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Introdução ao Processamento Digital de
Imagens
Prof. Leonardo Vidal BatistaDI/PPGI/PPGEM
[email protected]@terra.com.br
http://www.di.ufpb.br/leonardo
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Processamento Digital de Imagens
Modelagem matemática, análise, projeto e implementação (S&H) de sistemas voltados ao tratamento de informação pictórica, com fins estéticos, para torná-la mais adequada à interpretação ou aumentar eficiência de armazenamento e transmissão.
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PDI e áreas correlatas
Imagens
Visão Computacional
Computação Gráfica
Processamento Digital de Imagens
(sinais 2D)
Dados
Processamento Digital de Sinais
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PDI x Visão Computacional
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Imagens digitais
TV digitalCâmeras digitais, celulares, scannersDVDsSistemas de teleconferênciaTransmissões via faxEditoração eletrônicaImpressorasMonitoramento da superfície terrestre e previsão climática por imagens de satélitesDetecção de movimento
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Imagens DigitaisDiagnóstico médico: ultrassonografia, angiografia, tomografia, ressonância magnética, contagem de células, etcIdentificação biométrica: reconhecimento de face, íris ou impressões digitaisCiências forensesRealce e restauração de imagens por computadorInstrumentaçãoControle de qualidadeGranulometria de minérios
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Outros Sinais DigitaisDiagnóstico médico: eletrocardiograma, eletroencefalograma, eletromiograma, eletroretinograma, polisonograma, etcIdentificação biométrica por reconhecimento de vozSíntese de vozÁudio DigitalTelefoniaSuspensão ativa em automóveisMercado acionário
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Sinais Contínuos e Discretos
Sinal digital
Sinal analógico
Erros de quantização 0 Ta 2Ta 3Ta ...
0 q
2q
-2q ...
-q
...
Tempo, espaço etc.
Am
plitu
de
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Processamento Analógico de Sinais
Processador analógicoSinal analógico
de entrada Sinal analógico de saída
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Processamento Digital de Sinais
ConversorA/D
ProcessadorDigital
Sinal analógico
Sinal digital
ConversorA/D
ProcessadorDigital
Sinal analógico
SinalanalógicoConversor
D/A
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Processamento Digital de Sinais
Alguns sinais são inerentemente digitais ou puramente matemáticosEx: Número de gols por rodada do campeonato brasileiro de futebolNeste caso, não há necessidade de Conversão A/DAinda assim, pode haver necessidade de conversão D/AEx: texto -> voz sintetizada
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Processamento Digital de Sinais
Hardware, software, ou ambosMaior flexibilidadeMenor custoMenor tempo de desenvolvimentoMaior facilidade de distribuiçãoSinais digitais podem ser armazenados e reproduzidos sem perda de qualidadeMas alguns sistemas exigem uma etapa analógica!
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Processamento Digital de Sinais – Robustez a Ruído
Sinal analógico original
Sinal analógico corrompido – em geral, recuperação impossível mesmo para pequenas distorções
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Processamento Digital de Sinais – Robustez a Ruído
‘1’
‘0’
‘1’
‘0’
‘1’
‘0’
Sinal digital originalSinal digital corrompido – recuperação possível mesmo com distorções substanciais, principalmente com uso de códigos corretores.
Sinal digital recuperado com erro
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Eliminação de ruído
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Detecção de Bordas
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Aguçamento
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Pseudo-cor
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Pseudo-cor
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Segmentação/Classificação
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Combinação de Imagens
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Metamorfose
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Warping (Deformação)
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
http://www.echalk.co.uk/amusements/OpticalIllusions/illusions.htm
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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Você confia em seu sistema visual?
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A Faixa Visível do Espectro EletromagnéticoLuz: radiação eletromagnéticaFreqüência f, comprimento de onda L Faixa visível do espectro eletromagnético: 380 nm < L < 780 nmNa faixa visível, o sistema visual humano (SVH) percebe comprimentos de onda diferentes como cores diferentes
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A Faixa Visível do Espectro Eletromagnético
Radiação monocromática: radiação em um único comprimento de onda Cor espectral pura: radiação monocromática na faixa visível
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A Faixa Visível do Espectro Eletromagnético
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A Faixa Visível do Espectro Eletromagnético
Denominação Usual da Cor Faixa do Espectro (nm) Violeta 380 – 440 Azul 440 – 490
Verde 490 – 565 Amarelo 565 – 590 Laranja 590 – 630
Vermelho 630 – 780
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A Estrutura do Olho HumanoOlho humano: aproximadamente esférico, diâmetro médio em torno de dois centímetros A luz penetra no olho passando pela pupila e pelo cristalino e atingindo a retinaImagem invertida do cenário externo sobre a retina Cones e bastonetes convertem energia luminosa em impulsos elétricos que são transmitidos ao cérebro.
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A Estrutura do Olho Humano
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Bastonetes
75 a 150 milhões/olho, sobre toda a retina Não são sensíveis às cores Baixa resolução (conectados em grupos aos terminais nervosos) Sensíveis à radiação de baixa intensidade na faixa visível Visão geral e de baixa luminosidade Objetos acinzentados sob baixa luminosidade
![Page 44: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/44.jpg)
Cones6 a 7 milhões/olho, concentrados na fóvea Sensíveis às cores Alta resolução (um cone por terminal nervoso) Pouco sensíveis a radiação de baixa intensidade na faixa visível Visão específica, de alta luminosidadeMovimentamos os olhos para que a imagem do objeto de interesse recaia sobre a fóvea.
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ConesHá três tipos de cones:
Cone sensível ao vermelhoCone sensível ao verdeCone sensível ao azul
Cores diversas obtidas por combinações destas cores primárias
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Cones
Comprimento de onda (nm)
700 600 500 400
Res
post
a
Cone “Vermelho”
Cone “Verde”
Cone “Azul”
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Sistema de Cores RGB A cor de uma fonte de radiação na faixa visível é definida pela adição das cores espectrais emitidas –sistema aditivoCombinação de radiações monocromáticas vermelho (R), verde (G) e azul (B)Cores primárias da luzSistema de cores RGB
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Sistema RGB
Padronização da Comissão Internacional de Iluminação (CIE):
Azul: 435,8 nmVerde: 546,1 nmVermelho: 700 nm
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Sistema RGB - Combinação de Cores Primárias
Cores secundárias da luz: magenta (M), cíano (C) e amarelo (Y):
M = R + BC = B + GY = G + R
Cor branca (W): W = R + G + B
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Espaço de Cores RGB
Cor no sistema RGB é um vetor em um espaço tridimensional:
B
G
R
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Espaço de Cores RGBReta (i, i, i): reta acromática
Pontos na reta acromática: tonalidades de cinza ou níveis de cinza
Preto: (0, 0, 0) (ausência de luz)
Branco: (M, M, M), (M é a intensidade máxima de uma componente de cor)
Monitor de vídeo: Sistema RGB
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Sistema de Cores CMY
Cor de um objeto que não emite radiação própria depende dos pigmentos que absorvem radiação em determinadas faixas de freqüência e refletem outrasAbsorção em proporções variáveis das componentes R, G e B da radiação incidente: sistema subtrativo
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CMY - Cores Primárias
Cores primárias dos pigmentos: absorvem uma cor primária da luz e refletem as outras duas
C = W – R = G + BM = W – G = R + BY = W – B = G + R
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CMY – Combinação de Cores Primárias
Cores secundárias:R = M + YG = C + YB = M + C
Preto (K):K = C + M + Y = W – R – G – B
Impressoras coloridas: CMY ou CMYK
![Page 55: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/55.jpg)
Processos Aditivo e Subtrativo
![Page 56: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/56.jpg)
Sistema de Cores YIQ
Transmissão de TV em cores: compatibilidade com TV P & B Y: luminância (intensidade percebida, ou brilho) I e Q: crominâncias
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Conversão YIQ-RGBConversão de RGB para YIQ:
Y = 0.299R + 0.587G + 0.114BI = 0.596R – 0.274G –0.322BQ = 0.211R – 0.523G + 0.312B
Conversão de YIQ para RGB :R = 1.000 Y + 0.956 I + 0.621 QG = 1.000 Y – 0.272 I – 0.647 QB = 1.000 Y – 1.106 I + 1.703 Q
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Sistema de Cores HSI
Fisiologicamente, a retina humana opera no sistema RGBA percepção subjetiva de cor édiferente Atributos perceptivos das cores:
Matiz (hue) ou tonalidadeSaturaçãoIntensidade
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Sistema de Cores HSIMatiz (H): determinada pelo comprimento de onda dominante; cor espectral mais próxima; denominação usual das coresH é um ângulo: 0o = R; 120o = G; 240o = BSaturação: pureza da cor quanto à adição de brancoS = 0: cor insaturada (nível de cinza)S = 1: cor completamente saturadaCores espectrais puras tem S = 1
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Sistema de Cores HSI
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Conversão HSI-RGB
Algoritmos nas Notas de Aula
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Imagem monocromática y
x
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Imagem monocromática
Função Ia(x,y)(x, y): coordenadas espaciais Ia(x,y): intensidade ou brilho da imagem em (x,y)
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Amostragem e Quantização
Digitalização: discretização espacial (amostragem) e de intensidade (quantização)
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Amostragem e Quantização
Sinal digital
Sinal analógico
Erros de quantização 0 T 2T 3T ...
0 q
2q
-2q ...
-q
...
Tempo ou espaço
Ampl
itude
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Amostragem e Quantização - ParâmetrosT: período de amostragem (unidade de espaço ou tempo)f = 1/T: freqüência de amostragem (amostras/unidade de espaço ou tempo)q: passo de quantizaçãoSinal analógico: s(t), s(x)Sinal digitalizado: s[nT], n inteiro não negativo, s[nT] {-Mq, ..., -2q, -q, 0, q, 2q, ..., Mq,}
∈
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Amostragem e Quantização – Exemplo 1Sinal analógico s(t): voltagem de saída de um sistema elétrico em função do tempo
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40
Vol
ts
segundos
Sinal analógico
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Amostragem e Quantização – Exemplo 1
T = 0.5s, q = 0.5V, M = 80: s[0.5.n], n = 0, 1, 2, ... s[0.5n] {-40, -39.5..., -0.5, 0, 0.5 1,...,39.5, 40}s[0]=9.5,s[0.5]=8,s[1]=-2, s[1.5]= -10.5, ...Sinal digital pode ser representado como s[n] {-M,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., M}s[0]=19, s[1]=16, s[2]=-4, s[3]=-21,...s[n] = {19, 16, -4, -20, ...}
∈
∈
![Page 69: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/69.jpg)
Amostragem e Quantização – Exemplo 2Em um processo de digitalização foram colhidas N=10 amostras de um sinal de temperatura (graus Celsius) igualmente espaçadas ao longo de um segmento de reta unindo duas cidades A e B. A primeira amostra foi colhida na cidade A e a última na cidade B. O sinal digital resultante és[n] = {12 12 13 13 14 13 14 14 14 15}Perguntas:
(a) Distância entre as cidades?(b) Valores de temperatura registrados?(c) Limites de temperatura registrável?(d) Qual o valor de s[5km]?
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Amostragem e Quantização – Solução do Exemplo 2
Precisamos conhecer f, q e M!Dados:
f = 0.1 amostra/kmq = 2o Celsius
M = 15;
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Amostragem e Quantização – Solução do Exemplo 2
T = 10 km/amostra(a) Distância entre as cidades =
(10-1)x10 = 90km(b) Temperaturas em graus Celsius: {24 24 26 26 28 26 28 28 28 30}(c) Limites de temperatura em graus Celsius: [-30, 30](d) s[5km]: no sinal digital s[nT] não hánT = 5km!
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Conversores Analógico-Digitais (ADC)
Conversor Analógico/Digital (Analog to Digital Converter - ADC): amostra, quantiza em L níveis e codifica em binário.Um transdutor deve converter o sinal de entrada para tensão elétrica (V)Códigos de b bits: L = 2b níveis de quantizaçãoExemplo: b = 8, L = 256ADC de b bits
![Page 73: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/73.jpg)
Conversores Analógico-Digitais (ADC)
ADC unipolar: voltagem de entrada de 0 a VrefADC bipolar: voltagem de entrada de -Vref a VrefExemplo: ADC unipolar de 3 bits, Vref = 10 V
L = 23 = 8, Resolução de voltagem: 10/8 = 1,25VExemplo: ADC bipolar de 3 bits, Vref = 5 V
L = 23 = 8, Resolução de voltagem: 10/8 = 1,25V
![Page 74: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/74.jpg)
ADC
Unipolar Bipolar
Voltagem Código Voltagem Código
[0,00, 1,25)
[1,25, 2,50)
[2,50, 3,75)
[3,75, 5,00)
[5,00, 6,25)
[6,25, 7,50)
[7,50, 8,75)
[8,75, 10,0)
000
001
010
011
100
101
110
111
[-5,0, -3,75)
[-3,75, -2,5)
[-2,5, -1,25)
[-1,25, 0,0)
[0,00, 1,25)
[1,25, 2,50)
[2,50, 3,75)
[3,75, 5,00)
000
001
010
011
100
101
110
111
![Page 75: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/75.jpg)
Conversores Analógico-Digitais (ADC)
O bit menos significativo (LSB) do código se altera em incrementos de 1,25V. Resolução de voltagem: “valor” do LSBAlguns parâmetros: fa, Vref, b, ...
![Page 76: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/76.jpg)
Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40V
olts
segundos
Sinal analógico
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40 f = 2 amostras/s (T = 0,5s), q = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 -40
-20
0
20
40Sinal analógico
reconstruído
![Page 77: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/77.jpg)
Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40V
olts
segundos
Sinal analógico
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40 f = 5 amostras/s (T = 0,2s), q = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 -40
-20
0
20
40Sinal analógico
reconstruído
![Page 78: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/78.jpg)
Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40V
olts
segundos
Sinal analógico
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40 f = 10 amostras/s (T = 0,1s), q = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 -40
-20
0
20
40Sinal analógico
reconstruído
![Page 79: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/79.jpg)
Amostragem e Quantização – Qualidade do Sinal
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40V
olts
segundos
Sinal analógico
0 1 2 3 4 5 6 7-40
-20
0
20
40 f = 10 amostras/s (T = 0,1s), q = 16
0 1 2 3 4 5 6 7 -40
-20
0
20
40Sinal analógico
reconstruído
![Page 80: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/80.jpg)
Imagem digital monocromática
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
95...163163............
142...161161142...161161
0 100 200 300 400 5000
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250 300 3500
50
100
150
200
250
i = 0
j = 266
![Page 81: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/81.jpg)
Resolução Espacial e de Contraste
256x256 / 256 níveis 256x256 / 64 níveis 256x256 / 2 níveis
32x32 / 256 níveis
![Page 82: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/82.jpg)
Imagens RGB
Banda R Banda G Banda B
Imagem RGB
![Page 83: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/83.jpg)
Imagens Digitais
Uma imagem é uma matriz bidimensional observada de forma pictórica.Imagens de densidade demográfica, de raios x, de infravermelho, de temperaturas de uma área, etc.
![Page 84: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/84.jpg)
Scanners
Monocromáticos: fila de diodos fotossensíveis em um suporte que se desloca
Lâmpada fluorescente branca ilumina o objeto
Diodos produzem carga elétrica proporcional à intensidade da luz refletida pelo objeto
Coloridos: fila de diodos fotossensíveis, recobertos por filtros R, G e B, em um suporte que se desloca
![Page 85: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/85.jpg)
Scanners
![Page 86: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/86.jpg)
Scanners
Th: distância entre diodos no suporteTv: tamanho do passo do suporteTh e Tv definem a resolução espacial
L: profundidade de cor ou resolução de contrasteResolução espacial: pontos por polegada (dot per inch, dpi) (1 ponto = 1 sensor em scanner monocromático, 3 sensores em scanners RGB)1 pol = 2,54 cm.
![Page 87: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/87.jpg)
Scanners
Ex: 300 x 300 dpi, digitalização de formato carta(8,5 x 11’’), no máximo:
8,5x300=2550 diodos (mono) ou3x2550=7650 diodos (cor)
Aumentar resolução vertical sem aumentar o número de sensores
![Page 88: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/88.jpg)
Scanners
...
N pontos/polegada
Movimento do braço: M passos/polegada
![Page 89: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/89.jpg)
Câmeras Digitais
![Page 90: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/90.jpg)
Câmeras DigitaisSensor de imagem: matriz de diodos fotosensíveis cobertos por filtros R, G e BDiodos produzem carga elétrica proporcional àintensidade da luz refletida pelo objetoResolução espacial de câmeras: número de pontos (ou pixels), RxC (1 ponto = 3 sensores)
![Page 91: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/91.jpg)
Câmeras Digitais
Exemplo: Sony DSC V1: 1944 x 2592 pixels = 5Mpixels. Digitalizar papel em formato carta com imagem da folha ocupando todo o sensor. Resolução (em dpi)? Comparar com scanner de 300 x 300 dpi, em qualidade, número de sensores e preço. Comparar com scanner de 2400 x 2400 dpi.
![Page 92: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/92.jpg)
Câmeras DigitaisSolução: 1944 / 8,5 pol x 2592/11 pol = 228,7 dpi x = 235,6 dpiResolução espacial pior que scanner de 300 x 300 dpi, com 1944 x 2592 x 3 / 7650 = 1976 vezes mais sensores, 10 a 20 vezes mais caro, aberrações geométricas e de cor, etc.Câmeras digitais têm escopo de aplicação maior e são mais rápidasScanner de 2400 x 2400 dpi = câmera de 500 Mpixels!
![Page 93: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/93.jpg)
Dispositivos Gráficos
Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000 pontos (6 Mpixels), impressa em formato 15x10 cm, com o mesmo no. de pontos. Qual a resolução (dpi) no papel?
![Page 94: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/94.jpg)
Dispositivos Gráficos
Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000 pontos (6 Mpixels). Imprimir em formato 15x10 cm, com o mesmo no. de pontos. Qual a resolução (dpi) no papel? 3,94 x 5,91 pol.Resolução (dpi): 3000/5,91 = 2000/3,94 = 507x507 dpi
![Page 95: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/95.jpg)
Dispositivos Gráficos
Ex: foto 10x15cm, scanneada a 1200x1200 dpi, 24 bits/pixel. Tamanho em bytes?Dimensões impressa em 1440x1440 dpi?Dimensões impressa em 720 x 720 dpi?Dimensões em tela de 14 pol., resolução 1024x768? Resolução em dpi da tela?Dimensões em tela de 17 pol., resolução 1024x768? Resolução em dpi da tela?
![Page 96: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/96.jpg)
Dispositivos GráficosSolução: Foto 10x15cm = 3,94 x 5,91 pol. Tamanho em bytes: 3,94x1200 x 5,91x1200 pixels x 3 bytes/pixel = 4728 x 7092 x 3 = 100 milhões de bytes (96 MB)Dimensões (pol) em impressora de 1440x1440 dpi: 4728/1440 x 7092/1440 = 3,3 x 4,9 pol.Dimensões (pol.) em impressora de 720 x 720 dpi = 6,6 x 9,9 pol
![Page 97: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/97.jpg)
Dispositivos Gráficos
Solução: Dimensões em tela de 14 pol., em resolução de 1024x768 pontos? Resolução em dpi da tela?
x2 + y2 = 142
x/y = 3/4x = 8,4 pol; y = 11,2 pol.
Res. = 1024/11,2 x 768/8,4 = 91,4 x 91,4 dpi.Dimensões = 4728 / 91,4 x 7092 / 91,4 =51,73 x 77,59 pol = 131,39 x 197,09cm (apenas parte da imagem será visível)
![Page 98: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/98.jpg)
Dispositivos Gráficos
Solução: Dimensões em tela de 17 pol., em resolução de 1024x768 pontos? Resolução em dpi da tela?
y = 13,6 pol; x = 10,2 polRes. = 1024/13,6 x 768/10,2 = 75,3 x 75, 3 dpi(pior que no monitor de 14 pol)Dimensões = 4728 / 75,3,4 x 7092 / 75,3 =62,79 x 94,18 pol = 159,49 x 239,22cm (apenas parte da imagem será visível)
![Page 99: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/99.jpg)
Câmeras Digitais
...
...
![Page 100: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/100.jpg)
Monitor CRT
A e C: Placas aceleradoras e defletorasD: tela com pontos de fósforos RGBF: Máscara de sombra ou grade de abertura
![Page 101: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/101.jpg)
Monitor CRT
![Page 102: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/102.jpg)
Monitor RGB
![Page 103: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/103.jpg)
Monitor RGB
Linha 0
Linha 1
Linha R-1
![Page 104: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/104.jpg)
Operações com Imagens
Espaço / freqüênciaLocais / pontuaisUnárias / binárias / ... / n-árias
![Page 105: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/105.jpg)
Operações n-árias
Operação T sobre n imagens, f1, f2, ..., fn, produzindo imagem de saída g
g = T[f1, f2, ..., fn]
Operações binárias: n = 2Operações unárias ou filtros: n = 1
g = T[f]
![Page 106: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/106.jpg)
Operações Pontuaisg(i, j) depende do valor do pixel em (i’, j’) das imagens de entradaSe (i, j) = (i’, j’) e operação unária:s = T(r)
r, s: nível de cinza de f e g em (i, j)
m (0,0) (0,0) m r r
s s
![Page 107: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/107.jpg)
Operações Pontuais
(0,0) r
s
L-1
L-1
(0,0) r
s
L-1
L-1
(r1, s1)
(r2, s2)
![Page 108: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/108.jpg)
Operações Locaisg(i, j) depende dos valores dos pixels das imagens de entrada em uma vizinhança de (i’, j’)
i
j
Vizinhança de (i, j)
i
j
f g
![Page 109: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/109.jpg)
Operações LocaisExemplo: Filtro “Média”
)]1,1(),1()1,1( )1,(),()1,(
)1,1(),1()1,1([91),(
+++++−++++++−+
++−+−+−−=
jifjifjifjifjifjif
jifjifjifjig
Operação sobre pixels da imagem original: resultado do filtro em um dado pixel não altera o resultado em outros pixels.
Primeira e última coluna/linha?
![Page 110: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/110.jpg)
Filtros de suavização
Média, Moda, Mediana, Gaussiano...Vizinhança m x n
![Page 111: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/111.jpg)
Photoshop!
![Page 112: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/112.jpg)
Photoshop!
![Page 113: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/113.jpg)
Photoshop!
![Page 114: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/114.jpg)
Photoshop!
![Page 115: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/115.jpg)
Filtros de aguçamento e detecção de bordas
Efeito contrário ao de suavização: acentuam variações de intensidade entre pixels adjacentes. Baseados no gradiente de funções bidimensionais. Gradiente de f(x, y):
G[f(x, y)] =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
yf
xf
∂∂
∂∂ 2/122
)],([⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
yf
xfyxfG
∂∂
∂∂
![Page 116: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/116.jpg)
Filtros de detecção de bordasg(i, j): aproximação discreta do módulo do vetor gradiente em f(i, j). Aproximações usuais:
g(i, j) = {[f(i,j)-f(i+1,j)]2 + [f(i,j)-f(i,j+1)]2}1/2
g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j)| + |f(i,j)-f(i,j+1)|
Gradiente de Roberts:g(i,j) = {[f(i,j)-f(i+1,j+1)]2+[f(i+1,j)-f(i,j+1)]2}1/2
g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j+1)| + |f(i+1,j)-f(i,j+1)|
![Page 117: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/117.jpg)
Filtros de detecção de bordasGradiente de Prewitt:
g(i, j) = |f(i+1,j-1) + f(i+1, j) + f(i+1, j+1) - f(i-1, j-1) - f(i-1, j) - f(i-1, j+1)|
+|f(i-1, j+1) + f(i, j+1) + f(i+1, j+1)- f(i-1, j-1) - f(i, j-1) - f(i+1, j-1)|
Gradiente de Sobel:g(i, j) = |f(i+1, j-1) + 2f(i+1, j) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - 2f(i-1, j) - f(i-1, j+1)|+ |f(i-1, j+1) + f(i, j+1) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - 2f(i, j-1) - f(i+1, j-1)|
![Page 118: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/118.jpg)
Gradiente de Roberts
Limiares 15, 30 e 60
![Page 119: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/119.jpg)
Processamento de Histograma
Se o nível de cinza l ocorre nl vezes em imagem com n pixels, então
nn
lP l=)(
Histograma da imagem é uma representação gráfica de nl ou P(l)
![Page 120: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/120.jpg)
Histograma
3 3
Histograma
Imagem
l
nl
7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0
0 0 1
3 3 3 0 0
3 3 1 1 1
Imagem 3 x 5 (L = 4) e seu histograma
![Page 121: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/121.jpg)
Histograma
O histograma representa a distribuição estatística de níveis de cinza de uma imagem
l
nl
255 0
l
nl
255 0
l
nl
255 0
![Page 122: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/122.jpg)
Histograma
0 50 100 150 200 250
0
2000
4000
6000
8000
10000
![Page 123: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/123.jpg)
Histograma
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
![Page 124: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/124.jpg)
Expansão de Histograma
Quando uma faixa reduzida de níveis de cinza é utilizada, a expansão de histograma pode produzir uma imagem mais rica.
l
nl
L-1 m0=0 l
nl
L-1 0 l
nl
m1=L-1 0 m0 m1
A B C
m1 m0
![Page 125: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/125.jpg)
Expansão de Histograma
Quando uma faixa reduzida de níveis de cinza é utilizada, a expansão de histograma pode produzir uma imagem mais rica:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
== )1()(minmax
min Lrr
rrroundrTs
![Page 126: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/126.jpg)
Expansão de Histograma
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
![Page 127: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/127.jpg)
Expansão de Histograma
Expansão é ineficaz nos seguintes casos:
l
nl
L-1 0 l
nl
L-1 0 l
nl
L-1 0 m0 m1
A B C
L-1
![Page 128: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/128.jpg)
Equalização de Histograma
Se a imagem apresenta pixels de valor 0 e L-1 (ou próximos a esses extremos) a expansão de histograma é ineficaz. Nestas situações a equalização de histograma pode produzir bons resultados. O objetivo da equalização de histograma é gerar uma imagem com uma distribuição de níveis de cinza uniforme.
![Page 129: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/129.jpg)
Equalização de Histograma
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∑−
===
r
lln
RCLroundrTs
0
1)(
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
![Page 130: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/130.jpg)
Equalização de Histograma
Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
l nl 0 790 1 1023 2 850 3 656 4 329 5 245 6 122 7 81
l
nl
1200
1000
800
600
400
200 0
7 6 5 4 3 2 1 0
![Page 131: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/131.jpg)
Equalização de Histograma
Exemplo (cont.):r = 0 s = round(790 x 7 / 4096) = 1r = 1 s = round(1813 x 7 / 4096) = 3r = 2 s = round(2663 x 7 / 4096) = 5r = 3 s = round(3319 x 7 / 4096) = 6r = 4 s = round(3648 x 7 / 4096) = 6r = 5 s = round(3893 x 7 / 4096) = 7r = 6 s = round(4015 x 7 / 4096) = 7r = 7 s = round(4096 x 7 / 4096) = 7
![Page 132: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/132.jpg)
Equalização de Histograma
Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
l nl 0 0 1 790 2 0 3 1023 4 0 5 850 6 985 7 448
k
nk
1200 1000
800
600
400
200
0 7 6 5 4 3 2 1 0
![Page 133: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/133.jpg)
Equalização de Histograma
l
nl
L-1 0 l
nl
L-1 0 l
nl
L-1 0 m0 m1
Hist. Original Hist. Equal. (Ideal)
L-1
Hist. Equal. (Real)
![Page 134: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/134.jpg)
Equalização de Histograma
Expansão de histograma é pontual ou local? E equalização de histograma?O que ocorre quando uma imagem com um único nível passa pela operação de equalização de histograma? Melhor fazer equalização seguido por expansão de histograma, o inverso, ou a ordem não importa?
![Page 135: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/135.jpg)
Equalização de Histograma Local
Para cada locação (i,j) de f
• Calcular histograma na vizinhança de (i,j)
• Calcular s = T(r) para equalização de histograma na vizinhança
• G(i,j) = s
![Page 136: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/136.jpg)
Controle de contraste adaptativo
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−+=
0),();,(
0),()];,(),([),(
),(),(
jijif
jijijifji
cjijig
σ
σμσ
μ
![Page 137: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/137.jpg)
Controle de contraste adaptativo
![Page 138: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/138.jpg)
Filtros baseados na função gaussiana
Função gaussiana:
Derivada:
Derivada segunda:
![Page 139: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/139.jpg)
Filtros baseados na função gaussiana
Gaussiana, derivada e derivada segunda
![Page 140: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/140.jpg)
Filtros baseados na função gaussiana
A máscara é construída pela amostragem de G(x), G’(x) e G’’(x) x = -5σ, ...-2, -1, 0, 1, 2..., 5σ
![Page 141: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/141.jpg)
Filtros gaussianos bidimensionais
Com r = sqrt(x2 + y2)
![Page 142: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/142.jpg)
Pseudo-cor
Nível de cinza
R G B
0 15 20 30
1 15 25 40
...
L-1 200 0 0
![Page 143: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/143.jpg)
Outros filtros:
Curtose, máximo, mínimo etc.Filtros de suavização + filtros de aguçamentoLaplaciano do Gaussiano (LoG)“Emboss”Aumento de saturaçãoCorreção de gama...
![Page 144: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/144.jpg)
Filtros Lineares e Invariantes ao Deslocamento
Filtro linear:T [af1 + bf2] = aT [f1] + bT [f2]
para constantes arbitrárias a e b.Filtro invariante ao deslocamento:Se g[i, j] = T [f[i, j]] então g[i - a, j – b] = T [f[i - a, j – b]].Se i e j são coordenadas espaciais: filtros espacialmente invariantes.
![Page 145: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/145.jpg)
Convolução
Convolução de s(t) e h(t):
∫∞∞−
−== τττ dthsthtstg )()()(*)()(
![Page 146: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/146.jpg)
Convolução∫∞∞−
−== τττ dthsthtstg )()()(*)()(
t2 t3
)(τh
0 τ
-t2 -t3 0 τ
)( τ−h
-t2+t -t3+t
)( τ−th
τ
t0 t1 (0,0)
s(t)
t
![Page 147: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/147.jpg)
Convolução
Observe que g(t) = 0 para
][ 3120 t, t ttt ++∉
![Page 148: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/148.jpg)
Convolução Discreta LinearConvolução linear entre s[n] e h[n]
∑∞
−∞=−==
τττ ][][][*][][ nhsnhnsng
Se s[n] e h[n] têm N0 e N1 amostras, respectivamente => extensão com zeros:
∑−
=−==
1
0][][][*][][
Nnhsnhnsng
τττ
com N = N0 + N1 – 1.
![Page 149: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/149.jpg)
Convolução Discreta Linear
0 1 2 3 4 5 6
2
4
6 )(τs
τ 0 1 2 3 4 5
2
4
6 )(τh
τ
0 -1
2
4
6
-2 -3 -4 1 -5
)( τ−h
τ
2
4
6
n
)( τ−nh
τ
![Page 150: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/150.jpg)
Convolução Discreta Linear
g[0] = 3
0 1 2 3 4 5 6
2
4
6 )(τs
τ
0 -1
2
4
6
-2 -3 -4 1 -5
)( τ−h
τ
![Page 151: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/151.jpg)
Convolução Discreta Linear
g[0] = 3
g[1] = 8
0 1 2 3 4 5 6
2
4
6 )(τs
τ
0 -1
2
4
6
-2 -3 -4 1 -5
)1( τ−h
τ
![Page 152: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/152.jpg)
Convolução Discreta Linear
0 1 2 3 4 5 6
2
4
6 s[n]
n
0 1 2 3 4 5
2
4
6 h[n]
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10
20
30 g[n] = s[n]* h[n]
n
![Page 153: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/153.jpg)
Convolução Discreta Linear
Filtro h[n]
s[n] g[n]
∑∞
−∞=−==
τττ ][][][*][][ nhsnhnsng
![Page 154: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/154.jpg)
Impulso UnitárioDelta de Dirac ou impulso unitário contínuo
1
δ(t)
0 t
Delta de Kroneckerou impulso unitário discreto
1
δ[n]
n 0
Duração = 0Área = 1
![Page 155: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/155.jpg)
Sinais = somatório de impulsos
Delta de Kronecker
A
Aδ[n-n0]
n0 0 n
)]1([]1[....]1[]1[][]0[][ −−−++−+= NnNsnsnsns δδδ
∑−
=
−=1
0][][][
Nnsns
τ
τδτ
![Page 156: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/156.jpg)
Resposta ao impulso
Resposta de um filtro a s[n]:
∑∑−
=
−
=−=−=
1
0
1
0][][][][][
NNnshnhsng
ττττττ
Resposta de um filtro ao impulso
∑∑−
=
−
=
−=−=1
0
1
0][][][][][
NNhnnhng
ττ
ττδττδ
∑−
=
−=1
0][][][
Nhnnh
τ
ττδ
![Page 157: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/157.jpg)
Resposta ao impulso
h[n]: Resposta ao impulsoMáscara convolucionalKernel do filtroVetor de coeficientes do filtro
![Page 158: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/158.jpg)
Filtros FIR
Finite Impulse Response
∑−
=−=
1
0][][
N
kk knxany
][khak =
![Page 159: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/159.jpg)
Filtros IIR
Infinite Impulse Response
∑∑−
=
−
=−−−=
1
1
1
0][][][
M
kk
N
kk knybknxany
Filtros recursivos
![Page 160: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/160.jpg)
Filtros IIR (exemplo)
Encontre a resposta ao impulso do seguinte sistema recursivo. Supor que o sistema está originalmente relaxado (y[n] = 0 para n < 0)
y[n] = x[n] - x[n-1] – 0,5y[n-1]
![Page 161: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/161.jpg)
Filtros IIR (exemplo)
Exemplo: y[n] = x[n] - x[n-1] – 0,5y[n-1]y[0] = delta[0]–delta[-1]–0,5y[-1] = 1y[1] = delta[1]–delta[0]–0,5y[0] = -1,5y[2] = delta[2]–delta[1]–0,5y[1] = 0,75y[3]= delta[3]–delta[2]–0,5y[2] = -0,325y[n] = -0,5y[n-1], n > 1
![Page 162: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/162.jpg)
Filtros IIR (exemplo 2)
Exemplo: encontre a resposta ao impulso do seguinte sistema recursivo. Supor que o sistema está originalmente relaxado (y[n] = 0 para n < 0)
y[n] - y[n-1] = x[n] - x[n-4]
![Page 163: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/163.jpg)
Filtros IIR (exemplo 2)
Exemplo (Solução)y[n] = y[n-1] + x[n] - x[n-4]y[0] = y[-1] + delta[0] - delta[-4] = 1y[1] = y[0] + delta[1] - delta[-3] = 1y[2] = y[1] + delta[2] - delta[-2] = 1y[3] = y[2] + delta[3] - delta[-1] = 1y[4] = y[3] + delta[4] - delta[0] = 0y[5] = y[4] + delta[5] - delta[1] = 0y[6] = y[7] = ... = 0
![Page 164: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/164.jpg)
Convolução Discreta Circular
Sinais s[n] e h[n] com N0 e N1 amostras, respectivamente => extensão com zeros:
⎩⎨⎧
<≤<≤
=NnNNnns
nse0
0 ,0
0 ],[][
⎩⎨⎧
<≤<≤
=NnNNnnh
nhe1
1 ,0
0 ],[][
Extensão periódica: considera-se que se[n] e he[n] são períodos de sp[n] e hp[n] Convolução circular:
∑−
=−=⊗=
1
0][][][][][
Nppp nhsnhnsng
τττ
![Page 165: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/165.jpg)
Convolução Circular x Linear
Fazendo-se N = N0 + N1 – 1
][*][][][ nhnsnhns =⊗
![Page 166: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/166.jpg)
Convolução de Imagens
f[i, j] (R0xC0) e h[i, j] (R1xC1): extensão por zeros
∑ ∑−
=
−
=−−==
1
0
1
0],[],[],[*],[],[
R Cjihfjihjifjig
α ββαβα
∑ ∑−
=
−
=−−=⊗=
1
0
1
0],[],[],[],[],[
R Cppp jihfjihjifjig
α ββαβα
Iguais se R=R0+R1–1 e C=C0+C1–1
![Page 167: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/167.jpg)
Máscaras Convolucionais
1 1 1
0 0 0
-1 -1 -1
1 0 -1
1 0 -1
1 0 -1
-1 -1 -1
-1 8 -1
-1 -1 -1
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9
0.025 0.1 0.025
0.1 0.5 0.1
0.025 0.1 0.025
![Page 168: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/168.jpg)
Operador de Bordas de Kirsch5 5 5
-3 0 -3
-3 -3 -3
-3 5 5
-3 0 5
-3 -3 -3
-3 -3 5
-3 0 5
-3 -3 5
-3 -3 -3
-3 0 5
-3 5 5
-3 -3 -3
-3 0 -3
5 5 5
...
Filtragem sucessiva com cada máscaraPixel de saída recebe o valor máximo
![Page 169: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/169.jpg)
Máscaras Convolucionais
Em geral:Máscaras de integração somam para 1Máscaras de diferenciação somam para 0
![Page 170: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/170.jpg)
Transformada z
Transformada z de x[n]:n
nznxzXnxZ −
∞
−∞=∑== ][][]}[{
z: variável complexa
![Page 171: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/171.jpg)
Propriedades da Transformada z
Linearidade: Se x[n] = ax1[n] + bx2[n], (a e b: constantes arbitrárias), então:
][][][ 21 zbXzaXzX +=
![Page 172: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/172.jpg)
Propriedades da Transformada z
Deslocamento: Z{x[n+k]} = zkX[z], k inteiro
Prova:∑∞
−∞=
−+=+n
nzknxknxZ ][]}[{
Fazendo m = n+k:
∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
−− ===+m
knk
m
kn zXzzmxzzmxknxZ ][][][]}[{ )(
![Page 173: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/173.jpg)
Propriedades da Transformada z
Convolução:
][][][][][][*][][ zXzHzYknxkhnxnhnyk
=<=>−== ∑
Se h[n] é a resposta ao impulso de um filtro, H[z] é a função de transferência do filtro
∞
−∞=
![Page 174: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/174.jpg)
Propriedades da Transformada z
Convolução (Prova)
∑ ∑∞
−∞=
−∞
−∞= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
n
n
kzknxkhnxnhZ ][][]}[*][{
∑ ∑∞
−∞=
−∞
−∞=−=
k
n
nzknxkh ][][
∑ ∑∞
−∞=
−∞
−∞=
−=k
n
n
k znxzkh ][][
][][ zXzH=
![Page 175: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/175.jpg)
Função de Transferência
Equação de diferenças de um filtro
1
][][
][][][
0
1
0
1
0
1
1
1
0
=
−=−
−−−=
∑∑
∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
b
knxaknyb
knybknxany
N
kk
M
kk
M
kk
N
kk
![Page 176: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/176.jpg)
Função de Transferência
Transformada Z da Equação de diferenças
∑∑
∑∑
∑∑
−
=
−−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−=−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
][][
}][{]}[{
][][
N
k
kk
M
k
kk
N
kk
M
kk
N
kk
M
kk
zXzazYzb
knxZaknyZb
knxaZknybZ
![Page 177: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/177.jpg)
Função de TransferênciaAplicando a transformada z em ambos os lados e simplificando:
kM
kk
kN
kk
zb
za
zXzYzH
−−
=
−−
=
∑
∑
+
== 1
1
1
0
1][][][
Pólos: raízes do denominadorZeros: raízes do numeradorPólos e zeros: estabilidade
![Page 178: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/178.jpg)
Função de Transferência
BIBO: Bounded-input, bounded-outputSistemas BIBO-estáveis: sistemas causais tais que:
∞<∑∞
=0|][|
kkh
![Page 179: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/179.jpg)
Estimação da Resposta em Freqüência
Resposta em freq. a partir de H[z]
∑−
=
−=
1
0
2
][1][N
n
Nunj
ensN
uFπ
Comparar com
πωωω 20 ,][][
][][
≤≤=
=
∑
∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
n
jnj
n
n
enheH
znhzH
![Page 180: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/180.jpg)
Estimação da Resposta em Freqüência
Exemplo: encontre a resposta em freqüência do filtro y[n] = (x[n] + x[n-1])/2 utilizando a transformada ZY[z] = (X[z] + z-1X[z] )/2 = X[z](1+z-1)/2H[z] = (1+z-1)/2H[ejw] = (1+e-jw)/2 = e-jw/2 (ejw/2 + e-jw/2)/2 = e-jw/2cos(w/2)|H[ejw]| = cos(w/2), -pi< w < pi
![Page 181: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/181.jpg)
Estimação da Resposta em Freqüência
Exemplo: encontre a resposta em freqüência do filtro y[n] = (x[n] - x[n-1])/2 utilizando a transformada ZY[z] = (X[z] - z-1X[z] )/2 = X[z](1-z-1)/2H[z] = (1-z-1)/2H[ejw] = (1-e-jw)/2 = e-jw/2 (ejw/2 - e-jw/2)/2 = je-jw/2sen(w/2)|H[ejw]| = |sen(w/2)|, -pi< w < pi
![Page 182: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/182.jpg)
Correlação
Convolução:
∑∞
−∞=−==
τττ ][][][*][][ nhsnhnsng
Correlação:
∑∞
−∞=−==
τττ ][][][][][ nhsnhnsng o
Quando um dos sinais é par, correlação = convolução
![Page 183: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/183.jpg)
Correlação
Exemplo:h[-1] = 3; h[0] = 7; h[1] = 5;s[0..15] = {3, 2, 4, 1, 3, 8, 4, 0, 3, 8, 0,
7, 7, 7, 1, 2}
Extensão com zeros
![Page 184: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/184.jpg)
Correlação
Exemplo:
...
39]1[]3[]0[]2[]1[]1[]2[][]2[
43]1[]2[]0[]1[]1[]0[]1[][]1[
31]1[]1[]0[]0[][][]0[
15]1[]0[]1[
3
1
2
0
1
0
=++−=−=
=++−=−=
=+==
==−
∑
∑
∑
=
=
=
hshshshsg
hshshshsg
hshshsg
hsg
τ
τ
τ
ττ
ττ
ττ
![Page 185: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/185.jpg)
Correlação
Exemplo:g[0..15] = 31, 43, 39, 34, 64, 85, 52, 27,
61, 65, 59, 84, 105, 75, 38, 27Observe que g[5] é elevado, pois éobtido centrando h em s[5] e calculando a correlação entre (3, 7, 5) e (3, 8, 4)Mas g[12] é ainda maior, devido aos valores elevados de s[11..13]
![Page 186: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/186.jpg)
Correlação Normalizada
A correlação normalizada elimina a dependência dos valores absolutos dos sinais:
∑∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−
−=•=
ττ
τ
ττ
ττ
22 ])[(])[(
][][][][][
nhs
nhsnhnsng
![Page 187: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/187.jpg)
Correlação Normalizada
Resultado para o exemplo anterior:g[0..15] = .??? .877 .934 .73 .81 .989 .64 .59 .78 .835 .61 .931 .95 .83 .57 .???Valor máximo: g[5]
![Page 188: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/188.jpg)
Detecção e estimação
Fonte:
http://www.dspguide.com/ch7/3.htm
![Page 189: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/189.jpg)
Detecção e estimaçãoGaivota, “filtro casado” (olho) e imagem de correlação normalizada (máximo no olho)
Fonte: http://www.dca.fee.unicamp.br/dipcourse/html-dip/c6/s5/front-page.html
![Page 190: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/190.jpg)
Estimação Espectral
O cálculo direto do espectro de amplitudes e fases não é fidedigno
O espectro pode variar muito em diferentes seções de um mesmo sinal.
O problema pode ser causado por ruído, escassez de dados, comportamento não estacionário etc.
Variância é um indicador de qualidade
![Page 191: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/191.jpg)
PeriodogramaO quadrado do módulo do espectro de amplitudes: densidade espectral de potência (PSD), ou espectro de potência
Resolução espectral diminui
Variância se reduz por fator K1/2
Periodograma: dividir sinal em K seções adjacentes (com ou sem intersecção) de mesmo tamanho; obter PSD de cada seção; obter média das PSDs
![Page 192: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/192.jpg)
Janelamento (windowing)
Todo sinal discreto obtido a partir de um sinal analógico é resultado da multiplicação de um sinal discreto de duração infinita por um pulso, ou janela, retangular:
⎩⎨⎧ <≤
=contrário caso 0
0 1 Nnwn
![Page 193: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/193.jpg)
Janelamento (windowing) A janela retangular pode gerar grandes descontinuidades na forma de onda original
![Page 194: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/194.jpg)
Janelamento (windowing)
Multiplicação no tempo equivale a convolução na freqüência (Fourier)
DFT da janela retangular: função sinc(sine cardinal, kernel de Dirichlet, função de amostragem):
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=contrário caso sen
0 1)(sinc
xx
xx
![Page 195: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/195.jpg)
Janelamento (windowing)
A convolução com um sinc introduz distorções no espectro
Janelas mais “suaves” reduzem estas distorções, mas distorcem mais as amostras centrais-> Compromisso
Dezenas dessas janelas tem sido avaliadas e utilizadas em diversas aplicações
![Page 196: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/196.jpg)
Janela de Hamming
⎪⎩
⎪⎨
⎧<≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
=contrário caso 0
Nn0 1
2cos46,054,0N
nwn
π
![Page 197: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/197.jpg)
Janela de HammingSeno multiplicado por janela retangular e de Hamming
![Page 198: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/198.jpg)
Janela de HammingDFT de seno multiplicado por janela retangular e de Hamming
![Page 199: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/199.jpg)
Outras Janelas
Blackman-Harris, Dolph-Chebyshev, Kaiser-Bessel (superiores?)
Tukey, Poisson, Hanning etc
![Page 200: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/200.jpg)
Dissolve Cruzado
ht (i, j)= (1 - t) f(i, j) + t g(i, j)t é um escalar no intervalo [0, 1]
![Page 201: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/201.jpg)
Dissolve Cruzado
t = 0,3 t = 0,5 t = 0,7
![Page 202: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/202.jpg)
Dissolve Cruzado Não-Uniforme
ht(i, j)= [1 - t(i, j)] f(i, j) + t(i, j) g(i, j)t é uma matriz com as mesmas dimensões de f e g cujos elementos assumem valores no intervalo [0, 1]
![Page 203: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/203.jpg)
Dissolve Cruzado Não-Uniforme
t(i,j)=(i+j)/(R+C-2) t(i,j)=j/(C-1) t(i,j)=i/(R-1)
![Page 204: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/204.jpg)
Detecção de Movimento
⎩⎨⎧ ≥−−
=contrario caso ,0
|| se ,1 21 tLffLg
f1 f2 g
![Page 205: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/205.jpg)
Redução de Ruído por Média de Imagens
f[i, j] imagem sem ruídonk(i, j) ruído de média mgk[i,j] = f[i,j] + nk(i,j)
∑=
=M
kk jig
Mjig
1],[1],[
![Page 206: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/206.jpg)
Redução de Ruído por Média de Imagens
)),(],[(1],[1
jinjifM
jig k
M
k+= ∑
=
∑=
+=M
kk jin
Mjifjig
1),(1],[],[
mjifjig += ],[],[
Para M grande:
![Page 207: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/207.jpg)
Operações Topológicas
RígidasTranslaçãoRebatimentoRotaçãoMudança de Escala
Não rígidas (Warping)
![Page 208: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/208.jpg)
Rotação
Rotação em torno de (ic, jc)
ccc
cccjjjiij
ijjiii+−+−=+−−−=
θθθθ
cos)(sen)('sen)(cos)('
![Page 209: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/209.jpg)
Rotação e Rebatimento
Imagem original Rebatimento pela diagonal
Rotação de 90 graus em torno de (R/2,C/2)
![Page 210: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/210.jpg)
Ampliação (Zoom in)
10 10
20 30
10 10 10 10 10 1010 10 10 10 10 1010 10 10 10 10 1020 20 20 30 30 3020 20 20 30 30 3020 20 20 30 30 30
Por replicação de pixels
Original Ampliação por fator 3
![Page 211: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/211.jpg)
Ampliação (Zoom in)
10 10
20 3010 10 10 10 10 10
20 23 27 30 33 37
Por interpolação bilinear
Original Ampliação por fator 3
Interpolação nas linhasPassos de níveis de cinza:10 a 10: 020 a 30: (30-20)/3 = 3,3
![Page 212: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/212.jpg)
Ampliação (Zoom in)
10 10
20 3010 10 10 10 10 1013 14 16 17 18 1917 19 21 23 25 2820 23 27 30 33 3723 27 33 37 41 4627 32 38 43 48 55
Por interpolação bilinear
Original Ampliação por fator 3
Interpolação nas colunasPassos de níveis de cinza:10 a 20: (20-10)/3 = 3,310 a 23: (23-10)/3 = 4,310 a 27: (27-10)/3 = 5,7...
![Page 213: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/213.jpg)
Ampliação (Zoom in)
Exemplo: Ampliação por fator 10
Original Replicação Interpolação
![Page 214: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/214.jpg)
Redução (Zoom out)
14 18
28 41
10 10 10 10 10 1013 14 16 17 18 1917 19 21 23 25 2820 23 27 30 33 3723 27 33 37 41 4627 32 38 43 48 55
Por eliminação de pixelPor Média
Original Redução por fator 3
![Page 215: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/215.jpg)
Reconstrução de Imagens
Zoom por fatores não inteiros Ex: F = 3,75432Operações elásticas, etc.Técnicas mais avançadas devem ser utilizadasUma dessas técnicas é a reconstrução de imagens
![Page 216: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/216.jpg)
Reconstrução de imagens
Dados f(i,j), f(i,j+1), f(i+1,j), f(i+1,j+1) (i, j)
(x,y)
(i, j+1)
(i+1, j) (i+1, j+1)
(i, y)
(i+1, y)
Reconstrução:Encontrar f(x,y),x em [i, i+1]y em [j, j+1]
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Reconstrução de imagens por interpolação bilinear
(i, j)
(x,y)
(i, j+1)
(i+1, j) (i+1, j+1)
(i, y)
(i+1, y)
f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)]f(x, y) = f(i, y) + (x – i) [f(i+1, y) - f(i, y)]
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Reconstrução de imagensEx: f(10.5, 15.2)=?
f(10, 15) = 10; f(10, 16) = 20;f(11,15) = 30; f(11, 16) = 30
![Page 219: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/219.jpg)
Reconstrução de imagensSolução:x = 10.5; y = 15.2 => i = 10; j = 15f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]f(10, 15.2)=f(10,15)+(15.2-15)*[f(10,16)-f(10,15)
= 10 + 0.2*[20 – 10] = 12f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)]f(11, 15.2)=f(11,15)+(15.2-15)*[f(11,16)-f(11,15)
=30 + 0.2*[30 – 30] = 30f(x, y) = f(i, y) + (x–i) [f(i+1, y) - f(i, y)]f(10.5, 15.2)=12+(10.5-10)*[30-12] =21
![Page 220: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/220.jpg)
Zoom por reconstrução de imagens
Ex: Ampliação por fator 2.3Passo para as coordenadas: 1/2.3 = 0.43x = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04...y = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04... g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 0.43);g(0,2) = f(0, 0.87); g(0,3) = f(0, 1.30);...
Ex: Redução por fator 2.3x = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8...y = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8...g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 2.3);g(0,2) = f(0, 4.6); g(0,3) = f(0,6.9);...
![Page 221: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/221.jpg)
Operações Topológicas Não Rígidas (warping)
Warping = distorçãoZoom por fator F(i, j)Rotação por ângulo teta(i,j)Translação com deslocamento d(i,j)Warping especificado pelo usuário
![Page 222: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/222.jpg)
Warping baseado emCampos
EntretenimentoEfeitos especiaisCorreção de distorções óticasAlinhamento de elementos da imagens (registro)MorphingModelagem e visualização de deformações físicas
![Page 223: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/223.jpg)
Warping baseado emCampos
1. Características importantes da imagem são marcados por segmentos de reta orientados (vetores de referência)
2. Para cada vetor de referência, um vetor alvo é especificado, indicando a transformação que se pretende realizar
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Warping baseado emCampos
3. Para cada par de vetores referência-alvo, encontra-se o ponto X’ para onde um ponto X da imagem deve migrar, de forma que as relações espaciais entre X’ e o vetor alvo sejam idênticas àquelas entre X e o vetor de referência
4. Parâmetros para as relações espaciais : u e v
![Page 225: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/225.jpg)
Warping baseado emCampos
![Page 226: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/226.jpg)
Warping baseado emCampos
u: representa o deslocamento normalizado de P até O no sentido do vetor PQ (Normalizado: dividido pelo módulo de PQ)v: distância de X àreta suporte de PQ
![Page 227: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/227.jpg)
Warping baseado emCampos
Se O=P, u = 0Se O=Q, u = 1Se O entre P eQ, 0<u<1; Se O após Q, u>1 Se O antes de P, u<0
![Page 228: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/228.jpg)
Warping baseado emCampos
Encontrar u e v: norma, produto interno, vetores perpendiculares, projeção de um vetor sobre outro.Vetores a = (x1, y1) e b = (x2, y2)Norma de a:
Produto interno:a.b = x1x2 +y1y2
21
21|||| yx += a
![Page 229: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/229.jpg)
Warping baseado emCampos
Norma da projeção de a sobre b:
a
b
c
||||||||
ba.b c =
![Page 230: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/230.jpg)
Warping baseado emCampos
Vetores b = (x2, y2) perpendicular a a= (x1, y1) e de norma igual à de a:
ab
Perpendicularidade: x1x2 +y1y2 = 0Mesma norma: x2
2 + y22 = x1
2 + y12
![Page 231: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/231.jpg)
Warping baseado emCampos
Soluções:x2 = y1, y2 = -x1
x2 = -y1, y2 = x1
ab
b’
![Page 232: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/232.jpg)
Warping baseado emCampos
Parâmetro u: norma da projeçãode PX sobre PQ,dividido pela norma de PQ
2|||| PQPQPXu . =
![Page 233: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/233.jpg)
Warping baseado emCampos
P = (xp,yp), Q = (xq, yq), X = (x,y)
2|||| PQPQPXu . =
u = (x - xp).(xq - xp) + (y -yp)(yq – yp)(xq-xp)2 + (yq-yp)2
![Page 234: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/234.jpg)
Warping baseado emCampos
Parâmetro v: distância de X àreta suporte de PQ
|||| PQPQPXv ⊥
=.
⊥v: vetor perpendicular a v e de mesma norma que este.
![Page 235: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/235.jpg)
Warping baseado emCampos
PQ = (Xq-Xp, Yq-Yp)⊥PQ1 = (Yq–Yp, Xp-Xq)⊥PQ2 = (Yp–Yq, Xq-Xp)Vamos usar ⊥PQ1
![Page 236: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/236.jpg)
Warping baseado emCampos
Parâmetro v:
|||| PQPQPXv ⊥
=.
v = (x-xp)(yq-yp) + (y-yp)(xp–xq)[(xq-xp)2 + (yq-yp)2]
![Page 237: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/237.jpg)
Warping baseado emCampos
Cálculo de X’:
||''||''''.''
QPQPvQPuPX ⊥
++=.
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Warping baseado emCampos
2|||| PQPQPXu . =
||''||''''.''
QPQPvQPuPX ⊥
++=.
|||| PQPQPXv ⊥
=.
![Page 239: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/239.jpg)
Warping baseado emCampos
Quando há mais de um par de vetores referência-alvo, cada pixel sofre a influência de todos os pares de vetoresSerá encontrado um ponto Xi’ diferente para cada par de vetores referência-alvo.Os diferentes pontos para os quais o ponto X da imagem original seria levado por cada par de vetores referência-alvo são combinados por intermédio de uma média ponderada, produzindo o ponto X’para onde X será efetivamente levado.
![Page 240: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/240.jpg)
Warping baseado emCampos
![Page 241: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/241.jpg)
Warping baseado emCampos
Peso da coordenada definida pelo i-ésimopar de vetores de referência-alvo:
di: Distância entre X e o segmento PiQili: ||Pi Qi||a, b e p : Parâmetros não negativos
![Page 242: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/242.jpg)
Warping baseado emCampos
Relação inversa com a distância entre a reta e o ponto XParâmetro a : Aderência ao segmento
a = 0 (Peso infinito ou aderência máxima)
![Page 243: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/243.jpg)
Warping baseado emCampos
Parâmetro p controla a importância do tamanho do segmentop = 0: independe do tamanho do segmento
![Page 244: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/244.jpg)
Warping baseado emCampos
Parâmetro b controla a forma como a influência decresce em função da distânciab = 0: peso independe da distância
![Page 245: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/245.jpg)
Warping baseado emCampos
Bons resultados são obtidos com: a entre 0 e 1b = 2 p = 0 ou p = 1.
![Page 246: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/246.jpg)
Morphing
Interpolação de formas e cores entre duas imagens distintas(f0 e fN-1)Encontrar imagens f1, f2, ..., fN-2: transição gradual de f0 a fN-1
Efeitos especiais na publicidade e na indústria cinematográfica; realidade virtual; compressão de vídeo; etc.
![Page 247: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/247.jpg)
Morphing
![Page 248: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/248.jpg)
Morphing
ai bi
cki
cki
Warping de f0
f0 fN-1
Warping de fN-1
“+”
![Page 249: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/249.jpg)
Morphing ai
bi
c1i c2i c3i c4i c5i c6i c7i c8i c9i
![Page 250: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/250.jpg)
Morphing
![Page 251: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/251.jpg)
Técnicas no Domínio da Freqüência
Conversão ao domínio da freqüência: transformadasProcessamento e análise no domínio da freqüênciaFourier, Cosseno Discreta, Wavelets,etc.
![Page 252: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/252.jpg)
Cosseno Analógico
f: freqüência T=1/f: período
: faseA: amplitudeGráfico para fase nula e A>0
[ ]θπ += ftAtx 2cos)(
T
A
θ
![Page 253: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/253.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Analógicas
fk: freqüência do k-ésimo cossenoTk =1/fk: período do k-ésimocosseno
: fase do k-ésimo cossenoAk: amplitude do k-ésimo cosseno
[ ] 1..., ,1 ,0 ,2cos)( −=+= NktfAtx kkkk θπ
kθ
![Page 254: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/254.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
k = 0,1,...N-1
[ ] 110 ,2cos][ −=+= ,...,N,nnfAnx kkkk θπ
![Page 255: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/255.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
===
1-... 2, 1,para 10para 1/2 1/2
Nk kck
Nkfk 2
=kNTk
2=
Nk
k 2πθ =
110 ,2
)12(cos2][2/1
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ,...,N,n
NknXc
Nnx kkk
π
kkk XcN
A2/12
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
![Page 256: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/256.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
110 ,2
)12(cos2][2/1
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ,...,N,n
NknXc
Nnx kkk
π
110 ,212][ 0
2/12/1
0 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ,...,N,nX
Nnx⇒
⎩⎨⎧
==
⇒=00
00
0
θf
k
NTN
fk 2211 11 =⇒=⇒= (meio-período em N amostras)
12
211 11 −
=⇒−
=⇒−= −− NNT
NNfNk NN
![Page 257: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/257.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
xk[n] (N = 64, Xk = 10).
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1
0
1
2
k=1Meio-ciclo
![Page 258: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/258.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
k=21 ciclo
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70 -2
-1
0
1
2
k=31,5 ciclo
![Page 259: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/259.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
k=3216 ciclos
Paravisualização
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1
0
1
2
![Page 260: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/260.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
k=6331,5 ciclos
Paravisualização
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1
0
1
2
![Page 261: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/261.jpg)
Uma Família de Funções Cosseno Discretas
Amostragem de um sinal periódico não necessariamente produz um sinal de mesmo período (ou mesmo periódico).
![Page 262: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/262.jpg)
Somando CossenosDiscretos
Criar um sinal x[n] somando-se os sinais xk[n], k = 0...N-1, amostra a amostra:
110 ],[][1
0−== ∑
−
=,...,N,nnxnx
N
kk
110 ,2
)12(cos2][1
0
2/1−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
−
=,...,N,n
NknXc
Nnx
N
kkk
π
![Page 263: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/263.jpg)
Somando CossenosDiscretosExemplo: N = 8; X0 = 10; X1 = 5; X2 = 8,5; X3 = 2; X4 = 1; X5 = 1,5; X6 = 0; X7 = 0,1.
0 2 4 6 8 2
3
4
5
1021
21][
2/1
0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=nx
=3.5355
![Page 264: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/264.jpg)
Somando CossenosDiscretos
X1 = 5
=2.4520; 2.0787; 1.3889; 0.4877; -0.4877; -1.3889; -2.0787; -2.4520
0 2 4 6 8-4
-2
0
2
4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=16
)12(cos25][1
πnnx
0 2 4 6 80
2
4
6
x0[n]+x1[n]
![Page 265: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/265.jpg)
Somando CossenosDiscretos
X2 = 8,5
= 3.9265; 1.6264; -1.6264; -3.9265; -3.9265; -1.626; 1.6264; 3.9265
x0[n]+x1[n] +x2[n]
0 2 4 6 8-4
-2
0
2
4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=16
2)12(cos25.8][2
πnnx
0 2 4 6 8-5
0
5
10
![Page 266: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/266.jpg)
Somando CossenosDiscretos
X3 = 2
= 0.8315; -0.1951; -0.9808; -0.5556; 0.5556; 0.9808; 0.1951; -0.8315
x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0 2 4 6 8-1
-0.5
0
0.5
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=16
3)12(cos22][3
πnnx
0 2 4 6 8-5
0
5
10
15
![Page 267: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/267.jpg)
Somando CossenosDiscretos
X4 = 1
= 0.3536; -0.3536; -0.3536; 0.3536; 0.3536; -0.3536; -0.3536; 0.3536
x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] +x4[n]
0 2 4 6 8-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=16
4)12(cos21][4
πnnx
0 2 4 6 8-5
0
5
10
15
![Page 268: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/268.jpg)
Somando CossenosDiscretos
X5 = 1,5
= 0.4167 -0.7356 0.1463 0.6236 -0.6236 -0.1463 0.7356 -0.4167
x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] +x4[n]+x5[n]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=16
5)12(cos25.1][5
πnnx
0 2 4 6 8-1
-0.5
0
0.5
1
0 2 4 6 8-5
0
5
10
15
![Page 269: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/269.jpg)
Somando CossenosDiscretos
X6 = 0
= 0
x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n] +x4[n]+x5[n]+x6[n]
0 2 4 6 8-5
0
5
10
15
0 2 4 6 8-1
-0.5
0
0.5
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=16
6)12(cos20][6
πnnx
![Page 270: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/270.jpg)
Somando CossenosDiscretos
X7 = 0,1
= 0.0098; -0.0278; 0.0416; -0.0490’; 0.0490; -0.0416; 0.0278; -0.0098
x[n]=x0[n]+x1[n]+x2[n]+ x3[n] +x4[n]+x5[n]+x6[n] +x7[n]
0 2 4 6 8-0.05
0
0.05
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=16
7)12(cos21.0][7
πnnx
0 2 4 6 8-5
0
5
10
15
![Page 271: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/271.jpg)
Somando CossenosDiscretosX[k] é um sinal digital: X[k]= X0, X1,...XN-1
Exemplo: X[k]=10;5;8.5;2;1;1.5;0;0.1Dado X[k] pode-se obter x[n]X[k]: representação alternativa para x[n]
0 2 4 6 8 -5
0
5
10
15X[k]
0 2 4 6 80
5
10x[n]
![Page 272: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/272.jpg)
Somando CossenosDiscretos
xk[n]: cosseno componente de x[n], de freqüência fk = k/2N; ouxk[n]: componente de freqüência fk = k/2N; X[k]: Diretamente relacionado com a amplitude da componente de freqüência fk = k/2NX[k] representa a importância da componente de freqüência fk = k/2N
![Page 273: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/273.jpg)
Transformada CossenoDiscreta (DCT)
DCT de x[n]:
110 ,2
)12(cos][2][1
0
2/1−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
−
=,...,N,n
NknkXc
Nnx
N
kk
π
110 ,2
)12(cos][2][1
0
2/1−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
−
=,...,N,k
Nknnxc
NkX
N
nk
π
Transformada DCT inversa (IDCT) de X[k]:
![Page 274: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/274.jpg)
Transformada CossenoDiscreta (DCT)
X[k]: coeficientes DCTX: representação de x no domínio da freqüênciaX[0]: coeficiente DC (Direct Current)X[1]...X[N-1]: coeficientes AC (Alternate Current)ComplexidadeAlgoritmos eficientes: FDCT
![Page 275: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/275.jpg)
DCT – Exemplo 1
0 20 40 60 80 100 120-0.2
-0.1
0
0.1
g1
0 20 40 60 80 100 120
-2
-1
0
1
2
g3
0 20 40 60 80 100 120
-2
-1
0
1
2
g1+ g3
![Page 276: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/276.jpg)
DCT – Exemplo 1 (Cont.)
0 20 40 60 80 100 120
-2
-1
0
1
2
g10
0 20 40 60 80 100 120
-2
-1
0
1
2
g1+g3+g10
0 20 40 60 80 100 120-0.2
-0.1
0
0.1
g118
0 20 40 60 80 100 120
-2
-1
0
1
2
g1+g3+g10+g118
![Page 277: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/277.jpg)
DCT – Exemplo 2
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
21π2cos29.99][1
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
22π2cos48.54][2
0 10 20 30 40 50 60-
-50
0
50
100
150 21 ff +
![Page 278: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/278.jpg)
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
23π2cos34.23][3
0 10 20 30 40 50 60-
-50
0
50
100
150 321 fff ++
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
24π2cos-35.19][4
0 10 20 30 40 50 60-
-50
0
50
100
150 421 ... fff +++
![Page 279: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/279.jpg)
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
25π2cos-34.55][5
0 10 20 30 40 50 60
-
-50
0
50
100
150 621 ... fff +++
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
26π2cos-33.29][6
0 10 20 30 40 50 60
-
-50
0
50
100
150 621 ... fff +++
![Page 280: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/280.jpg)
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
27π2cos-63.42][7
0 10 20 30 40 50 60-
-50
0
50
100
150
200 721 ... fff +++
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
28π2cos-42.82][8
0 10 20 30 40 50 60-
-50
0
50
100
150
200 821 ... fff +++
![Page 281: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/281.jpg)
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
29π2cos-10.31][9
0 10 20 30 40 50 60-
-50
0
50
100
150
200 921 ... fff +++
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
210π2cos7.18][10
0 10 20 30 40 50 60-
-50
0
50
100
150
200 1021 ... fff +++
![Page 282: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/282.jpg)
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
220π2cos-62.24][20
0 10 20 30 40 50 60-
0
200
400
6002021 ... fff +++
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
240π2cos35.54][40
0 10 20 30 40 50 60
-
0
200
400
600
800
100 4021 ... fff +++
![Page 283: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/283.jpg)
DCT – Exemplo 2 (Cont.)
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
260π2cos-6.73][60
0 10 20 30 40 50 60-
0200400600800
100120 6021 ... fff +++
0 10 20 30 40 50 60
-60
-40
-20
0
20
40
60⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Nn
Nnf
2π
263π2cos-1.51][63
0 10 20 30 40 50 60-
0200400600800
100120 6321 ... fff +++
![Page 284: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/284.jpg)
DCT – Exemplo 3
0 500 1000 1500 2000 850
900
950
1000
105011001150
12001250
Sinaleletrocardiográfico,
2048 amostras
0 500 1000 1500 2000 -400
-200
0
200
400
DCT do sinal eletrocardiográfico(sem termo DC)
![Page 285: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/285.jpg)
DCT – Exemplo 4
Onda Quadrada
DCT da OndaQuadrada
0 10 20 30 40 50 60-20
-10
0
10
20
0 10 20 30 40 50 60-60
-40
-20
0
20
40
60
![Page 286: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/286.jpg)
Freqüências em Hz
Ta = 1/fa (Período de amostragem)N amostras ---- (N-1)Ta segundos
HzNf
TNf
Nf a
a )1(2)1(21nal)(adimensio
21
11 −=
−=↔=
HzfNfNf aa
N 2)1(2)1(1 =
−−=−
![Page 287: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/287.jpg)
Freqüências em Hz
Aumentar N melhora a resolução de freqüência.Aumentar fa aumenta a freqüência máxima digitalizável, em Hz.Dualidade com o domínio do tempo
![Page 288: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/288.jpg)
Freqüências em HzSinal de ECG, N= 2048, fa=360HzValores em Hz para k = 14, 70, 683 e 2047
70 683 2047
14
![Page 289: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/289.jpg)
Freqüências em Hz
f1 = fa/[2(N-1)] Hz = 360/(2x2047) = 0,087933561
f14 = 14f1 = 1,23 Hzf70 = 70f1 = 6,16 Hzf683 = 683f1 = 60,06 Hzf2047 = 2047f1 = 180 Hz
![Page 290: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/290.jpg)
Freqüências em Hz
Observaçõesfa = 360 Hz <=> Ta = 0,002778 HzTempo total para 2048 amostras = 5,69sUm batimento cardíaco: aprox. 0,8 s“Freqüência” Cardíaca: aprox. 1,25 bat./s = 1,25 Hz, ou 75 batimentos/min.“Freqüência” Cardíaca aprox. igual a f14
![Page 291: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/291.jpg)
Freqüências em HzOnda quadrada, N = 64, fa = 1HzValores em Hz para k = 7, 8, 9 e 63
0 7 63-60
-40
-20
0
20
40
60
9
![Page 292: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/292.jpg)
Freqüências em Hz
f1 = fa/[2(N-1)] Hz = 1/(2x63) = 0,007936507
f7 = 7f1 = 0,0556 Hzf8 = 8f1 = 0,0625 Hzf9 = 9f1 = 0,0714 Hzf63 = 63f1 = 0,5 HzObs:Período do sinal = 16 sFreqüência da onda = 0,0625
![Page 293: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/293.jpg)
Freqüências e Conteúdo de Freqüência
Sinal periódico Freqüência Freqüências componentes
Sinal não-periódico:Freqüências componentes
![Page 294: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/294.jpg)
Sinais analógicos senoidais
Representação em freqüência de um sinal analógico senoidal?
fa mínimo para digitalização adequada?
Se f não é múltiplo de f1?
Sinal analógico senoidal, de freqüência f
![Page 295: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/295.jpg)
Amostragem de SenóidesCosseno com f=10Hz, fa=100Hz, N=26
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 296: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/296.jpg)
Amostragem de SenóidesDCT do cosseno com f = 10Hz, fa=100Hz, N=26
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
![Page 297: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/297.jpg)
Amostragem de Senóides
Vazamento de freqüência: mais de uma componente de freqüência para uma senóide
Minimizar vazamento de freqüência: aumentar N
![Page 298: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/298.jpg)
Amostragem de SenóidesCosseno com f = 30Hz, fa=100Hz, N=26
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 299: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/299.jpg)
Amostragem de SenóidesDCT do cosseno com f = 30Hz, fa=100Hz, N=26
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
![Page 300: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/300.jpg)
Amostragem de SenóidesCosseno com f = 48Hz, fa=100Hz, N=26
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 301: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/301.jpg)
Amostragem de SenóidesDCT do cosseno com f = 48Hz, fa=100Hz, N=26
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
![Page 302: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/302.jpg)
Amostragem de SenóidesCosseno com f = 50Hz, fa=100Hz, N=26
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 303: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/303.jpg)
Amostragem de SenóidesDCT do cosseno com f = 50Hz, fa=100Hz, N=26
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
![Page 304: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/304.jpg)
Amostragem de SenóidesCosseno com f = 52Hz, fa=100Hz, N=26
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 305: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/305.jpg)
Amostragem de SenóidesDCT do cosseno com f = 52Hz, fa=100Hz, N=26
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
![Page 306: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/306.jpg)
Amostragem de SenóidesSinal digital obtido a partir do cosseno de 52Hz é idêntico ao obtido a partir do cosseno de 48 Hz
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 307: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/307.jpg)
Amostragem de SenóidesCosseno com f = 70Hz, fa=100Hz, N=26
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 308: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/308.jpg)
Amostragem de SenóidesDCT do cosseno com f = 70Hz, fa=100Hz, N=26
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
![Page 309: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/309.jpg)
Amostragem de SenóidesSinal digital obtido a partir do cosseno de 70Hz é idêntico ao obtido a partir do cosseno de 30 Hz
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 310: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/310.jpg)
Aliasing
Na DCT, a maior freqüência é fa/2Aliasing: sinais senoidais de freqüência f > fa/2 são discretizadoscomo sinais senoidais de freqüência fd < fa / 2 (fd=fa–f, para fa/2 < f < fa)
![Page 311: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/311.jpg)
Aliasing
![Page 312: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/312.jpg)
Teorema de Shannon-Nyquist
Sinal analógico com fmax Hz (componente)Digitalizar com fa Hz, tal que:
maxmax 22
ffffa
a >⇔>
2fmax: Freq. de Nyquist
![Page 313: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/313.jpg)
Digitalização de áudio
Ouvido humano é sensível a freq. entre 20Hz e 22KHz (aprox.)
Digitalizar com 44KHz?Sons podem ter freqüências componentes acima de 22KHzDigitalização a 44KHz: aliasing.Filtro passa-baixas com freqüência de corte em 22KHz = Filtro anti-aliasing
![Page 314: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/314.jpg)
Eliminação de pixels revisitada
Por que redução de imagens (ou outros sinais) por eliminação de pixel pode ser ruim?
Usar filtro passa-baixas!
Aliasing!
![Page 315: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/315.jpg)
Filtros no domínio da freqüência
Multiplicar X pela função de transferência do filtro, HFiltros:
Passa-baixasPassa-altasPassa-faixaCorta-baixasCorta-altasCorta-faixa (faixa estreita: notch)
![Page 316: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/316.jpg)
Filtros no domínio da freq.
H
fc N-1
1
Passa-baixas(corta-altas)
H
fc N-1
1
Passa-altas (corta-baixas)
H
fc1 N-1
1
Passa-faixa
fc2
H
fc1 N-1
1
corta-faixa
fc2
Ideais
![Page 317: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/317.jpg)
Filtros no domínio da freqüência
Combinação de filtrosFiltros não-ideais (corte suave, H(fc)=1/2)
![Page 318: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/318.jpg)
DCT 2-D
Operação separávelComplexidade elevada
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
= ∑ ∑−
=
−
= Nln
Nkmnmxcc
NlkX
N
m
N
nlk 2
)12(cos2
)12(cos],[21],[
1
0
1
0
ππ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
= ∑ ∑−
=
−
= Nnl
NmklkXcc
Nnmx
N
k
N
llk 2
)12(cos2
)12(cos],[21],[
1
0
1
0
ππ
![Page 319: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/319.jpg)
DCT 2-D
Imagem “cosseno na vertical”, 256 x 256, 8 ciclos (k = 16) e sua DCT normalizada
![Page 320: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/320.jpg)
DCT 2-D
Imagem “cosseno na vertical”, 256 x 256, 16 ciclos (k = 32) e sua DCT normalizada
![Page 321: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/321.jpg)
DCT 2-DImagem “cosseno na horizontal x cossenona vertical”, 256 x 256, 16 ciclos (k = 32) e sua DCT normalizada
![Page 322: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/322.jpg)
DCT 2-DImagem “cosseno na horizontal x cossenona vertical”, 256 x 256, 8 x 16 ciclos e sua DCT normalizada
![Page 323: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/323.jpg)
DCT 2-DImagem “Lena” (256x256) e sua DCT normalizada
![Page 324: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/324.jpg)
DCT 2-DImagem “Lena” (256x256) e o log(DCT+1) normalizado
![Page 325: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/325.jpg)
Transformada de Fourier Discreta (DFT)
n, u = 0, 1, ..., N-1
∑−
=
−=
1
0
2
][1][N
n
Nunj
ensN
uFπ
∑−
==
1
0
2
][][N
u
Nunj
euFnsπ
Direta:
Inversa:
1−=j
Fórmula de Euler: θθθ sencos je j ±=±
![Page 326: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/326.jpg)
Duas propriedades essenciais
|F[-u]| = ?
?][ =+ NuF
![Page 327: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/327.jpg)
Duas propriedades essenciais
|F[u]| = |F[-u]|
)(][ uFNuF =+
Espectro de Fourier é função par:
DFT é periódica de período N:
![Page 328: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/328.jpg)
Esboço do Espectro de Fourier
N/2 -N/2 N-1 u
|F[u]|
u = 0, ±N, ±2N,...: freq. 0u = ±N/2, ±3N/2,...: freq. máxima (N par)u = ±(N-1)/2,...: freq. máxima (N ímpar)
![Page 329: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/329.jpg)
Freqüências em Hz
Ta = 1/fa (Período de amostragem)N amostras ---- (N-1)Ta segundos
HzN
fTN
fN
f a
a 1)1(1nal)(adimensio1
11 −=
−=↔=
HzfN
fNf aaN 2)1(2
12/)1( =
−−
=−
![Page 330: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/330.jpg)
Fourier 2-D
Operação separávelComplexidade elevada
∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
)//(2],[1],[C
m
R
n
RvnCumjenmsRC
vuF π
∑∑−
=
−
=
+=1
0
1
0
)//(2],[],[C
u
R
v
RvnCumjevuFnms π
![Page 331: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/331.jpg)
Exibição do Espectro de Fourier 2-D
Flog[u, v] = round[(L - 1) log(1+|F[u, v]|)/Fmax2]
![Page 332: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/332.jpg)
Teorema da ConvoluçãoSe
Então:G[u,v] = H[u,v]F[u,v]ondeG[u,v]: DFT de g[m,n]F[u,v]: DFT de s[m,n] H[u,v]: DFT de h[m,n]
],[],[ ],[ nmhnmsnmg ⊗=
H[u,v]: Função de transferência do filtro
![Page 333: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/333.jpg)
Filtros: espaço x freqüência
Projeto de filtro no domínio da freqüência (Fourier)Método imediato: H[k], k = 0..N-1Como filtrar sinais no domínio do tempo, em tempo real?Convolução com h[n], n = 0..N-1? Projetado para N amostras!Filtrar mais que N amostras corresponde a truncar h[t]
![Page 334: PDI Slides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081422/5594dd981a28ab94328b4632/html5/thumbnails/334.jpg)
Filtros: espaço x freqüência
Para eficiência computacional e redução de custos, o número de coeficientes do filtro deve ser o menor possívelProjetar filtros relativamente imunes ao truncamento