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Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
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Définition :
Un phénomène de diffusion apparaît donc comme un phénomène de transport de particules sans mouvement macroscopique du support, ici l'air.
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Propriété :
Ce transport se produit dans un système initialement hors équilibre, des régions riches en particules vers les régions pauvres en particules ;il tend à uniformiser irréversiblement la répartition des particules qui diffusent.
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Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
2) Courant de particules
a) Les échelles
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Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
2) Courant de particules
a) Les échelles
b) Le vecteur densité de flux de particules
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Md
dN(t)
n(M,t)
dN(t) = n(M,t).d
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Surface mésoscopique dS
dSM
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Définition :
2N, le nombre élémentaire de particules diffusées à travers la surface élémentaire dS, centrée en M, ouverte, orientée dans le sens de dS entre les instants t et t + dt, est compris dans un cylindre oblique de base dS et de génératrice dr = v.dt :
2N = n(M,t).dS.dr = n(M,t).v(M,t).dS.dt
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d = dS.dr = v.dS.dt
2N = n.d = n.v.dS.dt
dr = v.dt
dS
v
dSM
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2N = jN.dS.dt
Surface mésoscopique dS
dSM
jN
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2N = jN.dS.dt > 0dS
jN
2N : grandeur algébrique
2N = jN.dS.dt < 0dS
jN
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2N = jN.dS.dtdS
jNux
2N’ = jN.dS’.dt
dS’
jN
ux
2N’ = 2N
dS’ dS
dS’.ux = dS.ux
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A partir de ce vecteur jN nous pouvons définir le flux
élémentaire algébrique de particules diffusées :
Définition :
= jN.dS 2N = .dt
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d
+
P
dS
MjN(M)
= Σ
Nj .dS
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Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
2) Courant de particules
3) Loi de Fick
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Deux observations qualitatives :
• La diffusion cesse lorsque la densité particulaire n(M,t) est homogène ;M, jN(M,t) doit s'annuler lorsque gradn = 0
• Le transfert par diffusion appauvrit les zones riches en particules diffusées donc jN(M,t) est dirigé des régions riches vers les régions pauvres, i.e. dans le sens des n(M,t) décroissants ou dans le sens opposé à gradn
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Loi de diffusion de Fick
En M, à la date t :
jN = – D.gradn
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Ordres de grandeur :
• Pour un gaz
• Pour un liquide
• Pour un solide
: D 10–5 m2.s–1
: D 10–9 m2.s–1
: D 10–30 m2.s–1
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Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
a) Le cas unidimensionnel
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Ne(x + dx,t)
Ne(x,t)
jNux
x + dx
dS2
S
dS1
S
x
1 2
Nc(t)
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En M, à la date t :
Equation locale unidimensionnelle de la conservation du nombre de particules diffusées
σNj n
x t
![Page 22: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/22.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
a) Le cas unidimensionnel
b) Le cas tridimensionnel
) Bilan global
![Page 23: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/23.jpg)
M
V
jN(M,t)
dS(P)
jN(P,t)
P
![Page 24: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/24.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
a) Le cas unidimensionnel
b) Le cas tridimensionnel
) Bilan global
) Bilan local
![Page 25: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/25.jpg)
En M, à la date t :
Equation locale de la conservation du nombre de particules diffusées
σn
div tNj
σn
div(n. ) t
v
![Page 26: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/26.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
![Page 27: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/27.jpg)
En M, à la date t :
Equation locale de diffusion de particules
Δ σn
D. n t
![Page 28: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/28.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
b) Linéarité et unicité de la solution
) La linéarité
![Page 29: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/29.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
b) Linéarité et unicité de la solution
) La linéarité
) L’unicité de la solution
![Page 30: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/30.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
b) Linéarité et unicité de la solution
c) Irréversibilité
![Page 31: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/31.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0
1) Le régime stationnaire ou permanent
![Page 32: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/32.jpg)
N0
jN(0) = 0jN(L) = 0
Régime stationnaire sans aide extérieure
n0.S.L = N0
0 L x
![Page 33: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/33.jpg)
jN(L) 0
Régime stationnaire avec aide extérieure
0 L x
n(x) = n0 + (nL – n0) Lx
n0 nL
jN(0) 0
![Page 34: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/34.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0
1) Le régime stationnaire ou permanent
2) Le régime d'homogénéisation
a) Expression de la solution
![Page 35: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/35.jpg)
N0
t, n(x = ,t) = 0
Régime d’homogénéisation
0 x
n(x,t) =
Dt4x
expDt4S
N 20
![Page 36: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/36.jpg)
Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0
1) Le régime stationnaire ou permanent
2) Le régime d'homogénéisation
a) Expression de la solution
b) Commentaires
![Page 37: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/37.jpg)
Diffusion de particules
![Page 38: Phénomène de diffusion ; Loi de Fick I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9d8c497959293b8c0daf/html5/thumbnails/38.jpg)
Densité volumique
0x
n(x)
largeur à mi – hauteur : 2 = 2 D.t.ln2