SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
LABORATÓRIO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA - O SISTEMA DE NUMERAÇÃO
DECIMAL E OS ALGORITMOS DAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
ÁREA: Matemática
PROFESSOR PDE: Rosângela Cristina Ottesbach
PROFESSORA ORIENTADORA: Regina Maria Pavanello
2007/2008
INTRODUÇÃO
Neste texto apresentamos, em primeiro lugar, a fundamentação sobre o
Laboratório de Ensino de Matemática e nossa apreciação sobre o trabalho com materiais
manipuláveis. Em seguida, são propostas atividades que podem ser feitas no campo dos
Números e Operações, que podem servir como material de apoio para os professores do
Ensino Fundamental. Não queremos com isso ensinar o professor, mas sim mostrar alguns
caminhos, procedimentos e formas de trabalho que possam contribuir para o melhor
aproveitamento dos alunos nas aulas de matemática, permitindo-lhes que desenvolvam o
raciocínio lógico-matemático e elaborem conceitos e conteúdos que, para serem
compreendidos, necessitam da visualização. As atividades sugeridas, que podem ser
realizadas tanto no Laboratório de Ensino como, na falta deste, em sala de aula, têm por
finalidade o ensino do conhecimento matemático para os alunos de forma mais
significativa, atraente e prazerosa, que lhes permita compreender melhor o próprio
ambiente, para comunicar idéias e também para melhor entender assuntos de outras áreas.
O LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA (LEM)
Se ouço, esqueço; se vejo lembro; se faço, compreendo.(Provérbio Chinês)
Um dos maiores desafios dos educadores está em encontrar métodos e processos
para tornar suas aulas mais interessantes e agradáveis e assim permitir aos alunos o acesso
aos conhecimentos, dando-lhes condições para explorarem a realidade, de modo que
possam participar e interferir de maneira positiva na sociedade em que vivem. O uso de
material didático (MD), por proporcionar aos alunos participar de atividades manipulativas
e visuais que sirvam de suporte para sua atividade cognitiva, pode ser de grande
importância no processo de ensino e promover a compreensão de conceitos e propriedades
matemáticas.
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática do Paraná (DCEs), um
dos objetivos da disciplina de matemática é transpor o objeto matemático construído
historicamente para a prática docente de maneira a possibilitar ao estudante conhecer e
utilizar apropriadamente esse objeto. As diretrizes enfatizam ainda a necessidade de se
tornar o ensino de matemática mais dinâmico, contextualizado, interdisciplinar, centrado
na ética, voltado para a formação de cidadãos organizados, críticos, autônomos em suas
relações sociais e responsáveis. Consideram também ser necessário, cada vez mais,
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educadores criativos, com visão histórica e crítica, comprometidos com a educação e que
apresentem uma atitude investigativa sobre sua área de atuação, fundamentada em teorias
pedagógicas e científicas; professores com domínio de sua prática, com autonomia e
capacidade para construir conhecimento pedagógico e para a tomada de decisões, capazes
de analisar e abordar os diferentes conteúdos de modo a solucionar os problemas que
surgirem em sala de aula e de proporcionar aos seus alunos um ensino da matemática com
significado.
Neste contexto, o Laboratório de Ensino da Matemática pode ser um instrumento
eficaz para propiciar ao aluno formas de conhecer, criar, manipular, levantar hipóteses,
discutir afirmações, desenvolver e construir instrumentos matemáticos que possam ser
utilizados como facilitadores de sua aprendizagem e, ao mesmo tempo, proporcionar ao
educador um local para pesquisa, reflexão e trabalho, auxiliando-o neste grande desafio
sobre as melhores formas de ensinar e aprender Matemática.
Miguel e Miorim (2004) consideram que a finalidade da Educação Matemática é
fazer o estudante compreender e se apropriar da própria matemática, compreendida como
um conjunto de resultados, métodos, procedimentos, algoritmos etc. Outra finalidade, de
acordo com os autores é levar o estudante, por meio do conhecimento matemático, a
construir valores e atitudes de diferentes naturezas tendo como meta a formação integral
do ser humano e do cidadão. Assim sendo, para que o processo ensino-aprendizagem seja
bem sucedido, deve possibilitar ao aluno vivenciar experiências, que lhe permitam
participar, de forma dinâmica, na elaboração de conteúdos escolares.
Muitos foram os educadores que por muito tempo ressaltaram a importância da
visualização e manipulação de materiais para facilitar a aprendizagem, dentre os quais
Claparède, Freinet, Tamas Varga, os brasileiros Júlio César de Mello e Souza (Malba
Tahan) e Manuel Jairo Bezerra, além autores como Piaget, Vygotsky e Bruner, os quais,
cada um a seu modo, reconheceu que a ação do indivíduo sobre o objeto é básica para a
sua aprendizagem.
Segundo Lorenzato (2006), o Laboratório de Ensino da Matemática (LEM) na
escola é uma sala-ambiente reservada para que as aulas de matemática aí aconteçam de
maneira a estruturar, organizar, planejar e construir o fazer matemático, facilitando tanto
para o professor como para o aluno o questionamento, a procura, a experimentação, a
análise, a compreensão de conceitos e a conclusão de uma determinada aprendizagem,
inclusive com a produção de materiais instrucionais que possam facilitar o aprimoramento
da prática pedagógica. Deve ser um local de referência dos trabalhos matemáticos, onde os
professores possam se empenhar em tornar a matemática mais compreensível para seus
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alunos. Neste local, o professor poderá também planejar aulas e realizar outras atividades
como exposições, olimpíadas, jogos, avaliações, entre outras.
Desta maneira, seria importante que os estabelecimentos de ensino tivessem um
espaço no qual os educadores pudessem realizar pesquisas, construir materiais didáticos
diversos em um processo de elaboração de conceitos, de aplicação dos mesmos em
situações-problema, de modo a sanar, em primeiro lugar, as dificuldades dos próprios
professores no que diz respeito à sua formação. Porque só assim eles terão condições para,
depois, utilizar tais materiais com os alunos, suscitando neles o interesse e a participação
desejada e auxiliando-os na elaboração e compreensão dos conhecimentos. Ou seja, seria
fundamental, do ponto de vista da aprendizagem dos alunos e dos próprios professores, a
implementação do Laboratório de Ensino de Matemática nas escolas.
A construção de um LEM pode partir de um professor de Matemática que
reconhece a necessidade de a escola possuir este espaço, mas isso só não basta. Esse
professor deve contar com o apoio e a colaboração de toda comunidade escolar
(professores de diversas áreas, equipe pedagógica, alunos, equipe administrativa) e até
mesmo da comunidade local, pois não é possível construir um laboratório de matemática
sozinho. Os alunos também podem e devem participar dessa construção, contribuindo com
pesquisas, materiais de sucatas construídos por eles, na organização do ambiente, etc. para
que valorizem ainda mais a presença desse espaço de aprendizagem na escola.
A forma de organização do ambiente e dos materiais deve ser discutida em grupo,
que deve decidir qual é a melhor forma de desenvolver o trabalho proposto naquela
instituição. É importante também selecionar os materiais de acordo com a clientela
(educação infantil, ensino fundamental ou médio), propiciando sempre um ambiente
acolhedor e agradável.
A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; uma vez
construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige que o
professor se mantenha atualizado. (LORENZATO, 2006, p. 11).
De acordo com Lorenzato, um laboratório de ensino de matemática, de modo geral,
pode ter:
• revistas, jornais e artigos;
• livros didáticos, paradidáticos e outros;
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• jogos;
• quebra-cabeças;
• problemas desafiadores e de lógica;
• questões de olimpíadas, ENEM,
e vestibulares;
• textos sobre história da matemática;
• cds, transparências, fotos;
• figuras;
• sólidos;
• modelos estáticos ou dinâmicos;
• materiais didáticos industrializados;
• instrumentos de medidas;
• computadores, calculadoras;
• materiais didáticos construídos pelos alunos e professores
• materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos e
outros.
No entanto, apesar das recomendações de Lorenzato, ele também deixa claro que
não existe uma única concepção acerca do LEM porque a sua construção e
encaminhamento devem estar relacionados às reais necessidades e condições locais de
cada instituição, a formação matemática de alunos e professores, o espaço físico
disponível, materiais e outros.
Embora vários autores enfatizem o papel do LEM e dos materiais didáticos
manipulativos no processo de aprendizagem da matemática, torna-se necessário tecer
algumas considerações quanto à forma como eles devem ser utilizados para que alcance os
objetivos propostos.
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A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS NA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
Os materiais manipuláveis são recursos didáticos que podem interferir fortemente
no processo ensino-aprendizagem da matemática. Por certo seu uso depende do conteúdo a
ser estudado, dos objetivos a serem atingidos, do tipo de aprendizagem que se espera
alcançar e da filosofia e política escolar. Enfim, o material didático não está solto no
contexto escolar: na opção e na forma como será utilizado está implícita a concepção que
cada educador tem de ensino e de educação.
Muitas vezes, o professor desconhece a importância de se utilizar certo material
manipulável ou ainda não percebeu que conceitos e propriedades tanto ele como os alunos
poderiam explorar. Daí ser fundamental que os professores tenham oportunidades de
refletir sobre a sua utilização, analisando o que pode ser com ele trabalhado, sua
efetividade pedagógica e como ele poderá despertar o interesse e a curiosidade do aluno.
Antes de utilizar um material manipulativo é importante conhecer bem o material e ter
claro o(s) objetivo(s) de seu uso: com este material as aulas serão mais atraentes? Com ele,
o aluno terá mais facilidade de compreender o conteúdo? Ele oferece possibilidades ao
aluno de relacionar, levantar conjecturas, pensar matematicamente, discutir e concluir?
Esta reflexão vai permitir que os professores se apercebam ser necessário
considerar que, para a aprendizagem de certo conteúdo, pode não bastar apenas o uso de
um material, uma vez que este permite apenas uma visão parcial do objeto matemático em
questão. Por outro lado, um mesmo material pode servir para a aprendizagem de diferentes
conteúdos desde que ele sirva de suporte para o aluno pensar sobre diferentes questões.
Ao utilizar materiais manipuláveis, o professor deve tomar alguns cuidados,
levando em conta que o mau uso deste instrumento poderá ser contrário ao objetivo que
pretende com ele alcançar e, portanto, não contribuir em nada com o aprendizado de seu
aluno. VALENTE (1991) enfatiza a importância do material didático, porém demonstra
uma preocupação quanto a sua utilização:
A solução para evitar o ensino das
técnicas matemáticas tem sido o uso de material
pedagógico. O aluno manuseia um material que
propicia o desenvolvimento de conceitos
matemáticos, mas apesar disso nem sempre
ocorre uma formalização do conceito, onde ele
tem a chance de sintetizar suas idéias, colocá-
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las no papel, compará-las com outras soluções
para verificar sua validade (p.31).
Valente está querendo dizer com isso é que o educando não aprende matemática
apenas “manipulando” os objetos, pois o conhecimento não está no material em si, mas é
elaborado a partir das relações que o material o ajuda a estabelecer. Assim, cabe ao
professor formular questões adequadas, que permitam o aluno observar aspectos
importantes para a construção do conceito em questão. Por melhor que seja, material
manipulativo deve ser considerado apenas como uma “ferramenta” que auxilia aluno e
professor no processo ensino-aprendizagem. O seu potencial depende mais do professor,
das questões que ele formula e que levam o aluno a pensar, a analisar, do que do próprio
material.
O material e as atividades a serem realizadas com ele devem ser bem selecionados
para servir ao objetivo a ser alcançado e devem ser adequados para que os alunos façam a
correta representação interna dos conceitos envolvidos a partir de sua manipulação. Por
isso, a exploração de todas as possibilidades do material escolhido deve ser feita antes da
aplicação da atividade, para que não aconteçam imprevistos na sua aplicação. Além disso,
se as atividades não estiverem bem preparadas corre o risco do material utilizado se
transformar apenas em brinquedo para o aluno.
Sendo os conhecimentos matemáticos de natureza abstrata, se o uso do material for
inadequado ou as atividades não forem bem dirigidas os resultados poderão ser muito
diferentes dos esperados. Como a passagem das ações concretas para a elaboração dos
conceitos não pode deixar de ser feita e com cautela, é importante que o professor faça a
correlação entre os dois domínios envolvidos, o do material concreto utilizado e o das
representações simbólico-abstratas para ter certeza de que o aluno compreendeu bem as
relações entre os dois aspectos de ambos os domínios. Muitas vezes, quando se trabalha
com materiais manipulativos, não se vê a matemática, só uma ação motora. Por isso é
preciso observar atentamente e interferir para que o aluno faça as abstrações necessárias e
esperadas.
Quando se utilizam materiais manipuláveis no aprendizado da matemática, convém
enfatizar com os alunos que a partir da constatação da validade de uma afirmação em
diversas experiências, tal fato não é suficiente para comprovar essa afirmação é sempre
válida. As constatações que se repetem devem ser vistas como “dicas” importantes da
possibilidade de essa afirmação estar correta, motivo pelo qual os matemáticos utilizam a
demonstração para comprovar a sua validade.
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Somente assim é possível evitar que a utilização de materiais manipulativos no
ensino da matemática não induza os alunos a construírem conceitos errôneos, criando
assim obstáculos cognitivos. E, nesse sentido, o professor tem papel fundamental.
REFERÊNCIAS
GERDES, P. Sobre o despertar do pensamento Geométrico. Curitiba: UFPR, 1992.
KALLEF, A. M. M. R.; HENRIQUE, A. S.; REI, D. M.; FIGUEIREDO, L.G.,
Desenvolvimento do Pensamento Geométrico – o modelo de Van Hiele. Bolema, Rio
Claro, n. 10, 1994. p. 21-30.
LORENZATO, Sérgio (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na formação de
professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. Coleção Formação de Professores.
LORENZATO, S. O uso de materiais concretos. Anais do II Encontro Paulista de
Educação Matemática. Campinas, 1993.
MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios.
Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Programa de Desenvolvimento
Educacional - Documento Síntese. Curitiba: SEED, 2006.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública
da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006.
VALENTE, J.A. (Org.) Liberando a mente: computadores na educação especial.
Campinas, SP: Gráfica da UNICAMP, 1991.
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O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E OS ALGORITMOS DAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Rosângela Cristina Ottesbach1
Regina Maria Pavanello2
Como interferir positivamente na aprendizagem do aluno com dificuldades em efetuar os algoritmos das operações fundamentais?
Ao elaborar este material estamos pensando principalmente em colaborar com o
trabalho do professor de quinta série, que muitas vezes encontra em suas turmas alunos
que não conseguem efetuar as operações fundamentais. Estamos levando em conta a
dificuldade que o professor tem em detectar onde ocorreu a falha ou lacuna de
aprendizagem, e mais, determinar de que maneira poderá interferir no processo para que
o aluno possa realmente aprender.
Precisamos lembrar que as noções básicas das operações fundamentais se
encontram na vida do aluno. Quando vamos trabalhar com as operações não podemos
desconsiderar o conhecimento prévio que o aluno tem, este conhecimento não
sistematizado servirá de base para que ele possa organizar suas idéias e, a partir da
intervenção do professor, construir o pensamento matemático mais elaborado.
Muitas das dificuldades encontradas pelos alunos na interpretação de situações-
problema estão nos diversos significados e sentidos das operações. Por isso, é importante
apresentar diferentes situações que devem ser resolvidas mediante a utilização de uma
dada operação e não apenas priorizar a aprendizagem dos algoritmos tradicionais.
No entanto, há muitas crianças que mesmo identificando a operação a ser
utilizada, erram ao efetuar o algoritmo. Neste caso, os erros possivelmente decorrem de
uma compreensão falha ou incompleta do Sistema de Numeração Decimal (SND). É deste
caso que vamos tratar neste material.
Compreendemos que para auxiliar o aluno, o professor deverá avaliar o que
poderá estar causando os seus erros, se ocorreu realmente o aprendizado do SND. Por
outro lado, mesmo no caso de o aluno chegar à resposta correta de um algoritmo, isso não
garante que ele compreenda o que está fazendo ou, ao contrário, tenha apenas
memorizado regras, que por acaso dão certo em alguns momentos.
1 Professora PDE da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná.E -mail:[email protected] Professora orientadora – UEM. E-mail:[email protected]
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Para ter maior certeza sobre a real compreensão do aluno, é importante que o
professor recorra a diferentes atividades, principalmente aquelas que envolvam
estimativas, aproximações e cálculo mental.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Conhecer o Sistema de Numeração Decimal é fundamental para que o aluno possa
compreender os algoritmos das operações básicas. Neste sentido, consideramos também
importante que o aluno tenha contato com outros sistemas de numeração utilizados ao
longo dos tempos, em diversas partes do mundo, percebendo suas semelhanças e
diferenças, para compreender como se deu o processo de organização e generalização
para chegarmos a esse sistema de numeração que é hoje o mais usado no mundo.
Trabalhando com alguns sistemas como o egípcio, o romano, o babilônio, o chinês
e o indo-arábico, além de analisar parte do desenvolvimento histórico de conhecimento
matemático, o aluno poderá compreender melhor as regras do S.N.D.
Poderíamos aqui propor algumas discussões sobre todos os tipos de sistemas de
numeração, no entanto vamos nos restringir apenas ao Sistema de Numeração Decimal,
que será, juntamente com as operações básicas, o nosso objeto de estudo.
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
Uma das noções básicas da matemática é a idéia de número, que surgiu das
necessidades enfrentadas pela humanidade para viver e sobreviver no mundo.
O sistema de numeração que usamos atualmente tem duas características não
apenas importantes, mas fundamentais: o nosso sistema é decimal e posicional. É decimal
porque utiliza apenas dez símbolos para representar os números e também porque cada
dez elementos de uma ordem equivalem a um elemento da ordem imediatamente superior.
É posicional porque o valor representado por um algarismo depende da posição que ocupa
no número. Acredito que muitas das dificuldades encontradas pelos alunos no
aprendizado dos algoritmos das operações básicas estão justamente no fato de não
compreenderem estas características.
Supõe-se que a base dez decorra do fato de possuirmos dez dedos nas mãos. O
que é certo, no entanto, é que nosso sistema de numeração é o resultado de um longo
processo, começado com os hindus, aperfeiçoado pelos árabes e consolidado na Europa
na passagem da Idade Média para o Renascimento. A base decimal do sistema e sua
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característica posicional é que permitem representarmos números imensamente grandes
utilizando apenas 10 símbolos, os chamados algarismos indo-arábicos.
O tempo que levou o processo de construção do sistema dá a dimensão da
dificuldade que está implícita nesta construção e permite compreender por que as
crianças, mesmo estando em constante contato com os números desde muito cedo, não
consigam espontaneamente entender suas características.
Propomos, a seguir, algumas atividades que podem ser realizadas com as crianças
de 5ª série que apresentem dificuldades com o SND. Por certo, estas são sugestões,
cabendo ao professor fazer as adaptações necessárias para o grupo de alunos com o qual
está trabalhando (toda a sala de aula, um grupo de alunos, ou sala de apoio).
Observação: Estas atividades podem ser realizadas individualmente, ou em grupo de
alunos. É necessário garantir que cada aluno ou grupo de alunos tenha, em qualquer das
situações, o material completo a sua disposição. Não é recomendável que apenas o
professor esteja de posse do material e faça ele mesmo a atividade, de forma
demonstrativa, em frente aos alunos.
PROPOSTAS DE ATIVIDADES:
Atividade 1: As caixinhas de numeração e o “NUNCA DEZ”
Conteúdo: Sistema de Numeração Decimal
Objetivo: facilitar a compreensão do conceito de base dez e do princípio
posicional do nosso sistema de numeração. Para isso, a atividade se refere ao
agrupamento dos palitos seguindo determinadas regras.
Material necessário: 3 tampas de caixa de sapatos (de preferência todas com
mesmo tamanho), colocadas uma ao lado da outra e identificadas, da direita para a
esquerda pelas letras U, D e C, indicativas de unidade, dezena e centena;
- 124 palitos de sorvete;
- elásticos para amarrar os palitos.
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Desenvolvimento:
O professor deverá orientar os alunos quanto às seguintes regras:
- os palitos serão colocados um a um na tampa com identificação U;
- o número máximo de palitos que podem ficar soltos nesta tampa é 9;
- quando se acumularem 10 palitos, eles devem ser amarrados juntos, por meio de
um elástico, e colocados na tampa com identificação D;
- essa regra deve ser seguida até que fiquem apenas 4 palitos soltos na tampa U;
- na tampa com identificação D não podem ficar mais que 9 grupos de palitos já
amarrados;
- quando se formar um grupo de 10 grupos, estes serão amarrados de modo a
formar um novo grupo de 10, que será colocado na tampa com identificação C.
Orientações pedagógicas:
- As regras devem ser passadas antes do início da atividade;
- O professor deverá, a cada passo, ir comentando com os alunos as características
da atividade, que são na verdade as próprias regras do Sistema de Numeração Decimal.
- É importante que o professor, neste momento, reforce o conceito de unidade,
dezena e centena e que mostre para os alunos que essa regra continua após as centenas,
formando assim as classes.
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- A mesma atividade deve ser proposta aos alunos utilizando outros números, até
que consigam realizar com desenvoltura as atividades e se tenha certeza que eles
compreenderam as regras e sua relação com o SND.
- Outras bases poderão ser trabalhadas antes da base 10, isso vai de acordo com as
dificuldades apresentadas pelos alunos.
- Em atividades desta natureza não é conveniente relacionar a cor do palito com a
posição que ele ocupa, para não transformar a cor em um parâmetro de classificação.
Atividade 2: Cartões sobrepostos
Conteúdo: Sistema de Numeração Decimal
Objetivo: assegurar a compreensão da característica posicional do SND, bem
como compreender a composição e a decomposição de um número em suas ordens.
Material necessário:
- 10 cartões de 5 centímetros cada um, com números de 0 até 9;
- 9 cartões de 10 centímetros cada um, com números de 10 a 90 (de 10 em 10);
- 9 cartões de 15 centímetros cada um; com números de 100 a 900 (de 100 em
100);
Desenvolvimento:
- Solicite aos alunos que coloquem sobre a carteira os cartões pequenos, médios e
grandes;
- Peça que eles componham um número qualquer, por exemplo, 672, e discuta
com eles que cartões eles precisaram utilizar;
Sobrepondo os cartões, obtém-se:
- Em num outro momento, solicite que eles peguem 2 cartões (por exemplo, o 200
e o 2), que os sobreponham e digam qual o número obtido.
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- A partir daí poderá então formar outros números pela sobreposição dos valores.
Orientações pedagógicas:
- Na primeira situação, o aluno deverá colocar sobre a carteira o primeiro o cartão,
o que tem o número 600, depois, sobre ele, colocar o cartão com o número 70 e,
finalmente, colocar sobre este o cartão que tem o número 2 (que ficará sobre o zero do
70), formando assim o número solicitado.
- A segunda situação dará margem para que se discuta melhor o que ocorreria se o
cartão do 2 fosse colocado no zero intermediário e não no da direita, comparando-se os
resultados. É nessa situação que a característica posicional do SND poderá ser mais
realçada.
- Com este material, o professor está trabalhando novamente o valor posicional do
SND, discutindo melhor esta característica. Poderá também trabalhar a comparação de
números a partir de sua decomposição.
- Outras atividades semelhantes devem ser propostas.
Atividade 3: “Reagrupando e trocando por dezenas ”
Conteúdo: Algoritmo da Adição
Objetivo: Aplicar o algoritmo da adição quando a soma dos algarismos das
unidades ultrapassa nove, compreendendo o seu funcionamento.
Material Necessário:
- Material dourado em madeira ou palitos de sorvete (como os da atividade 1).
Pode ser usada, também uma versão plana do material dourado que pode ser feira com
papel quadriculado de 1 cm, de modo que as unidades sejam os quadradinhos, as dezenas
sejam uma tira de 10 quadradinhos e a centenas, um quadrado de 10 por 10, como
apresentado nas figuras a seguir.
Desenvolvimento:
- Inicie a atividade solicitando aos alunos que representem, com material
manipulável (material dourado ou palitos), os números a serem adicionados, por exemplo,
16 e 38;
- Solicite também que os alunos façam a representação por escrito (ou com
desenho) em seu caderno;
- Em seguida, peça que juntem os valores, unidades com unidades e dezenas com
dezenas, mas utilizando as mesmas regras do “nunca dez”: quando houver 10 unidades
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elas devem ser trocadas por uma dezena (no caso do material dourado) ou “amarradas”
(no caso dos palitos) e passam a ser uma dezena, que será adicionada às dezena já
existentes. Os alunos deverão representar no caderno as ações realizadas, conforme
ilustrado a seguir.
Orientações pedagógicas:
- Neste caso é fundamental destacar que o número deverá ser formado respeitando
a ordem, unidade sempre do lado direito, dezena do lado esquerdo e as outras ordens
sempre à esquerda desta última.
- É importante que, em seguida, sejam propostas outras adições para serem
efetuadas de forma semelhante, inclusive utilizando a troca por centenas.
– Faz-se necessário salientar que todo algarismo à esquerda do outro representa
unidades dez vezes maiores do que se estivesse colocado no lugar desse outro, como
já foi mostrado na atividade 2, por exemplo..
Atividade 4: “Decompondo a dezena para subtrair”
Conteúdo: Algoritmo da Subtração
Objetivo: Desenvolver a técnica operatória da subtração denominada “do recurso
à unidade de ordem superior”
Material necessário:
- material dourado Montessori (em madeira) ou palitos de sorvete (como na
atividade 1).
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Desenvolvimento:
- Peça que utilizem o material manipulável (material dourado ou palitos) para
representar certa quantidade, por exemplo, 395.
- Solicite que deste material seja subtraído o valor 176.
- Uma vez percebido que existe uma dificuldade, que é “de 5 unidades não se
pode tirar 6 unidades”, peça que substituam uma das dezenas por 10 unidades de forma
que agora se possa subtrair 6.
- Procure levar os alunos a perceberem que, dessa forma, ficou uma dezena a
menos do que as 7 existentes anteriormente.
- Feita a subtração das unidades passa-se para a subtração das dezenas e, por
último, das centenas.
- As peças que restaram fornecem o resultado da subtração.
1ª ação
Orientações pedagógicas:
Mais uma vez é importante enfatizar que a ordem da disposição do material é
unidade, dezena e centena da direita para a esquerda.
- A técnica presente nesta atividade é comumente chamada de “emprestar”.
Porém, essa linguagem não é correta, uma vez que não há empréstimo (um empréstimo
supõe devolução...). Na verdade, fazemos uma troca de dezena por unidades de modo que
a decomposição do minuendo fica modificada. No exemplo usado, para que fosse
possível efetuar a subtração, ordem a ordem, o número 395, que decomposto ficaria 300 +
90 + 5 passa a ser decomposto como 300 + 80 + 10 + 5 e, finalmente, fica 300 + 80 + 15.
- É conveniente que cada ação realizada para efetuar o algoritmo seja, ao mesmo
tempo, representada como mostrado nas figuras anteriores. Somente assim os alunos
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poderão compreender a relação entre as ações efetuadas com o material e as
representadas.
Atividade 5: “Multiplicando por ordem”
Conteúdo: Algoritmo da Multiplicação
Objetivo: Compreender e desenvolver a técnica operatória da multiplicação.
Material necessário: material dourado Montessori (em madeira)
Desenvolvimento:
- Peça aos alunos que descubram o resultado da multiplicação de 12 x 13, por
exemplo.
- Para descobrir 12 x 13, o aluno poderá fazer as operações a partir da situação
apresentada com o material dourado, em que cada peça está dividida em quadradinhos,
cada um deles representando uma unidade. Em virtude das divisões existentes nas peças
utilizadas, podemos observar que temos 12 linhas, cada uma delas com 13 elementos.
Mas podemos também analisar as peças separadamente, e então vemos que existe uma
peça de 10 por 10 (que corresponde a 10x10=100 unidades); acima dela existem 2 peças
de 1 por 10 (correspondendo assim a 2x10= 20 unidades); ao lado direito 3 peças de 1 por
10 ( equivalendo a 3x10=30 unidades) e finalmente, há 6 cubinhos, perfazendo 6
unidades. Para saber o resultado da multiplicação temos que determinar a quantidade total
de unidades que estão representadas com o material, ou seja 100+ 20+ 30+ 6= 156.
Poderíamos também representar essa situação numericamente da seguinte maneira:
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Orientações pedagógicas:
- Esta forma de realizar a multiplicação baseia-se em uma propriedade das
operações, que é a distributiva da multiplicação em relação à adição e que, neste caso,
poderia ser indicada da seguinte forma:
12x13= (10+2) x (10+3) = (10+2) x 10+ (10+2) x 3= 10x10 + 2x10+ 10x3+ 2x3.
- Por outro lado, estamos também utilizando o conceito de área quando indicamos
haver 12 linhas, cada uma delas com 13 elementos.
Atividade 6: “Dividindo com material dourado”
Conteúdo: Algoritmo da divisão
Objetivo: Compreender e desenvolver a técnica operatória da divisão.
Material necessário: material dourado Montessori (em madeira)
Desenvolvimento:
- Representar sobre uma mesa, usando o material dourado, por exemplo, o número
469, que corresponde a 4 placas, 6 barras e 9 cubinhos e dizer que esse material deve ser
dividido em 3 grupos e nosso problemas consiste em verificar quantas unidades cada
grupo receberá.
- Pedir que a criança faça a divisão desse material por 3, começando pelas
centenas.
- Na divisão por 3, é possível distribuir uma placa (centena) para cada grupo, mas
ainda sobrará uma. O professor deverá discutir então como seria possível repartir
igualmente a quantidade representada pela placa pelos 3 grupos. A discussão deve levar
os alunos a perceber que como cada placa corresponde a uma centena e, portanto, a 10
dezenas. Assim, será necessário trocar a placa por 10 barras que, juntamente com as 6 já
existentes, vai perfazer 16 barras ou 16 dezenas.
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- As 16 dezenas deverão ser então divididas igualmente pelos 3 grupos, de modo
que cada grupo vai receber 5 barras, restando uma . Da mesma forma, o professor vai
discutir o que fazer para continuar a distribuição. E a discussão deverá levar os alunos a
perceber que será necessário trocar as barras, cada uma delas equivalente a 1 dezena, por
cubinhos, perfazendo 10 unidades que, com as unidades já existentes dá um total de 19
unidades. Assim, será possível distribuir 6 unidade para cada grupo , sobrando uma
unidade, que não dá mais para dividir no conjunto dos números naturais.
- As 19 unidades serão também divididas por 3, restando assim 1 unidade.
-
- O resultado de cada grupo poderá ser representado por 1 placa, 5 barras e 6 cubinhos, ou
seja, por 156, e a divisão não foi exata porque sobrou 1 cubinho de resto.
Orientações pedagógicas:
- É importante os alunos perceberem que o resultado se refere à quantidade que
cada grupo obteve, por isso, é conveniente que a distribuição seja efetivamente feita em 3
grupos.
19
- É necessário também que a representação escrita do algoritmo seja feita
simultaneamente com o realizado com o material para que os alunos se conscientizem das
relações existentes entre as duas representações da situação.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Embora muitas das atividades aqui apresentadas não constituam novidades para
uma grande parcela de professores, nem sempre elas são encontradas em conjunto e
acompanhadas de explicações, principalmente em publicações destinadas aos professores
que lecionam Matemática na segunda etapa do ensino fundamental e que não tiveram
oportunidades, em sua formação de analisar as dificuldades inerentes à aprendizagem
desses conteúdos.
Talvez os professores que possam se beneficiar mais com esta seleção de
atividades sejam os que atuam nas Salas de Apoio, um projeto da SEED-PR que visa a
resgatar a aprendizagem matemática de alunos de 5ª série.
REFERÊNCIAS:
SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Experiências Matemáticas: 5ª série. Versão preliminar. São Paulo: SE/CENP, 1996. 411
p.
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