Download - persamaan-linier (1).pptx
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
1/37
Review : Invers Matriks
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
2/37
Matriks Saling Invers
10
01
2222122121221121
2212121121121111
acacacac
acacacac
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
3/37
Salah satu cara mencari invers dengan
DETERMINAN.
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
4/37
Determinan
Hanya untuk MBS.
bcaddc
ba
dc
ba
det
123213312132231321
321
321
321
det
cbacbacbacbacbacba
ccc
bbb
aaa
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
5/37
Determinan
Jika determinan = 0, matriks tidak punyainvers (matriks singular)
bcaddc
ba
dc
ba
det
123213312132231321
321
321
321
det
cbacbacbacbacbacba
ccc
bbbaaa
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
6/37
Cari invers nya
52
42
42
21
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
7/37
Sistem Persamaan Linear
Simultaneous Linear Equations
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
8/37
Metode Penyelesaian
Metode determinan matriks
Metode grafik Eliminasi Gauss
Metode GaussJourdan
Metode GaussSeidel Dekomposisi LU
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
9/37
Metode Penyelesaian
Metode determinan matriks Metode grafik liminasi Gauss Metode Gauss Jourdan Metode GaussSeidel
LU decomposition
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
10/37
Metode Grafik
2
-2
2
4
11
21
2
1
x
x
Det{A} 0 A
bukan singular,artinya invertibel
Memiliki
penyelesaian
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
11/37
Invertible
Suatu fungsi fyang
memiliki invers disebut
dengan invertible;
Fungsi invers
ditentukan dari dandinotasikan dengan 1
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
12/37
Sistem persamaan yang tak
terselesaikan
5
4
42
21
2
1
x
x
Tidak memiliki penyelesaianDet [A] = 0,
Maka sistempersaman initidak dapat
diselesaikan.
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
13/37
Sistem Persamaan dengan banyak
penyelesaian
Det [A] = 0 A adalah singular
memiliki banyak penyelesaian
8
4
42
21
2
1
x
x
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
14/37
Sistem Persamaan yang tidak baik
Jika matriks
memiliki
koefisien
singular.
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
15/37
Nilai komponen matriks dengan range
kecil menyebabkan deviasi yang besar
pada penyelesaiannya.
47.1
3
99.048.0
21
2
1
x
x
47.1
3
99.049.0
21
2
1
x
x
1
1
2
1
x
x
0
3
2
1
x
x
Sistem Persamaan yang tidak baik
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
16/37
Eliminasi Gauss
Salah satu teknik yang populer untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear
dalam bentuk:
Terdiri dari dua step1. Eliminasi Maju.
2. Substitusi Mundur.
CXA
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
17/37
Eliminasi Maju
Tujuan Eliminasi Maju adalah membentuk koefisien
matriksmenjadi MSA (Matriks Segitiga Atas)
7.000
56.18.40
1525
112144
1864
1525
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
18/37
Eliminasi Maju
Persamaan linear
npersamaan dengan nvariabel yang tak diketahui
11313212111 ... bxaxaxaxa nn 22323222121 ... bxaxaxaxa nn
nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211
. .
. .
. .
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
19/37
Contoh
83125
12312
71352
21232
8325
1232
7352
2232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
matriks input
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
20/37
Mari kita kerjakan . . .
83125
12312
71352
21232
32162190
13140
92120
12
112
31
'
14
'
4
'
13
'
3
'
12
'
2
1'
1
5
2
2
2
RRR
RRR
RRR
RR
41599
4500
1973002
912
110
12
112
31
'
24
'
4
'
23
'
3
2'
2
1
'
1
219
4
2
RRR
RRR
RR
RR
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
21/37
Forward Elimination
12572
12143
000
319
37100
291
2110
12
112
31
'
34
'
4
3'
3
2
'
2
1
'
1
45
3
RRR
RR
RR
RR
4
15994
500
1973002
912
110
12
112
31
1435721000
319
37100
291
2110
12
112
31
121434'
4
3
'
3
2
'
2
1
'
1
R
R
RR
RR
RR
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
22/37
Back substitution
4143
5723
193
72921
12
12
3
4
4
43
432
4321
x
x
xx
xxx
xxxx
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
23/37
Gauss - Jourdan
39743
2234215231
6150
8120
15231
'
13
'
3
'
12
'
2
1
'
1
3
2
RRR
RRR
RR
142700
42110
152101
'
23
'
3
2
'
2
'
21
'
1
5
2
3
RRR
RR
RRR
6150
8120
15231
142700
42110
152101
4100
2010
1001
273'
3
'
32
'
2
'
31
'
1
21
21
R
R
RRR
RRR
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
24/37
Warning..
Dua kemungkinan kesalahan- Pembagian dengan nol mungkin terjadi pada langkah
forward elimination. Misalkan:
655
901.33099.26
7710
321
123
21
xxx
xxx
xx
- Kemungkinan error karena round-off (kesalahan pembulatan)
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
25/37
Contoh
Dari sistem persamaan linear
515
6099.23
0710
3
2
1
x
x
x
6
901.3
7
=
Akhir dari Forward Elimination
1500500
6001.00
0710
3
2
1
x
x
x
15004
001.6
7
=
6
901.3
7
515
6099.23
0710
15004
001.6
7
1500500
6001.00
0710
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
26/37
Kesalahan yang mungkin terjadi
Back Substitution
99993.015005
150043 x
5.1001.0
6001.63
2
xx
3500.010
077 321
xx
x
15004
001.67
1500500
6001.000710
3
2
1
x
xx
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
27/37
Contoh kesalahan
Banding-kan solusi exact dengan hasil perhitungan
99993.0
5.1
35.0
3
2
1
x
x
x
X calculated
1
1
0
3
2
1
x
x
x
X exact
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
28/37
Improvements
Menambah jumlah angka penting
Mengurangi round-off error (kesalahan pembulatan)
Tidak menghindarkan pembagian dengan nol
Gaussian Elimination with Partial Pivoting
Menghindarkan pembagian dengan nol
Mengurangi round-off error
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
29/37
Pivoting
pka
Eliminasi Gauss dengan partial pivoting mengubah tata urutan
baris untuk bisa mengaplikasikan Eliminasi Gauss secara Normal
How?
Di awal sebelum langkah ke-k pada forward elimination, temukan angka
maksimum dari:
nkkkkk aaa .......,,........., ,1
Jika nilai maksimumnya Pada baris ke p, ,npk
Maka tukar baris p dan k.
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
30/37
Partial Pivoting
What does it Mean?
Gaussian Elimination with Partial Pivoting ensures that
each step of Forward Elimination is performed with thepivoting element |akk| having the largest absolute value.
Jadi,
Kita mengecek pada setiap langkah apakah angkapaling atas (pivoting element) adalah selalu paling
besar
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
31/37
Partial Pivoting: Example
Consider the system of equations
655
901.36099.23
7710
321
321
21
xxx
xxx
xx
In matrix form
515
6099.23
0710
3
2
1
x
x
x
6
901.3
7
=
Solve using Gaussian Elimination with Partial Pivoting using five
significant digits with chopping
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
32/37
Partial Pivoting: Example
Forward Elimination: Step 1
Examining the values of the first column
|10|, |-3|, and |5| or 10, 3, and 5
The largest absolute value is 10, which means, to follow therules of Partial Pivoting, we dont need to switch the rows
6
901.3
7
515
6099.23
0710
3
2
1
x
x
x
5.2
001.67
55.20
6001.000710
3
2
1
x
xx
Performing Forward Elimination
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
33/37
Partial Pivoting: Example
Forward Elimination: Step 2
Examining the values of the first column
|-0.001| and |2.5| or 0.0001 and 2.5
The largest absolute value is 2.5, so row 2 is switched withrow 3
5.2
001.67
55.20
6001.000710
3
2
1
x
xx
001.6
5.27
6001.00
55.200710
3
2
1
x
xx
Performing the row swap
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
34/37
Partial Pivoting: Example
Forward Elimination: Step 2
Performing the Forward Elimination results in:
002.6
5.2
7
002.600
55.20
0710
3
2
1
x
x
x
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
35/37
Partial Pivoting: Example
Back Substitution
Solving the equations through back substitution
1002.6
002.6
3
x
15.2
55.22
2
x
x
010
07732
1
xxx
002.6
5.2
7
002.600
55.20
0710
3
2
1
x
x
x
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
36/37
Partial Pivoting: Example
1
1
0
3
2
1
x
x
x
X exact
1
1
0
3
2
1
x
x
x
Xcalculated
Compare the calculated and exact solution
The fact that they are equal is coincidence, but it does
illustrate the advantage of Partial Pivoting
-
7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx
37/37
Summary
- Forward Elimination
- Back Substitution- Pitfalls
- Improvements
- Partial Pivoting