Download - PDV: Matemática Guía N°15 [4°Medio] (2012)
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12
UNIDAD: GEOMETRÍA
POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS
POLÍGONOS
DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y quese intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).
POLIGONO CONVEXO: Es un polígono donde cada ángulo interior mide menos de 180º
NOMBRE DE POLÍGONOS
PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:
Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2) Diagonales desde un vértice = n – 3
Suma de los ángulos exteriores = 360º Total de diagonales =n(n 3)
2
EJEMPLOS
1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un heptágono?
A) 1.080ºB) 900ºC) 720ºD) 540ºE) 360º
2. El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un pentágono es
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
TRIÁNGULO 3 LADOSCUADRILÁTERO 4 LADOSPENTÁGONO 5 LADOSHEXÁGONO 6 LADOSHEPTÁGONO 7 LADOSOCTÓGONO 8 LADOSENEÀGONO 9 LADOSDECÁGONO 10 LADOSENDECÁGONO 11 LADOSDODECÁGONO 12 LADOS
C u r s o : Matemática
Material N° 15
2
3. El número total de diagonales de un hexágono es
A) 6B) 7C) 9D) 18E) 27
4. La suma de los ángulos exteriores de un octágono es
A) 1.440ºB) 1.080ºC) 900ºD) 540ºE) 360º
5. ¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma delos ángulos exteriores?
A) CuadriláteroB) PentágonoC) HexágonoD) TriánguloE) Ninguno de los anteriores
6. ¿Qué polígono es tal que el número total de sus diagonales es igual al número de sus lados?
A) OctógonoB) HexágonoC) PentágonoD) CuadradoE) No existe tal polígono
7. ¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se pueden trazar12 diagonales?
A) 9B) 10C) 12D) 14E) 15
3
POLÍGONO REGULAR
DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En casocontrario se dice que es irregular.
EJEMPLOS
1. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un hexágono regular?
A) 60ºB) 120ºC) 140ºD) 160ºE) 180º
2. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)?
I) Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que elpolígono es un cuadrilátero.
II) Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular.III) Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un
vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III
3. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 150º?
A) 6B) 8C) 10D) 12E) 14
a
a
a a
aa a a
aaa a
Hexágono regular
360° =
n
a
a
a
a
a
’
Pentágono regular
180º (n 2) =
n
4
4. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1.800º, ¿cuántas diagonales sepueden trazar en dicho polígono?
A) 9B) 18C) 35D) 54E) 65
5. El hexágono de la figura 1, es regular. ¿Cuánto mide el ángulo x?
A) 22,5ºB) 45ºC) 67,5ºD) 90ºE) 112,5º
6. La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono es3 : 2. ¿Cuántas diagonales tiene dicho polígono?
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
7. En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del ángulo ?
A) 36ºB) 54ºC) 60ºD) 72ºE) 75º
x fig. 1
fig. 2
5
CUADRILÁTERO
DEFINICIÓN
Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
Los cuadriláteros convexos se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES.
PROPIEDADES
La suma de los ángulos interiores es 360º.
La suma de los ángulos exteriores es 360º.
EJEMPLOS
1. En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de ∡DCB y ∡DAB,respectivamente. Entonces, el ángulo x mide
A) 220ºB) 140ºC) 110ºD) 80ºE) 20º
2. En el cuadrilátero PQRS de la figura 2, ∡ = 60º y ∡ = 100º. Entonces, la medida de12
(x + y) es
A) 200ºB) 160ºC) 100ºD) 90ºE) 80º
A
B
CD120º
80º
fig. 1
x
M
x
y
Q
SR
P
fig. 2
6
3. Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 4:9:11:12. Entonces el mayorde ellos mide
A) 10ºB) 60ºC) 90ºD) 110ºE) 120º
4. En la figura 3, el ABD es isósceles de base AB . Si ABCD es un rombo y DE CE(A, D y E son colineales), entonces mide
A) 30ºB) 45ºC) 60ºD) 75ºE) 80º
5. Si en el cuadrilátero de la figura 4, + = , entonces ∡ es igual a
A) 80ºB) 85ºC) 90ºD) 95ºE) 105º
6. Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 30ºB) 40ºC) 50ºD) 80ºE) 100º
170º
fig. 4
100º60º
70º
xL1
L2L3
L4
fig. 5
fig. 3
BA
CD
E
7
PARALELÓGRAMO
DEFINICIÓN: Paralelógramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestosparalelos.
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelógramo?
A) B) C) D) E)
CUADRADO ROMBO RECTÁNGULO ROMBOIDE
NOMBRE
PROPIEDADES
Lados opuestoscongruentes
Ángulos opuestoscongruentes
Las diagonalesse dimidian
Ángulos contiguossuplementarios
Diagonalesperpendiculares
Diagonalesbisectrices
Diagonalescongruentes
OBSERVACION: Si un cuadrilátero cumple con alguna de las siguientes propiedades entonces es unparalelogramo.
- Ángulos opuestos congruentes- Diagonales se dimidian- Sus lados opuestos congruentes- Ángulos contiguos suplementarios
45º
45º
a45º
45º
45º
45º
45º
45ºa
a a
aa
a a
a
b
a
b
a
bb
a
50º
130º
130º 130º50º
50º
130º 130º
50º 130º
130º 50º
130º
50º 50º
8
2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Todo paralelógramo tiene sus lados opuestos congruentes.II) Todo paralelógramo tiene sus ángulos opuestos congruentes.
III) Dos ángulos contiguos de un paralelógramo son complementarios.
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III
3. En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempreverdadera(s)?
I) ACDF es un paralelógramoII) Si = 90º entonces BCDE es un rectángulo
III) Si AB = BE y = 90º, entonces ABEF es un cuadrado.
A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III
4. Para que un cuadrilátero convexo sea un paralelógramo, se debe cumplir necesariamenteque
A) sus diagonales sean congruentes.B) sus ángulos opuestos sean suplementarios.C) sus diagonales se dimidien.D) sus diagonales sean perpendiculares.E) tengan un par de lados paralelos.
5. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) necesariamente verdadera(s) en unparalelógramo ABCD de diagonales AC y BD ?
I) Si AC BD y AC BD , entonces ABCD es un rombo.
II) Si AC BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.
III) Si AC BD y AB BC , entonces ABCD es un romboide.
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III
F E D
A B C
L1
L2
fig. 1
9
TRAPECIO
DEFINICIÓN: Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamadosbases.
PROPIEDADES:
En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD) sonsuplementarios.
EJEMPLOS
1. En el trapecio de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el ∡BDC = 35º, entonces el ∡ABCmide
A) 180ºB) 140ºC) 110ºD) 100ºE) 70º
2. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y ∡ADC = 40º, entonces el ánguloABC mide
A) 210ºB) 140ºC) 110ºD) 70ºE) ninguna de las anteriores.
Trapecio Rectángulo
BA
CD
AB // CD
D C
BA
AB // CD
Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles
BA
CD
AB // CD
+ = 180º + = 180º
+ = 180º + = 180º- Ángulos basales congruentes- Diagonales congruentes- Ángulos opuestos
suplementariosMediana: Es el segmento que une lospuntos medios de los lados no paralelos
D C
A B
fig. 1
fig. 2
D C
A B
10
3. Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) siempre verdadera(s)?
I) BFC isósceles.II) FG es altura del BFC.
III) Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III
4. La mediana de un trapecio mide 60 cm. Si una de las bases es el doble de la otra, entoncesla base mayor mide
A) 30 cmB) 40 cmC) 60 cmD) 80 cmE) 100 cm
5. En el trapecio de la figura 4, AD DC BC y AB // DC . Entonces, siempre se cumpleque
A) AC BD
B) AD ABC) AC AB
D) ∡A ∡C
E) ∡D ∡B
6. En la figura 5, DC // AB . Si AD BC DC , ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?
I) BDC es isósceles.
II) AC es bisectriz ∡DAB.III) CAD DBC
A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III
D C
A B
fig. 4
D C
A B
fig. 5E
fig. 3
A B
D C
E GF
11
TRAPEZOIDE
DEFINICIÓN: Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene pares de lados paralelos.
CLASIFICACIÓN: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.
( AD DC )
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
Diagonales perpendiculares.
Una diagonal es bisectriz.
La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetralde la otra diagonal.
EJEMPLOS
1. En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD DE . Si ∡DGF = 109º y ∡FDE = 14º,entonces el ángulo GFE mide
A) 33ºB) 57ºC) 76ºD) 109ºE) 114º
2. En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC . Si ∡ABC = 135º y ∡DCB = 70º,
entonces ∡CDB + ∡CAD =
A) 45ºB) 55ºC) 65ºD) 90ºE) 125º
D
C
ABTRAPEZOIDE
ASIMÉTRICO
D
A
C
B
TRAPEZOIDESIMÉTRICO (DELTOIDE)
AB AD y CD CB
a a
bb
a b
G
D
F
E fig. 1
D
A
C
B
fig. 2
12
3. En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD . Si ∡BAD = 50º y ∡ADC = 150º,entonces la medida del ángulo x es
A) 95ºB) 85ºC) 75ºD) 65ºE) 55º
4. Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtienesiempre
A) un trapezoide.B) un trapecio.C) un paralelogramo.D) un cuadrado.E) un rombo.
5. En el trapezoide ABCD de la figura 4, ∡DCB = 120º, ∡DAB = 60º y ∡CDB = 40º, entoncesla medida del ∡DBA es
A) 20ºB) 40ºC) 60ºD) 80ºE) 120º
6. Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces, ACmide
A) 8B) 7C) 6D) 5E) 2 5
AB
CD
xfig. 3
B
CA
D
fig. 5
F
fig. 4
A
B
D
C
3
13
EJERCICIOS
1. Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entonces elpolígono es un
A) hexágonoB) octógonoC) decágonoD) dodecágonoE) eneágono
2. Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono estres, entonces el polígono tiene
A) 9 ladosB) 8 ladosC) 7 ladosD) 6 ladosE) 5 lados
3. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º.II) El total de diagonales que se pueden trazar en un octógono son 24.
III) La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º.
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III
4. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo interior mide el triple del ánguloexterior correspondiente?
A) TriánguloB) PentágonoC) HexágonoD) DecágonoE) Octógono
14
5. En el rectángulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ AC . Si ∡DPQ = 113º. ¿Cuántomide ?
A) 23ºB) 43ºC) 67ºD) 76ºE) 113º
6. En el pentágono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, ∡mide
A) 60ºB) 72ºC) 80ºD) 90ºE) 108º
7. Si en la figura 3, ABCD es un rectángulo y L es una recta, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
LI) sº + uº = tº + vº
II) sº + vº = uº + tºIII) sº = vº y uº = tº
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III
8. La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB , entonces
la medida del ∡x es
A) 18ºB) 22,5ºC) 24ºD) 45ºE) 135º
Q
113º
A P D
B C
fig. 1
A
B
CD
E
F
fig. 2
A
BC
D
E
fig. 4
x
vº
Dtº
C
A B
fig. 3
sº
uº
15
9. Si en el polígono de la figura 5, BE CD , AB CF y AE DF DE , ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ABE FCDII) FED isósceles
III) ∡CFB = 45º
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III
10. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el ∡y = 60º, ¿cuál es la medida
del ∡x?
A) 160ºB) 140ºC) 120ºD) 60ºE) Ninguna de las anteriores
11. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular y los lados de la estrella son lasprolongaciones del pentágono, entonces el ángulo x mide
A) 72ºB) 54ºC) 36ºD) 30ºE) 18º
12. En el rectángulo ABCD de la figura 8, ∡ = 67º, ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 23ºB) 67ºC) 117ºD) 127ºE) 157º
y
x
fig. 6
A BA B
D C
fig. 8
x
fig. 5
C D
AE
F
B 60º30º
xfig. 7
A
B
C
D
E
D C
A B
16
13. Si se trazan las diagonales de un paralelógramo, formando 4 triángulos. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Se obtienen cuatro triángulos congruentes.II) Se obtienen cuatro triángulos semejantes.
III) Se obtienen sólo triángulos rectángulos.
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas
14. En el trapecio ABCD de la figura 9, AB // CD , ECBF , DA//FB , BF y EC son bisectrices.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) BCFC
II) ∡BCE = 30º
III) EBFE
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III
15. En la figura 10, ABCD es un trapecio isósceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y
EC // AD , ¿cuál es la medida del ∡BAD?
A) 70ºB) 60ºC) 55ºD) 30ºE) 20º
16. Si en la figura 11, MNP QOR, ∡NMP = 50º y ∡NPM = 70º, entonces la medida del
∡OQP es
A) 130ºB) 120ºC) 110ºD) 70ºE) 50º
fig. 10
A E
D C
B
fig. 11
50º
P
M Q
ON
70º
R
A B
CD F
Efig. 9
60°
17
17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD GD GF EF ,entonces se cumple que
I) AEFD es un rombo
II) ∡DGH ∡HGFIII) HG DF
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III
18. En la figura 13, ABCDEF es un hexágono regular, EA , EB y EC son diagonales. ¿Cuál(es) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) AEF CEDII) ABE CBE
III) ∡ABE ∡BED
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III
19. En el polígono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los ángulosinteriores respectivos, entonces la medida del ángulo es
A) 160ºB) 140ºC) 120ºD) 100ºE) 60º
20. En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC y el ∡ABE mide la tercera
parte del ∡ABC. ¿Cuál de las siguientes opciones no es correcta?
A) ∡ACB = 45º
B) ∡EFA = 60º
C) ∡AEB = 60º
D) ∡EFC = 105°
E) ∡DEB = 120º
80º
60º
A
B
C
D
PE
fig. 14
fig. 15
F
C
D
B
A
E
C
A BG
D FH
E
fig. 12
fig. 13
CB
EF
A D
18
21. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales. ¿Cuánto mide cadaángulo exterior de este polígono?
A) 12ºB) 15ºC) 24ºD) 30ºE) 168º
22. En la figura 16, ABCD es un paralelógramo, ∡DCA = 40º y ∡ABD = 50º. ¿Qué tipo deparalelógramo es?
A) RectánguloB) TrapecioC) RomboD) RomboideE) Cuadrado
23. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles cuyasbases son la diagonal, y los ángulos basales de un triángulo miden el doble de los ángulosbasales del otro. Entonces dicho cuadrilátero es un
A) CuadradoB) TrapecioC) RomboideD) RomboE) Deltoide
24. En un trapecio isósceles los ángulos opuestos están en la razón 2:7. ¿Cuánto es la semi-diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor, respectivamente?
A) 50ºB) 60ºC) 100ºD) 120ºE) 140º
25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectángulo en A y D, ∡ABD = 40º, y BDC es isósceles
de base BC . ¿Cuál es la medida del ∡?
A) 70ºB) 30ºC) 90ºD) 45ºE) 120º
100º
A B
CD
fig. 16
D C
A B
fig. 17
19
26. Se puede determinar la longitud de los lados de un polígono regular si:
(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.
(2) Sus ángulos exteriores suman 360º.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
27. En la figura 18, ABCD es rectángulo. Se puede afirmar que ADE BCE si:
(1) ∡BAE = 45º(2) E es punto medio.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
28. Se puede determinar la medida del ∡BCD del cuadrilátero de la figura 19, si:
(1) ABCD es un paralelógramo y triángulo ABD es equilátero.
(2) El ángulo DAB mide 60º.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
29. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si:
(1) Se conoce la suma de los ángulos interiores.
(2) Se conoce el número total de diagonales.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
A B
CD
fig. 19
fig. 18
A B
D CE
20
30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ángulo si :
(1) + + = 300º
(2) ABCD es un romboide y + = 180º.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS
EJERCICIOS PÁG. 13
DMDMA15
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A
B
C
D
fig. 20
EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7
1 y 2 B A C E A C E
3 y 4 A C D D D D A
5 y 6 E E E A D A
7 y 8 A D D C D
9 y 10 E B B D A E
11 y 12 E C B C C A
1. C 11. C 21. A
2. D 12. E 22. C
3. A 13. E 23. E
4. E 14. E 24. A
5. C 15. B 25. A
6. B 16. A 26. E
7. C 17. E 27. B
8. B 18. E 28. A
9. E 19. D 29. D
10. C 20. B 30. A