Download - Pidato ilmiah Prof Iwan Prano
Majel is Guru Besar
Inst itut Teknologi Bandung
Pidato Ilmiah Guru Besar
Institut Teknologi Bandung
Hak cipta ada pada penulis
Majelis Guru Besar
Institut Teknologi Bandung
30 Maret 2012Balai Pertemuan Ilmiah ITB
Profesor Iwan Pranoto
MENGGALI HAKIKAT BERMATEMATIKA
MELALUI PENGEMBANGAN TEORI KONTROL
Hak cipta ada pada penulis58
Majelis Guru Besar
Institut Teknologi Bandung
Pidato Ilmiah Guru Besar
Institut Teknologi Bandung30 Maret 2012
Profesor Iwan Pranoto
MENGGALI HAKIKAT BERMATEMATIKA
MELALUI PENGEMBANGAN TEORI KONTROL
ii iii
MENGGALI HAKIKAT BERMATEMATIKA
MELALUI PENGEMBANGAN TEORI KONTROL.
Disampaikan pada sidang terbuka Majelis Guru Besar ITB,
tanggal 30 Maret 2012.
Judul:
MENGGALI HAKIKAT BERMATEMATIKA
MELALUI PENGEMBANGAN TEORI KONTROL
Disunting oleh Iwan Pranoto
Hak Cipta ada pada penulis
Data katalog dalam terbitan
Bandung: Majelis Guru Besar ITB, 2012
viii+58 h., 17,5 x 25 cm
1. Sains 1. Iwan Pranoto
ISBN 978-602-8468-49-7
Hak Cipta dilindungi undang-undang.Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara
elektronik maupun mekanik, termasuk memfotokopi, merekam atau dengan menggunakan sistem
penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penulis.
UNDANG-UNDANG NOMOR 19 TAHUN 2002 TENTANG HAK CIPTA
1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu
ciptaan atau memberi izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling lama
dan/atau denda paling banyak
2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual
kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait
sebagaimana dimaksud pada ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama
dan/atau denda paling banyak
7 (tujuh)
tahun Rp 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).
5
(lima) tahun Rp 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
Iwan Pranoto
KATA PENGANTAR
Sungguh tak terkatakan ucapan syukur atas berkat yang telah
diterima sampai hari ini. Sebenarnya kami tak layak menerima berkat
sebesar dan seterhormat ini, sampai menyampaikan sebuah pidato ilmiah
di depan para guru besar yang budiman di Majelis Guru Besar ITB sore ini.
Khusus kepada Ketua dan Sekretaris MGB ITB, kami menghaturkan
penghargaan setulus-tulusnya atas kehormatan untuk penyampaian
pidato di depan hadirin sekalian.
Pidato ini disampaikan berdasarkan naskah
. Secara ringkas,
naskah ini menggambarkan pemikiran dan kepedulian yang tumbuh
selama kami menjadi sivitas akademika di ITB, dan naskah ini mencakup
gagasan-gagasan inti berikut:
1. Hakikat bermatematika dipandang dari gagasan matematika
sendiri, yakni dari persepsi fungsi dan estetika.
2. Perkembangan Teori Kontrol dari sistem linear berdimensi hingga
ke sistem berparameter terdistribusi yang berdimensi tak hingga,
khususnya penelitian dalam sistem tak konservatif.
3. Perkembangan sistem kontrol geometri tak linear yang
menggabungkan berbagai cabang matematika.
4. Penggunaan Teori Kontrol dan inspirasi fenomena dalam
upaya pengendalian sistem multi-agen di masalah transportasi,
“Menggali Hakikat
Bermatematika melalui Pengembangan Teori Kontrol”
swarm
iv v
dan penggunaan algoritma optimasi berdasarkan swarm untuk
penyelesaian masalah matematika dan terapannya.
5. Upaya pelestarian dan penguatan budaya bermatematika
generasi mendatang di Indonesia serta implikasinya untuk
pembangunan Indonesia berkelanjutan bermodalkan kecendikia-
an di dunia tanpa batas.
Hari ini sesungguhnya merupakan satu pertanda penting dalam karir
kami untuk mengingatkan kesungguhan dan pertanggungjawaban
akademik sebagai guru besar kepada Bangsa Indonesia. Besar harapan
kami, naskah dan pidato ini akan memicu banyak gagasan-gagasan lain
yang lebih baik lagi dari akademisi lain dalam kebermatematikaan dan
pemanfaatannya. Wacana dan pemikiran-pemikiran baru itu akan
menghela kejayaan Republik Indonesia di masa depan.
Terima kasih kami sampaikan kepada banyak Guru Besar yang sudah
memberikan dukungan selama karir kami dan khususnya untuk
mendorong pengajuan jabatan Guru Besar ini. Dukungan tertulis maupun
lisan yang sudah diberikan sungguh akan kami ingat selamanya.
Acara agung hari ini semakin mengingatkan kami kepada almarhum
ayahanda Henry Pranoto yang telah menjadi tauladan sebagai seorang
pemelajar sepanjang hayat. Terima kasih atas tauladan dan sudah menjadi
orang pertama yang mempercayai kemampuan putranya. Juga kepada
ibunda kami Handajani yang tak kenal lelah membantu bekerja siang-
malam dan mengajarkan berhitung saat putranya masih SD. Sampai
kapanpun kasihmu tak akan sanggup terbalas. Terima kasih. Kepada istri
tercinta Mariani L. Santoso yang tabah mendampingi di saat sulit pada
masa studi maupun pada saat berkarir di ITB. Kekaguman dan terima
kasih kepada putriku tersayang, Prishanti Dipita.
Semoga pidato ini bermanfaat bagi kemanusiaan.
Bandung, 30 Maret 2012
Iwan Pranoto
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .................................................................................. iii
DAFTAR ISI ................................................................................................. v
1. PENDAHULUAN ................................................................................. 1
1.1. Matematika Diciptakan atau Ditemukan?................................... 1
1.2. Peran Matematika dalam Kebudayaan Manusia Modern ...... 4
2. TEORI KONTROL DARI SIFAT ALAMI MANUSIA ...................... 9
2.1. Sistem Kontrol Linear Dimensi Hingga: Pendekatan
Geometri ......................................................................................... 11
2.1.1 Sistem Berparameter Terdistribusi .................................... 13
2.1.2 Sistem Berparameter Terdistribusi Tak Konservatif ...... 16
2.1.3 Teori Kontrol Geometri ...................................................... 18
2.1.4 Rekacipta Kendali Sistem Banyak Agen dengan
Inspirasi Swarm .................................................................. 21
2.1.5 Optimisasi dengan Algoritma Berdasarkan Perilaku
Swarm.................................................................................... 26
3. PENYATUAN MATEMATIKA MELALUI TEORI KONTROL ...... 27
3.1 Sekilas Upaya Penyatuan Matematika ....................................... 27
3.2 Teori Kontrol dalam Matematika dan Penerapannya .............. 28
4. MASA DEPAN KEBERMATEMATIKAAN DI INDONESIA ......... 31
4.1 Masyarakat yang Belajar dan Ekonomi berdasar Kecerdasan 31
4.2 Matematika bagi Pengembangan Sains, Rekayasa, dan Seni .. 32
viivi
viii 1
MENGGALI HAKIKAT BERMATEMATIKA
MELALUI PENGEMBANGAN TEORI KONTROL
Die ganze Zahl shuf der liebe Gott,
alles brige ist Menschenwerk.
(Tuhan menciptakan bilangan asli,
sisanya dibuat manusia.)
-- ,
Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung
Leopold Kronecker
1. PENDAHULUAN
1.1 Matematika Diciptakan atau Ditemukan?
Pada suatu awal, pada saat semesta dengan benda-benda angkasa
baru saja lahir, sesungguhnya gagasan bilangan serta membilang telah
ada di bayi semesta itu. Dengan adanya partikel atau
benda di semesta pada masa awal kelahiran semesta tersebut, maka
gagasan bilangan asli 1, 2, 3, … sudah lahir. Dan, sesungguhnya semesta
sudah cukup menyediakan satu-satunya modalnya, yakni gagasan
bilangan asli. Sesungguhnya, cukup dengan modal bilangan asli itu
sajalah kemudian matematika dibangun kebudayaan manusia di berbagai
tempat melalui rangkaian peradabannya sampai detik ini. Oleh
karenanya, sangat wajar jika matematika disebut sebagai sebuah hasil
peradaban manusia serta bukti keagungan kebudayaan manusia sejak
awal kehidupan.
Matematika mungkin satu dari tak banyak disiplin yang memang
mempelajari objek buatan manusia semata, serta bebas dari faktor alam.
beberapa beberapa
4.3 Penyiapan Matematikawan Mendatang .................................... 35
4.4 Matematika untuk Semua di Indonesia ..................................... 36
5. PENUTUP .............................................................................................. 43
6. UCAPAN TERIMA KASIH .................................................................. 44
BAHAN RUJUKAN ................................................................................... 49
CURRICULUM VITAE .............................................................................. 55
2 3
Manusia dengan kebudayaannya selama kurang lebih tiga milenia telah
berhasil membangun sebuah matematika sampai pada taraf seperti
sekarang hanya bermodalkan gagasan bilangan asli saja.
Kalau demikian, pertanyaan logis selanjutnya adalah, apakah benar
matematika diciptakan oleh manusia? Dengan kata lain, apakah manusia
memang punya kebebasan mutlak dalam menciptakan matematika?
Apakah mungkin manusia menciptakan matematika benar-benar
berdasarkan kehendak bebasnya semata, bebas dari pengaruh apapun
dari semesta? Pertanyaan ini sangat wajar dipertanyakan. Namun, fakta
yang ada menunjukkan bahwa walaupun banyak gagasan matematika
diciptakan oleh manusia-manusia yang saling tak pernah saling bertemu,
tak terhubung secara demografis dan juga hidup pada masa yang tak
bersamaan, gagasan-gagasan tersebut saling berkaitan. Sejarah
matematika menunjukkan bahwa gagasan-gagasan matematika ternyata
saling terkait. Banyak gagasan yang pada awalnya diciptakan manusia
secara saling terlepas, ternyata terhubung melalui suatu persamaan yang
umumnya sangat sederhana.
Sebagai ilustrasi bagaimana gagasan matematika yang diciptakan
secara independen oleh manusia yang tak saling kenal dengan tempat
yang berjauhan serta masa yang juga sangat berbeda adalah bilangan
bulat, konstanta , bilangan natural/alamiah , bilangan kompleks, dan
bilangan nol. Semua bilangan dan konstanta ini adalah buatan manusia.
Diciptakannya bilangan-bilangan ini juga saling bebas pada masa yang
� e
berbeda. Namun, dalam rumus Euler, yang sudah diakui sebagai rumus
matematika terindah, semua bilangan dan konstanta tersebut dapat
ditunjukkan saling terkait dalam sebuah persamaan yang sangat
Ini sangat mencengangkan, karena dapat diamati bahwa bilangan-
bilangan: alamiah , bilangan kompleks , konstanta , dan nol, yang
semuanya merupakan ciptaan manusia yang tak saling kenal itu ternyata
terhubung dengan sederhana dan cermatnya. Dan, juga harus disadari
bahwa keterkaitan bilangan-bilangan ciptaan manusia tersebut juga
melibatkan bilangan asli 1 yang bukan ciptaan manusia. Ilustrasi ini yang
merupakan salah satu alasan sekelompok matematikawan berkeyakinan
bahwa matematika ditemukan, bukan diciptakan. Kelompok terakhir ini
beranggapan bahwa tak mungkin matematika diciptakan secara benar-
benar acak dan bebas, hanya berdasarkan pemikiran manusia semata.
Kelompok ini yakin bahwa sebenarnya di semesta ini sudah di
dalamnya matematika. Hanya satu saja matematika yang mungkin di
semesta ini. Sebenarnya, manusia dengan kecakapan bernalarnya hanya
tinggal menemukannya saja. Artinya, seorang matematikawan yang
menciptakan gagasan baru, jika sahih dan tak bertentangan dengan
gagasan lain, maka yang dapat dikatakan adalah mereka sebenarnya
menemukan apa yang memang sudah ada dalam semesta. Mereka tidak
benar-benar menciptakan secara murni. Dengan sudut pandang bahwa
matematika ditemukan ini lah, akan dijabarkan di sini karya dari penulis
e i
built-in
satu
�
Walaupun pada awalnya juga melihat
matematika dari sisi manfaatnya dalam
kehidupan sehari-hari, akhirnya mereka
melihat kegiatan bermatematika sebagai
sebuah atau kegiatan yang menye-
nangkan serta dipelajari karena keindah-
annya. Sebagian dari matematikawan ini
bermatematika untuk atau untuk matematika itu sendiri.
Matematikawan saat itu sudah memandang kegiatan bermatematika
sebagai sebuah kegiatan intelektual manusia guna menjawab
keingintahuan yang dirumuskan dalam gugusan rantai pertanyaan yang
dibuatnya sendiri.
Seperti saudari kandungnya, yaitu seni yang di abad 19 telah
menginisiasi upaya memuliakan semangat berkesenian dengan
, di matematika ada pula semangat sejenis: .
Tentunya, agak beda dengan seni, matematika sangat menonjol persepsi
pemanfaatannya. Keadaan ini merupakan berkat sekaligus “bencana”
bagi matematika. Dikatakan berkat, karena orang sadar perlunya belajar
matematika. Dikatakan bencana, karena begitu bermanfaatnya,
masyarakat awam seringkali memandang matematika sebagai alat
semata, malah seringkali mereduksinya menjadi sekedar kegiatan
berhitung. Masyarakat awam, bahkan mungkin saintis dan rekayasawan
yang memang sangat memanfaatkan matematika dalam pekerjaannya
leisure
its own sake
l’art pour
l’art math for math’s sake
ini untuk menemukan matematika dalam teori kontrol serta melihatnya
sebagai sebuah upaya menyatukan matematika. Penulis melalui
penelitiannya, sifat-sifat dalam teori kontrol, bukan
.
Dalam kehidupan sehari-hari matematika sangat berperan mutlak.
Dari kegiatan keseharian manusia di tataran paling rendah sampai tataran
tinggi seperti teknologi, matematika senantiasa berperan penting. Ini
berarti bahwa dari sisi fungsinya, matematika serta kebermatematikaan-
nya telah menyatu dengan kehidupan. Lebih daripada itu, manusia sudah
tergantung pada fungsi matematika. Hampir mustahil hidup sehari tanpa
menggunakan matematika saat sekarang ini. Jadi, bahwa matematika
sangat bermanfaat bagi kehidupan bukan suatu hal aneh. Fungsi atau
manfaat ini lah yang merupakan satu sisi dari matematika. Namun, ini
sebenarnya bukan gambaran tentang matematika dan bermatematika
secara utuh.
Matematikawan Yunani dengan tradisinya, dari abad ke-tujuh SM
sampai abad ke-empat Masehi, sangat unik dalam meletakkan
matematika ke dalam kebudayaannya. Para pendeta Hindu di India dan
pedagang diArab dan Persia melihat bermatematika sebagai sesuatu yang
bermanfaat untuk berdagang dan matematika dipelajari karena
manfaatnya. Namun, tidak demikian dengan matematikawan Yunani.
menemukan
menciptakan
1.2 Peran Matematika dalam Kebudayaan Manusia Modern
4 5
… dalam perasaan kekurangan
benda itu penulis banyak
mendapatkan benda pada ilmu
tak berbenda, pada
matematika ini.
Tan Malaka
ulang tahunnya yang ke-90 (Gelfand, 2006).
Beliau menyatakan bahwa seperti musik
(klasik), inti matematika adalah gabungan
dari empat hal: keinda-han, ketepatan,
kesederhanaan, dan gagasan liar. Sebenar-
nya tidak saja dalam musik dan mate-
matika, empat hal tersebut terwujud pula
dalam dunia seni rupa modern. Misalnya, litografi “Bull, State XI” dan “La
Femme”, karya Pablo Picasso, serta “L’escargot”, karya Henri Matisse,
sangat jelas menggambarkan 4 ciri tersebut. Karya “Bull” juga dibahas
(Wagensberg, 2004) dan disinggung pula bahwa proses abstraksi di seni
sangat mirip abstraksi di matematika dan sains. Karya-karya seni tersebut,
seperti juga gagasan-gagasan matematika yang baik selalu memiliki
unsur kesemestaan (mendasar dan mencakup luas), ketepatan (tidak
lebih, tidak kurang), kesederhanaan (mudah dipahami), di luar kebiasaan,
dan menyatukan perasaan dan kecerdasan.
Dalam proses abstraksi, berkesenian dan berkematematikaan melalui
tahapan-tahapan yang jelas sekali sejalan. Dalam berkesenian, Pablo
Picasso mengatakan:
Pernyataan yang disampaikan Picasso ini sama dan sebangun dengan
To arrive at abstraction, it is always necessary to begin with a concrete reality . . . .
You must always start with something. Afterward you can remove all traces of
reality . . . (Picasso di Roots-Bernstein et al, 2003)
6 7
akan mempersepsi matematika dari sudut manfaat semata.
Perguruan tinggi ITB memiliki tradisi panjang sebagai salah satu
episentrum pengembangan sains, teknologi, dan seni. Seringkali menjadi
bahan perenungan penulis, sebenarnya di antara tiga kelompok itu, di
manakah tepatnya letak matematika? Jelas matematika bukan bagian dari
atau IPA. Meski matematika
juga kadang termotivasi oleh hasil
pengamatan fenomena nyata, tetapi
umumnya lebih termotivasi oleh penga
matan pola dalam tataran gagasan. Mate
matika juga tidak menerima pembuktian
empirik seperti di sains alam. Lalu,
bagaimana dengan teknologi? Benar bahwa teknologi sangat tergantung
pada matematika, namun jelas sekali bahwa matematika bukan salah satu
dari teknologi itu. Oleh karenanya, wajarlah dan perbolehkan penulis
dalam eksposisi ini kerap memandang dan meletakkan matematika di
dalam kelompok terakhir. Terutama, argumen terkuat untuk ini adalah
karena keduanya studi terhadap gagasan dan cara mengungkapannya.
Lebih daripada itu, matematika dan seni memiliki banyak kesamaan.
Seperti yang dikatakan pakar topologi diferensial Marston Morse, bahwa
matematika dan seni sama-sama disentuh oleh kecerdasan dan
“kesintingan” atau keberanian berpikir total di luar kewajaran.
Pendapat senada dikemukakan Israel M. Gelfand di pidato perayaan
natural sciences
-
-
But mathematics is the sister, as
well as the servant, of the arts
and is touched by the same
madness and genius.
Marston Morse
The combination of these four
things: beauty, exactness,
simplicity and crazy ideas is
just the heart of mathematics,
the heart of classical music.
Israel M. Gelfand, in the Unity
of Mathematics.
proses abstraksi dalam bermatematika. Perumusan gagasan matematika
juga mulai dengan pengamatan terhadap pola yang ditangkap oleh
pikiran, bukan realita yang ditangkap panca indra. Jadi, apakah
matematika beda dengan seni yang selalu berangkat dari realita?
Pertanyaan yang perlu dijawab kemudian
adalah apa yang disebut “realita” atau
“ada” di dunia matematika? Jika realita
diharuskan ada wujud nyata yang dapat
ditangkap panca indra, maka di mate
matika tidak ada realita. Tetapi, jika
mengikuti pendapat Picasso, bahwa semua
hal yang dapat diimajinasikan pikiran
manusia adalah nyata, maka bermatematika
juga berangkat dari “realita”. Sebagai ilustrasi, barisan bilangan seperti
barisan Fibonacci {1,1,2,3,5,8,…} sudah cukup atau nyata di
matematika. Jadi, jika disepakati bahwa apa yang dapat dipikirkan dan
tak mengakibatkan kontradiksi dikatakan nyata, memang proses
abstraksi di berkesenian dan berkematematikaan sungguh-sungguh
sejajar. Karakteristik penting dalam proses abstraksi yang sama dan
sebangun dengan berkesenian ini lah yang justru kerap diabaikan dalam
penelitian dan bahkan dalam praktik pendidikan matematika.
Perlu dicatat pula bahwa salah satu hakikat bermatematika adalah
sebagai sebuah seni menjalin kesimpulan yang didasarkan pernalaran,
-
real
8 9
bukan panca indra. Malahan, lima indra konvensional kita diharapkan
tidak “mengganggu” atau “menipu” dalam penarikan kesimpulan ini.
Penjalinan kesimpulan itu diharapkan bergantung pada pernalaran
deduktif semata. Sebagai ilustrasi, benar bahwa matematikawan
menyajikan gagasan matematika mungkin melalui gambar. Namun,
sangat tabu untuk menyimpulkan berdasarkan gambar tersebut. Dengan
gambar yang sangat akurat pun, seorang yang belajar geometri tak boleh
menyimpulkan tegak lurusnya sudut berdasar gambar itu. Seorang
adalah orang yang tak ingin tertipu oleh gambar, dan geometri
adalah studi tentang objek yang tidak dapat digambar atau gambarnya
buruk. Dan, secara umum, matematikawan adalah orang yang mengkaji
gagasan melalui pernalarannya, tetapi tak mau tertipu oleh panca
indranya.
Hakikat matematika serta kebermatematikaan adalah sebuah
keutuhan beberapa sisi sekaligus. Hakikatnya mencakup sisi manfaat
dalam kehidupan serta sisi pengembangan matematika sendiri dengan
sudut pemuasan keingintahuan manusia, , dan estetika. Dengan
dasar angan-angan itu lah, eksposisi ini dibangun dan dikembangkan.
Sejak masa purba, yakni pada era atau pemulung/pemburu,
manusia pada dasarnya sudah berupaya mengendalikan lingkungannya,
geometer
leisure
gatherer
2. TEORI KONTROL DARI SIFAT ALAMI MANUSIA
Mathematics is independent of
the existence of material
objects; in mathematics the
word exist can have only one
meaning, it means free from
contradiction.
Henri Poincaré, dikutip di
(McLarty, 1997)
10 11
serta berupaya membuat kehidupannya lebih baik/nyaman. Manusia
pada dasarnya memiliki sifat alaminya untuk senatiasa hendak
mengendalikan keadaan di sekelilingnya. Dalam dunia pertanian,
misalnya, hama tanaman ingin dikendalikan manusia sejak jaman dahulu.
Dengan berbagai cara, hama tanaman hendak dikendalikan sehingga
hasil pertaniannya semakin baik dan banyak.
Karena sifat alami manusia yang ingin mengendalikan lingkungan-
nya tersebut, teori kontrol atau teori kendali merupakan sebuah disiplin
yang menyatu dengan karakteristik alami manusia. Namun, studi formal
tentang teori kontrol dalam rekayasa dan matematika baru dimulai
dengan pendekatan modern dimulai oleh James C. Maxwell (1831-1879),
Edward J. Routh (1831-1907), dan Adolf Hurwitz (1859-1919) pada akhir
abad 19. Sedangkan pemanfaatan teori kendali secara berarti, pertama kali
adalah saat Wright bersaudara menerbangkan pesawat udaranya pada 17
Desember 1903. Selanjutnya, pada Perang Dunia II, peranan teori kendali
semakin besar, dengan dimanfaatkannya ke dalam persenjataan,
elektronika, dan sistem navigasi.
Dari sisi gagasan matematika dalam teori kontrol, Maxwell juga
termasuk yang pertama kali menggunakan pendekatan domain-waktu.
Model sistem kontrol yang melibatkan persamaan diferensial dan sangat
padat dengan kalkulus infinitesimal buatan Leibniz dan Newton dimulai
masa itu. Dalam studinya, Maxwell mempelajari kestabilan sistem.
Sungguh menarik untuk dicatat pula bahwa saat itu, Maxwell telah
berhasil melinearkan sistem guna mengkaji kestabilannya. Kemudian,
Alexander Lyapunov memformalkan hasil Maxwell dan merumuskannya
dengan lebih baik.
Gagasan optimisasi dimulai oleh Johann Bernoulli (1667-1748).
Walaupun perumusannya bukan sebagai sistem kontrol eksplisit, tetapi
sebagai kalkulus variasi, masalah kontrol optimum muncul pada masa itu.
Masalah optimasi Brachistochrone yang dipecahkan oleh Newton secara
anonim dapat dipandang sebagai sebuah keberhasilan kalkulus untuk
menyelesaikan permasalahan optimisasi yang terkait dengan mekanika.
Kemudian, temuan yang gemilang dan elegan dibuat oleh Lev Pontryagin
dengan dirumuskannya Prinsip Maksimum Pontryagin yang merupakan
sebuah instrumen penting dalam kontrol optimum untuk sistem tak
linear.
Era modern dalam teori kontrol dapat dikatakan terjadi saat mulainya
perumusan sistem kontrol yang melibatkan entitas atau keadaan oleh
Rudolf Kalman pada tahun 1960an. Dengan entitas keadaan ini yang
merupakan jembatan antara masukan dan keluaran, Kalman merumus
kan sistem kontrol serta permasalahannya secara formal. Pendekatan dan
argumen Kalman padat dengan gagasan aljabar linear. Beliaulah yang
merumuskan gagasan keterkontrolan, keterobservasian, serta dualitasnya
secara akurat.
2.1 Sistem Kontrol Linear Dimensi Hingga: Pendekatan Geometri
state
-
12 13
membawa keadaan awal dari sistem semula ke keadaan setimbang dalam
waktu
yang didefinisikan sebagai
2.2
14 15
parsial. Sebagai ilustrasi, sistem DPS berikut memberikan gambaran Di sini, adalah subhimpunan relatif buka dari batas domain .� ��
16 17
2.3 Sistem Berparameter Terdistribusi Tak Konservatif
Sistem DPS seperti yang melibatkan persamaan gelombang atau
getaran batang Euler-Bernoulli semuanya punya sifat dasar yang sangat
mendasar, yakni energi totalnya konservatif atau konstan. Secara
matematika, ini artinya dapat ditemukan suatu fungsi positif yang
konstan terhadap waktu. Akibatnya, penurunan serta pembuktian
ketaksamaan di atas untuk sistem konservatif relatif mudah.
Mulai pada penelitian di jenjang Ph.D. di University of Toronto,
Canada, dilanjutkan penelitian post-doctor di Laboratoire de Topologie,
Université de Bourgogne, Perancis, penelitian penulis (Pranoto, 2001,
2002, 2004) fokus pada sistem berparameter terdistribusi yang tidak
konservatif. Khususnya, penulis mengkhususkan mengkaji sistem
berparameter terdistribusi yang melibatkan gelombang pada membran,
getaran batang, dan getaran lamina yang dipengaruhi aliran fluida
terhadapnya. Pengaruh ini dalam dunia rekayasa sering terjadi, seperti
fenomena di sayap pesawat terbang dan getaran pada pipa-pipa
yang mengalirkan cairan dengan kecepatan tinggi.
Kompleksitas sistem tak konservatif seperti di atas membuat
penurunan dan pembuktian sifat keterkontrolan eksaknya lebih rumit.
Kecuali itu, pada sistem konservatif dengan kecepatan propogasi hingga,
seperti persamaan gelombang, waktu yang dibutuhkan untuk
mengendalikan keadaan ke keadaan setimbang dapat ditentukan secara
eksak sebagai sebuah besaran tertentu. Namun, pada sistem tak
konservatif, jaminan ini sulit diberikan. Melalui penelitian-penelitian
penulis, ditemukan bahwa masih mungkin mengendalikan secara eksak
dan besaran waktu yang dibutuhkannya juga tetap ada, asalkan pengaruh
luarnya masih “beraturan”.
Kemudian, penulis juga melakukan sejumlah penelitian yang terkait
dengan berbagai DPS linear dan semi-linear. Permasalahan yang diselidiki
juga sejenis permasalahan kebalikan. Secara ringkas, dalam beberapa
penelitian akhir ini, penulis melakukan kajian tentang metode untuk
menentukan kembali suatu masukan atau kontrol yang diterapkan pada
suatu sistem, jika pengamatan pada keluarannya dimiliki secara lengkap.
Melalui beberapa paper (Pranoto, 2004, 2009a, 2009b), penulis
flutter
18 19
menunjukkan bahwa sebagian informasi dari masukan yang sudah
diterapkan pada DPS masih dapat ditentukan kembali, asalkan waktu
yang tersedia cukup. Syarat cukup untuk kasus ini melibatkan posisi
relatif dengan batas domain bersifat geometris, bukan topologi, dan
ini sama dengan syarat keterkontrolan eksak.
Langkah perumuman yang dilakukan beberapa pakar teori kontrol,
pakar analisis fungsional, serta pakar persamaan diferensial parsial
dengan membangun sistem kontrol dengan ruang keadaan berdimensi
tak hingga di DPS juga terjadi pada kelompok pakar lain. Beberapa pakar
teori kontrol lain bersama pakar geometri diferensial memperumum
sistem kontrol ala Kalman dengan sudut pandang geometri diferensial.
Melalui estetika dan kesemestaan analisis global serta gagasan grup dan
aljabar Lie, formalisme sistem kontrol tak linear dirumuskan dengan tata
bahasa yang sangat berbeda dengan DPS.
Melalui pendekatan elegan ini, yang secara bersamaan ternyata
sangat sesuai dengan pemanfaatannya dalam dunia robotika, mekanika,
dan navigasi, yang memang umumnya tidak linear dan tidak boleh
dilinearisasi, sistem kontrol secara umum dapat dirumuskan sebagai
keluarga medan vektor pada suatu manifold. Dengan pengertian dan
lambang di Geometri Diferensial, sistem kontrol pada manifold
dipandang sebagai keluarga medan vektor mulus pada manifold .
� ��
2.4 Teori Kontrol Geometri
M
M
Permasalahan keterkontrolan sekarang menjadi pertanyaan mendasar di
geometri dan persamaan diferensial parsial, yakni apakah submanifold
integral dari keluarga medan vektor itu sama dengan . Dari sebuah titik
apakah dapat menuju titik lain?
M
Kemudian, Jurdjevic dkk mulai 1990an memusatkan studinya pada
20 21
kontrol optimum pada grup Lie (Jurdjevic, 1997). Perumusannya menjadi
lebih estetis dan sederhana. Kecuali itu, ternyata banyak masalah-masalah
mekanika klasik seperti masalah elastika Euler dan Kirchoff serta
Caratheodory yang secara alami ternyata mempunyai ruang fasa berupa
grup Lie. Lebih dari itu, masalah-masalah robotika modern juga memiliki
ruang keadaan yang berupa grup Lie atau ruang dari
grup isometri dan ruang manifoldnya. Kemudian, masalah pencarian
lintasan terpendek dalam geometri (geodesik) dan lintasan optimum
dalam mekanika dapat dipandang sebagai satu masalah, yakni kontrol
optimum. Lebih menariknya lagi, melalui penerapan Prinsip Maksimum
Pontryagin (PMP) dengan sistem Hamiltonnya dapat ditemukan kembali
solusi-solusi klasik dari masalah-masalah geometri/mekanika.
Dengan cara pandang ini, geometri Riemann menjadi masuk akal
untuk dikembangkan menjadi geometri SubRieman, yang secara alamiah
menggambarkan masalah kontrol optimum dan sistem mekanika non-
holonomik. Yang dalam geometri Riemann, metrik didefinisikan secara
eksplisit pada seluruh , yakni adanya perkalian dalam
pada setiap ruang singgung , namun dalam geometri SubRiemann,
metrik didefinisikan hanya pada suatu distribusi (subruang) dari
tersebut. Harus disampaikan bahwa awal ketertarikan terhadap
geometri SubRiemann ini dimulai pada saat meneliti di Fields Institute,
Canada, dan kemudian saat belajar dengan Prof. B. Bonnard di Université
de Bourgogne, Dijon, Perancis. Salah satu yang dikaji penulis tentang
semi direct product
tangent bundle TM
T M
tangent
bundle
x
geometri SubRiemann ini adalah sistem Heisenberg. Keluarga medan
vektor sistem kontrol ini yang hanya membangun secara linear
subruang berdimensi 2, padahal ruang singgungnya berdimensi 3,
menggambarkan situasi dengan metrik yang hanya didefinisikan pada
suatu subruang dari ruang singgung. Ini situasi yang analog dengan
pengendalian mobil kita yang ruang keadaannya adalah manifold
berdimensi 3 (posisi dan orientasi ), padahal yang dapat
dikendalikan hanya dua medan vektor: stir dan maju-mundur. Dengan
memandangnya sebagai suatu sistem kontrol, permasalahan mencari
lintasan terpendek atau geodesik di geometri menjadi permasalahan
kontrol optimum yang dapat diselesaikan dengan mekanisme PMP.
Penulis selanjutnya mengembangkan ini untuk sistem multi-agen.
Di alam, banyak jenis mahluk yang biasanya hidup bergerombol,
seperti burung angsa liar, semut, ikan hering, dan yang lain menunjukkan
perilaku dan kecerdasan yang menarik. Sebagai sebuah koloni, hewan-
hewan tersebut menunjukkan perilaku kolektif yang terkoordinasi,
walaupun sebenarnya tidak ada satu hewan pun yang didedikasikan
sebagai pemimpin. Kawanan burung angsa, misalnya, pada saat terbang
bersama berusaha membentuk formasi terbang seperti huruf “V” yang
terbalik. Pakar biologi Henri Weimerskirch (Weimerskirch, 2002)
menyelidiki perilaku burung dan menemukan bahwa ternyata dengan
(linear
span)
(x,y) �
2.5. Rekacipta Kendali Sistem Banyak Agen dengan Inspirasi Swarm
22 23
formasi terbang tersebut, burung-burung tersebut dapat menurunkan
detak jantungnya dan lebih sering meluncur, sehingga lebih ringan dan
energi yang dibutuhkan berkurang. Demikian pula ikan hering yang
bergerombol berenang memberikan keuntungan, karena atau
hambatan yang dialami ikan di bagian belakang berkurang. Keuntungan
yang diperoleh secara keseluruhan jauh lebih besar dibanding jika
masing-masing terbang atau berenang sendiri. Ini ciri khas dari perilaku
gerombolan binatang di alam yang dikenal dengan sebutan .
Kecuali itu, kecerdasan dari binatang yang bergerombol, seperti semut
misalnya, secara individu sangatlah terbatas. Namun demikian, secara
kolektif, kawanan semut itu memiliki kecerdasan kolektif sehingga dapat
menyelesaikan permasalahan yang relatif sangat besar. Di sini, satu
prinsip penting yang dimiliki adalah kecerdasan individu boleh
sederhana, tetapi kecerdasan kolektifnya sangat tinggi.
Di dunia navigasi, seringkali situasi menghendaki untuk mengen-
dalikan banyak wahana sekaligus. Misalnya, kapal memandu kapal
tanker di laut yang berbatu karang, konvoi kapal perang, atau sejumlah
pesawat terbang militer bermanufer dengan formasi tertentu. Jadi, selain
memindahkan sekumpulan wahana dari satu tempat ke tempat lain,
dituntut pula saat perpindahannya kumpulan wahana tersebut
membentuk formasi tertentu dengan “biaya” sekecil mungkin.
Dengan motivasi perilaku di alam serta kebutuhan navigasi,
penulis bersama Dr. Hari Muhammad, Dr. Janson Naiborhu, dan Dr.
drag
swarm
swarm
swarm
Dimitri Mahayana membimbing dua mahasiswa S3 melakukan penelitian
mendesain kontrol untuk sistem kontrol dengan agen banyak (Tjahjana et
al, 2006, 2007, 2008, 2009). Sama dengan prinsip kecerdasan swarm yang
secara individu sederhana, tetapi secara kolektif sangat canggih, dalam
penelitian ini, perumusan kontrol tiap agen dijaga tetap sederhana tetapi
menyelesaikan tugas yang diminta.
Peneliti lain fokus pada cara pandang sebagai sebuah sistem
dinamik yang dikaji sifat-sifatnya, seperti kestasioneran pusat swarm-nya.
Sangat beruntung salah satu mahasiswa S3 penulis, yakni Dr. Miswanto,
dapat meneliti dengan salah satu pencipta model swarm Dr. Veysel Gazi.
Pakar yang pada tahun 2010 bekerja di TOBB University of Economics and
Technology di Ankara ini bersama Kevin M. Passino merumuskan model
dengan agen sebagai berikut.
swarm
swarm M
dan konstanta positif yang merupakan karakteristik koloni tersebut.
Jika model swarm semula seperti di atas relatif berkumpul di suatu lokasi
tertentu, kami mengembangkan model swarm untuk situasi di mana
koloni tersebut perlu berpindah jauh dan menelusuri sebuah lintasan
yang diberikan secara bersama-sama atau dapat ditafsirkan sebagai
“mengejar suatu mangsa”. Pengembangan model ini tentunya wajar,
karena motivasi awalnya untuk menerapkan gagasan swarm ini untuk
a,b,c
24 25
masalah navigasi yang jelas masalahnya adalah memindahkan
sekumpulan wahana dari satu tempat ke tempat lain yang relatif jauh. Di
(Miswanto, 2007a, 2007b, 2010, 2011) dirumuskan model matematika
untuk banyak agen yang menelusuri lintasan . Salah satunya sebagai:�
Di sini, lambang adalah konstanta positif. Dalam penelitian itu
ditunjukkan bahwa pusat menelusuri lintasan tersebut dan koloni
secara bergerak mengumpul pada lintasan tersebut.
Yang perlu dicatat, perumusan model di atas tetap mengikuti prinsip
utama , yakni “kecerdasan” individu harus terbatas. Ini kami
tafsirkan bahwa perumusan aturan kendali untuk setiap agen haruslah
sederhana dan komputasinya sedikit. Penelitian pada pemanfaatan di
dunia transportasi dan militer terbuka lebar.
Masalah multi-agen lain yang diteliti kami adalah masalah
perancangan kontrol untuk mengendalikan gerombolan wahana dari satu
tempat ke tempat lain yang relatif jauh, dengan suatu tuntutan bahwa
selama perpindahan tersebut, para anggota swarm tersebut harus
membentuk suatu formasi geometri tertentu. Ini dikerjakan dalam
pembimbingan mahasiswa S3, yakni Heru Tjahjana (Tjahjana et al, 2006,
2008, 2009). Antara lain, direkacipta kontrol untuk banyak kapal
berpindah dari satu tempat ke tempat lain dengan formasi huruf V
terbalik, mirip dengan formasi kumpulan burung terbang bersama.
p
swarm
swarm
Dengan PMP, masalah kontrol optimum dengan posisi awal dan akhir
serta waktu ditentukan, diubah menjadi sistem Hamilton yang terdiri dari
sepasang persamaan diferensial. Persamaan pertama atau,
tepatnya, syarat batas yang diberikan berlebihan, karena syarat awal dan
akhir diberikan. Namun, pada persamaan kedua tidak memiliki syarat
batas apapun. Untuk beberapa sistem mekanika klasik, misalnya kereta
Dubins atau elastika, sistem Hamilton ini dapat diintegralkan secara
lengkap dan ditemukan solusi analitis dalam bentuk . Namun,
penulis fokus untuk model-model sistem multi-agen yang hampir
semuanya tidak terintegralkan secara lengkap. Untuk itu, penulis bersama
beberapa peneliti lain mengembangkan algoritma numerik untuk
menyelesaikan masalah klasik ini. Ini merupakan hasil samping dari
penelitian sistem kontrol banyak agen yang kami lakukan. Secara ringkas,
masalah klasik tersebut diterjemahkan menjadi masalah optimasi dan
kemudian secara iterasi dengan berbagai metode optimasi, masalah di
atas ditentukan pendekatan solusinya (Tjahjana et al, 2007).
Selanjutnya, jika dalam fenomena dan perumusan skenario di
atas dengan masalah memindahkan koloni wahana dari satu tempat ke
tempat lain dengan membentuk formasi geometri tertentu, saat sekarang
penulis meneliti fenomena lain, yang kami sebut . Di sini,
berbeda dengan memindahkan kumpulan wahana dari satu tempat ke
tempat lain dengan saling berdekatan, dalam situasi justru
skenarionya menghendaki pemindahan banyak wahana yang berdekatan
overdetermined
closed form
swarm
un-swarm
un-swarm
26 27
pada saat awal dan akhir, tetapi mereka harus saling berjauhan pada saat
bergerak. Skenario ini relevan di dunia militer, yang seringkali harus
memindahkan kendaraan, pesawat, kapal, serta senjata ke tempat lain
dengan aman dari serangan musuh. Dengan , untuk
melumpuhkannya butuh strategi kompleks.
Pada tahun 1995, Kennedy dan Eberhart membangun sebuah teknik
komputasi yang diinspirasi oleh fenomena . Teknik komputasi ini
disebut sebagai , disingkat PSO. Dengan
diimajinasikan sebagai komunitas semut yang sedang mencari lokasi
sumber makanan, algoritma ini memanfaatkan banyak agen yang
menggambarkan posisi masing-masing semut. Dengan pengetahuan
setiap semut terhadap “kadar” makanan di lokasinya dibagikan ke semut
lainnya, setiap semut akan bergerak mengikuti gabungan kecenderungan
“pribadi”nya dan perilaku koloni semut lainnya. Pengembangan
algoritma sejenis ini berkembang maju.
Salah satu penerapan yang relevan dan dikembangkan dalam
penelitian kami adalah pemanfaatan PSO untuk memecahkan masalah
klasik penyelesaian sistem Hamilton yang merupakan produk dari
penerapan PMP pada masalah kontrol optimum. Kemudian, mulai tahun
2011, pemanfaatan PSO ini kami kembangkan untuk menyelesaikan
masalah yang mirip interpolasi. Beberapa hasil akan disajikan di tahun
un-swarm
swarm
Particle Swarm Optimization
2.6. Optimisasi dengan Algoritma Berdasarkan Perilaku Swarm
2012 ini. PSO banyak dimanfaatkan pada permasalahan pembuatan
keputusan di dunia industri.
Jika membahas upaya penyatuan matematika, mau tak mau nama
Henri Poincaré (1854-1912) harus disinggung. Dapat dikatakan bahwa
Poincaré adalah matematikawan terakhir yang memiliki visi, kemam-
puan, dan berhasil menyatukan matematika, setidaknya beberapa bidang
matematika inti. Poincaré menyederhanakan dan mengorganisir untuk
menyatukan gagasan persamaan diferensial, mekanika, teori fungsi
kompleks, dan teori grup. Terobosan gagasannya disertai intuisinya
dalam topologi yang begitu mendasar berhasil mengungkap kesatuan
antarbidang matematika tersebut.
Mulai akhir abad 20 sampai sekarang di penghujung abad 21, upaya
penyatuan matematika masih diimpikan. Ada bidang matematika yang
memang kental melibatkan berbagai cabang matematika. Bidang seperti
geometri diferensial secara alamiah melibatkan tiga cabang inti
matematika, yakni analisis, aljabar, dan topologi (Hermann, 1980).
Upaya “penyatuan” geometri oleh Felix Klein dengan
-nya, juga perlu dicatat sebagai sebuah usaha untuk menyatukan
matematika. Dengan simplifikasi gagasan geometri sebagai sebuah
3. PENYATUAN MATEMATIKA MELALUI TEORI KONTROL
3.1 Sekilas Upaya Penyatuan Matematika
Erlangen
Program
28 29
tindakan sebuah grup Lie pada manifold, program Erlangen berupaya
mendata semua geometri dengan menemukan grup dan manifold yang
sesuai untuk setiap geometri. Perumusan ini memiliki empat ciri seperti
yang disampaikan Gelfand sebelumnya, yakni indah, sederhana, tepat,
dan punya sisi “kesintingan”, menerobos melewati kewajaran yang
dibatasi waktu dan ruang. Sampai sekarang gagasan Klein ini masih
dianggap sebuah terobosan yang memiliki dampak kesemestaan yang
luas. Bahkan pelajaran geometri bidang di sekolah menengahpun
dipengaruhi oleh terobosan cara pandang ini.
Saat sekarang teori kontrol telah meluas bukan saja dalam
pemanfaatannya, tetapi juga sebagai sebuah disiplin sendiri di
matematika yang berkembang meluas dan mendasar. Dalam perkem-
bangannya ke dalam, teori kontrol geometri dan DPS secara alamiah
banyak memanfaatkan dari analisis fungsional, geometri, dan
topologi. Ini dapat dilihat sebagai satu penyatu matematika.
Pada pengembangan DPS, bidang analisis fungsional,
, persamaan diferensial parsial, geometri diferensial, dan statistika
menjadi menyatu. Permasalahan-permasalahan klasik dalam analisis
fungsional menjadi relevan, karena ada tafsirannya pada sistem kontrol.
Sebaliknya, gagasan-gagasan dalam teori kontrol umum seperti
keterkontrolan, keterobservasian, keter-realisasi-an, dan kestabilan
machinery
micro local
analysis
3.2 Teori Kontrol dalam Matematika dan Penerapannya
diterjemahkan menjadi permasalahan dalam persamaan diferensial
parsial, analisis, dan aljabar. Sejalan dengan ini, pengembangan teori
kontrol dimensi hingga pun menjadi semakin dalam, karena sifat-sifat
sistem kontrol linear berdimensi hingga yang klasik yang sudah mapan,
sekarang dipandang sebagai suatu hal khusus dari sifat yang lebih umum.
Secara sederhana, dengan situasi ini, sifat-sifat teori kontrol klasik
menjadi hal khusus dari pengembangan teori kontrol untuk sistem
berdimensi tak hingga, seperti sistem berparameter terdistribusi ini.
Kecuali itu, pengembangan teknik numerik untuk permasalahan
kontrol eksak pada DPS juga mulai berkembang pesat di dua tahun
terakhir ini (Ervedoza dan Zuazua, 2012). Permasalahan numerik untuk
DPS tidak sederhana, karena para peneliti ingin mempertahankan
gagasan keterkontrolan eksak pada ruang fungsi yang berdimensi tak
hingga. Padahal metode numerik konvensional untuk persamaan
diferensial parsial umumnya mengaproksimasi solusi eksak.
Sedangkan pada pengembangan teori kontrol geometri, berbagai
bidang studi di matematika, seperti teori grup Lie, geometri simplektik,
geometri sub-Riemann, aljabar, mekanika, dan kalkulus variasi menjadi
menyatu dengan alami. Keadaan seperti ini tentunya baik bagi
matematika sendiri, karena pengembangan matematika ke dalam yang
tadinya cenderung sangat spesialis menjadi kembali utuh. Hal yang sama
juga terjadi pada Geometri Sub-Riemann yang tadinya pengembangannya
didasarkan murni sebagai generalisasi geometri Riemann atau rasa
30 31
keingintahuan semata, menjadi sangat relevan untuk dikembangkan.
Pengembangan ini juga membantu pemahaman pada mekanika.
Khusus di Indonesia, pengembangan teori kontrol di masa depan
membutuhkan banyak matematikawan dan rekayasawan muda dengan
pemahaman aljabar, topologi, analisis fungsional, geometri diferensial,
dan metode komputasi yang luas, utuh, dan mendalam. Untuk memung-
kinkan pengembangan bidang teori kontrol ini, mutu pendidikan
matematika sekolah, khususnya proses bermatematika di pendidikan pra-
universitas, perlu dibenahi.
Penerapan teori kontrol dan matematika umumnya di dunia industri
dan juga Hankam terbuka sangat lebar di Indonesia. Hal ini penulis
rasakan pada saat membantu Ir. Jusman S. Djamal di PT DI (dahulu IPTN.)
Kecuali membantu industri, hal seperti ini akan memberikan sudut
pandang baru dan kaya bagi seorang matematikawan. Pengalaman
dengan industri strategis serupa sangat perlu diupayakan bagi para
matematikawan muda. Upaya ini juga akan membantu peningkatan citra
matematika di masyarakat.
Pendidikan matematika pra-universitas akan menentukan keber-
hasilan pengembangan matematika lanjut di tingkat tersier seperti teori
4. MASA DEPAN KEBERMATEMATIKAAN DI INDONESIA
4.1 Masyarakat yang Belajar dan Ekonomi berdasar Kecerdasan
kontrol ini di masa depan. Namun, lebih daripada itu, pendidikan
matematika sekolah sangat berpengaruh terhadap pembangunan negara,
termasuk pertumbuhan ekonominya. Setidaknya, ini gagasan pemba-
ngunan yang diikuti beberapa negara atau organisasi ekonomi dunia
seperti (OECD.)
Dalam pembangunan bermodalkan kecerdasan, peranan pengelolaan
pengetahuan serta teknologi informasi menjadi dominan (Hargreaves,
2000).
Dalam gagasan pembangunan berdasarkan kecerdasan ini yang
kadang disebut Budaya Pendidikan Dunia, peranan pendidikan,
khususnya literasi matematika, dalam strategi pembangunan kekuatan
ekonomi suatu negara menjadi mutlak. Pendidikan merupakan sebuah
lokomotif inti guna mempertahankan dan mengembangkan pemba-
ngunan negara secara berkelanjutan dalam sistem dunia tanpa batas.
Khususnya, penyediaan pendidikan oleh negara dituntut agar mening-
katkan pengetahuan, kecakapan, dan sikap positif warganya yang sesuai
dengan tuntutan kehidupan era sekarang dan masa depan. Pendidikan
matematika di pra-universitas dan perguruan tinggi harus mendukung
dan memfasilitasi setiap warga untuk mengembangkan dirinya agar
mampu berfungsi secara efektif sebagai warga Indonesia dan warga
dunia. Peningkatan tiga hal tadi berdampak langsung pada strategi
mensejahterakan negara, khususnya demi meningkatkan mutu kondisi
sosial dan kekuatan ekonomi negara.
Organisation for Economic Co-operation and Development
32 33
Dalam konteks RI di era sekarang dan masa depan, kesejahteraan dan
kedigjayaan Bangsa Indonesia ditentukan oleh tingkat kesuburan nilai-
nilai perikemanusiaan yang dihayati masyarakat dan berkembangnya
tingkat keberdayaannya dalam sistem dunia yang terbuka untuk semua.
Untuk itu, perlu tumbuh atau masyarakat yang belajar
sepanjang hayat dan meluasnya pemahaman gagasan pembangunan
berkelanjutan bermodalkan kecerdasan tersebut. Guna mendukung serta
memungkinkan tumbuhnya dua kondisi tadi, pendidikan matematika
yang handal di institusi pra-universitas sangat mutlak.
Pada abad 21 ini, negara-negara yang kurang berkembang berpusat
pada pengembangan jenis industri-industri yang menggantungkan
hampir mutlak pada sumber daya alam, seperti pertanian dan pertam-
bangan. Untuk negara-negara yang sedang berkembang, pengembangan
industrinya pada jenis manufaktur dan sedikit menggantungkan pada
sumber daya alamnya. Sedangkan pada negara-negara yang telah sangat
berkembang, pengembangan industrinya berpusat pada jenis jasa.
Indonesia mengembangkan tiga macam industri tersebut secara
bersamaan. Untuk memungkinkan ini, pengembangan sains, rekayasa,
dan seni di Republik ini harus sangat baik. Di sisi ini, peranan matematika
menjadi mutlak untuk membangun generasi saintis, rekayasawan/wati,
dan seniman/wati yang sanggup mengembangkan industri-industri
tersebut di Indonesia.
learning society
4.2 Matematika bagi Pengembangan Sains, Rekayasa, dan Seni
Guna memungkinkan terobosan-terobosan baru di sains, teknologi,
dan seni di Indonesia, dukungan kecakapan dalam matematika serta
kecakapan lain yang tumbuh melalui proses bermatematika merupakan
syarat mutlak. Pada sudut pandang ini, ITB harus mempeloporinya
sekarang. Pelayanan pendidikan matematika bagi seluruh Republik ini
guna mendukung perkembangan dunia sains, rekayasa, dan seni harus
dipelopori dan dikembangkan ITB. Cara pandang pengembangan
pelayanan pendidikan matematika oleh ITB yang ditujukan khusus bagi
komunitas ITB semata, saat ini menjadi gagasan yang kadaluarsa. Ini
gagasan yang melawan arus kecenderungan budaya dunia yang justru
berupaya membagikan pengetahuannya ke semua. Dengan dukungan
kecanggihan teknologi informasi, penyebaran pelayanan pendidikan
matematika bagi seluruh putra-putri Indonesia di mana saja tanpa perlu
biaya saat sekarang menjadi mungkin. Untuk merealisasikan gagasan
demokratisasi pendidikan ini, kepemimpinan ITB dengan modal
kepakaran sivitas akademikanya menjadi satu-satunya harapan Bangsa
Indonesia.
Saat sekarang kecenderungan penyediaan pendidikan bermutu dan
gratis berkembang luar biasa, misalnya MITx, Stanford online, Udacity,
dan Khan Academy. Dengan semangat dan impian yang sama, penulis
mengembangkan pakiwan.com mulai tahun 2010. Budaya berbagi
pengetahuan khususnya matematika, sains, teknologi, dan lainnya bagi
semua menjadi kecenderungan dunia. Keberhasilan penumbuhmekaran
budaya “berbagi” yang merupakan bentuk
pemberontakan terhadap budaya mono-
polistik pengetahuan oleh golongan
terpilih saja di era sebelumnya ditunjuk-
kan dengan menjamurnya situs-situs
pendidikan bermutu yang gratis tersedia
untuk melayani warga masyarakat dunia
tanpa batas saat ini. Keadaan sangat baik
yang didukung dengan teknologi Internet
2.0 membuat saat sekarang sangat mudah
untuk belajar. Di era sekarang, kebodohan
merupakan pilihan, bukan nasib.
Era sekarang ini yang mungkin tepat dinamai era “berbagi”, sangat
banyak insan-insan pemimpin dunia pendidikan dari pendidikan dasar
sampai pendidikan tinggi merasa bertanggung-jawab terhadap
kesejahteraan seluruh dunia. Mereka secara aktif melayani semua warga
dunia, tanpa pamrih. Salah satunya pakar ilmu komputer dan robotika,
profesor Sebastian Thrun dari Universitas Stanford, yang memelopori
penyediaan kuliah ilmu komputer online secara gratis melalui Udacity.
Bahkan, tidak saja sudah menyediakan kuliah yang bermutu dan gratis
secara online bagi ratusan ribu “mahasiswa”, tetapi perguruan tinggi
kaliber dunia seperti Universitas Stanford sampai Januari tahun 2012 lalu,
sudah berhasil memberikan ijazah bagi 23.000 lulusannya melalui
34 35
programnya, tanpa harus membayar uang satu sen pun (Hagnéré, 2012).
Nilai “berbagi” seperti ini tentunya sebuah atau warisan dari
warga dunia generasi sekarang yang harus sama-sama kita pancarkan dan
resonansikan terus menerus ke generasi mendatang. Di Asia, ITB harus
memelopori penumbuhmekaran nilai “berbagi” tersebut. Berbagi adalah
satu nilai paling agung generasi kita. Dengan jalan ini, pengembangan
sains, rekayasa, dan seni akan berhasil mendukung pembangunan Bangsa
dan dunia secara berkelanjutan.
Untuk pengembangan matematika bagi matematika sendiri di
Indonesia, juga perlu upaya perbaikan mutu , atau lulusan sekolah
menengah. Budaya bermatematika yang anggun, bermakna, dan utuh
serta menghargai keindahannya harus sudah dibelajarkan dan
ditanamkan sejak pendidikan dasar. Ini sebuah syarat mutlak lahirnya
komunitas matematikawan handal di generasi mendatang.
Sejalan dengan syarat di atas, pencitraan buruk matematika –akibat
praktik pengajaran ceroboh– sebagai kumpulan rumus-rumus tak
bermakna di masyarakat harus dibenahi. Pencitraan buruk ini telah
mereduksi nilai keagungan kebermatematikaan menjadi sekedar
tumpukan rumus-rumus mistis. Citra ini harus digantikan dengan
kegiatan bermatematika yang anggun memadukan ke- -an dan
untuk menyelesaikan masalah dengan terobosan kecerdasan,
legacy
intake
genius
madness
4.3 Penyiapan Matematikawan Mendatang
I am education that is
only available to the top 1% of
all students.
I am tens of thousands
of dollars of tuition expenses.
I am the imbalance
that the present system brings
to the world.
I want to the 99%.
I want to
education.
Education should be .
Accessible for ,
and .
against
against
against
empower
democratize
free
all, everywhere
any time
Sebastian Thrun
36 37
seperti yang digambarkan Morse.
Perguruan tinggi yang menyediakan pendidikan matematika di
Indonesia harus segera membangun strategi bersama agar kepakarannya
lebih mudah diakses oleh masyarakat luas. Berbagai kegiatan ilmiah
seperti lokakarya yang dapat mengenalkan matematika ke masyarakat
umum perlu diperluas. Jurang antara matematikawan dengan dunia
industri serta pakar disiplin lain perlu dihilangkan.
Masyarakat media perlu diajak dalam mengupayakan penyebaran
gagasan bermatematika yang anggun dan bermakna tersebut. Dengan
upaya-upaya ini semua, akan banyak pemuda-pemudi Indonesia
berbakat yang akan berkarya dalam matematika di masa depan.
Pada Era Industri dahulu, hanya siswa berbakat saja yang perlu belajar
matematika. Hanya siswa sekolah menengah yang hendak melanjutkan
ke studi di perguruan tinggi saja yang butuh belajar matematika. Namun,
di era sekarang dan mendatang, peranan matematika dalam kehidupan
sangat berbeda. Jenis matematika dan kecakapan bermatematika yang
dibutuhkan di era sekarang pun berbeda dengan di era terdahulu. Saat
sekarang, dengan pemanfaatan teknologi dalam kehidupan manusia,
matematika berperan di hampir semua karir dan bahkan berperan mutlak
dalam kehidupan sehari-hari. Kecuali itu, kecakapan-kecakapan yang
ditumbuhkan melalui bermatematika juga semakin dibutuhkan di
4.4 Matematika untuk Semua di Indonesia
kehidupan abad 21 ini, seperti atau bernalar pakar
(memecahkan masalah tak rutin) dan berkomunikasi kompleks (Trilling et
al, 2009). Ini merupakan turunan hasil riset bersama Richard J. Murnane
dan Frank Levy. Hasil kerjasama riset pakar kebijakan pendidikan dan
ekonomi urban, masing-masing dari Universitas Harvard dan MIT ini
pada tahun 2004, mengidentifikasi kecakapan yang dibutuhkan di masa
depan.
Materi matematika di era sekarang semakin lebar spektrumnya.
Sedangkan pada sisi pembelajarannya, filosofi pendidikan masa sekarang
memahami keunikan gaya belajar tiap siswa dan kecepatan belajarnya.
Oleh karenanya, pembelajaran matematika sekolah pada era sekarang
memungkinkan siswa untuk belajar semaksimum mungkin.
Dampaknya, di era sekarang, semua siswa dari TK sampai kelas 12
dan belajar matematika agar mampu hidup dan memuliakan
kehidupannya.
Kehidupan manusia masa kini dan sistem ekonomi yang bermodal-
kan kecerdasan ini membuat pembelajaran matematika sekolah harus
semakin fokus untuk mengembangkan kecakapan berpikir pakar dan
berkomunikasi kompleks. Khusus untuk konteks Republik Indonesia,
kebijakan pendidikan matematika nasional harus sangat strategis.
Tantangan yang dihadapi Bangsa Indonesia di masa depan tidak ringan.
Fakta pertama yang harus dicermati adalah jumlah calon pekerja
berpengetahuan menengah dan tinggi di RI lebih rendah dibandingkan
expert thinking
semua
dapat
harus
38 39
dengan dua negara Asia besar lainnya, yakni China dan India. Jumlah
pelajar kita pada tahun 2009 hanya 50 juta. Sedangkan di China ada 204
juta dan di India ada 251,3 juta. Dengan jumlah pelajar yang hanya
seperempat China, seperlima India, dan 3 juta lebih sedikit dari AS, kita
diperkirakan akan sangat kekurangan pekerja kelas “menengah”.
Keadaan seperti ini sudah terasa saat sekarang di AS yang kehilangan
pekerjaan kelas menengahnya, misalnya fenomena perusahaan Apple.
Produk-produknya dibuat di China saat ini bukan semata karena harga
tenaga buruh yang murah di sana, tetapi sangat sulit merekrut 8.700
rekayasawan industri dan 200.000 teknisi handal di AS seperti yang
dibutuhkan Apple dalam waktu tak lama. Di China, ini dapat dilakukan
dalam 15 hari (Duhigg, 2012).
Dengan keadaan seperti ini, pelajar RI haruslah sangat cakap. Untuk
dapat turut bersanding di dunia tanpa batas, pendidikan matematika di RI
harus luar biasa istimewanya. Lalu, bagaimana dengan mutu pendidikan
matematika di RI dibanding dengan negara lain? Yang dimaksud bermutu
di sini adalah seberapa besar penguasaan pelajar kita terhadap kecakapan
bermatematika yang sesuai dengan tuntutan kehidupan masa kini dan
masa depan. Untuk menjawabnya, harus dicermati data dari dua survei
internasional dalam pendidikan matematika, yakni TIMSS
dan PISA
.
Indonesia turut serta dalam TIMSS pada tahun 1999, 2003, dan 2007.
(Trends in
International Mathematics and Science Study) (Programme for
International Student Assessment)
Memang performa pelajar kelas 8 RI di peringkat cukup bawah. Di ujian
tahun 2007, siswa RI di peringkat ke-36 dari 48 negara. Namun, yang justru
perlu dicermati dari data TIMSS ini adalah kegagalan peningkatan
performanya dalam jangka 8 tahun tersebut.
Sedangkan pada PISA matematika, hasilnya menunjukkan performa
yang tak berbeda jauh dengan yang ditunjukkan TIMSS di atas. Kecuali
hasilnya tidak baik, performa pada tahun 2003 dan 2009 secara statistika
tidak ada perubahan yang signifikan. Khususnya, data menunjukkan
bahwa jumlah siswa kelas 8 yang literasi matematikanya berada di bawah
Level 2 jumlahnya sekitar 80%, lihat Tabel 2. Menurut definisi, Level 2
adalah jenjang paling minimum yang diprediksi akan sanggup berfungsi
efektif di abad 21. Jadi, di bawah jenjang itu diprediksi tidak akan sanggup
berfungsi efektif di dunia global ini.
Tabel 1.: Nilai rata-rata matematika siswa RI kelas 8, dari http://nces.ed.gov dan
(Gonzales, 2004)
Nilai rata-rata matematika
1999 2003 2007
403 411 397
40 41
Jumlah siswa di bawah Level 2 terlalu banyak. Keadaan seperti ini
berarti bahwa RI akan kekurangan pekerja berpengetahuan kelas
menengah, di masa siswa umur 15 di tahun 2009 itu masuk dunia kerja.
Hasil penelitian PISA2009 juga mengungkapkan bahwa pelajar RI dengan
performa tinggi (Level 5 dan 6) secara statistika tidak ada (OECD, 2010).
Ini berarti, kemungkinan RI juga akan kekurangan pekerja kelas atas dan
pemimpin di berbagai bidang.
Dengan praktik pendidikan matematika sekolah yang umumnya tak
bermakna seperti sekarang, akan tidak mudah melahirkan pemimpin
dalam matematika, sains, rekayasa, dan seni yang handal di RI. Bahkan,
Tabel 2.: Persentase siswa dengan literasi matematikanya di bawah Level 2, dari
(OECD, 2010, p.67)
akan sangat sulit menyiapkan warganya untuk berperan aktif dalam
kehidupan di abad 21 yang mendukung pembangunan berkelanjutan
berbasiskan pengetahuan. Penyebabnya tentunya lebih dari satu, namun
sumber masalah utama ada pada cetak-biru pendidikan matematika
nasional RI yang sudah tak sesuai dengan perkembangan di dunia.
Saat sekarang, umumnya praktik pengajaran matematika sekolah di
Indonesia berpusat pada penyampaian bertumpuk-tumpuk pengetahuan
tak bermakna dan melatihkan ketrampilan-ketrampilan sepele yang
mengasingkan proses bernalar. Ketrampilan semacam menghafal rumus
dan kemampuan berhitung cepat tanpa makna sudah dihapuskan dari
sasaran belajar matematika negara lain. Namun, ketrampilan macam ini
justru masih menjadi fokus praktik pendidikan matematika sekolah di RI.
Cara memandang matematika seperti ini juga sangat merendahkan
matematika. Dan, ini pula lah yang menjadi sumber utama penyebab
parahnya performa pelajar RI dibanding negara lain, bahkan dibanding
dengan negara sedang berkembang lain.
Kesalahan cetak biru pendidikan matematika sekolah ini diperparah
lagi dengan adanya campur tangan kebijakan yang kurang direncanakan
dan tak berdasarkan riset yang cukup oleh Negara, seperti sistem Ujian
Nasional. Dengan pemaksaan sistem Ujian Nasional matematika yang
mengukur kecakapan kadaluarsa yang sudah tak sesuai tuntutan jaman,
siswa dan guru akan berlomba mengejar ketrampilan-ketrampilan yang
sebenarnya sudah tak dibutuhkan di kehidupan masa kini dan depan
5. PENUTUP
Industri pada masa kini dan esok akan semakin dituntut efisien, selain
karena sumber daya alam yang semakin terbatas, juga karena manusia
semakin dibutuhkan dan membutuhkan peranannya pada tataran
kecerdasan, bukan tenaga manual. Sebaliknya, banyak pekerjaan manual
yang akan diambil alih mesin. Akibatnya, pengendalian dalam proses
produksi menjadi sangat penting. Untuk itu, teori kontrol di masa
mendatang akan semakin dibutuhkan. Secara umum, keseluruhan dunia
tanpa batas dengan pembangunan ber-
kelanjutannya bermodalkan kecerdasan
akan semakin menuntut kecakapan
bermatematika.
Pengembangan teori kontrol dan
matematika pada umumnya selain
membutuhkan usaha perbaikan terus menerus pada tingkat perguruan
tinggi, juga harus dibenahi pendidikan matematika di pra-universitas.
Dampak perbaikan pendidikan matematika secara menyeluruh akan
meningkatkan kemampuan Bangsa Indonesia dalam pembangunan
dunia dengan fokus pada era sekarang. Dengan disertai kepemimpinan
dalam pendidikan yang serius, bukan tak mungkin hal ini dapat
diwujudkan dengan waktu di bawah 15 tahun.
Budaya bermatematika yang tumbuh di pemuda-pemudi Indonesia
akan meningkatkan kesejahteraan bukan saja pada sisi materi, tetapi
42 43
yang padat teknologi. Ditambah kenyataan bahwa masih ada anak kita
yang harus berjalan dua hari melewati hutan untuk ke sekolah di Republik
ini, sistem ini sangat tak berperikemanusiaan jika dipaksakan untuk
kelulusan.
Untuk memperbaiki performa siswa-siswi RI dalam matematika,
sistem dan kebijakan pendidikan nasional perlu memperhatikan nilai
utama serta hakikat kebermatematikaan. Pada tataran praktis, perlu
upaya peningkatan mutu guru matematika. Untuk ini, sangat
membanggakan karena ITB sudah memelopori dalam merancang sebuah
model baru pendidikan magister bagi guru matematika. Model ini
memberikan kesempatan guru-guru matematika sekolah menengah
untuk mengalami proses bermatematika untuk nantinya dapat jadi guru
matematika yang handal. Prinsip utama program unik ini adalah
keyakinan bahwa guru matematika yang baik mutlak harus berangkat
dengan pemahaman matematika yang baik. Model pendidikan guru
matematika ini sudah disebarkan pula di pertemuan regional Asia
Tenggara (Pranoto, 2011). Yang perlu ditingkatkan taraf multiplisitas
dampaknya adalah penyebaran kuliah sejenis melalui Internet. Beberapa
perguruan tinggi di Indonesia berminat menerapkan model yang sama.
Ini tentunya membahagiakan.
Aku tak akan pulang ke sebuah
negeri yang mengelakkan ilmu
bukti.
Tan Malaka: Sebuah esei,
sebuah opera, 2011.
44 45
justru kecerdasan warganya akan memajukan mutu hubungan sosial
masyarakat. Pendidikan matematika harus membuat rakyat Indonesia
kebal terhadap propaganda, seperti tujuan dari (Hutchins,
1970). Kemampuan berpikir kritis di sistem kenegaraan sekarang mutlak
diperlukan. Melalui proses bermatematika yang bermakna, pemuda-
pemudi Indonesia akan membangun kemampuan bernalar guna
mewujudkan kejayaan Indonesia 2.0. Semoga, budaya bernalar di
Indonesia nanti akan mengedepan serta menjadi fondasi masyarakat
Indonesia baru yang hidup damai saling bergandengan dan mewujudkan
, , dan di negeri ini.Amin.
Jika suku Igbo di Nigeria memiliki kalimat bijak "ora na azu nwa" yang
terjemahan bebasnya “dibutuhkan seluruh desa” untuk membesarkan
seorang anak, mungkin hal yang sama penulis rasakan pada hari ini. Saat
penulis merenungkan siapa saja yang telah “mendidik” penulis sampai
sore ini, mungkin penulis harus katakan bahwa ribuan orang di ratusan
desa dan puluhan sudah menjadi pendidik penulis. Oleh karenanya,
maafkan jika ada nama penting terlewatkan.
Pertama penulis harus mengucapkan terima kasih kepada seluruh
guru besar di Majelis Guru Besar ITB. Khususnya pula, penulis
menghaturkan terima kasih kepada Ketua dan Sekretaris MGB-ITB yang
learning society
kemerdekaan kesejahteraan kesetaraan
6. UCAPAN TERIMA KASIH
telah memberikan kehormatan bagi penulis menyajikan pidato ilmiah
guru besar sore ini.
Penghargaan dan ucapan terima kasih tak terhingga penulis
sampaikan kepada puluhan guru selama pendidikan penulis dari TK St.
Maria, SD St. Maria, SMP St. Yusuf, SMA Dempo, semuanya di Malang.
Khususnya, penulis sangat berterima kasih kepada Bapak Putu Mester,
guru di SMA yang menginspirasi dan membuat penulis memutuskan
untuk mempelajari matematika. Penulis sangat bangga menjadi salah satu
murid beliau.
Setelah SMA, penulis berlanjut belajar dengan dosen-dosen penulis di
ITB, dan University of Toronto. Terima kasih secara khusus penulis
sampaikan pertama kepada Prof. Moedomo, yang telah membelajarkan
esensi matematika, yakni seni bernalar matematika, serta menjadi
layaknya ayah penulis sendiri yang setia berdiskusi berbagai gagasan
sampai akhir hayatnya. Juga penulis sampaikan penghargaan tak terbatas
atas kesempatan belajar dengan para dosen pembimbing penulis, yakni
Prof. M. Ansjar, Prof. S. Kamil, Prof. A. Arifin, Prof. V. Jurdjevic, dan Prof. I.
Kupka. Secara khusus pula penulis sampaikan terima kasih penulis
kepada guru-guru istimewa yang pernah mendidik penulis, beberapa
sudah pensiun dan meninggal: drs. E. Hutahaean, M.Si., drs. Henk
Sengkey, Prof. S.M. Nababan, Prof. D. Handali, Prof. Soenardi, Dr. J.
Ibrahim, drs. Rawuh, drs. R.J. Pamuntjak, Prof. J. Repka, dan Prof. R.
Sharpe. Kemudian, juga penulis tak lupa mengucapkan terima kasih
46 47
kepada banyak matematikawan di Fields Institute, Canada, dan di
Laboratoire de Topologie, Université de Bourgogne. Khususnya, penulis
mengucapkan terima kasih kepada Prof. B. Bonnard dan Prof. J.P.
Gauthier.
Penulis juga perlu mengucapkan terima kasih yang tak ternilai atas
dukungan sejak mulai menjadi dosen ITB, saat studi di luar negeri sampai
sekarang, yakni: Prof. W. Arismunandar, Prof. Satrio S. Brojonegoro, Prof.
E. Soewono, Prof. H. Gunawan, Prof. Edy T. Baskoro, Prof. Hariadi
Supangkat, Prof. R.K. Sembiring, Prof. M. Abdurrahman, Prof. Ichsan S.P.,
Prof. HarijonoA. Tjokronegoro, dan Dr. Kusmayanto Kadiman.
Dalam perkembangan kecerdasan penulis yang terkait dengan
matematika, pemanfaatan matematika dalam industri, dan pendidikan
matematika, penulis beruntung pernah bertemu dengan beberapa orang
yang menginspirasi dan membuat penulis semakin benar-benar
menekuni profesi ini. Pertama, penulis ingin mengucapkan penghargaan
kepada Ir. Jusman S. Djamal di IPTN yang mengajarkan untuk berani
berpikir dan mengeksplor imajinasi. Pada saat membantu beliau, penulis
belajar dan mengalami kesempatan untuk mengerjakan hal-hal yang
biasanya jarang ditemui matematikawan. Kedua, penulis harus
mengucapkan terima kasih kepada ibu Antarina S.F. Amir, MBA yang
membolehkan penulis belajar pendidikan matematika yang nyata di
dalam kelas. Ketiga, penulis belajar banyak tentang keagungan
pendidikan dari Prof. M. Buchori. Keempat, penulis belajar banyak sekali
tentang komunikasi dan metode mengajar dari ahlinya sampai detik ini,
yakni Dr. B.G. Kartasasmita. Dan, penulis belajar dari Prof. I.G. Raka
tentang pentingnya pendidikan karakter dalam bingkai kebangsaan RI.
Penulis juga tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Pemerintah
RI yang telah memberikan beasiswa selama penulis studi S1 dan S2.
Kemudian, penulis perlu berterima kasih kepada University of Toronto
dan Pemerintah Propinsi Ontario, Canada yang telah menyediakan
beasiswa selama penulis studi Ph.D. Kemudian, penulis harus
mengucapkan banyak terima kasih kepada Kementerian Luar Negeri
Perancis yang telah memberikan beasiswa untuk program Post-Doctor
penulis di Laboratoire de Topologie, Université de Bourgogne.
Dalam pembimbingan program doktor, penulis telah membimbing
bersama pakar-pakar teori kontrol, yakni Prof. S.M. Nababan, Prof. R.J.
Widodo, Dr. Hari Muhammad, Dr. Janson N., dan Dr. Dimitri Mahayana.
Penulis mengucapkan banyak terima kasih.
Dukungan tak ternilai dari para Dekan FMIPAITB juga sangat berarti.
Khususnya, penulis perlu mengucapkan terima kasih kepada Prof.
Ahmaloka, Prof. Pudji Astuti, dan Prof. Umar Fauzi. Dukungan dari KK
MIK: Prof R. Saragih, Dr. Janson N., dan rekan-rekan lainnya. Dukungan
yang tak kalah juga diberikan rekan-rekan dosen matematika yang
langsung atau tidak pernah bekerja dengan penulis, khususnya Dr. Wono
S.B., Dr. Yudi S., Prof. Irawati, Prof. Salman, Dr. A. Muchlis, Dr. Oki
Neswan, Dr. Udjiana S.P., Dr. IntanA., dan Dr. Jalina W.
48 49
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Satuan Pengawas
Internal ITB, khususnya Prof. Soelarso, Prof. Irwandy Arif, Ir. Leksananto,
M.Eng., Prof. Asep Suganda, Dr. Sigit Darmawan, Dr. Wahyudi W.
Parnadi, Prof.Andreanus Sumarji, dan rekan-rekan auditor lainnya.
Jabatan akademik tertinggi ini tak ada maknanya jika penulis tak
pernah belajar dari murid-murid penulis. Entah yang hanya ikut kuliah
penulis atau yang dibimbing penulis, penulis telah belajar banyak. Secara
khusus, penulis mengucapkan terima kasih ke Luis Tirtasanjaya, M.Sc.,
Dr. Miswanto, dan Dr. Heru Tjahjana. Juga penulis mengucapkan terima
kasih kepada sekolah, pesantren: Global Jaya, HighScope, Madania,
Mutiara Bunda, Bunda Ganesha, Al Kautsar, dsb. yang memungkinkan
penulis menyebarkan gagasan bermatematika yang anggun ke
masyarakat. Terima kasih juga kepada Pustekkom/Tve, LSM Gentala
(Siva, Chitra, dll), LSM CFBE (Mas Nanang dan Mas Satria Dharma), LSM
Simpul Pendidikan, dan Mentari Books (Ibu Anna Rimba) yang telah
memfasilitasi penulis menyebarkan gagasan bermatematika yang anggun
ke pelosok. Juga penulis harus menyampaikan terima kasih kepada Prof.
Fasli Jalal yang telah mengajak membenahi pendidikan nasional.
Kemudian, penulis mengucapkan terima kasih kepada SEAMEO dengan
program QITEP in Math-nya.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para sahabat di
Himatika ITB, pendaki gunung Waparsa/YePe, pemanjat tebing Skygers,
dan kerabat di Loedroek ITB. Khususnya, penulis mengucapkan terima
kasih ke para sahabat: Nara, Eko,Alex, Irawan, Rudi Katab,Agoeng, dll.
Rasa syukur penuh disampaikan kepada orangtua penulis Henry
Pranoto (alm) dan Handajani. Juga kepada mertua penulis Budiman J.
Santoso (alm) dan Euis R., serta kepada sanak saudara lainnya penulis
sangat berterima kasih atas dukungannya. Penulis sulit mengungkapkan
penghargaan khusus kepada istri terkasih, Mariani L. Santoso, dan putri
tersayang, Prishanti Dipita, yang telah mendukung dan berkurban banyak
sejak penulis studi dan berkarir sampai saat ini.
1. Anzaldo-Meneses, A., et al,
, World Scientific, 2002.
2. Duhigg, C. et al, , New York
Times, 21 Jan 2012.
3. Ervedoza, S., Zuazua, E.,
, P. M. Cannarsa and J. M.
Coron, eds., “Lecture Notes in Mathematics”, CIME Subseries,
Springer Verlag. to appear in 2012.
4. Gelfand, I.M. in
, Pavel Etingov et al, Birkhauser, 2006.
5. Gonzales, P. et al,
2003, NCES, 2004.
6. Hagnéré, D. , SFBay, 26
BAHAN RUJUKAN
Contemporary Trends in Nonlinear Geometric
Control Theory and Its Applications
How the U.S. Lost Out on iPhone Works
The Wave Equation: Control and Numerics ,
``Control of Partial Differential Equations"
The Unity of Mathematics: in Honor of the Ninetieth
Birthday of I.M. Gelfand
Highlights from the Trends in International Mathematics
and Science Study (TIMSS)
Stanford Prof Quits to Teach for Free Online
50 51
Januari 2012.
7. Hargreaves, D., ,
presented in Forum of OECD Education Ministers: Developing New
Tools for Education Policy-Making, 13-14 March 2000, Copenhagen,
Denmark.
8. Hermann, R.
, Interdisciplinary Mathematics, Vol. XXI, Math Sci Press, 1980.
9. Hutchins, R.M. , Harmondsworth: Penguin, 1970.
10. Jurdjevic, V., , Cambridge Studies in
Advanced Mathematics 51, Cambridge Univ. Press, 1997.
11. McLarty, C. , PHILOSOPHIA
MATHEMATICA(3) Vol. 5 (1997), pp. 97-115.
12. OECD. Vol 5, OECD, 2010.
13. Malaka, T., , TePLOK PRESS, 2000.
14. Miswanto, Pranoto, I., Muhammad, H., Mahayana, D.,
, Journal of Mathematics and Its Applications,
Volume 4, Number 1, May 2007, hal:1–8.
15. Miswanto, Pranoto, I., Muhammad, H., Mahayana, D., Tjahjana, H.,
The 2
Regional Conference on Aerospace Science, Technology and Industry
(RC-ASTI) , September 4-6, 2007.
16. Miswanto, Pranoto, I., Muhammad, H., Mahayana, D.,
, Contribution in Math and Applications
III, East-West J. of Mathematics, a special volume, 2010, pp. 221-230.
Knowledge Management in the Learning Society
Cartanian Geometry, Nonlinear Waves, and Control Theory,
Part B
The Learning Society
Geometric Control Theory
Poincaré: Mathematics & Logic & Intuition
PISA2009 Results: Learning Trends,
Madilog
The Application
of the Steepest Gradient Descent for Control Design of Dubins Car for
Tracking a Desired Path
Tracking Control for Swarm Model with the Presence of a Leader,
The Control
Design of Symmetric System for Tracking a Desired Path with an Obstacle
Using Tracking Error Dynamics
nd
17. Miswanto, Pranoto, I., Muhammad, H., Mahayana, D.,
, International
Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-IJENS, Vol: 11, No: 01, 2011,
pp. 81-86.
18. Mohamad, G., Prabowo, T., ,
Salihara, 2011.
19. Pranoto, I. , Journal of
Indonesian Mathematical Society (MIHMI) Vol. 10 No. 2, 2004, pp.
115-123.
20. Pranoto, I.
, International Journal of Modelling, Identification and
Control, Vol. 8, No.1, 2009, pp. 32-37.
21. Pranoto, I. ,
Prosiding ITB, V.42, No.2, Maret 2009.
22. Pranoto, I. , Proceeding IndoMS,
Konferensi IICMA2009.
23. Pranoto, I.,
, in Topics in Applied and Theoretical Mathematics
and Computer Science: A Series of Reference Books and Textbooks,
Eds. V.V. Kluev et al, WSEAS, pp. 76-80, 2001.
24. Pranoto, I.,
, Journal of Inequality in Pure and Applied
Mathematics, Vol. 3, Issue 3,Art. 45, 2002.
25. Pranoto, I., Monografi, Penerbit ITB,
2004.
26. Pranoto, I., , Keynote speech,
The Collective
Behavior of Multi-Agents System for Tracking a Desired Path
Tan Malaka: Sebuah Esei, Sebuah Opera
Internal Control recovery on Klein-Gordon Systems
A Brief Summary on the Control Recovery of Time-Varying K-G
Systems
Partial Internal Control Recovery on 1-D Klein-Gordon Systems
Some Misconceptions On Variable Ideas
Exact Controllability of Klein-Gordon Systems with a Time-
Varying Parameter
An Inequality of the 1-D Klein-Gordon Equation with A Time-
Varying Parameter
Pengenalan Geometri Diferensial,
Math Teacher Profesional Development 2.0
Proceedings of International Symposium on Math Education
Innovation, SEAMEO, Yogyakarta, 18-19 November 2011.
27. Pranoto, I.,
, Invited Speech at SSE: The 2nd International Education
Seminar 2011, 26-27 Oct 2011.
28. Root-Bernstein, et al.
, First Mariner Books, 2001.
29. Root-Bernstein, et al. ,
International Handbook on Innovation, Part VI, Elsevier Science, 2003.
30. Sussmann, H.J., Jurdjevic, V. , J. Diff
Equations, 12, 1972, pp. 95-116.
31. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J.,
, International Conference on Mathematics and
Natural Sciences (ICMNS) November 29-30, 2006, p.778.
32. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J., Miswanto.
, ICIUS 2007, Oct
24-25, 2007.
33. Tjahjana, H., Pranoto, I., Naiborhu, J., Muhammad, H.
, Jurnal Teknik Mesin, V. 8 No.2,
Mei 2008, pp. 99-106.
34. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J.
, J. Indonesian Math.Soc.
(MIHMI), V.15, no.1,April 2009, pp. 13-20.
35. Trilling, B. et al. , Jossey-
Bass, 2009.
Digital natives call for creative and innovative means to engage
and learn math
Sparks of Genius: The Thirteen Thinking Tools of the
World's Most Creative People
Intuitive Tools for Innovative Thinking
Controllablity of Non-linear Systems
Swarm with
Triangle Formation
The
Numerical Control Design for a Pair of Dubins Vehicles
Aplikasi
Optimisasi Trajektori Sistem Dua Agen Linear dengan Metoda Steepest
Descent pada Pengendalian Dua Kapal
On The Optimal
Control Computational of Linear System
21 Century Skills: Learning for Life in Our Timesst
36. Wagensberg, J. ,
ECSITE Newsletter (60),Autumn 2004, pp.9-11.
37. Weimerskirsch, H. et al.
, the Journal of Experimental Biology 205, 2002, pp.
475–483.
The Beautiful and the Intelligible: Art in a Science Museum
Heart Rate and Energy Expenditure of Incubating
Wandering Albatrosses: Basal Levels, Natural Variation, and the Effect of
Human Disturbance
5352
CURRICULUM VITAE
Nama : IWAN PRANOTO
Tempat/tgl. lahir : Jakarta, 27 Oktober 1961
Pekerjaan : Staf Pengajar Matematika
FMIPA ITB
Alamat Kantor : KK Matematika Industri dan
Keuangan, Jl. Ganesha No. 10
Bandung. Telp. :(022) 2502545
Nama Istri : Mariani L. Santoso
Nama Anak : Prishanti Dipita
1. RIWAYAT PENDIDIKAN:
2. RIWAYAT KERJA DI ITB
• Sarjana (S1) Matematika, ITB, Bandung, 1985.
Magister (S2) Matematika, ITB, Bandung, 1987.
Master of Science (MSc), Mathematics, Univ. of Toronto, Toronto,
Canada, 1989.
Philosophiae Doctor (PhD), Mathematics, Univ. of Toronto,
Toronto, Canada, 1994.
• Staf Pengajar Matematika, FMIPA ITB, 1988 - sekarang.
• Ketua KBK Geometri, 2002-2006.
• Auditor Akademik, Satuan Pengawas Internal ITB (dahulu UPI
ITB), 2003-sekarang.
• Koordinator Pengembangan Materi dan Kebijakan Pendidikan
•
•
•
5554
5756
Matematika dan IPA, ITB, 2012-sekarang.
• Guru Besar, 2011
• Lektor Kepala, 2003
1. Indonesian Mathematical Society
2. National Council of Teachers of Mathematics
1. Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Canada,
1992-1993.
2. Laboratoire de Topologie, Université de Bourgogne, France, 1994-
1995.
3. Miswanto, ., Muhammad, H., Mahayana, D.,
, Journal of Mathematics and
ItsApplications, Volume 4, Number 1, May 2007, hal:1-8.
4. Miswanto, ., Muhammad, H., Mahayana, D., Tjahjana,
H., ,
The 2 Regional Conference on Aerospace Science, Technology
and Industry (RC-ASTI), September 4-6, 2007.
3. RIWAYAT JABATAN FUNGSIONAL FMIPA-ITB :
4. RIWAYAT DALAM ORGANISASI PROFESI/MASYARAKAT
KEILMUAN:
5. KEGIATAN PENELITIAN DAN LAIN-LAIN:
Pranoto, I
Pranoto, I
• Lektor, 2001
• Lektor Madya, 1998
• AsistenAhli Madya 1988
The
Application of the Steepest Gradient Descent for Control Design of
Dubins Car for Tracking a Desired Path
Tracking Control for Swarm Model with the Presence of a Leadernd
5. Miswanto, , Muhammad, H., Mahayana, D.,
, Contribution in Math and
Applications III, East-West J. of Mathematics, a special volume,
2010, pp. 221-230.
6. Miswanto, ., Muhammad, H., Mahayana, D.,
,
International Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-IJENS,
Vol: 11, No: 01, 2011, pp. 81-86.
7. . ,
Journal of Indonesian Mathematical Society (MIHMI) Vol. 10 No.
2, 2004, pp. 115-123.
8. .
, International Journal of Modelling, Identification
and Control, Vol. 8, No.1, 2009, pp. 32-37.
9.
, Prosiding ITB, V.42, No.2, Maret 2009.
10. ,
, in Topics in Applied and Theoretical
Mathematics and Computer Science: A Series of Reference Books
and Textbooks, Eds. V.V. Kluev et al, WSEAS, pp. 76-80, 2001.
11. ,
, Journal of Inequality in Pure and Applied
Mathematics, Vol. 3, Issue 3,Art. 45, 2002.
12. , , Monografi, Penerbit
ITB, 2004.
13. , , Keynote
Pranoto, I.
Pranoto, I
Pranoto, I
Pranoto, I
Pranoto, I.
Pranoto, I.
Pranoto, I.
Pranoto, I.
Pranoto, I.
The Control
Design of Symmetric System for Tracking a Desired Path with an
Obstacle Using Tracking Error Dynamics
The
Collective Behavior of Multi-Agents System for Tracking a Desired Path
Internal Control recovery on Klein-Gordon Systems
A Brief Summary on the Control Recovery of Time-Varying
K-G Systems
Partial Internal Control Recovery on 1-D Klein-Gordon
Systems
Exact Controllability of Klein-Gordon Systems with a Time-
Varying Parameter
An Inequality of the 1-D Klein-Gordon Equation with A
Time-Varying Parameter
Pengenalan Geometri Diferensial
Math Teacher Profesional Development 2.0
58 59
speech, Proceedings of International Symposium on Math
Education Innovation, SEAMEO, Yogyakarta, 18-19 November
2011.
14. .,
, Invited Speech at SSE: The 2nd International
Education Seminar 2011, 26-27 Oct 2011.
15. Tjahjana, H., ., Muhammad, H., Naiborhu, J.,
, International Conference on Mathematics and
Natural Sciences (ICMNS) November 29-30, 2006, p.778.
16. Tjahjana, H., Muhammad, H., Naiborhu, J., Miswanto.
, ICIUS
2007, Oct 24-25, 2007.
17. Tjahjana, H., ., Naiborhu, J., Muhammad, H.
, Jurnal Teknik Mesin, V. 8
No.2, Mei 2008, pp. 99-106.
18. Tjahjana, H., Muhammad, H., Naiborhu, J.
, J. Indonesian
Math.Soc. (MIHMI), V.15, no.1,April 2009, pp. 13-20.
Pranoto, I
Pranoto, I
Pranoto, I.,
Pranoto, I
Pranoto, I.,
Digital natives call for creative and innovative means to
engage and learn math
Swarm with
Triangle Formation
The Numerical Control Design for a Pair of Dubins Vehicles
Aplikasi
Optimisasi Trajektori Sistem Dua Agen Linear dengan Metoda Steepest
Descent pada Pengendalian Dua Kapal
On The
Optimal Control Computational of Linear System
60 61