Tim Ilmu Komputasi
Coordinator contact:Dr. Putu Harry [email protected]
Persamaan Diferensial
Parsial CNH3C3Week 6: Separasi Variabel
untuk Persamaan GelombangOrde dua dan Koe�sien
Fourier
1 Motivasi
2 Persamaan Gelombang 1D orde dua
3 Separasi Variabel
4 Contoh
5 Koe�sien Fourier
6 Selanjutnya
Motivasi
Gelombang melingkar
Figure : Gelombang menyebar secara melingkar.
(Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Isotropic_radiator)
Motivasi
Gelombang air
Figure : Gelombang air. (Original Image Source:http://science.kennesaw.edu)
Motivasi
Gelombang acoustic pada gitar
Figure : Gelombang acoustic pada gitar. (Original Image Source:http://www.mediacollege.com/audio/01/sound-waves.html andhttps://en.wikipedia.org/wiki/Guitar)
Persamaan Gelombang 1D orde dua
Persamaan Gelombang
Vibrasi senar merupakan sistem �sik yang sangat rumit untuk
dimodelkan.
Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu
dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah
senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk
kon�gurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut.
Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada
instrumen musik yaitu gitar.
Figure : Gangguan pada senar gitar.
Persamaan Gelombang 1D orde dua
Persamaan Gelombang
Vibrasi senar merupakan sistem �sik yang sangat rumit untuk
dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu
dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang.
Misalkan sebuah
senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk
kon�gurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut.
Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada
instrumen musik yaitu gitar.
Figure : Gangguan pada senar gitar.
Persamaan Gelombang 1D orde dua
Persamaan Gelombang
Vibrasi senar merupakan sistem �sik yang sangat rumit untuk
dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu
dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah
senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk
kon�gurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut.
Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada
instrumen musik yaitu gitar.
Figure : Gangguan pada senar gitar.
Persamaan Gelombang 1D orde dua
Persamaan Gelombang
Dari model vibrasi senar di atas, model matematika vibrasi senar
berupa persamaan gelombang. Diberikan masalah nilai awal dan
nilai batas persamaan gelombang berikut
∂2u
∂t2= c2
∂2u
∂x2, x ∈ (0, L), t > 0 (2.1)
u(x , 0) = f (x), ut(x , 0) = g(x), x ∈ [0, L] (2.2)
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (2.3)
Selanjutnya akan dibahas mengenai solusi persamaan di atas
menggunakan metode separasi variabel.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut
u(x , t) = X (x)T (t).
Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat
X (x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t) (3.1)
atauT ′′(t)
c2T (t)=
X ′′(x)
X (x)(3.2)
Separasi Variabel
Separasi variabel
Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut
u(x , t) = X (x)T (t).
Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat
X (x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t) (3.1)
atauT ′′(t)
c2T (t)=
X ′′(x)
X (x)(3.2)
Separasi Variabel
Separasi variabel
Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut
u(x , t) = X (x)T (t).
Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat
X (x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t) (3.1)
atauT ′′(t)
c2T (t)=
X ′′(x)
X (x)(3.2)
Separasi Variabel
Separasi variabel
Seperti pada pembahasan persamaan panas 1D sebelumnya,
persamaan (3.2) harus sama dengan suatu konstanta, yakni
T ′′(t)
c2T (t)=
X ′′(x)
X (x)= −λ (3.3)
untuk λ ∈ R.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa
(PDB):
X ′′(x) + λX (x) = 0, (3.4)
T ′′(t) + λc2T (t) = 0. (3.5)
Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!
Separasi Variabel
Separasi variabel
Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa
(PDB):
X ′′(x) + λX (x) = 0, (3.4)
T ′′(t) + λc2T (t) = 0. (3.5)
Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)
Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni
fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen
X ′′(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)
X (0) = X (L) = 0. (3.7)
Solusi umum untuk persamaan di atas adalah
X (x) = A cos(√λx) + B sin(
√λx) (3.8)
dengan adanya nilai batas maka
X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9)
X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)
Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni
fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen
X ′′(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)
X (0) = X (L) = 0. (3.7)
Solusi umum untuk persamaan di atas adalah
X (x) = A cos(√λx) + B sin(
√λx) (3.8)
dengan adanya nilai batas maka
X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9)
X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)
Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni
fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen
X ′′(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)
X (0) = X (L) = 0. (3.7)
Solusi umum untuk persamaan di atas adalah
X (x) = A cos(√λx) + B sin(
√λx) (3.8)
dengan adanya nilai batas maka
X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9)
X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)
Selanjutnya
X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)
yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga
sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)
√λ =
kπ
L, k = 1, 2 . . . (3.14)
λ =
(kπ
L
)2
, k = 1, 2 . . . (3.15)
sehingga solusi umumnya adalah
Xk(x) = Bk sin(kπx
L), k = 1, 2 . . . (3.16)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)
Selanjutnya
X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)
yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga
sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)
√λ =
kπ
L, k = 1, 2 . . . (3.14)
λ =
(kπ
L
)2
, k = 1, 2 . . . (3.15)
sehingga solusi umumnya adalah
Xk(x) = Bk sin(kπx
L), k = 1, 2 . . . (3.16)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)
Selanjutnya
X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)
yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga
sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)
√λ =
kπ
L, k = 1, 2 . . . (3.14)
λ =
(kπ
L
)2
, k = 1, 2 . . . (3.15)
sehingga solusi umumnya adalah
Xk(x) = Bk sin(kπx
L), k = 1, 2 . . . (3.16)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)
Selanjutnya
X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)
yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga
sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)
√λ =
kπ
L, k = 1, 2 . . . (3.14)
λ =
(kπ
L
)2
, k = 1, 2 . . . (3.15)
sehingga solusi umumnya adalah
Xk(x) = Bk sin(kπx
L), k = 1, 2 . . . (3.16)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.5)
Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi
T ′′(t) + λkc2T (t) = 0, (3.17)
T ′′(t) +
(kπc
L
)2
Tk(t) = 0 (3.18)
Sehingga solusi umumnya untuk T (t) dapat dibentuk menjadi
Tk(t) = Ck cos
(kπct
L
)+ Dk sin
(kπct
L
), (3.19)
dengan Ck ,Dk ∈ R merupakan konstanta sembarang.
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.5)
Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi
T ′′(t) + λkc2T (t) = 0, (3.17)
T ′′(t) +
(kπc
L
)2
Tk(t) = 0 (3.18)
Sehingga solusi umumnya untuk T (t) dapat dibentuk menjadi
Tk(t) = Ck cos
(kπct
L
)+ Dk sin
(kπct
L
), (3.19)
dengan Ck ,Dk ∈ R merupakan konstanta sembarang.
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP gelombang 1D orde dua
Pada akhirnya, kita mendapatkan tak hingga solusi separasi dari
persamaan gelombang (2.1-2.3),
u(x , t) = X (x)T (x) (3.20)
uk(x , t) = Bk sin
(kπx
L
)(Ck cos
(kπct
L
)+ Dk sin
(kπct
L
)),
(3.21)
k = 1, 2, · · · ,
uk(x , t) = sin
(kπx
L
)(Ek cos
(kπct
L
)+ Fk sin
(kπct
L
)),
(3.22)
k = 1, 2, · · · ,
dengan Ek = BkCk dan Fk = BkDk .
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP gelombang 1D orde dua
Solusi separasi variabel dari persamaan gelombang,
uk(x , t) = sin
(kπx
L
)(Ek cos
(kπct
L
)+ Fk sin
(kπct
L
)), k = 1, 2, · · · ,
(3.23)
memenuhi kondisi awal
uk(x , 0) = Ek sin
(kπx
L
)dan (uk)t(x , 0) = Fk
kπc
Lsin
(kπx
L
)(3.24)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP gelombang 1D orde dua
Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga
merupakan sebuah solusi yakni,
u(x , t) =N∑
k=1
sin
(kπx
L
)(Ek cos
(kπct
L
)+ Fk sin
(kπct
L
)),
(3.25)
dengan kondisi awal
u(x , 0) =N∑
k=1
Ek sin
(kπx
L
)dan ut(x , 0) =
N∑k=1
Fkkπc
Lsin
(kπx
L
).
(3.26)
Contoh
Contoh separasi variabel
Contoh
Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1,
f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx).
Data awal dengan bentuk
(3.26) diberikan sebagai berikut
E1 = 2, Ek = 0, untuk k > 1
dan
F2 = −1
2π, Fk = 0, untuk k 6= 2
Sehingga solusinya u(x , t) diberikan sebagai
u(x , t) = 2 sin(πx) cos(πt)− 1
2πsin(2πx) sin(2πt)
Contoh
Contoh separasi variabel
Contoh
Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1,
f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx). Data awal dengan bentuk
(3.26) diberikan sebagai berikut
E1 = 2, Ek = 0, untuk k > 1
dan
F2 = −1
2π, Fk = 0, untuk k 6= 2
Sehingga solusinya u(x , t) diberikan sebagai
u(x , t) = 2 sin(πx) cos(πt)− 1
2πsin(2πx) sin(2πt)
Contoh
Contoh separasi variabel
Contoh
Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1,
f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx). Data awal dengan bentuk
(3.26) diberikan sebagai berikut
E1 = 2, Ek = 0, untuk k > 1
dan
F2 = −1
2π, Fk = 0, untuk k 6= 2
Sehingga solusinya u(x , t) diberikan sebagai
u(x , t) = 2 sin(πx) cos(πt)− 1
2πsin(2πx) sin(2πt)
Contoh
Contoh separasi variabel
Figure : Solusi u(x , t) pada contoh diatas untuk (x , t) ∈ ([0, 1]× [0, 3]).
Contoh
Latihan
Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua
utt − uxx = 0 sebagai berikut, tentukanlah solusi umum persamaan
gelombang!
1. f (x) = 3 sin(4πx) dan g(x) = 5 sin(7πx), x ∈ [0, 1].
2. f (x) = 3 sin(4πx) + 2 sin(2πx) dan g(x) =5 sin(7πx), x ∈ [0, 1]
Koe�sien Fourier
Koe�sien Fourier
Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan
subuah konstanta?
Contoh nilai awal sebagai berikut
u(x , 0) = f (x) = 1, (5.1)
ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.2)
Tentu saja dengan menggunakan solusi
u(x , t) =N∑
k=1
sin
(kπx
L
)(Ek cos
(kπct
L
)+ Fk sin
(kπct
L
)),
(5.3)
tidak bisa.
Koe�sien Fourier
Koe�sien Fourier
Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan
subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut
u(x , 0) = f (x) = 1, (5.1)
ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.2)
Tentu saja dengan menggunakan solusi
u(x , t) =N∑
k=1
sin
(kπx
L
)(Ek cos
(kπct
L
)+ Fk sin
(kπct
L
)),
(5.3)
tidak bisa.
Koe�sien Fourier
Koe�sien Fourier
Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan
subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut
u(x , 0) = f (x) = 1, (5.1)
ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.2)
Tentu saja dengan menggunakan solusi
u(x , t) =N∑
k=1
sin
(kπx
L
)(Ek cos
(kπct
L
)+ Fk sin
(kπct
L
)),
(5.3)
tidak bisa.
Koe�sien Fourier
Koe�sien Fourier
Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D,
yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu
u(x , 0) = f (x) = 1 =N∑
k=1
Ek sin
(kπx
L
), (5.4)
ut(x , 0) = g(x) = 0 =N∑
k=1
Fkckπ
Lsin
(kπx
L
)(5.5)
Sehingga tugas terakhir adalah mencari nilai koe�sien Ek dan Fk !
Koe�sien Fourier
Koe�sien Fourier
Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D,
yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu
u(x , 0) = f (x) = 1 =N∑
k=1
Ek sin
(kπx
L
), (5.4)
ut(x , 0) = g(x) = 0 =N∑
k=1
Fkckπ
Lsin
(kπx
L
)(5.5)
Sehingga tugas terakhir adalah mencari nilai koe�sien Ek dan Fk !
Koe�sien Fourier
Koe�sien Fourier
Sama dengan proses mencari koe�sien Fourier pada kasus
persamaan panas, didapat
Ek =2
L
∫L
0
f (x) sin
(kπx
L
), (5.6)
Fk =2
ckπ
∫L
0
g(x) sin
(kπx
L
)(5.7)
Koe�sien Fourier
Contoh Koe�sien Fourier
Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde
dua utt − uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut
u(x , 0) = f (x) = 1, (5.8)
ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.9)
Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!
Pertama kita
tentukan koe�sien Fourier
Ek = 2
∫1
0
1 sin
(kπx
1
), (5.10)
Fk =2
kπ
∫1
0
0 sin
(kπx
1
)(5.11)
Koe�sien Fourier
Contoh Koe�sien Fourier
Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde
dua utt − uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut
u(x , 0) = f (x) = 1, (5.8)
ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.9)
Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! Pertama kita
tentukan koe�sien Fourier
Ek = 2
∫1
0
1 sin
(kπx
1
), (5.10)
Fk =2
kπ
∫1
0
0 sin
(kπx
1
)(5.11)
Koe�sien Fourier
Contoh Koe�sien Fourier
Untuk Koe�sien Ek :
Pertama kita tentukan koe�sien Fourier
Ek = 2
∫1
0
1 sin
(kπx
1
), (5.12)
Ek =2
kπ[−cos (kπx)]1
0, (5.13)
Ek =2
kπ(1− cos (kπ)) , (5.14)
Ek =4
kπ,∀k ganjil,Ek = 0,∀k genap (5.15)
Untuk Koe�sien Fk didapatkan
Fk =2
kπ
∫1
0
0 sin
(kπx
1
)= 0 (5.16)
Koe�sien Fourier
Contoh Koe�sien Fourier
Untuk Koe�sien Ek :
Pertama kita tentukan koe�sien Fourier
Ek = 2
∫1
0
1 sin
(kπx
1
), (5.12)
Ek =2
kπ[−cos (kπx)]1
0, (5.13)
Ek =2
kπ(1− cos (kπ)) , (5.14)
Ek =4
kπ, ∀k ganjil,Ek = 0,∀k genap (5.15)
Untuk Koe�sien Fk didapatkan
Fk =2
kπ
∫1
0
0 sin
(kπx
1
)= 0 (5.16)
Koe�sien Fourier
Contoh Koe�sien Fourier
Untuk Koe�sien Ek :
Pertama kita tentukan koe�sien Fourier
Ek = 2
∫1
0
1 sin
(kπx
1
), (5.12)
Ek =2
kπ[−cos (kπx)]1
0, (5.13)
Ek =2
kπ(1− cos (kπ)) , (5.14)
Ek =4
kπ, ∀k ganjil,Ek = 0,∀k genap (5.15)
Untuk Koe�sien Fk didapatkan
Fk =2
kπ
∫1
0
0 sin
(kπx
1
)= 0 (5.16)
Koe�sien Fourier
Contoh Koe�sien Fourier
Sehingga solusinya didapatkan
u(x , t) =N∑
k=1
sin
(kπx
L
)(Ek cos
(kπct
L
)+ Fk sin
(kπct
L
)),
(5.17)
u(x , t) =N∑
k=1
sin
(kπx
L
)(4
kπcos
(kπct
L
)+ 0 sin
(kπct
L
)),∀k ganjil,
(5.18)
u(x , t) =N∑
k=1
4
(2k − 1)πsin
((2k − 1)πx
L
)cos
((2k − 1)πct
L
),
(5.19)
Koe�sien Fourier
Latihan Koe�sien Fourier
Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde
dua utt − 4uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 3] seperti berikut
u(x , 0) = f (x) = 10, (5.20)
ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.21)
Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!
Koe�sien Fourier
Homework
Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua
utt − uxx = 0 sebagai berikut
f (x) = x(1− x) dan g(x) = 0. (5.22)
Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! (Hint:
Gunakan metode koe�sien Fourier untuk menentukan fungsi f (x)menjadi fungsi sinusoidal!)
Selanjutnya
Next
Selanjutnya, akan dibahas contoh soal-soal untuk menghadapi UTS.
End of presentation!