Periodendauer T [s] Periodenlänge [m] Wellenlänge
Frequenz HzT
v1
Wellenzahl 12
mk bezogen auf Einheitskreis
Beschreibung durch Umlauf auf dem Kreis (natürliche periodische Bewegung)
A0 cos
A0
Winkel als Funktion von der Zeit: ttt 2
Kreisfrequenzperiodische Größe A: tAtAtA coscos 00
harmonische Bewegung
harmonische Schwingung
Fourieranalyse
Beliebige Funktion (t) mit der Periode T entspricht einer Überlagerung vonvielen Zeitabläufen, die eine gemeinsame Grundperiode (,T) haben.
und mögliche Vielfache n· Harmonische von
Zeit von = 0…2 immer gleich T Sekunden
5. Periodische Vorgänge in Raum und Zeit
einfaches mechanisches Modell
0xxDam FederkraftBeschleunigung
Newton-Axiom
durch FS bestimmtwähle x-Achse so daß x0=0
tA sintv 0 txtAta 220 cos
Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnen:
Wegfunktion nach Beobachtung geraten: tAtx cos0
m
DmD oder2Gleichung über Kraft ist erfüllt, wenn
5.1 Schwingungen
Prüfung dieses Zusammenhanges durch Experiment: Gültigkeit des Hookschen Gesetzes
Bestimmung von D bzw. Materialeigenschaft
Vergleiche auch Pendel als weiteres Modelll
g
x0
x
FF = D(x-x0)
FS = mg
202
1
00
00
ADxxDxFWAA
Fpot 2202
12max2
1 v mAmWkin Maxima
gleich
Energiesatz
Dämpfung kann so groß sein, daß die Schwingung gar nicht mehr erkannt wird!
Aperiodischer Grenzfall wichtig für Regelungsvorgänge
Reibungsverluste Dämpfung (häufig genannt Relaxation), gedämpfte Schwingung
0 2 4 6 8 101
0.5
0
0.5
1
Zeit
Aus
lenk
ung
Zerfallsfunktion der Amplitude
teAA t cos0
Dämpfungskonstaneneue mittlere Kreisfrequenz
220
Schwinger einmal angestoßen
Schwingung ist periodische Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie
www.ubicampus.mh-hannover.de/~physik/materialsammlung/schwingungen
periodisch von außen einwirkende Kraft Frequenz
periodische Bewegung mit und nicht mit Eigenfrequenz 0 des physikalischen Systems
Resonanz Amplitudenüberhöhung, wenn 0
0 = 5 Hz
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
Frequenz
Am
plitu
de
Hz
=0.25Hz
=1 Hz=5Hz
folgt der Bewegung folgt der Bewegung nicht
Resonanz
Bedeutung der Resonanz:
Erzwungene Schwingungen
Modell mit Federpendel, das mit der Hand periodisch angestoßen wird.
Simulationwww.ubicampus.mh-hannover.de/~physik/materialsammlung/schwingungen
•Filter periodischer Vorgänge•empfindliche Diagnose•Bildung von Tonlauten•„Resonanzkatastrophe“
Stimmgabel + Resonanzkörper
Schwingungen in Molekülen Kopplung zwischen benachbarten Atomen oder MolekülenKopplung zwischen Regelprozessen
Modell zwischen zwei Pendeln
Koppel-gewicht
1 2
Pendel 1 anstoßen
Pendel 2 beginnt zu schwingen und übernimmt Energie von 1
Periodische Wechsel der Energie Wechselfrequenz
Anstoß beider Pendel: gleichsinnig und gegensinnig
Schwingungsform stabil!
Schwingungsmoden oder Eigenschwingungen
sym antisym
Simulation: www.ubicampus.mh-hannover.de/~physik/materialsammlung
Gekoppelte Pendel
Summe beider Modensym.
antis. in RuheDifferenz
Mod
enty
pen
Pendelkette mit vielen Gliedern Saite
longitudinal
transversal
Pendelkette
x
x
x
x
x
= cT
räu m lich e P er io d e W ellen län ge
M o m en tau fn ah m en
t = 0
t = ¼ T
t = ½ T
t = ¾ T
t = 1T
zeitlich e P er iod eT
Amplitude
Ausbreitungsgeschwindigkeit:
Tc
5.2 Wellen
transversale Wellen “Auslenkung” senkrecht zur AusbreitungBeispiele: Seilwellen, Wasserwellen, Licht
longitudinale Wellen “Auslenkung” parallel zur AusbreitungBeispiele: Federwellen, Schall
Typ nachAuslenkung
Wellentypen
Typ nach Ausbreitung
Kugelwellen Quelle der Welle ist ein “Punkt”, und die Welle breitet sich von dortgleichmäßig in alle Raumrichtungen aus; Wellenfronten sind Kugeln oder Kreise (bei Ausbreitung in nur zwei Dimensionen)
Beispiele: Wasserwelle, Lichtwelle von punktförmigen Lichtquelle aus
Ebene Wellen Wellenfronten (eine Fläche gleicher Auslenkung) sind Ebenen oder gerade Linien
Beispiel: Ausschnitt aus einer Kugelwelle
Pulswelle durch Hörsaal
Wellenzentrum Wasserwelle
2 Steine 2 Kreiswellen
Interferenz: Konstruktion mit Kreiswellen
Simulation
http://www.falstad.com/mathphysics.html
Beispiel: zwei punktförmige Lichtquellen
Interferenzminima:2
)12(sin md
Interferenzmaxima: md sin
m = 0, 1, 2, 3, .... Ordnung der Interferenz Wo bleibt die Energieder Auslöschung?
d
d s in1
2
3
4
5
6
7Beobachtungspunkt
Wellenbergevon links
Wellenbergevon rechts
Gangunterschied
Minimum
Addition von Wellenausbreitungen
Interferenz von Wellen ausgehend von zwei Wellenzentren
Lichtquelle
L1
L2 Gangunterschied am Punkt P: sin12 LL
Maxima, wenn: mLL sin12
PHörsaalwandmit hellen Interferenzkreisen
GlimmerDicke etwa 40µm
wachsende Ordnungszahl m
Blendschirm
Beispiel für Kugelwellen: Licht
nullte Ordnung
Beugung am Hindernis
großer Spalt
10 cmBeugung undInterferenz
großes Hindernis
Wellenausbreitung an der Wasseroberfläche
Öffnung klein gegen
Huygenssches PrinzipJeder von einer Welle getroffene Punkt ist selbst wieder Ausgangspunkt einer Elementarwelle.
Das beobachtete Wellenbild ist die Summe aller Elementarwellen Interferenz und Beugung
Elementarwellen
Spalt Hindernis
Wellenlänge kleiner als geometrisches Objekt
Beugung und Interferenz
Wie sieht das Beugungs- und Interferenzbild eines Objektes aus, das viel kleiner als die Wellenlänge ist?
Ebene Wellenfront aus dicht liegenden Kugelwellen konstruieren!
012
-1
-1 -2
E in fallslo t
M ed ium 1
c = c /n
M ed ium 2
c = c /n
l
l
G renz fläche
E lem en ta rw e llen
L ich ts trah l
L ich ts trah l
2 2
1 1
1
2
1
2
2
1
sin
sin
n
n
c
c
Brechungsgesetz von SnelliusLaufzeiten für Wellenfronten
2
1
2
1
2
2
1
1
c
c
l
l
c
l
c
lt
Wellenbild zur Brechung
sin1 blBreite auf der Grenzfläche
sin2 bl
Was ist unvollständig an diesem Bild?