Padintegraalbeschrijving van de FFLO-toestand in een
spin-gepolariseerd Fermi gas
Jeroen Devreese, Serghei Klimin, Michiel Wouters en Jacques Tempère
PadintegraalbeschrijvingFFLO-toestand
spin-gepolariseerd Fermi gas
Overzicht
1. Inleiding: ultrakoude gassen2. Situering van het onderzoek3. Padintegraal beschrijving 4. Resultaten5. Conclusies
1. Inleiding: ultrakoude gassen
• Bose en Fermi gassen• Optische roosters• BEC-BCS crossover• Spin-onevenwicht
1.1 Bose- en Fermi gassen
A) Bose gassen1000 K
100 K
10 K
1 K
0.1 K
0.01 K
1 mK
0.1 mK
0.01 mK
1 K
1 nK
0.1 K
0.01 K
3)
4)
3) Heisenberg: Golffuncties beginnen te overlappen
1) Klassiek: Verzameling botsende deeltjes
2) Deeltje = golfpakket met spreiding dp en dx
4) Macroscopische bezetting van de grondtoestand + fasecoherentie
=> Bose-Einstein condensaat
2)
1)
A) Bose gassen• Bose-Einstein condensaat vertoont superfluïde
eigenschappen
• Superfluïditeit = combinatie van eigenschappen
Vloeistof/gas stroomt wrijvingsloos
Irrotationeel => vortices
Zo ziet een BEC eruit
http://www.colorado.edu/physics/2000/bec/what_it_looks_like.html
B) Fermi gassen• Pauli principe: macroscopische bezetting
grondtoestand onmogelijk
Bose gas Fermi gas
B) Fermi gassen• Pauli principe: macroscopische bezetting
grondtoestand onmogelijk
Bose gas Twee-components Fermi gas
‘spin-op’‘spin-neer’
Andrew G. Truscott, et al. Science 291, 2570 (2001)
B) Fermi gassen• Cooperpaar = spin-op + spin-neer ≈ boson• Condensaat van Cooperparen = superfluïde
Hoe kan er dan een condensaat worden gevormd?
BCS (Bardeen-Cooper-
Schrieffer) superfluïde
toestand
1.2 Koude gassen als kwantumsimulator
A) Voordelen van koude gassen
• Controleerbaar door experimentatoro Temperatuur en dichtheido Dimensie en geometrie (Optische roosters)o Interactiesterkte (Feshbach resonantie)o Spin-onevenwicht
o Geen defecten, onzuiverheden, Coulomb interactie…
=> Quasi-perfecte simulatie van theoretische modellen
B) Optische roosters• Twee laserbundels interfereren en vormen staande golf => periodische potentiaal
• Analogie met kristalrooster
Optisch rooster Echt kristal
Artificiële kristallen gemaakt door laserlicht
B) Optische roosters• Aanpassen van de dimensie van het systeem
I. Bloch, Nature Phys. 1, 23 (2005).
C) Controle interactiesterkte• Feshbach resonantie:• veranderen extern magneetveld => verandert
verstrooiingslengte • verstrooiingslengte karakteriseert het interactieproces
• Atomaire “moleculen”• Ruimtelijk
gelokaliseerd
• Cooper-paren• Gelokaliseerd in
impulsruimte
Positieve verstrooiingslengte
Negatieve verstrooiingslengte
BEC-BCS crossover
M. Zwierlein et. al, Nature 435, 1047 (2005).
D) Spin-onevenwicht
• Meer ‘spin-op’ dan ‘spin-neer’ (of omgekeerd)• Welk effect heeft dit op de superfluïde
toestand?
?• In de limiet Polarisatie = 1 => geen paring mogelijk• Dus: bij zekere Pkritisch superfluïde-> normaal transitie
Overzicht
• Koude gassen Bosonen -> BEC Fermionen -> Cooperparen -> BEC
Enorm instelbaar: • Dimensie en geometrie (1) • Interactiesterkte (2)• Spin-onevenwicht (3)
(1) Optische roosters: lichtkristallen
(2) Feshbach resonantie -> BEC-BCS crossover
(3) Spin-onevenwicht: verstoort superfluïde paringsmechanisme
2. Situering van het onderzoek
• Wat is FFLO?• Doel van het onderzoek
2.1 Wat is de FFLO toestand?
A) BCS vs FFLO
• BCS
• FFLO
k -k
k -k+Q
k↑ + k↓ = 0
k↑ + k↓ = Q > 0
Kan deze toestand de grondtoestand van een Fermi gas met spin-onevenwicht vormen?
B) Waarom FFLO?
kx
ky
kF
∆
Fermi gas
Fermi energie
B) Waarom FFLO?
Superfluïde Fermi gas→ Normaal Fermi gasFFLO-mechanisme
Q
Paarvorming mogelijk
B) Waarom FFLO?
(+) Er kunnen terug meer Cooper paren worden gevormd(-) Het kost extra energie
2.2 Doel van het onderzoek
• De FFLO toestand werd nog niet experimenteel waargenomen
• Theoretisch: neemt slechts miniem deel van het BCS-BEC fasediagram in
• Idee: voeg een 1D periodische potentiaal toe aan het systeem
→ Experiment: optisch rooster
• Centrale doel: Bestudeer effect van deze potentiaal op FFLO toestand
3. Padintegraal beschrijving
Afleiden van de vrije energie
3.1 Overzicht• Doel: afleiden van de vrije energie Ω
op basis van de toestandssom
Temperatuur Volume Chemische potentialen
Inverse temperatuur
3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm
Som over alle “configuraties” van ψ
“Gewicht” van de configuraties
x
τ
Ψx,τDiscrete versieContinue versie
3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm
Som over alle “configuraties” van ψ
“Gewicht” van de configuraties
Fermionische velden => Grassmann variabelen
3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm
Som over alle “configuraties” van ψ
“Gewicht” van de configuraties
één deeltjes deel
twee deeltjes deel = interactie-term
3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm
Som over alle “configuraties” van ψ
“Gewicht” van de configuraties
Kinetische energie
Externe potentiaal
Chemische potentiaal
Contactpotentiaal
Interactiesterkte
3.3 Hubbard-Stratonovich• De vierde orde interactie-term splitsen in tweede
orde termen => bosonisch (hulp)veld
• De partitiesom wordt nu een dubbele padintegraal
3.4 Een dubbele padintegraal
Met als actie
=> Actie diagonaal in positie/tijd representatie
4de orde →2de orde
Fermionen Bosonen
3.5 Fourier transformatie• De partitiesom na Fourier transformatie wordt
Met als actie
Niet-diagonaal
Energie dispersie
3.6 ZadelpuntbenaderingNeem enkel de meest bijdragende term mee uit de bosonische padintegraal
We kiezen het zadelpunt zodat FFLO (Q>0) kan worden beschreven
=> Twee variationele parameters: Δ en Q
3.7 De Vrije energie• Nu is de bosonische padintegraal verwijderd en rest
er enkel nog een Gaussische padintegraal over fermionische velden:
Dit levert dan een uitdrukking voor de partitiesom en dus ook voor de vrije energie:
4. Resultaten
• Fasediagrammen van de grondtoestand• Het BCS en FFLO paringsmechanisme
Vrije energie
minimaliseren naar variationele parameters, voor gegeven waarden van de thermodynamische variabelen
4.1 Grondtoestand bepalen
Enkel BCS (Q=0): 1D probleem
BCS -> Normaal• BCS: Δ>0
• Normaal: Δ=0
Vrije energie
minimaliseren naar variationele parameters, voor gegeven waarden van de thermodynamische variabelen
4.1 Grondtoestand bepalen
BCS/FFLO: 2D probleem BCS -> FFLO -> Normaal
• BCS: Δ>0 Q=0
• FFLO: Δ>0 Q>0
• Normaal: Δ=0
4.1 Grondtoestand bepalen
μ
ζ
BCS
FFLO
Normaal
4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal
• De vorige procedure herhalen voor verschillende waarden van μ en ζ geeft:
4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal
• Nu willen we een 1D periodische potentiaal invoegen=> Dispersie veranderen
3D
3D + 1D potentiaal
bandbreedteGolfvector van de potentiaal
4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal
Vrij deeltjeDeeltje in periodische potentiaal
2δ
QL-QL 0
4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal
• De vorige procedure herhalen voor verschillende waarden van μ en ζ geeft:
4.3 Fasediagram bij gekende dichtheid• Transformatie tussen chemische potentialen
en dichtheid/polarisatie
=> Toepassen op elk punt in μ,ζ - fasediagram
4.3 Fasediagram bij gekende dichtheid
ζ
μ n(kFas)-1
P
4.3 Fasediagram bij gekende dichtheidZonder 1D potentiaal
4.3 Fasediagram bij gekende dichtheidMet 1D potentiaal 1 2 3 4
Toenemende dichtheid
BCS
FFLO
4.4 Het paringsmechanismeGebied 1
• Enkel bodem energieband is gevuld• Dispersie met potentiaal is in goede benadering kwadratisch
Grootte van het FFLO gebied is ongeveer gelijk met of zonder potentiaal
4.4 Het paringsmechanismeGebied 2
• Energieband is gevuld maar niet volledig• Dispersie met potentiaal ‘vlakt af’ t.o.v. vrije dispersie
Optimale grootte van het FFLO gebiedAfvlakken dispersie resulteert in kleinere energiekost om
impuls Q te geven
4.4 Het paringsmechanismeGebied 3• Energieband is niet volledig gevuld bij polarisatie nul• Energieband wordt volledig gevuld (door één spinsoort) bij een
bepaalde kritische polarisatieDe maximale polarisatie waarbij FFLO kan voorkomen neemt afEen spin soort vult energieband -> minder beschikbare vrije
toestanden doordat Brillouin zone bereikt is
4.4 Het paringsmechanismeGebied 4
• Energieband is volledig gevuld bij polarisatie nul
Rand van Brillouin zone altijd bereikt-> ook BCS paring ondervindt nadeel door minder beschikbare toestanden
5. Conclusies
• De FFLO toestand kan de grondtoestand zijn van een ongebalanceerd Fermi gas
• In 3D: FFLO = zeer klein gebied in BCS-BEC fasediagram
• 3D+1D potentiaal: dit gebied wordt significant vergroot
• Wanneer de laagste band gevuld geraakt ondervinden zowel FFLO als BCS een verzwakking
Bedankt voor jullie aandacht
Er zijn nog andere mogelijkheden
4.6 FFLO-S• Tot nu toe:
• Bekijken we nu:
FFLO-P
FFLO-S
4.6 FFLO-S• Het (μ,ζ)-fasediagram