Podstawy statystyki dla psychologów
Zajęcia 9. Prawdopodobieństwo i losowy rozkład
średniej z próby Karol Wolski
Prawdopodobieństwo
• Zdarzenie – obserwowalny wynik
• Doświadczenie losowe – powtarzalny proces, który daje tylko jeden wynik
• Prawdopodobieństwo zdarzenia – względna częstość, z jaką to zdarzenie pojawi się przy nieskończonej liczbie powtórzeń doświadczenia losowego wtedy, gdy każde z tych doświadczeń będzie przeprowadzane w ten sam sposób
Prawdopodobieństwo
• Wyobraźmy sobie, że rzucamy monetę, prawdopodobieństwo wylosowania orła wyniesie:
• 𝑃𝑟 =𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑤𝑦𝑟𝑧𝑢𝑐𝑜𝑛𝑦𝑐ℎ 𝑜𝑟łó𝑤
𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑤𝑠𝑧𝑦𝑠𝑡𝑘𝑖𝑐ℎ 𝑝𝑟ó𝑏=
𝑓 (𝑜𝑟𝑧𝑒ł)
𝑁=
1
2
• Oczywiście dotyczy to nieskończenie długiej serii rzutów monetą
– Kiedy będziemy mieli do czynienia z krótszą serię rzutów (zawsze) ta proporcja może okazać się inna
Prawdopodobieństwo
• Prawdopodobieństwo wylosowania asa karo z talii 52 kart
• 𝑃𝑟 =1
52
Prawdopodobieństwo
• Prawdopodobieństwo empiryczne – oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia poprzez stwierdzenie częstości tego zdarzenia w wielokrotnie powtarzanym doświadczeniu losowym
Dwa prawa probabilistyki
• Prawo dodawania prawdopodobieństw – Prawdopodobieństwo pojawienia któregokolwiek
spośród kilku określonych zdarzeń jest sumą prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń (przy założeniu, że zdarzenie te się wzajemnie wykluczają)
– Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa karo albo asa trefl?
–1
52+
1
52=
2
52
– Zdarzenia wykluczające się – występowanie jednego zdarzenia wyklucza wystąpienie każdego z pozostałych
Dwa prawa probabilistyki
• Prawo mnożenia prawdopodobieństw – Prawdopodobieństwo, że kilka określonych
zdarzeń nastąpi po sobie albo pojawią się one równocześnie, jest iloczynem prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń przy założeniu, że doświadczenia losowe są niezależne
– Zdarzenia niezależne – na wynik jednego z doświadczeń losowych nie może mieć wpływu wynik żadnego z pozostałych zdarzeń i nie mogą one być ze sobą w żaden sposób powiązane
Dwa prawa probabilistyki
• Prawo mnożenia prawdopodobieństw
– Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema monetami wypadną dwa orły (O,O)?
– Pr 𝑂, 𝑂 =1
2∗
1
2=
1
4
– A trzech? W trzech rzutach?
• Pr 𝑂, 𝑂, 𝑂 =1
2∗
1
2∗
1
2=
1
8
Rozkład dwumianowy
• Obserwacja dychotomiczna – obserwacja, którą można zaklasyfikować jedynie do dwóch kategorii
• Rozkład dwumianowy – rozkład prezentujący wszystkie wartości możliwe oraz prawdopodobieństwa każdej z nich, kiedy zbiór możliwych zdarzeń składa się tylko z dwóch elementów
Rozkład dwumianowy
• Rozkład dwumianowy można intepretować jako teoretyczny rozkład częstości względnych lub rozkład prawdopodobieństwa
– Przedstawia on częstości względne, z jakimi określone wyniki pojawiają się w długiej liczbie serii doświaczeń
Rozkład dwumianowy
A skąd wziąć taki rozkład?
• Można go wyprowadzić wychodząc od:
• (𝑃 + 𝑄)𝑁
– P – prawdopodobieństwo jednego zdarzenia
– Q – prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia (Q=1-P)
– N – liczba doświadczeń w serii
A skąd wziąć taki rozkład?
• Jakie będzie prawdopodobieństwo wyrzucenia orła i reszki w dwóch rzutach monetą (OR lub RO)
• P – orzeł
• Q – reszka
• (𝑃 + 𝑄)2= 𝑃2 + 2𝑃𝑄 + 𝑄2 = 0,5 2 +2 0,5 0,5 + 0,5 2 = 0,25 + 0,50 + 0,25
A skąd wziąć taki rozkład?
• A co jeśli rzucamy monetą 3 razy?
• (𝑃 + 𝑄)2= 𝑃3 + 3𝑃2𝑄 + 3𝑃𝑄2 + 𝑄3 =0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125
• P^3 – trzy orły
• 3PQ^2 – trzy możliwe wyniki gdzie pojawiły się dwie reszki i jeden orzeł.
A skąd wziąć taki rozkład?
• Jest to dość uciążliwa metoda, dlatego mamy tablice…
Losowanie kolejnych prób z populacji
Losowanie kolejnych prób z populacji
• Kiedy losujemy kolejne próby ich średnie mogą się różnić od siebie
• Losowy rozkład średniej z próby – teoretyczny rozkład liczebności względnych wszystkich wartości 𝑋 , które mogłyby zostać uzyskane losowo w przypadku nieskończonej liczb prób o określonej liczebności wyprowadzonych z danej populacji
Losowy rozkład średniej z próby
• Podobnie jak rozkład dwumianowy jest prawdopodobieństwem
• Jest on prawdopodobieństwem wystąpienia każdej możliwej średniej z próby
WAŻNE
• Dobór losowy zapewnia nam równe prawdopodobieństwo wylosowania każdej z prób, NIE zapewnia nam jednak równego prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych średnich z próby
Wartość oczekiwana średniej
• Wartość oczekiwana średniej z próby to średnia z losowego rozkładu średnich z próby
• 𝜇𝑋 = 𝜇𝑋
• Czyli nasza oczekiwana wartość średniej będzie równa średniej z populacji (por. przykład z poprzednich slajdów)
Wartość oczekiwana średniej
• Błąd standardowy średniej - SD losowego rozkładu wartości średniej z próby
• 𝜎𝑋 =𝜎𝑋
𝑛
• Jeżeli populacja wyników charakteryzuje się rozkładem normalnym, to losowy rozkład wartości 𝑋 z próby bez względu na wielkość próby też będzie się charakteryzował rozkładem normalnym
Centralne twierdzenie graniczne
• Losowy rozkład średniej z próby dąży do rozkładu normalnego bez względu na kształt rozkładu obserwacji w populacji; wraz ze wzrostem liczebności próby rozkład ten coraz bardziej zbliża się do rozkładu normalnego.