1 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 1
1. Carilah semua pasangan bilangan bulat (a,b) sedemikian, sehingga 2
111
ba.
2. Gantilah huruf-huruf yang berbeda pada lingkaran
berikut ini dengan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7,
sehingga jumlah angka-angka pada baris dari tiga
lingkaran adalah sama.
3. Diberikan dua buah bilangan: 0620062006200620052005200520 x dan
0520052005200520062006200620 y .
Hitunglah nilai dari 2006yx .
4. Carilah angka satuan dari hasil perjumlahan bilangan-bilangan berikut ini.
1 2 + 1 2 3 + 1 2 3 4 + + 1 2 3 4 5 + … + 1 2 3 … 2006
5. Diketahui a, b, dan c bilangan real positif dan a + b + c = 1. Tunjukkan bahwa
3
1 acbcab .
6. Carilah nilai a dan b dari sistem persamaan
2492627373
3508373627
ba
ba
7. Jika xy 0 dan xyyx 1022 , hitunglah yx
yx
.
8. Fauzan dibayar $18 untuk satu hari kerja dan dikenakan denda $3 per hari apabila
tidak bekerja. Apabila pada akhir ke 40 Fauzan menerima bersih $531, berapa
harikah Fauzan tidak bekerja?
9. Dalam ABC siku-siku di C, panjang hipotenusa = 8 dan 72 ba . Carilah luas
ABC.
g
a
c f
e d
b
2 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini.
11. Sebuah kotak panjangnya 2
11 kali lebarnya dan
2
14 kali tingginya. Jumlah semua
rusuknya 40 dm dan 8 cm. Hitunglah volume dan luas permukaannya.
12. Dalam ABC besar sudut A dua kali besar sudut B. Buktikan bahwa )(2 cbba .
13. Diberikan tiga buah lingkaran K, L, dan M yang saling berpotongan dan melalui
titik pusat, dengan jari-jari KL = LM = KM = 6 cm. Hitunglah luas daerah yang
diarsir.
18
16
8
6
O X
Y
g
h
K
L
M
3 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 1
1. 2
111
ba
abab 22
)2(2 bab
2
2
b
ba
2
4)2(2
b
ba
2
42
ba .
Jika a bilangan bulat, maka 2b harus merupakan faktor dari 4, yaitu
2b 4,2,1 , maka 2,6,4,1,3 b , sehingga 1,3,4,2,6 a .
Jadi, semua pasangan (a, b) adalah (-2,1), (1, -2), (3, 6), (6,3), dan (4,4).
2. Angka yang di tengah adalah 4.
Jumlah tiga angka 123
7654321
Dengan mudah kita dapat melengkapi diagram itu.
3. 0620062006200620052005200520 x
= )0011000100010(2006)100010001(2005
0520052005200520062006200620 y
= )0011000100010(2005)100010001(2006
Ternyata yx , sehingga nilaidari 0020062006 yx .
4. 1 2 = 2
1 2 3 = 6
1 2 3 4 = 24
4
1
3 5
6 7
2
4 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
1 2 3 4 5 = 120
1 2 3 4 5 6 = 720
1 2 3 … 2006 = …0
Perhatikan hasil perkalian bilangan mulai dari baris ke-4 dan seterusnya memiliki
angka satuan nol. Sedangkan jumlah bilangan pada baris ke-1, ke-2, dan ke-3 adalah
2 + 6 + 24 = 32 yang memiliki angka satuan 2. Jadi, angka satuan dari hasil
perjumlahan bilangan-bilangan itu adalah 2.
5. 0)( 2 ba abba 222 ………. (1)
0)( 2 ca acca 222 ………. (2)
0)( 2 cb bccb 222 ………. (3)
Jumlahkan ketiga persamaan itu, maka kita memperoleh:
)(22 222 bcacabcba
bcacabbcacabcba 2222
)(312
bcacab
3
1 acbcab (qed)
6.
2492627373
3508373627
ba
ba
Jumlahkan kedua persamaan itu, maka kita memperoleh:
600010001000 ba
ab 6
ab 6 3508373627 ba
3508)6(373627 aa
35083732238627 aa
1270254 a
5254:1270 a
5a ab 6 = 6 – 5 = 1
5 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Jadi, nilai a dan b masing-masing adalah 5 dan 1.
7. xyyx 1022
xyxyyx 102)( 2
xyyx 12)( 2 …………….(1)
xyxyyx 102)( 2
xyyx 8)( 2 ……………(2)
2
3
8
12
)(
)(2
2
xy
xy
yx
yx
2
3
yx
yx6
2
1
Jadi, nilai dari yx
yx
adalah 6
2
1.
8. Misalnya jumlah hari tidak bekerja adalah x hari, maka jumlah hari kerja adalah
)40( x hari.
Jumlah pendapatan – jumlah denda = 531
5313)40(18 xx
531318720 xx
18921 x
921:189 x
Jadi, Fauzan tidak bekerja selama 9 hari.
9. Menurut Dalil Pythagoras:
6422 ba
72 ba
72)( 2 ba
72222 abba
72264 ab
4ab
Luas ABC 22
1 ab b
a
A C
B
8 cm
6 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. Persamaan garis h yang melalui titik )0,18( dan )6,0( adalah
618186 yx
183 yx ……………….. (1)
Persamaan garis g yang melalui titik )0,8( dan )16,0( adalah
816816 yx
162 yx
xy 216 ……………….(2)
Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:
18)216(3 xx
18648 xx
305 x
6)5(:30 x
6x xy 216 41216)6(216
Koordinat titik potong garis g dan h adalah (6, 4).
Luas daerah yang diarsir 6)46(2
14)68(
2
146 6424 = 34
11. Misalanya ukuran kotak itu adalah panjang p, lebar l dan tinggi t, maka
lp2
11 pl
3
2
tp2
14 pt
9
2
Panjang seluruh rusuknya = 40 dm + 8 cm = 408 cm.
Panjang rusuk = )(4 tlp
ppp
9
2
3
24408
p9
17102
18
16
8
6
O X
Y
g
h (6, 4)
Rumus:
Persamaan garis yang melalui titik )0,(a dan ),0( b adalah abaybx .
7 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10217
9p 54 cm
54p pl3
2 3654
3
2 cm
54p pl9
2 1254
9
2 cm
pltV 328.23123654 cm3
)(2 ltptplL )123612543654(2 048.6)4326481944(2 cm2.
Jadi, volume kotak itu adalah 23.328 cm3 dan luas permukaannya adalah 6.048 cm
2.
12. Perpanjang sisi CA sepanjang AD = AB, sehingga
ABD sama kaki, maka ADB = ABD = .
Akibatnya CBD = 90o.
Perhatikan bahwa ABC sebangun dengan BDC,
Sehingga berlaku hubungan:
BC
AC
DC
BC
a
b
ba
a
)(2 cbba (qed)
13. Segitiga-segitiga itu masing-masing adalah
Segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm.
Jumlah luas segitiga = 364
13 2
= 327 cm2
Jumlah luas tembereng
= 5(luas juring KLM – luas KLM)
36
4
16
360
605 22
o
o
345π30 cm2.
A B
C
D
2
b
c
c
a
K
L
M
8 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Luas lingkaran = r2 = (6
2) = 36 cm
2.
Jadi, luas daerah yang diarsir = Luas lingkaran – jumlah luas segitiga – jumlah luas
tembereng
= 36 327 345π30
= 318π6 cm2
Rumus: Luas Segitiga Sama Sisi dan Luas Juring, dan Luas Tembereng
1. Luas segitiga sama sisi (L) yang mempunyai panjang sisi a ditentukan oleh
rumus: 34
1 2aL
2. Jika sudut pusat suatu lingkaran adalah o dan jari-jarinya r, maka:
a. Luas juring AOB 2
o
o
π360
r
b. Luas tembereng ASB = luas juring AOB – luas AOB
2
o
o
π360
r
– luas AOB
O
A
B
tembereng
o
S
9 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 2
1. Jika diketahui 3 nm dan 522 nm , berapakah 44 nm ?
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari
9
4
1
zx
yz
xy
3. Hitunglah: 710323521251454 .
4. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah
n
nun
1log . Tentukan
jumlah 999 suku pertama.
5. Diberikan a + b + c = 0. Hitunglah nilai dari
222222222
111
cbabacacb
.
6. Hitunglah 20072006
1
20062005
1....
54
1
43
1
32
1
7. Tentukan nilai a dan b dari persamaan ababa 321832 586
8. Umur seorang pria sama dengan usia istrinya bila angka-angkanya dibalik. Jumlah
umur mereka adalah 99 tahun dan umur pria tersebut 9 tahun lebih tua daripada
istrinya. Berapakah umur pria itu?
9. Bulan-bulan sabit yang diarsir diperoleh dengan menggambar setengah lingkaran
pada 3 sisi dari segitiga siku-siku ABC. Temukan rasio dari luas daerah yang diarsir
dengan segitiga ABC.
B
C
A
10 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. Panah yang diperlihatkan pada diagram terbuat dari dua segitiga yang tumpang
tindih. Luas daerah terbesar yang diarsir berisi 15
13 dari luas segitiga terbesar dan
luas daerah yang gelap 5
4luas segitiga yang kecil. Temukan rasio luas yang diarsir
dari segitiga terkecil dengan luas yang diarsir dari yang besar.
11. Semut Fauzan berada di A dari sebuah kubus pejal dan ingin mencapai B dengan
jalur terpendek. Tunjukkan untuk memperoleh jalur terpendek itu. Jika panjang
rusuk kubus adalah 20 cm, hitunglah panjang jalur terpendek itu.
12. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF, dengan luas bidang alas = 84 cm2, luas
sisi-sisi tegaknya adalah 52 cm2 , 56 cm
2 , 60 cm
2 . Carilah volume prisma itu.
a. Berapakah panjang seluruh rusuk prisma itu?
b. Hitunglah luas volume prisma itu.
A
B
11 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
13. Gambar di samping adalah dua buah bujur sangkar (persegi) dengan ukuran sisi 4
cm dan 6 cm. Titik P berjarak 2 cmdari titik A. Hitunglah luas bagian daerah
yang diarsir.
A P
4 cm
6 cm
12 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 2
1. 522 nm
52)( 2 mnnm
52)3( 2 mn
2mn
44 nm 22222 2 nmnm 2222 )(2 mnnm 22225 825 17
2. 941 zxyzxy
36)( 2 xyz
6xyz
1xy 6xyz
61 z
6z
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
6,3
2,
2
3.
3. 710323521251454
17523235212245254
72557549
755757
12
4.
n
nun
1log
4yz 6xyz
64 x
2
3x
9zx 6xyz
69 y
3
2y
13 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
nnun log)1log(
999998321999 ... uuuuuS
= (log 2 – log 1) + (log3 – log2) + ... + (log 999 – log 998) +
(log 1000 – log 999)
= log 1000 – log 1
= 3 – 0
= 3
5. 0 cba )( bac
222222222
111
cbabacacb
222222222 )(
1
)(
1
)(
1
babababaabab
222222222222 2
1
2
1
2
1
babababababaababab
ababaabb 2
1
22
1
22
122
abbaabab 2
1
)(2
1
)(2
1
ababba 2
111
)(2
1
abab
ba
ba 2
1
)(2
1
abab 2
1
2
1
= 0
Rumus: Sifat Logaritma
bab
a ggg logloglog
14 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
6. 20072006
1
20062005
1....
54
1
43
1
32
1
2007
1
2006
1
2006
1
2005
1...
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2007
1
2
1
4014
2005
7. ababa 321832 586
ababa 323232 5286
21586 3232 ababa
156 aa
151060 aa
549 a
6a
28 abb
210810 bab
6)6(109 b
549 b
6b
Jadi, nilai a = 6 dan b = 6.
8. Misalnya Umur pria itu adalah )10( ut tahun dan umur istrinya adalah
)10( tu tahun.
)10( ut + )10( tu = 99
991111 tu
9 tu ………………………….(1)
)10( ut 9)10( tu
999 ut
1ut
15 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
1 ut …………………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
1 ut 9 tu
91uu
82 u
4u
4u 1 ut 514 .
Jadi, umur pria itu adalah 54 tahun.
9. Luas daerah yang diarsir = luas bangun itu seluruhnya – 2
1 luas lingkaran besar
222
2
1π
2
1
2
1π
2
1
2
1π
2
1
2
1
ABBCACBCAC
)π(8
1
2
1 222 ABBCACBCAC
)0π(8
1
2
1 BCAC
BCAC 2
1
Luas segitiga ABC BCAC 2
1
Luas daerah yang diarsir : luas segitiga ABC = BCAC 2
1: BCAC
2
1= 1 : 1.
10. Misalnya luas segitiga terkecil adalah a satuan luas dan luas segitiga terbesar adalah
b satuan luas, maka
Luas daerah yang diarsir dari segitiga kecil a5
4 satuan luas
Luas daerah yang diarsir dari segitiga besar b15
13
Luas daerah yang tumpang tindih aa5
1
5
41
satuan luas yang sama dengan
bb15
2
15
131
, maka kita memperoleh ab
2
3
16 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Jadi, rasio luas yang diarsir dari segitiga terkecil dengan luas yang diarsir dari yang
besar
ba15
13:
5
4
aa2
3
15
13:
5
4
3
2
13
15
5
4
13
8 atau 8 : 13
11. Titik Q adalah titik tengah rusuk PR. Hubungkan garis AQ dan QB.
Jalur terpendek yang ditempuh semut itu AB yang melalui pertengahan rusuk PR.
5202040 22 AB cm
Jadi, panjang jalur terpendek itu adalah 520 cm.
12. a. Perhatikan gambar berikut ini.
Luas ABCD = c t = 56 t
c56
Luas ACFD = b t = 52 t
b52
Luas BCFE = a t = 60 t
a60
)(2
1cbas
A
B
Q
R
P
A
B
Q
P
R
20 cm
20 cm 20 cm
A B
C
D
E
F
84
52
56
60
a
b c
t
17 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
tttt
s84565260
2
1
Luas ABC = ))()(( csbsass
84 =
ttttttt
56845284608484
84 =
tttt
28322484
84 = 2
1344
t
1684:13442 t
416 t cm
t = 4 t
c56
= 144
56 cm
t = 4 t
b52
134
52 cm
t = 4 t
a60
154
60 cm
Jadi, panjang seluruh rusuk prisma itu = 2 keliling alas + 3 tinggi prisma itu
= 2(15 + 13 + 14) + 3 4
= 96 cm
b. Volume prisma itu = luas alas tinggi = 84 4 = 336 cm3
13. Luas PQT = luas PUS
2444 22 AR cm.
23224 PR cm.
2PQPR
223 PQ
PQ = 3 cm
PQRS adalah persegi dengan panjang sisinya 3 cm.
Luas PQRS = PQ2 = 3
2 = 9 cm
2
Jadi, luas daerah yang diarsir itu adalah 9 cm2.
A P
4 cm
6 cm Q
R S
T
U
18 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 3
1. Sederhanakanlah yx
yx
y
x
y
x
y
x
x
y
11
11
2. Diberikan 31
ww . Buktikan bahwa 0
13
3 w
w .
3. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 15037a dan
100215b ?
4. Jika 2
2
22
22
b
a
cb
ba
, tentukan
b
a.
5. Buktikan bahwa jika 1
ba
c
ac
b
cb
amaka 0
222
ba
c
ac
b
cb
a.
6. Bagilah 192 atas 4 bagian; bagian pertama ditambah 7 = bagian ke-2 dikurangi 7 =
bagian ke-3 dikalikan dengan 7 = bagian ke-4 dibagi 7. Cari ke empat bilangan itu.
7. Pecahan 7000
1997ditulis dalam bentuk desimal. Angka apakah yang ke-1997 dari
tempat desimal itu?
8. Ayah mempunyai selembar uang Rp 10.000,00. Uang ini akan ditukarkan dengan
koin Rp 1.000,00 dan Rp 500,00 (tidak boleh Rp 1.000,00 semua atau Rp 500,00
semua). Ada berapa banyak cara memperoleh penukaran?
9. Di dalam kubus dibuat bola dalam dan bola luarnya. Tentukan rasio volume bola
dalam dengan bola luarnya.
19 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13 , 74 , dan 85 satuan. Berapakah
luas segitiga itu?
11. Dalam ABC, AC = 6, BC = 2, dan ACB = 120o. Garis bagi sudut C memotong
AB di D. Tentukan panjang CD.
12. Diberikan ABC. Jika transversal sisi k berturut-turut memotong perpanjangan BA
di P, AC di Q, dan BC di R, buktikan bahwa 1QA
QC
RC
RB
PB
PA.
13. Rasio rusuk dua buah kubus tanpa tutup adalah 3 : 5. Selisih volumenya adalah 784
liter. Hitunglah luas permukaan kubus terkecil.
20 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 3
1. yx
yx
y
x
y
x
y
x
x
y
11
11
yx
yx
y
yx
y
yx
y
xy
x
yx
y
x
x
y
x
x
y
y
yx
y
yx
y
yx
x
yx
)(
)(
)1(
x
xy
x
y)1(
x
y
y
x
)1(
2. Rumus: 1. 3223333 babbaaba
2. 22333 33 abbababa )(33
baabba
ww
ww
ww
ww
113
113
3
3
3333
3333
= 0 (qed)
3. e 15037a 503375050653
100215b 502215 5046225
Jadi, bilangan yang terbesar adalah a.
21 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
4. 2
2
22
22
b
a
cb
ba
2222422 cababba
224 cab
acb 2
c
b
b
a
5. cbaba
c
ac
b
cb
acba
)(
cbaba
cbac
ac
cbab
cb
cbaa
)()()(
cbacba
cb
ac
ba
cb
a
222
cbacbaba
c
ac
b
cb
a
222
0222
ba
c
ac
b
cb
a(qed)
6. Misalnya keempat bilangan itu a, b, c, dan d, maka
7777
dcba
Misalnya kd
cba 7
777 , maka
Bilangan pertama: 7 ka
Bilangan ke-2: 7 kb
Bilangan ke-3: kd 7
Bilangan ke-4: 7
kd
192 dcba
1927
777 k
kkk
22 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
1927
64
k
64
7192k
21k
21k 7 ka 14721
21k 7 kb 28721
21k kd 7 147217
21k 7
kd 3
7
21
Jadi, keempat bilangan itu adalah 14, 28, 147, dan 3.
7. ...485714285712852857142,07000
1997 dengan enam angka 285714 terdapat dalam
satu blok yang terulang setelah tiga angka pertama.
Jadi, 1997 = 3 + 6 332 + 2, angka ke-1997 adalah angka kedua yang terulang yang
terdapat dalam satu blok angka, yaitu 8.
8. 1 lembar Rp 1.000,00 + 18 lembar Rp 500,00
2 lembar Rp 1.000,00 + 16 lembar Rp 500,00
3 lembar Rp 1.000,00 + 14 lembar Rp 500,00
4 lembar Rp 1.000,00 + 12 lembar Rp 500,00
5 lembar Rp 1.000,00 + 10 lembar Rp 500,00
6 lembar Rp 1.000,00 + 8 lembar Rp 500,00
7 lembar Rp 1.000,00 + 6 lembar Rp 500,00
8 lembar Rp 1.000,00 + 4 lembar Rp 500,00
9 lembar Rp 1.000,00 + 2 lembar Rp 500,00
Dengan demikian, banyak cara memperoleh penukaran ada 9 cara.
23 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
9. Misalnya jari-jari bola dalam adalah R, maka panjang rusuk kubus adalah 2R,
sehingga panjang jari-jari bola luar adalah setengah panjang diagonal ruang kubus
3R .
Volume bola dalam : Volume bola luar 33 3π3
4:π
3
4RR 33:1
10. Kita mengetahui bahwa 22 9285 , 22 5774 , dan 22 3213 , sehingga
persegi panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.
Luas ABC 752
132
2
192
2
159
2
353945
2
31 satuan
Jadi, luas segitiga itu adalah 2
31satuan.
11. Perpanjang AC sampai ke E, sehingga CBCE .
Perhatikan bahwa ECB adalah segitiga sama sisi dan DCBE // .
ACD dan AEB adalah sebangun, sehingga:AE
EB
AC
CD
ACAE
EBCD
2
3
8
126
)26(
2
Jadi, panjang CD adalah 2
3.
A C
D
B
E
R
t
Q
P
T
C
B
A
R
t
85
74
13
A
B
C
3
2
2
9
7
5
24 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
12. Perhatikan gambar berikut.
Tarik garis tegak lurus pada garis k, berturut-turut dari A dinamakan a, dari B
dinamakan b, dan dari C dinamakan c, sehingga diperoleh segitiga-segitiga yang
sebangun, akibatnya:
b
a
PB
PA ,
c
b
RC
RB , dan
a
c
QA
QC .
Jadi, QA
QC
RC
RB
PB
PA1
a
c
c
b
b
a (qed)
Teorema ini dikenal dengan nama teorema Menelaos.
Catatan:
a. Transversal sisi adalah sebarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau
perpanjangan sisi sebuah segitiga. Teorema penting mengenai transversal sisi
adalah Teorema Menelaos.
b. Perhatikan urutan pengambilan titik-titik sudutnya.
13. Misalnya panjang rusuk kubus besar a dm maka panjang kubus kecil b dm.
Rasio rusuk dua buah kubus tanpa tutup adalah 3 : 5, maka
a : b = 5 : 3
ba3
5
Selisih volumenya adalah 784 liter, maka
78433 ba
A B
C
P
Q
R
a
b
c
k
25 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
7843
5 3
3
bb
78427
125 33 bb
2778427125 33 bb
2778498 3 b
21698
277843
b
62163 b dm
Jadi, luas permukaan kubus kecil tanpa tutup = 5 62 = 180 cm
2.
26 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 4
1. Carilah angka-angka A, B, C, dan D dari perkalian berikut ini.
2. a, b, dan c masing-masing adalah bilangan positif yang semuanya berbeda. Jika
ca
b
b
a
c
ba
, carilah rasio dari a dan b.
3. Dua kali banyak bola dalam kantong A kurang sedikit dari banyak bola dalam
kantong B. Jumlah banyak bola dalam kantong A dan C adalah kurang sedikit dari
banyak bola dalam kantong B. Ada lebih banyak bola dalam kantong D dari pada
dalam kantong B. Ada 6 bola dalam kantong C dan 9 bola dalam kantong D. Berapa
isi bola di kantong B?
4. Dua orang ingin bermain dengan beberapa bola di dalam sebuah kotak. Peraturan
bermainnya adalah masing-masing orang dapat mengambil satu atau dua bola
sebanyak satu kali. Setelah orang pertama mengambil bola, orang lain juga akan
memiliki kesempatan yang sama. Orang yang kalah adalah orang yang mengambil
bola paling teakhir.
a. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 6 bola yang tertinggal di dalam
kotak, berapa banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan
menang?
b. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 8 bola yang tertinggal di dalam
kotak, berapa banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan
menang?
A B C D
9
D C B A
27 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
c. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 20 bola yang tertinggal di dalam
kotak, berapa banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan
menang?
d. Sekarang kita ubah peraturannya. Ada 100 bola dan masing-masing pemain
mengambil 1, 2, 3, atau 4 bola. Jika kamu mendapat giliran pertama untuk main,
berapakah banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan
menang?
5. Mathman menjual jeruk dan menerima sejumlah uang. Jika Mathman menjual 10
buah lebih banyak jeruk menerima jumlah uang yang sama, harga setiap jeruk
adalah 2 satuan lebih murah dari harga aslinya. Jika Mathman menjual 10 buah
lebih sedikit jeruk untuk jumlah uang yang sama, harga setiap jeruk 4 satuan lebih
mahal dari pada harga asli. Berapa banyak jeruk dan harga sebenarnya yang dijual
Mathman?
6. Jarak kota A dan B adalah 625 km. Pada pukul 07.30 pagi, Fauzan berangkat dari A
menuju B dengan kecepatan 100 km/jam. Lima belas menit kemudian, Afifah
berangkat dari B menuju A dengan kecepatan 80 km/jam. Pada pukul berapa Fauzan
dan Afifah ketemu?
7. Sebuah perahu berada di 60 km dari pelabuhan. Perahu itu bocor sehingga air
masuk ke dalam perahu sebanyak 2 ton per 5 menit. Jika dalam perahu itu
kemasukan 90 ton air, maka perahu akan tenggelam. Jika sebuah pompa air
memompa keluar 12 ton air per jam, berapa km/jam kecepatan minimum perahu itu
untuk mencapai pelabuhan agar tidak tenggelam?
8. Berapa banyak segitiga yang terdapat pada gambar di bawah ini.
28 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
9. Luas sebuah persegi panjang tidaklah berubah, kalau lebarnya diperpendek 5 cm
dan panjangnya diperpanjang 10 cm. Luasnya menjadi 350 cm2 lebih besar, kalau
kedua ukurannnya ditambah 5 cm. Hitunglah keliling persegi panjang itu.
10. Sebuah bak air berbentuk silinder terbuka berkapasitas 30772 liter air. Diameter
silinder bagian dalam adalah 28 dm. Dinding dan dasar bak memiliki ketebalan
yang sama yaitu 1 dm. Jika setiap dm2 memerlukan biaya Rp 500,00 untuk
pengecatan, berapa biaya untuk mengecat seluruh permukaan dari bak itu.
(Perhatikan seluruh permukaan bak yang harus dicat termasuk bagian dalam bak).
11. Perhatikan gambar berikut. Panjang CP adalah….
12. Jika tiga buah transversal sudut-sudut ABC melalui satu titik O, dan transversal
sudut C memotong AB di P, transversal sudut A memotong BC di Q, dan transversal
sudut B memotong CA di R, maka berlakulah hubungan 1RA
RC
QC
QB
PB
PA.
13. Sebuah persegi panjang dipotong ke dalam 4 bagian, seperti diperlihatkan pada
gambar.
a. Hitunglah panjang DG dan AE.
b. Hitunglah luas persegi panjang itu.
c. Jika mungkin potongan itu
disusun menjadi persegi, carilah
keliling persegi itu?
3
5
P
160
A B
C D
A B
C D
E
F
G
H
20
10
18
6
24
29 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 4
1. Jika 0A , maka 0D .
Jika 2A atau lebih, maka 9ABCD akan menjadi lima angka. Dengan demikian,
Jika 1A dan 9D .
Jika B (dengan 1B ) adalah 2 atau lebih, maka ABCD akan lebih besar dari 1200
dan perkaliannya dengan 9 akan memberikan hasil lima angka. Dengan denikian,
0B . Kita memperoleh 0199910 CC , sehingga haruslah .8C
Jadi, perkalian itu adalah 980191089 , sehingga A = 1, B = 0, C = 8, dan D = 9.
2. ca
b
b
a
c
ba
b
a
c
ba
acbab 2 ……………………(1)
b
a
ca
b
acab 22 ……………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
222 babab
02 22 baba
0))(2( baba
ba 2 (diterima) atau ba (ditolak, karena a, b, dan c adalah bilangan positif)
22
b
b
b
a atau 1:2: ba
Jadi, rasio dari a dan b adalah 2 : 1.
3. Dari keterangan yang diberikan pada soal, kita memperoleh
2A < B ……………….(1)
30 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
A + C < B ……………..(2)
D > B .............................(3)
C = 6 ……………….…(4)
D = 9…………….…….(5)
Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh B A > 6 ……(6)
Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh B < 9 …………(7)
Dari persamaan (6) dan (7) diperoleh A + 6 < 9 atau A < 3
Jika A = 2, maka 8 < B < 9 tidak mungkin.
Jadi, A = 1, maka 7 < B < 9, sehingga B = 8.
4. a. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 2.
b. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 1.
c. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 1.
d. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 4.
5. Misalnya banyak jeruk a buah dan harganya b satuan, maka
abba )2)(10(
abbaab 20102
20102 ba
105 ba …………………(1)
abba )4)(10(
abbaab 40104
40104 ba
2052 ba ………………….(2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
105 ba
2052 ba
30 a
30a
10530 baa
10530 b
31 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
30105 b
5
40
b
8b
Jadi, banyak jeruk yang dijual Mathman adalah 30 buah dan harga sebenarnya setiap
jeruk adalah 8 satuan.
6. 100Mv km/jam
4
1
60
15tttM jam
80Nv km/jam
ttM jam
625 NNMM tvtv
625804
1100
tt
6258025100 tt
25625180 t
180
600t jam
3
13t jam = 3 jam 20 menit
Jadi, Fauzan dan Afifah bertemu pada pukul adalah 07.30 + 3 jam + 20 menit + 15
menit = 11.05.
7. 60S km
2airv ton/5menit =
60
5
12 ton/jam = 24 ton/jam
12pompav ton/jam.
Masuk air ke perahu = 24 – 12 = 12 ton/jam.
32 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Air akan memenuhi perahu selama 5,712
90 jam.
Jadi, kecepatan minimum perahu itu untuk mencapai pelabuhan agar tidak tenggelam
= 85,7
60 km/jam.
8. Banyak segitiga yang terdapat pada gambar itu adalah 47 buah.
9. Perhatikan gambar berikut ini.
xyyx )5)(10(
xyyxxy 50105
102 yx ………………(1)
350)5)(5( xyyx
3502555 xyyxxy
65 yx ……….……….(2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
102 yx
65 yx
3y = 75
y = 25
y = 25 65 yx
6525 x
x = 40
130)2540(2)(2 yxK cm
Jadi, keliling persegi panjang itu adalah 130 cm.
x + 10
y 5
y + 5
x + 5
x
y
33 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. hdV 2
4
π
2
2284
14,330772 h
22
2814,3
430772
h 50 dm
121 hh = 50 dm + 1 dm = 51 dm
12282 bdD = 30 dm
L1 = luas alas bagian luar
= luas alas bagian dalam + luas bagian atas
L2 = luas selimut luar
L3 = luas selimut dalam
3212 LLLL 21
2 ππ4
π2 dhDhD
502814,3513014,3304
14,32 2 L 43962,48041413
2,10613 dm2.
Jadi, biaya untuk mengecat seluruh permukaan dari bak itu = 10613,2 dm2
Rp 500,00/dm2 = Rp 530.660,00
11. Perhatikan gambar di bawah ini.
Menurut Dalil Pythagoras:
d = 28 dm b = 1 dm
h1 h2
D
3
5
P
160
A B
C D
c
a
d
b x
34 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
2225 ca
2223 cb
2222 35 ba ………………….(1)
222
160 da
222 dbCP
222160 baCP ………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) , kita memperoleh:
222 35160 CP
9251602 CP = 144
12144 CP
Jadi, CP = 12 cm
12. Transversal sudut k, l, dan m berpotongan di titik O. Garis k memotong AB di P, l
memotong BC di Q, dan m memotong AC di R.
Bila P di antara AB, maka PB
PAdiberi nilai negatif (ruas garis PA dan PB berada di
sebelah menyebelah). Jika P di luar AB maka PB
PAdiberi nilai positif.
Perhatikan PBC dengan transversal sisi AOQ atau garis l. Berdasarkan teorema
Menelaos berlaku:
A B
C
P
Q R
l m
k
O
35 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
1OP
OC
QC
QB
AB
AP………………….(1)
Perhatikan APC dengan transversal sisi BOR atau garis m. Berdasarkan teorema
Menelaos berlaku:
1RA
RC
OC
OP
BP
BA………………….(1)
Hasil kali persamaan (1) dan (2):
OP
OC
QC
QB
AB
AP1
RA
RC
OC
OP
BP
BA
1RA
RC
QC
QB
BP
AP
1
RA
RC
QC
QB
PB
PA
1RA
RC
QC
QB
PB
PA. (qed)
Teorema ini dikenal dengan nama teorema De Ceva.
Catatan:
Transversal sudut adalah sebarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah
segitiga. Garis bagi, garis berat, dan garis tinggi dapat dipandang sebagai suatu
transversal sudut. Teorema penting mengenai transversal sudut adalah Teorema De
Ceva.
14. a. Menurut Dalil Pythagoras:
22 ADAGDG 22 18)2010( 24576 cm
Perhatikan AEF dan GDA adalah sebangun, maka
GA
AF
GD
AE
30
10
24
AE
8AE cm
36 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
c. Panjang AB = 8 + 24 = 32 cm
Panjang AD = 18 cm
Luas persegi panjang ABCD = AB AD = 32 18 = 576 cm2.
d. Karena luas persegi panjang ABCD = 576 = 242 cm
2, maka persegi panjang itu
memungkinkan untuk dikonstruksi menjadi menjadi persegi. Kita menyusun
bagian-bagian dari potongan itu menjadi persegi yang diminta seperti
ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Misalnya panjang sisi persegi panjang adalah c, maka
5762 c
24576 c cm
Jadi, keliling persegi itu = 4 24 = 96 cm2.
A
B
H
D
E
N
G
M
12
10 18
6
24
6
6
37 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 5
1. Carilah semua pasangan bilangan bulat (a,b) sedemikian, sehingga 2
111
ba.
2. Fauzan, Afifah, dan Annisa bekerja bersama dan menerima gaji seluruhnya
Rp 2.620.000,00. Fauzan menerima 125% dari gaji Afifah, yang juga merupakan
90% dari gaji Annisa. Siapakah yang gajinya lebih besar Afifah atau Annisa?
Berapa rasio gaji Afifah dan Annisa?
3. Yuda memiliki 288 buku dan disumbangkan ke 4 sekolah. Ketika Yuda mengecek
buku yang disumbangkan ke setiap sekolah, dia melihat bahwa selisih banyaknya
buku yang diterima oleh sekolah A dan sekolah B adalah 4, selisih banyaknya buku
yang diterima oleh sekolah B dan sekolah C adalah 3 dan selisih banyaknya buku
yang diterima oleh sekolah C dan sekolah D adalah 2. Sekolah A menerima paling
banyak tetapi kurang dari 40 buku. Ada berapa cara Yuda dapat menyumbangkan
buku-bukunya ke sekolah B dan ke sekolah D? Berapa banyak buku yang diterima
masing-masing oleh sekolah B dan sekolah D?
4. Jika 10 yx dan 272533 yx , temukan nilai dari 22 yx .
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. 1356 x c. 8)1(2 xxx e. 161523 xx
b. 7423 xx d. 9123 x f. 64
3
3
2642 xxx
6. Buktikan bahwa 21 32326)( nnnnnnP habis dibagi 13 untuk setiap n
bilangan asli.
38 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
7. Untuk a, b, c Q+, jika 2
2
22
22
b
a
cb
ba
, maka
c
b
b
a . Buktikan bahwa jika
2
2
22
22
a
c
cb
ba
, maka
2
22
44
bca
ca
.
8. Pertaksamaan 32
12
axxax
mempunyai penyelesaian 5x . Carilah nilai a.
9. a. Jika x menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit dan y menyatakan suhu dalam
derajat celcius. Diperoleh data sebagai berikut:
Suhu didih = 212o F = 100
o C
.
Suhu beku = 32o F = 0
o C.
Carilah persamaan yang menghubungkan x dan y .
b. Berapa tanjakan (gradien/koefisien arah) persamaan itu?
c. Suhu badan 105,8o F, berapa dalam derajat celcius?
d. Suhu runagan 20o C, berapa dalam derajat Fahrenheit?
10. Jika rasio volume dua kubus adalah 27:8 , berapakah rasio luas permukaannya?
11. Pada persegi panjang ABCD yang luasnya 2007 cm2, titik M, N, P dan Q terletak
pada AB, BC, CD dan DA. Rasio panjang masing-masing adalah sebagai berikut:
AM : MB = 3 : 5
BN : NC = 1 : 3
CP : PD = 4 : 5
DQ : QA = 1 : 8
Berapa rasio luas MBNPDQ terhadap luas ABCD? Hitunglah luas MBNPDQ.
12. Diberikan ABC, dengan AB = 40 cm, BC = 42 cm, dan AC = 26 cm. Carilah jari
lingkaran singgung dalam, jari-jari lingkaran luar, dan jari-jari lingkaran singgung
luar pada sisi BC.
39 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
13. Diberikan ABC sama sisi, dengan AB = 8 cm. Di dalam segitiga itu dibuat 3 buah
lingkaran kongruen yang saling bersinggungan. Ketiga lingkaran ini juga
menyinggung sisi-sisi ABC dari dalam seperti dipertunjukkan pada gambar.
a. Hitunglah luas daerah yang diarsir yang dibatasi oleh 3 buah lingkaran.
b. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada setiap pojok segitiga.
c. Hitunglah seluruh luas daerah yang diarsir.
A
C
B 8 cm
40 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 5
1. 2
111
ba
abab 22
)2(2 bab
2
2
b
ba
2
4)2(2
b
ba
2
42
ba
Jika a bilangan bulat, maka 2b harus merupakan faktor dari 4, yaitu
2b 4,2,1 , maka 2,6,4,1,3 b , sehingga 1,3,4,2,6 a .
Jadi, semua pasangan (a, b) adalah (-2,1), (1, -2), (3, 6), (6,3), dan (4,4).
2. Misalnya gaji Fauzan, Afifah, dan Annisa berrurut-turut adalah a, b, dan c satuan,
maka:
2620000 cba ………………… (1)
cba %90%125
cba 10
9
4
5
ab5
4 ……………………………….(2)
ac9
10 ……………………………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3), kita memperoleh:
26200009
10
5
4 aaa
262000045
503645
a
41 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
131
452620000 a 000.900
000.720000.9005
4
5
4000.900 aba
000.000.1000.9009
10
9
10000.900 aca
Jadi, gaji Afifah adalah Rp 720.000,00 dan gaji Annisa adalah Rp 1.000.000,00. Di
antara Afifah dan Annisa, gajinya yang paling besar adalah Annisa. Sedangkan rasio
gaji Afifah dan Annisa = 720.000 : 1.000.000 = 18 : 25.
3. Misalnya banyak buku yang diterima sekolah A, B, C, dan D adalah a, b, c, dan d,
maka
144 dcba …………………..(1)
4ba
4 ba ……………………………..(2)
3bc
3 bc …………………………….(3)
2 dc
2 cd …………………………… (4)
Dari persamaan (3) dan (4) kita memperoleh
23 bd
1 bd ……………………………. (5)
Dari persamaan (1), (2), (3), dan (5), kita memperoleh:
288134 bbbb
28884 b
2804 b
70b
71170170 bdb
Karena dcbcba dan,, , maka Yuda dapat menyumbangkan buku-bukunya
ke sekolah B dan ke sekolah D dengan 1 cara.
42 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Banyak buku yang diterima masing-masing oleh sekolah B dan sekolah D berturut-
turut adalah 70 dan 71 buah.
4. 22333 33)( xyyxyxyx
)(3)( 333 yxxyyxyx
)10(32725)10( 3 xy
xy3027251000
5,57xy
215115100)5,57(2)10(2)( 2222 xyyxyx .
5. a. 1356 x
5136 x
186 x
6
18x
3x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 3xx .
b. 7423 xx
2743 xx
9 x
9x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 9xx .
c. 8)1(2 xxx
8)22 xxx
28)2 xxx
102 x
43 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
2
10x
5x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 5xx .
d. 9123 x
19213 x
824 x
42 x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 42 xx .
e. 161523 xx
1) 1523 xx
2153 xx
12 x
2
1x
2) 1615 x
155 x
3x
Dari 1) dan 2) kita memperoleh: 32
1 x .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
32
1xx .
f. 64
3
3
2642 xxx
1) xx3
2642
xx 218126
308 x
44 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
4
33x
2) 64
3
3
26 xx
729872 xx
017 x
0x
Dari 1) dan 2) kita memperoleh: 4
330 x .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
4
330 xx .
6. 21 32326)( nnnnnnP
96366 nnn
)931(6 n
n613
Jadi, terbukti bahwa 21 32326)( nnnnnnP habis dibagi 13 untuk setiap n
bilangan asli.
7. 2
2
22
22
a
c
cb
ba
422224 ccbbaa
222244 cbbaca
22244 cabca
2
22
44
bca
ca
(qed)
8. 32
12
axxax
axxax 2)1(3612
axxax 233612
45 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
3629 aaxx
36)29( aax
a
ax
29
36
Karena penyelesaianya adalah 5x , maka haruslah:
529
36
a
a
aa 104536
4816 a
3a
Jadi, nilai a adalah 3.
9. a. Misalnya hubungan itu adalah nmxy .
Dari data titik didih diperoleh: nm 212100 …………(1)
Dari data titik beku diperoleh: nm 320 ……………..(2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh: 9
5m dan
9
160n
nmxym
9
1609
5
9
160
9
5 x atau 16095 yx
b. Tanjakan (gradien/koefisien arah) 9
5 .
c. 8,105x 16095 yx
16098,1055 y
5291609 y
3699 y
y = 41o C
d. 20y 16095 yx
1602095 x
46 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
1801605 x
3405 x
x = 68o C
10. Misalnya panjang rusuk-rusuk kubus itu adalah a dan b, maka volume kubus
pertama adalah 3
1 aV dan volume kubus kedua 3
2 bV , sehingga
27:8: 21 VV
27:8: 33 ba
3333 3:2: ba
3:2: ba
ba3
2
22
21 :: baLL 2
2
:3
2bb
9:41:
9
4
Jadi, rasio luas permukaannya adalah 4 : 9.
11. Perhatikan gambar di bawah ini.
ckkcBCABABCDL 72984segi
)(4segi6segi CPNLAMQLABCDLMBNPDQL
CNCPAQAMBCAB
2
1
2
1
A B
C D
M
N
P
Q k
8k
k4
9
k4
27
c3 c5
c9
40 c
9
32
47 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
kckckc
4
27
9
32
2
183
2
198
ckckck 121272
ckck 2472
ck48
Rasio luas MBNPDQ terhadap luas ABCD = 3:272:48 ckck .
Luas MBNPDQ 20073
2 = 1.338 cm
2.
12. AB = c = 40 cm, BC = a = 42 cm,
BC = b = 26 cm.
Setengah keliling ABC adalah
)(2
1cbas
54)402642(2
1s cm
Luas segitiga ABC (= L) ditentukan
Dengan rumus Heron:
))()(( csbsassL (Rumus Heron)
)4054)(2654)(4254(54 L )14)(28)(12(54 246 732
504732 23 cm2
Jari-jari lingkaran uar (R) ditentukan oleh rumus: L
abcR
4
3
221
5044
402642
R cm.
Jari-jari lingkaran singgung dalam (r) ditentukan oleh rumus:s
Lr
3
19
54
504r cm.
Jari-jari lingkaran singgung luar pada sisi BC = a (ra) ditentukan oleh rumus:
as
Lra
lingkaran singgung
dalam
lingkaran
singgung luar
lingkaran luar
A B
C
48 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
424254
504
ar cm.
13. 482
1
2
1 ACAD cm
343 ACAD cm
Luas ACD = CDAD 2
1
3442
1 38 cm
2
)(2
1CDACADs
32634842
1s cm
s
Lr
33
33
33
34
326
38
r
6
12312 232 cm
LM = 2r 434 cm
Luas LMN (sama sisi) = 34344
1 2
cm 243163332644
1 cm
2.
Luas 3 buah juring di dalam LMN = 2
1 luas lingkaran
= 2232π2
1
= 3816π2
1
= π348 cm2
Jadi, luas daerah yang diarsir yang dibatasi oleh 3 buah lingkaran
= 24316 π348
= 32320 cm2
b. 32323 KLAK = 326 cm.
Luas AKL = KLAK 2
1 2323262
1 1238 cm
2
Luas derah yang diarsir pada pojok-pojok segitiga = 6 luas AKL – luas lingkaran
A
C
B
8 cm
D K
r
L M
N
49 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
= 12386 2232π
= 3π8π1672348 cm2
c. Luas seluruh daerah yang diarsir = 32320 + 72348 3π8π16
= 3π8π16104368 cm2
50 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 6
1. Jika a dan b adalah dua bilangan genap berturutan, buktikan )2(222 abba .
2. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 204216a dan
3065b ?
3. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 512 a dan
714 b ?
4. Bilangan 2025 dibagi menjadi 4 bagian. Bagian pertama ditambah 4 = bagian kedua
dikurangi 4 = bagian ketiga dikalikan 4 = bagian ke empat dibagi 4. Carilah
perbandingan bagian bilangan yang terkecil dan terbesar.
5. Temukan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga hasilkalinya 840 dan
bilangan bulat ini adalah sama dengan kuadrat suatu bilangan bulat.
6. Gunakan semua angka 1, 3, 5, 6, 8, dan 9 satu kali secara tepat untuk mendapatkan
bilangan A dan B. Kedua-duanya A dan B terdiri dari tiga angka dan A – B adalah
bilangan positf. Carilah nilai terkecil dari A – B.
7. Tempatkan huruf x dengan sebuah angka ganjil dan huruf y dengan sebuah angka
genap, sedemikian sehingga 12 adalah sebuah pembagi dari bilangan x579y. Carilah
jumlah angka-angka dari bilangan x579y yang terkecil.
8. Dalam ABC, B = C = 78o. Titik-titik D dan E berturut-turut terletak pada
AB dan AC, sehingga BCD = 24o dan CBE = 51
o. Carilah besar BED?
9. P adalah titik dalam persegi panjang ABCD sedemikian sehingga luas ABP, BCP
dan CDP masing-masing adalah 48 dm2, 40 dm
2, dan 96 dm
2. Cari luas DAP.
10. Diketahui sebuah bak berbentuk balok yang terisi penuh dengan air. Bak tersebut
akan dikosongkan dengan menggunakan pompa yang mampu menyedot air 0,7 liter
51 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
per detik. Dalam waktu 30 menit bak dapat dikosongkan tanpa sisa. Jika luas alas
bak adalah 10.500 cm2, maka tinggi bak tersebut adalah….
11. Temukan jumlah dari sudut-sudut yang ditandai pada diagram berikut ini.
12. Di dalam persegi ABCD yang luasnya 1 m2 dibuat segitiga sama sisi APQ.
Berapakah luas APQ.
13. Setiap sudut segitiga sama sisi ABC, dipotong, sehingga membentuk segi-6
beraturan PQRSTU dengan panjang sisinya 1 satuan.
a. Berapakah panjang BC?
b. Carilah rasio luas segi-6 PQRSTU dengan
luas segitiga ABC.
b
a c d
e f
g h
A
B
C
D
E
F
H
G
S
Q P
R
A B
C D
P
Q
C
A B P Q
R
S T
U
52 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 6
1. Misalnya na 2 dan 22 nb , maka
22 )222()( nnba
42 22 baba
4222 abba
)2(222 abba (qed)
2. 204216a 204216 102221610246656
3065b 10235102125
Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.
3. 512 a 22 512 a 560212 60217
714 b 22 714 b 798214 98221
22 ba ba
Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.
4. Misalnya bilangan-bilangan itu adalah a, b, c, dan d, maka
kd
cba 4
444
ka 4 4 ka
kb 4 4 kb
kc 4 4
kc
kd
4 kd 4
2025 dcba
202544
44 kk
kk
20254
6 k
k
53 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
20254
25
k
32425
42025
k
4 ka = 324 – 4 = 320
4 kb = 324 + 4 = 328
4
kc 81
4
324
kd 4 = 12963244
Bagian bilangan yang terkecil dan terbesar masing-masing adalah 81 dan 1296.
Jadi, perbandingan bagian bilangan yang terkecil dan terbesar = 81 : 1296 = 1 : 16.
5. Misalnya bilangan bulat positif terkecil a dan kuadrat suatu bilangan bulat b2, maka
2840 ba
ab 840
ab )5327( 3
Agar bilangan yang di bawah tanda akar dapat ditarik akarnya, maka haruslah nilai
adalah 5372 a = 210, sehingga
)5372()5327( 2 b = 7 22 3 5 = 420
Jadi, bilangan bulat terkecil yang diminta adalah 210.
6. Angka A dan B harus berbeda 1. Angka kedua dari A harus lebih kecil dari angka
kedua dari B. Pilihlah 2 dan 8 masing-masing sebagai angka kedua dari A dan B.
Argumen ini digunakan untuk angka ketiga, kita memilih 3 dan 7 masing-masing
sebagai angka ketiga dari A dan B. Terakhir, kita memilih 5 dan 4 masing-masing
sebagai angka pertama dari A dan B. Ini memberikan A = 613 dan B = 598, sehingga
A – B = 613 – 598 = 15.
7. 12 pembagi x579y , maka 4 pembagi x579y. Demikian 4 pembagi dari 9y, maka y =
2 atau y = 6. Juga, 3 adalah sebuah faktor dari x579y. Sehingga 5 + 7 + 9 = 21 habis
dibagi 3, x + y juga habis dibagi 3. Jika y = 2, maka x = 1 atau x = 7. Jika y = 6,
maka x = 3.
54 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Bilangan-bilangan yang mungkin adalah 15792, 75792, dan 35796.
Jumlah angka-angka dari stiap bilangan itu adalah sebagai berikut.
15792 1 + 5 + 7 + 9 + 2 = 24.
75792 7 + 5 + 7 + 9 + 2 = 30.
35796 3 + 5 + 7 + 9 + 6 = 30.
Jadi, bilangan yang diminta 15792, dengan jumlah angka-angkanya terkecil 24.
8. Perhatikan gambar di bawah ini.
Karena ABC = BCA = 78o dan CAB = 24
o , maka
BEC = ABE + BAE = 27o + 24
o = 51
o, sehingga BC = EC .
Kita mendapatkan bahwa:
BDC = DAC + ACD = 24o + 54
o = 78
o,
maka BC = CD.
Jadi, CD = CE dan CDE = CED = 63o, maka
BED = DEC BEC = 63o 51
o = 12
o.
9. Perhatikan gambar di bawah ini.
A
24o
51o
51o
24o
54o
E
D
C B
N L
P
B
A
C
D
55 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
.Luas ABP 96482
1 PNABPNAB
Luas CDP 192962
1 PLABPLCD
288)( PLPNAB
288NLAB
Luas persegi panjang ABCD = 288
Luas ABP + Luas BCP + Luas CBP + Luas DAP = 288
48 + 40 + 96 + Luas DAP = 288
Luas DAP = 288 – (48 + 40 + 96) = 104 dm2
Jadi, luas DAP adalah 104 dm2.
10. 7,0pv liter/detik
30t menit
500.10L cm2
Volume bak = 0,7 liter/detik 30 menit
= 0,7 dm3/detik 30 60 detik
= 1.260 dm3
= 1.260.000 cm3
LtpltV
120500.10
000.260.1
L
Vt cm
Jadi, tinggi bak tersebut adalah 120 cm.
11. Pada PAB : )(180o baP
Pada QCD : )(180 o dcQ
Pada REF : )(180 o feR
Pada SGH : )(180o ghS
+
56 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
)(720o fedcbaSRQP
)(720360 oo fedcba
o360 fedcba
12. Misalnya BP = DQ = x, maka PC = CQ = (1 – x) m.
22 1 xAP 222 )1()1( xxPQ 2242 xx 22 APPQ
22 1242 xxx 0142 xx
12
114)4()4( 2
2,1
x
2
4164
2
124
2
324 32
321 x (ditolak) atau 322 x (diterima)
Substitusikan 32 x ke persamaan 22 1 xAP , maka diperoleh:
22 1 xAP 2321 33441 348
Luas APC = 34
2AP3
4
348 332 332 m
2
Jadi, luas APQ adalah 332 m2
A B
C D
P
Q 1 x
1
1 x
1
x
x
Rumus Kuadrat (rumus abc):
1. Akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax adalah x1 dan x2 dapat
ditentukan oleh rumus: a
acbbx
2
42
2,1
2. Luas segitiga sama sisi (L) yang memiliki panjang sisi adalah a ditentukan
oleh rumus: 34
2aL
57 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
13. a. Sifat dari segi-6 beraturan adalah bahwa panjang jari-jari lingkaran luarnya sama
dengan panjang sisinya. Dengan menghubungkan diagonal-diagonal segi-6
beraturan, maka akan terjadi 6 buah segitiga sama sisi yang kongruen.
Berdasarkan sifat-sifat tersebut, maka dapat disimpulan bahwa RST = 120o,
dan suplemennya TSC = 60o, sehingga TSC adalah segitiga sama sisi.
Akibatnya CS = SR = RB = 1 satuan.
BC = 3 SR = 3 1 = 3 satuan.
b. Luas segi-6 bearturan PQRSTU = 6 luas TSC
Luas ABC = 9 luas TSC
Rasio luas segi-6 beraturan PQRSTU dengan luas
ABC = (6 luas TSC) : (9 luas TSC)
= 2 : 3
R
R
a = R
60o
58 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 7
1. Carilah jumlah semua bilangan dua angka, sehingga jika bilangan itu dibagi dengan
jumlah angka-angkanya hasilnya adalah 4 dan sisanya 3.
2. Diberikan bahwa nn yx habis dibagi oleh yx untuk n adalah bilangan ganjil
positif. Carilah yx yang merupakan bilangan prima yang merupakan faktor dari
1515 32 .
3. Masukkan angka 1, 2, 3, ..., 9 ke dalam kotak berikut, sehingga memperoleh hasil
perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).
4. Bilangan 10200000 memiliki 5 nol berurutan. Berapakah banyaknya angka nol
yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian 1 2 3 4 5 . .
. 2006?
5. Suatu bilangan bulat 2n merupakan bilangan prima jika faktornya hanya n dan 1.
Misalnya N menyatakan perkalian 2006 bilangan prima yang pertama. Berapa
banyakkah angka 0 diakhir bilangan N?
6. Tentukan jumlah bilangan yang merupakan faktor prima dari bilangan berbentuk
abcabc.
7. Jika 446135 yx dan 224723 yx dipenuhi oleh yxp 2 , carilah nilai
pp 43 2 .
8. Diketahui Rx dan 168532
28622
22
yxxyyx
yxxyyx. Carilah nilai y.
59 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
9. Ayah yang baru saja meninggal dunia meninggalkan seorang istri, 5 orang putra, dan
4 orang putri. Di samping itu almarhum juga meninggalkan uang sebesar Rp
7999,29 juta. Sebelum meninggal Ayahnya mewasiatkan bahwa masing-masing
putra harus menerima tiga kali lebih banyak dibanding yang diterima oleh masing-
masing putrinya, dan masing-masing putrinya menerima dua kali lebih banyak
dibanding yang diterima oleh ibu mereka. Berapa jumlah uang yang diterima
istrinya ?
10. Diketahui a, b, dan c bilangan real positif dan a + b + c = 1. Tunjukkan bahwa
3
1 acbcab .
11. Tentukan jumlah diagonal segi-n, jika jumlah sudut segi-n itu adalah 1.440o.
12. Temukan jumlah dari sudut-sudut yang ditandai pada diagram berikut ini.
13. Dinda merencanakan memotong persegi yang diarsir dari segitiga. Jika sisi dari
segitiga 8 cm, 15, cm, dan 17 cm, berapa besar ukuran persegi itu?
C
A B
D
E
e
b
c
d
a
1
1
1
1
1
60 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 7
1. Misalnya bilangan itu mempunyai angka puluhan t dan angka satuan u, dengan
angka-angka itu berbeda maka
utut
ut
34
10
34410 utut
336 ut
12 ut
12 tu
t 12 tu Bilangan yang diminta
1 11)1(2 u 11 (ditolak)
2 31)2(2 u 23 (diterima)
3 51)3(2 u 35 (diterima)
4 71)4(2 u 47 (diterima)
5 91)5(2 u 59 (diterima)
Semua bilangan dua angka itu adalah 23, 35, 47, dan 59.
Jadi, jumlah semua bilangan dua angka itu = 23 + 35 + 47 + 59 = 164.
2. 1515 32 dapat dibagi oleh 2 + 3 = 5.
5353 32 dapat dibagi oleh 23 + 3
3 = 8 + 27 = 35 = 5 7.
3535 32 dapat dibagi oleh 25 + 3
5 = 32 + 243 = 275 = 5
2 11.
Jadi, faktor-faktor prima yang diminta adalah 5, 7, dan 11.
3. Perhatikan pola berikut ini:
61 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
a. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, dan 4 ke dalam kotak sehingga memperoleh hasil
perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).
b. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 ke dalam kotak sehingga memperoleh
hasil perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).
c. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 ke dalam kotak sehingga memperoleh
hasil perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).
d. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 ke dalam kotak sehingga memperoleh
hasil perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).
e. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan 8 ke dalam kotak sehingga
memperoleh hasil perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai
sekali).
Solusi dari semua masalah itu adalah:
a. 41 32
b. 431 52
c. 631 542
d. 742 6531
e. 8531 7642
Jadi, agar memperoleh hasil perkalian yang tersbesar, maka kotak-kotak itu harus
diisi oleh angka-angka 76421 853 9.
62 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
4. 51 = 5 menghasilkan 1 angka 0.
52 = 25 menghasilkan 2 angka 0.
53 = 125 menghasilkan 3 angka 0.
54 = 625 menghasilkan 4 angka 0.
2006 : 5 = 401
2006 : 25 = 80
2006 : 125 = 16
2006 : 625 = 3
Jadi, banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian
1 2 3 4 5 … 2003 adalah 401 + 80 + 16 + 3 = 500 buah.
5. Bilangan prima: 2, 3, 5, 7, …
Perkalian bilangan prima yang menghasilkan angka 0 hanya bilangan prima 2 dan 5.
Perkalian 2006 bilangan prima yang pertama ...117532 0...
Jadi, banyak angka 0 di akhir bilangan perkalian 2006 bilangan prima yang pertama
adalah 1.
6. abcabc = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c
= (100000 + 100)a + (10000 + 10)b + (1000 + 1)c
= 100100a + 10010b + 1001c
= 1001(100a + 10b + c)
= 1001abc
= 7 11 13(abc)
Bilangan prima yang merupakan faktor dari bilangan yang berbentuk abcabc adalah
7, 11, dan 13.
Jadi, jumlah jumlah bilangan yang merupakan faktor prima dari bilangan berbentuk
abcabc = 7 + 11 + 13 = 31.
7. )22(2)4723(2 yx 44)9446 yx
446135 yx
03311 yx
63 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
yx 3
yx 3 446135 yx
4461)3(35 yy
4461105 yy
4444 y
1y
12321
3
yyyyxp
y
yx
143)1(4)1(343 22 pp
Jadi, nilai dari pp 43 2 adalah 1.
8. 168532
28622
22
yxxyyx
yxxyyx
68532286 2222 yxxyyxyxxyyx
0816448 2 yxxyy
0242 2 yxxyy
0122 2 xxyyy
0)1()1(2 2 yxy
0)22)(1( xyy
01y atau 022 xy
1y
1y 022 xy
02)1(2 x
0x
Jadi, nilai dari y adalah 1.
9. Misalnya jumlah uang yang diterima oleh x juta rupiah, maka
putrinya menerima masing-masing = x2 juta rupiah.
64 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
putranya menerima masing-masing = x6 juta rupiah.
29,999.7)2(4)6(5 xxx
29,999.739 x
11,205x
Jadi, jumlah uang yang diterima istrinya adalah Rp 205,11 juta.
10. 0)( 2 ba abba 222 ………. (1)
0)( 2 ca acca 222 ………. (2)
0)( 2 cb bccb 222 ………. (3)
Jumlahkan ketiga persamaan itu, maka kita memperoleh:
)(22 222 bcacabcba
bcacabbcacabcba 2222
)(312
bcacab
3
1 acbcab (qed)
11. Rumus jumlah sudut segi-n o180)2( n
oo 440.1180)2( n
o
o
180
440.12 n
82 n
10n
Jumlah diagonal segi-n dirumuskan sebagai: )3(2
1nn
Jumlah diagonal segi-10 35)310(102
1
12. o
11111 180)25( EDCBA
oooooo 540180180180180180 edcba
65 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
o360 edcba
Kita dapat menyimpulkan bahwa jumlah sudut luar segi-n adalah 360o.
13. Misalnya panjang sisi persegi adalah x, maka
15:8:)8( xx
xx 8)8(15
xx 815120
12023 x
23
55x cm
Jadi, persegi terbesar memiliki ukuran panjang sisi adalah 23
55 cm.
x
8 x
15
17 x
66 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 8
1. Carilah sisa pembagian apabila bilangan 10.327 dan 11.351 dibagi dengan bilangan
yang terdiri atas tiga digit masing-masing memberikan sisa yang sama.
2. Manakah di antara bilangan berikut yang rasional?
a. 20,04 c. 8 e.
b. 232232 d. 3,14 f. 2232
3. Nyatakan dalam hasil bagi bilangan rasional.
a. 2,005 c. 0,444… e. 31,253253…
b. 19,54 d. 0,6565…
4. Jika a dan b rasional, p dan q irrasional, apa yang dapat dikatakan tentang bilangan:
a. ba c. qp e. ap
b. pa d. p2 f. pq
5. Sederhanakan setiap bentuk berikut ini.
a. ...222 c. 3 3 3 ...:16:16:16 e. ...121212
b. 3 3 3 ...999 d. ...666
6. Hitunglah nilai dari 1100...1312
1100...1312333
333
7. Untuk berenang satu mil dalam kolam renang siku empat tertentu. Orang harus
berenang menempuh jarak panjang kolam 80 kali, atau menempuh keliling kolam 22
kali.. Berapa yar persegi luas kolam renang itu?
67 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
8. Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang
tubuhnya. Tubuhnya tiga perempat dari panjang keseluruhan. Panjang kepalanya 10
cm. Berapa panjang total ikan itu?
9. Fauzan mempunyai binatang peliharaan ayam dan kambing. Setelah dihitung jumlah
kakinya ada 140, sedangkan kepalanya ada 44 ekor. Berapakah rasio banyak ayam
dengan kambing yang dimiliki Yuda?
10. Segitiga ABC sama kaki, D adalah titik pada sisi BC sehingga EAD = 30o; E
adalah titik pada sisi AC sehingga AD = AE. Hitung ukuran dari EAD.
11. Jika ABCD adalah sebuah persegi dan AB = 12 cm, hitung luas daerah yang diarsir.
12. Gambar ABCD adalah persegi dari sisi 1 cm. Diberikan bahwa AE = 0,8 cm dan CF
= 0,2 cm, temukan luas bagian daerah yang diarsir.
13. Diberikan segitiga ABC, dengan 34AB cm , 10BC cm, dan 4AC cm.
a. Dapatkah segitiga ABC dikonstruksi?
b. Bagaimanakah caranya menentukan luas segitiga ABC?
c. Berapakah luas segitiga ABC?
B C
E F
D A
A B
D C
68 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 8
1. Misalnya sisa pembagian itu adalah s, maka:
Bilangan pertama: p
sk
p
327.10skp 327.10
Bilangan kedua: p
sc
p
351.11scp 351.11
Perbedaan antara kedua bilangan itu adalah 024.1)( pck .
Faktor-faktor dari 1.024 yang terdiri dari tiga digit adalah 128, 256, dan 512
merupakan pembagi dari bilangan-bilangan itu. Pada pembagian 10.327 dan 11.351
dengan 512 memberikan sisa yang sama, yaitu s = 87.
2. a. 20,04 (bilangan rasional)
b. 22232232232 14184 (bilangan rasional)
e. 228 (bukan bilangan rasional)
f. 3,14 (bilangan rasional)
g. = 3,14… (bukan bilangan rasional)
h. 222
2323222232 182224 22222 (bukan
bilangan rasional)
Jadi, yang merupakan bilangan rasional adalah butir a, b, dan d.
3. a. 200
401
1000
2005005,2
b. 50
977
100
195454,19
c. Strategi 1:
Misalnya ...444,0x , maka
...44,410 x
69 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
...444,0x
9x = 4
9
4x
Jadi, 9
4...444,0 .
Strategi 2:
0,444… = 0,4 + 0,04 + 0,004 + …
a = 0,4 dan 1,04,0
04,0r
9
4
9,0
4,0
1,01
4,0
1
r
aS
Jadi, 9
4...444,0 .
Catatan: 0,444… biasa ditulis juga sebagai 4,0 .
d. Strategi 1:
Misalnya ...6565,0x , maka
...65,65100 x
...6565,0x
99x = 65
99
65x
Jadi, 99
65...6565,0 .
Strategi 2:
0,6565… = 0,65 + 0,0065 + 0,000065 + …
70 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
a = 0,65 dan 01,065,0
0065,0r
99
65
99,0
65,0
01,01
65,0
1
r
aS
Jadi, 99
65...6565,0 .
Catatan: 0,6565… biasa ditulis juga sebagai 65,0 .
e. Strategi 1:
Misalnya ...253253,31x , maka
...253,312531000 x
...253253,31x
999x = 31222
999
31222x
Jadi, 999
31222...253253,31 .
Strategi 2:
31,253253… = 31 + 0,253 + 0,000253 + …
a = 0,253 dan 001,0253,0
000253,0r
999
253
999,0
253,0
001,01
253,0
1
r
aS
Jadi, 999
31222
999
25331...253253,31 .
Catatan: 31,253253… biasa ditulis juga sebagai 253,31 .
4. a. ba adalah rasional. d. p2 adalah irrasional.
b. pa adalah irrasional. e. ap adalah irrasional, jika 0a .
c. qp adalah irrasional. f. pq adalah tak dapat dikatakan.
71 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
5. a.. Misalnya ...222x , maka
xx 2
xx 22
0)2( xx
0x (ditolak) atau 2x (diterima)
Jadi, 2...222
b. Misalnya 3 3 3 ...999x , maka
3 9xx
xx 93
0)2( 2 xx
0)3)(3( xxx
0x (ditolak) atau 3x (ditolak) atau 3x (diterima)
Jadi, 3...9993 3 3
c. Misalnya 3 3 3 ...:16:16:16x , maka
3 :16 xx
xx :163
164 x
2164 x
Jadi, 2...:16:16:163 3 3
d. Misalnya ...666 x , maka
xx 6
xx 62
062 xx
72 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
0)2)(3( xx
3x (diterima) atau 2x (ditolak)
Jadi, 3...121212
e. Misalnya ...121212 x , maka
xx 12
xx 122
0122 xx
0)3)(4( xx
4x (diterima) atau 3x (ditolak)
Jadi, 3...121212
6. Gunakan hubungan ))(( 2233 babababa kemudian lakukanlah observasi
pada dua fungsi 1)( 2 xxxf dan 1)( 2 xxxg . Kita memperoleh hubungan
bahwa )1()( xfxg . Sebagai ilustrasi: 1100100)100( 2 g =
19999)99()1100( 2 ff dan sebagainya.
1100...1312
1100...1312333
333
110010019999...122101...543
110010019999...12299...321222
222
1011003
101012
5050
3367
7. Misalnya panjang kolam renang y yar dan lebarnya x yar. Kita pilih yar karena
kuantitas yang diinginkan, luas adalah yar persegi.
Ada 1760 yar dalam 1 mil, sehingga terdapat 80y = 1760 atau y = 22.
Dari berenang mengikuti keliling terdapat 22(2x + 2y) = 1760 atau 22(2x + 44) =
1760, sehingga x = 18 yar.
Jadi, luas kolam renang adalah 22 18 = 396 persegi yar.
73 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
8. Misalnya ,,, cba dan d adalah panjang kepala, panjang badan, panjang ekor, dan
panjang total, maka:
bac4
1 acb 44 … .... (1)
db4
3 bd
3
4 ……………. (2)
10a ……………. (3)
cbad .......... (4)
Substitusikan 10a ke persamaan (1), diperoleh:
bc4
110
404 cb ……... (5)
Substitusikan 10a dan bd3
4 ke persamaan (4), diperoleh:
cbb 103
4
cbb 33304
303 cb ………. (6)
Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh:
404 cb
303 cb
70 c
70c
Substitusikan 70c ke persamaan (6), diperoleh:
30)70(3 b
240b
Substitusikan 240b ke persamaan (2), diperoleh:
320)240(3
4d
Jadi, panjang total ikan adalah 320 cm.
74 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
9. Misalnya banyak ayam x ekor dan banyak kambing y ekor. Seekor ayam mempunyai
2 dua buah kaki dan seejor kambing mempunyai 4 buah kaki.
x + y = 44
x = 44 – y ………………….(1)
2x + 4y = 140
x + 2y = 70……………….(2)
Substitusikan x = 44 – y ke persamaan (2), diperoleh:
44 – y + 2y = 70
y = 70 – 44 = 26
Substitusikan y = 26 ke persamaan x = 44 – y, diperoleh:
x = 44 – 26 = 18
Jadi, rasio banyak ayam dengan kambing yang dimiliki Yuda = 18 : 26 = 9 : 13.
10. Karena segitiga ABC sama kaki, maka
wACDABC
ywADEAED
o180 ADCADB
ooo 18030180 yyww
o302 y
o15y
11. Perhatikan gambar di bawah ini.
A
B C
E
D
30o
w y w w+ y
w+ y
A B
D C
E
75 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Perhatikan CDE adalah sama sisi, maka:
Luas tembereng 32
1515
2
115π
360
60 2
o
o
3
4
225π
2
75cm
Luas daerah yang diarsir = 2 luas tembereng + luas CDE
32
1515
2
13
4
225π
2
752
34
2253
4
450π75
3
4
225π75 cm
2
12. Perhatikan gambar di bawah ini.
5
2
5
4
2
1
2
1 AEGH cm
10
1
5
1
2
1
2
1 CFHI cm
Luas segi-4 EIFG = Luas EFG + luas EIF
= HIEFGHEF 2
1
2
1
= )(2
1HIGHEF
B C
E F
D A
I
H
G cm8,0
cm2,0
76 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
=
10
1
5
21
2
1
=
10
5
2
1
= 0,25 cm2
Jadi, luas bagian yang diarsir adalah 0,25 cm2.
13. a. Suatu segitiga dapat dikonstruksi, jika jumlah dua sisinya lebih dari panjang sisi
yang lainnya.
ACBCAB
49,81,38,51034
b. Perhatikan diagram berikut ini.
a. Luas ABC = luas persegi panjang ABCD – luas BCQ – luas ABP
352
113
2
135
2
15
2
315
915
= 6 cm2.
A P
C
B Q
34 5
3
1
3
4
t
77 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 9
1. Temukan bilangan yang hilang dari ....2005
20042006
2005
2004 ?
2. Carilah bilangan yang lenyap dari 5
1
3
1
3
1
2
1...
5
1
4
1
3
1
2
11
3. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berkut ini.
4. Tunjukkan bahwa hasil kali dari empat bilangan positif yang berturutan adalah
bilangan bulat yang bukan bentuk kuadrat sempurna.
5. Apabila diberikan
4 7 = 63
3 5 = 34
6 4 = 52
8 9 = 145
Hitunglah 7 5 dan 12 9.
6. Diketahui rumus umum suatu deret: ,431 nn aa n 0, dan ao= 2. Carilah 100a .
7. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif ),( nm yang merupakan solusi
dari persamaan 124
nm.
8. Diberikan 3 buah bilangan real positif x, y, dan z, sedemikian sehingga x
z
z
y
y
x .
I T A M
4
A T I H
H
M
78 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Hitunglah nilai dari
15
100310051006
200320052006
yyx
zyx.
9. Annisa mempunyai 20 lembar uang di dompetnya. Dalam bentuk pecahan 10 ribu,
20 ribu dan 50 ribu. Total jumlah uangnya 500 ribu. Jika dia memiliki pecahan 50
ribu lebih banyak daripada 10 ribu. Berapa banyak pecahan 10 ribu yang ia miliki?
10. Masing-masing lingkaran I, II, dan III adalah
bersinggungan pada dua lingkaran yang lainnya.
Luas lingkaran-lingkaran itu masing-masing
adalah 81 cm2, 256 cm
2, 625 cm
2. Temukan
panjang keliling dari segitiga yang dibentuk
dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran
ini.
11. Perhatikan gambar di bawah ini. AB = 64 cm, BC
= 48 cm, CD = 36 cm, dan DE = 27 cm, dengan
AB, BC, CD, dan DE adalah diameter dibuat
setengah lingkaran. Carilah panjang busur
ABCDE.
12. Pada gambar berikut ini, tiga buah persegi mempunyai luas yang sama. Tentukan
apakah luas dari tiga daerah yang diarsir pada masing-masing persegi juga sama.
13. Garis tengah sebuah silinder diperkecil 10% dan tingginya diperbesar 20%.
Berapakah pengurangan volume silinder itu?
I
III
II
A C E D B
79 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 9
1. 20042005
200420051
2005
20042006
2005
2004
Jadi, bilangan yang hilang itu adalah 2004.
2. 5
1
4
1
3
1
2
11
5432
24304060120
5
1
3
1
3
1
2
1274
Jadi, bilangan yang hilang itu adalah 274.
3. H 4 harus kurang dari 10 (tidak ada yang dibawa), yaitu 1 atau 2.
H tidak mungkin 1, karena HITAM 4 bersatuan genap, maka haruslah H = 2.
Kalau H = 2, maka haruslah M = 8.
ITA 4 + 3 = ATI (ingat yang dibawa dari 8 4).
I 4 < 10, maka nilai I yang mungkin adalah 0, 1, atau 2, sehingga nilai yang
memenuhi adalah I = 1.
Akibat ini adalah haruslah A = 7.
T 4 + 3 menghasilkan angka akhir T dan dibawa 3, maka haruslah T = 9.
Jadi,
4. 15244321 2
1111205432 2
1193606543 2
1298407654 2
Misalnya empat bilangan positif itu adalah ,1,,1 nnn dan 2n , maka:
)2)(1()2)(1)()(1( 22 nnnnnnn
nnnn 22 234
1122 234 nnnn
1)1( 22 nn
21 978
4
87 912
80 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Jadi, perkalian empat bilangan positif yang berturutan adalah bilangan bulat yang
bukan berbentuk kuadrat sempurna.(qed).
5. Setelah melakukan uji coba, maka diperoleh bahwa secara umum a b = a2 + b
2
Jadi, 7 5 = 72 + 5
2 = 74 dan 12 9 = 12
2 + 9
2 = 225
6. a1 = 3 2 + 4
a2 = 3 (3 2 + 4) + 4 = 32 2 + 3 4 + 4
a3 = 3(32 2 + 3 4 + 4) + 4 = 3
3 2 + 3
2 4 + 3 4 + 4
Sehingga untuk an dapat ditulis dalam bentuk
an = 3n 2 + (3
n-1 + 3
n-2 +…+3
2 + 3 + 1)4
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri diperoleh
an = 3n 2 +
13
4)13(
n
an = 3n 2 + 2(3
n 1) = 8 3
n – 2
Jadi, nilai dari 100a = 8 3100
– 2
7. 124
nm
mnmn 24
nmmn 42
nmn 4)2(
2
4
n
nm
2
884
n
n
2
84
n
n
2
4
n
nm
),( nm
3 12 (3, 12)
4 8 (4, 8)
6 6 (6, 6)
10 5 (10, 5)
Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat positif ),( nm yang diminta ada 4 buah.
81 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
8. Misalnya kx
z
z
y
y
x , maka
ky
x kyx ………….(1)
kz
y kzy …………..(2)
kx
z kxz …………..(3)
Jumlah persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:
x + y + z = k(x + y + z)
k = 1
Sehingga x = y = z.
15
100310051006
200320052006
yyx
zyx15
100310051006
200320052006
xxx
xxx15
1004
2008
15
2
= 32768
9. Misalnya jumlah pecahan 50 ribu = x, pecahan 20 ribu = y, maka jumlah pecahan
10 ribu = )(20 yx , sehingga persoalan itu dapat dinyatakan sebagai berikut.
500)(20102050 yxyx
xy 430
Secara sistematis dapat ditentukan kemungkinan jawaban dengan mencoba
mensubstitusikan nilai x ke persamaan terakhir. Kita tidak dapat mensubstitusikan
nilai x = 1, 2, dan 3; karena akan menghasilakn jumlah pecahan uang yang lebih
dari 20. Perhatikan daftar kemungkinan berikut ini.
50 ribu (x) 20 ribu (y) 10 ribu
4 14 2
5 10 5
6 6 8
7 2 11
82 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Kita tidak dapat melajutkan untuk 7x , karena akan diperoleh nilai y negatif.
Dari 4 kemungkinan itu yang memenuhi syarat adalah empat pecahan 50 ribu, 14
pecahan 20 ribu, dan 2 pecahan 10 ribu.
10. π81IL π256IIL π625IIIL
π81π 2 Ir π256π 2 IIr π625π 2 Ir
812 Ir 2562 IIr 6252 IIIr
9Ir 16IIr 25IIIr
Jadi, panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan pusat-
pusat lingkaran ini IIIIII rrr = 9 + 16 + 25 = 50 cm.
11. Panjang busur ABCDE )π()π()π()π(2
1DECDBCAB
)27364864(14,32
1 = 274,75 cm
12. Pada gambar (a), jari-jari lingkaran adalah 4r, maka
Luas daerah yang diarsir = 22 π16)4π( rr
Pada gambar (b), jari-jari lingkaran adalah 2r, maka:
Luas daerah yang diarsir = 22 π16)2π(4 rr
Pada gambar (c), jari-jari lingkaran adalah r, maka:
Luas daerah yang diarsir = 22 π16)π(16 rr
Ternyata, luas dari tiga daerah yang diarsir pada persegi-persegi itu adalah sama.
13. Vulume tabung: tdVsemula
2
4
t
r
83 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Garis tengah tabung diperkecil 10%, maka: dddD10
9%10
Tinggi tabung diperbesar 20%, maka: tttT10
12%20
Vulume tabung sekarang:
tdVsekarang
10
12
10
9
4
2
td 2
41000
972
semulaV 972,0
Jadi, pengurangan volume silinder itu %8,2%100)972,01(
84 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 10
1. Jika 1 yx dan 1933 yx , tentukan 22 yx
2. Misalnya N adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat: bersisa 2 jika dibagi 5,
bersisa 1 jika dibagi 3, dan bersisa 5 jika dibagi 8. Carilah nilai N?
3. Carilah bilangan-bilangan pengganti huruf-huruf
,,,,, edcba dan f pada bintang-bintang ajaib,
sehingga jumlah bilangan-bilangan pada setiap
garis adalah sama.
4. Berapakah hasil dari 1002 – 99
2 + 98
2 – 97
2 +….+ 2
2 1
2?
5. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Carilah bilangan itu dan hasil
baginya!
6. Dinda pergi ke sanggar senam setiap 3 hari sekali, Annisa setiap 2 hari sekali, dan
Fitri setiap 5 hari sekali. Pada tanggal 24 September 2002 ketiganya datang
bersama-sama. Berapakah hari lagi mereka akan bersama-sama kembali ?
7. Seorang Ayah berkata kepada anaknya: “Kalau sekarang hari Rabu, 1000 hari
kemudian, jatuhnya pada hari apa, nak?” Coba bantulah anak itu untuk menentukan
hari yang diminta Ayahnya.
8. Diberikan 6 buah bilangan positif A, B, C, D, E, dan F; sehingga 29 BA ,
45 DC , 65 FE , 36AC , dan 312BE . Carilah nilai-nilai dari A, B, C,
D, E, dan F.
15 d
16
3
6
19
c
b a 2
85 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
9. Pada gambar di bawah ini, EOD = 45o dan panjang AB = OD. Cari besar EAD.
10. ABCD adalah trapesium dengan AB//CD. Panjang AB = a dan panjang CD = b. MN
sejajar AB dan membagi luas trapesium menjadi sama besar. carilah panjang MN.
11. Persegi panjang ABCD terbagi dalam empat persegi panjang yang sama. Berapa
panjang diagonal AC, jika AX = 29 cm dan AY = 41 cm?
12. Sebatang kawat baja yang panjangnya 72 cm dibagi menjadi dibagi menjadi tiga
bagian yang sama panjangnya. Dari bagian kawat tadi dijadikan alas kubus,
silinder, dan prisma segitiga beraturan yang tingginya masing-masing sama. Dari
ketiga bangun ruang itu, manakah yang mempunyai volume terkecil?
13. Luas sisi-sisi suatu balok yang berbeda masing-masing adalah 432 dm
2, 216 dm
2,
dan 288 dm2. Hitung volume dan panjang seluruh rusuk balok itu.
D
E
O C
B
A
45o
A B
N
C
a
b
D
M
A B
C D Y X
86 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 10
1. 1933 yx
19)(3)( 3 yxxyyx
19)1(3)1( 3 xy
183 xy
6xy
22 yx 13)6(2)1(2)( 22 xyyx
2. 5
2
5 a
N 25 aN ……………. (1)
3
1
3 b
N 13 bN …………….. (2)
8
5
8 c
N 58 cN ……………...(3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat persamaan 581325 cba ,
sehingga:
)15(3
1 ab ………………………….(4)
)35(8
1 ac …………………………(5)
Persamaan (4) dan (5) dipenuhi oleh a =7, b = 12, dan c = 4.
a = 7 25 aN 372)7(5
Jadi, nilai dari N adalah 37.
3. Jumlah bilangan pada setiap garis .40163615
44015219 cc
403191626 dbbadca
40221810 dbbada
8 db
18 db
102 b 15 13
16
3
6
19
4
5 17
2
2
+
87 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
135 db
5b 4018 ba 17a
Selengkapnya bintang-bintang ajaib dapat dilihat pada gambar.
4. Perhatikan pola berikut.
22 – 1
2 = 3 = 1 + 2.
42 – 3
2 = 7 = 3 + 4.
62 – 5
2 = 11= 5 + 6.
Sehingga dapat disimpulkan bentuk deret
1002 – 99
2 + 98
2 – 97
2 +….+2
2 - 1
2 = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97 + 98 + 99 + 100
50502
)1100(100
Jadi, hasil dari 1002 – 99
2 + 98
2 – 97
2 +….+ 2
2 – 1
2 adalah 5050.
5. 72 = 8 9. Karena itu:
1) ba1989 habis dibagi dengan 8, sehingga b89 habis dibagi 8, maka haruslah
6b .
2) ba1989 habis dibagi dengan 9, sehingga 339891 aba , maka
haruslah 3a .
Jadi, bilangan yang diminta adalah 319896 dan hasil baginya adalah 4443.
6. Dinda pergi ke sanggar setiap 3 hari sekali: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,
…
Annisa pergi ke sanggar setiap 2 hari sekali: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,
24, 26, 28, 30, 32, …
Fitri pergi ke sanggar setiap 5 hari sekali: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
Lebih sederhana dengan menentukan KPK dari 3, 2, dan 5, yaitu 3 2 5 = 30.
Jadi, mereka akan bersama-sama kembali setelah 30 hari.
7. Dalam satu pekan ada 7 hari yang sepadan dengan bilangan jam tujuhan. Kita
anggap angka-angka pada jam tujuhan dan hari-hari dalam dalam sepekan terdapat
hubungan korespondensi satu-satu.
88 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
1) Hari Rabu menunjuk angka 3.
2) Seribu hari kemudian sepadan dengan 1000 angka
berikutnya setelah jarum menunjuk angka 3.
3) Satu putaran penuh jarum jam melewati 7 angka,
maka 1000 hari kemudian sepadan dengan 142 putaran
penuh ditambah 7
6 putaran atau 1000 = 14 2 7 + 6 .
4) Pada permulaan jarum menunjuk angka 3, maka setiap putaran penuh jarum jam
pasti ia kembali menunjuk angka 3, sehingga 1000 kemudian jarum jam
menunjuk angka 3 seratus empat puluh dua kali kemudian angka 2 pada jam
tujuhan yang sepadan hari Selasa.
Jadi, apabila sekarang hari Rabu, maka seratus hari kemudian adalah hari Selasa.
8. 312BE 13323 . Pilihan untuk B adalah 13, 24, 8, 26. Hanya B = 26 yang
mungkin, sehingga:
B = 26 29 BA
2926 A
3A
3A 36AC
363 C
12C
12C 45 DC
4512 D
33D
B = 26 312BE
31226 E
12E
12E 65 FE
0
6
5 4
3
1 2
Bilangan jam tujuhan: 0 1 2 3 4 5 6
Hari dalam sepekan : Minggu Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu
89 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
6512 F
53F
Jadi, nilai-nilai dari A, B, C, D, E, dan F berturut-turut adalah 3, 26, 12, 33, 12, dan 53.
9. Perhatikan gambar di bawah ini.
Misalnya αEAD .
Karena AOB sama kaki, maka αAOB .
α2180o ABO .
α2α2180180 oo EBO .
Karena BOE sama kaki, maka α2OEB .
α4180α2α2180 oo BOE .
α3α4180α180 oo EOD
α345o
o15α
Jadi besar EAD adalah o15 .
10. Perhatikan gambar berikut ini.
BY sejajar dengan AD. Dan tinggi BXN dan BYC berturut-turut h dan H.
Misalkan panjang MN adalah x. maka HN adalah (x – a) dan YC adalah (b – a),
sehingga bisa diperoleh :
D
E
O C
B
A
r
r
r r
45o
C
A B
N
a
a D
M
h
H-h
b-a
X
Y
x-a
90 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
ab
ax
YC
XN
H
h
)(
)(
ab
axHh
2 (Luas ABNM) = Luas ABCD
2
)(
2
)(2
Hbahax
Hba
ab
axHax
2
)()()(
)()(2 2222 abHaxH
2222 22 abax
22
212 bax
22
21 2 bax
Jadi, panjang MN adalah 22
21 2 bax .
11. Misalnya panjang sisi-sisinya x dan y, maka
2222 29 yxAX
AY 2
= (2x)2 + y
2 = 4x
2 + y
2 = 41
2
AY 2
– AX 2 = (4x
2 + y
2) – (x
2 + y
2) = 41
2 – 29
2
x 2
= 280
AC 2
= (4x)2 + y
2 = 16x
2 + y
2 = 12x
2 + (4x
2 + y
2) =12(280) + 41
2 = 5041
5041AC = 71 cm
Jadi, panjang diagonal AC adalah 71 cm.
12. Misalnya tinggi dari masing-masing bangun ruang itu adalah t dm.
91 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Panjang masing-masing kawat baja 243
72 t
Panjang rusuk kubus 64
24 t dm
Volume kubus: 21663 kubusV liter
Keliling alas silinder: rK 2
r 224
12r
Volume silinder: trVsil
2
612
2
silV
7
22
864 275 liter
Panjang rusuk alas prisma 83
24 dm
Luas alas prisma segitiga beraturan, alasnya berbentuk segitiga sama sisi
34
82
316 dm2.
Volume prisma segitiga tegak: 08,16673,1966316 prismaV liter
Jadi, dari ketiga bangun ruang itu yang memiliki volume terkecil adalah prisma
segitiga tegak.
13. 432pl ……………..(1)
288pt ………………(2)
216lt ……………….(3)
Hasil kali persamaan (1), (2), dan (3)
menghasilkan:
216288432 ltptpl
3325342 323232)( plt
8122 32)( plt
l p
t
288 dm2
432dm2
216 dm2
92 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
812 32 plt = 46 32 184.58164 liter
Jadi, volume balok itu adalah 5.184 liter.
Substitusikan pl = 432, pt = 288, dan lt = 216 berturut-turut ke persamaan plt =
5.184, maka diperoleh:
pl = 432 plt = 5.184
432t = 5.184
t = 5.184 : 432 = 12 dm
pt = 288 plt = 5.184
288l = 5.184
l = 5.184 : 288 = 18 dm
lt = 216 plt = 5.184
216p = 5.184
p = 5.184 : 216 = 24 dm
4(p + l + t) = 4(24 + 18 + 12) = 216 dm
Jadi, panjang seluruh rusuk balok adalah 216 cm.
93 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 11
1. Diberikan persamaan: edcba 9738 . Dapatkah anda mensubstitusikan atau
mengganti huruf-huruf yang diberikan itu, dengan menggunakan angka-angka yang
belum digunakan dari 1 sampai 9, agar menjadi pernyataan yang benar?
2. Dapatkah Anda menemukan pembagian dan perkalian suatu bilangan, sehingga
bilangan-bilangan 1 sampai dengan 9 hanya muncul sekali, baik di kedua ruas atau
sebuah ruas saja?
3. Dapatkah Anda menemukan pola bilangan berikut ini!
313 1535
824 2446
4. Tanpa melakukan pembagian langsung, apakah bilangan 250.673.976 habis dibagi
8 ?
5. Carilah bilangan-bilangan pengganti huruf-huruf ,,,,, edcba dan f pada bintang-
bintang ajaib, sehingga jumlah bilangan-bilangan pada setiap garis adalah sama.
6. Hitunglah 100020071
100020061...
100031
100021
100011
33333
f
8
e c d
b
14
20
12 a 3
7
94 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
7. Berapakah jumlah digit bilangan 20032002 52 ?
8. Hitunglah nilai dari 98019800
1...
43
1
32
1
21
1
9. Jika x dan y adalah bilangan real sedemikian, sehingga 443 23 xyx dan
83 23 yxy , carilah nilai dari 22 yx .
10. Ada dua buah kubus besar dan kubus kecil. Selisih panjang rusuknya adalah 3 cm
dan jumlah volumenya adalah 2.457 liter. Berapa panjang rusuk kedua kubus itu?
11. Sebuah kubus hampa mempunyai panjang sisi 8 cm, setengahnya terisi air. Sebuah
kubus pejal dengan panjang sisi 4 cm ditempatkan di dalam kubus hampa itu.
Berapakah kenaikan tinggi air dalam kubus itu.
12. Desain bendera suatu negara diperlihatkan pada diagram di bawah. Ukuran bendera
itu adalah panjang = 100 cm dan lebar 60 cm. Ketiga gambar pada bendera itu
memiliki rasio luas yang sama. Carilah diameter lingkaran itu.
13. Titik T terletak di dalam ABC.
TP AB, TQ BC, TR AC .
Buktikan bahwa 222 CRBQAP 222 RAQCPB
A B
C
T
P
Q R
95 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 11
1. 629174358
Jadi, 5a , 1b , 4c , 2d , dan 6e .
2. a. 15948
632.7 (pada kedua ruas muncul angka 1 sampai 9 hanya sekali)
b. 9742.583.16678.253.149 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1
sampai 9)
c. 632.547.8916195.287.34 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1
sampai 9)
d. 351.249.8768153.749.62 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1
sampai 9)
3. 313 214121212 22
824 819131313 22
1535 15116141414 22
2446 24125151515 22
1111 222 mmmm
4. Bilangan-bilangan yang habis dibagi:
a. Jika suatu bilangan berakhir dengan digit genap, maka bilangan itu habis dibagi
2.
b. Jika suatu bilangan jumlah digitnya habis dibagi 3, maka bilangan itu habis
dibagi 3.
c. Jika suatu bilangan dua digit terakhirnya habis dibagi 4, maka bilangan itu
habis dibagi 4.
d. Jika suatu bilangan digit akhirnya 0 atau 5, maka bilangan itu habis dibagi 5.
e. Jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3, maka bilangan itu habis dibagi 6.
96 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
f. Jika suatu bilangan tiga digit terakhirnya habis dibagi 8, maka bilangan itu
habis dibagi 8.
Oleh karena bilangan 250.673.976, dengan tiga digit terakhirnya 976 habis dibagi
8, yaitu 122, maka bilangan 250.673.976 pasti habis dibagi 8, yaitu 31.334.247.
5. 2820314123 adda
781431214 baeeba
14123 afedc
29722 afbaa
22 baf
fba 12714123
221929 baba
1222 ab
6 ab
Andaikan jumlah bilangan pada setiap garis = 40, maka:
114014123 aa
5611 b
9211 d
137511 e
1622511 f
6.
100020071
100020061...
100031
100021
100011
33333
100020071
100020061...
1000101...
100031
100021
100011
333333
100020071
100020061...
100010001...
100031
100021
100011
33333
100020071
100020061...11...
1000271
100081
100011
33
100020071
100020061...0...
1000271
100081
100011
33
0
16
8
13 2 9
5
14
20
12 11 3
7
97 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
7. 20032002 52 552 20022002 5)52( 2002 2002105
Jadi, jumlah digit bilangan 20032002 52 adalah 2003 digit.
8. 98019800
1...
43
1
32
1
21
1
98019800
98019800...
43
43
32
32
21
21
98019800...433221
98011
991
= 98
9. 443 23 xyx
2223 443 xyx
193696 42246 yxyxx ………(1)
83 23 yxy
2223 83 yxy
6496 24426 yxyxy …………...(2)
Penjumlahan persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
20009966 2442422466 yxyxyxyxyx
200033 642246 yyxyxx
2000322 yx
322 2000 yx 3 210
Jadi, nilai dari 22 yx adalah 3 210 .
98 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. Misalnya panjang rusuk kubus yang besar adalah (x + 3) dm, maka panjang rusuk
kubus yang kecil adalah x dm, sehingga:
457.2)3( 33 xx
457.227279 323 xxxx
0430.22792 23 xxx
0430.22792 23 xxx
0)270272)(9( 2 xxx
9x
Jadi, panjang rusuk kubus besar 12 dm dan panjang rusuk kubus kecil 9 dm.
11. Volume kubus pejal = 64444 cm3.
Luas permukaan alas kubus = 6488 cm2.
Jadi, kenaikan tinggi air dalam kubus itu 164
64 cm
12. Luas bendera 600060100 cm2.
Luas lingkaran 3
6000
20004
2
d
20004d
14,3
8000
14,3
8000 5,50 cm
Jadi, diameter lingkaran itu adalah 50,5 cm.
13. Perhatikan CRT dan CQT.
Menurut Dalil Pythagoras:
222 CRTRCT …………….(1)
222 QCTQCT …………….(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
22 CRTR 22 QCTQ ……..(3) A B
C
T
P
Q
99 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Perhatikan ART dan APT.
Menurut Dalil Pythagoras:
222 TPAPAT …………….(4)
222 TRRAAT …………….(5)
Dari (4) dan (5) diperoleh:
22 TPAP 22 TRRA ……..(6)
Perhatikan BPT dan BQT.
Menurut Dalil Pythagoras:
222 BQTQBT …………..(7)
222 PBTPBT …………...(8)
Dari (7) dan (8) diperoleh:
22 BQTQ22 PBTP ……..(9)
Jumlah dari persamaan (3), (6), dan (9) diperoleh:
22 CRTR 22 TPAP 22 BQTQ 22 QCTQ + 22 TRRA + 22 PBTP
222 CRBQAP 222 RAQCPB (qed)
100 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 12
1. Dapatkah Anda menemukan pola bilangan berikut ini!
1231412 22 34791634 22
2354923 22 459162545 22
2. Sebuah kombinasi angka yang terdiri dari tiga angka, yaitu 9, 5, dan x . Apabila
angka-angka itu dibalik dan mengurangi angka semula, maka hasilnya akan
memuat angka-angka yang sama tetapi dalam urutan yang berlainan. Temukan
angka x ?
3. a) Dengan bilangan berapa 59 harus dikalikan agar diperoleh 5959 ?
b) Dengan bilangan berapa 43 harus dikalikan agar diperoleh 434343 ?
c) Carilah empat bilangan prima yang hasilkalinya dengan sebarang bilangan
berangka ab menghasilkan bilangan berangka enam ababab.
d) Selidiki pengaruh hasil kali 13710173 terhadap bilangan berangka dua ab.
4. Isikan bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 10 ke dalam lingkaran-lingkaran
dengan suatu cara tertentu, sehingga jumlah ke empat bilangan itu pada masing-
masing sepanjang sisinya adalah 21. Carilah nilai x , kemudian isilah lingkaran-
lingkaran itu!
5. Angka-angka 1 sampai 9 dapat diisikan ke dalam lingkaran-lingkaran kosong pada
segitiga dalam berbagai cara, sehingga jumlahnya sepanjang sisi sama. Tetapi
x
Jumlah 21
Jumlah 21
Jumlah 21
101 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
sekarang dapatkah anda menemukan susunan semacam itu dengan sifat selain
jumlah sepanjang sisinya sama, juga jumlah kuadrat sepanjang sisinya sama?
6. Hitunglah 39999963999994 dan 999899999898 .
7. Sederhanakanlah 521028521028 .
8. Berapakah hasil perkalian
2222 2007
11...
4
11
3
11
2
11 ?
9. Nilai-nilai a, b, dan c memenuhi sistem persamaan
7
13
12
1
ca
accb
bcba
ab
.
Tentukanlah nilai dari bca )( .
10. Tentukan semua bilangan tiga angka, sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali
jumlah ketiga angka itu.
11. Pada seperempat lingkaran dibuat sebuah lingkaran yang menyinggung batas-batas
seperempat lingkaran itu. Tentukan persentase luas lingkaran di dalam seperempat
lingkaran besar itu!
2
1 3 6 7
9
5
4
8
102 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
12. Perhatikan gambar berikut ini.
a. Buktikan bahwa 222 cba (Dalil Pythagoras)
b. Jika luas trapezium ABCD = 18 cm2 dan ba 2 , hitunglah panjang c.
13. Titik T terletak di dalam ABC.
CF AB, TP AB, TQ BC, TR AC .
Jika ABC adalah segitiga sama sisi, buktikan
bahwa CF = TP + TQ + TR.
A B
C
D
E a
a b
c c
b
A B
C
T
F P
Q R
103 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 12
1. Misalnya bilangan pertama m dan bilangan kedua n , maka dapat dinyatakan
bahwa:
nmnmnmnmnm 122 .
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola bilangan itu memenuhi hubungan
1 nm , sehingga nmnm 22 .
2. Bilangan x95 sama artinya dengan x 1051009 .
Bilangan x95 dibalik menjadi 59x yang sama artinya dengan 9105100 x .
x 50900 )950100( x 590100 x
796199 x
4x
Jadi, 4x .
3. a) 59 101 = 5959
b) 43 1001 = 434343
c) Faktor dari 10101 = 3 7 13 37
abababab 371373
Jadi, empat bilangan prima yang diminta adalah 3, 7, 13, dan 37.
d) Hasil kali dari 73 101 137 = 1010101
Jadi, abababababab 101010113710173
4. Misalnya angka-angka dari lingkaran tengah x ke atas adalah a, b, dan c; angka-
angka dari lingkaran tengah x ke kiri bawah adalah d, e, dan f; dan angka-angka
dari lingkaran tengah x ke kanan bawah adalah g, h, dan i; maka
10...321 ihgfedcbax = 55)101(1021
63212121)()()( ihgxfedxcbax
63)(2 ihgfedcbaxx
63552 x
104 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
82 x
4x
Dengan demikian, angka yang diletakkan pada lingkaran paling tengah adalah 4
dan angka- angka yang lainnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
5. 2 + 7 + 3 + 8 = 20
2 + 9 + 4 + 5 = 20
5 + 1 + 6 + 8 = 20
1268372 2222
1265492 2222
1268615 2222
6. 39999963999994 )44000000)(64000000(
244000000)46(1016 12
00241599996000
999899999898 )1011000000(1021000000(
103022030000000001000000000
029996970103
7. Misalnya 521028521028 x , dengan x > 0, maka
521028521046425210282 x
2
10
5
4
3
6 8
1 7
9
Jumlah 21
Jumlah 21
Jumlah 21
2
5 8 1 6
9
4
7
3
105 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
5264162 x
154162 x
54122 x
5412 x
20212 x
210 x
Jadi, bentuk sederhana dari 521028521028 adalah 210 .
8.
2222 2007
11...
4
11
3
11
2
11
=
2007
11
2007
11...
4
11
4
11
3
11
3
11
2
11
2
11
=
2007
2008
2007
2006...
4
5
4
3
3
4
3
2
2
3
2
1 1 2008
2 2007
1004
2007
9. 2
1
ba
ab
2
ab
ba
211
ba……..(1)
Jumlah persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:
12222
cba
6111
cba………………(4)
Substitusikan 211
ba, 3
11
cb, dan 7
11
caberturut-turut ke persamaan
(4), maka diperoleh:
3
1
cb
bc
3
bc
cb
311
cb……..(2)
7
1
ca
ac
7
ac
ca
711
ca……..(3)
106 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
211
ba 6
12
c
4
1c
311
cb 63
1
a
3
1a
711
ca 67
1
b 1b
1
4
1
3
1)(
bca 12
12
11
Jadi, nilai bca )( adalah 12.
10. Misalnya bilangan tiga angka itu adalah abc, maka
)(3010100 cbacba
cbacba 30303010100
0292070 cba ………………………(1)
Kita asumsikan 0c , maka persamaan (1) menjadi:
0)0(292070 ba
02070 ba
027 ba ……………………………….(2)
Persamaan (2) dipenuhi oleh a = 2 dan b = 7.
Jadi, bilangan tiga angka yang diminta adalah 270.
11. 222 ABOBOA
222)( rrrR
222 22 rrRrR
02 22 rRrR
12
442 22
rrrR
12
222
rrR
2rrR
r
r r
r O
A
B
R
107 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Nilai yang memenuhi adalah 21 rR atau 12 Rr
%100
12%100
2
22
2
2
R
R
R
r %100223
Persentase luas lingkaran di dalam seperempat lingkaran besar itu
adalah %100223 .
12. a. Luas trapesium ABCD = luas AED + luas BEC + luas DEC
))((2
1baba 2
2
1
2
1
2
1cabab
222 22 cabbaba
222 cba
b. Luas trapesium ABCD = ))((2
1baba
18 = )2)(2(2
1bbbb
36 = 9b2
b2
= 4
24 b cm
ba 2 = 2(2) = 4 cm
2024 22222 bac
5220 c cm
Jadi, panjang c adalah 52 cm.
13. Luas ABC = luas ABT + luas BTC + luas ATC
AFAB2
1TPAB
2
1TQBC
2
1TRAC
2
1
Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka
AB = BC = AC = k, sehingga
AFk TPk TQk TRk
AF = TP + TQ + TR (qed)
A B
C
D
E a
a b
c c
b
A B
C
T
F P
Q R
108 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 13
1. Seorang guru menulis persegi ajaib 33 menggunakan angka-angka sampai
dengan 9 pada papan tulis. Seseorang telah menghapus, kecuali dua buah
bilangan. Lengkapilah persegi ajaib itu.
2. Carilah pengganti huruf-huruf ,,,, dcba dan e dari 1 sampai dengan 8, sehingga
jumlah bilangan sepanjang setiap sisi sama dengan bilangan yang tercantum di
dalam pusat siku empat ajaib.
3. Diberikan
1
1
1
1
17
30
dc
b
a , dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat.
Carilah nilai dari dcba .
8
7
6 6
4 d
5
a b
7
c
12
3 7 d
e
5 a
c
b
14
d c 7
4
a 1
b
6
15
(2) (1) (3)
109 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
4. Diberikan tiga bilangan bulat positif a, b, c sedemikian, sehingga a
c
c
b
b
a .
Carilah cba
cba
.
5. Buktikan bahwa nnn2
1
2
1...321 2
6. Carilah nilai dari
2222
11...
4
11
3
11
2
11
n.
7. Carilah bilangan bulat terbesar x untuk x32320 ?
8. Diberikan 3 bilangan real p, q, dan r yang memenuhi sistem persamaan
qpr
pqr
rpq
.
Jika A menyatakan himpunan penyelesaian dari system persamaan itu, carilah
banyak anggota himpunan A.
9. Pada gambar ditunjukkan sebuah benda pejal yang dibangun dari kubus-kubus
dengan sisi 1 dm. Carilah luas permukaan dan volume bangun itu.
10. Diketahui keliling segitiga ABC siku-siku di C adalah 24 cm. Panjang sisi-sisinya
merupakan 3 buah bilangan yang berurutan, dengan selisih antara dua bilangan
yang berurtan adalah sama. Hitunglah luas segitiga itu.
110 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
11. Diameter setengah lingkaran yang besar sama 2 satuan. Carilah jari-jari lingkaran
yang kecil.
12. Pada gambar berikut ini AB // CD, BC // DE, A = 25o, E = 55
oA = w.
Hitunglah nilai w.
13. Perhatikan gambar berikut ini.
Panjang AD = AE = 6 cm, AB = 10 cm,
BAD = 30o, dan CDE = 15
o.
a. Buktikan bahwa B = C.
b. Hitunglah panjang CE.
A B
C D
E
F
25o
wo
55o
30o
15o
6 cm
10 cm A
E D
B
C
111 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 13
1. Dalam persegi ajaib, jumlah bilangan pada baris, kolom, dan diagonal masing-
masing adalah sama.
Karena pesegi ajaib 33 , hanya diisi oleh angka-angka dari 1 sampai dengan 9,
maka jumlah semua sel adalah 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45. Dengan demikian, jumlah
bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonal masing-masing = 45 : 3 = 15.
Selengkapnya persegi ajaib 33 disajikan pada diagram di samping.
2. (1) 11265 aa
21246 dd
31227127 ccdc
8123112 bbcba
Jadi, nilai ,3,8,1 cba dan 2d
(2) 61435 ee
41473 dd
1
455
ac
cbbadcbba
Untuk 2111 ca
81415145 bbba
Jadi, nilai ,2,8,1 cba dan 4d
(3) 81561 aa
31548154 ddda
21576 bb
51573157 cccd
Jadi, nilai ,5,2,8 cba dan 3d
1 8 6
5 3 7
9 4 2
6 4 2
5
1 8
7
3
12 (1)
3 7 4
6
5 1
2
8
14 (2)
3 5 7
4
8 1
2
6
15 (3)
112 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
3.
13
17
11
17
30
4
13
11
11
4
13
11
11
1a , 1b , 3c , dan 41d atau 3d
dcba 83311
Jadi, nilai dari dcba adalah 8.
4. Deret n ...321 adalah deret aritmetika (deret bilangan asli), dengan a = 1, b
= 2 – 1, dan nun .
nnnn
uan
S nn2
1
2
11
22
2 (qed)
5. Karena a
c
c
b
b
a , maka
c
b
b
a 2bac
c
ba
2
a
c
c
b 2cab
22
cbc
b 33 cb cb
a
c
b
a 2abc 222 acb cba
cba
cba
3
3
a
a
aaa
aaa
6.
2222
11...
4
11
3
11
2
11
n
n
n
n
n 11...
4
5
4
3
3
4
3
2
2
3
2
1
n
n
2
1
7. x32320 x520 23
x234
113 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
812 x
Karena x adalah bilangan bulat, maka nilai x yang paling mendekati yang
merupakan bilangan bulat terbesar adalah 6.
8. Dengan mengalikan ketiga persamaan yang diberikan, kita memperoleh:
pqrpqr 2)(
0)( 2 pqrpqr
0)1( pqrpqr
0pqr atau 1pqr
Untuk 0pqr , kita memperoleh p = 0, q = 0, r = 0.
Substitusikan pq = r, qr = p, dan pr = q berturut-turut ke persamaan pqr = 1, maka
diperoleh:
pq = r pqr = 1
r2 = 1
1r
Solusi dari sistem persamaan itu dapat disajikan pada table berikut ini.
p 0 1 1 1 1
q 0 1 1 1 1
r 0 1 1 1 1
A = {(0,0,0), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)}
Bilangan cardinal himpunan A adalah n(A) = 6.
Jadi, banyak anggota himpunan A adalah 6 buah.
9. Permukaan kubus yang terlihat sebanyak 10 buah.
Luas permukaannya = )11(610 = 60 dm2
Banyak kubus = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 buah.
Vulume bangun itu = 20 (1 1 1) = 20 liter.
qr = p pqr = 1
p2 = 1
1p
pr = q pqr = 1
q2 = 1
1q
114 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. Strategi Biasa:
Keliling: 24 cba
bca 24 ………..….(1)
Sisi-sisinya berurutan dengan beda sama: a, b, c, maka
bcab
cab 2 ………………………….(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
bb 242
243 b
83:24 b
8b 16 ca …………..…….(3)
222 bac
222 acb
))((2 acacb …………………(4)
Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh:
)2)((2 bacb
bbbac2
12:2
4)8(2
1 ac
ac 4 ………………………….(5)
Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh:
ac 4 16 ca
164 aa
122 a
62:12 a
6a 10644 ac
Luas ABC = BCAC 2
1 2468
2
1 cm
2.
B
A
C
b
a
c
115 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Strategi Cerdas:
Jika sisi-sisi segitiga siku-siku merupakan bilangan yang berurutan dengan beda
antara dua sisi yang berurutan itu sama, maka rasio sisi-sisinya adalah 3k : 4k : 5k
atau 3 : 4 : 5.
Untuk soal di atas, kita mengerjakannya sebagai berikut.
ka 3 , kb 4 , dan kc 5
24 cba
24543 kkk
2412 k
2k
6)2(3 a , 8)2(4 b , dan 10)2(5 c
Luas ABC = ba2
12486
2
1 cm
2.
11. 15002
1 xyL
3000xy
Menurut Dalil Pythagoras: 722585222 yx
72252)( 2 xyyx
7225)3000(2)( 2 yx
1225)( 2 yx
35 yx
Jadi, kelilingnya = 120853585 yx
10. 222 )()( RrarR
222 )22()( RrrRrR
22222 442 RrRrRrRrR
064 2 RrR
0)32( rRR
85
x
y
R
R r
R
r
a
116 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
R = 0 (ditolak) atau Rr3
2 (diterima)
Rr3
2 )1(
3
2
3
2
Jadi, jari-jari lingkaran yang kecil adalah 3
2 satuan.
12. AFC = DEF = 55o (sudut sehadap)
CFE = 180o 55
o = 125
o
AFB = CFE = 125
o
ABF = 180
o – (
BAF + AFB)
= 180o – (25
o + 125
o)
= 30o
DCF = ABF = 30
o
CDE = 360
o – (
DCF + CFE + DEF)
wo = 360
o – (30
o + 125
o + 55
o)
wo = 150
o
Jadi, nilai w adalah 150.
13. a. Misalnya sudut B = x dan C = y, maka
DEC = 180o – y – 15
o
DEA = 180o – (180
o – y – 15
o)
= y + 15o
ADB = 180o – x – 30
o
ADC = 180o – (180
o – x – 30
o)
= x + 30o
ADE = x + 30o – 15
o
= x + 15o
Karena ADE adalah sama kaki, dengan AD = AE, maka haruslah:
ADE = DEA
x + 15o = y + 15
o
55o
A B
C D
E
F
25o
wo
55o
55o
30o
15o
9 cm
15 cm A
E D
B
C
x
y x + 15o
y + 15o
117 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
x = y
Jadi, terbukti bahwa B = C.
b. Akibat B = C, maka ABC sama kaki, sehingga:
AB = AC
AB = AE + CE
15 = 9 + CE
CE = 6 cm
Jadi, panjang CE adalah 6 cm.
118 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 14
1. Berapa banyak angka 0 (angka nol) yang digunakan untuk menuliskan semua
bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1000?
2. Carilah sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor dan hasil kali 8
faktor itu adalah 331776.
3. Suatu kelas mempunyai 45 siswa. Dalam tes matematika yang terdiri dari 4
pertanyaan,
38 siswa menjawab 1 pertanyaan dengan benar,
35 siswa menjawab 2 pertanyaan dengan benar,
31 siswa menjawab 3 pertanyaan dengan benar, dan
42 siswa menjawab 4 pertanyaan dengan benar.
Sekurang-kurangnya berapa banyak siswa yang menjawab 4 pertanyaan dengan
benar?
4. Laras pergi ke tempat kursus setiap 3 hari sekali, Yuda setiap 2 hari sekali, dan
Dinda setiap 4 hari sekali. Pada tanggal 6 Maret 2006 ketiganya datang bersama-
sama. Berapakah hari lagi mereka akan bersama-sama kembali yang ketiga
kalinya?
5. Carilah bilangan yang terdiri dari 4 angka dan berbentuk kuadrat sempurna yang
memenuhi syarat:
a. angka ribuan = angka puluhan.
b. angka ratusan = 4 lebihnya dari angka satuan.
6. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli n: 2)12(...531 nn .
119 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
7. Buktikanlah bahwa !2006
2005
!2005
2004...
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!2006
1!2006 .
Catatan:
Notasi n! dibaca n faktorial. Didefinisikan bahwa n! = 1 2 3 … (n 1) n.
Di samping itu didefinisikan pula bahwa 0! = 1 dan 1! = 1. Sebagai ilustrasi:
a. 2! = 1 2 = 2 d. 5! = 1 2 3 4 5 = 120
b. 3! = 1 2 3 = 6 e. 6! = 1 2 3 4 5 6 = 720, dan sebagainya.
c. 4! = 1 2 3 4 = 24
8. Diketahui ABC siku-siku di C, dengan AC = 8 cm dan BC = 6 cm. CD adalah
garis tinggi pada sisi AB. Hitunglah AB, CD, AD, dan BD.
9. Jika BC = 30 cm, AB = 20 cm, dan ED = 40 cm, carilah AC, AE, dan AD.
10. Diberikan persegi panjang ABCD, dengan AB = 16 cm dan BC = 12 cm. Titik-titik
P, Q, R, S, E, F, G, dan H adalah titik tengah pada segmen garis (lihat gambar).
Carilah luas EFGH.
A B
C D
P
Q
R
S
E
F G
H
A
B
C
D E
120 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
11. Diberikan segitiga ABC, dengan D dan F masing-masing adalah titik tengah dari
sisi-sisi AC dan BC. Garis AF dan BD berpotongan di titik E. Carilah rasio luas
segitiga ABE dan luas segi-4 DEFC.
12. Perhatikan gambar berikut ini.
Garis m // garis n.
Buktikan bahwa o360 cba
13. Perhatikan gambar berikut ini. Hitunglah besar sudut x.
x
3x
m
n 4x
A
B
C
a b
m
n c
A
B
C
121 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 14
1. Misalnya bilangan itu adalah abba )4( dan 0a .
babaabba 10)4(1001000)4(
baba 104001001000
4001011010 ba
400)10(101 ba
Misalnya 400)10(1012 bak , maka
101
40010
2
kba
101
)20)(20(
kk
Dalam kasus ini 20k atau 20k harus dibagi 101, dan nilai k terletak antara 32
dan 99.
Ternyata nilai k yang memenuhi adalah 81k .
Jadi, bilangan yang diminta adalah 6561812 .
2. Deret )12(...531 n adalah deret aritmetika (deret bilangan ganjil), dengan
a = 1, b = 3 – 1 = 2, dan 12 nun
212122
nnn
uan
S nn (qed)
3. Perhatikan bagan berikut ini.
Bilangan Banyak angka 0
1 – 99 9
100 – 199 20
200 – 299 20
300 – 399 20
900 – 999 20
1000 3
20 9 = 180
Total bilangan = 192
122 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Jadi, banyak angka 0 (angka nol) yang digunakan untuk menuliskan semua bilangan
bulat dari 1 sampai dengan 1000 adalah 192 buah.
4. Misalnya 8 buah faktor bilangan bulat positif itu adalah ,1a ,2a ,3a …, 8a , dengan
11 a , na 8 , dan 54637281 aaaaaaaa , maka
3317764
81 aa
3317764n
4 331776n = 24
Jadi, sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor adalah 24.
5. 45 – (7 + 10 + 14 + 3) = 45 – 34 = 11.
Jadi, sekurang-kurangnya banyak siswa yang menjawab 4 pertanyaan dengan benar
adalah 11 orang.
6. Dinda pergi ke sanggar setiap 3 hari sekali: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,
36, 39, …
Annisa pergi ke sanggar setiap 2 hari sekali: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,
24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, …
Fitri pergi ke sanggar setiap 4 hari sekali: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …
Jadi, mereka akan bersama-sama kembali yang ketiga kalinya adalah setelah 36 hari.
Lebih sederhana dengan menentukan KPK dari 3, 2, dan 4, yaitu 3 22 = 12
mereka akan bersama-sama kembali yang ketiga kalinya setelah = 3 12 = 36
hari.
7. !2006
2005
!2005
2004...
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!2006
1
!2005
1
!2005
1
!2004
1...
!4
1
!3
1
!3
1
!2
1
!2
11
!2006
1
!2005
1
!2005
1
!2004
1...
!4
1
!3
1
!3
1
!2
1
!2
11
!2006
11
!2006
1!2006 (qed)
123 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
8. Menurut Dalil Pythagoras:
1068 2222 BCACAB cm
Luas ABC = CDABBCAC 2
1
2
1
AB
BCACCD
8,4
10
68
cm
4,696,408,48 2222 CDACAD cm
6,396,128,46 2222 CDBCBD cm
Kita boleh menghitung BD sebagai berikut.
6,34,610 ADABBD cm
9. Menurut Dalil Pythagoras:
13102030 2222 ABBCAC cm
ED
AB
AC
AE
ACED
ABAE 1351310
40
20 cm
BC
ED
AB
AD
ABBC
EDAD
3
8020
30
40 cm
10. Menurut Dalil Pythagoras:
20816 22 AC cm
1068 22 PSRSQRPQ
10 HFPQ cm
5 AHCF cm
Perhatikan bahwa PBQ dan HEF adalah
kongruen, maka
Luas EFGH = 2 luas HEF = 48682
12 cm
2
A B
C D
P
Q
R
S
E
F G
H
8 8
6
6
A
B
C
D
8 cm
6 cm
124 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
11. Luas ABD sama dengan luas CBD, kerena
mempunyai alas yang sama panjang dan tinggi
yang sama pula (D adalah titik tengan pada sisi
AC). Demikian pula luas ABF sama dengan
luas ACF, karena mempunyai alas yang sama
panjang dan tinggi yang sama pula (F adalah
titik tengah pada sisi BC). Dengan demikian,
Luas ABD = luas CBD = 2
1ABC
Luas ABF = luas ACF = 2
1ABC
Gabungan luas daerah ABD dan ABF sama dengan gabungan luas daerah AFC
dan BDC.
Gabungan luas daerah ABD dan ABF dikurangi jumlah luas ADE dan BEF
adalah 2 kali luas ABE sama dengan gabungan daerah AFC dan BDC dikurangi
jumlah luas ADE dan BEF adalah 2 kali luas DEFC.
Jadi, rasio luas segitiga ABE dan luas segi-4 DEFC = 1 : 1.
12. Perhatikan gambar di samping ini. Tarik garis PQ // m // n melalui titik B.
PBA = 180o – a
PBC = 180o – c
b = PBA + PBC
b = 180o – a + 180
o – c
a + b + c = 360o (qed)
13. Berdasarkan rumus yang telah dibuktikan pada soal nomor 11, kita dapat
menentukan besar sudut x sebagai berikut.
180o – x + 3x + 4x = 360
o
6x = 180o
x = 180o : 6 = 30
o
Jadi, besar sudut x adalah 30o.
A
C
B
E F D
a
b
m
n c
A
B P Q
C
125 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOAL-SOAL 15
1. Bilangan-bilangan 2005 dan 5002 dibagi dengan bilangan prima yang sama yang
terdiri dari dua angka memberikan sisa yang sama. Carilah sisa pembagian itu .
2. Buktikan bahwa angka satuan dari (1) + (1 2) + (1 2 3) + (1 2 3 4) + . .
. + (1 2 3 4 . . . 999 1000) adalah 3.
3. Berapa banyak bilangan bulat antara 1001 dan 9999 yang tepat memiliki 3 angka
identik?
4. Bilangan manakah yang paling kecil yang jika dibagi 7 bersisa 2 dan jika dibagi 5
bersisa 1?
5. Buktikan bahwa nnn 22...642 .
6. Buktikan bahwa hasil kali suku-suku barisan geometri a + ar + ar
2 + … + ar
n1
adalah )1(
2n
n
nra .
7. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 6. Jika m menyatakan banyaknya bilangan
yang terdiri dari dua angka yang dapat disusun dari angka-angka itu dan n
menyatakan banyaknya bilangan yang berlainan yang terdiri dari dua angka yang
dapat disusun dari angka-angka itu, carilah nilai m – n.
8. Misalnya 43 a , 54 b , 65 c , 76 d , 87 e , dan 98 f . Berapakah hasilkali
abcdef ?
9. Diketahui ABC siku-siku di C, dengan CD adalah garis tinggi pada sisi AB. Jika
AD = 16 cm dan BD = 9 cm, hitunglah AB, CD, AC, dan BC.
126 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
10. Diketahui ABC siku-siku di A. Titik-titik D, E, dan F berturut-turut adalah titik-
titik tengah BC, AC, dan AB. Buktikan bahwa 2225 CFBEAD .
11. Diberikan segi-4 ABCD, dengan AC BD, AP = PB, DQ = CQ, AC = 21 cm, BD =
212 cm. Carilah panjang PQ.
12. Perhatikan gambar berikut ini. Jika a = 20
o, b = 30
o, c = 2x
o, d = 25
o,
e = 24o, f = 36
o, dan g = 22
o. Hitung nilai x.
13. Perhatikan gambar berikut ini.
ABC = 2p, CBE = p, BED = 80o,
CDF = q, CDE = 2q. Hitunglah besar
BCD = 80o,
A
B
C
D
P
Q
E
A
B C
D
E F
G
m
n
a b
c d
e
f g
75o
p 2p
q
2q
A B
C
D
E
F
127 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
SOLUSI SOAL-SOAL 15
1. Misalnya bilangan itu adalah a, maka
a
cb
a
2005 b
aa
c
2005…………….(1)
a
cd
a
5002 d
aa
c
5002……………..(2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
da
ba
50022005
adab 50022005
20055002 abad
2997)( bda
3781)( bda
Bilangan prima yang terdiri dari dua angka adalah 37.
2. (1) + (1 2 ) + (1 2 3) + (1 2 3 4) + . . . + (1 2 3 . . . 999
1000)
Perhatikan 4 suku pertama:
Suku ke-1: 1 = 1 (angka satuan 1)
Suku ke-2: 1 2 = 2 (angka satuan 2)
Suku ke-3: 1 2 3 = 6 (angka satuan 6)
Suku ke-4: 1 2 3 4 = 24 (angka satuan 4)
Untuk 4 suku pertama dapat ditentukan angka satuannya sebagai berikut.
1 + 2 + 6 + 24 = 33, berari angka satuannya 3.
Perhatikan suku-suku ke-5, ke-6, dan seterusnya.
Suku ke-5: 1 2 3 4 5 = 120 (angka satuan 0)
Suku ke-6: 1 2 3 4 5 6 = 720 (angka satuan 0)
Suku ke-1000: 1 2 3 . . . 999 1000 (angka satuan 0)
128 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Dari semua suku itu dapat ditentukan angka satuannya sebagai berikut.
1 + 2 + 6 + 24 + 0 + 0 + … + 0 = 33 (angka satuan 3)
Jadi, terbukti, bahwa angka satuan dari (1) + (1 2) + (1 2 3) + (1 2 3 4) +
. . . + (1 2 3 4 . . . 999 1000) adalah 3.
3. Perhatikan bagan berikut ini.
Jadi, banyak bilangan bulat antara 1001 dan 9999 yang tepat memiliki 3 angka
identik = 8 + 8 9 + 27 9 = 8 + 9(8 + 27) = 8 + 9 35 = 8 + 315 = 323.
4. Misalnya bilangan itu adalah a.
Bilangan a dibagi 7 bersisa 2, maka a = 7 b + 2
Bilangan a dibagi 5 bersisa 1, sehingga a = 5 c + 1
Untuk a = 7 b + 2, diperoleh bilangan-bilangannya: 9, 16, 23, 30, 37, 44, ...
Untuk a = 5 c + 1, diperoleh bilangan-bilangannya: 6, 11, 16, 21, 26, 31, ...
Dari kedua barisan bilangan itu diperoleh persekutuannya adalah 16, sehingga
2000
3000
4000
9000
8
1222 2111 .. 9111
1333 2333 .. 9222
1444 2444 .. 9333
1999 2999 .. 9888
8 9
1011 1101 .. 1110
1211 1121 .. 1112
1311 1131 .. 1113
1911 1191 .. 1119
9 3 9 = 27 9
129 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
27
16 sisa 2 dan 3
5
16 sisa 1.
Jadi, bilangan yang paling kecil yang jika dibagi 7 bersisa 2 dan jika dibagi 5 bersisa
1 adalah 16.
5. Deret n2...642 adalah deret aritmetika (deret bilangan ganjil), dengan a =
2, b = 4 – 2 = 2, dan nun 2
nnnn
uan
S nn 22222
(qed)
6. a ar ar2 … ar
n1 = )1(...321 nn aa
= )11(
2
1
n
n
n aa
= )1(
2n
n
nra (qed)
7. Buatlah dua buah kotak:
Kotak pertama dapat diisi oleh 5 angka dan kotak kedua dapat diisi oleh 5 angka.
2555 m
Buatlah dua buah kotak:
Perhatikan kotak pertama dapat diisi oleh 5 angka dan kotak kedua dapat diisi oleh 4
angka.
2045 n
52025 nm
Jadi, nilai m – n adalah 5.
8. 535354
43
abba
b
a
636365
53
abccab
c
ab
5 4
5 5
130 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
737376
63
abcddabc
d
abc
837387
73
abcdeeabcd
e
abcd
9398
83
fabcde
f
abcde
93 abcdef
233 abcdef
2 abcdef
Jadi, hasilkali abcdef adalah 2.
9. Perhatikan gambar di samping ini.
25916 BDADAB cm
BDADCD 2
12916 CD
ABADAC 2
202516 AC cm
ABBDBC 2
15259 BC cm
Catatan:
BDADCD 2 , ABADAC 2 , dan ABBDBC 2 dinamakan Relasi Euclid.
10. Perhatikan gambar di samping ini.
A
B
C
D
16 cm
9 cm
A
B C D
E F
2
a
2
a
2
c
2
c
2
b
2
b
131 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Menurut Dalil Pythagoras dalam ABE dan AFC:
22
2
4BE
bc ……………..….(1)
2
22
4CF
cb ………………..(2)
Jumlah persamaan (1) dan (2) adalah
2222
4
5CFBEcb ………(3)
Sekarang kita menggunakan Dalil Pythagoras dalam ABC:
222 acb ……………………(4)
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3), diperoleh:
222
4
5CFBEa …………….(5)
Kita mengetahui bahwa panjang garis berat pada sisi miring adalah adalah setengah
panjang sisi miringnya.
2
aAD
ADa 2 ……………………….(6)
Substitusikan persamaan (6) ke persamaan (5), diperoleh
222)2(4
5CFBEAD
2225 CFBEAD (qed)
11. Perhatikan gambar di samping ini.
A
B
C
D
P
Q
E
R
132 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Gambarkan garis PR sejajar dengan AC dan garis QR sejajar dengan BD, sehingga
kedua garis ini berpotongan tegak lurus di titik R.
Dalam BCD diketahui bahwa DQ = CQ
dan QR // BD, maka CR = BR.
Sehingga 262
212
2
BDQR cm
Dalam ABC, diketahui bahwa AP = BP, maka BR = CR.
Sehingga 5,102
21
2
ACPR cm
Dalam PQR berlaku Dalil Pythagoras:
5,132
27
4
72926
2
21 22
22
QRPRPQ cm
Jadi, panjang PQ adalah 13,5 cm.
12. Jumlah sudut-sudut berlawanannya adalah sama. a + c + e + g = b + d + f
20o + 2x
o + 24
o + 22
o = 30
o + 36
o + 22
o
2xo + 66
o = 88
o
2xo = 22
o
x = 11
13. ABC + CBE + CDE + CDF = BED
2p + p + 2q + q = 75o
p + q = 25o
BCD = ABC + FDC
= 2p + 2q
= 2(25o)
= 50o
133 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
UJI PRESTASI 1
SOAL TIPE 1
Waktu 90 menit
PILIHAN GANDA
1. ....4444 4444
a. 27 b. 2
10 c. 1034 d. 5
4 e.512
2. Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 210, 42, dan 70 adalah….
a. 14 b. 210 c. 420 d. 7 e. 1260
3. Joko tidur dari pukul 9.20 tadi malam dan bangun pagi harinya pukul 4.35. Ia tidur
selama….
a. 4 jam 45 menit c. 5 jam 45 menit e. 19 jam 15 menit
b. 5 jam 15 menit d. 7 jam 15 menit
4. Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya
menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah….
a. 2,5% b. 5% c. 10% d. 15% e. 2%
5. Jika a dan b adalah bilangan bulat genap, dengan a>b, maka banyaknya bilangan
bulat ganjil di antara a dan b adalah….
a. 2
ba b. ba c.
2
2 ba d. 1ba e. Tidak dapat ditentukan
6. Di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 4 cm dibuat persegi ABCD, sehingga titik
sudut persegi tersebut berada pada lingkaran. Luas persegi ABCD tersebut adalah….
a. 64 cm2 b. 32 cm
2 c. 16 cm
2 d. 8 cm
2 e. 4 cm
2
134 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
7. Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B
dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah
berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?
a. 2 jam b. 3 jam c. 4 jam d. 5 jam e. 6 jam
8. Pada gambar di bawah ini, ABCD adalah persegi dan ABE adalah segitiga sama sisi.
Besar susut DAE adalah….
a. 15o b. 30
o c. 45
o d. 60
o e. 75
o
9. Faktorisasi prima dari 5220 adalah ….
a. 14532 22 c. 29532 22 e. 532 52
b. 9532 32 d. 75324
10. Harga sepotong kue turun dari Rp 250,00 menjadi Rp 200,00. Dengan uang Rp
4.000,00, berapa potong kue lebih banyak yang dapat dibeli sekarang?
a. 4 b. 8 c. 20 d. 2 e. 6
.
SOAL TIPE 2
ISIAN SINGKAT
11. Dengan menggunakan angka-angka 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 bilangan 8 angka terbesar
yang dapat dibentuk dengan syarat kedua angka 1 dipisahkan oleh satu angka yang
A B
C D
E
135 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
lain, kedua angka 2 dipisahkan oleh dua angka, kedua angka 3 dipisahkan oleh tiga
angka, dan kedua angka 4 dipisahkan oleh empat angka adalah….
12. Hasil kali suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah 840. Bilangan
ganjil yang terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah….
13. Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan
paling besar jika salah satu bilangannya adalah….
14. Perhatikan gambar berikut.
Banyaknya bulatan hitam pada gambar ke sepuluh adalah….
15. Banyaknya segitiga pada gambar berikut adalah….
16. Gambar bangun berikut disusun oleh 5 persegi yang kongruen. Kalau keliling
bangun ini 72 cm, maka luas bangun tersebut adalah….
136 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
17. Gambar bangun berikut, ABCD adalah persegi dengan sisi 6 satuan. Titik E dan F
membagi diagonal AC menjadi tiga bagian sama panjang. Luas segitiga DEF = ….
18. Diketahui sebuah bak berbentuk balok yang terisi penuh dengan air. Bak tersebut
akan dikosongkan dengan menggunakan pompa yang mampu menyedot air 0,7 liter
per detik. Dalam waktu 30 menit bak dapat dikosongkan tanpa sisa. Jika luas alas
bak adalah 10.500 cm2, maka tinggi bak tersebut adalah….
19. Hasil operasi terbesar yang dapat diperoleh dari penempatan angka-angka 4, 6, 7,
dan 8 pada kotak-kotak yang tersusun seperti di bawah ini adalah….
20. Pada sebuah peta dengan skala 1 : 100.000, luas tanah sebuah sekolah adalah 50
cm2. Luas tanah sekolah tersebut pada peta dengan dengan skala 1 : 200.000
adalah….
(Sumber: Olimpiade Matematika Tingkat Kota/Kabupaten 2003)
D
A B
C
E
F
137 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
UJI PRESTASI 2
Waktu 120 menit
TIPE PERTAMA
PILIHAN GANDA
1. ....49505050 22
A. 10 B. 100 C. 1.000 D. 10.000 E. 100.000
2. Persegi panjang besar berukuran 9 cm 5 cm. Daerah yang diarsir adalah satu-
satunya bangun di dalam persegi panjang yang bukan persegi. Berapakah luas
daerah tersebut?
A. 1,5 cm2 B. 2 cm
2 C. 3 cm
2 D. 3,5 cm
2 E. 4 cm
2
3. Jika b
ba
1, maka b dinyatakan dalam a adalah….
A. 21 ab C. 2
2
1 a
ab
E.
2
2
1 a
ab
B. 2
21
a
ab
D.
2
21
a
ab
4. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk 2
)1( nn, dengan n adalah
bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah….
A. 8 C. 10 E. 15
138 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
B. 9 D. 13
5. Joko mengalikan tiga bilangan prima berbeda sekaligus. Ada berapa faktor berbeda
dari bilangan yang dihasilkan?
A. 3 C. 5 E. 8
B. 4 D. 6
6. Persegi pada gambar di bawah ini memiliki luas satu satuan luas. Pecahan yang
menyatakan luas dari daerah yang tidak diarsir adalah….
A. 3
1
B. 5
2
C. 5
3
D. 7
3
E. 8
3
7. Pecahan t
sadalah pecahan sejati, jika ts , dan faktor persekutuan terbesarnya
adalah 1. Jika t memiliki nilai mulai dari 2 sampai dengan 9, dan s bilangan postif,
maka banyaknya pecahan sejati berbeda yang dapat dibuat adalah….
A. 26 C. 28 E. 36
B. 27 D. 30
8. 3% dari 81 sama dengan 9% dari ….
A. 27 C. 72 E. 243
B. 54 D. 90
9. Jumlah 101 bilangan bulat berurutan adalah 101. Berapakah bilangan bulat yang
terbesar di dalam barisan bilangan tersebut?
139 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
A. 51 C. 100 E. 150
B. 56 D. 101
10. Dengan menggunakan uang koin Rp 50,00; Rp 100,00; dan Rp 200,00; ada berapa
carakah kita menyatakan uang sebesar Rp 2.000,00?
A. 20 C. 95 E. 121
B. 65 D. 106
TIPE KEDUA
ISIAN SINGKAT
1. Pada gambar di samping, garis PQ dan garis RS sejajar, demikian juga garis PS dan
QT sejajar. Nilai x sama dengan….
2. Alex selalu berbohong pada hari-hari Kamis, Jumat, dan Sabtu. Pada hari hari lain
Alex selalu jujur. Di lain pihak Frans selalu berbohong pada hari-hari Minggu,
Senin, dan Selasa, dan selalu jujur pada hari-hari lain. Pada suatu hari, keduanya
berkata:”Kemarin Saya berbohong”. Hari mereka mengucapkan perkataan tersebut
adalah hari….
3. Semua n sehingga n dan 1
3
n
nkeduanya merupakan bilangan bulat adalah….
4. Misalnya 1132 10
11...
10
1
10
1
10
1N . Dalam bentuk decimal nilai N adalah ….
83o
xo
41o
P Q
S
T
R
140 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
5. Diberikan tempat air berbentuk kerucut (lihat gambar). Untuk mengisi air
sampai pada ketinggian t2
1diperlukan air sebanyak 38,5 liter. Dalam liter, volume
air yang diperlukan untuk memenuhi tempat tersebut adalah….
6. 132 jika dibagi dengan 13 akan memberikan sisa sama dengan….
7. Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola
dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh tiga ekor kambing untuk
menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah …. Hari.
8. Rata-rata sembilan bilangan adalah 6. Satu di antara ke sembilan bilangan dibuang.
Rata-rata delapan bilangan yang tinggal adalah 2
16 . Bilangan yang dibuang
adalah….
9. Jumlah semua angka pada bilangan 20032004 52 adalah….
10. Perhatikan gambar berikut. Panjang CP adalah….
(Sumber: Olimpiade Matematika Tingkat Kota/Kabupaten 2004)
t
t2
1
3
5
P
160
A B
C D
141 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
UJI PRESTASI 3
Waktu 120 menit
SOAL TIPE 1
ISIAN SINGKAT
1. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian setiap
titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan bilangan pada muka-
muka yang berdekatan dengannya. Nilai tertinggi bilangan pada titik sudut adalah ....
2. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = ....
3. Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari 00:00 sampai dengan
23:59, dimungkinkan terjadi penampakan bilangan Palindrome (bilangan yang
dibaca dari depan dan dari belakang sama nilainya, misalnya 12:21 dan 23:32).
Dalam satu hari satu malam, banyaknya bilangan Palindrome tersebut
menampakkan diri adalah ....
4. Untuk bilangan bulat a dan b, (a, b) artinya bilangan tak negatif yang merupakan
sisa ba jika dibagi oleh 5. Bilangan yang ditunjukkan oleh (–3,4) adalah ....
5. Bilangan 10-angka terbesar menggunakan empat angka 1, tiga angka 2, dua angka 3,
dan satu angka 4, sehingga dua angka yang sama tidak terletak bersebelahan adalah
....
9 5
7
1 3
11
142 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
6. Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu adalah 6, mak
hasil tambah dua bilangan itu adalah ....
7. Bentuk sederhana dari 154154 adalah ....
8. Suatu garis memotong sumbu-x di titik )0,(aA dan memotong sumbu-y di titik
)3,0(B . Jika luas segitiga AOB sama dengan 6 satuan luas dengan titik )0,0(O ,
maka keliling segitiga AOB sama dengan ....
9. Persegi Antimagic ukuran 4 4 adalah susunan persegi panjang dari bilangan-
bilangan 1 sampai dengan 16 sedemikian hingga jumlah dari setiap empat baris,
empat kolom, dan dua diagonal utamanya merupakan sepuluh bilangan bulat yang
berurutan. Diagram berikut ini menunjukkan sebagian dari persegi Antimagic ukuran
4 4. Berapakah nilai dari *?
10. 20042004
1....
44
1
33
1
22
1
11
122322
= ....
TIPE KEDUA
URAIAN
1. Enam belas tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Pertama-tama mereka
dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap
kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali.
Dua tim yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang
*
13
14
7 3 9
5
10 11 6 4
12
143 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
menggunakan sistem gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan
juaranya. Berapa banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebu
2. Pada gambar di bawah, ABCD adalah persegi dengan panjang 4 cm. Titik-titik P dan
Q membagi diagonal AC menjadi 3 bagian sama panjang. Berapakah luas PDQ?
3. Untuk bilangan real x didefinisikan
0,
0,
xjikax
xjikaxx , cari semua x yang
memenuhi 0322 xx .
4. Sebuah semangka yang beratnya 1 kg mengandung 93% air. Sesudah beberapa lama
dibiarkan di bawah sinar matahari, kandungan air semangka itu turun menjadi 90%.
Berapakah berat semangka sekarang?
5. Untuk bilangan real a dan b sembarang, buktikan bahwa 2)(222 baba .
(Sumber: Olimpiade Matematika Provinsi, 2004)
B
A
C
D
P
Q
144 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
UJI PRESTASI 4
Waktu 120 menit
TIPE PERTAMA
PILIHAN GANDA
1. 9,0
036,0 = ....
a. 0,002 c. 0,2 e. 20
b. 0,02 d. 2
2. Di antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang terletak di antara 15
11 dan
18
13.
a. 15
11 c.
18
15 e.
33
24
b. 15
13 d.
13
11
3. Perhatikan 3 barisan enam bilangan berikut.
(1) 8, 16, 32, 64, 128, dan 259
(2) 7, 11, 16, 22, 29, dan 37
(3) 2, 9, 2, 16, 2, dan 25
Manakah dari 3 barisan tersebut yang mungkin menjadi 6 suku berikutnya dari suatu
barisan bilangan yang tiga suku pertamanya adalah 1, 2, dan 4.
a. (1) c. (3) e. semua
b. (2) d. (1) dan (2)
4. Perhatikan gambar berikut.
Jika jarak terdekat titik-titik tersebut secara vertikal maupun horisontal adalah 2
satuan, maka luas daerah persegi pada gambar di atas adalah .... satuan luas.
145 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
a. 10 c. 20 e. 50
b. 40 d. 30
5. Uang sebesar Rp. 2000,- dapat dinyatakan dengan beberapa koin 50 rupiahan, 100
rupiahan, 200 rupiahan dan/atau 500 rupiahan. Diketahui ternyata bahwa uang
tersebut terdiri dari tepat dua koin 500 rupiahan, dan dua jenis koin lainnya. Dengan
mengikuti aturan tersebut, banyak cara yang mungkin untuk menyatakan uang
sebesar Rp. 2000,- dengan koin-koin tersebut adalah ....
a. 17 c. 100 e. 5
b. 20 d. 6
6. Sekumpulan data yang terdiri dari 5 bilangan asli memiliki rata-rata hitung 8 dan
rentang (selisih terbesar dan terkecil) 12. Bilangan asli terkecil yang tidak mungkin
menjadi anggota dari kumpulan tersebut adalah ....
a. 1 c. 18 e. 15
b. 20 d. 6
7. Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b, karena untuk a = 13 dan b
= –2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254, dan 1986
yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b?
a. 1983 c. 254 & 1986 e. tak ada
b. 254 d. semua
8. Tiga ekor ayam (Besar, Sedang, dan Kecil) ditimbang. Jika yang Besar dan Kecil
ditimbang, beratnya adalah 2,6 kg. Jika yang Besar dan Sedang ditimbang, beratnya
146 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
adalah 3 kg, dan jika yang Sedang dan Kecil ditimbang, beratnya adalah 2 kg. Berat
ketiga ayam tersebut seluruhnya adalah ....
a. 4 kg c. 3,8 kg e. 5 kg
b. 4,2 kg d. 4,6 kg
9. Salah satu faktor dari 173 – 5
3 adalah ....
a. 5 b. 13 e. 273
b. 17 c. 399
10. Bilangan yang ditunjukkan oleh 32213221
1
adalah ....
a. Bilangan irrasional positif d. Bilangan irrasional negatif
b. Bilangan rasional tidak bulat e. Bilangan bulat positif
c. Bilangan bulat negatif
TIPE KEDUA
ISIAN SINGKAT
1. 10 pasang suami istri mengikuti suatu pesta. Mereka kemudian saling berjabatan
tangan satu sama lain. Namun demikian, setiap pasang suami istri tidak pernah
saling berjabatan tangan. Maka banyaknya jabatan tangan yang terjadi adalah ....
2. Misalkan a dan b menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah.
Kelima lingkaran kecil berjari-jari r. Titik-titik pusat empat lingkaran kecil yang
menyinggung lingkaran besar merupakan titik-titik sudut persegi. Jika a sama
dengan 10 cm2, maka b = ....
b
a
147 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
3. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi satu satuan panjang. Misalkan P suatu
titik di dalam sehingga ukuran sudut APB adalah 1200. Jumlah luas daerah segitiga
APB dan segitiga CPD adalah ....
4. Untuk bilangan real a dan b didefinisikan suatu operasi * dengan aturan sebagai
berikut: a * b = (a b) + (a + b) dimana simbol dan + berturut-turut artinya adalah
perkalian dan penjumlahan bilangan biasanya. Tentukan nilai a yang memenuhi
ketentuan a * a = 3.
5. H adalah himpunan semua bilangan asli n demikian sehingga bentuk 3
1
n
n
menghasilkan bilangan bulat kurang dari 1, maka banyaknya himpunan bagian tak
kosong dari H adalah ....
6. Dalam satu tahun harga suatu mobil berkurang 10% dari harga tahun sebelumnya.
Paling sedikit berapa tahun sehingga harga mobil itu kurang dari setengah harga
semula?
7. Setiap kotak Piramid di samping akan diisi dengan bilangan. Mula-mula yang harus
diisi adalah kotak-kotak pada alas piramid. Kotak di atasnya diperoleh dari
menjumlahkan bilangan-bilangan yang ada di dalam dua kotak di bawahnya.
Andaikan dasar piramid hendak diisi dengan bilangan-bilangan 7, 12, 5, 4, dan 9,
berapakah nilai terbesar yang mungkin dari bilangan pada kotak teratas.
148 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
8. Bentuk sederhana dari )12005(2005
1....
20
1
12
1
6
1
2
1
adalah .....
9. Sebuah balok memiliki sisi-sisi yang luasnya 24 cm2, 32 cm
2, dan 48 cm
2.
Berapakah jumlah panjang semua rusuk balok tersebut?
10. Pompa air merek Tangguh sanggup memompa sebanyak 25 liter setiap menit.
Pompa merek Perkasa sanggup memompa air 400 cc setiap detik, sedangkan merek
Tahan Banting sanggup memompa 1,6 m3 setiap jam. Pompa manakah yang paling
cepat mengisi sebuah tangki air berkapasitas 500 liter?
(Sumber: Olimpiade Matematika Tingkat Kota/Kabupaten 2005)
149 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
DAFTAR PUSTAKA
Australian Mathematics Competition for the Wespac Awards, 2003-1999.
Bobrow, Jerry, 1985, Math Review for Standardized Test, Edisi Pertama,
Nebraska: Lincoln Incorporated.
Bolt Brian, 1989, Himpunan Permainan dan Teka-teki Matematika Yang
Mengasyikkan, Gramedia, Jakarta.
Bolster,L., Carey, 1996, Exploring Mathematics, Illionis: Scott Foresman and
Company.
Ee Teck Ee, 2003, Challenging Exercise on Elementary Mathematics, Web
Publication Pte Ltd, Printed in Singapore.
Haese, 1982, Competition Mathematics, Australia.
Hart, William L., 1968, Intermediate Algebra, Massachusetts: Prindle, Weber &
Schmidt Incorporated.
Hendra Yan, 2000, Tes Potensi Akademik, Gematama, Jakarta.
IMO Preliminary Selection Contest, 1988-1997, Hongkong Mathematical
Society IMO (HK) Committee.
Jurgensen, R.C., et al, 1985, Geometry, Boston: Houghton Mifflin Company.
Kumpulan Paket Pembinaan Calon Peserta IMO, 1996/19997, Depdikbud,
Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah, PPPG Matematika, Yogyakarta.
Lipschutz, Seymor, et. al. Alih Bahasa Silaban P. 1989, Teori Himpunan,
Jakarta: Erlangga.
Martono, K., 1986, Matematika SMTA, Bandung: Angkasa
Mullikin, A.M, 1960, Algebra and Its Use, Jilid I, New York: American Book
Company.
Naskah Seleksi Tim Olimpiade Matematika Indonesia.
Olimpiade Matematika diberbagai Negara (Canada, Afrika Selatan, dsb.)
Paket Pembinaan Untuk Siswa Penggemar Matematika, 2002, Depdiknas,
Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah, PPPG Matematika, Yogyakarta.
150 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs
Peter, Gilbert, M at al. 1995, Intermediate Algebra, Los Angeles: West
Publishing Company.
Rayner, David. 1989, Complete Mathematics for GSE and Standard Grade,
Oxford: Oxford University Press.
Scottish Group, 1990, Mathematics in Action, Alih Bahasa Kusrin Imam et al.
Jakarta: Erlangga.
Sembiring S., 2002, Olimpiade Matematika untuk SMU, Bandung, Yrama
Widya.
Silaban Nelson Idris, 1987, Logika dengan Matematika Dasar, Jakarta.
Singapore Mathematical Olympiad for Primary Shcools (1990 to 1994), 1994,
Pan Pacific Publication (s) PTe. Ltd., Singapore, Printed by: MCD Pte. Ltd.
Spiegel, R. Murray, 1989, Matematika Dasar, Alih Bahasa Kasir Iskandar,
Jakarta: Erlangga.
Tampomas Husein, 2003, Matematika Plus SMP (KBK), Jakarta: Yudhistita.
Tampomas Husein, 2003, Siap Menghadapi Olimpiade Matematika SD, Jakarta,
Grasindo.
Tampomas Husein, 1999, Seribu Pena Matematika SMU, Jakarta, Erlangga.
Tim BSDM, Persiapan Menghadapi Olimpiade Matematika Tingkat SD, PT.
Sumber Daya MIPA, Jakarta
Tim Psikolog, 2001, Latihan Psikotes dalam Bentuk Logika Matematika,
Bandung, Pustaka Setia.
Widenes, J., 1968, Aljabar Rendah Jilid I dan II, Jakarta: Pradnja Paramita.