Sistema cartesiano ortogonal
O sistema cartesiano ortogonal é formado
por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A
intersecção dos eixos x e y é o ponto O,
chamado de origem do sistema. Há uma
relação entre os pontos de um plano e o
conjunto de pares ordenados, isto é, a cada
ponto corresponde um único par
ordenado(x, y).
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Sistema cartesiano ortogonal
Os pares ordenados são:
(3, 2) está associado o ponto A;
(-1, 4) está associado o ponto B;
(-2, -3) está associado o ponto C;
(2, -1) está associado o ponto D.
Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou a abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.
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Sistema cartesiano ortogonal
Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.
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x
y
1º quadrante (+, +)
2º quadrante (-, +)
3º quadrante (-, -)
4º quadrante (+, -)
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por d(A, B), é a medida do segmento de extremidades A e B.
• Exemplo:
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Como em ambos os pontos, o valor da ordenada é o mesmo (y = 1), a distância será a diferença entre as abcissas. d(A, B) = 3 – 1 = 2
A(1, 1) B(3, 1)
Distância entre dois pontos
• Exemplo:
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Nesse caso, como nem a ordenada e nem a abscissa dos pontos são iguais, usamos a relação de Pitágoras para obter a distância entre os pontos. [d(C, D)]2 = 32 + 22
d(C, D) = 13
2
3
C(1, 3)
D(4, 1)
Distância entre dois pontos
Temos uma fórmula que representa a
distância entre dois pontos independente da
localização deles. Para dois pontos
quaisquer, A e B, tal que A(x1, y1) e B(x2,
y2), teremos:
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d(A, B) = x2 − x12 + y2 − y1
2
Ponto médio de um segmento
Dado um segmento de reta AB tal que A e B são distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto médio de AB. Considere:
• Um segmento com extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2);
• O ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB.
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y
x x1 x2
y1
y2
A
M
B
Ponto médio de um segmento
Podemos concluir que, dado um segmento de extremidades A e B:
• A abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das abscissas das extremidades:
• A ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades:
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x = x2+ x1
2
y = y2+ y1
2
Ponto médio de um segmento
Assim, o ponto médio M do segmento AB,
pode ser obtido independente da
localização das extremidades usando as
fórmulas anteriores:
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M = x2+ x1
2,
y2+ y1
2
Coeficiente angular de uma reta
Consideremos uma reta r de inclinação
em relação ao eixo x.
O coeficiente angular ou a declividade
dessa reta r é o número real m que
expressa a tangente trigonométrica de sua
inclinação , ou seja:
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m = tg()
Coeficiente angular de uma reta
Vamos observar casos, considerando:
• 0º 180º
1º -
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x
y
r
Para = 0°, temos m = tg = tg 0° = 0, nesse caso temos uma reta horizontal.
Coeficiente angular de uma reta
2º -
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x
y
r
Para 0° < < 90°, temos tg > 0 m > 0
Coeficiente angular de uma reta
3º -
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x
y
r
Para 90° < < 180°, temos tg < 0 m < 0
Coeficiente angular de uma reta
4º -
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x
y
r
Para = 90°, a tg não é definida, nesse caso é uma reta vertical, ela não tem declividade
Coeficiente angular de uma reta
Agora vamos ver como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir das coordenadas de dois de seus pontos.
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x
y r
A
B
C y
x
x1 x2
y2
y1
No triângulo ABC, temos:
tg = d(C, B)
d(A, C)
yx
y2 − y1
x2 − x1
Então:
m = yx
= y2
− y1
x2 − x1
Equação da reta
Vimos antes que dois pontos distintos
determinam uma reta, ou seja, existe uma
única reta que passa pelos dois pontos.
Da mesma forma, um ponto P(x0, y0) e a
declividade m determinam uma reta r.
Considerando ponto P(x, y) dessa reta,
veremos que se pode chegar a uma
equação, de incógnitas x e y.
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Equação da reta
Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta e tg = m, temos:
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x
y r
P0
P
C
x0 x
y
y0
tg = d(C, P)
d(P0, C) m =
y − y0
x − x0
y – y0 = m(x – x0)
Vamos praticar...
Uma reta passa pelo ponto P(-1, -5) e tem
coeficiente angular m = 1
2. Escreva a
equação da reta.
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Vamos praticar...
Tendo o ponto e o coeficiente angular, usaremos esses valores no modelo da equação.
y – y0 = m(x – x0)
y – (-5) = 1
2 [x – (-1)]
y + 5 = 𝑥
2 +
1
2
𝑥
2 - y +
1
2 - 5 = 0
x – 2y +1 – 10 = 0
x – 2y – 9 = 0
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Vamos praticar...
Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um retângulo. Nessas condições, escreva a equação da reta-suporte da diagonal AC.
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x
y
C B(8, 4)
A O
Vamos praticar...
Pela figura podemos as coordenadas do pontos A e C são:
A(8, 0)
C(0, 4)
Usando os dois pontos podemos encontrar a coeficiente angular.
m = y2
− y1x2
− x1 m =
4 − 0
0 − 8 m = -
4
8 m = -
𝟏
𝟐
Agora vamos usar um dos pontos junto com o coeficiente para encontrar a equação.
y – 4 = - 1
2 (x - 0) y – 4 = -
𝑥
2
𝑥
2 + y - 4 = 0 x + 2y – 8 = 0
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Vamos praticar...
(Vunesp) Num sistema de eixos cartesianos
ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x – 5y – 2 = 0
são, respectivamente, as equações das
retas r e s. Determine as coordenadas do
ponto de intersecção de r em s.
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Vamos praticar...
O ponto de interseção (x, y) deve satisfazer ao mesmo tempo ambas as equações. Assim, devemos resolver o sistema:
x + 3y + 4 = 0
2x – 5y – 2 = 0
Isolamos x na primeira equação:
x = -3y – 4
Agora aplicamos o x na segunda equação:
2(-3y - 4) – 5y – 2 = 0 -6y – 8 – 5y – 2 = 0
-11y – 10 = 0 y = - 10
11
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Vamos praticar...
Aplicamos o valor de y na primeira equação
para encontrar a coordenada x:
x = -3 − 10
11 – 4 x =
30
11 - 4 x =
30 − 44
11
x = −𝟏𝟒
𝟏𝟏
Assim, o ponto de intersecção das retas r e
s é −𝟏𝟒
𝟏𝟏,
−𝟏𝟎
𝟏𝟏.
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Vamos praticar...
(FEI-SP) A reta s é perpendicular à reta r e
a reta t é paralela à reta s. Determine a
equação da reta s e a equação da reta t.
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x
y
P(0, 3)
Q(4, 0)
O M(1, 0) r
s t
Vamos praticar...
Vamos determinar coeficiente angular da reta r, usando os dois pontos:
mr = 0 − 3
4 − 0 mr =
− 3
4
Como a reta r é perpendicular a reta s, temos:
mr ms = -1 − 3
4 . ms = -1 ms =
𝟒
𝟑
Agora podemos obter a equação da reta s:
y – 0 = 4
3(x - 4) y =
4𝑥
3 -
16
3
4𝑥
3 - y -
16
3 = 0
4x – 3y – 16 = 0
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Vamos praticar...
Como a reta t e paralela a reta s, os
coeficientes angulares são iguais, ou seja,
mt = 𝟒
𝟑. Com isso, já podemos determinar a
equação da reta t.
y – 0 = 𝟒
𝟑(x - 1) y =
𝟒𝒙
𝟑 -
𝟒
𝟑
𝟒𝒙
𝟑 - y -
𝟒
𝟑 = 0
4x – 3y – 4 = 0
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