edebé
Matemáticas 3ESO
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
1
CONTENIDOS
1. Fracciones1.1. Fracciones equivalentes
2. El conjunto de los números racionales2.1. Concepto de número racional
2.2. Representación y ordenación de los núme-
ros racionales
2.3. Números racionales y números decimales
3. Operaciones con números racionales3.1. Suma, resta, multiplicación y división
3.2. Potenciación y radicación
3.3. Operaciones combinadas
4. Porcentajes
Competencia matemática
• Realizar cálculos con números racionales en dife-
rentes situaciones.
• Utilizar el cálculo mental como herramienta para
agilizar las operaciones aritméticas.
Competencia en comunicación lingüística
• Organizar la información e integrarla con los
conocimientos propios.
Competencia para aprender a aprender
• Utilizar de forma eficiente recursos, técnicas y
estrategias para nuevos aprendizajes y garantizar su
eficacia.
COMPETENCIAS BÁSICAS
6
Números racionales
Unidad 1
PREPARACIÓN DE LA UNIDAD
• Los números naturales son los números que utilizamos para
contar, y forman un conjunto, el conjunto de los núme-
ros naturales que representamos por la letra �
� : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
• Dos números naturales son primos entre sí cuando su úni-
co divisor común es 1.
• Para calcular el M.C.D. de dos o más números se multiplican
los factores primos comunes a dichos números elevados
al menor exponente.
• Para calcular el m.c.m. de dos o más números se multiplican
los factores primos comunes y no comunes a dichos nú-
meros elevados al máximo exponente.
• El conjunto de los números enteros se representa por la
letra � y está representado por los números naturales pre-
cedidos de signo y el 0.
� : {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}
• Una fracción es la expresión de una división entre dos nú-
meros, el numerador y el denominador.
Así,
Cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimi-
tado periódico.
Decimales limitados: −3,9; 4,25; 0,832…
Decimales
ilimitados
periódicos
1 515
: =
7Números racionales
En general las películas de cine se graban a 24 fotogramas por segundo,o lo que es lo mismo, en un segundo, se graban 24 imágenes, queluego proyectadas logran generar la sensación de movimiento en lapantalla. ¿Cuántos segundos dura un fotograma? ¿En un minuto,cuántos fotogramas hay?
— En el cine mudo la frecuencia de grabación era de unos 17 foto-gramas por segundo. En este caso ¿cuántos fotogramas hay en unminuto?
Mixtos: …9 7415, �
Puros: …0 23,�
8 Unidad 1
Una fracción es toda expresión de la forma en la que a y b son números
enteros, siendo b ≠ 0.
Toda fracción consta de dos términos:
ab
Numerador
Denominador
ab
1. FraccionesLos números enteros, positivos y negativos, no bastan para expresar cantidades
que se presentan habitualmente. Así por ejemplo, para repartir un litro de na-
ranjada entre cinco amigos debe efectuarse la división 1 : 5 que puede expre-
sarse mediante la fracción .1
5
RECUERDA
Las fracciones, igual que los números en-
teros, pueden ser positivas o negativas.
Toda fracción positiva puede expresarse
como el cociente de dos números enteros,
ambos positivos o ambos negativos.
Toda fracción negativa puede expresarse
como el cociente de dos números enteros,
uno de ellos positivo y el otro negativo.
− =−
= −2
3
2
3
2
3
++
= −−
=9
16
9
16
9
16
Una fracción puede interpretarse de tres formas distintas:
Las fracciones pueden clasificarse en:
• Fracciones propias: fracciones menores que la unidad.
• Fracciones iguales a la unidad:
→
• Fracciones impropias: fracciones mayores que la unidad
→ 1 unidad +
Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma pareci-
da a como representamos los números enteros.
–1 135
14
0–
13
4
3
3
31=
13
FRACCIÓN COMO PARTE
DE UN TODO O UNIDAD
FRACCIÓN COMO DIVISIÓN
ENTRE DOS ENTEROS
FRACCIÓN COMO RAZÓN
DE MEDIDA
Cuando decimos que hemos estado un cuarto
de hora esperando, significa que hemos divi-
dido la hora en 4 partes y el tiempo de espera
corresponde a una de estas partes.
Para repartir 2 L de naranjada entre cinco ami-
gos efectuamos la división 2 : 5.
2 52
50 4: ,= = L
La longitud de AB es de la longi-
tud de CD.
3
5
C D
A B
9Números racionales
1.1. Fracciones equivalentesDos fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad y verificanque el producto en cruz de sus términos da el mismo resultado.
Para obtener una fracción equivalente a una dada podemos proceder de dosmaneras a partir de la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes:
Si dividimos, conseguimos simplificar la fracción. Toda fracción puede simpli-ficarse hasta llegar a la fracción irreducible.
Veamos los diferentes procedimientos para calcular la fracción irreducible equi-valente a una dada.
Multiplicamos el numerador y el de-nominador por un mismo número en-tero distinto de 0.
Dividimos el numerador y el deno-minador por un mismo número en-tero distinto de 0.
8
12
24
36
· 3
· 3
8
12
4
6
: 2
: 2
46
812
2436
■ Fracciones equivalentes
Las fracciones y son equivalentes si se cumple: a ⋅ d = b ⋅ ccd
ab
FÍJATE
Dos fracciones, positivas o negativas, son
equivalentes si representan el mismo pun-
to sobre la recta.
–1 +126
046
–
13
23
–
Una fracción se llama irreducible si el numerador y el denominador son nú-
meros primos entre sí.
Dividimos sucesivamente el numeradory el denominador entre divisores co-munes de ambos hasta obtener la frac-ción irreducible.
1050
1260
105
126
35
42
5
6= = =
Descomponemos el numerador y el denomi-nador en factores primos.
Dividimos el numerador y el denominador porlos factores comunes.
1050
1260
2 3 5 5 7
2 2 3 3 5 7
5
6= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
Calculamos el M.C.D. de los términos de la frac-ción.
Dividimos el numerador y el denominador porsu M.C.D.
M.C.D. (1050, 1260) = 210
1050
1260
1050 210
1260 210
5
6= =:
:
1. Se deben repartir 2 panes y 4 salchichas a partes iguales en-
tre 3 comensales. ¿Cómo efectuarías el reparto?
2. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.
a) y c) y e) y
b) y d) y f ) y
3. Simplifica estas fracciones hasta obtener las irreducibles
equivalentes.
— Explica qué procedimiento has utilizado.
4. Si tienes dos fracciones cualesquiera y hallas sus fraccio-
nes irreducibles correspondientes, ¿puedes determinar a
partir de éstas si las fracciones iniciales son equivalentes?
Justifica tu respuesta.
− −−
−24
36
105
540
42
18
342
285
173
252
360
480
1, , , , , ,
888
705−
60
48
35
28
102
63
72
42
8
109
6
82
42
98
72
168
34
119
8
28
21
49
15
35
:10 :3 :7
CB
ACTIVIDADES
FÍJATE
Hemos visto que todas las fracciones equi-
valentes representan el mismo punto so-
bre la recta.
Así pues, a cada número racional le co-
rresponde un único punto sobre la recta.
0 1
69
=46
=23
FÍJATE
Los números enteros son un caso parti-
cular de números racionales cuyo repre-
sentante canónico tiene denominador 1.
a =a1
2. El conjunto de los números racionales
Ya conoces el conjunto de los números naturales � y el de los números ente-ros �. Vamos a definir un nuevo conjunto que englobe a las fracciones.
2.1. Concepto de número racionalDada una fracción cualquiera, podemos calcular infinitas fracciones equivalentes.
Cada una de las fracciones que forman un número racional es un represen-
tante de dicho número. Así, las fracciones representan el mismo nú-
mero racional.
Así:
Número racional Representante canónico
→
→
Aunque podemos representar un número racional mediante cualquiera de lasfracciones que lo forman, es habitual utilizar el representante canónico.
El conjunto de los números racionalesse designa mediante la letra �.
Este conjunto incluye al de los núme-ros enteros � y, por tanto, al de los nú-meros naturales �.
−3
2
−−
−−
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
3
2
3
2
6
4
18
12, , , ...
2
3
2
3
4
6
6
9
10
15
12
18, , , , ...
−−
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
2
3
4
6
6
9, , ...
FRACCIÓN FRACCIONES EQUIVALENTES
12
18
2
3
4
6
6
9
10
15, , , ...
−−
− 21
14
−−
−−
3
2
3
2
6
4
18
12, , , ...
El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes es un
número racional.
5. Determina el representante canónico de cada uno de los siguien-
tes números racionales.
8
4
1032
36
30
25
3
12
54
180
33
187, , , , ,
−−
6. ¿Cuántos números racionales diferentes hay
en esta serie?
−−
120
36
32
20
288
180
150
45
14
26
88
55, , , , ,
El representante canónico de un número racional es la fracción irreducible
de denominador positivo, representante de ese número.
ACTI
VIDA
DES
10 Unidad 1
7. Representa gráficamente estos números racionales.
8. Ordena de mayor a menor estos números racionales.
9. Escribe cinco números racionales comprendidos entre
y .
Indicación: puedes tener en cuenta que la semisuma de dosnúmeros (el resultado de su suma dividido entre 2) siempreserá igual a un número comprendido entre ambos y situadoen el punto medio del segmento que determinan.
2
3
1
3
111
10
5
6
2
3
4
5
3
2, , , , ,
− −
5
6
12
5
7
3
4
7, , ,
− −
2.2. Representación y ordenación de losnúmeros racionales
Para representar un número racional sobre la recta seguimos el siguiente pro-
cedimiento:
— Consideramos el representante canónico del número racional.
— Efectuamos la división entera del numerador entre el denominador. El co-
ciente de esta división determina los dos números enteros que son extremos
del segmento donde se situará el número racional.
— Dividimos el segmento determinado por estos dos números enteros en
tantas partes como indica el denominador de la fracción y tomamos tantas
partes como indica el resto de la división.
Observa que si el número racional es positivo, quedará situado a la derecha
del 0 y, si es negativo, a la izquierda.
Al ordenar dos números racionales, representándolos sobre la recta y observando
sus posiciones relativas podremos compararlos.
34
35
–104
–104
– =52
– ;
0 1 –1 0 0–3 –2 –135
–34 10
4–
51
22
12
–2 y –3
Si está situado a la derecha de , se verifica .ab
cd
>cd
ab
–1 +1034
12
34
–
3
4
1
20
3
4> > > −
RECUERDA
Para dividir un segmento en partes igua-
les podemos recurrir al método de Tales:
— Dibujamos el segmento a y trazamos
desde uno de sus extremos una semi-
rrecta. Sobre ésta situamos consecuti-
vamente un mismo segmento b de lon-
gitud arbitraria tantas veces como di-
visiones deseemos realizar.
— Unimos el extremo libre del último seg-
mento b con el extremo libre del seg-
mento a y, a continuación, trazamos pro-
yecciones paralelas desde los extremos
de cada segmento b.
b
b
b
b
a
Comparación de númerosracionales
Podemos comparar números raciona-
les sin necesidad de representarlos sobre
la recta.
Para comparar números racionales de dis-
tinto denominador determinamos pri-
mero sus representantes canónicos, los
reducimos a común denominador y
comparamos las fracciones obtenidas.
Si dos fracciones tienen el mismo deno-
minador positivo, es mayor la que tiene
el mayor numerador.
Así: pues 20
15
18
15>
4
3
6
5>
Accede a la página www.youtube.com/
watch?v=G6sNHZNMM5o dónde en-
contrarás un video explicativo de como
dividir un segmento en partes iguales
utilizando el método de Tales.
@
ACTIVIDADES
11Números racionales
10. Escribe los siguientes números decimales indicando
cuál es su período y clasifícalos según sean pe-
riódicos puros o mixtos.
21,564564564..., 56,23656565..., 12,54545454...,
0,125125125..., 5,432432432432..., 4,59595959....
11. Clasifica en limitados e ilimitados los siguientes números deci-
males: ;; 0,42; 21,53; .
— Clasifica en puros o mixtos los números decimales ilimitados
periódicos.
−0 4,�
2 424242 3 25 1 425 2 143, ...; , ; , ; , .� �
12
2.3. Números racionales y números decimalesTodo número racional puede expresarse mediante una fracción y ésta,
a su vez, como un número decimal.
A todas las fracciones equivalentes de una misma fracción les corresponde el
mismo número decimal.
Expresión decimal de un número racional
Al buscar la expresión decimal de un número racional pueden darse los si-
guientes casos:
Así, podemos clasificar los números racionales como sigue:
ab
2
3
2
3
4
6
6
9
8
12
2
30 6666666666, , , , , ... ,
−−
→ →⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
....
Unidad 1
El resto de la división a : b es 0 des-pués de sacar una o varias cifras de-cimales.
Obtenemos un número decimallimitado.
1,4; 7,25
77 55220 1,4
00
29 410 7,2520
0
El resto de la división a : b nunca es 0, por más decimales que saquemos.
Puesto que el resto debe ser menor que el divisor, llegará un momento en que se repetirá y,por tanto, las cifras del cociente también se repetirán.
Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico.
15 1140 1,3636...
7040
704
19 610 3,166...
4040
4
Si el período empieza inmediatamente des-pués de la coma, es un número decimal ili-mitado periódico puro.
1,3636... → 1 36,�
Si el período no empieza inmediatamente des-pués de la coma, es un número decimal ilimita-do periódico mixto.
3,166... → 3 16,�
Todo número racional puede expresarse mediante el número decimal que
resulta de dividir el numerador entre el denominador de uno cualquiera de
sus representantes.
Periódicos mixtos
Periódicos purosDecimales ilimitados
Decimales limitados
Números racionales
��
Si accedes a la página http://descartes.cni
ce.mecd.es/3_eso/Fraccio nes_decima
les_porcentajes/Fraccion es_4.htm podrás
utilizar un applet para averiguar cuántos de-
cimales, como máximo, forman el período
del número decimal correspondiente a una
fracción de denominador 11.
@
En un número decimal ilimitado y periódico las cifras que llevan el signo son las que se re-
piten, es decir, las que forman el período.
(
ACTI
VIDA
DES
Expresión fraccionaria de un número racionalAcabamos de ver que todo número racional es un número decimal limitado oilimitado periódico.
La afirmación recíproca también es cierta, es decir, todo número decimal limi-tado o ilimitado periódico es un número racional.
El número racional correspondiente al decimal dado será aquel que tenga dichafracción como representante canónico.
7755
1 4294
7 251511
1 36= = =, , , ,196
3 16=)
13Números racionales
La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado periódi-co es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.
Halla la fracción generatrizdel número decimal limi-tado 1,75.
— Llamamos x a la fraccióngeneratriz:
x = 1,75
— Multiplicamos la expre-sión de x por la potenciade 10 necesaria para eli-minar la coma:
100 x = 175
— Despejamos x y simplifi-camos la fracción:
Así: 1 7574
, =
x = =175100
74
EJEM
PLO
1 Halla la fracción generatriz del número
decimal periódico puro .
— Llamamos x a la fracción generatriz:
— Multiplicamos la expresión de x porla potencia de 10 necesaria para quela coma quede justo después delprimer período:
100 x = 1 645, 4 545…
— A la expresión obtenida le restamosla expresión inicial:
100 x = 1645,4545...
− x = 16,4545...
100 x − x = 1629
99 x = 1629
— Despejamos x y simplificamos lafracción:
Así: 16 4518111
, =
x = =162999
18111
x = 16 45,
16,45)
EJEM
PLO
2 Halla la fracción generatriz del número de-
cimal periódico mixto .
— Llamamos x a la fracción generatriz:
— Multiplicamos la expresión de x por la po-tencia de 10 necesaria para que la comaquede justo después del primer perío-do, y por la potencia de 10 necesaria paraque la coma quede justo antes del primerperíodo:
100 x = 46, 6666...
10 x = 4, 6666...
— Restamos las dos expresiones obtenidas:
100 x = 46, 6666...
−10 x = 4, 6666...
100 x − 10 x = 42
90 x = 42
— Despejamos x y simplificamos la fracción:
Así: 0 467
15,
)=
x = =4290
715
x = 0 46,)
0,46)
EJEM
PLO
3
FÍJATE
El conjunto de los números racionales � esla unión del conjunto de los números de-cimales limitados y el de los ilimitados y pe-riódicos.
12. Halla la expresión decimal de estos nú-meros ra cionales.
1311
27
413
56
44
25
119
, , , , , ,−
−−−
13. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales.
2,036; ; 9,99; ; ; ; ; ;
— ¿Qué sucede cuando el número es periódico puro de período 9?
0 436,21 45,0 9,)
0 016,)
1 203,9 07632,75 012,
Para comprobar que la fracción obtenida es la correcta, sólo tenemos que divi-dir su numerador entre su denominador.
ACTIVIDA
DES
)
)
)
) )) ) )
14
3. Operaciones con números racionales
Hemos visto que un número racional está formado por una fracción y todassus equivalentes. Para sumar, restar, multiplicar o dividir números racionales, to-maremos representantes de estos números y operaremos como si se tratasede fracciones.
3.1. Suma, resta, multiplicación y divisiónObserva cómo sumamos los siguientes números racionales:
— Escogemos un representante de cada número racional. Podemos elegir cual-
quiera; ahora bien, para agilizar el cálculo es aconsejable utilizar los repre-
sentantes canónicos, y .
— Sumamos estas fracciones. Para ello, reducimos las fracciones a mínimocomún denominador.
El resultado de la suma es el número racional del cual es un representante.
Análogamente, para restar, multiplicar o dividir números racionales, operamostambién con representantes de cada uno de ellos, generalmente los canóni-cos por sencillez. Observa los ejemplos.
• − → − = − =
• ⋅ →
2025
46
45
23
1215
1015
215
721
1025
133
25
215
157
615
157
25
157
52
7514
⋅ =
• → = ⋅ =: :
35
13
1415
+ =
1415
35
13
915
515
1415
+ = + =
35
13
+
13
35
35
915= 1
3515= 14
15
+ =
610 = 8
24 =
610
824
+
Unidad 1
Para operar con números racionales se escoge un representante de cada unoy se efectúa la operación correspondiente.
RECUERDA
Reducir fracciones a mínimo común de-
nominador significa hallar unas nuevasfracciones equivalentes a las primeras cuyodenominador sea el mínimo común múl-tiplo de los denominadores de las frac-ciones dadas.
En el caso de y tenemos:
m.c.m. (3, 5) = 15
15 3 51 53 5
515
: ;= ⋅⋅
=
15 5 33 35 3
915
: ;= ⋅⋅
=
13
35
Si accedes a la página www.homeschool
math.net/worksheets/fraction_calcula
tor.php podrás utilizar un applet para su-mar, restar, multiplicar y dividir fracciones.
@
Las fracciones en la calculadora
Algunas calculadoras científicas estánpreparadas para operar con números ra-cionales en forma fraccionaria. Son las
que disponen de la tecla
Observa cómo efectuamos la operación
Comprueba si la calculadora ha obteni-do el resultado correcto.
a1 + 22 5 EXEb/c a b/c
12
25
+ =
ab/c
14. Comprueba mediante ejemplos cada una de las propie-
dades de las operaciones con números racionales que apa-
recen en esta página.
15. Calcula:
a) c)
b) d)
16. Calcula:
a) b)
17. Halla el opuesto de cada uno de los números racionales si-
guientes.
−− −
−3
4
5
2
1
2
12
17
4
9, , , ,
− ⋅ ⋅2
3
3
4
5
62
1
3
2
5− − +
3
7
21
5:
3
20
5
12−
− ⋅2
5
6
5
24
48
30
90+ −
Propiedades de la suma y de la multiplicaciónLa suma y la multiplicación de números racionales tienen una serie de propie-
dades, algunas de ellas similares a las que estudiaste para los números ente-
ros. Obsérvalas a continuación.
15Números racionales
PROPIEDADES DE LA SUMA PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los su-mandos, el resultado no varía.
• Propiedad asociativa. En una suma de varios sumandos, el re-sultado no depende de cómo se agrupen.
• Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma, puesal sumar 0 a cualquier número racional el resultado es el mis-mo número.
• Elemento opuesto. Dado cualquier número racional , existe
otro número racional llamado el opuesto, , que sumado a
él da el elemento neutro.
ab
ab b
+ − = 0
−ab
ab
ab
ab
+ =0
1
ab
cd
ef
ab
cd
ef
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ = + +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ab
cd
cd
ab
+ = +
• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los factores,el resultado no varía.
• Propiedad asociativa. En un producto de varios factores, elresultado no depende de cómo se agrupen.
• Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplica-ción, pues al multiplicar por 1 cualquier número racional el re-sultado es el mismo número.
• Elemento inverso. Dado cualquier número racional distinto de
0, (a ≠ 0), existe otro número racional llamado el inverso,
, que multiplicado por él da el elemento unidad.
ab
ba
⋅ = 1
1
ba
ab
ab
ab
⋅ =1
1
ab
cd
ef
ab
cd
ef
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ab
cd
cd
ab
⋅ = ⋅
• Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Para multiplicar un número racional por una suma de números ra-
cionales, podemos multiplicar el número racional por cada uno de los sumandos y sumar los resultados obtenidos.
ab
cd
ef
ab
cd
ab
ef
⋅ ⋅ ⋅+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= +
CB
CB
ACTIVIDADES
18. Efectúa:
a) b) c) d)1
4
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
3
1
5
3
4
4
⋅ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
3
1
3
8 3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
:2
5
2
5
3 5⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
16
3.2. Potenciación y radicaciónEn algunas ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de númerosracionales iguales, como la siguiente:
cuatro veces
Este producto puede expresarse como , y es la potencia de base el
número racional y exponente el número natural 4.
Para calcular la potencia de un número racional, calcularemos la potencia de unode sus representantes, generalmente el canónico por sencillez.
Así, por ejemplo:
Si el exponente de la potencia es un número entero negativo, podemos trans-formarla en otra de exponente positivo. Observa:
Las operaciones con potencias de base un número racional y exponente unnúmero entero se efectúan de manera similar a las operaciones con potenciasde base una fracción y exponente un número entero.
ab a
b
ba
n
n
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
= =1
2
5
2
5
16
625
4 4
4
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =
ab
ab
n n
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
2
5
2
5
4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
5
2
5
2
5
2
5⋅ ⋅ ⋅
Unidad 1
RECUERDA
n veces
ab
ab
ab
ab
a
b
aa
ab
n n
n
nn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅ ⋅ ⋅ =
=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
−
...
1
nn nba
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS
DE LA MISMA BASE
DIVISIÓN DE POTENCIAS
DE LA MISMA BASEPOTENCIA DE UN PRODUCTO
ab
ab
ab
m n m n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
⋅ = ab
ab
ab
m n m n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
: = ab
cd
ab
cd
n n n
⋅ = ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE 1 POTENCIA DE EXPONENTE 0
ab
ab
m n m n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅
=ab
ab
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
= ab
a⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0
= ≠1 ( 0)
ACTI
VIDA
DES
CB
Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es buscar otro número queelevado al cuadrado sea igual al primero.
si y sólo si
Así, por ejemplo:
pues
Podemos también calcular la raíz enésima de un número racional: es el núme-ro racional que elevado a la potencia enésima es igual al primero.
si y sólo si
Una raíz de un número racional puede tener un resultado, dos o ninguno se-gún la paridad del índice y el signo del radicando.
ab
cd
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=cd
ab
n =
2
3
4
9
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=4
9
2
3=
ab
cd
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
=cd
ab
=
17Números racionales
19. Efectúa si es posible, razonando tu respuesta:
a) b) c) d)
20. Ordena de menor a mayor estos números racionales
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−125
512
5
6
12
15
3
43
3 2 3
, , , ,554
72
1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
32
243
51
81
4−16
25
−27
64
3
FÍJATE
Índice del radical
Radicando Raíz
cd
ab
n =
Raíz343
729
7
9
3 = − = −343
729
7
9
3 16
81
2
3
4 = ± − =16
81
4?
Paridad del índice Impar Impar Par Par
Signo del radicando + − + −
Número de raíces Una (positiva) Una (negativa) Dos (positiva y negativa) No tiene.
Ordena de menor a mayor estos números racionales.
Hallamos el representante canónico de cada uno de losnúmeros racionales.
Reducimos a mínimo común denominador los represen-tantes canónicos.
Finalmente los ordenamos de menor a mayor.
40
128
25
256
3
4
11
32
5
16
4 1
= + <⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
<⎛⎝⎜
⎞⎠⎟<⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎟
0
256
256
88
256
81
256
80
256
80
256, , , ,
111
32
81
256
5
16
5
16, , , ,
5
16
11
32
3
4
40
128
25
2
0 1 4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+, , , ,556
EJEM
PLO
5
Efectúa:
a) El índice es par y el signo del radicando positivo, luego
tendrá dos raíces, una positiva y otra negativa:
pues
b) El índice es impar y el signo del radicando negativo,
luego tendrá una raíz negativa:
pues
b) El índice es impar y el signo del radicando positivo,
luego tendrá una raíz positiva:
pues 10
25 3125
100000
32
5
5⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= = =100000
3255 =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −2
5
8
125
3
− = −8
125
2
53
12
11
12
11
144
121
2 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=144
121
12
11= ±
a)144121
b)8
1253 − c)
10000032
5
EJEM
PLO
4
ACTIVIDADES
18
3.3. Operaciones combinadasAl igual que con las fracciones, con los números racionales podemos efectuaroperaciones combinadas. Éstas se rigen por las mismas normas de prioridadestablecidas en los demás conjuntos numéricos:
— Resolución de paréntesis.
— Operación de potencias y raíces.
— Multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.
— Sumas y restas.
Observa en los siguientes ejemplos cómo efectuar operaciones combinadas connúmeros racionales.
Unidad 1
RECUERDA
abcd
ab
cd
a db c
= : = ⋅⋅
Un consejo
A medida que efectúes las operaciones,
simplifica siempre que te sea posible.
De este modo, utilizarás números me-
nores y, por lo tanto, las operaciones te
resultarán más sencillas.
Un consejo
Es recomendable en fracciones donde te-
nemos operaciones en el numerador y el
denominador, resolver por separado
los dos términos obteniendo así una frac-
ción más sencilla.
De este modo evitarás efectuar muchas
operaciones a la vez y cometerás me-
nos errores.
Efectúa:
Resolvemos, en primer lugar, los paréntesis y después el resto de las operacio-
nes teniendo en cuenta su prioridad.
4
3
8 7
28
1
5
10 12
15
4
3
15
28
1
5
2
15
4
3
15
28⋅ + − − = ⋅ − − = ⋅: : ++ ⋅ =1
5
15
2
= + = + =5
7
3
2
10 21
14
31
14
4
3
2
7
1
4
1
5
2
3
4
5⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
:
EJEM
PLO
6
Efectúa:
— Primero efectuamos por separado las operaciones que aparecen en el nu-merador y el denominador del segundo miembro:
;
— Reescribimos la operación combinada sustituyendo las operaciones del nu-merador y del denominador por los valores hallados.
— Resolvemos las diferentes operaciones teniendo en cuenta su prioridad
1
4
3
1
221
10
3
4
1 10
2 21
3
4
5
21
63 20
84
83
84+ = + ⋅
⋅= + = + =
1
4
3
11
23
2
3
5
1
4
3
1
221
10
+−
+= +
3
2
3
5
21
10+ =1
1
2
1
2− =
1
4
3
11
23
2
3
5
+−
+
EJEM
PLO
7
19Números racionales
Efectúa:
5
6
3
2
1
4
7
18
1
2
4
3
5
2
1
2
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅ −
− ⋅:
EJEM
PLO
8
Efectúa:
21
16
4
3
8
9
1
1
2
5
4
1
3
3
8
2
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎝⎜
⎞⎠⎟
:1
2
EJEM
PLO
9
21
16
4
3
8
9
33
16
20
9
11
4
5
3
55
1+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ⋅ = ⋅ =
22
1
2
5
4
3
4
9
16
2 2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
1
3
3
8
1
2
17
24
1
2
17
12+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =: :
1
9
1617
12
19 12
16 171
27
68
68 27
68
95
68+ = + ⋅
⋅= + = + =
— Resolvemos sustituyendo numerador y de-nominador por las fracciones obtenidas.
55
1295
68
55 68
12 95
11 17
3 19
187
57= ⋅
⋅= ⋅
⋅=
— Efectuamos las operaciones del numerador y del denomi-nador teniendo en cuenta su prioridad.
— Resolvemos sustituyendo numerador y denominador porlas fracciones obtenidas:
49
727
8
49 8
72 7
7
9−= − ⋅
⋅= −
1
2
4
3
5
2
1
2
3
8
5
4
3 10
8
7
8: − ⋅ = − = − = −
5
6
3
2
1
4
7
18
25
36
3
8
7
18
50 27 28
72
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅ − = + − = + − = 449
72
— Efectuamos las operaciones del numerador y del denominador teniendo encuenta su prioridad.
1
7 1
9
11
34
5
3
4
11
193
17
ACTIVIDADES
21. Efectúa:
a) b) c) d) e)
22. Efectúa:
a) b) c) d)
23. Utiliza la calculadora wiris, disponible on line, para comprobar los resultados de las actividades 21 y 22.
21
1
2
11
3
15
14
7
54 1
3
2
2
−+
−
⋅ + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
33
4
2
52 1
1
2
24
3
3
2
3
5
− ⋅ + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+: :
3
2
4
32
3
5
3
2
4
32 2
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ +
+
:
:
3
4
5
8
3
21
1
32
1
4
4
5
3
5
3
10
:
:
− ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⋅ +
31
2
4
32 1
3
2
23
4
+ ⋅ + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
3
4
1
2
4
31
1
2
3
4
5
8
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
− +
:3
2
4
32
3
5
3
2
7
+ ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
:23
4
1
5
1
6
2
3
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
:
1
4
2
3
5
4
1
2
1
5
3
5⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=:
@
20 Unidad 1
24. Calcula el precio final de un artículo cuyo precio es 31,75 ∑si se le aplica un aumento de un 16 % de IVA .
25. Calcula el interés que producen 2 000 ∑ si nos ofrecen
un interés del 5 % anual durante 8 años.
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad basta multiplicar dicha canti-
dad por el número decimal que representa el porcentaje:
15 % de 60 = 60 · 0,15 = 9
Aumento o disminución porcentualEs habitual, en la vida cotidiana, expresar descuentos, incrementos salariales o
impuestos mediante porcentajes.
4. Porcentajes
Para calcular el aumento (o disminución) porcentual de una cantidad basta
con multiplicar dicha cantidad por la unidad aumentada (o disminuida) con el
aumento (o disminución) porcentual expresado en forma decimal.
EJEM
PLO
10 Decidimos comprar un sofá cuyo precio inicial es de 920 ∑ y tiene un descuento del 12 % . Para transportarlo, contratamos un trans-
portista cuya tarifa base es de 80 ∑ con un recargo del 15 % para trayectos superiores a 50 km. ¿Cuánto nos costará en total la com-pra y el transporte del sofá si nuestra vivienda se encuentra a 60 km?
RECUERDA
Un porcentaje es una proporción expre-
sada como una cantidad de cada 100 uni-
dades. Así pues, podemos expresarla como
una expresión fraccionaria con denomina-
dor 100 o como una expresión decimal:
1515
1000 15% ,= =
— El precio del sofá tiene un descuento del 12 %, así pues restaremos la expresión
decimal del porcentaje a la unidad y lo multiplicaremos por la cantidad inicial:
1 − 0,12 = 0,88; 920 · 0,88 = 809,6 ∑
— El transporte tiene un recargo del del 15 %, así pues la expresión decimal del
porcentaje a la unidad y lo multiplicaremos por la cantidad inicial:
EJEM
PLO
11
Compramos unas acciones por valor de 800∑. El primer mes suben un 30 % y el segundo vuelven a subir un 10 % más . Calcula elprecio de las acciones al segundo mes. ¿Qué tanto por ciento de subida representa?
1.r mes: aumento del 30 % : 800 · 1,3 = 1040; El aumento de las acciones ha sido: 1144 − 800 = 344
2.º mes: aumento del 10 % : 1040 · 1,1 = 1144
El precio de las acciones es de 1144 ∑ que representa un aumento del 43 % de su valor inicial.
344
800100 43⋅ = %
1 + 0,15 = 1,15; 80 · 1,15 = 92 ∑
901,6 ∑
En el ejemplo 11 hemos aplicado los porcentajes encadenados que son varios
aumentos o disminuciones porcentuales sucesivos aplicados a una cantidad.
Interés simple
Otra aplicación muy utilizada a nivel económico es el interés simple.
El interés simple es la cantidad que produce un capital durante un período de
tiempo con un aumento porcentual determinado (llamado tipo de interés).
I = c · i · t
(c = capital, i = interés en forma decimal, t = tiempo en años)
FÍJATE
Para calcular el tanto por ciento equivalente
de aumento o disminución de porcentajes
encadenados basta multiplicar los au-
mentos o disminuciones sucesivas.
En el ejemplo 11:
1,1 · 1,3 = 1,43 (43 % de aumento)
Total
ACTI
VIDA
DES
En un estadio se va a celebrar un concierto. Si el primer día se vende de las entradas, el se-
gundo día del resto, y aún quedan 17 100 entradas en taquilla, ¿cuál es la capacidad del
estadio?
25
14
ENTRADAS VENDIDAS FALTAN POR VENDER
Primer
día
1
41
1
4
4 1
4
3
4− =
−=
Segundo
día
2
5
3
4
6
20
3
10⋅ = =
3
4
3
10
15 6
20
9
20− =
−=
ENTRADAS VENDIDAS FALTAN POR VENDER
Primer
día
1
438000 9 500⋅ = 38 000 − 9 500 = 28 500
Segundo
día
2
528500 11400⋅ = 28 500 −11 400 =17 100
ACTIVIDADES
21Números racionales
26. Tres hermanos se reparten un premio de 350 ∑.
Si el primero recibe de lo que recibe el segundo; y el se-
gundo, de lo que obtiene el tercero, ¿cuánto dinero ten-
drá cada hermano al final?
27. Dos amigas van a comerse una pizza cuando una de ellas
dice:
«Tomaré la mitad de la cuarta parte de lo que quede después
de que tú hayas cogido tres cuartas partes de la mitad».
— Determina la fracción de pizza que cogerá cada una en
ese momento.
— ¿Qué fracción de la pizza quedará para más adelante?
28. Entre las partes y las partes de un número existe una
diferencia de 44.
¿Cuál es ese número?
29. Si a la sexta parte de los de un número se agregan los
de sus y se sustrae la tercera parte de sus , se obtiene 1226.
Halla dicho número.
30. Si pongo la primera cifra de un número de cuatro cifras
en último lugar, obtengo un segundo número que es los
del primero.
Determina el número.
3
8
3
7
3
5
2
3
2
73
5
1
2
1
2
Comprensión del enunciadoVuelve a leer atentamente el enunciado y haz un esquema con los
datos del problema.
Planificación de la resolución— Construimos la siguiente tabla de datos.
Después del segundo día quedan por vender de las entra-
das, o bien 17 100. Si llamamos x a la capacidad del estadio:
Ejecución del plan de resolución— Despejamos el valor de x.
Revisión del resultado y
del proceso seguido
La capacidad del estadio es de 38000 personas.
Comprobamos el resultado completando la tabla de datos.
x = ⋅ =17 100 20
938 000
9
2017100⋅ =x
9
20
14
Primer día
25
Segundo día 17100
ACTIVIDADES RESUELTAS
Fracciones
equivalentes
2222 Unidad 1
SÍNTESIS
Todo número racional puede expre-
sarse mediante el número decimal
que resulta de dividir el numerador
entre el denominador de uno cual-
quiera de sus representantes.
Todo número racional es un nú-
mero decimal limitado, ilimitado
periódico puro o ilimitado pe-
riódico mixto. Del mismo modo,
todo número decimal limitado o
ilimitado y periódico es un núme-
ro racional.
La fracción generatriz de un nú-
mero decimal limitado o ilimitado
y periódico es la fracción irreduci-
ble equivalente a dicho número de-
cimal.
5Una fracción es toda expresión de la forma en la que a y b son números
enteros, siendo b ≠ 0.
Las fracciones y son equivalentes si se cumple:
a ⋅ d = b ⋅ c
Una fracción es irreducible si el numerador y el denominador son núme-
ros primos entre sí.
El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes es un nú-
mero racional.
Cada una de las fracciones que forman un número racional es un represen-
tante de dicho número.
La fracción irreducible de denominador positivo que es representante de un
número racional se llama representante canónico de dicho número.
4
3
cd
ab
2
ab
1
Fracción
Representantes
Operaciones
NÚMERORACIONAL
tiene infinitas
4
1
3
2con denominador
cien representa unPorcentaje
permiten definir
se utilizan
sus
para
realizar
pueden
expresarse como
Número
decimal
5también se
expresa como
23Números racionales 23
Fracciones
31. ¿Cómo se representa matemáticamente una fracción?
— Di qué indican los dos términos de una fracción.
32. De una finca de 63 hectáreas deseamos obtener 294 par-
celas de la misma extensión. ¿Cuántas hectáreas tendrá cada
parcela? Expresa el resultado en forma de fracción.
33. Escribe una fracción equivalente a con denominador 20.
— ¿Puedes hallar una fracción equivalente con denomi-nador 5?
34. Simplifica las siguientes fracciones.
a) b) c) d)
35. Demuestra de tres maneras distintas que las fracciones
y son equivalentes.
El conjunto de los números racionales
36. Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «En-
tre dos números racionales distintos siempre existe otro nú-
mero racional».
37. Determina el representante canónico de estos números
racionales.
— ¿Por qué acostumbran a utilizarse los representantes ca-nónicos y no otros?
38. ¿Puedes hallar la fracción generatriz de un número deci-
mal ilimitado no periódico? Justifica tu respuesta.
39. ¿Las fracciones y son representantes de un mis-
mo número racional? En caso
afirmativo, determina su representante canónico.
— Di si las fracciones consideradas son equivalentes.
40. Representa sobre la recta numérica los números raciona-
les siguientes.
— Escríbelos ordenados de mayor a menor.
41. Halla la expresión decimal de estos números racionales.
42. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
4,23427; ; ; ; ; .
43. Clasifica estos números decimales en limitados o ilimitados:
3,25; 2,111...; 71,34567812; 54,2373737...; 0,7777...; 12,1515;
102,393939...; 0,0020202...
— De los números decimales ilimitados, di cuáles son pe-riódicos puros y cuáles son periódicos mixtos.
44. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números
decimales:
Operaciones con números racionales
45. Calcula:
a)
b)
c)
46. Calcula mentalmente:
47. Halla el opuesto y el inverso de los siguientes números ra-
cionales.
48. Expresa en forma de una sola potencia:
a) c)
b) d) −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
4
1
4
1
4
6 3 4
:−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
3
5
34
3
7
3
7
12 7⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
:7
3
7
3
7
3
4 6⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−− −
7
4
1
5
12
5
6
23
3
1, , , ,
55
4
1
2
1
3
3
5
3
2
7
4
7
8+ − ⋅, , , :
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
⎛⎝⎜
⎞2
5
2
3
1
7
5
6:
⎠⎠⎟+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
9
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣
2
9
2
4
1
15
4
3⎢⎢
⎤
⎦⎥ + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
9
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
5
2
3
2
9
7
15
2 116 0 3463, ; , .� �3 29 9 346, ; , ; � �7 6 0 019 3 4 2 9 27 41 5 12, ; , ; , ; , ; , ; , ;
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4 23427,�4 23427, �4 23427, �4 23427, �4 23427,
�
16
5
28
6
3
4
22
9
54
27
125
4, , , , ,−
−−
− −15
20
3
7
2
5
16
12, , ,
70
175−−14
35
15
20
28
30
18
21
75
20
12
16, , , ,
10
8
15
12
−1026
855
−150
84
42
75
360
420
9
12
R
R
R
R
R
R
R
R
1AC
TIV
IDA
DE
S
24
49. Calcula:
a) b)
50. Halla la fracción resultante.
a) b)
— Usa la calculadora para expresar los resultados en for-ma decimal y comprobar que son correctos.
51. Resuelve:
a) c)
b) d)
— Utiliza la calculadora wiris, disponible on line, para
comprobar los resultados obtenidos.
52. Efectúa las siguientes operaciones utilizando fracciones ge-neratrices.
a) c)
b) d)
53. Calcula:
a) b)
54. En período de rebajas una tienda de ropa aplica un 20 %de descuento en todos sus artículos ¿Cuánto deberemos pa-gar por un pantalón y una camiseta que antes costaban 55 ∑y 25 ∑ respectivamente?
55. En marzo el precio de la gasolina era de 92 céntimos de euro.En mayo subió un 5 %, en julio volvió a subir un 10 % y enseptiembre bajó un 3 %. ¿ Cuánto pagamos en septiembresi llenamos el coche con 40 L de gasolina?
— Si accedes a la página www.gasofa.es encontrarás
una gráfica con la evolución de los precios de la gasoli-
na en los últimos meses.
56. ¿Durante cuánto tiempo ha estado depositado un capital de
5500 ∑ al 8 % si ha producido un interés de 1100 ∑ ?
Problemas
57. Un reloj atrasa de hora en una semana. ¿Cuánto atrasa-
rá en cuatro días? ¿Y en un mes?
58. Un comerciante vende los de una pieza de tela. Al día
siguiente, vende de pieza por la mañana y por la tar-
de. Determina la fracción de tela vendida y la que le queda
por vender.
59. Un depósito de agua que contenía de su capacidad per-
dió de su contenido. Más tarde se añadió del total, pero
perdió la mitad de la parte que contenía al principio. ¿Qué
parte del depósito quedó llena?
60. Un tren inicia su trayecto con un grupo reducido de viaje-
ros. En la segunda estación el número de personas que
sube es dos quintos de las que había inicialmente. En la ter-
cera baja la tercera parte de los que hay en el tren. En la
cuarta se apean 2 personas, y quedan finalmente 12 viaje-
ros en el tren.
a) ¿Cuántas personas había al iniciar el trayecto?
b) ¿Cuántas personas han utilizado este servicio?
61. Un tangram está formado por cinco triángulos, un cuadra-
do y un trapecio que pueden acoplarse de diferentes ma-
neras para construir figuras geométricas distintas.
a) ¿Qué fracción del tangram representa cada una de las pie-zas que lo componen?
b) ¿Qué fracción del tangram está coloreada?
— Si accedes a la página http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_112_g_2_t_1.html encontrarás un tangraminteractivo que puede ayudarte a realizar la actividad.
1
5
2
3
6
4
7
1
3
1
2
8
15
1
2
1
6
2
9
3
4
3 24 2 51 0 5
11
2
2 3, : , ,
: ,� � �+
+
1
20 25
1
40 3
0 6 0 9
+ −, : ,
, : ,
�
� �
0 6 5 4 1 3 3 6, , : , ,� � � �+( ) +( )2 7 3 5, ,
� �−
3 5 5 6, ,⋅�
2 3 3 125, ,� �+
2
3
3
2
2
3
3
21
13
2
9
4
2
3
9
4
2
2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ −−
+ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
23
4
5
2
2
3
4
51
1 2 11
4
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦
:
⎥⎥ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11
2
20
21
14
5
2
3
4
92 1
1
2
11
11
2
⋅ − + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
++
: 1
4
2
31
1
2
3
⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 2
1
41
21
5
− ⋅−
+
11
3
23
5
−
+
784
7921−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
8
273
Unidad 1
�AC
TIV
IDA
DE
S1
@
@ @
A
A
A
A
25
Más a fondo
62. Halla la fracción irreducible equivalente y la expresión de-cimal de estas fracciones.
Para saber la expresión decimal que obtendremos a partirde un número racional, descompon en factores primos losdenominadores de las fracciones irreducibles y completala tabla.
63. Extrae factor común en cada una de las expresiones si-guientes.
a) c)
b) d)
64. Expresa en forma de una única potencia, si x ≠ 0:
— Calcula el valor de la expresión si x = 5.
65. Escribe la expresión fraccionaria de los siguientes núme-ros decimales:
, , , , , 2,27, ,
, , .
Indica cuáles de ellos son puros y cuales son mixtos.
66. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
, , , , , , , .
67. Realiza las siguientes operaciones usando número deci-males y comprobando el resultado luego con sus corres-pondientes fracciones generatrices:
a) c)
b) d)
68. Calcula:
a) d)
b) e)
c) f )
69. Saca fuera de la raíz el máximo de factores posibles:
a) d)
b) e)
c)
70. Calcula y expresa el resultado en la fracción irreducibleque corresponda:
a) c)
b) d)
71. Calcula:
a) c)
b)
72. Calcula:
a) c)
b) d)
FACTORES DEL DENOMINADOR EXPRESIÓN DECIMAL
............., ............. o ambos. Limitada
Ni ............. ni ............. Periódica pura
............., ............. o ambos, junto aotros.
Periódica mixta
5 13 2 152
, ,⋅−21 3
51 32
11 23
+ −
−
,,
,
)
)
52 53
21 5
− +,,
253
3 08 0 25+ − +, ,)
25
114
12
3
535
23
− ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
180288
3
5⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2516
2
4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
15
103
59
13
32
2
2 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
:
34
27
32
45
13
5 2 113
+ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
65
65
36
29
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
:
83
83
83
6 5 9⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
· :
75
75
8 7
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
:
32
94
13
3 5⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
· ·
1251458
3−
− 155526250
5
12606300
75
36 3−
×,
53
2 613
:,
721
96
× −− +2 35
102 5
,,
−−
51 2
106,
:521
12 1
−,
− −3 09 2 01, ,) )
13 6 7 26, ,) )
−
1 278 2 078, ,−
5 217 2 21, ,+
89
− 109
− 87
65
56
−76
− 65
76
5 87,−3 9,)
7 1139,
−11 053,10 01,)
103 82,−0 08,)
0 573,−3 28,
27
34
a b a b+( ) + +( )
615
25
425
2 3y y y+ +
2 22
23 5 3
2
x xx
x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
− −
: :⎛⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2 32
2x
25
35
15
2x x+ +
23
27
23
2 3a a a+ +
328
2114
109240
106
51300
3549
, , , , ,
Números racionales
1ACTIV
IDADES
A
)
)
)
)
) )
) )
)
)
)
)
)
26
INVESTIGA73. En la vida cotidiana las lentes tienen multitud de aplicaciones.
Se utilizan en gafas y lentes de contacto para corregir defec-tos visuales, pero también en cámaras fotográficas, en teles-copios o en microscopios para observar objetos lejanos opequeños.
Una de las unidades que caracterizan las lentes son las diop-trías, cuya magnitud depende fundamentalmente de la ge-ometría de la lente.
Con la ayuda de los siguientes enlaces:
http://diccionario.babylon.com/Dioptria
http://es.wikipedia.org/wiki/Dioptria
http://www.academiaminas.com/formulas/FISICA/OPTI
CA/optica_geometrica.htm
responde a las siguientes cuestiones:
a) Escribe la definición de dioptría.
b) ¿Como es una lente cuyas dioptrías son negativas? ¿ysi son positivas?
c) Escribe la relación que existe entre las dioptrías y ladistancia focal.
d) ¿Cuántas dioptrías tiene una lente cuya distancia focales de 4 m? ¿Y si la distancia focal es de 25 cm?
e) Una lente de 5 dioptrías ¿qué distancia focal tiene? ¿Yde − 0,20 dioptrías?
Al unir dos lentes delgadas podemos obtener otralente cuya distancia focal es:
siendo f1 y f2 la distancia focal de las dos lentes delga-das.
f ) ¿Cuál será la distancia focal de una lente formada poruna lente de distancia focal 3 m y otra de distancia fo-cal 30 cm? ¿Cuántas dioptrías tendrá?
1 1 1
1 2f f f= +
Unidad 1
EV
ALU
AC
IÓN
Elige la fracción equivalente a .
a) b) c)
Simplifica la fracción hasta llegar a una fracción irre-
ducible.
Ordena de menor a mayor estos números racionales.
Determina la fracción generatriz de los siguientes núme-ros decimales:
a) 3,145 b) c)
Calcula:
a) b)
— Expresa el resultado en forma decimal y en forma deporcentaje.
Efectúa:
a) c)
b) d)
Calcula:
Con L de agua se han llenado ocho vasos iguales.
¿Cuál es la capacidad de cada vaso?
Un padre dispone en su testamento que el hijo mayor
herede de lo que herede el mediano y éste, de lo
que reciba el pequeño. Si al morir, el padre tenía un capi-
tal de 23580 ∑, ¿cuánto dinero heredará cada hermano?
32
43
9
32
8
34
12
43
1
12
34
58
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
− +
:
7
161296
412
54
2
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
36169
14
14
4 3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6
54
12
32
⋅ −−
:232
34
− +
5
0 083,�
2 116,�
4
32
56
23
53
, , , −
3
240260−
2
150180
− 90180
− 75180
−512
1
CB
CB
CB
@
Los hindúes indicaban las fracciones escribiendo el numerador sobre el deno-minador.
Los árabes adoptaron este sistema y le añadieron la barra horizontal. Así, se crea-ron los símbolos actuales.
4—3
43
CRÓNICA MATEMÁTICA
27
Metales preciososLa pureza del oro se mide en quilates. Cuando decimos que un objetode oro tiene 18 quilates, significa que de 24 partes del objeto, 18 sonde oro.
En cambio, para la plata lo habitual es medir la pureza en milésimas.Cuando decimos que un objeto de plata es de 900 milésimas, signifi-ca que de 1 000 partes del objeto, 900 son de plata.
Cuadros mágicosEn un cuadrado mágico todas las filas,columnas y diagonales suman la mis-ma cantidad.
Completa el siguiente cuadrado mágico.
Demuestra tu ingenio
Números racionales
Conéctate a la siguiente página y am-plía tus conocimientos sobre cuadradosmágicos.
www.xtec.es/~bfiguera/curioso7.html
Observa con detenimiento esta demostración y encuentra el fallo lógi-co que lleva a una consecuencia evidentemente errónea.
Sean a y b dos números enteros que cumplen:
, es decir, 4 a = 6 b
La última igualdad puede transformarse sucesivamente en las siguientes:
14 a − 10 a = 21 b − 15 b
15 b − 10 a = 21 b − 14 a
5 (3 b − 2 a) = 7 (3 b − 2 a)
Y si ahora dividimos los dos miembros por 3 b − 2 a, queda:
5 = 7
a b6 4
=
83
133
163
4