Inferensia dan Perbandingan
Vektor Nilai Tengah
Perbandingan Kasus Peubah
Tunggal dan Peubah GandaPeubah Tunggal Peubah Ganda
Penduga titik parameter
nilai tengah
Skalar Vektor nilai
tengah
Penduga selang nilai tengah Selang
Kepercayaan
Daerah (elips)
Kepercayaan
Pengujian hipoteis nilai
tengah satu populasi
Uji t-student Uji T2-Hotelling
Pengujian beda nilai tengah
dua populasi
Uji t-student Uji T2-Hotelling
Pengujian beda nilai tengah
beberapa populasi
ANOVA MANOVA
Pengujian Hipotesis: Vektor
Nilai Tengah
Bentuk Hipotesis
Hipotesis yang diuji dalam pengujian
vektor nilai tengah populasi mirip seperti
pada kasus univariate, yaitu:
H0: = 0 vs H1: 0
Dengan,
0
20
10
)1(0
p
px
Statistika uji untuk vektor nilai tengah
0
1
00
1
0
2 '1
'
XSXnXSn
XT
Statistik uji yang dapat digunakan dalam
pengujian vektor nilai tengah populasi adalah
(1) T2-Hotelling dan (2) Wilk-lambda.
1. T2-Hotelling, sebagai berikut:
n
j
j)(px
Xn
X11
1
n
j
jjpxp
XXXXn
S1
)('
1
1
Dengan,
2. Uji Wilk-Lambda, sering juga disebut uji
rasio kemungkinan (likelihood ratio test)
2/
2/
0
2/0
2/
2/2/
2/
0,
0
ˆ2
1),(
ˆ2
1),(
,
ˆ
ˆ
),(max
),(max
np
nnp
np
nnp
n
eL
eL
dengan
L
L
12
11
n
T2/n
Lambda,- Wilkdengan Hotelling Hubungan
Daerah Penolakan H0
Daerah penolakan untuk hipotesis nol dapat
dihampiri dengan menggunakan sebaran F,
sebagai berikut:
pnpFpn
pnXS
nXT
,0
1
0
2 11'
Untuk ukuran sampel besar maka T2-Hotelling
dapat juga dihampiri dengan sebaran khi-
kuadrat berderajat bebas p.
Makna Penolakan H0
• Jika hipotesis nol ditolak itu artinya bahwa
paling sedikit ada satu kombinasi linier
peubah yang rata-ratanya berada diluar
selang kepercayaan (1-).
• Perlu uji lanjut, yaitu:
– Daerah kepercayaan ganda, dapat disajikan
dalam bentuk Ellips.
– Selang kepercayaan simultan
– Selang kepercayaan Bonferoni
ILUSTRASI
Perspirasi dari 20 wanita yang tergolong
sehat dianalisa. Tiga komponen, yaitu X1
= laju perspirasi, X2 = kandungan sodium
dan X3 = kandungan potasium diukur
Ujilah apakah hipotesis H0: ’ = [4, 50,
10] lawan H1: ’ [4, 50, 10] pada taraf
nyata = 0.10
Ringkasan Data
965.9
400.45
640.4
x
628.3640.5810.1
640.5788.199010.10
810.1010.10879.2
S
402.002.258.
002.006.022.
258.022.586.1S
Perhitungan T2-Hotelling
74.9
10965.9
50400.45
4640.4
402.002.258.
002.006.022.
258.022.586.
'10965.950400.454640.4202
T
18.844.2353.310.17
31910.
117,3,
FF
pn
pnpnp
Terlihat bahwa T2 = 9.74 > 8.18,
sehingga konsekuensinya kita tolak H0
pada taraf nyata 10%.
Daerah (ellips) Kepercayaan
bagi Vektor Nilai Tengah
Daerah (ellips) Kepercayaan
Suatu daerah kepercayaan 100(1-)% bagi nilai
tengah suatu sebaran normal ganda p adalah suatu
elips yang ditentukan oleh semua sedemikian
rupa sehingga
di mana
dan x1, x2, ..., xn adalah pengamatan contoh.
pnpFpn
pnXSXn
,
1 1'
n
j
j)(px
Xn
X11
1
n
j
jjpxp
XXXXn
S1
)('
1
1
ILUSTRASI
603.
564.X
0146.0117.
0117.0144.S
228.200391.163
391.163018.2031S
05.40
412
603.
564.
228.200391.163
391.163018.203603.564.42 40,2
2
1
21 F
ellips kepercayaan 95% bagi terdiri dari
semua nilai (1, 2) yang memenuhi
Mencari Akar dan Vektor Ciri
Pasangan akar ciri dan vektor ciri bagi S
adalah
1 = .026 e1’ = [.704, .710]
2 = .002 e2’ = [-.710, .704]
Pusat ellips tersebut pada titik [.564, .603]
Hitung Panjang Sumbu
setengah dari panjang sumbu mayor dan minornya masing-masing adalah:
Sumbu-sumbu tersebut teletak sepanjang e1’ = [.704, .710] dan e2’ = [-.710, .704]
064.23.3
4042
412026.
1,1
pnpF
pnn
np
018.23.3
4042
412002.
1,2
pnpF
pnn
np
Menggambar Ellips Kepercayaan
Menggambar Elips Kepercayaan
0.60
0.65
0.55
0.55 0.60 1
2
Pengujian Hipotesis:
Perbandingan Vektor Nilai
Tengah
Kasus Dua Sample
Saling Bebas
Populasi I
X~N(1,12)
Sampel I
(n1)
Populasi II
X~N(2,22)
Sampel II
(n2)
Acak dan
saling bebas
1 ??? 2
– Setiap populasi diambil
sampel acak berukuran
tertentu (bisa sama, bisa
juga tidak sama)
– Pengambilan kedua
sampel saling bebas
– Tujuannya adalah
menguji apakah
parameter 1 sama
dengan parameter 2
Deskripsi masing-masing sampel
1
1
1
1
1
1 n
j
jn
xx '1
111
1
11
1
1
1
xxxxS
j
n
j
jn
1
1
2
2
2
1 n
j
jn
xx '1
122
1
22
2
2
1
xxxxS
j
n
j
jn
Multivariate:
Ukuran Pemusatan dan Penyebaran
Misal:
vektor peubah acak untuk sampel 1 adalah x1’=(x11, x12,…,x1p) dan
vektor peubah acak sampel 2 adalah x2’=(x21, x22,…,x2p)
Bentuk Hipotesis: H0: 1 = 2 vs H1: 1 2.
Statistik uji:
a. Ragam sama
Daerah penolakan H0:
Langkah Pengujiannya
21
1
21
21
2 11' xxxx
gabSnn
T
121,
21
2122
1
2
pnnpF
pnn
pnncT
2
11
21
2211
nn
SnSnSgab
Statistik uji:
a. Ragam tidak sama (Gunakan
matriks kovarian masing-
masing sample
Daerah penolakan H0:
21
1
2
2
1
121
2 ' xxxx
n
S
n
ST
2
),(
22
pcT
Ilustrasi
Misal:
x1=lebar badan kura-kura; x2=panjang badan kura-kura
Sampel 1:
(n1=24)
Sampel 2:
(n2=24)
Hipotesis :
52.042
102.583Jx
64.737101.844
101.844171.732JS
40.708
88.292Bx
11.25921.654
21.65450.042BS
BJBJ ::0 1H H
• Kasus ragam sama
• Tolak Ho, jika
21
1
21
|
21
2 11xxS
nnxxT gab
2
11
21
2211
nn
SnSnSgab
37.99861.749
61.749110.887gabS
0.2770.154-
0.154-0.0951
gabS
11.333
14.29221 xx
2
24995.4
11.333
14.292
0.2770.154-
0.154-0.0945
24
1
24
1333.11292.142 xT
988.444.245
24601.
1
21,
21
2122
21
pnnpF
pnn
pnncT
• Kasus ragam tidak sama
• Tolak Ho, jika
21
1
2
2
1
121
2 ' xxn
S
n
SxxT
11.333
14.292
13.95625.898
25.89857.1971
2 333.11292.14T
170.14333.11292.142
11.333
14.292
0.4480.203-
0.203-0.109T
99.522
)2;05.0( T