Download - Pertemuan 6 (Invers, Determinan)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
MATRIKS(DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
Macam Matriks Matriks Nol (0)
Matriks yang semua entrinya nol.Ex:
Matriks Identitas (I)Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.Ex:
100
010
001
3I
000
000
000
,00
00
Matriks Diagonal Matriks yang semua entri non diagonal
utamanya nol.Secara umum:
Ex:
8000
0000
0040
0006
,
100
010
001
,50
02
nd
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
Matriks Segitiga Matriks persegi yang
semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.
Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
A
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
A
Matriks Simetris Matriks persegi A disebut simetris jika
A = At
Ex:
4
3
2
1
000
000
000
000
,
705
034
541
,53
37
d
d
d
d
Transpose Matriks (1) Jika A matriks mxn, maka transpose dari
matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.Ex:
303
512
35
01
32tAA
Invers Matriks (1)
Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.
Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.
Invers Matriks (2) Ex:
adalah invers dari
karena
dan
21
53B
31
52A
IAB
10
01
21
53
31
52
IBA
10
01
31
52
21
53
Invers Matriks (3) Cara mencari invers khusus matriks 2x2:
Jika diketahui matriks
maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus
dc
baA
bcada
bcadc
bcadb
bcadd
ac
bd
bcadA
11
Invers Matriks (4) Ex:
Carilah invers dari
Penyelesaian:
(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)
31
52A
21
53
21
53
11
21
53
)1)(5()3(211A
Invers Matriks (5)
Sifat:Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka:1. AB dapat dibalik2. (AB)-1 = B-1 A-1
Pangkat Matriks (1) Jika A adalah suatu matriks persegi,
maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai:A0 = I, An = A A … A (n≥0)
n faktor
Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagaiA-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1
n faktor
Pangkat Matriks (2) Jika A adalah matriks persegi dan r, s
adalah bilangan bulat, maka:1. Ar As = Ar+s
2. (Ar)s = Ars
Sifat:1. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A2. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,…3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA
dapat dibalik dan 11 1)( A
kkA
Invers Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal
maka inversnya adalah
nd
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
nd
d
d
D
1...00
0...1
0
0...01
2
1
1
Pangkat Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal
maka pangkatnya adalah
kn
k
k
k
d
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
nd
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
Invers Matriks dengan OBE (1) Caranya hampir sama dengan
mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan)
A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 Indengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)
Invers Matriks dengan OBE (2) Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka
cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.
Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].
Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].
Invers Matriks dengan OBE (3) Ex:
Cari invers untuk
Penyelesaian:
801
352
321
A
101
012
001
520
310
321
100
010
001
801
352
32113
12 2bbbb
Invers Matriks dengan OBE (4) Penyelesaian Cont.
125
012
001
100
310
321
125
012
001
100
310
321323 2 bbb
125
3513
91640
100
010
001
125
3513
3614
100
010
0212132
3123
3bbbb
bb
Invers Matriks dengan OBE (6) Penyelesaian Cont. (2)
Jadi
(Adakah cara lain???)
125
3513
916401A
Determinan Matriks 2x2 (1)
Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
Jika diketahui matriks berukuran 2x2,maka determinan matriks Aadalah: det (A) = |A| = ad-
bc
dc
baA
Determinan Matriks 2x2 (2) Ex:
Jika diketahui matriks
maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2
(Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)
54
32P
Determinan Matriks 3x3 (1)
Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.
Determinan Matriks 3x3 (2) Ex:
)2)(4(1)1)(4(2)3)(5(3)2)(4(3)3)(4(2)1)(5(1
23
54
21
123
454
321
Determinan Matriks nxn (1) Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi
kofaktor.
Determinan Matriks nxn (2) Kofaktor dan minor hanya berbeda
tanda cij = Mij. Untuk membedakan apakah kofator
pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.
Determinan Matriks nxn (3)
Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama
Determinan Matriks nxn (4)
Ex:
Adjoint Matriks (1) Jika diketahui matriks 3x3
Kofaktor dari matriks tersebut adalah:c11=9 c12=8c13=-2
c21=-3 c22=-1 c23=4
c31=-6 c32=-12 c33=3 Matriks kofaktor yang terbentuk
122
410
213
3126
413
289
Adjoint Matriks (2) Adjoint matriks didapat dari transpose
matriks kofaktor, didapat:
342
1218
639
3126
413
289T
Properties of determinantsProperty 1: If one row of a matrix consists entirely of zeros, then the determinant is zero.
Property 2: If two rows of a matrix are interchanged, the determinant changes sign.
Property 3: If two rows of a matrix are identical, the determinant is zero.
Property 4: If the matrix B is obtained from the matrix A by multiplying every element in one row of A by the scalar λ, then |B|= λ|A|.
Property 5: For an n n matrix A and any scalar λ, det(λA)= λndet(A).
Properties of determinantsProperty 6: If a matrix B is obtained from a matrix A by adding to one row of A, a scalar times another row of A, then |A|=|B|.
Property 7: det(A) = det(AT).
Property 8: The determinant of a triangular matrix, either upper or lower, is the product of the elements on the main diagonal.
Property 9: If A and B are of the same order, then det(AB)=det(A) det(B).
Pivotal condensation
Properties 2, 4, 6 of the previous section describe the effects on the determinant when applying row operations.
These properties comprise part of an efficient algorithm for computing determinants, technique known as pivotal condensation.
-A given matrix is transformed into row-reduced form using elementary row operations
-A record is kept of the changes to the determinant as a result of properties 2, 4, 6.
-Once the transformation is complete, the row-reduced matrix is in upper triangular form, and its determinant is easily found by property 8.
Example in the next slide
Pivotal condensation Find the determinant of
310
1032
221
310
221
1032
A
310
221
1032
310
1470
221
(2
b1)
Factor 7 out of the 2nd row
310
210
221
7
(1)b2 100
210
221
7
7)1)(1)(1(7
Invers Matriks nxn (1) Rumus:
dengan det(A)0 Ex: Cari invers dari
122
410
213
A
Invers Matriks nxn (2)
Penyelesaian: det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-
2)(4)(3)-1(0)(-1)=3-7-0-4+24+0 =16
Adjoint A =
Maka A-1 =
342
1218
639
16/34/18/1
4/316/12/1
8/316/316/9
342
1218
639
161
Metode Cramer (1)
Digunakan untuk mencari penyelesaian SPL selain dengan cara eliminasi-substitusi dan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan.
Metode Cramer hanya berlaku untuk mencari penyelesaian SPL yang mempunyai tepat 1 solusi.
Metode Cramer (2) Diketahui SPL dengan n persamaan dan n
variabela11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2
…………………
an1 x1 + an2x2 + … + ann xn = bn
dibentuk matriks
nnnnn
n
n
b
b
b
B
aaa
aaa
aaa
A2
1
21
22221
11211
,
...
...
...
Metode Cramer (3) Syaratnya |A|0 Penyelesaian untuk variabel-variabelnya
adalah:
dengan |Ai| adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan B.
A
Ax
A
Ax
A
Ax n
n ,...,, 22
11
Metode Cramer (4)
Dimana
nnnn
n
n
aab
aab
aab
A
...
...
...
2
2222
1121
1
nnnn
n
n
aba
aba
aba
A
...
...
...
1
2212
1111
2
Metode Cramer (4)
Ex:Carilah penyelesaian dari:2x+3y-z = 5x+2z = -4-x+4y-z = 6
Soal Buktikan
Buktikan
321
321
3212
321
332211
332211
)1(
ccc
bbb
aaa
t
ccc
btabtabta
tbatbatba
))()((
111
222
bcacab
cba
cba
Kuis Cari a,b,c agar simetris
Cari invers dari
Cari matriks diagonal A supaya
Cari nilai x supaya
0428
115
23258
ca
ccba
ab
cossin
sincos
100
010
0015A
531
62
301
13
1
x
xx
x