![Page 1: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/1.jpg)
1 / 54
Wiskundig valt er veel in de plooi
Philippe Cara
Vrije Universiteit Brussel
Leuven, 13 mei 2009
![Page 2: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/2.jpg)
ORIGAMI!
2 / 54
■ ORIGAMI = kunst vanhet papiervouwen
■ China, 1ste of 2de eeuw■ Japan 6de eeuw, Europa
in 12de eeuw
![Page 3: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/3.jpg)
ORIGAMI!
3 / 54
■ ORIGAMI = kunst vanhet papiervouwen
■ China, 1ste of 2de eeuw■ Japan 6de eeuw, Europa
in 12de eeuw■ 1797: Hiden Senbazuru
Orikata■ 1880: “Oru” (plooien)
“Kami” (papier)■ 1935: Yoshizawa voert
symbolen en diagrammenin
![Page 4: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/4.jpg)
Hoe maken we. . . ?
4 / 54
![Page 5: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/5.jpg)
Waarom ik ?
5 / 54
![Page 6: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/6.jpg)
Waarom ik ?
5 / 54
![Page 7: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/7.jpg)
Papiervouwen : een hobby ?
6 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen
![Page 8: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/8.jpg)
Papiervouwen : een hobby ?
7 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs
![Page 9: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/9.jpg)
Papiervouwen : een hobby ?
8 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte
![Page 10: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/10.jpg)
Papiervouwen : een hobby ?
9 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte
![Page 11: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/11.jpg)
Papiervouwen : een hobby ?
10 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte
![Page 12: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/12.jpg)
Papiervouwen : een hobby ?
11 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte■ Interessant in de ge-
neeskunde
![Page 13: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/13.jpg)
Papiervouwen : een hobby ?
12 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte■ Interessant in de ge-
neeskunde
![Page 14: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/14.jpg)
13 / 54
WAT KAN GECONSTRUEERD WORDEN ?
![Page 15: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/15.jpg)
Meetkundige constructies
14 / 54
Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomenzijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal.
![Page 16: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/16.jpg)
Meetkundige constructies
14 / 54
Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomenzijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal.
1. Tussen twee verschillende punten kan men steeds eenrechte lijn trekken.
2. Elke eindige rechte lijn kan steeds oneindig verlengdworden op een continue wijze.
3. Men kan steeds een cirkel tekenen indien zijn middelpunten een straal gegeven zijn.
![Page 17: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/17.jpg)
We kunnen tweedegraadsvergelijkingen
oplossen
15 / 54
■ y − y1 = y2−y1
x2−x1
(x − x1)
■ (x − x1)2 + (y − y1)
2 = R2
![Page 18: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/18.jpg)
Onmogelijke constructies
16 / 54
Drie problemen waarvoor men eeuwenlang tevergeefs naar eenoplossing zocht:
1. De duplicatie van de kubus = de constructie van de zijdevan een kubus die een volume heeft gelijk aan hetdubbele van dat van een gegeven kubus.
2. De trisectie van de hoek = de verdeling van een gegevenwillekeurige hoek in drie evengrote hoeken.
3. De kwadratuur van de cirkel = de constructie van eenvierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.
![Page 19: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/19.jpg)
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
![Page 20: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/20.jpg)
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
![Page 21: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/21.jpg)
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
3. De kwadratuur van de cirkel : construeer√
π.
![Page 22: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/22.jpg)
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
3. De kwadratuur van de cirkel : construeer√
π.
Galoistheorie =⇒ geen van deze drie problemen heeft eenoplossing met passer en liniaal.
![Page 23: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/23.jpg)
Met passer en geijkte liniaal
18 / 54
![Page 24: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/24.jpg)
Eerste stappen
19 / 54
![Page 25: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/25.jpg)
Eerste stappen
19 / 54
![Page 26: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/26.jpg)
Eerste stappen
19 / 54
![Page 27: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/27.jpg)
Eerste stappen
19 / 54
![Page 28: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/28.jpg)
Binaire breuken
20 / 54
■ We kunnen alle breuken1
2nconstrueren!
![Page 29: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/29.jpg)
Binaire breuken
20 / 54
■ We kunnen alle breuken1
2nconstrueren!
■ We kunnen dus ook de m2n
maken, in 2n−1 vouwen.
![Page 30: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/30.jpg)
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384 =3×102+8×101+4×100
![Page 31: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/31.jpg)
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384 =3×102+8×101+4×100
101 =1×22+0×21+1×20
![Page 32: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/32.jpg)
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101 =1×22+0×21+1×20
![Page 33: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/33.jpg)
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3
![Page 34: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/34.jpg)
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3
We kunnen dus binaire breuken m2n
met m < 2n schrijven als“binaire kommagetallen”.
![Page 35: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/35.jpg)
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3
We kunnen dus binaire breuken m2n
met m < 2n schrijven als“binaire kommagetallen”.
.111= 1×2−1+1×2−2+1×2−3 = 7
8
![Page 36: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/36.jpg)
Binaire breuken
22 / 54
.11001 = 1×2−1 +1×2−2 +0×2−3 +0×2−4 +1×2−5 =25
32
.11001 =1
2(1 + 1 × 2−1 + 0 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4)
...
.11001 =1
2(1 +
1
2(1 +
1
2(0 +
1
2(0 +
1
2(1)))))
We kunnen 25
32berekenen door van rechts naar links te lezen
en, afhankelijk van wat er staat,
1. plus 0, maal 1
2
2. plus 1, maal 1
2
![Page 37: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/37.jpg)
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r
![Page 38: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/38.jpg)
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r r1
2(0 + r)
![Page 39: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/39.jpg)
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r r1
2(0 + r)
r
![Page 40: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/40.jpg)
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r r1
2(0 + r)
r r1
2(1 + r)
![Page 41: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/41.jpg)
Efficientie!
24 / 54
Hier slechts n vouwen nodig!!!
25
32= .11001 = 1×2−1 +1×2−2 +0×2−3 +0×2−4 +1×2−5
![Page 42: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/42.jpg)
Benaderingen
25 / 54
1
3= .0101010101 . . .
![Page 43: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/43.jpg)
Benaderingen
25 / 54
1
3= .0101010101 . . .
Dus vouw bovenkant naar benden, onderkant naar bovenbovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkantnaar benden, onderkant naar boven bovenkant naar beneden,onderkant naar boven, bovenkant naar benden, onderkantnaar boven bovenkant naar beneden, onderkant naar boven,. . .
![Page 44: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/44.jpg)
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
![Page 45: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/45.jpg)
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
![Page 46: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/46.jpg)
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y
![Page 47: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/47.jpg)
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
![Page 48: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/48.jpg)
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
■ z = 1 − y = 1−x1−x+w
![Page 49: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/49.jpg)
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
■ z = 1 − y = 1−x1−x+w
■ Zij p = 2n en stel w = mp
en x = np
met m,n < p
![Page 50: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/50.jpg)
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
■ z = 1 − y = 1−x1−x+w
■ Zij p = 2n en stel w = mp
en x = np
met m,n < p
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
![Page 51: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/51.jpg)
Constructie van a/b
27 / 54
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.
![Page 52: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/52.jpg)
Constructie van a/b
27 / 54
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.
■ Voorbeeld: voor 1
3nemen we p = 2, m = 1 en n = 0
![Page 53: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/53.jpg)
Constructie van a/b
27 / 54
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.
■ Voorbeeld: voor 1
3nemen we p = 2, m = 1 en n = 0
■
![Page 54: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/54.jpg)
Origami axioma’s
28 / 54
Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.
![Page 55: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/55.jpg)
Origami axioma’s
29 / 54
p1 en p2 −→ zo plooien dat p1 op p2 terecht komt.
![Page 56: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/56.jpg)
Origami axioma’s
30 / 54
Twee rechten l1 en l2 −→ die op elkaar vouwen.
![Page 57: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/57.jpg)
Origami axioma’s
31 / 54
Punt p1 en een rechte l1 −→ loodlijn op l1 door p1
construeren.
![Page 58: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/58.jpg)
Origami axioma’s
32 / 54
p1 en p2 samen met een rechte l1 −→ een vouw maken doorp2 zo dat p1 op l1 terecht komt.
![Page 59: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/59.jpg)
Origami axioma’s
33 / 54
1. Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.2. p en q −→ zo plooien dat p op q terecht komt.3. Twee rechten L en M −→ die op elkaar vouwen.4. Punt p en een rechte L −→ loodlijn op L door p
construeren.5. p en q samen met een rechte L −→ een vouw maken
door q zo dat p op L terecht komt.
De meetkunde der spiegelingen!
![Page 60: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/60.jpg)
Trisectie
34 / 54
![Page 61: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/61.jpg)
Trisectie
35 / 54
![Page 62: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/62.jpg)
Trisectie
36 / 54
![Page 63: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/63.jpg)
Trisectie
37 / 54
![Page 64: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/64.jpg)
Origami axioma’s
38 / 54
Twee punten p1, p2 en twee rechten l1, l2 −→ een vouwmaken zo dat p1 op l1 komt en p2 op l2.
![Page 65: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/65.jpg)
Zonder instrumenten ?
39 / 54
1. Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.2. p en q −→ zo plooien dat p op q terecht komt.3. Twee rechten L en M −→ die op elkaar vouwen.4. Punt p en een rechte L −→ loodlijn op L door p
construeren.5. p en q samen met een rechte L −→ een vouw maken
door q zo dat p op L terecht komt.6. Twee punten p, q en twee rechten L,M −→ een vouw
maken zo dat p op L komt en q op M .
![Page 66: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/66.jpg)
Plooien is beter dan Euklides!
40 / 54
Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen!
Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met
passer en geijkte liniaal.
![Page 67: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/67.jpg)
Plooien is beter dan Euklides!
40 / 54
Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen!
Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met
passer en geijkte liniaal.
7de axioma : Gegeven p en l1, l2, kunnen we een vouwmaken, loodrecht op l2, die p afbeeldt op l1.
![Page 68: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/68.jpg)
Duplicatie van de kubus
41 / 54
![Page 69: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/69.jpg)
Duplicatie van de kubus
41 / 54
![Page 70: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/70.jpg)
Erik Demaine
42 / 54
■ Geboren op 28 februari1981 in Canada.
■ Werd op 20-jarige leeftijdprof op MIT.
■ Uiterst multidisciplinair!■ Meer dan 100 publi-
caties!■ Werkt veel op gebied van
origami en wiskundigeveralgemeningen vanvouwen.
■ Houdt ook van comput-ers.
■
http://erikdemaine.org
![Page 71: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/71.jpg)
Pasen
43 / 54
![Page 72: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/72.jpg)
Verpakkingsprobleem
44 / 54
De kubus: 2√
2z Mozartkugel = eenheidssfeer1.6π2 < 2π2
![Page 73: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/73.jpg)
Er valt veel in de plooi
45 / 54
En er valt nog veel meer in de plooi!
![Page 74: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/74.jpg)
Modulaire origami
46 / 54
![Page 75: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/75.jpg)
Modulaire origami
47 / 54
![Page 76: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/76.jpg)
Modulaire origami
48 / 54
![Page 77: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/77.jpg)
Modulaire origami
49 / 54
![Page 78: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/78.jpg)
Modulaire origami
50 / 54
![Page 79: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/79.jpg)
Modulaire origami
51 / 54
![Page 80: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/80.jpg)
Modulaire origami
52 / 54
![Page 81: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/81.jpg)
Modulaire origami
53 / 54
![Page 82: Philippe Cara Vrije Universiteit Brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/Hobby/VWO2009talk.pdf · 2009. 11. 9. · Leuven, 13 mei 2009. ORIGAMI! 2 / 54 ... Met papierplooien kan je juist](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052617/60b1037b0e1a0244725e16a3/html5/thumbnails/82.jpg)
Modulaire origami
54 / 54