Download - Paraboloida dan Hiperboloida.pdf
![Page 1: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
19 Maret 2014
![Page 2: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/2.jpg)
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang10.5 Sistem Koordinat Polar10.5 Sistem Koordinat Polar11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2‐4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang11.8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2
![Page 3: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/3.jpg)
Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini
11 8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang
dan
12.1 Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 4: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/4.jpg)
11.8 PERMUKAAN DI RUANGMA1201 MATEMATIKA 2A
11.8 PERMUKAAN DI RUANG• Menggambar permukaan di ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4
![Page 5: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/5.jpg)
Bola dan Bidang di Ruang zBola dan Bidang di Ruang
Ingat persamaan bola yang ber‐P
pusat di P(a,b,c) dan berjari‐jari R:P
y
d bid di R3
,)()()( 2222 Rczbyax z
x
dan persamaan umum bidang di R3:
.0, 222 CBADCzByAx
Seperti apa grafiknya?
.0, CBADCzByAx
yOSepe t apa g a ya
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5
x
![Page 6: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/6.jpg)
ElipsoidaElipsoida
Lebih umum daripada bola, kitamempunyai persamaan elipsoida:
)()()( 222 czbyaxz
P h tik jik k
.1)()()(222
rcz
qby
pax
P
yPerhatikan jika p = q = r, makapersamaan di atas menjadi
x
y
yang merupakan persamaan bola.,)()()( 2222 rczbyax
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6
![Page 7: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/7.jpg)
Permukaan di RuangPermukaan di Ruang
Bidang dan elipsoida merupakan contohBidang dan elipsoida merupakan contohpermukaan di ruang.
Secara umum, grafik persamaan F(x,y,z) = Cmerupakan permukaan di ruang.p p g
Namun, tidak semua persamaan mudahdigambar grafiknya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 8: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/8.jpg)
Paraboloida dan HiperboloidaParaboloida dan Hiperboloida
Grafik persamaanz
2
2
2
2
by
axz
merupakan paraboloida eliptik.
bay
Sementara itu, grafik persamaan22 yx
x
merupakan paraboloida hiperbolik
22 by
az Seperti apa
bentuknya?merupakan paraboloida hiperbolik.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
![Page 9: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/9.jpg)
SilinderSilinder
Grafik persamaan x2 + y2 = 1, z R, z
p y , ,merupakan silinder lingkaran yang sejajar dengan sumbu‐z.j j g
Bagaimana dengan persamaan x
y
Bagaimana dengan persamaan?0,sin xyz
x
Seperti apabentuknya?
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9
![Page 10: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/10.jpg)
Hiperboloida Satu LembarHiperboloida Satu Lembar
Grafik persamaanGrafik persamaan
12
2
2
2
2
2
z
byx z
merupakan hiperboloida satulembar
222 cba
lembar. Irisannya dengan:Bid k li
x
y
‐Bidang z=k elips‐bidang‐xz hiperbola‐bidang‐yz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 11: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/11.jpg)
Hiperboloida Dua LembarHiperboloida Dua Lembar
Grafik persamaanGrafik persamaan
12
2
2
2
2
2
z
byx
z
merupakan hiperboloida dualembar
222 cbay
lembar.Irisannya dengan:bid hi b l
x
‐bidang‐xy hiperbola‐bidang x=k elips, titik, Ǿ‐bidang‐yz himp. kosong3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11
![Page 12: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/12.jpg)
Kerucut EliptikKerucut Eliptik
Grafik persamaanz
2
2
2
22
by
axz
berbentuk kerucut eliptik( d )
bay
(ganda). x
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12
![Page 13: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/13.jpg)
SoalSoal
Diketahui persamaanDiketahui persamaan
.1 22 yxz
Gambarlah grafiknya.
y
Permukaan apakah itu?
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
![Page 14: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/14.jpg)
12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A
( )• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubahgrafik fungsi dua peubah
• Menentukan kurva ketinggian dan meng‐gambar peta kontur fungsi dua peubahgambar peta kontur fungsi dua peubah
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14
![Page 15: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/15.jpg)
Fungsi Dua (atau Lebih) PeubahFungsi Dua (atau Lebih) Peubah
Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah.
Sebagai contoh, foto atau citra 2DSebagai contoh, foto atau citra 2D merupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatu T(x,y)e a juga su u pada suatukeping datar. 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15
![Page 16: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/16.jpg)
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
Di sini kita akan membahas ( )Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar
(x,y)
peubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x y) dalam suatu
fsetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x y) R z =f(x y)bilangan z f(x,y) R. z =f(x,y)
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16
![Page 17: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/17.jpg)
CatatanCatatan
Himpunan D disebut sebagai daerah asal fHimpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y)| (x,y) D} disebut daerah nilai fdisebut daerah nilai f.
Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagiandaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.
S b i h d h l f( ) /Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17
![Page 18: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/18.jpg)
ContohContoh
Tentukan daerah asal 221),( yxyxf dan gambarlah daerah tsb pada R2.
Jawab:
),( yyf
Jawab:
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18
![Page 19: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/19.jpg)
Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah
Diberikan fungsi dua peubah Contoh:Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x y) D kita dapat z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
dengan (x,y) D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan
z
himpunan
{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) D}
di R3di ruang R3.
x
y
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19
x
![Page 20: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/20.jpg)
LatihanLatihan
Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan dengang g f y g gpersamaan
22:)( yxyxfz :),( yxyxfz
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20
![Page 21: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/21.jpg)
Kurva Ketinggian dan Peta KonturKurva Ketinggian dan Peta KonturKadang kita dapat mempelajari Contoh:
2 2fungsi dua peubah fmelaluikurva‐kurva ketinggian‐nya, z
z = f(x,y) := x2 + y2
yakni kurva‐kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) dengan z = kbidang z = k.
Bila kita gambar kurva‐kurvay
ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta
xKurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)
kontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21
( )
![Page 22: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/22.jpg)
Kurva Ketinggian dan Peta KonturKurva Ketinggian dan Peta KonturKadang kita dapat mempelajari Contoh:
z = f(x y) := x2 + y2fungsi dua peubah fmelaluikurva‐kurva ketinggian‐nya,
zz = f(x,y) := x + y
yakni kurva‐kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) dengan
y
z = k
bidang z = k.
Bila kita gambar kurva‐kurva
xy
Petakontur
y
ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta
o tu
x
kontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22
![Page 23: Paraboloida dan Hiperboloida.pdf](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050620/55cf978a550346d03392341d/html5/thumbnails/23.jpg)
LatihanLatihan
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiTentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = ‐2, ‐1, 0, 1 2; kemudian gambarlah peta konturnya1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23