Para duas ondas com a mesma amplitude e a mesma frequência angular
Superposição de ondas
tkxsenytxy m ,1 tkxsenytxy m,2
2
1
2
1cos2, tkxsenytxy m
amplitude na posição x termo oscilante
2
1cos
2
12sensensen
tkxsenytkxsenytxytxy mm,, 21
00 1 22 3 44 5 66 7 88 9 1010-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y
x
A de linha preta representa a onda resultante
Ondas Sonoras
InterferênciaBatimentos
Tempo
tsenptp o 11 tsenptp o 22
tsentptp médo
2
1cos2
21
221
méd
21 fffbat tffsentffptp o 2121cos2
É a frequência de batimento
O som que se ouve tem uma frequência média
221 ff
fméd
E uma amplitude de ftpo cos2
Com oscilação na frequência de batimento fbat = Df
Ex 16-2 Quando um diapasão de 440 Hz (nota lá de afinação de uma orquestra) soa simultaneamente com o som da corda lá de uma guitarra levemente desafinada, três batimentos por segundo são ouvidos. Aperta-se (estica-se) um pouco a corda da guitarra para aumentar sua frequência; a frequência de batimento aumenta para 6 batimentos por segundo. Conforme a corda da guitarra é levemente apertada, há um leve aumento em sua frequência de batimento. Qual era a frequência produzida pela corda da guitarra antes de ter sido apertada?
Diferença de fase devida à diferença de Percurso
As funções de onda para ondas originadas de duas fontes que oscilam em fase pode ser escritas como:
p1 = p0 sen (kL1 – wt) e p2 = p0 sen (kL2 – wt)
d = (kL2 – wt) - (kL1 – wt) = k(L2 – L1) = kDL
A diferença de fase para estas duas ondas será:
Sabendo que k = 2p/l, d = kDL =
L2
P1 e P2 são os pontos de
interferência
L1
L2
L1
L2
Ondas Sonoras
Interferência
Construtiva
Destrutiva
12
2
LL
... 3 ,2 , L
.....2
5,
2
3,
2
L Número ímpar de 0,5l
Ex 16-3 Duas fontes sonoras oscilam em fase. Para um ponto distante 5 m de uma das fontes e 5,17 m da outra, a amplitude do som de cada fonte, separadamente, é p0. Calcule a amplitude da onda resultante se a frequência da onda sonora for de (a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz e (c) 500 Hz. (Admita que a velocidade do som é de 340 m/s.)
Ex 16-4 Dois alto-falantes, um diante do outro, estão separados por uma distância de 180 cm e são alimentados por um oscilador de áudio comum de 680 Hz. Localize o ponto entre os dois alto-falantes, ao longo da linha que passa pelos respectivos centros, no qual a intensidade do som é (a) máxima e (b) mínima. (Despreze a variação da intensidade de cada um dos alto-falantes com a distância e admita que a velocidade do som é de 340 m/s.)
Reflexão de uma onda numa corda nas suas fronteiras
Ondas Estacionárias
Ondas Estacionárias
Se duas ondas com a mesma amplitude e comprimento de onda, se deslocarem em sentidos
opostos ao longo da mesma direção, a sua interferência produzirá um onda estacionária
nó antinó
nó Antinó ou ventre
tsenkxytxy m cos2,
tkxsenytxy m ,1 tkxsenytxy m ,2
amplitude na posição x termo oscilante
2
Ondas Estacionárias
Ex 16-7 As funções de onda para duas ondas com iguais amplitudes, frequências e comprimentos de onda, mas que se deslocam em sentidos opostos, são dadas por y1 = yo sen (kx - wt) e y2 = yo sen (kx + wt). Mostre que a superposição dessas duas ondas é uma onda estacionária, (b) Uma onda estacionária em uma corda com ambas as extremidades fixas é dada por y(x,t) = (0,024 m) sen(52,3 m-1 x) cos(480 s-1t). Calcule a velocidade das ondas na corda e a distância entre nós adjacentes para as ondas estacionárias.
Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A
cada uma corresponde um modo de vibração com os nós situados nas extremidades.
Modo fundamental ou primeiro harmónico
Segundo harmónico
Terceiro harmónico
Ondas Estacionárias
L
vf
Ln
21
1
21 11
L
vf
Ln
22
2
22 22
L
vf
Ln
23
3
23 33
Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados nas extremidades.
Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para:
Ondas Estacionárias
n
Ln
2 12
nfL
vnfn
com n = 1, 2, 3, …
Condição de onda estacionária
Ex 16-6 Existe um emprego de verão em uma loja de música. O trabalho consiste em ajudar o proprietário a construir instrumentos. O primeiro problema é testar um novo fio
para possível uso em pianos. O novo empregado é informado que 3 m do fio têm 0,0025 kg/m e que foram encontradas duas frequências de ressonância. Uma das frequências é de 252 Hz e a imediatamente seguinte a essa é de 336 Hz. O problema é determinar a frequência fundamental do fio e determinar se o fio é ou não uma boa escolha para ser
usado como corda de piano. O proprietário ainda informa que, por razões de segurança, a resistência à força de tração no fio não deve ser superior a 700 N.
Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre.
Modo fundamental ou primeiro harmónico
Terceiro harmónico
Quinto harmónico
Ondas Estacionárias
L
vf
Ln
41
1
41 11
L
vf
Ln
43
3
43 33
L
vf
Ln
45
5
45 55
4
1L
4
3L
4
5L
Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre.
Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para:
Ondas Estacionárias
n
Ln
4 14
nfL
vnfn
com n = 1, 3, 5, …
Ondas sonoras estacionárias (ressonância)
Tubo aberto dos dois lados
Tubo aberto num dos lados
Ondas Sonoras
12nf
L
vnfn com n = 1, 2, 3, …
14nf
L
vnfn com n = 1, 3, 5, …
Lef = L + DL
Onde DL é a correção da extremidade, que é da
ordem do diâmetro do tubo
Ex 16-8 Se a velocidade do som é de 340 m/s, quais as frequências permitidas e os comprimentos de onda em um tubo aberto (com ambas as extremidades livres) de um órgão que apresenta comprimento efetivo de 1 m?
Ex 16-9 Quando um diapasão de 500 Hz é fixado em um tubo parcialmente cheio de água, como mostra a Figura 16-18, observam-se ressonâncias quando o nível de água está a distâncias L - 16,0; 50,5; 85,0 e 119,5 cm a partir do topo do tubo. (a) Qual a velocidade do som no ar? (b) A que distância a partir da extremidade aberta do tubo está localizado o antinó de deslocamento?
Análise de movimentos periódicosAnálise de Fourier
Qualquer movimento periódico pode ser considerado como a sobreposição de
movimentos harmónicos simples
Teorema de Fourier – uma função periódica f(t) de período T=2π/ω pode ser expressa como uma sobreposição de termos harmónicos simples
...cos...2coscos 210 tnatataatf n
...sin...2sinsin 21 tnbtbtb n
FIM