Kryteria stabilności układu sterowania
Wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego stwarza pewne trudności w przypadku układów wyższych rzędów, dlatego stosujemy kryteria stabilności (Hermit 1854, Routh 1877, Hurwitz 1895).
1. Kryterium analityczno-algebraiczne Hurwitz’a
0)( 012
21
1
asasasasasM n
nn
nn
n
Równanie charakterystyczne:
Układ jest stabilny, jeżeli spełnione są dwa następujące warunki:
1. Warunek konieczny: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są jednakowego znaku:
2. Warunek wystarczający: macierz Hurwitz’a, H, jest dodatnio określona.
0;,1np. iani
0
1
2
31
42
531
0
0
0
000
00
00
0
0
0
0
0
0
a
a
a
aa
aa
aaa
aaa
n
n
nn
nn
nnn
nnn
H
H jest dodatnio określona jeżeli spełnione są kryterium Sylwestr’a:
0,,1 ini
Element opóźniający
sTesFTtfL 0)()( 0
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 10 20 30 400
2
4
6
8
10
sess
sG 52 31924
30)(
31924
30)(
2
sssG
Wstęp
2. Kryterium analityczno-algebraiczne Nyquist’a
)(
)(
)(
)()()()(0 sM
sL
sM
sLsGsGsG
S
S
R
RSR
)()()()(
)()(
)()()()(
1
)()(
)()(
)(1
)()(
0
0
sMsMsLsL
sLsL
sMsMsLsLsMsM
sLsL
sG
sGsG
SRSR
SR
SR
SR
SR
SR
)()(
)()()()(
)()(
)()(1)(1 0 sMsM
sMsMsLsL
sMsM
sLsLsG
SR
SRSR
SR
SR
Bieguny biegunyZera bieguny
)(1 0 sG )(0 sG )(1 0 sG )(sG
1 Zera i bieguny
2 Rzutowanie
j
1z
V
)()( 1zssF
Im
Re
RVR
Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’
j
1b
V
)(
1)(
1bssF
Im
Re
RV
R1
Płaszczyzna ‘s’
Płaszczyzna ‘F’
Granica A Granica B
2 Rzutowanie
j
1z
V)()( 1zssF
Im
ReRVR
Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’
Granica AGranica B
j
1b
V
)(
1)(
1bssF
Im
Re
R VR
1
Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’
Granica A Granica B
j
1b
2V
)(
)()(
1
1
bs
zssF
Im
ReR
2
1
V
VR
Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘F’
Granica A Granica B
1V
1z
j
1b)(1)( 0 sGsF
Im
ReR
543
21
VVV
VVR
Płaszczyzna ‘s’ Płaszczyzna ‘1+G0’
Granica B1V
2V
3V
4V
5V
Granica AQ
Wnioski: Gdy punkt Q obraca się na granicy A, każdy wektor wewnątrz obszaru
A obraca się o 360 stopni, a każdy punkt znajdujący się poza granicami A oscyluje i wraca do pozycji początkowej.
Gdy poruszamy się na granicy A zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówki zegara każde „zero” wewnątrz obszaru A powoduje obrót w tym samym kierunku, a każdy „biegun” wewnątrz obszaru A powoduje obrót w przeciwnym kierunku (z tej racji, że biegun to miejsce zerowe dla mianownika).
ZPN
Liczba obrotówgranicy B w kierunku przeciwnym ruchu wskazówki zegara(wokół środka układu współrzędnych geometrycznych)
Liczba biegunów1+G0 znajdujących się
wewnątrz A
Liczba zer1+G0 znajdujących się wewnątrz A
Bieguny biegunyZera bieguny
)(1 0 sG )(0 sG )(1 0 sG )(sG
ZPN
NPZ
Liczba biegunów układu zamkniętego po prawej stronie półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej ‘s’
Liczba biegunów układu otwartego po prawej stronie półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej ‘s’
Liczba obrotóww kierunku zgodnym z ruchem wskazówki zegara na granicy B (wokół środka układu współrzędnych geometrycznych)
Wszystkie zera i bieguny układu otwartego są znane Bieguny układu zamkniętego nie są znane
W poprzednich rozważaniach funkcja transformacji (rzutowania) była ”1+G0 ”. Jeżeli funkcja ta jest „G0 ”, granica „B” jest taka sama z wyjątkiem to, że jest przesunięta o jedną jednostkę w lewo. W rezultacie, aby wyznaczyć liczbę „N” należy brać pod uwagę liczbę obrotów „G0 ” wokół punktu „-1”.
Dla stabilnego układu sterowania zamkniętego liczba Z jest równa zeru.
Kryterium stabilności Nyquist’a:Zamknięty układu sterowania jest stabilny
asymptotyczny, jeżeli:
NP
Dla układu ze stabilnym obiektem, liczba P jest równa zeru, a wówczas układ zamknięty jest stabilny jeżeli
0N
Kryterium stabilności Nyquist’a nazwane jest, także jako „kryterium lewej strony”, a jego interpretacja graficzna jest następująca:Gdy obserwator porusza się na granicy „G0 ” zgodnie z kierunkiem rosnących wartości zmiennej , punkt krytyczny musi znaleźć się po lewej stronie jego drogi. W przeciwnym razie, układ zamknięty nie jest stabilny asymptotyczny.
)(Im 0 sG
)(Re 0 jG
Punkt krytyczny (-1,0)
Granica )(0 jGUkład zamknięty jest
stabilny asymptotyczny
)(Im 0 sG
)(Re 0 jG
Punkt krytyczny (-1,0)
Granica )(0 jG
)(Im 0 sG
)(Re 0 jGPunkt krytyczny (-1,0)
Granica )(0 jG
Układ zamknięty jest niestabilny
Układ zamknięty jest na granicy stabilności