para todo x ∈ Q0 os conjuntos x+ e x− são �nitos.
De�nição 1.7.1. Sejam Γ um carcás localmente �nito e sem ciclos orientados e τ : Γ′0−→Γ
′′0 ,
com Γ′0 ⊆ Γ0 e Γ
′′0 ⊆ Γ0, uma função bijetora. O par (Γ, τ) é chamado de carcás com trans-
lação se (τx)+ = x−, para cada x ∈ Γ′0.
A seguir de�nimos (ZΣ, τ) que é um caso especial de carcás com translação.
De�nição 1.7.2. Seja Σ = (Σ0,Σ1) uma carcás conexo e acíclico. De�nimos o carcás de trans-
lação in�nito (ZΣ, τ) como segue. O conjunto dos vértices de ZΣ é ZΣ0 = Z×Σ0 = {(n, x)|n ∈Z, x ∈ Σ0} e para cada �echa α : x→ y em Σ1 existem duas �echas
(n, α) : (n, x)→ (n, y) e (n, α′) : (n+ 1, y)→ (n, x)
em ZΣ1, e estas são todas as �echas em ZΣ.
A translação τ em ZΣ está dada por τ(n, x) = (n + 1, x) para todo (n, x) ∈ ZΣ0. Para
cada (n, x) ∈ ZΣ0 de�nimos uma bijeção entre o conjunto de �echas com �nal (n, x) e começo
(n+ 1, x) pela fórmula
σ(n, α) = (n, α′) e σ(n, α′) = (n+ 1, α)
Exemplo 1.7.3. Para o carcás
A∞ : •1 // •2 // •3 · · · •m // •m+1 // • · · ·
o carcás de translação ZA∞ é da forma
(1, 1)%%
(0, 1)%%
(−1, 1)''
(−2, 1)''
(−3, 1)
%%. . .
;;
##(1, 2)
99
%%(0, 2)
88
&&(−1, 2)
77
''(−2, 2)
77
''. . .
(2, 3)
99
$$
(1, 3)
99
$$
(0, 3)
77
&&
(−1, 3)
77
&&
(−2, 3)
99
##<<
...
::...
99...
88...
88
onde τ(n, i) = (n+ 1, i), para n ∈ Z e i ≥ 1. Logo, por de�nição, τ é um automor�smo de ZA∞,assim como suas potências τ r, com r ∈ Z. Seja r um inteiro positivo �xo e (τ r) o grupo cíclico
18
Sobre tubos estáveis
in�nito dos automor�smos de ZA∞ gerado por τ r. Denotemos por ZA∞/(τ r) o espaço orbital
de ZA∞ sob a ação de (τ r). Assim, ZA∞/(τ r) é um carcás de translação, identi�cando cada
ponto (n, i) de ZA∞ com o ponto τ r(n, i) = (n + r, i), e cada �echa α : x → y em ZA∞ com a
�echa τ r : τ rx→ τ ry. Esta construção motiva a seguinte de�nição.
De�nição 1.7.4. Seja (T , τ) um carcás com translação.
1. (T , τ) é denominado um tubo estável de posto r se T ∼= ZA∞/(τ r), como carcases de
translação.
2. Um tubo estável T de posto r = 1 é chamado um tubo homogêneo.
3. Seja (T , τ) um tubo estável de posto r ≥ 1. Uma sequência (x1, x2, . . . , xr) de pontos em
T é um τ-ciclo se
τx1 = xr, τx2 = x1, . . . , τxr = xr−1.
4. Seja (T , τ) um tubo estável. O conjunto de pontos em T que tem exatamente um predecessor
imediato (ou equivalentemente, exatamente um sucessor imediato) é chamado a boca de
T .
Exemplo 1.7.5. Um tubo estável de posto 3 é obtido do seguinte carcás
•τ3x1%%
•τ2x1&&
•τx1&&
•x1
•x299
%%•τ2x2
88
&&•τx2
88
&&•τx3
99
%%•x3
88
&&•τ2x3
88
&&•τ3x3
•τx499
''•x4
88
''•τ2x4
88
''•77
•77
•77
•...
......
...
por identi�cação dos pontos na mesma τ -órbita que estão sobre as linhas pontelhadas.
De�nição 1.7.6. Seja C uma componente do carcás de Auslander-Reiten Γ(mod A) de uma
álgebra A, e suponhamos, por simplicidade, que C não tem �echas múltiplas.
1. A categoria de caminhos KC é a categoria de�nida como segue: os objetos em KC são
os vértices em C, e os mor�smos de x ∈ C0 para y ∈ C0 são combinações K-lineares de
caminhos em C de x a y.
2. De�nimos o ideal MC na categoria KC como segue: cada ponto não projetivo x ∈ C0
19
Preliminares
corresponde com um mesh em C da forma
y1
α1
��
y2
α2 τx
α′1
FF
α′2
==
α′t
��
x
...
yt
α′t
HH
e para cada mesh associamos um elemento mx de HomKC(τx, x), chamado elemento
mesh de�nido pela fórmula
mx =t∑i=1
α′iαi.
Denotamos por MC o ideal de KC gerado por todos os elementos mesh mx, ou seja
MC = 〈mx : x não é um vértice projetivo de C〉 .
3. A categoria mesh é a categoria quociente KC/MC .
De�nição 1.7.7. Sejam A uma álgebra e C uma componente do carcás Γ(modA).
1. A componente C é chamada componente estândar de Γ(modA) se existir uma equiva-
lência de K-categorias
KC = KC/MC ,
onde Ind C é a K-subcategoria plena de modA cujos objetos são representantes das classes
de isomor�smos de módulos indecomponíveis em C.
2. C é uma componente auto hereditária de Γ(modA) se, para cada par de A-módulos
indecomponíveis X e Y em C tivermos que Ext2A(X,Y ) = 0.
De�nição 1.7.8. Sejam A uma álgebra e T um tubo estável do carcás de Auslander-Reiten
Γ(modA). Então:
1. O tubo T é chamado hereditário se para cada módulo indecomponível X em T vale que
pdX ≤ 1 e idX ≤ 1.
2. O tubo T é chamado auto-hereditário se para cada par de módulos indecomponíveis X
e Y em T vale que Ext2A(X,Y ) = 0.
20
Sobre tubos estáveis
Seja A uma álgebra. Um tijolo E em modA é um módulo (necessariamente indecomponível)
tal que EndA(E) ∼= K. Dois tijolos E e E′ em modA são ortogonais se HomA(E,E′) = 0 e
HomA(E′, E) = 0.
Seja E1, . . . , Er uma família de tijolos dois a dois ortogonais em modA. Vamos denotar por
E = EA = EXT A(E1, . . . , Er),
a subcategoria plena de modA cujos objetos não nulos são todos os A-módulos tais que existe
uma cadeia de submódulos
0 M1 M2 . . .Mm−1 Mm = M,
com m ≥ 1 e Mi/Mi−1∼= Ej , para algum 1 ≤ j ≤ r.
Um objeto S de EA é chamado objeto simples se os únicos subobjetos de S em EA são o
objeto nulo e o próprio S.
Observamos que EXT A(E1, . . . , Er) é a menor subcategoria aditiva contendo os A-módulos
E1, . . . , Er e que é fechada por extensões.
Teorema 1.7.9. Sejam A uma álgebra e {E1, . . . , Er} uma família �nita de tijolos dois a dois
ortogonais. Então:
1. (2.1 Cap X em [17]) EA = EXT A(E1, . . . , Er) é uma subcategoria abeliana, exata e fechada
por extensões de modA e {E1, . . . , Er} é um conjunto completo de objetos dois a dois não
isomorfos e simples de EA.
2. (2.6 Cap. X em [17]) Se {E1, . . . , Er} é uma família auto-hereditária de modA, então
(a) Todos os objetos indecomponíveis na categoria EXT A(E1, . . . , Er) formam uma com-
ponente auto-hereditária TE de Γ(modA).
(b) A componente TE é um tubo estável de posto r.
(c) Os módulos {E1, . . . , Er} formam um conjunto completo de módulos na boca do tubo
TE .
�
21
Preliminares
22
Capítulo 2
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras
hereditárias
Os sistemas estrati�cantes foram introduzidos, em [7], por K. Erdmann e C. Sáenz, como
uma generalização dos módulos estândares.
Em [10, 11], E. Marcos, O. Mendoza e C. Sáenz introduziram os sistemas estrati�cantes via
módulos relativamente projetivos e os sistemas estrati�cantes via módulos relativamente simples,
e mostraram que as três noções de sistema estrati�cante são equivalentes.
Neste capítulo apresentaremos as de�nições de sistema estrati�cante (ou sistema estrati�-
cante via módulos relativamente injetivos) e a de sistema estrati�cante via módulos relativa-
mente simples, que serão as que usaremos ao longo deste texto. Veremos que, quando de�nidos
sobre uma álgebra hereditária, os sistemas estrati�cantes estão estreitamente relacionados com
os módulos inclinantes. Usando tal relação exibimos um limitante para seu tamanho. De�nimos
também o conjunto dos módulos estândares, as álgebras estandarmente estrati�cadas e, uma
classe particular delas, as álgebras quase-hereditárias.
Usando o grupo de Grothendieck para um sistema estrati�cante, faremos uma demonstração
simples de que uma álgebra estandarmente estrati�cada é quase-hereditária se, e somente se,
tem dimensão global �nita.
Veremos que, o conceito de sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária e o de sequên-
cia excepcional são equivalentes e, usando resultados de [6], obtemos todos os sistemas estrati-
�cantes completos sobre uma álgebra de Kronecker (ou Kronecker generalizada).
Ressaltamos que, sempre que falarmos de A como uma K-álgebra, estamos assumindo que
K é um corpo algebricamente fechado é que A é uma K-álgebra associativa com unidade e de
dimensão �nita sobre K.
23
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
2.1 Sistemas estrati�cantes
Sejam A uma K-álgebra e θ = {θ1, . . . , θt} um conjunto �nito de A-módulos. Denotamos
por F(θ) à subcategoria plena de modA que contem o módulo zero e todos os módulos que
são �ltrados por θ. Isto é, um módulo não nulo M está em F(θ) se existir uma cadeia �nita de
submódulos de M da forma
0 = M0 ⊆M1 ⊆ . . . ⊆Mn = M, (∗)
e tal que o quociente Mi/Mi−1 é isomorfo a algum dos elementos no conjunto θ, para todo
i = 1, 2, . . . , n. A cadeia (∗) é chamada de θ-�ltração de M .
Com esta notação é possível enunciar a primeira das de�nições de sistema estrati�cante,
que apareceu em [7], e que também é conhecida como sistema estrati�cante via módulos
relativamente injetivos (Ver [11]).
De�nição 2.1.1. [7] Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão
�nita sobre K. Sejam θ = {θ1, . . . , θt} um conjunto �xo de A-módulos e Y = {Y1, . . . , Yt} um
conjunto de A-módulos indecomponíveis. Além disso, seja � uma relação de ordem total no
conjunto {1, . . . , t}. Dizemos que (θ, Y ,�) é um sistema estrati�cante de tamanho t se as
seguintes condições são satisfeitas:
1. HomA(θj , θi) = 0, para j � i.
2. Para cada i = 1, . . . , t, existe uma sequência exata
0−→ θiαi−→ Yi−→Zi−→ 0,
onde Zi é �ltrado por {θj}j≺i.
3. Ext1A( , Y )|F(θ) = 0, onde Y = ⊕ti=1Yi.
Da de�nição acima, temos que θ1∼= Y1 e que (para t ≥ 2) existe uma sequência exata da
forma
0−→ θ2α2−→ Y2−→Y m
1 −→ 0, com m ≥ 0.
A seguinte proposição permite uma caracterização dos sistemas estrati�cantes que depende
somente dos elementos no conjunto θ.
Proposição 2.1.2. [7] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimen-
são �nita sobre K, � uma relação de ordem total no conjunto {1, . . . , t} e θ = {θ1, . . . , θt} umconjunto de A-módulos. Então as condições são equivalentes:
1. Existe um conjunto de A-módulos Y = {Y1, . . . , Yt} tal que (θ, Y ,�) é um sistema estra-
ti�cante de tamanho t.
24
Sistemas estrati�cantes
2. O conjunto θ satisfaz as condições a seguir:
(a) Os elementos de θ são A-módulos indecomponíveis.
(b) HomA(θj , θi) = 0, para j � i.
(c) Ext1A(θj , θi) = 0, para j � i.
Fazendo uso da caracterização acima, em [11], os autores introduziram a seguinte de�nição
de sistema estrati�cante.
De�nição 2.1.3. [11] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão
�nita sobre K, � uma relação de ordem total no conjunto {1, . . . , t} e θ = {θ1, . . . , θt} um
conjunto de A-módulos indecomponíveis. Dizemos que o par (θ,�) é um sistema estrati�cante
de tamanho t se as seguintes condições são satisfeitas:
1. HomA(θj , θi) = 0, para j � i.
2. Ext1A(θj , θi) = 0, para j � i.
Esta de�nição também aparece na literatura como sistema estrati�cante via módulos
relativamente simples (Ver [11]).
Tendo em vista a anterior proposição usaremos indistintamente uma ou outra de�nição de
sistema estrati�cante. Além disso, dado que por simplicidade usaremos a relação de ordem
natural dos números inteiros, não será feita mais referência a tal relação de ordem.
Sejam θ = {θ1, . . . , θt} um sistema estrati�cante, M um A-módulo qualquer e
0 = M0 ⊆M1 ⊆ . . . ⊆Mn = M
uma θ �ltração M . Sabemos que o número de vezes que θi aparece numa θ �ltração de M
independe da θ-�ltração (ver [7]). Tal número é conhecido como a multiplicidade de θi em uma
θ-�ltração de M e o denotamos por [M : θi]. Através da multiplicidade de θi de�nimos o θ-
comprimento de M , que denotamos por `θ(M), que é
`θ(M) =t∑i=1
[M : θi].
Os elementos no conjunto θ são chamados de elementos relativamente simples da cate-
goria F(θ), uma vez que não admitem submódulos próprios na categoria.
Por outro lado se AA ∈ F(θ), ou equivalentemente se todos os projetivos indecomponíveis
estão em F(θ), dizemos que θ é um sistema estrati�cante estândar.
Se θ é um sistema estrati�cante, F(θ) é fechada por extensões e, portanto, por somas diretas.
Mais ainda, F(θ) é fechada por somandos diretos e funtorialmente �nita (Ver [11]) e, portanto,
tem sequências de Auslander-Reiten relativas (Ver [15]). No entanto, em geral, ela não é fechada
por núcleos de epimor�smos como veremos no seguinte exemplo.
25
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
Exemplo 2.1.4. (em [11]) Seja A ∼= KQ, onde Q é o carcás 1−→ 2. Então o conjunto θ =
{θ1 = I2, θ2 = I1} é um sistema estrati�cante. Consideremos a seguinte sequência exata
0−→S2−→ I2−→ I1−→ 0.
Como P2 = S2 /∈ F(θ) a categoria F(θ) não é fechada por núcleos de epimor�smos e θ não é um
sistema estrati�cante estândar.
�
De�nição 2.1.5. Sejam C uma subcategoria plena de modA e X um objeto em C. Dizemos que
X é relativamente projetivo na categoria C se Ext1A(X, )|C = 0. Dualmente, dizemos que
X é relativamente injetivo em C se vale a igualdade Ext1A( , X)|C = 0.
Dado um sistema estrati�cante (θ, Y ) sobre a K-álgebra A, denotamos por Y(θ) a subcate-
goria plena dos módulos X ∈ modA tais que Ext1A( , X)|F(θ) = 0. Em outras palavras, temos
que
Y(θ) = {X ∈ modA : Ext1A(X, θi) = 0, para todo i = 1, . . . , t}.
Destacamos que os elementos do conjunto F(θ)∩Y(θ) são A-módulos relativamente injetivos
a categoria F(θ). O teorema abaixo fornece uma caracterização de tais módulos.
Teorema 2.1.6. [11] Seja (θ, Y ) um sistema estrati�cante de tamanho t. Então
F(θ) ∩ Y(θ) = addY, onde Y =t⊕i=1
Yi.
�
A seguir de�niremos o grupo de Grothendieck para um sistema estrati�cante e veremos que,
assim como o grupo de Grothendieck de uma álgebra, é um grupo livre gerado por um conjunto
�nito.
De�nição 2.1.7. Seja θ um sistema estrati�cante de tamanho t. O grupo de Grothendieck
de θ é o grupo abeliano K0(θ) = Fθ/F′θ, onde Fθ é o grupo abeliano livre que cuja base é o
conjunto de classes de isomor�smos M de módulos M em F(θ) e F ′θ é o subgrupo de Fθ gerado
pelos elementos da forma M − L− N correspondentes às sequências exatas 0→L→M→N→ 0
em F(θ).
Denotamos por [M ] a imagem da classe de isomor�smo M do módulo M pelo epimor�smo
canônico de grupos π : Fθ −→Fθ/F′θ. De�nimos o homomor�smo de grupos dimθ : K0(θ)−→Zt
da seguinte forma
26
Módulos estândares
dimθ([M ]) =
[M : θ1]
...
[M : θt]
Observação 2.1.8. Se 0−→N −→M −→L−→ 0 é uma sequência exata curta de A-módulos
em F(θ), então
dimθ([M ]) = dimθ([N ]) + dimθ([L]).
Proposição 2.1.9. Seja θ um sistema estrati�cante de tamanho t. Então o grupo de Grothen-
dieck de θ, K0(θ), é um grupo abeliano livre que tem como base o conjunto {[θ1], . . . , [θt]}. Alémdisso, o homomor�smo de grupos dimθ é um isomor�smo de grupos.
Demonstração. Sejam M ∈ F(θ) e 0 = M0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . . ⊆M` = M uma θ-�ltração de
M . Pela de�nição de K0(θ), temos que
[M ] = [Mt/Mt−1] + [Mt−1]
=∑`
j=1[Mj/Mj−1]
=∑`
j=1[M : θj ][θj ].
Isto prova que {[θ1], . . . , [θt]} gera o grupo K0(θ). Por outro lado, é claro que M ∼= N implica
que dimθ([M ]) = dimθ([N ]). Desde que a imagem pelo homomor�smo dimθ do conjunto gerado
por {[θ1], . . . , [θt]} é a base canônica do grupo livre Zt, então o conjunto {[θ1], . . . , [θt]} é Z-linearmente independente em K0(θ).
Portanto,K0(θ) é o grupo livre gerado por {[θ1], . . . , [θt]} e o homomor�smo dimθ : K0(θ)→Zt
é um isomor�smo de grupos.
�
2.2 Módulos estândares
De�niremos o conjunto dos módulos estândares, as álgebras estandarmente estrati�cadas
e uma classe particular delas: as álgebras quase-hereditárias. Além disso, usando o grupo de
Grothendieck para um sistema estrati�cante, faremos uma demonstração simples de que uma
álgebra estandarmente estrati�cada é quase-hereditária se, e somente se, tem dimensão global
�nita.
Mais detalhes acerca dos tópicos tratados aqui podem ser encontrados, por exemplo, em
[15, 21, 5].
De�nição 2.2.1. Dados os A-módulos X e Y , de�nimos o traço de Y em X, que denotamos
por τY (X), como o submódulo de X gerado pelas imagens dos homomor�smos de Y em X, isto
é,
τY (X) = 〈Imϕ : ϕ ∈ HomA(Y,X)〉.
27
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
Seja A uma K-álgebra. Dado um conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos
{e1, ..., en} de A, para cada i, 1 ≤ i ≤ n, denotamos por εi o idempotente
εi = ei + ei+1 + · · ·+ en
e de�nimos εn+1 = 0. Por �m, usando esta notação, de�nimos os módulos estândares.
De�nição 2.2.2. Seja e = (e1, ..., en) uma ordem �xada de um conjunto ordenado e completo
de idempotentes ortogonais e primitivos {e1, ..., en} de A. A sequência ∆ = (41, . . . ,4n) de
módulos estândares à direita, com respeito à ordem e, é dada por
4i = Pi/τεi+1A(Pi) = Pi/eiAεi+1A.
De forma equivalente, o módulo estândar 4i de�ne-se como o quociente maximal de Pi tal
que se [4i : Sj ] 6= 0 então j ≤ i.
Proposição 2.2.3. (Propriedades dos módulos estândares)
1. HomA(4i,4j) = 0, se j < i .
2. Ext1A(4i,4j) = 0, se j ≤ i.
�
Como os módulos estândares têm topo simples, então eles são indecomponíveis. Em vista
disto o conjunto 4 é um sistema estrati�cante de tamanho o posto de K0(A).
De�nição 2.2.4. Sejam A uma K-álgebra, 4 a sequência dos módulos estândares relativa a uma
ordem e = (e1, ..., en) �xada dos idempotentes. Dizemos que A é uma álgebra estandarmente
estrati�cada se AA ∈ F(4).
De forma equivalente, A é uma álgebra estandarmente estrati�cada se todos os módulos
projetivos indecompiníveis são �ltrados por 4.O próximo exemplo mostra que a propriedade de uma álgebra ser estandarmente estrati�cada
depende da ordem �xada para os idempotentes.
Exemplo 2.2.5. Seja A ∼= kQ/I onde I =⟨αβ, β2
⟩e Q é o carcás
1· α // ·2 βff
Na ordem e1 = (e1, e2) o conjunto dos módulos estândares é 4 = {41 = S1,42 = P2}. Logo,A junto com e1 não é estandarmente estrati�cada, pois a única cadeia de submódulos de P1 é
0 ⊂ radP1 = S2 ⊂ P1,
que não é uma 4-�ltração uma vez que S2/0 ∼= S2 /∈ 4. No entanto, na ordem e2 = (e2, e1)
o conjunto dos módulos estândares é 4 = {41 = P2,42 = P1}. Isto é A junto com e2 é uma
álgebra estandarmente estrati�cada.
28
Módulos estândares
�
As álgebras estandarmente estrati�cadas têm muitas propriedades interessantes das quais
enunciaremos algumas. Mas antes de�niremos módulo inclinante generalizado.
De�nição 2.2.6. Seja A uma K-álgebra. Um A-módulo T é dito módulo inclinante genera-
lizado se satisfaz as condições abaixo:
1. pd T <∞.
2. ExtiA(T, T ) = 0, para todo inteiro i ≥ 1.
3. Existe uma sequência exata do tipo
0−→AA−→T0−→T1−→ · · · −→Ts−→ 0,
com Ti ∈ add T , para i = 0, 1, . . . , s.
Teorema 2.2.7. [21] Seja A uma K-álgebra estandarmente estrati�cada relativa à sequência de
A-módulos (à direita) estândares 4 = (41, . . . ,4n). Então:
1. Os módulos relativamente projetivos em F(4) são justamente os A-módulos projetivos.
2. F(4) é fechada por núcleos de epimor�smos.
3. Existe um A-módulo inclinante generalizado T , único a menos da multiplicidade dos so-
mandos diretos indecomponíveis, tal que
add T = F(4) ∩ Y(4).
4. A álgebra B = EndA(T ) é estandarmente estrati�cada com sequência de B-módulos (à
esquerda) estândares 4′ = (4′1, . . . ,4′n), onde 4′i = HomA(4n−i+1, T ).
�
De�nição 2.2.8. Dizemos que A é uma álgebra quase-hereditária se A é uma álgebra
estandarmente estrati�cada e EndA(4i) é um anel com divisão para i = 1, 2, . . . , n, onde
n = posto K0(A).
Equivalentemente, A é quase-hereditária se, e somente se, A é estandarmente estrati�cada e
[4i : Si] = 1, para i = 1, . . . , n.
Exemplo 2.2.9. 1. Uma álgebra hereditária é quase-hereditária com relação a qualquer or-
dem e de um conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos. Mais ainda, se A
é uma álgebra quase-hereditária com relação a qualquer ordem e de um conjunto completo
de idempotentes primitivos e ortogonais, então A é uma álgebra hereditária [8].
29
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
2. Seja A a álgebra de caminhos do seguinte carcás
·1
α1−→ ·2
α2−→ ·3−→ · · · −→ ·
n−1
αn−→ ·n,
limitado pelas relações αiαi−1 = 0, para i = 2, . . . , n. Com relação à ordem e = (e1, . . . , en)
temos que 4i = Si e, portanto, A é uma álgebra quase-hereditária.
�
Observação 2.2.10. Como, pela Proposição 1.5.4, o homomor�smo de grupos dim : K0(A)→Zn,de�nido por
dim([M ]) =
[M : S1]
...
[M : Sn]
é um isomor�smo, pode-se considerar a composta (dim)−1dim4 : K0(4)−→K0(A). Se escreve-
mos a matriz de tal homomor�smo relativo às bases {[4i]}ni=1 e {[Si]}ni=1 para K0(4) e K0(A),
respectivamente, obtemos
D =
[41 : S1] [42 : S1] . . . [4n : S1]
[41 : S2] [42 : S2] . . . [4n : S2]
[41 : S3] [42 : S3] . . . [4n : S3]...
......
[41 : Sn] [42 : Sn] . . . [4n : Sn]
.
Como os fatores de composição do módulo 4i são módulos simples Sj , com j ≤ i, então a matriz
D tem a forma
D =
[41 : S1] [42 : S1] . . . [4n : S1]
0 [42 : S2] . . . [4n : S2]
0 0 . . . [4n : S3]...
......
0 0 . . . [4n : Sn]
.
Portanto det D = [41 : S1][42 : S2] · · · [4n : Sn] > 0.
Como consequência temos o seguinte corolário.
Corolário 2.2.11. Se A é uma K-álgebra estandarmente estrati�cada, então A é uma álgebra
quase-hereditária se, e somente se, detD = 1.
Demonstração. Decorre imediatamente da anterior observação e da de�nição de álgebra quase-
hereditária.
�
30
Sequências excepcionais
Agora suponhamos que A é uma álgebra estandarmente estrati�cada. Neste caso, se X ∈F(4) então pd X ≤ n − 1 (Ver [1]). Isto implica que o conjunto {[Pi]}ni=1 é uma base para
K0(4). Usando esta base para K0(4) podemos escrever a seguinte matriz para o homomor�smo
(dim)−1dim4
C =
[P1 : S1] [P2 : S1] . . . [Pn : S1]
[P1 : S2] [P2 : S2] . . . [Pn : S2]
[P1 : S3] [P2 : S3] . . . [Pn : S3]...
......
[P1 : Sn] [P2 : Sn] . . . [Pn : Sn]
.
Deste modo C eD são matrizes semelhantes e, portanto, det D = det C. Por outro lado, notemos
que C é justamente a matriz de Cartan de A. Portanto temos o seguinte resultado.
Corolário 2.2.12. Seja A uma álgebra estandarmente estrati�cada. Então o determinante da
matriz de Cartan de A é positivo.
�
Proposição 2.2.13. Seja A uma álgebra estandarmente estrati�cada com dimensão global �nita.
Então A é uma álgebra quase-hereditária.
Demonstração. Se a dimensão global de A é �nita então, segundo a Proposição 3.10 do Cap.
III em [2], detC ∈ {−1, 1}. De outro lado, como detC > 0, segundo o corolário acima, então
detC = 1. Portanto, como consequência do Corolário 2.2.11, A é uma álgebra quase-hereditária.
�
Proposição 2.2.14. [8] Se A uma álgebra quase-hereditária então:
1. pd 4i ≤ n− i.
2. pd Si ≤ n+ i− 2.
3. gd A ≤ 2(n− 1).
�
Finalmente, usando a proposição acima e o Corolário 2.2.13, temos o seguinte teorema.
Teorema 2.2.15. Seja A umaK-álgebra estandarmente estrati�cada. Então A é quase-hereditária
se, e somente se, a dimensão global de A é �nita.
�
2.3 Sequências excepcionais
O conceito de sequência excepcional foi introduzido por Gordentsev e Rudakov em [9]. Tais
sequências têm sido usadas para estudar �brados vetoriais sobre P2 e categorias derivadas de
31
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
variedades algébricas (ver por exemplo [4, 16]). Além disso, Crawely-Boevey considerou a noção
correspondente no contexto das representações de um carcás e, em [6], demonstrou que se K é
um corpo algebricamente fechado e A é uma K-álgebra hereditária, existe uma ação transitiva
do grupo de tranças gerado por s − 1 elementos sobre o conjunto de sequências excepcionais
completas de tamanho s. Depois Ringel, em [14], mostrou que o mesmo resultado vale se A for
uma álgebra de Artin.
Em [20], U. Seidel calculou o número de sequências excepcionais completas sobre as álgebras
hereditárias de tipo Dynkin. Mas a descrição concreta de sequências excepcionais não tem sido
estudada para álgebras hereditárias de tipo de representação in�nito.
Nesta seção mostramos que o conceito de sequência excepcional e o de sistema estrati�cante
sobre uma álgebra hereditária coincidem. Além disso, encontramos um limitante para o tamanho
de um sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária e vemos como estes sistemas estão
estreitamente relacionados com os módulos inclinantes. Também, usamos resultados de [6], para
calcular todos os sistemas estrati�cantes completos sobre a álgebra de Kronecker e sobre as
álgebras de Kronecker generalizadas.
De�nição 2.3.1. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra hereditária.
Dizemos que um A-módulo X é excepcional se satisfaz as seguintes condições:
1. EndA(X) ∼= K,
2. Ext1A(X,X) = 0.
Uma sequência excepcional E = (X1, . . . , Xt) de tamanho t é uma sequência de A-módulos
tais que:
1. Xi é um módulo excepcional, para 1 ≤ i ≤ t.
2. HomA(Xi, Xj) = 0, para i > j.
3. Ext1A(Xi, Xj) = 0, para i ≥ j.
Destacamos que a de�nição acima é bem parecida à de sistema estrati�cante. De fato, se os
elementos de uma dada sequência excepcional são módulos indecomponíveis, então tal sequência
é um sistema estrati�cante.
A seguir, no intuito de usar livremente os resultados sobre sequências excepcionais obtidos em
[6], veremos que os conceitos de sequência excepcional e sistema estrati�cante sobre uma álgebra
hereditária coincidem. Para isto, enunciaremos o seguinte lema que será de grande utilidade.
Lema 2.3.2. (em [2], Cap.VIII, 3.3) Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma
K-álgebra hereditária de dimensão �nita. Se T1 e T2 são A-módulos indecomponíveis tais que
Ext1A(T2, T1) = 0, então qualquer homomor�smo não nulo f : T1−→T2 é ou um monomor�smo
32
Sequências excepcionais
ou um epimor�smo. Em particular, se T1 é um módulo indecomponível e Ext1A(T1, T1) = 0, então
EndA(T1) ∼= K.
�
Como uma consequência imediata temos o seguinte corolário.
Corolário 2.3.3. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K- álgebra de dimensão
�nita e hereditária. Seja M um A-módulo tal que Ext1A(M,M) = 0. Então M é indecomponível
se, e somente se, EndA(M) ∼= K.
Demonstração. Suponhamos que M é indecomponível e Ext1A(M,M) = 0. Então, pelo lema
anterior, resulta que EndA(M) ∼= K. Reciprocamente, se EndA(M) ∼= K, então EndA(M) é um
anel local e, portanto, M é indecomponível.
�
Corolário 2.3.4. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão
�nita. Se A é hereditária, então a sequência de A-módulos (X1, X2, . . . , Xt) é uma sequência
excepcional se, e somente se, o conjunto {X1, X2, . . . , Xt} é um sistema estrati�cante sobre A.
�
Antes de enunciar o próximo resultado vamos lembrar as de�nições de módulo inclinante
parcial e de módulo inclinante.
De�nição 2.3.5. Seja A uma K-álgebra. Um A-módulo T é dito módulo inclinante parcial
se satisfaz as seguintes condições:
(T1) pd T ≤ 1.
(T2) Ext1A(T, T ) = 0.
Além disso, um módulo inclinante parcial é dito módulo inclinante se existir uma sequência
exata da forma
(T3) 0−→AA−→T0−→T1−→ 0, com Ti ∈ add T , para i = 0, 1.
Se T é um módulo inclinante parcial livre de multiplicidade no número de somandos diretos
indecomponíveis dizemos que T é um módulo inclinante parcial básico.
Lema 2.3.6. (3.4 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra e T um A-módulo inclinante parcial.
Então existe um A-módulo E tal que T ⊕ E é um A-módulo inclinante.
�
A proposição a seguir da um critério para saber quando um módulo inclinante parcial T é
um módulo inclinante em termos do número de somando diretos indecomponíveis não isomorfos
de T .
33
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
Proposição 2.3.7. (4.4 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra e T um A-módulo incli-
nante parcial. Então T é um módulo inclinante se, e somente se, o número de somandos diretos
indecomponíveis e dois a dois não isomorfos de T é igual ao posto de K0(A).
�
Do Lema 2.3.6 e proposição acima podemos a�rmar que se T é um A-módulo inclinante
parcial básico então o número de somandos diretos não isomorfos de T é no maximo n = K0(A).
Como consequência temos um limitante para o tamanho de um sistema estrati�cante sobre uma
álgebra hereditária.
Lema 2.3.8. Sejam A = KQ, onde Q é um carcás acíclico com n vértices, e X = (X1, . . . , Xt)
um sistema estrati�cante sobre A. Então
F(X) ∩ Y(X) = addT,
onde T é um A-módulo inclinante parcial básico, e t ≤ n.
Demonstração. Pelo Teorema 2.1.6 sabemos que F(X) ∩ Y(X) = addY , onde Y é um A-
módulo com t somandos diretos indecomponíveis dois a dois não isomorfos e tal que Ext1A(Y, Y ) =
0. Isto é, Y é um módulo inclinante parcial, o que implica que t ≤ n.�
A hipótese de que A seja uma álgebra hereditária no anterior lema é essencial. Para veri�car
isto temos o seguinte exemplo.
Exemplo 2.3.9. [11] Seja A ∼= KQ/I, onde Q é o seguinte carcás
3α−→ 1
β←− 2γ←− 4
e I = 〈γβ〉. Fazendo θ1 = S1 = P1, θ2 = P2, θ3 = P3, θ4 = P4 = I2 e θ5 = S4 temos que o
sistema estrati�cante θ = {θ1, θ2, θ3, θ4, θ5} é estândar e de tamanho 5.
�
O limitante para o tamanho de um sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária
exibido no Lema 2.3.8 incentiva a seguinte de�nição.
De�nição 2.3.10. Sejam Q um carcás acíclico com n vértices e A = KQ. Dizemos que um
sistema estrati�cante X = (X1, . . . , Xt) sobre A é completo se tem tamanho n.
Observação 2.3.11. A�rmamos que, se θ é um sistema estrati�cante estândar sobre uma ál-
gebra hereditária A = KQ, então θ é completo. De fato, se t é o tamanho de θ então, pelo
Lema 2.3.8, temos que t ≤ |Q0|. De outro lado, em [11], foi demonstrado que se θ é um sistema
estrati�cante estândar então |Q0| ≤ t.
34
Sequências excepcionais
Mas a recíproca desta a�rmação não é verdadeira, isto é, nem todo sistema estrati�cante
completo é estândar, como mostra o Exemplo 2.1.4.
De�nição 2.3.12. Sejam (θ, Y ) e (θ′, Y ′) dois sistemas estrati�cantes de tamanho t, αi :
θi−→Yi e α′i : θ′i−→Y ′i , com i = 1, . . . , t, mor�smos como na De�nição 2.1.1. Um mor�smo de
sistemas estrati�cantes, f : (θ, Y )−→ (θ′, Y ′), é um conjunto de mor�smos f = {f1(i), f2(i)}ti=1,
onde f1(i) : θi−→ θ′i e f2(i) : Yi−→Y ′i são homomor�smos tais que
f2(i)αi = α′(i)f1(i), para todo i = 1, . . . , t.
0 mor�smo f = {f1(i), f2(i)}ti=1 é um isomor�smo se f1(i) e f2(i) são isomor�smos para todo
i = 1, . . . , t.
Proposição 2.3.13. [11] Sejam (θ, Y ) e (θ′, Y ) sistemas estrati�cantes de tamanho t. Então
existe um isomor�smo de sistemas estrati�cantes
f : (θ, Y )−→ (θ′, Y ).
�
Proposição 2.3.14. [11] Sejam (θ, Y ) e (θ, Y ′) dois sistemas estrati�cantes de tamanho t.
Então existem A-isomor�smos fi : Y (i)−→Y ′(i), para cada i = 1, . . . , t, tais que
f = {1θ(i), f1(i)}ti=1 : (θ, Y )−→ (θ, Y ′)
é um isomor�smo de sistemas estrati�cantes. �
De�nição 2.3.15. Sejam (T1, . . . , Tt) uma sequência de módulos indecomponíveis não isomorfos
e T = T1 ⊕ · · · ⊕ Tt. Dizemos que a sequência (T1, . . . , Tt) é uma sequência especial para T se
existir um sistema estrati�cante (X1, . . . , Xt) tal que as seguintes duas condições se veri�cam:
1. F(X) ∩ Y(X) = add(T ).
2. Existem sequências exatas da forma
0−→Xi−→Ti→Zi−→ 0,
com Zi ∈ F(X1, . . . , Xi−1), para todo i = 1, . . . , t.
Notemos que, segundo a Proposição 2.3.13, dada uma sequência especial (T1, . . . , Tt) de um
módulo T existe um único sistema estrati�cante associado a esta. Mais ainda, segundo a Pro-
posição 2.3.14, dado um sistema estrati�cante existe uma única sequência especial (T1, . . . , Tt)
de um módulo T associada a este. Como consequência temos que, se A é uma álgebra heredi-
35
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
tária existe uma bijeção entre as sequências especiais dos A-módulos inclinantes parciais com t
somandos diretos e os sistemas estrati�cantes sobre A de tamanho t.
A seguir vamos enunciar dois resultados que aparecem em [6] (Lemas 1 e 2 respectivamente)
e que usaremos com muita frequência ao longo deste trabalho.
Lema 2.3.16. [6] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e
(X1, . . . , Xa, Z1, . . . , Zc) uma sequência excepcional (não completa) sobre A. Então ela pode ser
estendida a uma sequência excepcional completa na forma
(X1, . . . , Xa, Y1, . . . , Yb, Z1, . . . , Zc).
�
Lema 2.3.17. [6] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e
E = (X1, . . . , Xn) e F = (Y1, . . . , Yn) sequências excepcionais completas sobre A tais que Xi∼= Yi
para todo i 6= j. Então Xj∼= Yj.
�
A seguir usaremos estes dois lemas para construir todas os sistemas estrati�cantes sobre um
tipo muito especial de álgebra.
Teorema 2.3.18. Seja A a K-álgebra de caminhos dada pelo carcás
2
α1
...%%
αm
99 1
com m ≥ 2. Então na seguinte lista estão todos os sistemas estrati�cantes completos sobre A.
1. (P1, P2).
2. (P2, τ−1P2).
3. (τ−iP1, τ−iP2), com i ≥ 1.
4. (τ−iP2, τ−i−1P1), com i ≥ 1.
5. (I1, I2).
6. (I2, P1).
7. (τI2, I1).
8. (τ iI1, τiI2), com i ≥ 1.
9. (τ i+1I2, τiI1), com i ≥ 1.
36
Sequências excepcionais
Demonstração. Primeiro vamos observar que os módulos regulares indecomponíveis sobre a
álgebra considerada têm auto-extensões, isto é se M é um A-módulo regular e indecomponível
então Ext1A(M,M) 6= 0. De fato, para m = 2 estes estão sobre um tubo de posto 1 do carcás de
Auslander-Reiten e param > 2 podemos concluir que não tem auto-extensões como consequência
do Corolário 2.16 Cap. XVIII em [18]. Assim qualquer sistema estrati�cante sobre esta álgebra
não pode conter módulos regulares.
Para construir um sistema estrati�cante completo sobre A vamos usar A-módulos pós-
projetivos ou pré-injetivos indecomponíveis uma vez que estes não têm auto-extensões.
Vamos fazer a veri�cação de que os pares em 1 e 3 da lista são sistemas estrati�cantes
completos. As outras veri�cações são análogas.
Para o par (P1, P2) é só notar que P1 é um projetivo simples e, portanto, HomA(P2, P1) = 0.
Para o par (τ−iP1, τ−iP2), com i ≥ 1, pelo Corolário 2.15 (c) em [2], temos que
HomA(τ−iP2, τ−iP1) ∼= HomA(P2, P1)
e então HomA(τ−iP2, τ−iP1) = 0. Por outro lado, usando a fórmula de Auslander, segue que
Ext1A(τ−iP2, τ
−iP1) = DHomA(τ−iP1, τ−i+1P2)
= DHomA(τ−1P1, P2)
= 0.
Assim (τ−iP1, τ−iP2), com i ≥ 1, é um sistema estrati�cante completo sobre A.
Para �nalizar devemos garantir que a lista está completa. Para isto, segundo o Lema 2.3.16,
é su�ciente com que para cada A-módulo pós-projetivo ou pré-injetivo M existam sequências
excepcionais da forma (M,M ′) e (M ′′,M). Isto de fato acontece.
�
Sejam A uma álgebra hereditária e X = (X1, . . . , Xt) um sistema estrati�cante sobre A.
Denotamos por C(X) a menor subcategoria plena de modA que contém X e que é fechada por
extensões.
Lema 2.3.19. Seja X um sistema estrati�cante sobre a K-álgebra A (não necessariamente
hereditária), então F(X) ⊆ C(X).
Demonstração. Seja M ∈ F(X). Faremos a prova por indução no X-comprimento de M . Se
M ∈ X, não temos nada a provar. Seja M tal que `X(M) = m, com 1 ≤ m e suponhamos que
a a�rmação vale para todos os módulos em F(X) tais que seu X-comprimento é menor do que
m. Consideremos a X-�ltração para M dada por
0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . .Mm−1 ⊆Mm = M.
Como `X(Mm−1) < m e Mm−1 ∈ F(X), pela hipótese de indução Mm−1 ∈ C(X). Por outro
37
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
lado, Mm/Mm−1∼= Xj para algum j ∈ {1, . . . , t}. Portanto, usando a sequência exata
0−→Mm−1−→Mm−→Mm/Mm−1−→ 0,
concluímos que M ∈ C(X), pois C(X) é fechada por extensões.
�
Proposição 2.3.20. Sejam A uma álgebra (não necessariamente hereditária) e X = (X1, . . . , Xt)
um sistema estrati�cante tal que todos os seus elementos são A-módulos pós-projetivos. Então
todos os módulos em F(X) são pós-projetivos. Em particular, se T é tal que
F(X) ∩ Y(X) = addT,
então, T é um módulo pós-projetivo.
Demonstração. Desde que F(X) é fechada por somas diretas é su�ciente provar a a�rmação
para os A-módulos indecomponíveis nesta categoria. Suponhamos que M ∈ F(X) é um A-
módulo indecomponível e que tem uma X-�ltração da forma
0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . .Ml−1 ⊆Ml = M.
Então existe um epimor�smo f : Ml−→Ml/Ml−1, tal que Ml/Ml−1∼= Xi, para algum i ∈
{1, . . . , t}. Como a categoria dos módulos pós-projetivos é fechada por predecessores concluímos
que M é pós-projetivo. �
De maneira análoga provamos o seguinte resultado quando os elementos de X são módulos
pré-injetivos.
Proposição 2.3.21. Sejam A uma álgebra (não necessariamente hereditária) e X = (X1, . . . , Xt)
um sistema estrati�cante tal que todos os seus elementos são A-módulos pré-injetivos. Então to-
dos os módulos em F(X) são pré-injetivos. Em particular, se T é tal que
F(X) ∩ Y(X) = addT,
então T é um módulo pré-injetivo.
�
De�nição 2.3.22. Seja A uma K-álgebra. Um par (T ,F) de subcategorias plenas de modA é
chamado um par de torção se satisfaz as condições 1, 2 e 3 abaixo:
1. HomA(M,N) = 0, para todo M ∈ T e para todo N ∈ F .
2. HomA(M, )|F = 0 implica que M ∈ T .
38
Sequências excepcionais
3. HomA( , N)|T = 0 implica que M ∈ F .
A categoria F é chamada a classe livre de torção e a categoria T é chamada a classe
de torção.
Seja M é um A-módulo. A classe dos A-módulos N tais que existe um inteiro d ≥ 0 e um
epimor�smo de A-módulos Md−→N é denotada por Gen M . Dualmente, a classe Cogen M é
a classe dos A-módulos N tais que existe um inteiro d ≥ 0 e um monomor�smo de A-módulos
N −→Md.
Proposição 2.3.23. Seja T um A-módulo inclinante parcial. Então:
1. (2.3 Cap. VI em [2])
(a) Gen T é uma classe de torção e a sua classe livre de torção correspondente é
F(T ) = {M ∈ modA/HomA(T,M) = 0}.
(b) T (T ) = {M ∈ modA/Ext1A(T,M) = 0} é uma classe de torção e a sua classe livre
de torção correspondente é Cogen τT .
2. (2.5 Cap. VI em [2]) As seguintes condições são equivalentes:
(a) T é um A-módulo inclinante.
(b) Gen T = T (T ).
(c) F(T ) = Cogen τT .
(d) Seja X um A-módulo. Então X ∈ addT se, e somente se, X é relativamente projetivo
em T (T ).
(e) Para cada módulo M ∈ T (T ) existe uma sequência exata
0−→L−→T0−→M −→ 0
com T0 ∈ addT e L ∈ T (T ).
�
Como consequência da anterior proposição, se T é um módulo inclinante o par
(GenT,F(T )) = (T (T ), Cogen τT )
é um par de torção. Tal par é chamado par de torção induzido por T em modA e o denotamos
por (T (T ),F(T )).
Vamos estudar algumas relações deste par de torção com o sistema estrati�cante ao qual T
esta associado.
39
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
Observação 2.3.24. É importante ressaltar que embora seja usada uma notação parecida para
denotar a classe livre de torção induzida por um módulo inclinante T e a categoria dos módulos
�ltrados por um sistema estrati�cante X o contexto sempre permitirá entender a qual dos dois
objetos estamos nos referindo.
Se X é um sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária e F(X) ∩ Y(X) = addT ,
então, pelo Lema 2.3.20, X 6⊆ F(T ). De fato, caso contrário como F(T ) é fechada por extensões
teríamos que F(X) ⊆ F(T ) e, em particular, que T ∈ F(T ), o qual é impossível.
Proposição 2.3.25. Sejam A uma álgebra hereditária, X = (X1, . . . , Xn) um sistema estrati�-
cante completo sobre A, T um A-módulo inclinante básico e T = ⊕ni=1Ti sua decomposição em
somandos diretos indecomponíveis. Se (T1, . . . , Tn) é uma sequência especial de T associada a
X, então as condições que seguem são equivalentes:
1. X ⊆ T (T ).
2. F(X) ⊆ T (T ).
3. Ext1A(T, )|F(X) = 0.
4. F(X) = addT .
5. Xi = Ti, para i = 1, 2, . . . , n.
6. F(X) = add (X1 ⊕ . . .⊕Xn).
Demonstração. (1 ⇒ 2) Segue do Lema 2.3.19, pois T (T ) é fechada por extensões.
(2 ⇔ 3) Uma vez que T (T ) = {M ∈ modA/Ext1A(T,M) = 0} esta equivalência é clara.
(2 ⇒ 4) Seja M um A-módulo em F(X). Segundo a Proposição 2.3.23, para provar que
M ∈ addT é su�ciente mostrar que Ext1A(M, )|T (T ) = 0. Se N ∈ T (T ), pela Proposição
2.3.23, existe uma sequência exata da forma
0−→L−→T0−→N −→ 0,
com T0 ∈ add T e L ∈ T (T ). Aplicamos o funtor HomA(M, ) nesta sequência e obtemos
· · · −→ Ext1A(M,L)−→ Ext1
A(M,T0)−→ Ext1A(M,N)−→ 0.
Como Ext1A(M,T0) = 0, pois pela hipótese F(X)∩Y(X) = addT , então Ext1
A(M,N) = 0, deste
modo F(X) ⊆ addT . Por outro lado, como T ∈ F(X) e a categoria F(X) é fechada por somas
diretas e por somandos diretos, então addT ⊆ F(X).
Para (4⇒ 5) suponhamos que F(X) = addT . Como para cada i ∈ {1, 2, . . . , n} o A-módulo
Xi é indecomponível e Xi ∈ F(X), então addT = add(X1 ⊕ . . .⊕Xn).
40
Sequências excepcionais
Por outro lado, como (T1, . . . , Tn) é uma sequência especial de T associada ao sistema estra-
ti�cante X, então addT = Y(X) ∩ F(X) e para i ∈ {1, 2, . . . , n}, existe uma sequência exata
da forma
0−→Xi−→Ti−→Zi−→ 0,
onde Zi ∈ F(X1, . . . , Xi−1). Desta maneira, temos as seguintes igualdades
add(X1 ⊕ . . .⊕Xn) = addT = Y(X) ∩ F(X) = F(X).
Portanto, se Zi 6= 0 a sequência exata acima cinde, pois Xi e Zi estão em addT . Mas isto
não é possível pois Ti é um A-módulo indecomponível. Logo Zi = 0 e, portanto, Xi = Ti.
Claramente (5 ⇒ 1).
(5 ⇒ 6) Suponhamos que Xi = Ti, para i = 1, . . . , n. Como F(X) é fechada por somandos
diretos então add(X1 ⊕ . . .⊕Xn) = add(T1 ⊕ . . .⊕ Tn) ⊆ F(X).
Seja M ∈ F(X). Vamos demonstrar que M ∈ add(X1 ⊕ . . . ⊕ Xn) por indução no X-
comprimento de M . Se M ∈ X não temos nada a provar. Seja M tal que `X(M) = m, com
m ≥ 1, e suponhamos que a a�rmação vale para os módulos em F(X) tais que o seu X-
comprimento é menor do que m. Consideramos a X-�ltração para M dada por
0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . .Mm−1 ⊆Mm = M,
para construir a sequência exata
0−→Mm−1−→M −→M/Mm−1−→ 0. (∗)
Como `X(Mm−1) < m, pela hipótese de indução, Ml−1 ∈ add(T1 ⊕ . . . ⊕ Tn). Por outro lado,
M/Mm−1∼= Ti, para algum i ∈ {1, . . . , t}. Portanto a sequência (∗) cinde, o que implica que
M ∈ add(X1 ⊕ . . .⊕Xn). Concluímos que
add(X1 ⊕ . . .⊕Xn) = add T = F(X).
(6 ⇒ 5) Suponhamos que F(X) = add(X1 ⊕ . . . ,⊕Xn). Como add T ⊆ F(X), então addT ⊆add(X1 ⊕ . . .⊕Xn). Desde que T tem n somandos diretos não isomorfos F(X) = add T. Uma
vez que a implicação (4 ⇒ 5) é válida concluímos que Xi = Ti, para i = 1, . . . , n.
�
Exemplo 2.3.26. Seja A = KQ, onde Q é o carcás
Q : 2
α1
...%%
αm
99 1
41
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias
comm ≥ 2. Usaremos a lista de sistemas estrati�cantes obtida na Proposição 2.3.18 para fornecer
exemplos de sistemas estrati�cantes, satisfazendo as condições da proposição anterior, mas cujos
elementos não são todos módulos injetivos ou projetivos. Notemos que em tal lista todos os
sistemas estrati�cantes, exceto (I2, P1), estão formados por módulos ou somente pós-projetivos
ou somente pré-injetivos. Mais ainda, se X = (X1, X2) é um sistema estrati�cante completo
sobre a álgebra A e X 6= (I2, P1), então F(X) = add(X1 ⊕X2).
Vejamos primeiro que para o sistema estrati�cante (I2, P1) não vale tal igualdade. Para tal
calculemos a matriz de Cartan de A e a sua inversa. Temos, então, que
CA =
[1 m
0 1
]e C−1
A =
[1 −m0 1
].
Portanto, a matriz de Coxeter de A, que esta de�nida por ΦA = −CtAC−1A , é igual a
ΦA =
[−1 m
−m m2 − 1
].
Pela Proposição 1.6.7, temos que
dim τI2 = ΦA(dim I2) =
[−1 m
−m m2 − 1
][1
m
]=
[m2 − 1
m(m2 − 2)
]
e, desde que m2 − 1 6= 0 para m 6= 1, pelo Corolário 1.5.5, temos que
[τI2, S1] = dimK HomA(P1, τI2) = m2 − 1 6= 0.
Por outro lado, usando a fórmula de Auslander, resulta que
Ext1A(I2, P1) ∼= DHomA(P1, τI2) 6= 0.
Isto signi�ca que P1 não é um módulo relativamente injetivo na categoria F(X), e portanto,
F(I2, P1) 6= add(I2 ⊕ P1).
Para o sistema estrati�cante (τ i+1I2, τiI1), temos que τ iI1 é relativamente injetivo em
F(τ iI1, τi+1I2). De fato, pela fórmula de Auslander, temos que
Ext1A(τ i+1I2, τ
iI1) ∼= DHomA(τ iI1, τi+2I2) ∼= DHomA(I1, τ
2I2) = 0.
Portanto F(τ i+1I2, τiI1) = add(τ i+1I2 ⊕ τ iI1). Para os demais sistemas estrati�cantes da lista
vale a mesma a�rmação e a veri�cação é análoga.
42
Capítulo 3
Sistemas estrati�cantes de módulos
regulares sobre álgebras hereditárias
euclidianas
Se A é uma álgebra hereditária existe uma relação estreita entre os sistemas estrati�cantes
sobre A e os A-módulos inclinantes. Uma questão de interesse é analisar a existência de um
sistema estrati�cante completo formado somente de módulos regulares.
Se A é uma álgebra de Kronecker ou uma Kronecker generalizada todos os módulos regulares
têm auto-extensões e, portanto, um sistema estrati�cante sobre A não tem elementos regulares.
Se A = KQ e o grafo subjacente Q de Q é um dos diagramas de Dynkin, então modA
não tem módulos regulares. Assim, neste caso, também não é possível construir um sistema
estrati�cante formado por módulos regulares.
Neste capítulo demonstraremos que, se Q é um diagrama euclidiano, não é possível construir
um sistema estrati�cante com tais características e encontramos uma limitante para o tamanho
de um sistema estrati�cante formado de módulos regulares. Mais ainda, mostramos que não
é possível construir tal sistema estrati�cante em um tipo mais geral de álgebras: as álgebras
disfarçadas de tipo euclideano.
3.1 Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras
hereditárias euclidianas
Demostraremos que em um tubo Tλ estândar, hereditário e estável de posto r ≥ 1 em
Γ(modA) pode-se construir um módulo inclinante parcial e básico T com no máximo r − 1
somandos em add Tλ. Como uma consequência concluimos que, sobre uma álgebra hereditária
euclidiana A, um sistema estrati�cante formado de módulos regulares tem no máximo tamanho
n− 2, onde n é o posto de K0(A).
Começaremos enunciando alguns lemas técnicos.
43
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
De�nição 3.1.1. Seja (T , τ) um tubo estável. Então
1. O conjunto dos pontos em T que têm exatamente um predecessor imediato (ou equivalen-
temente exatamente um sucessor imediato) é chamado boca de T .
2. Dado um ponto x na boca de T , o raio começando em x é o único caminho seccional
in�nito
x = x[1]→x[2]→x[3]→ · · · →x[m]→ · · ·
Lema 3.1.2. (1.4 Cap. X em [17]) Seja A uma álgebra e Tλ um tubo estável de posto rλ ≥ 1
em Γ(modA). Se (X1, . . . , Xrλ) é um τ -ciclo de A-módulos na boca do tubo Tλ. Então
1. Para cada i ∈ {1, . . . , rλ} existe um único raio
Xi = Xi[1]→Xi[2]→Xi[3]→ · · · →Xi[m]→ · · ·
2. Cada A-módulo indecomponível M em Tλ é da forma M ∼= Xi[m], para algum i ∈{1, . . . , rλ} e m ≥ 1.
�
Para um módulo indecomponível M ∼= Xi[j] num tubo estável Tλ o cone determinado por
M , que denotamos por C(M), consiste dos A-módulos Xs[u], com s ∈ {i, i+ 1, . . . , i+ j − 1} eu ≤ i + j − s. Além disso, o inteiro j é denotado por `λ(M). Gra�camente o cone de M tem a
seguinte forma
Xi[1]
Xi+1[1]
Xi+2[1]
. . . Xi+j−2[1]
Xi+j−1[1]
Xi[2]
>>
Xi+1[2]
>>
. . . . ..
>>
Xi+j−2[2]
>>
Xi[3]
>>
. . .
. ..
. ..
>>
. . .
Xi+1[j − 2]
>>
. ..
Xi[j − 1]
>>
Xi[j − 1]
>>
M ∼= Xi[j]
>>
Lema 3.1.3 (1.7 Cap. XVII em [18]). Sejam A uma álgebra e Tλ um tubo estável, estândar e
hereditário de Γ(modA). Para cada par de A-módulos indecomponíveis M e N em add Tλ tais
que Ext1A(M ⊕N,M ⊕N) = 0, uma das seguintes condições é satisfeita:
44
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
1. C(M) ⊆ C(N),
2. C(N) ⊆ C(M) ou
3. C(M) ∩ C(N) = ∅, C(M) ∩ τC(N) = ∅ e τC(M) ∩ C(N) = ∅.
�
Corolário 3.1.4. Sejam A uma álgebra e Tλ um tubo estável, estândar e hereditário de Γ(modA)
de posto rλ ≥ 1. Se N1, . . . , Nt são A-módulos indecomponíveis e dois a dois não isomorfos em
add Tλ, tais que Ext1A(N1⊕. . .⊕Nt, N1⊕. . .⊕Nt) = 0 e que C(Ni)∩C(Nj) = ∅, sempre que i 6= j,
então
`λ(N1) + · · ·+ `λ(Nt) ≤ rλ − t.
Demonstração. Seja (X1, . . . , Xrλ) um τ -ciclo na boca do tubo Tλ. Para i = 1, . . . , t vamos
denotar por Ni e τNi os conjuntos
Ni = C(Ni) ∩ {X1, . . . , Xrλ} e τNi = τC(Ni) ∩ {X1, . . . , Xrλ}.
Segundo o Lema 3.1.2 existem inteiros li e ti tais que Ni∼= Xli [ti], para cada i ∈ {1, . . . , t}.
Então Ni = {Xli [1], . . . , Xli+ti−1[1]} e τNi = {Xli−1[1], . . . , Xli+ti−2[1]}. Portanto
|Ni ∪ τNi| = ti + 1 = `λ(Ni) + 1.
Como Ext1A(Ni ⊕ Nj , Ni ⊕ Nj) = 0 e C(Ni) ∩ C(Nj) = ∅, sempre que i 6= j, pelo Lema 3.1.3,
temos que C(Ni) ∩ τC(Nj) = ∅ e que τC(Ni) ∩ C(Nj) = ∅. Portanto∣∣∣∣∣t⋃i=1
(Ni ∪ τNi)
∣∣∣∣∣ =
(t∑i=1
`λ(Ni)
)+ t.
Mas por outro lado,t⋃i=1
(Ni ∪ τNi) ⊆ {X1, . . . , Xrλ}.
Logot∑i=1
`λ(Ni) ≤ rλ − t.
�
Lema 3.1.5. (1.8 Cap. XVII em [18]) Sejam A uma álgebra, Tλ um tubo estândar, hereditário
e estável de Γ(modA) tal que rλ ≥ 1 e M um A-módulo indecomponível em add Tλ tal que
Ext1A(M,M) = 0. Se {X1, . . . , Xp} é um conjunto não vazio de A-módulos indecomponíveis e
45
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
dois a dois não isomorfos no cone C(M) determinado por M tal que
Ext1A(X1 ⊕ . . .⊕Xp, X1 ⊕ . . .⊕Xp) = 0.
Então p ≤ `λ(M). �
Proposição 3.1.6. Sejam A uma álgebra, Tλ um tubo estândar, hereditário e estável de Γ(modA)
tal que rλ ≥ 1. Se T é um A-módulo inclinante básico, então T tem no máximo rλ−1 somandos
diretos em add Tλ.
Demonstração. Seja T um A-módulo inclinante. De�nimos as classes X e X0 da seguinte
formaX = {X ∈ indA/X ∈ add Tλ ∩ addT} eX0 = {X ∈ X/∀Y ∈ X , C(Y ) ⊆ C(X) ou C(X) ∩ C(Y ) = ∅}.
Como T é um módulo inclinante básico, então T tem um número �nito de somandos diretos
indecomponíveis não isomorfos e, portanto, a classe X tem �nitos elementos.
Notemos que se X1, X2 ∈ X0 e X1 6= X2, então C(X1)∩C(X2) = ∅. De fato, em caso contrário
teriamos que C(X1) = C(X2) e portanto que X1 = X2.
Assim, se o número de elementos de X0 é l, segundo o Corolário 3.1.4, temos que∑X∈X0
`λ(X) ≤ rλ − l.
Por outro lado, se X ∈ X0 então, pelo Lema 3.1.5, o número de elementos em C(X) ∩ X é no
máximo `λ(X). Portanto
|X | ≤∑X∈X0
|C(X) ∩ X | ≤∑X∈X0
`λ(X) ≤ rλ − l.
Concluímos que se X 6= ∅, então |X | ≤ rλ − 1. �
Proposição 3.1.7. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão
�nita. Seja Tλ um tubo estável, estândar e hereditário em Γ(modA) de posto r ≥ 1. Então existe
um sistema estrati�cante de tamanho r − 1 contido em Tλ. Mais ainda, se X = (X1, . . . , Xt) é
um sistema estrati�cante tal que Xi ∈ Tλ, para todo i = 1, . . . , t, então t ≤ r − 1.
Demonstração. Seja (X1, . . . , Xr) um τ -ciclo na boca do tubo Tλ. Isto é, os módulos Xi estão
ordenados de tal forma que
τX2∼= X1, . . . , τXr
∼= Xr−1 e τX1∼= Xr.
Vejamos que X = (Xr−1, . . . , X1) é um sistema estrati�cante. Como Tλ é uma componente
estândar então os A-módulos X1, . . . , Xr são tijolos dois a dois ortogonais. Por outro lado, para
46
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
1 < i ≤ j ≤ r − 1, pela fórmula de Auslander, temos que
Ext1A(Xi, Xj) ∼= DHomA(Xj , τXi) ∼= DHomA(Xj , Xi−1).
Como j 6= i− 1, HomA(Xj , Xi−1) = 0. Assim, Ext1A(Xi, Xj) = 0.
Se i = 1 e 1 ≤ j ≤ r − 1, usando de novo a fórmula de Auslander, temos o isomor�smo
Ext1A(X1, Xj) ∼= DHomA(Xj , τX1) ∼= DHomA(Xj , Xr).
Como j 6= r, temos que HomA(Xj , Xr) = 0 e portanto Ext1A(X1, Xj) = 0.
Assim X = (Xr−1, . . . , X1) é um sistema estrati�cante de tamanho r− 1 com elementos em
add Tλ.Suponhamos que Y = (Y1, . . . , Yt) é um sistema estrati�cante tal que cada Yi ∈ Tλ. Pelo
Teorema 1.7.9, temos que add Tλ = EXT A(E1, . . . , Er) e, portanto, que add Tλ é uma subcate-
goria abeliana e fechada por extensões de modA. Assim, usando o Lema 2.3.19, temos a seguinte
cadeia de inclusões
F(Y ) ⊆ C(Y1, . . . , Yt) ⊆ add Tλ.
Por outro lado, do Lema 2.3.8, temos que F(Y )∩Y(Y ) = add T , onde T é um módulo inclinante
parcial básico.
Mas, pela Proposição 3.1.6, o número de somandos diretos não isomorfos de T é no máximo
r − 1. Dado que, pelo Teorema 2.1.6, o número de somandos diretos indecomponíveis de T é
igual ao tamanho de X temos que t ≤ r − 1.
�
Com o intuito de dar uma aplicação da proposição precedente vamos de�nir uma classe de
álgebras conhecidas como álgebras disfarçadas.
De�nição 3.1.8. Sejam Q um carcás �nito, conexo e acíclico tal que Q não é um diagrama
de Dynkin e A = KQ. Uma álgebra B é chamada disfarçada tipo Q se existir um A-módulo
inclinante e pós-projetivo T tal que B = EndA(T ).
Notemos que, como EndA(A) ∼= AA, se A = KQ é Q e um carcás euclidiano então A é uma
álgebra disfarçada de tipo Q.
Teorema 3.1.9. (3.4 Cap. XI em [17]) Sejam Q um carcás euclidiano, A = KQ e TA um
módulo inclinante pós-projetivo e básico. Sejam B = EndA(TA) uma álgebra disfarçada de tipo
Q e addR(B) a subcategoria plena de modB cujos objetos são todos os B-módulos regulares.
Então:
1. A categoria addR(B) é abeliana e fechada por extensões.
2. As componentes de R(B) formam uma família T B = {T Bλ }λ∈Λ de tubos estáveis, estân-
dares e dois a dois ortogonais. Mais ainda, se rBλ denota o posto de T Bλ e n = |Q0|,
47
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
então ∑λ∈Λ
(rAλ − 1) ≤ n− 2.
3. Em T B existem como máximo n−2 tubos não homogêneos. Isto é, todos exceto um número
�nito de tubos em T B são homogêneos.
4. Para cada λ ∈ Λ, o tubo Tλ está composto por objetos indecomponíveis em uma subcategoria
abeliana de modB da forma
E = EA = EXT A(E1, . . . , Er),
onde E1, . . . , Er são tijolos dois a dois ortogonais em modB tais que existe um isomor�smo
τEi+1∼= Ei, para todo i ∈ {1, . . . , rλ}, e E1 = Erλ .
�
Lema 3.1.10. (3.3 Cap. XI de [17]) Sejam Q um carcás acíclico cujo grafo subjacente é eucli-
diano, A = KQ e B uma álgebra disfarçada de tipo euclidiano Q. Então gdB ≤ 2 e todos os
B-módulos indecomponíveis Z, exceto um conjunto �nito que consiste de módulos pós-projetivos
ou pré-injetivos, são tais que pdZ ≤ 1 e idZ ≤ 1.
�
Como consequência do lema acima temos que tubos em T B são hereditários. Com isto temos
o seguinte teorema.
Teorema 3.1.11. Sejam A uma álgebra disfarçada de tipo euclidiano e n o posto de K0(A).
Então existe um sistema estrati�cante cujos elementos são todos A-módulos regulares de tamanho
n − 2. Além disso, se X é um sistema estrati�cante cujos elementos são A-módulos regulares
então o tamanho de X é no máximo n− 2.
Demonstração. O resultado decorre diretamente da Proposição 3.1.7, do Teorema 3.1.9 e do
Lema 3.1.10.
�
Como um caso particular temos o seguinte resultado.
Corolário 3.1.12. Sejam A uma álgebra hereditária euclidiana e n o posto de K0(A). Então
existe um sistema estrati�cante cujos elementos são todos A-módulos regulares de tamanho n−2.
Além disso, se X é um sistema estrati�cante cujos elementos são A-módulos regulares então o
tamanho de X é no máximo n − 2. Isto é, não existe um sistema estrati�cante completo sobre
A cujos elementos sejam todos regulares.
�
48
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
3.2 Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
Segundo o Teorema 3.1.11, se A = KQ é uma álgebra hereditária de tipo euclideano então
é possível construir um sistema estrati�cante formado só de módulos regulares de tamanho no
máximo n − 2, onde n = |Q0|. No caso particular da álgebra ∆(Ap,q) é possível construir um
sistema estrati�cante formado por módulos regulares de tamanho no máximo p+ q − 2.
Nosso trabalho agora consiste em construir um sistema estrati�cante �regular� de tamanho
maximal sobre ∆(Ap,q), para depois completa-lo de todas as formas possíveis.
Para isto primeiro apresentaremos uma lista dos módulos simples regulares em ∆(Ap,q) e umteorema que descreve a estrutura tubular da parte regular de tal álgebra. Usaremos a notação
do Cap. XII em [17].
Construir o sistema estrati�cante �regular� de tamanho maximal é simples. Basta ordenar
de forma conveniente os elementos nas bocas dos tubos não homogêneos. Completa-los é mais
trabalhoso, pois é preciso encontrar módulos satisfazendo muitas propriedades.
Lista: Módulos simples regulares de ∆(Ap,q)
Sejam p e q inteiros e suponhamos que 1 ≤ p ≤ q. Seja ∆ = ∆(Ap,q) o carcás euclidiano
orientado de forma canônica como segue
•1
zz
•2oo · · ·oo •p−1oo
∆(Ap,q) : 0• •p+q−1
dd
zz•p
dd
•p+1oo · · ·oo •p+q−2
oo
(a) Módulos simples regulares no tubo T Ap,q∞
0
yy
0oo · · ·oo 0oo
E(∞)i = Si, com 1 ≤ i ≤ p− 1, E
(∞)p : K K
ee
1yyK1
ee
K1oo · · ·
1oo K
1oo
com a propriedade
τE(∞)i+1 = E
(∞)i , para 1 ≤ i ≤ p− 1, e τE
(∞)1 = E(∞)
p . (3.1)
(b) Módulos simples regulares no tubo T Ap,q0
K1yy
K1oo · · ·1oo K
1oo
E(0)j = Sp+j−1, para 1 ≤ j ≤ q − 1 E
(0)q : K K,
1ee
yy0
ee
0oo · · ·oo 0oo
49
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
com a propriedade:
τE0j+1 = E0
j , para 1 ≤ j ≤ q − 1, e τE01 = E0
q . (3.2)
(c) Módulos simples regulares no tubo T Ap,qλ , com λ ∈ K \ {0}
Kλyy
K1oo · · ·1oo K
1oo
E(λ) : K K
1ee
1yy
K
1ee
K1oo · · ·1oo K
1oo
Vamos enunciar agora um teorema que descreve a estrutura tubular de ∆(Ap,q) e que usare-mos para a construção de um sistema estrati�cante �regular"de tamanho máximo.
Teorema 3.2.1. (2.5 Cap. XIII em [17]) Assumamos que A = K∆, onde ∆ é o carcás orientado
em forma canônica ∆(Ap,q), com q ≥ p ≥ 1, como na lista acima.
1. Cada A-módulo simples regular é isomorfo a um dos módulos na lista acima.
2. As componentes regulares de R(A) em Γ(mod A) são descritas na seguinte lista:
(a) O tubo T Ap,q∞ de posto p contendo os A-módulos E
(∞)1 , . . . , E
(∞)p .
(b) O tubo T Ap,q0 de posto q contendo os A-módulos E
(0)1 , . . . , E
(0)q .
(c) O tubo T Ap,qλ de posto 1 contendo o A-módulo E(λ), com λ ∈ K \ {0}.
Onde E(∞)j , E
(0)i e E(λ) são os A-módulos simples regulares na lista acima.
3. O carcás de Auslander-Reiten Γ(mod A) de A consiste de uma componente pós-projetiva
P(A), uma componente pré-injetiva Q(A) e a família
T Q = {T Qλ }λ∈P1(K)
de tubos estáveis separando P(A) de Q(A).
�
A seguir usaremos os módulos simples regulares sobre os tubos de posto p e q para construir
um sistema estrati�cante de tamanho p+ q − 2 sobre ∆(Ap,q).Por conveniência, denotaremos o módulo E(∞)
p−i por Fi, para i = 1, . . . , p−1, e o módulo E(0)q−i
por Gi, para i = 1, . . . , q − 1.
50
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
Com esta notação temos, para os simples regulares no tubo T Ap,q∞ , que
τFi = τE(∞)p−i = E
(∞)p−i−1 = Fi+1, para 1 ≤ i ≤ p− 2,
τFp−1 = τE(∞)1 = E
(∞)p ,
τEp = F1.
(3.3)
E para os simples regulares no tubo T Ap,q0 temos que
τGi = τE(0)q−i = E
(∞)q−i−1 = Gi+1, para 1 ≤ i ≤ q − 2,
τGq−1 = τE(0)1 = E
(0)q ,
τEq = G1.
(3.4)
Denotaremos as sequências ordenadas
(F1, F2, . . . , Fp−1) = (Sp−1, Sp−2, . . . , S1) = F (3.5)
(G1, G2, . . . , Gq−1) = (Sp+q−2, Sp+q−3, . . . , Sp) = G (3.6)
A�rmamos que F e G são sistemas estrati�cantes. De fato, HomA(Fi, Fj) = 0 para i > j, pois
não existem mor�smos entre módulos simples, e, para i ≥ j,
Ext1A(Fi, Fj) ∼= DHomA(Fj , τFi) ∼= DHomA(Fj , Fi+1) = 0.
De forma análoga obtemos também que G é um sistema estrati�cante.
Vamos denotar por F o conjunto {F1, . . . , Fp−1} e por G o conjunto {G1, . . . , Gq−1}.Adotaremos a seguinte convenção: dado um A-módulo M escrevemos HomA(F ,M) = 0
signi�cando que HomA(X,M) = 0, para todo elemento X ∈ F .Dado um conjunto de A-módulos regulares X denotaremos para cada i ∈ Z, i 6= 0 por τ i(X )
o conjunto τ i(X ) = {τ iX,X ∈ X}, onde τ denota o transladado de Auslander-Reiten.
Usando as notações acima enunciamos o seguinte lema.
Lema 3.2.2. Sejam F e G os conjuntos de�nidos acima. Então:
1. (a) τ i(F) = (F \ {Fi}) ∪ {E(∞)p }, para 1 ≤ i ≤ p− 1.
(b) τ−i(F) = (F \ {Fp−i}) ∪ {E(∞)p }, para 1 ≤ i ≤ p− 1.
(c) τp(F) = τ−p(F) = F .
(d) Para cada n ∈ N, n 6= 0, temos que
τn(F) =
{F , se p|nτ r(F), se n ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p− 1
51
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
τ−n(F) =
{F , se p|nτ−r(F), se n ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p− 1
2. (a) τ i(G) = (G \ {Gi}) ∪ {E(0)q }, para 1 ≤ i ≤ q − 1.
(b) τ−i(G) = (G \ {Gq−i}) ∪ {E(0)q }, para 1 ≤ i ≤ q − 1.
(c) τ q(G) = τ−q(G) = G.
(d) Para cada n ∈ N, n 6= 0, temos que
τn(G) =
{G, se q|nτ r(G), se n ≡ r (mod q), com 1 ≤ r ≤ q − 1
τ−n(G) =
{G, se q|nτ−r(G), se n ≡ r (mod q), com 1 ≤ r ≤ q − 1
Demonstração. Vamos demonstrar 1(a) por indução. Para i = 1, pela de�nição, temos que
τ(F) = {τF1, . . . , τFp−1}. Mas, por (3.3), temos que
τ(F) = {F2, . . . , Fp−1, E∞p } = (F \ {F1}) ∪ {E(∞)
p }.
Suponhamos que a a�rmação vale para todo j, com 1 < j < p − 1. Isto é, suponhamos que
τ i(F) = (F \ {Fi}) ∪ {E(∞)p }, para 1 < j < p− 1. Vamos calcular τ j+1(F).
τ j+1(F) = τ(τ j(F))
= τ((F \ {Fj}) ∪ {E(∞)p })
= τ(F \ {Fj}) ∪ τ({E(∞)p })
= [(F \ {F1}) ∪ {E(∞)p }) \ {τFj}] ∪ {F1}
= (F \ {Fj+1}) ∪ {E(∞)p }
Isto completa a prova de nossa a�rmação.
A demonstração de 1(b) é análoga. A a�rmação em 1(c) é clara, pois os elementos de F estão
em tubo de posto p.
Vejamos 1(d). Se p|n, então n = kp para algum k ≥ 1. Faremos indução sobre k. Por 1(c)
temos que τpF = F . Suponhamos que τ jpF = F , para todo j tal que 1 ≤ j < k. Logo
τkpF = τp(τ (k−1)pF)
= τp(F) (pela hipótese)
= F (por 1(c)).
Por outro lado, se n ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p − 1, então existe k ≥ 1 tal que n = kp + r.
Portanto τ (kp+r)(F) = τ r(τkp(F)) = τ r(F). �
52
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
De�nição 3.2.3. Sejam A uma K-álgebra, {S1, . . . , Sn} o conjunto de todos os A-módulos sim-
ples e dois a dois não isomorfos sobre A e M um A-módulo. O suporte de M , que denotaremos
por supp M , é o conjunto
supp M = {i ∈ {1, . . . , n} : [M : Si] 6= 0}.
Dado um conjunto de A-módulos X o suporte de X , que denotaremos por Supp X , é o conjunto
Supp X = {i ∈ {1, . . . , n} : [M : Si] 6= 0,M ∈ X}.
Reescrevendo o Lema 3.2.2 em termos do suporte dos conjuntos F e G temos o seguinte
corolário.
Corolário 3.2.4. Seja n ∈ N, n 6= 0. Então:
1. (a) Se p|n, então Supp τnF = {1, . . . , p− 1} = SuppF .
(b) Se n ≡ r (mod p) e 1 ≤ r ≤ p− 1, então
Supp τnF = τ rF = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p− r}Supp τ−nF = τ−rF = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r}.
2. (a) Se q|n, então Supp τnG = G = {p, . . . , p+ q − 2}.
(b) Se n ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1, então
Supp τnG = τ rG = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p+ q − r − 1}Supp τ−nG = τ−rG = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p+ r − 1}.
�
Observação 3.2.5. Como as componentes regulares sobre uma álgebra hereditária euclideana
são duas a duas ortogonais (Ver Teorema 3.1.9) e os sistemas estrati�cantes F e G estão sobre
duas componentes diferentes, então (F,G) e (G,F ) são também sistemas estrati�cantes.
Na sequência, vamos completar (F,G) encontrando todos os possíveis módulos X e Y de
tal forma que (X,F,G, Y ) seja um sistema estrati�cante completo. Para isto, procuramos inici-
almente todos os possíveis módulos pós-projetivos de tal forma que (F,G, Y ) seja um sistema
estrati�cante.
Usando a Proposição 3.1.7 podemos a�rmar que o módulo Y tem que ser ou pós-projetivo
ou pré-injetivo. Vamos procurar primeiro os módulos pós-projetivos tais que (X,F,G, Y ) é um
sistema estrati�cante.
Antes de fazer tal busca, enunciamos alguns resultados básicos que usaremos com frequência.
53
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
Lema 3.2.6. Seja A uma álgebra hereditária. São válidas as seguintes a�rmações:
1. Se Pj e Pm são A-módulos projetivos indecomponíveis quaisquer, então
Ext1A(τ−tPj , τ
−t−rPm) = 0, para todo t, r ≥ 0.
2. Se Ij e Im são A-módulos injetivos indecomponíveis quaisquer, então
Ext1A(τ tIj , τ
t−rIm) = 0, para todo t ≥ r ≥ 0.
Demonstração. Para demonstrar 1. usamos a fórmula de Auslander e obtemos que
Ext1A(τ−tPj , τ
−t−rPm) ∼= DHomA(τ−t−rPm, τ−t+1Pj)
∼= DHomA(τ−r−1Pm, Pj).
Mas HomA(τ−r−1Pm, Pj) = 0, pois caso contrário Pj teria um predecessor não projetivo em
Γ(mod A), o que não acontece em uma álgebra hereditária. Portanto
Ext1A(τ−tPj , τ
−t−rPm) = 0.
Para a a�rmação 2. usamos de novo a fórmula de Auslander e obtemos que
Ext1A(τ tIj , τ
t−rIm) ∼= DHomA(τ t−rIm, τt+1Ij)
∼= HomA(Im, τr+1Ij)
Mas HomA(Im, τr+1Ij) = 0, pois caso contrário Im teria um sucessor não injetivo em Γ(mod A).
Portanto
Ext1A(τ tIj , τ
t−rIm) = 0.
�
Proposição 3.2.7. Se Y é A-módulo pós-projetivo tal que (F,G, Y ) é um sistema estrati�cante,
então Y é um dos módulos na seguinte lista:
1. P0.
2. Pp+q−1.
3. τ−tP0, com t ≥ 1 tal que p|t e q|t.
4. τ−tPp+q−1,com t ≥ 1 tal que p|t e q|t.
5. τ−tPp−r, com t ≥ 1 tal que q|t, t ≡ r (mod p) e 1 ≤ r ≤ p− 1.
6. τ−tPp+q−r−1, com t ≥ 1 tal que p|t, t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1.
54
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
Demonstração. Se M é um A-módulo regular então, pela fórmula de Auslander,
Ext1A(τ−tPj ,M) ∼= DHomA(τ−1M, τ−tPj), para t ≥ 0.
Mas HomA(τ−1M, τ−tPj) = 0 pois, segundo Corolário 2.13 do Cap. VIII em [2], não existem
mor�smos não nulos de módulos regulares a módulos pós-projetivos. Portanto
Ext1A(τ−tPj ,M) = 0, para t ≥ 0.
Assim para veri�car que (F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante é su�ciente mostrar que
HomA(τ−tPj ,F) = 0 = HomA(τ−tPj ,G).
Por outro lado, pelo Corolário 2.15 Cap. IV em [2], temos que
HomA(τ−tPj ,F) ∼= HomA(Pj , τtF) e que HomA(τ−tPj ,G) ∼= HomA(Pj , τ
tG).
Além disso, pelo Corolário 1.5.5, para um A-módulo M vale que
HomA(Pj ,M) = 0 se, e somente se, j /∈ suppM.
Assim,
HomA(Pj , τtF) = 0 se, e somente se, j /∈ Supp τ tF e
HomA(Pj , τtG) = 0 se, e somente se, j /∈ Supp τ tG.
Portanto, podemos a�rmar que
(F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante ⇔ j ∈ (Supp τ tG)′ ∩ (Supp τ tF)′,
onde (Supp τ tG)′ denota o complemento de (Supp τ tG) com relação ao conjunto {1, . . . , p+q−1}.Tendo em vista esta última a�rmação vamos encontrar os sistemas estrati�cantes da forma
(F,G, Y ), com Y ∼= τ−tPj , considerando as distintas possibilidades para o inteiro t.
Caso 1. Se t = 0, então Y ∼= Pj e (F,G, Pj) é um sistema estrati�cante se, e somente se,
j ∈ (Supp F)′ ∩ (Supp G)′.
Mas, SuppF = {1, . . . , p− 1} e SuppG = {p, . . . , p+ q − 2}. Então, (F,G, Pj) é um sistema
estrati�cante se, e somente se, j = 0 ou j = p+ q − 1.
Caso 2. Se t é tal que p|t e q|t. Então, pelo Corolário 3.2.4, 1.(a) e 2.(a), temos que
Supp τ tF = Supp F e Supp τ tG = Supp G.
Assim este caso se reduz ao caso anterior. Ou seja (F,G, τ−tPj), onde p|t e q|t, é um sistema
55
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
estrati�cante se, e somente se, j = 0 ou j = p+ q − 1.
Caso 3. Se t é tal que q|t e t ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p− 1, então pelo Corolário 3.2.4, 1.(b)
e 2.(a), temos que
(Supp τ tF)′ = (Supp τ rF)′ = {p− r} e
(Supp τ tG)′ = (Supp G)′ = {0, . . . , p− 1} ∪ {p+ q − 1}.
Por tanto (F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante se, e somente se, j = p− r.
Caso 4. Se t é tal que p|t e q 6 |t. De forma análoga ao caso anterior podemos concluir que, sob
estas hipóteses, (F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante se, e somente se, j = p + q − r − 1,
onde r é tal que t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1.
Caso 5. Se t ≡ r1 (mod p) e t ≡ r2 (mod q), com 0 < r1 < p e 0 < r2 < q. Então usando
argumentos análogos aos casos anteriores, basta analisar o conjunto (Supp τ r1F)′∩(Supp τ r2G)′.
Mas segundo Lema 3.2.4, temos que
(Supp τ r1F)′ ∩ (Supp τ r2G)′ = {p− r1} ∩ {p+ q − r2 − 1} = φ.
Portanto não existe um sistema estrati�cante neste caso.
Dessa forma Y é um dos módulos da lista apresentada.
�
Analisemos agora o caso em que Y é pré-injetivo, que resulta na seguinte proposição.
Proposição 3.2.8. Se Y é A-módulo pré-injetivo tal que (F,G, Y ) é um sistema estrati�cante.
Então Y está na seguinte lista:
1. τ tIp, com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t.
2. τ tI1, com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t.
3. τ tI0, com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).
4. τ tIp+q−1, com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).
5. τ tIr+1, com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), r 6= p− 1 e t ≡ q − 1 (mod q).
6. τ tIp+r, com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), r 6= q − 1 e t ≡ p− 1 (mod p).
Demonstração. Seja Y um A-módulo pré-injetivo. Então Y ∼= τkIj , para algum k ≥ 0 e
algum j ∈ {0, 1, . . . , p, . . . , p + q − 1}. Notemos que, pelo Corolário 2.13 (VIII) em [2], se M é
um A-módulo regular e Y é um A-módulo pré-injetivo, então HomA(Y,M) = 0. Por outro lado,
pela fórmula de Auslander, temos que para k ≥ 1
Ext1A(τkIj ,M) ∼= DHomA(τ−1M, τkIj) ∼= DHomA(τ−(k+1)M, Ij).
56
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
Além disso, usando o isomor�smo acima e Corolário 1.5.5, temos que
Ext1A(τkIj ,M) = 0 se, e somente se, j /∈ supp τ−(k+1)M.
Das a�rmações anteriores podemos concluir que
(F,G, τkIj) é um sistema estrati�cante ⇔ j /∈ Supp τ−(k+1)F ∪ Supp τ−(k+1)G.
Usaremos esta a�rmação para encontrar todos os sistemas estrati�cantes da forma (F,G, Y )
com Y pré-injetivo.
Caso a. Suponhamos que Y ∼= Ij , para algum j ∈ {0, 1, . . . , p, . . . , p + q − 1}, ou seja, Y é um
injetivo indecomponível. Pelo Lema 3.2.4, temos que
(Supp τ−1F)′ = {1} e que (Supp τ−1G)′ = {p}.
Então Supp τ−1F ∪ Supp τ−1G = {0, . . . , p+ q− 1}. Portanto não existe um j tal que (F,G, Ij)
seja um sistema estrati�cante.
Caso b. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t ≥ 1 e que p|t e q|t. Logo
Supp τ−(t+1)F = Supp τ−1F e Supp τ−(t+1)G = Supp τ−1G.
Assim este caso se reduz ao anterior e, então não existe um j tal que (F,G, τ tIj) seja um sistema
estrati�cante, nas condições em que p|t e q|t.
Caso c. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t tal que p 6 |t e q|t. Seja t ≡ r (mod p), 1 ≤ r ≤ p− 1.
Devemos considerar dois casos: quando r = p− 1 e quando r 6= p− 1.
• Se r = p− 1, então
Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r+1)F = Supp τ−pF = SuppF .
Por outro lado, pelo Corolário 3.2.4, 2.b, temos
Supp τ−(t+1)G = Supp τ−1G = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p}.
Assim,
Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p}.
Portanto (F,G, τ tIp) é um sistema estrati�cante, é o caso 1 da lista.
• Se r 6= p− 1, temos que
Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r+1)F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r + 1}.
57
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
Então Supp τ−(t+1) ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p+ q − 1} e, portanto, não existe um j tal
que (F,G, τ tIj) seja um sistema estrati�cante.
Caso d. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t ≥ 1 tal que q 6 |t e que p|t. Seja r ≡ t (mod q),
1 ≤ r ≤ q − 1. Devemos considerar aqui também dois casos: quando r = q − 1 e quando
r 6= q − 1.
• Se r = q − 1, então
Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r+1)G = Supp τ−qG = SuppG.
Por outro lado,
Supp τ−(t+1)F = Supp τ−1F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {1}.
Assim,
Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p+ q − 1} \ {1}.
Por tanto (F,G, τ tI1) é um sistema estrati�cante, que é o caso 2 da lista.
• Se r 6= q − 1, então 1 ≤ r ≤ q − 2, temos pois que
Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r+1)G = {0, . . . p+ q − 1} \ {p+ r}.
Então Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p + q − 1} e, por tanto, não existe um j
tal que (F,G, τ tIj) seja um sistema estrati�cante.
Caso e. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t tal que q 6 |t e que p 6 |t. Sejam r1 e r2 tais que
t ≡ r1 (mod p), t ≡ r2 (mod q), 1 ≤ r1 ≤ p − 1 e 1 ≤ r2 ≤ q − 1. Vamos considerar varias
situações.
• Sejam r1 = p− 1 e r2 = q − 1. Temos que:
Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = SuppF ∪ SuppG = {1, . . . , p+ q − 2}.
Por tanto, neste caso, os possíveis sistemas estrati�cantes são (F,G, τ tI0) e (F,G, τ tIp+q−1),
que constituem os casos 3 e 4 da lista.
• Sejam r2 = q − 1 e r1 6= p− 1. Então temos que
Supp τ−(t+1)G = SuppG e
Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r1+1)F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r1 + 1}.
Logo (F,G, τ tIr1+1) é um sistema estrati�cante originando o caso 5 da lista.
58
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
• Suponhamos que r1 = p− 1 e que r2 6= q − 1. Neste caso temos que
Supp τ−(t+1)F = SuppF e
Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r2+1)G = {0, . . . p+ q − 1} \ {p+ r2}.
Logo (F,G, τ tIp+r2) é um sistema estrati�cante, dando origem ao caso 6 da lista.
• Se r1 6= p− 1 e r2 6= q − 1, neste caso temos que:
Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r2+1)G = {0, . . . p+ q − 1} \ {p+ r2} e
Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r1+1)F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r1 + 1}.
Portanto não existe j tal que (F,G, τ tIj) seja um sistema estrati�cante.
�
Lema 3.2.9. Sejam A uma K-álgebra e
0−→L(f ′ g′)t−→ X ⊕ Y (f g)−→M −→ 0 (∗)
uma sequência quase-cindida em modA. Então:
1. Se f ′ e g′ são monomor�smos, então f e g são monomor�smos.
2. Se f ′ e g′ são epimor�smos, então f e g são epimor�smos.
Demonstração. Vamos demonstrar 1, pois 2 é análoga. Como (∗) é uma sequência quase-
cindida se f ′ e g′ são mor�smos irredutíveis, então são ou monomor�smos próprios ou epimor�s-
mos próprios. Portanto se f ′ e g′ são monomor�smos, então são monomor�smos próprios. Então
temos que `(L) < `(X) e que `(L) < `(Y ).
Por outro lado, como (∗) é uma sequência exata, temos que `(L) + `(M) = `(X) + `(Y ).
Logo, `(M) = `(X) + (`(Y )− `(L)). Mas `(Y )− `(L) > 0, portanto `(M) > `(X).
O mor�smo f : X −→M também é ou monomor�smo próprio ou epimor�smo próprio, por
ser irredutível. Como `(M) > `(X) então f tem que ser monomor�smo. De forma análoga se
demonstra que g deve ser monomor�smo.
�
Para continuar o trabalho será muito útil conhecer os fatores de composição dos A-módulos
pós-projetivos sobre a álgebra K4(Ap,q), justamente isto o que estudamos na proposição que se
segue.
Proposição 3.2.10. Seja A a álgebraK4(Ap,q). Então a componente pós-projetiva de Γ(modA)
tem as seguintes propriedades:
59
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
1. Todos os mor�smos na componente pós-projetiva de Γ(mod 4(Ap,q)) são monomor�smos.
2. O módulo Pp+q−1 e todos seus sucessores são módulos sinceros.
3. O minimo inteiro r com a propriedade de que todos os módulos da forma τ−rPi com
i ∈ {0, . . . , p+ q − 1} são sinceros é p.
4. Se 0 ≤ i ≤ p− 1, então
• O menor inteiro r tal que τ−rPi é um módulo sincero é r = p− i. Além disso, todos
os A-módulos da forma τ−kPi, com k > p− i, são A-módulos sinceros.
• Se 0 < k < p− i, então os fatores de composição de τ−kPi são os A-módulos simples
Sj com 0 ≤ j ≤ i+ k e p ≤ j ≤ p+ k − 1.
• Os fatores de composição do projetivo Pi são os simples Sj com 0 ≤ j ≤ i.
5. Se p ≤ i ≤ p+ q − 2, então:
• se i ≤ q − 1, o menor inteiro r tal que τ−rPi é sincero é r = p. Além disso, todos os
A-módulos da forma τ−kPi com k > p são sinceros.
• se q − 1 ≤ i ≤ p+ q − 1, o menor inteiro tal que τ−rPi é sincero é r = p+ q − 1− i.Ademais, todos os A-módulos da forma τ−kPi com k > p+ q − 1− i são sinceros.
• se τ−kPi não é um A-módulo sincero, seus fatores de composição são os A-módulos
simples Sj com p ≤ j ≤ i+ k e 0 ≤ j ≤ k.
6. Se 1 ≤ k ≤ p− 1, então os fatores de composição de τ−kP0 são os A-módulos simples Sj
com 0 ≤ j ≤ k e p ≤ j ≤ p− 1 + k.
Demonstração. Para a demonstração desta proposição usamos a estrutura da componente
pós-projetiva de Γ(modA), que desenhamos abaixo
Pp+q−1%%−−−−−−−−−−−−−−−− −−
Pp−1%%
99
τ−1Pp−1
%%
99
. ..99
τ−1Pp−2
99
%%
. . .%%
P1
99
%%. ..99
. . .%%
τ−(p−1)P1%%
99
P0
99
%%
τ−1P0
99
%%τ−(p−1)Po
%%
99
τ−pPo
99
%%Pp
99
%%
. . .%%
. ..
99
τ−(p−1)Pp
99
%%. . .%%
τ−1Pp+q−3
99
%%. ..99
Pp+q−2
99
%%τ−1Pp+q−2
99
%%Pp+q−1
99
−−−−−−−−−−−−−−−− −−
60
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
Para provar 1, observemos que na sequência quase-cindida
0−→P0(α′ β′)t−→ P1 ⊕ Pp
(α β)−→ τ−1P0−→ 0
os mor�smos α′ e β′ são monomor�smos, pois são mor�smos irredutíveis entre módulos proje-
tivos. Então, segundo o Lema 3.2.9, α e β também são monomor�smos. De forma análoga, nas
sequências quase-cindidas sobre A começando num projetivo as �echas representam monomor-
�smos. Por isto, de acordo com a forma da componente pós-projetiva de Γ(modA) todos os
mor�smos nesta componente representam monomor�smos.
Para 2, é su�ciente ver que, em Γ(modA), existem os caminhos
P0−→P1−→ · · · −→Pp−1−→Pp+q−1 e P0−→Pp−→ · · · −→Pp+q−1−→Pp+q−1,
onde, segundo 1, as fechas representam monomor�smos. Portanto, segundo o Corolário 1.5.5,
[Pp+q−1 : Si] 6= 0, para i = 0, 1, . . . , p + q − 1, isto é Pp+q−1 é um A-módulo sincero. Uma vez
que Pp+q−1 é sincero segue, de 1, que todos os seus sucessores são também módulos sinceros.
Para a a�rmação 3, observemos que nenhum dos antecessores em Γ(modA) dos módulos que
aparecem nos caminhos abaixo
Pp+q−1−→ τ−1Pp−1−→ τ−2Pp−2−→ · · · −→ τ−(p−1)P0−→ τ−pP0 (3.7)
Pp+q−1−→ τ−1Pp+q−2−→ τ−2Pp+q−3−→ · · · −→ τ−(p−1)Pp−→ τ−pP0 (3.8)
têm Sp+q−1 como fator de composição. Em particular, τ−(p−1)P0 não tem Sp+q−1 como fator
de composição. Portanto, de 1, temos que nenhum dos seus antecessores o têm. Mas, por outro
lado, qualquer sucessor de τ−(p−1)P0, e de qualquer dos módulos em (3.7) e (3.8), é sincero.
Para demonstrar 4, notemos que todos os módulos da forma τ−(p−i)Pi, com 0 ≤ i ≤ p − 1,
estão no caminho (3.7) e, portanto, são módulos sinceros. Além disso, como dito anteriormente,
qualquer predecessor de algum dos módulos que aparecem em (3.7) não tem Sp+q−1 como fator
de composição. Deste modo, se 0 ≤ i ≤ p−1 nenhum dos módulos da forma τ−kPi, com k < p−ié sincero.
Por outro lado, notemos que os predecessores de Pi, com 0 ≤ i ≤ p − 1, são os projetivos
P0, P1, . . . , Pi−1. Portanto, os fatores de composição de Pi, com 0 ≤ i ≤ p− 1, são os simples Sjcom 0 ≤ j ≤ i. De forma análoga, para p ≤ i < p + q − 1, os fatores de composição de Pi são
Sj , com p ≤ j ≤ i e j = 0.
Seja 0 ≤ i ≤ p− 1. Então em Γ(modA) existem os seguintes caminhos
Pi+k−→ τ−1Pi+k−1−→ τ−2Pi+k−2−→ · · · −→ τ−(k−1)Pi+1−→ τ−kPi (3.9)
Pp+k−1−→ τ−1Pp+k−2−→ τ−2Pp+k−3−→ · · · −→ τ−(k−1)Pp−→ τ−kP0−→τ−kP1−→ τ−kP2−→ · · · −→ τ−kPi
(3.10)
61
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
Além disso, não existem caminhos de Pj , com j ≥ i + k, para τ−kPi. Portanto, os fatores
de composição de τ−kPi, exceto multiplicidades, são os fatores de composição de Pi+k e os de
Pp+k−1. Isto é, os fatores de composição de τ−kPi são Sj com 0 ≤ j ≤ i e p ≤ i < p+ q − 1.
A parte 5 é demonstrada de forma análoga à anterior.
�
Proposição 3.2.11. Seja A = 4(Ap,q). A lista completa dos sistemas estrati�cantes completos
da forma (X,F,G, Y ), onde Y é um A-módulo pós-projetivo é a seguinte:
1. (Sp+q−1, F,G, P0).
2. (X,F,G, Pp+q−1), onde
X ∼=
{τ−p+1P0, se p = q
τ−p+1Pq−1, se p 6= q
3. (X,F,G, τ−tPp+q−1) com t ∈ N tal que p|t e q|t, onde
X ∼=
{τ−t−p+1P0, se p = q
τ−t−p+1Pq−1, se p 6= q
4. (τ−t+1Pp+q−1, F,G, τ−tP0), com t ∈ N tal que p|t e q|t.
5. (τ−t−(p−r−1)Pq+r−1, F,G, τ−tPp−r), com t, r ∈ N tais que q|t, t ≡ r (mod p) e 1 ≤ r ≤
p− 1.
6. (X,F,G, τ−tPp+q−r−1), com t, r ∈ N tais que p|t, t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1, onde
X ∼=
{τ−t−q+r+1Pp−q+r, se p ≤ q − rτ−t−p+1Pq−r−1, se p > q − r
Demonstração. A Proposição 3.2.7 caracteriza os sistemas estrati�cantes da forma (F,G, Y ),
com Y um A-módulo pós-projetivo. Usando tal caracteização obtemos os sistemas estrati�cantes
do tipó (X,F,G, Y ).
Em virtude dos Lemas 2.3.16 e 2.3.17, como4(Ap,q) tem p+q vértices, o módulo X tal que a
sequência (X,F,G, τ−tPl) é um sistema estrati�cante completo é único. Portanto a demonstração
consistirá em veri�car que o módulo indecomponível X satisfaz as seguintes condições:
• Ext1A(X,X) = 0.
• HomA(F , X) = 0 e HomA(G, X) = 0.
• Ext1A(F , X) = 0 e Ext1
A(G, X) = 0.
62
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
• HomA(τ−tPl, X) = 0 e Ext1A(τ−tPl, X) = 0.
A primeira observação a se fazer é que todos os módulos X que vamos considerar, exceto
Ip+q−1, são da forma X ∼= τ−kPj , com k ≥ 0, e, portanto, são indecomponíveis e não têm
auto-extensões. Além disso, pelo Corolário 2.13 Cap. VIII em [2], não existem mor�smos não
nulos de um módulo regular a um módulo pós-projetivo, isto é, se R é um módulo regular então
HomA(R, τ−kPj) = 0.
Por outro lado, pela fórmula de Auslander, temos que
Ext1A(R, τ−kPj) ∼= DHomA(τ−kPj , τR)
∼= DHomA(Pj , τk+1R).
Portanto, teremos que
Ext1A(F , τ−kPj) = 0 e Ext1
A(G, τ−kPj) = 0 ⇔ j /∈ Supp τk+1F ∪ Supp τk+1G,⇔ j ∈ (Supp τk+1F)′ ∩ (Supp τk+1G)′.
Tendo em vista tais observações, se (F,G, τ−tPl) é um sistema estrati�cante e X ∼= τ−kPj ,
para mostrar que (X ∼= τ−kPj , F,G, τ−tPl) é um sistema estrati�cante é su�ciente veri�car as
seguintes condições:
• j ∈ (Supp τk+1F)′ ∩ (Supp τk+1G)′.
• HomA(τ−tPl, X) = 0 e Ext1A(τ−tPl, X) = 0.
No que segue veri�camos estas condições para cada uma das sequências no enunciado da propo-
sição.
1. Vamos ver que (Sp+q−1, F,G, P0) é um sistema estrati�cante. Como o vértice p + q − 1 é
uma fonte o módulo simples Sp+q−1 é injetivo e, portanto, claramente
Ext1A(F , Sp+q−1) = 0,Ext1
A(G, Sp+q−1) = 0 e Ext1A(P0, Sp+q−1) = 0.
Por outro lado, usando o Corolário 1.5.5, como p+ q− 1 /∈ (Supp F ∪Supp G) e Sp+q−1∼=
Ip+q−1, temos que
HomA(F , Sp+q−1) = 0,HomA(G, Sp+q−1) = 0 e HomA(P0, Sp+q−1) = 0.
Assim nossa a�rmação, que é o caso 1 da lista, está demonstrada.
2. Vamos encontrar agora um A-módulo X tal que (X,F,G, Pp+q−1) seja um sistema estra-
ti�cante. Para isto vamos considerar duas situações:
63
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
• Se p = q. Seja X ∼= τ−p+1P0. Conforme observamos anteriormente
(Supp τpF)′ ∩ (Supp τpG)′ = {0, p+ q − 1}.
Além disso, conforme a Proposição 3.2.10 (6), τ−p+1P0 não tem Sp+q−1 como fator
de composição. Portanto
HomA(Pp+q−1, τ−p+1P0) = 0.
Assim, neste caso τ−p+1P0 é o módulo que completa nosso sistema estrati�cante.
• Se p 6= q. Consideremos X = τ−p+1Pq−1. Desde que
(Supp τpF)′ ∩ (Supp τpG)′ = {q − 1}.
e da Proposição 3.2.10 (5), temos que Sp+q−1 não é fator de composição de τ−p+1Pq−1,
concluímos que
HomA(Pp+q−1, τ−p+1Pq−1) = 0.
Assim, (τ−p+1Pq−1, F,G, Pp+q−1) é um sistema estrati�cante completo quando p 6= q.
Em ambos os casos, temos o item 2 da lista.
3. Para completar o sistema estrati�cante (F,G, τ−tPp+q−1) com t ≥ 1 tal que p|t e q|t vamos
considerar dois casos:
• Se p = q. A�rmamos que (τ−t−p+1P0, F,G, τ−tPp+q−1), com t ≥ 1 tal que p|t e q|t é
um sistema estrati�cante. De fato,
(Supp τ t+pF)′ ∩ (Supp τ t+pG)′ = (SuppF)′ ∩ (SuppG)′
= {0, p+ q − 1}.
Por outro lado,
HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1P0) ∼= HomA(Pp+q−1, τ
−p+1P0).
Porém, pela Proposição 3.2.10 (6), Sp+q−1 não é um fator de composição de τ−p+1P0,
portanto,
HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1P0) = 0.
Além disso, pelo Lema 3.2.6 (1), vale que
Ext1A(τ−tP0, τ
−t−p+1Pq−1) = 0.
Tais condições completam a veri�cação de nossa a�rmação.
64
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
• Suponhamos que p 6= q. Mostraremos que se t ≥ 1 e tal que p|t e q|t, então(τ−t−p+1Pq−1, F,G, τ
−tPp+q−1) é um sistema estrati�cante completo. De fato,
(Supp τ t+pF)′ ∩ (Supp τ t+pG)′ = (Supp τpF)′ ∩ (Supp τpG)′
= {q − 1}
e, por outro lado,
HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1Pq−1) ∼= HomA(Pp+q−1, τ
−p+1Pq−1).
Mas da Proposição 3.2.10, (5), como o módulo τ−p+1Pq−1 não tem o simples Sp+q−1
como fator de composição, temos que
HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1Pq−1) = 0.
Também temos, pelo Lema 3.2.6 parte (1), que
Ext1A(τ−tPp+q−1, τ
−t−p+1Pq−1) = 0;
logo a a�rmação está veri�cada e os casos estudados formam o caso 3 da lista.
4. Mostraremos que (τ−t+1Pp+q−1, F,G, τ−tP0), com t ≥ 1 tal que p|t e q|t é um sistema
estrati�cante completo. De fato,
(Supp τ tF)′ ∩ (Supp τ tG)′ = (SuppF)′ ∩ (SuppG) = {0, p+ q − 1}.
Por outro lado,
HomA(τ−tP0, τ−t+1Pp+q−1) ∼= HomA(τ−1P0, Pp+q−1)
∼= DExt1A(Pp+q−1, τ
−1P0)∼= 0.
Usando a fórmula de Auslander, obtemos
Ext1A(τ−tP0, τ
−t+1Pp+q−1) ∼= DHomA(τ−t+1Pp+q−1, τ−t+1P0)
∼= DHomA(Pp+q−1, P0)∼= 0,
pois P0 é um projetivo simples. Logo as condições para o sistema estrati�cante estão
veri�cadas.
5. Provaremos que (τ−t−(p−r−1)Pq+r−1, F,G, τ−tPp−r), com t, r ∈ N tais que q|t, t ≡ r (mod p)
65
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
é um sistema estrati�cante. Pelas hipóteses, temos que
(Supp τ t+(p−r)F)′ ∩ (Supp τ t+(p−r)G)′ = (SuppF)′ ∩ (Supp τp−rG)′
= {q + r − 1}.
O Lema 3.2.6, (1), nos garante que Ext1A(τ−tPp−r, τ
−t−(p−r−1)Pq+r−1) = 0.
E �nalmente, por termos
HomA(τ−tPp−r, τ−t−(p−r−1)Pq+r−1) ∼= HomA(Pp−r, τ
−(p−r−1)Pq+r−1)
e segundo a Proposição 3.2.10, (7), por Sp−r não ser fator de composição de τ−(p−r−1)Pq+r−1,
resulta que
HomA(τ−tPp−r, τ−t−(p−r−1)Pq+r−1) = 0.
6. Suponhamos que t, r ∈ N são tais que p|t, t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q−1. Vamos considerar
dois casos:
• Suponhamos que p ≤ q − r. Então, pelas hipóteses sobre t, temos que
(Supp τ t+q−rF)′ ∩ (Supp τ t+q−rG)′ = (Supp τ q−rF)′ ∩ (SuppG)′
= {p− q + r}.
Por outro lado, como q − r − 1 ≥ 0, pelo Lema 3.2.6, (1), garante que
Ext1A(τ−tPp+q−r−1, τ
−t−q+r+1Pp−q+r) = 0
Além disso, de
HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−q+r+1Pp−q+r) ∼= HomA(Pp+q−r−1, τ
−q+r+1Pp−q+r)
e da Proposição 3.2.10, (4), em que Sp+q−r−1 não é fator de composição de τ−q+r+1Pp−q+r,
resulta que
HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−q+r+1Pp−q+r) = 0.
Dessa forma a sequência (τ−t−q+r+1Pp−q+r, F,G, τ−tPp+q−r−1), com t ≥ 1 e r tais
que p|t, t ≡ r (mod q), 1 ≤ r ≤ q−1 e q−r ≥ p é um sistema estrati�cante completo.
• Suponhamos agora que q − r > p e seja l tal que p+ l = q − r. Nessas condições,
(Supp τ t+p−1F)′ ∩ (Supp τ t+p−1G)′ = (Supp τ−lF)′ ∩ (SuppG)′
= {p+ l − 1}= {q − r − 1}
66
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
Agora, pelo Lema 3.2.6, (1), temos que
Ext1A(τ−tPp+q−r−1, τ
−t−p−1Pq−r−1) = 0.
O fato de que
HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−p+1Pq−r−1) ∼= HomA(Pp+q−r−1, τ
−p+1Pq−r−1).
e da Proposição 3.2.10, (4), que garante que Sp+q−r−1 não é fator de composição de
τ−p+1Pq−r−1), temos que HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−p+1Pq−r−1) = 0.
Assim (τ−t−p+1Pq−r−1, F,G, τ−tPp+q−r−1) com t ≥ 1, tal que p|t, t ≡ r (mod q), com
1 ≤ r ≤ q − 1 e q − r > p é um sistema estrati�cante completo.
�
Usando o carcás Γ(mod 4(Ap,q)) e o Lema 3.2.9, é possível obter informações sobre os fatores
de composição dos A-módulos pré-injetivos. Reunimos tais informações na seguinte proposição,
cuja prova é análoga à prova da Proposição 3.2.10.
Proposição 3.2.12. Seja A é a K-álgebra K4(Ap,q). Então a componente pré-injetiva de
Γ(modA) satisfaz as condições abaixo:
1. Todos os mor�smos irredutíveis na componente pré-injetiva do carcás Γ(mod4(Ap,q)) são
epimor�smos.
2. O módulo I0 e todos seus antecessores são módulos sinceros.
3. O inteiro r minimal com a propriedade de que todos os módulos da forma τ rIi, com i ∈{0, . . . , p+ q − 1}, são sinceros é r = p.
4. Se 1 ≤ i ≤ p− 1, então:
• o menor inteiro r tal que τ rIi é um módulo sincero é r = i. Ademais, todos os A-
módulos da forma τkIi, com k ≥ i, são A-módulos sinceros.
• se k < i então os fatores de composição de τkIi são os A-módulos simples Sj com
i− k ≤ j ≤ p− 1 e p+ q − k ≤ j ≤ p+ q − 1.
5. Se p ≤ i < p+ q − 1, então:
• se p ≤ i < q − 1, o menor inteiro r tal que τ rIi é um módulo sincero é r = i− p+ 1.
Ademais, todo módulo da forma τ rIi com r ≥ i− p+ 1 é um módulo sincero.
• se q − 1 ≤ i ≤ p + q − 1, então o menor inteiro r tal que τ rIi é sincero é r = p.
Ademais, todo módulo da forma τ rIi, com r ≥ p é sincero.
67
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
• Se p ≤ i ≤ p + q − 2 e k é tal que τkIi não é um módulo sincero, então os fatores
de composição de τkIi são os A-módulos simples Sj com i − k ≤ j ≤ p + q − 1 e
p− k ≤ j ≤ p− 1.
6. Se k < p, então os fatores de composição de τkIp+q−1 são os simples Sj com p− k ≤ j ≤p− 1 e p+ q − k ≤ j ≤ p+ q − 1.
�
Usando a Proposição 3.2.12 e a Proposição 3.2.8, que caracteriza os sistemas estrati�cantes da
forma (F,G, Y ), onde Y é um A-módulo pré-injetivo, podemos obter os sistemas estrati�cantes
completos sobre A do tipo (X,F,G, Y ).
Notemos que, uma vez que o Lema 2.3.17 garante que o módulo X que completa o sistema
estrati�cante (F,G, Y ) é único, quando encontrado um módulo X satisfazendo todas as condi-
ções necessárias a busca está terminada. Assim, o trabalho consistiu em procurar todos os tais
módulos, que resultaram ser todos módulos pré-injetivos, e a prova consistirá de veri�car que os
módulos encontrados completam o sistema estrati�cante.
Proposição 3.2.13. Seja A = KQ, onde Q = 4(Ap,q). Então a lista de todos os sistemas
estrati�cantes da forma (X,F,G, Y ), onde Y é um A-módulo pré-injetivo, é a seguinte:
1. (τ tIp−1, F,G, τtIp), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t.
2. (τ tIp+q−2, F,G, τtI1), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t.
3. (τ t+1Ip+q−1, F,G, τtI0), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e
t ≡ q − 1 (mod q).
4. (τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).
5. (τ t−rIp+q−r−2, F,G, τtIr+1), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), 0 < r < p − 1 e t ≡
q − 1 (mod q).
6. (X,F,G, τ tIp+r), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1 e t ≡ p − 1 (mod p),
onde
X ∼=
{τ t−rIp−(r+1), se r < p
τ t−(p−1)Ir, se r ≥ p
Demonstração. Os Lemas 2.3.16 e 2.3.17 garantem que existe um único módulo X tal que
(X,F,G, τmIi) é um sistema estrati�cante. Portanto a demonstração consistirá em veri�car que
o módulo indecomponível X satisfaz as seguintes condições:
• Ext1A(X,X) = 0.
• HomA(F , X) = 0 e HomA(G, X) = 0.
68
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
• Ext1A(F , X) = 0 e Ext1
A(G, X) = 0.
• HomA(τ tIi, X) = 0 e Ext1A(τ tIi, X) = 0.
Todos os módulos X que vamos considerar são da forma X ∼= τ lIj e, portanto, são indecom-
poníveis e não têm auto-extensões. Além disso, notemos que se X é um A-módulo pré-injetivo
e R é um A-módulo regular então, usando a fórmula de Auslander temos que Ext1A(R,X) ∼=
DHomA(X, τR). Mas, segundo o Corolário 2.13 (VIII) em [2], não existem mor�smos não nulos
de um módulo pré-injetivo a um módulo regular, portanto
Ext1A(R,X) ∼= DHomA(X, τR) = 0.
Por outro lado, para l ≥ 0, temos que HomA(R, τ lIj) ∼= HomA(τ−lR, Ij). Segundo o Corolário
1.5.5, segue que
HomA(R, τ lIj) = 0⇔ j /∈ supp τ−lR.
Portanto, teremos que
HomA(F , τ lIj) = 0 e HomA(G, τ lIj) = 0⇔ j ∈ (Supp τ−lF)′ ∩ (Supp τ−lG)′.
Tendo em vista as anteriores observações, se (F,G, τ tIi) é um sistema estrati�cante e X ∼=τ lIj , para mostrar que (X,F,G, τ tIi) é um sistema estrati�cante é su�ciente veri�car que:
a. j ∈ (Supp τ−lF)′ ∩ (Supp τ−lG)′
b. HomA(τ tIi, X) = 0 e Ext1A(τ tIi, X) = 0.
Consideraremos aqui os vários casos, que dependem da forma de t, de acordo com a lista no
enunciado da Proposição 3.2.8.
1. Seja t ≥ 1 tal que t ≡ p − 1 (mod p) e q|t. Então, pelo Corolário 3.2.4, (1b), seguem as
igualdades
(Supp τ−tF)′ ∩ (Supp τ−tG)′ = (Supp τ−(p−1)F)′ ∩ (Supp τ−tG)′ = {p− 1}.
Observemos que HomA(τ tIp, τtIp−1) ∼= HomA(Ip, Ip−1) e que Ip tem a seguinte represen-
tação
0
yy
0oo · · ·oo 0oo
Ip : 0 K,
ee
1yyK
ee
K1oo · · ·
1oo K
1oo
o que mostra que Sp−1 não é fator de composição Ip. Portanto, HomA(τ tIp, τtIp−1) = 0.
Além disso, o Lema 3.2.6, (2), estabelece que Ext1A(τ tIp, τ
tIp−1) = 0.
69
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
Assim tomando X ∼= τ tIp−1, temos pelas condições (a) e (b) que (τ tIp−1, F,G, τtIp), com
t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t, é um sistema estrati�cante completo sobre A.
2. Sejam t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t e X ∼= τ tIp+q−2. Pelo Corolário 3.2.4, (2b),
temos que
(Supp τ−tF)′ ∩ (Supp τ−tG)′ = (Supp τ−tF)′ ∩ (Supp τ−(q−1)G)′ = {p+ q − 2}.
Por outro lado, HomA(τ tI1, τtIp+q−2) ∼= HomA(I1, Ip+q−2) e como I1 é o módulo associado
à representação
K
yy
K1oo · · ·1oo K
1oo
I1 : 0 K,
1ee
yy0
ee
0oo · · ·oo 0oo
que não tem Sp+q−2 como fator de composição, então HomA(τ tI1, τtIp+q−2) = 0.
O Lema 3.2.6, (2), garante que Ext1A(τ tI1, τ
tIp+q−2) = 0.
Assim (τ tIp+q−2, F,G, τtI1), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t, é um sistema
estrati�cante completo sobre A.
3. Sejam t ≥ 1 tal que t ≡ p − 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q) e X ∼= τ t+1Ip+q−1. Pelo
Corolário 3.2.4, temos que
(Supp τ−t−1F)′ ∩ (Supp τ−t−1G)′ = (SuppF)′ ∩ (SuppG)′ = {0, p+ q − 1},
o que mostra que a condição (a) está veri�cada. Por outro lado, pela fórmula de Auslander,
temos que
HomA(τ tI0, τt+1Ip+q−1) ∼= HomA(I0, τIp+q−1) ∼= DExt1
A(Ip+q−1, I0) = 0.
A fórmula de Auslander também mostra que
Ext1A(τ tI0, τ
t+1Ip+q−1) ∼= DHomA(τ t+1Ip+q−1, τt+1I0)
∼= HomA(Ip+q−1, I0)
= 0,
pois Ip+q−1 é um injetivo simples, completando a condição (b).
Assim (τ t+1Ip+q−1, F,G, τtI0), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e t ≡ p− 1 (mod p) é
um sistema estrati�cante completo sobre A.
4. Sejam t ≥ 1 tal que t ≡ p−1 (mod p) e t ≡ q−1 (mod q). Vamos mostrar que a sequência
(τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1) é um sistema estrati�cante completo sobre A. Pelo Corolário
70
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
3.2.4, temos que
(Supp τ−t+p−1F)′ ∩ (Supp τ−t+p−1G)′ = (SuppF)′ ∩ (Supp τ−(q−p)G)′
= {q − 1},
comprovando (a). Por outro lado
HomA(τ tIp+q−1, τt−(p−1)Iq−1) ∼= HomA(τp−1Ip+q−1, Iq−1) = 0,
pois, pela Proposição 3.2.12, (5), Sq−1 não é um fator de composição de τp−1Ip+q−1.
Além disso, pelo Lema 3.2.6, (2), vale que
Ext1A(τ tIp+q−1, τ
t−(p−1)Iq−1) = 0,
e a condição (b) está veri�cada. Resultando que (τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1), com t ≥ 1
tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q), é um sistema estrati�cante completo sobre
A.
5. Consideremos t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), 0 < r < p − 1 e t ≡ q − 1 (mod q). Seja
X ∼= τ t−rIp+q−r−2. Para a condição (a), usando o Corolário 3.2.4, temos que
(Supp τ−(t−r)F)′ ∩ (Supp τ−(t−r)G)′ = (SuppF)′ ∩ (Supp τ−(t−r)G)′
= (Supp τ−(q−1−r)G)′
= {p+ q − r − 2}.
Para a condição (b), temos primeiramente
HomA(τ tIr+1, τt−rIp+q−r−2) ∼= HomA(τ rIr+1, Ip+q−r−2) = 0,
uma vez que pela Proposição 3.2.12 parte (5), τ rIr+1 não tem Sp+q−r−2 como fator de
composição.
Temos também do Lema 3.2.6, (2), que Ext1A(τ tIr+1, τ
t−rIp+q−r−2) = 0. Logo de (a) e
(b) estarem veri�cadas, temos que (τ t−rIp+q−r−2, F,G, τtIr+1) é um sistema estrati�cante
completo sobre A.
6. Seja t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1 e t ≡ p − 1 (mod p). Para completar o
sitema estrati�cante (F,G, τ tIp+r) vamos considerar duas situações:
• Suponhamos que r < p. Seja X ∼= τ t−rIp−(r+1). Temos que
Supp τ−(t−r)F)′ ∩ (Supp τ−(t−r)G)′ = (Supp τ−(p−1−r)F)′ ∩ (SuppG)′
= (Supp τ (r+1)F)′
= {p− (r + 1)},
71
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
com o que a condição (a) está veri�cada.
Também temos, neste caso, que
HomA(τ tIp+r, τt−rIp−(r+1)) ∼= HomA(τ rIp+r, Ip−(r+1)) = 0,
pois, pela Proposição 3.2.12, (5), τ rIp+r não tem Sp−(r+1) como fator de composição.
O Lema 3.2.6, (2), garante por sua vez que
Ext1A(τ tIp+r, τ
t−rIp−(r+1)) = 0,
e então a condição (b) também está veri�cada.
Asim temos que (τ t−rIp−(r+1), F,G, τtIp+r) com t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1,
t ≡ p− 1 (mod p) e r < p é um sistema estrati�cante completo.
• Suponhamos que r ≥ p e seja X ∼= τ t−(p−1)Ir. Sob as hipóteses de t, r e p, temos que
Supp τ−[t−(p−1)]F)′ ∩ (Supp τ−[t−(p−1)]G)′ = (Supp τ−[r−(p−1)]G)′
= {p+ (r − p+ 1)− 1}= {r}, (condição (a)).
Do isomor�smo HomA(τ tIp+r, τt−(p−1)Ir) ∼= HomA(τp−1Ip+r, Ir) e da Proposição
3.2.12, (5), por Sr não ser fator de composição de τ rIp+r temos que
HomA(τ tIp+r, τt−(p−1)Ir) = 0.
Também o Lema 3.2.6, (2.b), diz que
Ext1A(τ tIp+r, τ
t−(p−1)Ir) = 0,
garantindo a validade de (b). Ou seja, (τ t−(p−1)Ir, F,G, τtIp+r) com t ≡ r (mod q),
0 < r < q − 1, t ≡ p− 1 (mod p) e r ≥ p é um sistema estrati�cante completo sobre
A, completando a lista no enunciado da proposição.
�
As Proposições 3.2.11 e 3.2.13 fornecem una lista completa dos sistemas estrati�cantes com-
pletos da forma (X,F,G, Y ) sobre A = KQ, onde Q = 4(Ap,q). Apresentamos tal lista no
seguinte teorema.
Teorema 3.2.14. Sejam A = K4(Ap,q) e F e G sistemas estrati�cantes como de�nidos em 3.5
e 3.6. A lista completa dos sistemas estrati�cantes da forma (X,F,G, Y ) é a seguinte:
1. (Sp+q−1, F,G, P0).
72
Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)
2. (X,F,G, Pp+q−1), onde
X ∼=
{τ−p+1P0, se p = q
τ−p+1Pq−1, se p 6= q
3. (X,F,G, τ−tPp+q−1) com t ≥ 1 tal que p|t e q|t, onde
X ∼=
{τ−t−p+1P0, se p = q
τ−t−p+1Pq−1, se p 6= q
4. (τ−t+1Pp+q−1, F,G, τ−tP0), com t ≥ 1 tal que p|t e q|t.
5. (τ−t−(p−r−1)Pq+r−1, F,G, τ−tPp−r), com t ≥ 1 tal que q|t e r tal que t ≡ r (mod p) e
1 ≤ r ≤ p− 1.
6. (X,F,G, τ−tPp+q−r−1), com t ≥ 1 tal que p|t e r tal que t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1.
X ∼=
{τ−t−q+r+1Pp−q+r, se p ≤ q − rτ−t−p+1Pq−r−1, se p > q − r
7. (τ tIp−1, F,G, τtIp), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t.
8. (τ tIp+q−2, F,G, τtI1), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t.
9. (τ t+1Ip+q−1, F,G, τtI0), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).
10. (τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).
11. (τ t−rIp+q−r−2, F,G, τtIr+1), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), 0 < r < p − 1 e t ≡
q − 1 (mod q).
12. (X,F,G, τ tIp+r), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1 e t ≡ p − 1 (mod p),
onde
X ∼=
{τ t−rIp−(r+1), se r < p
τ t−(p−1)Ir, se r ≥ p
�
73
Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas
74
Capítulo 4
Sistemas estrati�cantes via módulos
inclinantes em álgebras hereditárias
Sejam A uma álgebra hereditária, T é um A-módulo inclinante parcial básico e ⊕ni=1Ti sua
decomposição em somandos diretos indecomponíveis. Surge a seguinte pergunta, se (T1, . . . , Tn)
é sequência dos somandos de T , será que ela é uma sequência especial?
Embora não tenha sido possível responder plenamente a questão, neste capítulo estabelece-
mos que dado um A-módulo inclinante parcial básico T sempre existe uma sequência especial
dos seus somandos diretos. Depois, encontramos condições, su�cientes e necessárias para que
uma sequência da formma (T1, T2), onde T = T1⊕T2 é um módulo incliante parcial básico, seja
uma sequência especial. Finalmente, tratamos o problema análogo para uma sequência de três
módulos.
Começaremos enunciando resultados da teoria de inclinação que usaremos como ferramenta
ao longo deste capítulo.
Lema 4.1.1. (3.2 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra, T um A-módulo inclinante e
B = EndA(T ). Se M,N ∈ T (T ) = {X ∈ modA/Ext1A(T,X) = 0}, então existem isomor�smos
funtoriais:
1. HomA(M,N) ∼= HomB(HomA(T,M)),HomA(T,N)).
2. Ext1A(M,N) ∼= Ext1
B(HomA(T,M)),HomA(T,N)).
�
Lema 4.1.2. (3.10 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra, TA um A-módulo inclinante
básico, TA = T1⊕ . . .⊕Tn sua decomposição em somandos diretos indecomponíveis e dois a dois
não isomorfos, e B = EndA(T ). Seja ei ∈ B = EndA(T ) a composição da projeção canônica
pi : T −→Ti com a inclusão canônica ui : Ti−→T . Então o conjunto {e1, . . . , en} é um conjunto
75
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
completo de idempotentes ortogonais e primitivos de B e existe um isomor�smo de B-módulos
eaB ∼= HomA(T, Ta), para todo a ∈ {1, . . . n}.
�
Lema 4.1.3. (3.4 Cap. VIII em [2]) Sejam A = KQ, onde Q é um carcás �nito, conexo e
acíclico e T um A-módulo inclinante. Se B = EndA(T ), então o carcás ordinário QB de B é
acíclico. �
Se A é uma álgebra hereditária, dado um conjunto completo de idempotentes ortogonais
e primitivos {ea1 , . . . , ean} de A existe uma enumeração dos seus elementos de tal forma que
o módulo estândar 4i coincide com o projetivo Pi, para todo i = 1, . . . , n. Tal enumeração é
conhecida como enumeração admissível, cuja de�nição é a seguinte.
De�nição 4.1.4. Seja Q = (Q0, Q1) um carcás tal que |Q0| = n. Uma enumeração admissível
de Q é uma bijeção entre Q0 e o conjunto {1, 2, . . . n} tal que se existir uma �echa vi−→ vj,
então i > j.
Na seguinte observação veremos que, se Q é um carcás �nito e acíclico sempre é possível
construir uma enumeração admissível para Q.
Observação 4.1.5. Seja Q = (Q0, Q1) um carcás �nito, conexo e acíclico tal que |Q0| = n.
Então podemos construir uma enumeração admissível de Q da seguinte forma: seja v1 um poço
em Q. Então consideramos o sub-carcás pleno Q(1) de Q tal que seu conjunto de vértices é
Q0 − {v1}. Seja v2 um poço em Q(1). Continuamos indutivamente.
�
Proposição 4.1.6. Sejam A uma álgebra hereditária e T um A-módulo inclinante básico. Então
existe uma sequência especial de T .
Demonstração. Seja B = EndA(T ). Então, pelo Lema 4.1.3, o carcás ordinário QB de B é ací-
clico e então, pela observação acima, existe uma enumeração admissível de QB. Seja {e1, . . . , en}um conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos de B enumerados de tal forma
que os vértices correspondentes estão enumerados de forma admissível. Seja e = (e1, . . . , en). No-
temos que, com a ordem e, se j > i então não existem mor�smos não nulos do projetivo Pj para
o projetivo Pi e, portanto, 4i = Pi, para i = 1, . . . , n. Por outro lado, pelo Lema 4.1.2, temos
que Pa ∼= eaB ∼= HomA(T, Ta). Assim, na ordem e a sequência (HomA(T, T1), . . . ,HomA(T, Tn))
é a sequência de B-módulos estândares à esquerda. Portanto, temos que
HomB(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) = 0, se i > j, e
Ext1B(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) = 0, se i ≥ j.
76
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Mas, por outro lado, pelo Lema 4.1.1, vale que
HomB(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) ∼= HomA(Ti, Tj),
e que
Ext1B(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) ∼= Ext1
A(Ti, Tj).
Concluímos que (T1, . . . , Tn) é um sistema estrati�cante sobre A e, portanto, que existe uma
sequência especial de T .
�
Observemos que, se T é um módulo inclinante parcial básico então existe uma sequência
especial de T . Para constuir tal sequência primeiro completamos o módulo T a um módulo
inclinante T ′ básico (o que é possível pelo Lema 2.3.6). Segundo a proposição anterior, existe
uma sequência especial de T ′ da forma (T ′1, . . . , T′n), onde T ′ = ⊕ni=1Ti, é a decomposição de
T ′ em somandos diretos indecomponíveis. Se T = ⊕ki=1T′`i, então (T ′`1 , . . . , T
′`k
) é uma sequência
especial de T se u < v implicar que `u < `v, para u, v ∈ {1, . . . , k}.
Lema 4.1.7. Sejam K um corpo, A uma K-álgebra (não necessariamente hereditária). Se X e
Y são A-módulos tais que HomA(X,Y ) = 0 e existir uma sequência exata da forma
0−→Xi−→L
φ−→Y n−→ 0,
para algum n ∈ N, n 6= 0, então não existe um epimor�smo f : L−→Y n+1.
Demonstração. Suponhamos que existe um epimor�smo f : L−→Y n+1. Então fi = 0, pois
caso contrário existiria um elemento não nulo em HomA(X,Y ) pela de�nição de conúcleo existirá
um homomor�smo h : Y n−→Y n+1 tal que φh = f . Logo, como φ e f são epimor�smos, temos
que h é um epimor�smo o que é uma contradição.
�
Lema 4.1.8. Sejam A uma K-álgebra hereditária e de dimensão �nita sobre um corpo al-
gebricamente fechado K e T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante parcial, onde T1 e T2 são
indecomponíveis não isomorfos. Se existir uma sequência exata curta da forma
0−→N −→T2−→Tn1 −→ 0. (4.1)
Então:
1. Ext1A(N,T1) = 0.
2. Ext1A(N,T2) = 0.
3. HomA(N,T1) = 0 se, e somente se, dimK HomA(T2, T1) = n.
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Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Demonstração. Para 1 aplicamos o funtor HomA( , T1) em (4.1) e obtemos a seguinte
sequência exata
· · · −→ Ext1A(T2, T1)−→ Ext1
A(N,T1)−→ Ext2A(Tn1 , T1)−→ · · · .
Como, por hipótese, Ext1A(T2, T1) = 0 e Ext2
A(Tn1 , T1) = 0, então temos que Ext1A(N,T1) = 0.
Para a demonstração da parte 2, que é análoga à anterior, aplicamos o funtor HomA( , T2)
em (4.1) e obtemos
· · · −→ Ext1A(T2, T2)−→ Ext1
A(N,T2)−→ Ext2A(Tn1 , T2)−→ · · · .
Das hipóteses de que Ext1A(T2, T2) = 0 = Ext2
A(Tn1 , T2) = 0, resulta que Ext1A(N,T2) = 0.
Para provar 3 aplicamos HomA( , T1) em (4.1) e obtemos
0−→ HomA(Tn1 , T1)−→ HomA(T2, T1)−→ HomA(N,T1)−→ 0.
Logo HomA(N,T1) = 0 se, e somente se, HomA(Tn1 , T1) ∼= HomA(T2, T1). Por outro lado,
dimK HomA(Tn1 , T1) = n dimK EndA(T1).
Além disso, pelo Lema 2.3.2, EndA(T1) ∼= K.
Portanto, HomA(N,T1) = 0 se, e somente se, dimK HomA(T2, T1) = n.
�
Antes de enunciar a próximo lema, notemos que se (T1, . . . , Tn) é uma sequência especial do
A-módulo inclinante T associada a sistema estrati�cante (X1, . . . , X2), então X1 = T1.
Lema 4.1.9. Sejam A uma álgebra hereditária e T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante parcial
com T1 e T2 módulos indecomponíveis não isomorfos. Se existe um monomor�smo f : T2→T1,
então (T1, T2) não é uma sequência especial de T .
Demonstração. Suponhamos que (T1, T2) seja uma sequência especial de T e que f : T2→T1
é um monomor�smo. Então, pela de�nição, existe um sistema estrati�cante X = (X1, X2) com
X1 = T1, tal que F(X) ∩ Y(X) = addT e uma sequência exata da forma
0−→X2α−→T2−→Xn
1 −→ 0.
Portanto fα : X2−→X1 é um monomor�smo, logo HomA(X2, X1) 6= 0, o que contraria a
hipótese de que HomA(X2, X1) = 0.
�
Corolário 4.1.10. Sejam A uma K-álgebra hereditária, T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante
parcial, com T1 e T2 A-módulos indecomponíveis, e (T1, T2) uma sequência especial de T . Então:
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Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
1. Todos os mor�smos não nulos em HomA(T2, T1) são epimor�smos.
2. Existe um epimor�smo da forma f : T2→Tn1 , com n = dimK HomA(T2, T1).
3. O máximo inteiro n com a propriedade de que existe um epimor�smo f : T2−→Tn1 é
n = dimK HomA(T2, T1).
Demonstração. O Lema 4.1.9 garante que não existem monomor�smos em HomA(T2, T1).
Então, pelo Lema 2.3.2, qualquer elemento não nulo em HomA(T2, T1) é um epimor�smo. Por
outro lado, desde que (T1, T2) é uma sequência especial de T , existe uma sequência exata da
forma
0−→X2−→T2−→Tm1 −→ 0.
Então, pelo Lema 4.1.8, m = dimK HomA(T2, T1). Se m = 0, não temos mais nada a provar. Se
m 6= 0, pelo Lema 4.1.7, m satisfaz as condições requeridas.
�
Notemos que se T = T1 ⊕ T2 é um A-módulo inclinante parcial, (T1, T2) é uma sequência
especial de T e HomA(T2, T1) = 0, então (T1, T2) é o sistema estrati�cante associado a (T1, T2) .
Lema 4.1.11. Sejam A uma K-álgebra hereditária, T = T1 ⊕ T2 um A- módulo inclinante
parcial e T1 e T2 módulos indecomponíveis não isomorfos. Se existe uma sequência exata curta
da forma
0−→N −→T2−→Tn1 −→ 0, (4.1)
e HomA(N,T1) = 0. Então:
1. Ext1A(N,N) = 0.
2. As seguintes condições são equivalentes:
(a) N é um A-módulo indecomponível.
(b) dimK HomA(N,T2) = 1.
(c) HomA(T1, T2) = 0.
Demonstração. Aplicamos o funtor HomA(N, ) na sequência (4.1) e como, pelo Lema 4.1.8,
Ext1A(N,T1) = 0 obtemos a seguinte sequência exata
0→ EndA(N)→ HomA(N,T2)→ HomA(N,T1)→ Ext1A(N,N)→ 0.
Por hipótese HomA(N,T1) = 0, então, usando a sequência exata acima, temos que Ext1A(N,N) =
0 (que é nossa primeira a�rmação) e que EndA(N) ∼= HomA(N,T2).
Vamos provar que (a⇔ b). Para isto notemos que, o fato de que N não tem auto-extensões
junto com o Lema 2.3.3, implicam que N é indecomponível se, e somente se, EndA(N) ∼= K.
79
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Mas, por outro lado EndA(N) ∼= HomA(N,T2), então podemos concluir que, N é indecomponível
se, e somente se, dimK HomA(N,T2) = 1.
Para mostrar (b ⇔ c), aplicamos o funtor HomA( , T2) em (4.1) e obtemos a sequência
exata curta
0−→ HomA(Tn1 , T2)−→ EndA(T2)−→ HomA(N,T2)−→ 0.
Como T2 é um A-módulo indecomponível e sem auto-extensões, pelo Lema 2.3.3, temos que
dimK EndA(T2) = 1. Portanto, usando a sequência exata acima, é possível a�rmar que
dimK HomA(N,T2) = 1 se, e somente se, HomA(T1, T2) = 0.
�
Teorema 4.1.12. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária
e T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante parcial com T1 e T2 A-módulos indecomponíveis.
Então (T1, T2) é uma sequência especial de T se, e somente se, os mor�smos não nulos em
HomA(T2, T1) são epimor�smos e existe um epimor�smo da forma f : T2−→Tn1 , onde n =
dimK HomA(T2, T1). Neste caso, (T1, T2) é a sequência especial de T associada ao sistema es-
trati�cante (T1,Nuc f).
Demonstração. Se (T1, T2) é uma sequência especial de T a tese segue diretamente do Corolá-
rio 4.1.10. Para a demonstração do recíproco, suponhamos que existe um epimor�smo da forma
f : T2−→Tn1 , onde n = dimK HomA(T2, T1). Se n = 0, não temos nada a provar. Suponhamos
que n 6= 0. Seja N = Nuc f . Então, pelo Lema 4.1.8, HomA(N,T1) = 0 e Ext1A(N,T1) = 0.
Por outro lado, Lema 4.1.3, HomA(T1, T2) = 0. Logo, pelo Lema 4.1.11, N é um A-módulo
indecomponível e Ext1A(N,N) = 0. Assim temos que (T1, N) é um sistema estrati�cante. Por
outro lado temos que Ext1A(T1, T1 ⊕ T2) = 0, pois T é inclinante parcial e, pelo Lema 4.1.8, que
Ext1A(N,T1 ⊕ T2) = 0. Assim podemos a�rmar que F(T1, N) ∩ Y(T1, N) = add T , e portanto
que (T1, N) é o sistema estrati�cante associado à sequência especial (T1, T2) de T .
�
Lema 4.1.13. Sejam A uma K-álgebra hereditária, T = T1⊕T2 um A-módulo inclinante parcial,
com A-módulos T1 e T2 indecomponíveis de forma que (T1, T2) é uma sequência especial de T ,
associada ao sistema estrati�cante (X1, X2). Se HomA(T2, T1) 6= 0, então HomA(X1, X2) =
0 e dimK Ext1A(X1, X2) = dimK HomA(T2, T1).
Demonstração. Como HomA(T2, T1) 6= 0 indiquemos por n1 = dimK HomA(T2, T1) ≥ 1.
A hipótese de (T1, T2) ser uma sequência especial associada ao sistema estrati�cante (X1, X2),
X1 = T1, implica, pelo Teorema 4.1.12, que existe uma sequência exata curta da forma
0−→X2−→T2−→Tn11 −→ 0.
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Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Aplicando o funtor HomA(T1, ) à sequência exata acima, obtemos que
0→ HomA(T1, X2)→ HomA(T1, T2)→ HomA(T1, Tn1 )→ Ext1
A(T1, X2)→ 0.
Porém, como consequência do Lema 4.1.3, temos que HomA(T1, T2) = 0. Portanto da úl-
tima sequência resulta que HomA(X1, X2) = HomA(T1, X2) = 0 e que dimK Ext1(X1, X2) =
dimK Hom(T1, T1)n1 = n1.
�
Proposição 4.1.14. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e
T = T1⊕T2⊕T3 um A-módulo inclinante parcial básico tal que T1, T2 e T3 são A-módulos inde-
componíveis. Se (T1, T2) é uma sequência especial de T1⊕ T2 associada ao sistema estrati�cante
(X1, X2), onde X2 6∼= T2, e existem sequências exatas da forma
0−→K1−→T3−→Tn11 −→ 0, (4.2)
0−→K2−→K1−→Xn22 −→ 0, (4.3)
onde n1 = dimK HomA(T3, T1) e n2 = dimK HomA(T3, T2). Então (T1, T2, T3) é uma sequência
especial de T associada ao sistema estrati�cante (X1, X2,K2).
Demonstração. Primeiro vamos aplicar o funtor HomA( , T1) em (4.3) e obtemos
0 −→ HomA(Xn22 , T1) −→ HomA(K1, T1) −→ HomA(K2, T1) −→
Ext1A(Xn2
2 , T1) −→ Ext1A(K1, T1) −→ Ext1
A(K2, T1) −→ 0.
Como (X1, X2) é um sistema estrati�cante associado a sequência especial (T1, T2) de T1 ⊕ T2,
então X1 = T1, HomA(X2, T1) = 0 e Ext1A(X2, T1) = 0. Logo, da sequência acima, podemos
concluir que
HomA(K1, T1) ∼= HomA(K2, T1) e que Ext1A(K1, T1) ∼= Ext1
A(K2, T1). (4.4)
Aplicamos agora o funtor HomA( , T1) em (4.2) e obtemos
0 −→ HomA(Tn11 , T1) −→ HomA(T3, T1) −→ HomA(K1, T1) −→
Ext1A(Tn1
1 , T1) −→ Ext1A(T3, T1) −→ Ext1
A(K1, T1) −→ 0.
Como Ext1A(T3, T1) = 0, então Ext1
A(K1, T1) = 0 e, usando (4.4), temos que
Ext1A(K2, T1) = 0 e HomA(K2, T1) = 0⇔ dimK HomA(T3, T1) = n1. (4.5)
81
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Agora aplicamos HomA( , T3) em (4.2) e obtemos
· · · −→ Ext1A(Tn1
1 , T3)−→ Ext1A(T3, T3)−→ Ext1
A(K1, T3)−→ 0.
Como Ext1A(T1, T3) = 0 e Ext1
A(T3, T3) = 0, temos que
Ext1A(K1, T3) = 0. (4.6)
Aplicando HomA( , T3) em (4.3) e obtemos
· · · −→ Ext1A(X2, T3)−→ Ext1
A(K1, T3)−→ Ext1A(K2, T3)−→ 0.
Da sequência exata acima e (4.6) concluímos que
Ext1A(K2, T3) = 0. (4.7)
Aplicamos HomA(K2, ) em (4.2) e temos
0 −→ HomA(K2,K1) −→ HomA(K2, T3) −→ HomA(K2, Tn11 ) −→
Ext1A(K2,K1) −→ Ext1
A(K2, T3) −→ Ext1A(K2, T
n11 ) −→ 0.
(4.8)
Mas, usando (4.7) e (4.6), temos que
Ext1A(K2,K1) = 0 e que HomA(K2,K1) ∼= HomA(K2, T3) (4.9)
Aplicamos HomA(K2, ) em (4.3)
0 −→ HomA(K2,K2) −→ HomA(K2,K1) −→ HomA(K2, Xn22 ) −→
Ext1A(K2,K2) −→ Ext1
A(K2,K1) −→ Ext1A(K2, X
n22 ) −→ 0.
(4.10)
Usando (4.9), na sequência exata acima, temos que
Ext1A(K2, X2) = 0. (4.11)
Aplicamos HomA( , X2) em (4.3)
0 −→ HomA(Xn22 , X2) −→ HomA(K1, X2) −→ HomA(K2, X2) −→
Ext1A(Xn2
2 , X2) −→ Ext1A(K1, X2) −→ Ext1
A(K2, X2) −→ 0.
Como (X1, X2) é um sistema estrati�cante, então X2 não tem auto-extensões e por outro
lado, de (4.11), temos que
Ext1A(K1, X2) = 0 e que HomA(K2, X2) = 0⇔ dimK HomA(K1, X2) = n2. (4.12)
82
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Agora aplicamos HomA( , X2) em (4.2) e obtemos
0 −→ HomA(Tn11 , X2) −→ HomA(T3, X2) −→ HomA(K1, X2) −→
Ext1A(Tn1
1 , X2) −→ Ext1A(T3, X2) −→ Ext1
A(K1, X2) −→ 0.
Seja n = dimK HomA(T2, T1). Como, por hipótese X2 6∼= T2, então n 6= 0. Assim, pelo Lema
4.1.13, HomA(T1, X2) = 0 e dimK Ext1A(T1, X2) = n. Por outro lado, de (4.12), temos que
Ext1A(K1, X2) = 0. Portanto, da sequência exata acima temos que
dimK HomA(T3, X2) = dimK HomA(K1, X2)− dimK Ext1A(Tn1
1 , X2) + dimK Ext1A(T3, X2)
= dimK HomA(K1, X2) + dimK Ext1A(T3, X2)− nn1.
(4.13)
Mas, por outro lado, pelo Teorema 4.1.12, existe uma sequência exata da forma
0−→X2−→T2−→Tn1 −→ 0. (4.14)
Se aplicamos o funtor HomA(T3, ), na sequência acima, obtemos
0→ HomA(T3, X2)→ HomA(T3, T2)→ HomA(T3, Tn1 )→ Ext1
A(T3, X2)→ 0.
Assim, em termos de dimensão, temos que
dimK HomA(T3, T2) = dimK HomA(T3, X2) + dimK HomA(T3, Xn1 )− dimK Ext1
A(T3, X2).
(4.15)
Notemos que dimK HomA(T3, Xn1 ) = nn1. Agora, sustituindo (4.13) em (4.15), temos que
dimK HomA(T3, T2) = dimK HomA(K1, X2). (4.16)
Mas, usando (4.12) e (4.16) podemos a�rmar que
HomA(K2, X2) = 0⇔ dimK HomA(T3, T2) = n2. (4.17)
Até agora, temos demonstrado que
HomA(K2, X1) = 0, (4.5)
HomA(K2, X2) = 0, (4.17)
Ext1A(K2, X1) = 0, (4.12)
Ext1A(K2, X2) = 0. (4.11)
Diante disto, para demonstrar que (X1, X2,K2) é um sistema estrati�cante, é su�ciente
veri�car que o módulo K2 não tem auto-extensões e que é um A-módulo indecomponível.
Como HomA(K2, X1) = 0, segundo (4.5), e Ext1A(K2, T3) = 0, por (4.7), então, usando (4.8),
83
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
podemos a�rmar que
Ext1A(K2,K1) = 0. (4.18)
Usando (4.9), (4.17) e (4.18) na sequência exata em (4.10), podemos dizer que
Ext1A(K2,K2) = 0 e que HomA(K2,K2) ∼= HomA(K2,K1) ∼= HomA(K2, T3). (4.19)
Agora, usando o Corolário 2.3.3 e a cadeia de isomor�smos acima em (4.19), a�rmamos que
K2 é indecomponível ⇔ dimK HomA(K2, T3) = 1. (4.20)
Por outro lado, aplicando HomA( , T3) em (4.14), temos que
0 −→ HomA(Tn1 , T3) −→ HomA(T2, T3) −→ HomA(X2, T3) −→Ext1
A(Tn1 , T3) −→ Ext1A(T2, T3) −→ Ext1
A(X2, T3) −→ 0.(4.21)
Como Ext1A(T2, T3) = 0, então
Ext1A(X2, T3) = 0. (4.22)
Usando as sequências em (4.2) e (4.3) construímos seguinte o diagrama de pust-out
0
��
0
��K2
��
// K3
��0 // K1
��
// T3
��
// Xn11
// 0
0 // Xn22
��
// Z3
��
// Xn11
// 0
0 0,
onde, como consequência do Lema da serpente, a linha pontilhada é um isomor�smo.
Aplicamos em 0−→Xn22 −→Z3−→Xn1
1 −→ 0, que é a segunda sequência horizontal no dia-
grama acima, o funtor HomA( , T3) e obtemos
0 −→ HomA(Xn11 , T3) −→ HomA(Z3, T3) −→ HomA(Xn2
2 , T3) −→Ext1
A(Xn11 , T3) −→ Ext1
A(Z3, T3) −→ Ext1A(Xn2
2 , T3) −→ 0.(4.23)
Como Ext1A(X2, T3) = 0, por (4.22), e Ext1
A(X1, T3) = Ext1A(T1, T3) = 0, então
Ext1A(Z3, T3) = 0. (4.24)
84
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Agora aplicando HomA( T3) na segunda sequência vertical do diagrama acima, e usando
(4.24) temos que
0−→ HomA(Z3, T3)−→ HomA(T3, T3)−→ HomA(K2, T3)−→ 0.
Pelo Lema 2.3.2, EndA(T3) ∼= K, logo, usando (4.20) e a sequência acima, a�rmamos que
K2 é indecomponível ⇔ HomA(Z3, T3) = 0. (4.25)
Por outro lado, de (4.23) e (4.22), temos que
HomA(Z3, T3) = 0⇔ (HomA(X2, T3) = 0 e HomA(X1, T3) = 0). (4.26)
Finalmente, de (4.21) e (4.22), temos que
HomA(T2, T3) = 0⇔ (HomA(X2, T3) = 0 e HomA(X1, T3) = 0). (4.27)
Para veri�car que K2 é undecomponível devemos considerar vários casos. Suponhamos que
n2 = 0. Então K2∼= K1. Além disso, se n1 6= 0, então HomA(T1, T3) = 0, pelo Lema 4.1.3, e,
segundo o Lema 4.1.11, K1 seria um A-módulo indecomponível. No caso contrário, se n1 = 0,
então K1∼= T3 e, portanto, é um A-módulo indecomponível.
Suponhamos que n2 6= 0. Então segue do Lema 4.1.3 que HomA(T2, T3) = 0. Logo de (4.27),
(4.26), e (4.25) temos que K2 é um A-módulo indecomponível.
�
Lema 4.1.15. [15] Sejam A uma álgebra de Artin e X = {X1, . . . , Xt} um conjunto �nito de
A-módulos com a propriedade de que Ext1A(Xi, Xj) = 0, sempre que i ≥ j. Então M ∈ F(X)
se, e somente se, M tem uma cadeia de submódulos da forma
0 = Mn+1 ⊆Mn ⊆ . . . ⊆M2 ⊆M1 = M,
com Mi/Mi+1 isomorfo a soma direta de copias de Xi, para todo 1 ≤ i ≤ n.�
Proposição 4.1.16. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária,
T =⊕t
j=1 Tj um A-módulo inclinante parcial e X = (X1, . . . , Xt) um sistema estrati�cante tal
que (T1, . . . , Tt) é uma sequência especial de T associada a X. Então, para cada j = 1, . . . , t,
85
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
existem sequências exatas da forma
(1) 0−→ K1 −→ Tl −→ Xmj,11 −→ 0,
(2) 0−→ K2 −→ K1 −→ Xmj,22 −→ 0,
......
......
(j − 1) 0−→ Xj−1 −→ Kl−2 −→ Xmj,l−1
l−1 −→ 0.
Demonstração. Seja j ∈ {1, . . . , t} �xo. Pelas hipóteses existe uma sequência exata da forma
0−→Xj −→Tj −→Zj −→ 0, onde Zj ∈ F(X1, . . . , Xj−1).
Portanto Tj ∈ F(X1, . . . , Xj) e [Tj : Xj ] = 1. Logo, segundo o Lema anterior, existe uma cadeia
de submódulos de Tj da forma
0 = Mj+1 ⊆Mj ⊆ . . . ⊆M2 ⊆M1 = Tj ,
onde Mi/Mi+1∼= Xαi
i , para todo i = 1, . . . , j. Para i = 1, M1/M2∼= Xα1
1 , ou seja, temos uma
sequência exata da forma
0−→M2−→Ti−→Xα11 −→ 0.
Para i = 2, M2/M3∼= Xα2
2 , portanto é possível construir a sequência exata
0−→M3−→M2−→Xα22 −→ 0.
Continuamos este procedimento até i = j − 1, onde construímos a sequência
0−→Mj −→Mj−1−→Xαj−1
j−1 −→ 0.
Por outro lado, notemos que Mj∼= X
αjj . Mais ainda, o fato de que [Tj : Xj ] = 1 implica que
Mj∼= Xj .
Desta forma, temos construído a família de sequências exatas desejada.
�
No caso particular em que T = T1 ⊕ T2 ⊕ T3 e (T1, T2, T3) é uma sequência especial de T
associada ao sistema estrati�cante X = (X1, X2, X3), a proposição acima garante a existência
das sequências exatas
(1) 0−→ K1 −→ T3 −→ Xm3,1
1 −→ 0,
(2) 0−→ X3 −→ K1 −→ Xm3,2
2 −→ 0.
Além disso, se X2 6∼= T2, então de (4.5) e (4.12) podemos a�rmar que m3,1 = dimK HomA(T3, T1)
e que m3,2 = dimK HomA(T3, T2). Potanto, temos demostrado o seguinte teorema.
86
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
Teorema 4.1.17. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e
T = T1 ⊕ T2 ⊕ T3 um A-módulo inclinante parcial básico tal que T1, T2 e T3 são A-módulos
indecomponíveis. Se (T1, T2) é uma sequência especial de T1 ⊕ T2 associada ao sistema estrati�-
cante (X1, X2), onde X2 6∼= T2, então (T1, T2, T3) é uma sequência especial de T se, e somente
se, existem sequências exatas da forma
0−→K1−→T3−→Tn11 −→ 0,
0−→K2−→K1−→Xn22 −→ 0,
onde n1 = dimK HomA(T3, T1) e n2 = dimK HomA(T3, T2). Neste caso T está associado ao
sistema estrati�cante (X1, X2,K2).
�
87
Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias
88
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Índice Remissivo
classe de torção, 39classe livre de torção, 39fórmulas de Auslander , 10par de torçao, 39
apresentação, 3Auslander-Reiten
carcás de, 8funtor de translação de, 10sequência de, 7teorema de, 7
avaliação, 4
boca, 19
caminho(s), 2categoria de, 19álgebra de, 2
carcás, 2acíclico, 2com relações, 3com translação, 18conexo, 2de Auslander-Reiten, 8grafo subjacente do, 2limitado, 3localmente �nito, 18ordinário, 3representação do, 4
Cartanmatriz de, 12
categoriade caminhos, 19injetivamente estável, 9mesh, 20projetivamente estável, 9
ciclo, 2começo, 2
componenteauto hereditária, 20estândar, 20
conjunto completo deidempotentes primitivos ortogonais, 1
Coxetermatriz de, 17transformação de, 17
diagramasde Dynkin, 14euclidianos, 15canonicamente orientados, 16
Dynkindiagramas de, 14
elemento(s)mesh, 20relativamente simples, 25
epimor�smoque cinde, 7
euclidianosdiagramas, 15
�ltração, 24�nal, 2�echa, 2
começo de uma, 2�nal de uma, 2
funtorde translação de Auslander-Reiten, 10
Gabrielteorema de, 3, 15
grafo subjacente, 2Grothendieck
grupo de, 12, 26grupo
de Grothendieck, 12, 26
91
hereditáriaálgebra, 13, 14
homomor�smoirredutível, 7
ideal admissível, 3idempotentes primitivos ortogonais
conjunto completo de, 1irredutível
homomor�smo, 7momomor�smo, 7
Kroneckerálgebra de, 5
matrizde Cartan, 12de Coxeter, 17
meshcategoria, 20elemento, 20
monomor�smoirredutível, 7espaço de, 8
que cinde, 7módulo
estândar, 28excepcional, 32inclinante, 33generalizado, 29parcial, 33
pré-injetivo, 14pós-projetivo, 14regular, 14
objetorelativamente injetivo, 26relativamente projetivo, 26simples, 21
predecessor imediato, 18
relativamente simpleselementos, 25sistema estrati�cante via módulos, 25
relação, 3representação
do carcás, 4retração, 7
sequênciade Auslander-Reiten, 7excepcional, 32quase-cindida, 7
seção, 7sistema estrati�cante, 24
completo, 34estândar, 25via módulos relativamente injetivos, 24via módulos relativamente simples, 24, 25
sucessor imediato, 18
teoremade Auslander-Reiten, 7de Gabriel, 3, 15
tijolo, 21transformação
de Coxeter, 17traço, 27tubo
auto hereditário, 20estável, 19hereditário, 20homogêneo, 19
vetordimensão, 11
vértice, 2
álgebrabasica, 1conexa, 1de caminhos, 2de Kronecker, 5estandarmente estrati�cada, 28hereditária, 13, 14indecomponivel, 1quase-hereditária, 31
92