![Page 1: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/1.jpg)
PapierfaltenEine wissenschaftliche Miniatur
![Page 2: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/2.jpg)
Was ist Papierfalten?
• Ein Streifen Papier wird gefaltetrechts über links
A
![Page 3: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/3.jpg)
Was ist Papierfalten?
• Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit einem Knick
• es ist ein Talknick oder Linksknick
Linkskurve
![Page 4: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/4.jpg)
Was ist Papierfalten?
• Das Falten des Papierstreifens wird iteriert, d.h. wiederholt ausgeführt
• Der einmal gefaltete Streifen wird ein zweites Mal gefaltet
A
![Page 5: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/5.jpg)
Was ist Papierfalten?
• Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit drei Knicken
• Linksknick, Linksknick, Rechtsknick
Linkskurve Linkskurve Rechtskurve
![Page 6: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/6.jpg)
Protokoll der ersten fünf Streifen
1. L
2. LLR
3. LLRLLRR
4. LLRLLRRLLLRRLRR
5. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
Es drängen sich viele Fragen auf
![Page 7: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/7.jpg)
Fragen
• Wie geht es mit den Buchstabenketten weiter?
• Wie lang sind die Ketten?
• Wie viele Rs und Ls gibt es jeweils?
• Kommt es zu Wiederholungen?
1. L
2. LLR
3. LLRLLRR
4. LLRLLRRLLLRRLRR
5. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
![Page 8: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/8.jpg)
1. L
2. LLR
3. LLRLLRR
4. LLRLLRRLLLRRLRR
5. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
Stufe 1 2 3 4 5 n
Anzahl der Rs
Anzahl der Ls
Anzahl aller Buchstaben
Antworten
0
1
1
1 3 7 15
2 4 8 16
3 7 15 31
2n−1 −1
2n−1
2n −1
![Page 9: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/9.jpg)
Antworten
Wie werden die Zeichenketten gebildet?
L L
R
LLR L
LRR
![Page 10: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/10.jpg)
Das Reflexionsgesetz
Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge
– abschreibt– ein L anhängt– den ersten Teil an
dem L „reflektiert“
Zur Anzeige wird der QuickTime™ Dekompressor „Graphics“
benötigt.
![Page 11: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/11.jpg)
Das Reflexionsgesetz
Beispiel: Von der 3. zur 4. Stufe
3. StufeLLRLLRR
LLRLLRRabschreiben
L L anhängenLLRRLRR
ersten Teil reflektieren
![Page 12: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/12.jpg)
Erkenntnis
• Wenn man einen Streifen Papier „rechts über links“ fortlaufend faltet und die Knicke mit einer LR-Folge notiert, so gilt für diese LR-Folgen das Reflexionsgesetz.
• Ist dieses eine mathematisch befriedigende Aussage?
![Page 13: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/13.jpg)
Erkenntnis
• Es entspricht eher der naturwissen-schaftlichen Arbeitsweisedenn
• Wir können das Reflexionsgesetz nicht für alle Papierstreifen beweisen.alle
![Page 14: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/14.jpg)
Naturwissenschaftliche, induktive Erkenntnisgewinnung
endlich viele Experimente
Gesetzmäßigkeit mit Allgemeinheitsanspruch
weitere Experimente
Abstraktion
Logik
VorhersageInduktion
![Page 15: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/15.jpg)
Der mathematische WegDefinition 1
Es sei A = {L,R} ein Alphabet und A* die Menge aller Wörter über diesem Alphabet.
Definition 2
Ist w=S1S2S3...Sk ein Wort aus A*, dann ist w=Sk...S3S2S1
mit S j =L wenn S j =R
R wenn S j =L
⎧⎨⎪
⎩⎪ , j =1...k
![Page 16: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/16.jpg)
Der mathematische WegDefinition 3
Es sei eine Funktion mit
:A* → A*w→ wLw
⎧⎨⎩
heißt Reflexionsoperator
Definition 4
Es sei wj( )j∈•
eine Folge von Wörtern aus A*, die rekursiv
definiert ist durch w1=L und wk =(wk−1)
![Page 17: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/17.jpg)
Der mathematische Weg
• Die Wörterw1 = Lw2 = (w1) = LLRw3 = (w2) = LLRLLRR, ... erfüllen alle mit Sicherheit das Reflexionsgesetz, denn sie wurden per Definition so konstruiert.
• Es ist aber kein Beweis des Reflexionsgesetzes möglich.
![Page 18: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/18.jpg)
Mathematische, deduktive Erkenntnis
Beispiele in der realen Welt
Gesetzmäßigkeit(per definitionem mit
Allgemeinheitsanspruch)
weitere Beispiele in der
realen Welt
Anwendung
Deduktion
Anwendung
weitere Gesetzmäßigkeit(mit Allgemeinheits-
anspruch per Beweis)
Idee
![Page 19: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/19.jpg)
Weitere Erkenntnisse
• Wo entstehen welche Knicke beim weiteren Falten?
x
x A
![Page 20: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/20.jpg)
Weitere Erkenntnisse
LLRLLRRLLLRRLRR
L R L R L R L R L R L R L R L L
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRL
L L R L L R R L L L R R L R R
![Page 21: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/21.jpg)
Das Inflationsgesetz
Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge
– auseinander zieht– vor, in die Lücken und hinter die Knickfolge
abwechseln L und R einfügt
![Page 22: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/22.jpg)
Zusammenhänge
• Reflexionsgesetz und Inflationsgesetz sind äquivalent
• d.h. die Knickfolge, die nach dem Reflexionsgesetz gebildet wird, stimmt in allen Symbolen mit der Knickfolge, die nach dem Inflationsgesetz gebildet wird, überein
![Page 23: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/23.jpg)
Zusammenhänge
• naturwissenschaftliche, realitätsbezogene Begründung:beide Gesetze sind nur verschiedene Betrachtungsweisen desselben Prozesses, nämlich Papierfalten
• Die Begründung ist vernünftig, aber nicht für alle Wörter wirklich geprüft
![Page 24: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/24.jpg)
Zusammenhänge
• formal deduktiver Beweis:– die Wörter, die mit dem Reflexionsgesetz definiert
werden
und– die Wörter, die mit dem Inflationsgesetz definiert
werden
sind an jeder Position im Wort gleich
• Der Beweis sichert diesen Zusammenhang für alle Wörter wn
![Page 25: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/25.jpg)
Gesetzmäßigkeiten1.L2.LLR3.LLRLLRR4.LLRLLRRLLLRRLRR5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR1234567890123456789012345678901 1 2 3
Welches Zeichen wird auf Position 92 stehen?
![Page 26: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/26.jpg)
Gesetzmäßigkeiten1. L2. LLR3. LLRLLRR4. LLRLLRRLLLRRLRR5. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
1234567890123456789012345678901 1 2 3
Eigenschaft Positionen
Position ungerade, Zeichen ist L
Position gerade, Zeichen ist L
Position ungerade, Zeichen ist R
Position gerade, Zeichen ist R
![Page 27: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/27.jpg)
Gesetzmäßigkeiten1. L2. LLR3. LLRLLRR4. LLRLLRRLLLRRLRR5. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
1234567890123456789012345678901 1 2 3
Eigenschaft Positionen
Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25
Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20
Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 13 27
Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30
![Page 28: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/28.jpg)
GesetzmäßigkeitenGesetz für die ungeraden Positionen:Dividiere die Platznummer mit Rest durch 4.Ist der Rest 1, so steht dort ein L,ist der Rest 3, so steht dort ein R.
Eigenschaft Positionen
Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25
Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20
Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 13 27
Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30
![Page 29: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/29.jpg)
GesetzmäßigkeitenLLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRL…123456789012345678901234567890123456… 1 2 3
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
/L/L/R/L/L/R/R/L/L/L/R/R/L/R/R/L/L/L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
Nach dem Streichen der ungeraden Positionen und Neunummerierung der verbleibenden Symbole erhält man wieder die Papierfaltungsfolge.
![Page 30: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/30.jpg)
GesetzmäßigkeitenGesetz für die geraden Positionen:Dividiere die Platznummer durch 2 und wende auf die neue Platznummer die beiden Gesetze an.Beispiel:
Eigenschaft Positionen
Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25
Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20
Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 13 27
Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30
92 :2⏐ →⏐ 46 :2⏐ →⏐ 23 :4,Rest⏐ →⏐ ⏐ 3→ R
![Page 31: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/31.jpg)
Geometrische Interpretation
• Die gefalteten Streifen werden so weit aufgefaltet, dass die Abschnitte einen rechten Winkel formen.
• Die Figuren werden so ausgerichtet, dass der erste Streifenabschnitt nach oben und der zweite nach links weist.
![Page 32: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/32.jpg)
1.Stufe
2.Stufe
3.Stufe
4.Stufe
5.Stufe
![Page 33: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/33.jpg)
Geometrische Interpretation
![Page 34: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/34.jpg)
Geometrische Interpretation
Weiterfalten
![Page 35: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/35.jpg)
Die Entfernung Anfang - Ende bleibt konstant
Geometrische Interpretation
![Page 36: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/36.jpg)
Geometrische Interpretation
![Page 37: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/37.jpg)
Geometrische Interpretation
Zur Anzeige wird der QuickTime™ Dekompressor „Grafik“
benötigt.
![Page 38: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/38.jpg)
Forschungsaufgaben
1.Das Falten geschieht nicht nur mit „rechts über links“, sondern auch mit „rechts unter links“.Die Knickfolge muss natürlich protokolliert werden.
A A
![Page 39: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/39.jpg)
Forschungsaufgaben
2.Die Knickfolge wird nicht mit L (Linksknick) und R (Rechts-knick) protokolliert, sondern mit N (Nord), W (West), S (Süd), O (Ost) für die Abschnitte.
Beispiel: (3. Stufe)
NWSWSOSW
![Page 40: Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur. Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081518/55204d6949795902118bf222/html5/thumbnails/40.jpg)
Forschungsaufgaben
3.Der Streifen wird in Drittel geknickt.linkes Drittel über die Mitte,rechtes Drittel über die Mitte
A
A A
1. Stufe: RR
2. Stufe:LLRRRRLL